ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

Σχετικά έγγραφα
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

Πιθανότητες & Στατιστική. Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα)

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Βιομαθηματικά BIO-156

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Στοχαστικές Στρατηγικές

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

Γνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

P (Ηρ) = 0.4 P (Αρ) = 0.32 P (Απ) = 0.2

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ

Transcript:

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη µε A B, είναι το ενδεχόµενο A B = {ω Ω : ω A ή ω B}, της πραγµατοποίησης ενός τουλάχιστο από τα ενδεχόµενα A και B. Γενικότερα, η ένωση των ενδεχοµένων A 1, A 2,..., A ν, συµβολιζόµενη µε A 1 A 2 A ν ή συνοπτικά µε ν j=1 A j, είναι το ενδεχόµενο ν A j = A 1 A 2 A ν j=1 = {ω Ω : ω A j για έναν τουλάχιστο δείκτη j = 1, 2,..., ν}, της πραγµατοποίησης ενός τουλάχιστο από τα ν ενδεχόµενα A 1, A 2,..., A ν.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων (Συνέχεια) Η έννοια της ένωσης επεκτείνεται άµεσα και σε άπειρο πλήθος ενδεχοµένων A 1, A 2,..., A ν,..., A j = A 1 A 2 A ν j=1 = {ω Ω : ω A j για έναν τουλάχιστο δείκτη j = 1, 2,...}.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Τοµή ενδεχοµένων Η τοµή δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη µε A B AB, είναι το ενδεχόµενο A B AB = {ω Ω : ω A και ω B}, της πραγµατοποίησης και των δύο ενδεχοµένων A και B. Γενικότερα, η τοµή των ενδεχοµένων A 1, A 2,..., A ν, συµβολιζόµενη µε A 1 A 2 A ν A 1 A 2 A ν ή συνοπτικά µε ν j=1 A j, είναι το ενδεχόµενο ν A j = A 1 A 2 A ν A 1 A 2 A ν j=1 = {ω Ω : ω A j για όλους τους δείκτες j = 1, 2,..., ν}, της πραγµατοποίησης και των ν ενδεχοµένων A 1, A 2,..., A ν.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Τοµή ενδεχοµένων (Συνέχεια) Η έννοια της τοµής επεκτείνεται άµεσα και σε άπειρο πλήθος ενδεχοµένων A 1, A 2,..., A ν,..., A j = A 1 A 2 A ν A 1 A 2 A ν j=1 = {ω Ω : ω A j για όλους τους δείκτες j = 1, 2,...}. ύο ενδεχόµενα A και B καλούνται ξένα ή αµοιβαίως αποκλειόµενα αν δεν περιέχουν κοινά στοιχεία, A B =. Γενικότερα, τα ενδεχόµενα A 1, A 2,..., A ν καλούνται κατά ζεύγη ξένα ή αµοιβαίως αποκλειόµενα αν A i A j = για όλα τα Ϲεύγη (σύνολα) δεικτών {i, j}, i j, από το σύνολο των δεικτών {1, 2,..., ν}.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Αντίθετο ή συµπληρωµατικό ενδεχόµενο Το συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου A (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενο µε A ή A c, είναι το ενδεχόµενο A = {ω Ω : ω A}, της µη πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου A. Το ενδεχόµενο A καλείται αντίθετο (ή συµπληρωµατικό) του ενδεχοµένου A.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ιαφορά ενδεχοµένων Η διαφορά του ενδεχοµένου B από το ενδεχόµενο A (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη µε A B, είναι το ενδεχόµενο A B = {ω Ω : ω A και ω B}, της πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου A και της µη πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου B. Σηµειώνουµε ότι A B = A B.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Τύποι De Morgan Αν A 1, A 2,..., A ν είναι ενδεχόµενα ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω, τότε (A 1 A 2 A ν ) = A 1 A 2 A ν, (A 1 A 2 A ν ) = A 1 A 2 A ν και γενικότερα για άπειρο πλήθος ενδεχοµένων A 1, A 2,..., A ν,..., (A 1 A 2 A ν ) = A 1 A 2 A ν, (A 1 A 2 A ν ) = A 1 A 2 A ν.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Καρτεσιανό γινόµενο Ενα Ϲεύγος στοιχείων α και ϐ (όχι κατ ανάγκη διαφορετικών) στο οποίο το α ϑεωρείται ως πρώτο και το ϐ ως δεύτερο στοιχείο καλείται διατεταγµένο ζεύγος και σηµειώνεται µε (α, ϐ). Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων A και B, συµβολιζόµενο µε A B, είναι το σύνολο A B = {(α, ϐ) : α A, ϐ B}. Ο ορισµός αυτός επεκτείνεται και για ν σύνολα A 1, A 2,..., A ν ως εξής: A 1 A 2 A ν = {(α 1, α 2,..., α ν ) : α 1 A 1, α 2 A 2,..., α ν A ν }. Ειδικά, αν A 1 = A 2 = = A ν A, το καρτεσιανό γινόµενο συµβολίζεται µε A ν.

Παράδειγµα (α) Ας ϑεωρήσουµε το στοχαστικό πείραµα της ϱίψης ενός νοµίσµατος. Ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο Ω = {γ, κ}, όπου σηµειώνεται µε γ η όψη γράµµατα και µε κ η όψη κεφαλή (ή κορώνα). Τα υποσύνολα του Ω A = {γ} και B = {κ} είναι τα στοιχειώδη ενδεχόµενα εµφάνισης της όψης γράµµατα και κεφαλή, αντίστοιχα.

(ϐ) Ας ϑεωρήσουµε τώρα το στοχαστικό πείραµα µιας ακολουθίας 2 ϱίψεων ενός νοµίσµατος. Το οποιοδήποτε αποτέλεσµα των 2 ϱίψεων δύναται να παρασταθεί από ένα διατεταγµένο Ϲεύγος του οποίου το πρώτο στοιχείο είναι το αποτέλεσµα της πρώτης ϱίψης και το δεύτερο στοιχείο το αποτέλεσµα της δεύτερης ϱίψης. Ετσι ο δειγµατικός χώρος του συνθέτου στοχαστικού πειράµατος είναι το σύνολο Ω 2 = {(γ, γ), (γ, κ), (κ, γ), (κ, κ)}, το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόµενο του Ω = {γ, κ} µε τον εαυτό του. Τα υποσύνολα του Ω 2, A 0 = {(γ, γ)}, A 1 = {(γ, κ), (κ, γ)} και A 2 = {(κ, κ)} είναι τα ενδεχόµενα εµφάνισης 0, 1 και 2 ϕορές της όψης κεφαλή, αντίστοιχα.

(γ) Ας ϑεωρήσουµε το στοχαστικό πείραµα µιας ακολουθίας ϱίψεων ενός νοµίσµατος, η οποία τερµατίζεται όταν εµφανισθεί για πρώτη ϕορά η όψη κεφαλή (ή κορώνα). Ενας κατάλληλος δειγµατικός χώρος είναι το σύνολο W = {(κ), (γ, κ), (γ, γ, κ),..., (γ, γ,..., γ, κ),...}. Παρατηρούµε ότι οι δειγµατικοί χώροι Ω και Ω 2 είναι πεπερασµένοι, ενώ ο δειγµατικός χώρος W είναι αριθµησίµως άπειρος.

Παράδειγµα (α) Ας ϑεωρήσουµε το στοχαστικό πείραµα της ϱίψης ενός κύβου. Ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο Τα σύνολα Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A 1 = {1}, A 2 = {2}, A 3 = {3}, A 4 = {4}, A 5 = {5} και A 6 = {6} είναι τα στοιχειώδη ενδεχόµενα της εµφάνισης του αριθµού 1, 2, 3, 4, 5 και 6, αντίστοιχα.

Τα σύνολα B 1 = {1}, B 2 = {1, 2}, B 3 = {1, 2, 3}, B 4 = {1, 2, 3, 4}, B 5 = {1, 2, 3, 4, 5} και B 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} είναι τα ενδεχόµενα εµφάνισης αριθµού µικροτέρου ή ίσου του 1, 2, 3, 4, 5 και 6, αντίστοιχα. Ας σηµειωθεί ότι B 1 = A 1, B 2 = A 1 A 2, B 3 = A 1 A 2 A 3, B 4 = A 1 A 2 A 3 A 4, B 5 = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, B 6 = Ω.

(ϐ) Ας ϑεωρήσουµε στη συνέχεια το στοχαστικό πείραµα της ϱίψης δύο κύβων. Στην περίπτωση που οι κύβοι είναι διακεκριµένοι (άσπρος και µαύρος), το οποιοδήποτε αποτέλεσµα του πειράµατος δύναται να παρασταθεί από ένα διατεταγµένο Ϲεύγος του οποίου το πρώτο στοιχείο είναι το αποτέλεσµα της ϱίψης του άσπρου και το δεύτερο στοιχείο το αποτέλεσµα της ϱίψης του µαύρου κύβου. Ετσι ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο Ω 2 = {(i, j) : i = 1, 2,..., 6, j = 1, 2,..., 6}, το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόµενο του Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} µε τον εαυτό του και περιλαµβάνει 36 δειγµατικά σηµεία. Το σύνολο A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} είναι το ενδεχόµενο το άθροισµα των ενδείξεων των δύο κύβων να είναι 4.

Στην περίπτωση που οι κύβοι δεν είναι διακεκριµένοι, το οποιοδήποτε αποτέλεσµα του πειράµατος που µπορούµε να διακρίνουµε δύναται να παρασταθεί από ένα µη διατεταγµένο Ϲεύγος µε στοιχεία τα δύο αποτελέσµατα της ϱίψης των κύβων. Ετσι ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο W = {{i, j} : i = 1, 2,..., j, j = 1, 2,..., 6}, το οποίο περιλαµβάνει 21 δειγµατικά σηµεία. Σηµειώνουµε ότι το ενδεχόµενο το άθροισµα των ενδείξεων των δύο κύβων να είναι 4 εκφράζεται στην περίπτωση αυτή από το σύνολο B = {{1, 3}, {2, 2}}.

Παράδειγµα 2 (Συνέχεια) Θεωρητικά και οι δύο δειγµατικοί χώροι Ω 2 και W είναι κατάλληλοι για τη πιθανοθεωρητική µελέτη του στοχαστικού πειράµατος της ϱίψης δύο κύβων ανεξάρτητα από το αν είναι ή όχι διακεκριµένοι. Το πλεονέκτηµα του Ω 2 έναντι του W έχει σχέση µε τη δυνατότητα εφαρµογής του ισοπιθάνου των δειγµατικών σηµείων. Το στοιχείο αυτό εξετάζεται µετά την εισαγωγή της κλασικής πιθανότητας.

Παράδειγµα Ας ϑεωρήσουµε µία κληρωτίδα η οποία περιέχει 5 σφαιρίδια αριθµηµένα από το 1 µέχρι το 5. Εστω ότι σε µία πρώτη κλήρωση ένα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία. Ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο W 1 = Ω = {1, 2, 3, 4, 5}. Εστω ότι, χωρίς επανάθεση στην κληρωτίδα του σφαιριδίου που εξάγεται στην πρώτη κλήρωση, σε µία δεύτερη κλήρωση ένα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία. Ο δειγµατικός χώρος του επίσης απλού στοχαστικού πειράµατος της δεύτερης κλήρωσης είναι ένα υποσύνολο W 2 του Ω = {1, 2, 3, 4, 5} µε 4 άγνωστα στοιχεία εκτός αν το αποτέλεσµα της πρώτης κλήρωσης καταστεί γνωστό.

Συνθέτοντας τα δύο αυτά στοχαστικά πειράµατα, ας ϑεωρήσουµε το σύνθετο στοχαστικό πείραµα της διαδοχικής εξαγωγής δύο σφαιριδίων χωρίς επανάθεση. Το οποιοδήποτε αποτέλεσµα του πειράµατος δύναται να παρασταθεί από ένα διατεταγµένο Ϲεύγος του οποίου το πρώτο στοιχείο είναι από το σύνολο W 1 και το δεύτερο στοιχείο από το σύνολο W 2. Ετσι ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι το σύνολο W = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}, το οποίο περιλαµβάνει 5 4 = 20 δειγµατικά σηµεία. Το ενδεχόµενο A εξαγωγής των σφαιριδίων µε τους αριθµούς 1 και 2 είναι το σύνολο A = {(1, 2), (2, 1)}.

Στην περίπτωση που δεν ενδιαφέρει η σειρά εξαγωγής των σφαιριδίων, κατάλληλος δειγµατικός χώρος για το σύνθετο πείραµα της διαδοχικής εξαγωγής δύο σφαιριδίων χωρίς επανάθεση (ή της ταυτόχρονης εξαγωγής δύο σφαιριδίων) είναι και το σύνολο S = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}, το οποίο περιλαµβάνει 10 δειγµατικά σηµεία. Σηµειώνουµε ότι το ενδεχόµενο εξαγωγής των σφαιριδίων µε τους αριθµούς 1 και 2 εκφράζεται στην περίπτωση αυτή από το µονοσύνολο B = {{1, 2}}.

Παράδειγµα Ο χρόνος που µεσολαβεί µεταξύ διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων σ ένα τηλεφωνικό κέντρο παροχής πληροφοριών, λόγω διαφόρων αστάθµητων παραγόντων, δεν είναι προκαθορισµένος. Ετσι το ϕαινόµενο αυτό δύναται να ϑεωρηθεί ως στοχαστικό. Ενας κατάλληλος δειγµατικός χώρος για τη µελέτη του είναι το σύνολο Ω = {t R : 0 < t < θ}, όπου t παριστάνει τον ενδιάµεσο χρόνο µεταξύ διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων και ο µέγιστος ενδιάµεσος χρόνος θ είναι ένας ϑετικός πραγµατικός αριθµός.

Το ενδεχόµενο A ο χρόνος µεταξύ διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων να µη ξεπεράσει συγκεκριµένο χρόνο α, µε 0 < α < θ, είναι το σύνολο A = {t R : 0 < t α}, ενώ το συµπληρωµατικό του ενδεχόµενο είναι το σύνολο A = {t R : α < t < θ}. Σηµειώνουµε ότι ο δειγµατικός χώρος του στοχαστικού αυτού πειράµατος είναι µη αριθµήσιµος και ειδικότερα είναι συνεχής.