Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Θεωίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαοφαλάκης Αν. Καθηγητής
Οισμός συστημάτων αναμονής Συστήματα αναμονής (Queueing Syses): Συστήματα στα οποία οι αφίξεις «πελατών» δημιουγούν απαιτήσεις εξυπηέτησης από πόους πεπεασμένης δυνατότητας εξυπηέτησης. Σχηματίζονται «ουές», όταν δημιουγούνται απαιτήσεις σύγχονης χησιμοποίησης πόων.
Οισμός συστημάτων αναμονής (2) Οι ουές επηεάζονται από τη μέση τιμή και τη στατιστική διακύμανση του υθμού αφίξεων. Ανεξέλεγκτες ουές όταν: μέση τιμή υθμού αφίξεων > μέγιστη δυνατότητα εξυπηέτησης Σχηματισμός ουών λόγω στατιστικών διακυμάνσεων αφίξεων Θεωία αναμονής (Queueing Theory): ασχολείται με τη μελέτη συστημάτων, η απόδοση των οποίων επηεάζεται από φαινόμενα αναμονής.
Φοτίο εγασίας συστημάτων αναμονής (Μη-εκτελέσιμο) Συνάτηση Κατανομής Πιθανότητας των χόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων (Χ.Α.) A() Prob[χόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ] Συνάτηση Κατανομής Πιθανότητας του χόνου εξυπηέτησης ενός πελάτη (Χ.Ε.) B(x) Prob[χόνος εξυπηέτησης x] Συνήθως υποθέτουμε ότι οι πααπάνω Στοχαστικές Διαδικασίες (ΣΔ) συγκοτούνται από ανεξάτητες, όμοια κατανεμημένες Τυχαίες Μεταβλητές (ΤΜ)
Ένα Σύστημα Αναμονής Εξυπηετητές Β(x) Αφίξεις Α() Ουά 2 :
Άλλα μεγέθη πειγαφής του συστήματος Αιθμός εξυπηετητών (servers) στο σύστημα. Χωητικότητα του συστήματος σε πελάτες Κ (defaul: K ) Πληθυσμός υποψηφίων πελατών Μ (defaul: M ) Πολιτική εξυπηέτησης, δηλαδή ο τόπος επιλογής πελατών από την ουά για τον (τους) εξυπηετητές. (defaul: FCFS ή FIFO) Κλάσεις πελατών (defaul: ) Ομάδες ποτεαιότητας πελατών (defaul: ) Διαθεσιμότητα εξυπηετητή (defaul: %)
Μετικές απόδοσης Χόνος απόκισης response ie (συνολικός χόνος στο σύστημα) για ένα πελάτη. Χόνος αναμονής για ένα πελάτη. Αιθμός πελατών στο σύστημα. Το μήκος μιας πειόδου απασχόλησης (busy period). Το μήκος μιας πειόδου αγίας (idle period).
Συμβολισμός συστημάτων αναμονής Α/Β/ Α, B: Συνατήσεις κατανομής πιθανότητας Χ.Α καιχ.ε αντίστοιχα. Εκφάζονται ως Μ ( για την εκθετική κατανομή). D (για τη ντετεμινιστική [σταθεή] κατανομή). Er (για την κατανομή Erlang r-βαθμίδων). G ( για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΚΑΤΑΝΟΜΗ) : αιθμός εξυπηετητών Α/Β//K/M Κ : η χωητικότητα του συστήματος Μ : το μέγεθος του πληθυσμού των πελατών όταν αυτά είναι διαφοετικά από Παάδειγμα: D/M/2//2
Αναπαάσταση συστήματος αναμονής A(), B(x) : αυθαίετα εξυπηετητές Αιθμούμε τους πελάτες με το δείκτη n και οίζουμε C n τον n-οστό πελάτη που εισέχεται στο σύστημα
Συμβολισμοί βασικών μεγεθών Χόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων: τ n χονική στιγμή άφιξης του πελάτη C n n χόνος μεταξύ των αφίξεων των C n-, C n τ n τ n- για n 2 ( τ ) Prob[ n ] A(), δηλαδή το Α() είναι ανεξάτητο του n μέσος χόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων Ρυθμός αφίξεων (arrival rae) των πελατών: λ Χόνοι εξυπηέτησης: x n χόνος εξυπηέτησης του C n Prob[x n x] B(x) x : μέσοςχόνοςεξυπηέτησης Ρυθμός εξυπηέτησης (service rae) των πελατών : μ x
Συμβολισμοί βασικών μεγεθών (2) Χόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουά: w n χόνος αναμονής (στην ουά) του C n. μέσος χόνος αναμονής W w Συνολικός χόνος ενός πελάτη στο σύστημα (χόνος απόκισης): s n χόνος συστήματος (ουά + εξυπηέτηση) του C n w n + x n T W + x μέσος χόνος συστήματος ( T s )
Χονικό Διάγαμμα Συστήματος Αναμονής ( εξυπηετητής FCFS) s n C n- C n C n+ C n+2 w n x n x n+ x n+2 Εξυπηετητής C n C n+ C n+2 w n+ (w n+2 ) Χόνος Ουά τ n τ n+ τ n+2 n+ n+2 C n C n+ C n+2
Νόμος του Lile Ο μέσος αιθμός πελατών σε ένα σύστημα αναμονής είναι ίσος με το μέσο υθμό αφίξεων πελατών στο σύστημα επί το μέσο χόνο που ξοδεύει ένας πελάτης σ αυτό. N λ T Για όια του συστήματος μόνο στην ουά N q λ W Για όια συστήματος μόνο στον(-ους) εξυπηετητή(-ές) N s λ x
Νόμος του Lile (2) Διαισθητική απόδειξη: ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα θα βει μέσα κατά μέσο όο τον ίδιο αιθμό πελατών N που θα υπάχει όταν φύγει. Όμως κατά το διάστημα της παουσίας του ήθαν λ T πελάτες κατά μέσο όο. Η τελευταία ποσότητα είναι οι πελάτες που αφήνει πίσω φεύγοντας. Ο Νόμος δίνει μια χήσιμη σχέση μεταξύ οισμένων βασικών μεγεθών ενός συστήματος αναμονής, αλλά δεν αποτελεί «λύση» στογενικόμαςπόβλημα: Ουσιαστικά συνδέει ένα γνωστό μέγεθος εισόδου (λ), με δύο άγνωστα μεγέθη ( N, Τ ) τα οποία είναι μετικές απόδοσης που θέλουμε να βούμε.
Συντελεστής απασχόλησης Ο συντελεστής απασχόλησης ή χησιμοποίηση, οίζεται ως ο λόγος του υθμού με τον οποίο εισέχεται «δουλειά» στο σύστημα, πος το μέγιστο υθμό με τον οποίο το σύστημα μποεί να εκτελέσει αυτή τη «δουλειά». Δηλαδή για εξυπηετητή: (μέσος υθμός αφίξεων πελατών) x (μέσος χόνος εξυπηέτησης) / λ x x Στην πείπτωση εξυπηετητών: λ {Μέση τιμή του ποσοστού εξυπηετητών που είναι απασχολημένοι} [Απoδεικνύεται με χήση Ν. Lile]
Σταθεό σύστημα αναμονής Σταθεό σύστημα αναμονής, είναι αυτό στο οποίο δεν επιτέπεται να δημιουγούνται ουές ανεξέλεγκτου (άπειου) μήκους. Σε ένα σταθεό σύστημα ισχύει <
G/G/ Έστω τ ένα αυθαίετα μεγάλο χονικό διάστημα. Κατά τη διάκεια αυτού του διαστήματος πειμένουμε ο αιθμός των αφίξεων Α να είναι πολύ κοντά στην τιμή λ τ Επίσης, έστω p η πιθανότητα ο εξυπηετητής να είναι άεγος σε κάποιο τυχαία εκλεγμένο χονικό διάστημα. Μποούμε λοιπόν να πούμε ότι κατά τη διάκεια του διαστήματος τ, ο εξυπηετητής είναι απασχολημένος για τ τ p sec και άα ο αιθμός των πελατών που εξυπηετούνται Β στο χονικό διάστημα τ, είναι πείπου ( τ τ p ) x ( τ τ p ) Α Β: λ τ οπότε για τ, έχουμε: λ x - p x Οπότε - p όπου p η πιθανότητα ο εξυπηετητής να είναι άεγος σε κάποιο τυχαία εκλεγμένο χονικό διάστημα
Στοχαστικές διαδικασίες Στοχαστική Διαδικασία (Σ.Δ.): οίζεται ως μία οικογένεια Τυχαίων Μεταβλητών (Τ.Μ.), Χ(), όπου οι Τ.Μ. έχουν δεικτοδοτηθεί με τη χονική παάμετο. Παάγοντες ταξινόμησης στοχαστικών διαδικασιών οχώοςκαταστάσεων(οι τιμές που παίνουν οι ΤΜ) πεπεασμένες ή αιθμήσιμες τιμές Σ.Δ. διακιτών-καταστάσεων (αλυσίδα). Ο χώος καταστάσεων {,, 2, } τιμές από ένα πεπεασμένο ή άπειο συνεχές διάστημα Σ.Δ. συνεχών-καταστάσεων η χονική παάμετος (επιτεπτές χονικές στιγμές αλλαγής κατάστασης) Σ.Δ. Διακιτού-χόνου [ X n Στοχαστική Ακολουθία] Σ.Δ. Συνεχούς χόνου [ X() ] η στατιστική σχέση μεταξύ των Τ.Μ.
Στατιστική σχέση μεταξύ των ΤΜ () Θέλουμε να ποσδιοίσουμε την από κοινού PDF στις ΤΜ r X [ X( ), X( 2 ),...], δηλαδή την: r r Fr x P X x X x r x [ ] ( ; ) ( ), K, ( ) X n n για όλα τα (x, x 2,..., x n ), (, 2,..., n ) και n. r
Στατιστική σχέση μεταξύ των ΤΜ (2). Στάσιμες ΣΔ Αμετάβλητεςστιςολισθήσειςστοχόνο. Δηλαδή για r r r r οποιοδήποτε σταθεό τ, πέπει: F r x; +τ F r x ; όπου r + τ ( + τ, 2 + τ,..., n + τ). X ( ) ( ) X 2. Ανεξάτητες ΣΔ Οι πιο απλές. Δεν υπάχει καμία δομή ή εξάτηση των Τ.Μ. τους: r r f r x f x x ( ; ) K (, K, ;, K, ) f X( x ; ) Kf X n( xn ; n) X X X n n n
Στατιστική σχέση μεταξύ των ΤΜ (3) 3. Διαδικασίες Marov Για μια Αλυσίδα Marov {X()}, η πιθανότητα ότι η επόμενη τιμή X( n+ ) θα είναι ίση με x n+, εξατάται μόνο από την παούσα τιμή X( n ) x n και όχι από οποιαδήποτε ποηγούμενη (ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΑΜΝΗΣΙΑΣ). Ιδιότητα Marov (για αλυσίδα Marov): [ ( n+ ) n+ ( n) n, ( n) n,..., ( ) ] PX( ) x X( ) x P X x X x X x X x [ ] n+ n+ n n όπου < 2 <... < n < n+, ενώ τα x i πειέχονται σε κάποιο διακιτό χώο καταστάσεων. Ο χόνος πααμονής σε μια κατάσταση ακολουθεί την: Εκθετική Κατανομή (διαδικασία συνεχούς χόνου), ή την- ισοδύναμη - Γεωμετική Κατανομή (διαδικασία διακιτού χόνου).
Στατιστική σχέση μεταξύ των ΤΜ (4) 4. Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Κλάση των Διαδικασιών Marov: Οι αλλαγές κατάστασης γίνονται μόνο μεταξύ γειτονικών καταστάσεων. Δηλαδή αν Χ( n ) i, τότε Χ( n+ ) i - ή Χ( n+ ) i + μόνο. 5. Διαδικασίες Sei Marov Επιτέπουμε αυθαίετη κατανομή του χόνου που η διαδικασία μποεί να πααμείνει σε μια κατάσταση. ΗδιαδικασίασυμπειφέεταισανMarov κατά τις χονικές στιγμές αλλαγής κατάστασης, και στην παγματικότητα σε αυτές τις στιγμές λέμε ότι έχουμε μια συμπυκνωμένη (ebedded) αλυσίδα Marov. Υπεσύνολο των διαδικασιών Marov.
Στατιστική σχέση μεταξύ των ΤΜ (5) 6. Τυχαίοι πείπατοι Η επόμενη θέση είναι ίση με την ποηγούμενη θέση, συν μια τυχαία μεταβλητή Δηλαδή, μια ακολουθία ΤΜ {Sn} είναι τυχαίος πείπατος αν: S n Χ +Χ 2 +... +Χ n όπου n, 2,..., S και Χ, Χ 2,... είναι ακολουθία ανεξάτητων ΤΜ με κοινή κατανομή. 7. Διαδικασίες ανανέωσης Ειδική πείπτωση των τυχαίων πειπάτων. S n είναι τώα η ΤΜ που καθοίζει τη χονική στιγμή στην οποία γίνεται η n-οστή μεταβολή κατάστασης και {Χ n } είναι ένα σύνολο ανεξάτητων, όμοια κατανεμημένων ΤΜ, όπου η Χ n αντιποσωπεύει το χόνο μεταξύ της (n-)-οστής και n-οστής μεταβολής κατάστασης. Οι μεταβολές γίνονται μόνο μεταξύ γειτονικών καταστάσεων.
Σχέσεις των κλάσεων Στοχαστικών Διαδικασιών Sei Marov Marov ΤΠ ΓΘ P ΔΑ P: Poisson
Αλυσίδες Marov διακιτού χόνου Η ΣΔ καταλαμβάνει διακιτές θέσεις και οι αλλαγές μεταξύ αυτών των θέσεων γίνονται μόνο σε διακιτές χονικές στιγμές Η υπό συνθήκη πιθανότητα να γίνει η μετάβαση της διαδικασίας από την κατάσταση Ε i όπου είναι στο βήμα (n-), στην κατάσταση E j κατά το βήμα n P [ X j X i X i, K X i ] P[ X j X i ] n, 2 2, n n n n n πιθανότητα μετάβασης ενός βήματος
Ομογενείς αλυσίδες Marov Αν οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος είναι ανεξάτητες του n, τότε έχουμε μια ομογενή αλυσίδα Marov. Οίζουμε: [ ] p P X j X i ij n n Πιθανότητες μετάβασης -βημάτων [ ] n+ n ( p ) P X j X i ij ( ) Εύκολα βγαίνει: p ( ij p ) i pj Δηλαδή, αν πόκειται να «ταξιδέψουμε» από την Ε i στην E j μέσα σε βήματα, πέπει να το κάνουμε «ταξιδεύοντας» πώτα από την Ε i σε κάποια Ε μέσα σε (-) βήματα και μετά από την Ε στην Ε j στο επόμενο βήμα
Οισμοί για αλυσίδες Μarov () Αμείωτη: κάθε κατάσταση της μποεί να ποσπελασθεί από όλες τις υπόλοιπες καταστάσεις. Δηλαδή, υπάχει ένας ακέαιος για κάθε ζευγάι καταστάσεων Ε i, Ε j : ( ) p ij > Ένα υποσύνολο καταστάσεων Α λέγεται κλειστό αν δεν είναι δυνατή καμία μετάβαση ενός βήματος από οποιαδήποτε κατάσταση του Α σε οποιαδήποτε κατάσταση εκτός του Α. Αν το Α αποτελείται από μια μόνο κατάσταση, έστω Ε i, τότε αυτή καλείται αποοφητική κατάσταση. Μια αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε να είναι η E i αποοφητική, είναι p ii. Αν μία αλυσίδα πειέχει κλειστά υποσύνολα η αλυσίδα λέγεται μειώσιμη.
Οισμοί για αλυσίδες Μarov (2) f j (n) Prob [Η πώτη επιστοφή στην Ε j γίνεται μετά από n βήματα από την αναχώηση από την Ε j ] n (n) f j f Prob[ Κάποτε να επιστέψουμε στην Ε j ] j Αν η πιθανότητα να επιστέψουμε κάποτε στην κατάσταση Ε j, f j, είναι f j, η κατάσταση Ε j λέγεται επαναληπτική. Αν f j <, λέγεται μεταβατική.
Οισμοί για αλυσίδες Μarov (3) Αν τα μόνα δυνατά βήματα κατά τα οποία μποούμε να επιστέψουμε στην Ε j είναι γ, 2γ, 3γ,..., (γ ομεγαλύτεος τέτοιος ακέαιος) τότε η Ε j λέγεται πειοδική με πείοδο γ. Αν γ τότε η Ε j είναι μη-πειοδική. Για τις καταστάσεις με f j, οίζουμε το Μέσο Χόνο Επανάληψης της (επιστοφής στην) Ε j : M j nf n Αν ο μέσος χόνος επιστοφής στην Ε j, Μ j, είναι Μ j, η Ε j λέγεται μηδενικά επαναληπτική, ενώ αν είναι Μ j <, η Ε j λέγεται βέβαια επαναληπτική. (n) j
Πααδείγματα ΜΕΙΩΣΙΜΗ ΑΛΥΣΙΔΑ 2 3 P 33 ΑΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ P 4 P 52 P 2 4 5 2 6 ΚΛΕΙΣΤΟ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ 3 4 7 8 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΑΛΥΣΙΔΑ
Θεώημα Οι καταστάσεις μιας αμείωτης αλυσίδας Marov είναι είτε όλες μεταβατικές, είτε όλες βέβαια επαναληπτικές ήόλες μηδενικά επαναληπτικές. Αν είναι πειοδικές, τότε όλες οι καταστάσεις έχουν την ίδια πείοδο γ.
Πιθανότητες μόνιμης κατάστασης [ ] ( n) π j P X n j : Πιθανότητα να βεθεί το σύστημα (η αλυσίδαmarov) στην κατάσταση E j κατά το n-στο βήμα. {π j } : στάσιμη κατανομή πιθανοτήτων που πειγάφει την πιθανότητα να βεθεί το σύστημα στην κατάσταση E j κάποια χονική στιγμή στο απώτεο μέλλον. Πιθανότητες Μόνιμης Κατάστασης: Στην στάσιμη κατανομή, η επίδαση της κατανομής αχικής κατάστασης {π j () } έχει εξαφανιστεί Το να βούμε τα {π j } είναι το πιο σημαντικό τμήμα της ανάλυσης των αλυσίδων Marov π j liπ n ( n) j
Θεώημα 2 Σε μια αμείωτη και μη-πειοδική ομογενή αλυσίδα Marov, οι ( n) πιθανότητες μόνιμης κατάστασης π j liπ j n υπάχουν πάντα, και είναι ανεξάτητες από την κατανομή της αχικής κατάστασης. Επίσης ισχύει:. Είτε όλες οι καταστάσεις είναι μεταβατικές ήόλεςείναι μηδενικά επαναληπτικές, οπότε π j και δεν υπάχει κατανομή μόνιμης κατάστασης. 2. Είτε όλες οι καταστάσεις είναι βέβαια επαναληπτικές και τότε π j > για όλα τα j, στην οποία πείπτωση το σύνολο {π j } είναι μια κατανομή μόνιμης κατάστασης και π j Μ j Στην τελευταία πείπτωση οι ποσότητες π j καθοίζονται κατά μοναδικό τόπο από τις εξής εξισώσεις: i π i π j i π i p ij
Οισμοί Marov αλυσίδων (συνέχεια) Μια κατάσταση Ε j λέγεται εγοδική, αν είναι μη-πειοδική και βέβαια επαναληπτική. Δηλαδή αν f j, Μ j < και γ. Αν όλες οι καταστάσεις μιας αλυσίδας Marov είναι εγοδικές, τότε η αλυσίδα Marov λέγεται και η ίδια εγοδική.
Παάδειγμα Διάγαμμα καταστάσεων - - πιθανοτήτων μεταβάσεων
Υπολογισμός πιθανοτήτων μόνιμης κατάστασης [ ] pij πίνακας μεταβάσεων P π [ ], π, π,..., διάνυσμα πιθανοτήτων π 2 Απότοθεώημα2: π π P Στο παάδειγμα P 3/ 4 4 / 4 / 34 / 4 / 4 / 2 /
Υπολογισμός πιθανοτήτων μόνιμης κατάστασης (2) Λύνουμε τις εξισώσεις π π + /4 π + /4 π 2 π 3/4 π + π + /4 π 2 π 2 /4 π + 3/4 π +/2 π 2 π + π + π 2 Αποτέλεσμα: π /5.2 π 7/25.28 π 2 3/25.52 Πιθανότητες Μόνιμης Κατάστασης
Ανάλυση μεταβατικής συμπειφοάς συστήματος () Υπολογισμός πιθανοτήτων π j (n) : η πιθανότητα να βεθούμε στην κατάσταση Ε j τη χονική στιγμή n. ( n) π ( n) (n) (n) π,π,π2,... διάνυσμα πιθανοτήτων στο βήμα n Ισχύει ότι [ ] ( n) ( n ) π π P ( n ) ( ) n π π ( P )
Ανάλυση μεταβατικής συμπειφοάς συστήματος (2) Στο παάδειγμα των πόλεων, έστω ότι η αχική κατανομή είναι η ( ) π [,,], δηλαδή αχική πόλη είναι η Πάτα. Στον παακάτω πίνακα φαίνεται η ακολουθία τιμών των πιθανοτήτων σε κάθε βήμα. Οι ποσότητες συγκλίνουν πολύ γήγοα πος τις οιακές τιμές της μόνιμης κατάστασης.
Χόνος πααμονής σε μια κατάσταση Ρrob [ Το σύστημα να πααμείνει στην Ε i για ακιβώς επιπλέον βήματα, δεδομένου ότι έχει μόλις εισέλθει στην Ε i ] ( - p ii ) p ii Γεωμετική κατανομή (Ιδιότητα αμνησίας)
Αλυσίδες Marov συνεχούς χόνου () Τα απλούστεα συστήματα: M/M//K Εκθετικά κατανεμημένοι χόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων (Χ.Α.) λ A( ) e, Εκθετικά κατανεμημένοι χόνοι εξυπηέτησης (Χ.Ε.) μx B( x) e, x
Αλυσίδες Marov συνεχούς χόνου (2) Ιδιότητα της αμνησίας: «ο χόνοςωςτοεπόμενο γεγονός, είναι ανεξάτητος από το χόνο που έχει πεάσει από το τελευταίο γεγονός». ΑΦΙΞΕΙΣ: Αν έχει πεάσει χόνος από την τελευταία άφιξη (του C n- ) Prob[ + ] Prob[ n ] n > n ΑΝΑΧΩΡΗΣΕΙΣ: Αν έχει πεάσει χόνος x εξυπηέτησης του πελάτη C n xn x + x xn > x x n x Prob[ ] Prob[ ]
Αλυσίδες Marov συνεχούς χόνου (3) P () Prob[ πελάτες στο σύστημα τη χονική στιγμή ] για K, p li P ( ) Prob[ πελάτες στο σύστημα κάποια χονική στιγμή στο μέλλον] Κατανομή μόνιμης κατάστασης. Υπάχει, αν το σύστημα είναι σταθεό ( < ) Nόμος ισοοπίας της οής πιθανότητας Στη μόνιμη κατάσταση, ο «υθμός οής πιθανότητας» μιας αλυσίδας Marov από κάθε κατάσταση, είναι ίσος με το «υθμό οής πιθανότητας» πος την κατάσταση.
Αλυσίδες Marov Γεννήσεων Θανάτων () Αν το σύστημα βίσκεται στην κατάσταση j, τότε στην επόμενη αλλαγή κατάστασης θα βεθεί σε μια από τις καταστάσεις j ή j+. λ : υθμός αφίξεων όταν υπάχουν πελάτες στο σύστημα μ : υθμός εξυπηέτησης όταν υπάχουν πελάτες στο σύστημα Διάγαμμα καταστάσεων-υθμών μεταβάσεων
Αλυσίδες Marov Γεννήσεων Θανάτων (2) {Ρυθμός οής πιθανότητας από την κατάσταση } p ( λ + μ ) {Ρυθμός οής πιθανότητας πος την κατάσταση } p λ + p μ + + Με βάση το νόμο ισοοπίας οής p ( λ + μ ) p λ + p μ Για () + + Για p λ p μ (2)
Αλυσίδες Marov Γεννήσεων Θανάτων (3) Ισχύει πάντα ότι p (3) Λύνοντας τις εξισώσεις (), (2), (3), παίνουμε: p p λ i i μi+ p + λi μ i i+ (4) Η πααπάνω λύση υπάχει (δηλαδή, υπάχει μόνιμη κατάσταση), αν p >, δηλαδή αν ο παονομαστής της σχέσης (4) είναι μικότεος από. Για να ισχύει το τελευταίο, θα πέπει η ακολουθία λ μ να συγκλίνει, δηλαδή θα πέπει να υπάχει κάποιο τέτοιο ώστε: λ για όλα τα < μ
Αλυσίδες Marov Γεννήσεων Θανάτων (4) ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ Ο Νόμος διατήησης της οής εφαμόζεται και σε κάθε «σύνοο» της αλυσίδας Marov: 2 3 + : p λ p μ 2: p λ p 2 μ 2 : : p - λ - p μ Ίδια Αποτελέσματα
Αλυσίδες Marov Γεννήσεων Θανάτων (5) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μας δίνεται μια αλυσίδα Marov γεννήσεων θανάτων, η οποία έχει μόνο τεις καταστάσεις {,, 2}, ενώ ισχύει: λ λ για, και μ μ για, 2 λ λ 2 μ μ Διάγαμμα Καταστάσεων Ρυθμών Μεταβάσεων
Αλυσίδες Marov Γεννήσεων Θανάτων (6) Για την κατάσταση : Για την κατάσταση : Για την κατάσταση 2: p λ p μ p ( λ + μ) p λ + p p 2 μ p λ 2 μ p Από τις πααπάνω 3 σχέσεις, μόνο οι 2 είναι ανεξάτητες. Χησιμοποιούμε την p + p + p2 με 2 από τις πααπάνω, και παίνουμε την τελική λύση: + λ μ + ( λ μ) 2 Η αλυσίδα αυτή αντιστοιχεί στο σύστημα Μ/Μ//2. Γιατί; Στο σύστημα αυτό επιτέπεται λ/μ. Γιατί; 2 λ μ p ( λ μ) + λ μ + ( λ μ) 2 p2 + λ μ + ( λ μ) 2
Διαδικασίες Poisson Ειδική πείπτωση Γεννήσεων-Θανάτων (μόνο αφίξεις) μ κ για όλα τα λ κ λ για όλα τα Δεν είναι εγοδικό σύστημα. Όλες οι καταστάσεις μεταβατικές. Έστω το σύστημα ξεκινά τη στιγμή, άδειο. Δηλαδή: Ρ κ () κ κ Τη χονική στιγμή : () ( λ) λ Ρ e για, κ κ! Κατανομή Poisson Μέση Τιμή και Διακύμανση (αιθμού αφίξεων στο [, ] ), ίσα με λ. (αναμενόμενο). Δηλαδή, στο Μ/Μ/, ηδιαδικασίαμόνοτωναφίξεων, είναι Poisson,, κ
~ Poisson αφίξεις Εκθετικοί χόνοι μεταξύ αφίξεων ΤΜ για το χόνο μεταξύ αφίξεων, με PDF A() και pdf α() Poisson Α() Ρ[ ~ > ] Ρ () e -λ, (PDF Εκθετικής) Παάγωγος ως πος : α() λe -λ, (pdf Εκθετικής) λ λe -λ Μέση Τιμή: ~ Ε[ ] λ λ -e -λ (a) pdf (b) PDF Η εκθετική κατανομή
Ιδιότητα Αμνησίας της Εκθετικής Κατανομής Έστω ότι γίνεται μια άφιξη τη χονική στιγμή. Τώα, έστω ότι πέασαν δευτεόλεπτα κατά τη διάκεια των οποίων δεν έγινε άφιξη. Αν αυτή τη στιγμή ωτήσουμε «ποια είναι η πιθανότητα η επόμενη άφιξη να γίνει μετά από δευτεόλεπτα από τώα», η απάντηση θα είναι: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ > Ρ Ρ + Ρ > Ρ + < Ρ > + Ρ [ ] ( ) ( ) ( ) ~ ~ e e e λ λ λ + > + Ρ [ ] e λ > + Ρ ~ ~ [ ] [ ] Ρ > + Ρ ~ ~ ~
Σχέσεις
Το κλασικό Σύστημα Αναμονής Μ/Μ/ Εκθετική κατανομή της διαδικασίας των χόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων Εκθετική κατανομή των χόνων εξυπηέτησης Ένας εξυπηετητής Άπειο μήκος ουάς Αλυσίδα Marov Γεννήσεων Θανάτων Με τη συνηθισμένη πααδοχή ότι οι υθμοί αφίξεων και εξυπηέτησης δεν εξατώνται από την κατάσταση του συστήματος (αιθμός παόντων πελατών), ισχύει: λ λ για,, 2, K μ μ για, 2, 3, K
Το Σύστημα Αναμονής Μ/Μ/ (συνέχεια) Διάγαμμα καταστάσεων - υθμών μεταβάσεων για το σύστημα Μ/Μ/. Για τη λύση: p λ p μ p λ p 2 μ : και p - λ p μ : p
Λύση συστήματος Μ/Μ/ Χησιμοποίηση (G/G/): Συνθήκη σταθεότητας: λ x λ < < μ Από τη γενική λύση των διαδικασιών Γ-Θ (ή την ποσέγγιση της ποηγούμενης διαφάνειας): λ μ p ( για K ),, 2, Πειέχεται το: p
Λύση συστήματος Μ/Μ/ (συν) Τα p ακολουθούν τη Γεωμετική Κατανομή Εξατώνται από τα λ και μ, μόνο μέσω του λόγου τους p - Τα p στο σύστημα Μ/Μ/. 2 3 4 5
Μετικές απόδοσης στο Μ/Μ/ Μέσος αιθμός πελατών στο σύστημα N p ( ) ( ) 2 ( ) N
Μετικές απόδοσης στο Μ/Μ/ (συν.) Μέσοςχόνοςενόςπελάτηστοσύστημα (Response Tie) Με χήση του Νόμου του Lile: T N λ μ Τ /μ
Μετικές απόδοσης στο Μ/Μ/ (συν.) Μέσος χόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουά Μέσος αιθμός πελατών στην ουά Πιθανότητα να υπάχουν τουλάχιστον n πελάτες στο σύστημα Prob[ n ή πεισσότεοι πελάτες στο σύστημα] ) ( μ μ T x T W 2 N N q P (n) n n n n n n p P ) ( ) ( ) ( ) (
Το σύστημα αναμονής Μ/Μ/ ίδιοι εξυπηετητές Ο καθένας με υθμό εξυπηέτησης μ Τα υπόλοιπα χαακτηιστικά, ίδια με του M/M/ λ λ για,, 2, K μ μ μ για για
Το σύστημα αναμονής Μ/Μ/ (συν) Χησιμοποίηση Συνθήκη Σταθεότητας Λύση μόνιμης κατάστασης μ λ λ x p p p για! για! ) (! ) (! ) ( + p < < μ λ
Μετικές απόδοσης στο Μ/Μ/ Πιθανότητα να χειαστεί να πειμένει στην ουά ένας πελάτης: Π Prob[ ή πεισσότεοι πελάτες στο σύστημα] Π Μέσος αιθμός πελατών στο σύστημα )!( ) (!!! p p p p p + Π p N
Μετικές απόδοσης στο Μ/Μ/ (συν) Μέσοςχόνοςενόςπελάτηστοσύστημα(response ie) (Ν. Lile) Μέσος χόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουά Μέσος αιθμός πελατών στην ουά + ) ( μ λ Π N T ) ( μ μ Π T x T W Π N N q
Το σύστημα αναμονής Μ/Μ//Κ Ίδια χαακτηιστικά με το M/M/, αλλά πειοισμένη χωητικότητα σε πελάτες. Στο σύστημα μποούν να βίσκονται το πολύ Κ πελάτες (στην ουά και στον εξυπηετητή). Πελάτες που φθάνουν και βίσκουν γεμάτο το σύστημα, χάνονται. Οι υθμοί αφίξεων και εξυπηέτησης του Μ/Μ//Κ: λ λ για για K < K μ μ για για > K K
Το σύστημα αναμονής Μ/Μ//Κ (συν) Λύση συστήματος + αλλιώς για ) ( K p K μ λ μ λ μ λ K
Το σύστημα αναμονής Μ/Μ//Κ (συν) ΜΕΤΡΙΚΕΣ Μέσος αιθμός πελατών στο σύστημα Μέσος αιθμός πελατών στην ουά ) ( ) )( ( + + + K K K K p N μ λ μ λ μ λ μ λ 2 ) ( ) ( ) ( ) ( + + K K K q K p N μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ
Το σύστημα αναμονής Μ/Μ//Κ (συν) Παάδειγμα: Το μοντέλο μιας τηλεφωνικής συσκευής χωίς κάτηση κλήσεων (παλιό αναλογικό σύστημα): Μ/Μ// + λ μ λ μ + λ μ για για αλλιώς p : Πιθανότητα να μιλήσει, κάποιος που καλεί p : Πιθανότητα να βει κατειλημμένη τη συσκευή, κάποιος που καλεί λ : Μέσος υθμός με τον οποίο γίνονται κλήσεις στη συσκευή x μ p : Μέση χονική διάκεια μιας συνομιλίας