Ένα µονοδιάστατο εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους Α, περιόδου Τ και µήκους κύµατος λ, διαδίδεται κατά µήκος του άξονα x x. Στο σχήµα 1 απεικονίζεται ένα στιγµιότυπο του κύµατος την χρονική στιγµή t=t, όπου το x εκφράζει την απόσταση του µετώπου του κύµατος από την αρχή O του άξονα x x. i Nα δείξετε ότι η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το κύµα έχει την µορφή: yx,t = Aµ 2 t - t T - x - x µε t t + T x - x ii Αν τα στοιχεία λ και Τ του κύµατος είναι άγνωστα, αλλά γνωρίζου µε τα διαγράµµατα 1 και 2 που απεικονίζουν την κατανοµή των φάσεων των σηµείων του άξονα x x σε δύο χρονικές στιγµές που απέχουν µεταξύ τους κατά t * σχ. 2, να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. iii Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του κύµατος που αντιστοιχούν στις δύο αυτές κατανοµές φάσεων. ΛΥΣΗ: i Την στιγµή t=t το µέτωπο του κύµατος φθάνει στο σηµείο Μ x και το σηµείο αυτό αρχίζει να ταλαντεύεται έχοντας µηδενική αποµάκρυνση και θετική ταχύτητα, όπως εύκολα µπορεί να διαπυστωθεί από το αντίστοιχο Σχήµα 1 στιγµιότυπο του κύµατος. Άρα η εξίσωση που περιγράφει την ταλάντωση του σηµείου Μ έχει την µορφή: y = Aµ t - t M = Aµ 2 T t - t µε t t 1
Θεωρώντας ένα σηµείο Μ του άξονα διαδόσεως του κύµατος µε συντεταγµένη x>x *, µπορούµε να ισχυρισθούµε ότι η αποµάκρυνσή του yx,t την χρονική στιγµή t είναι ίδια µε την αποµάκρυνση του Μ την χρονική στιγµή t-x-x /v, δηλαδή ισχύει η σχέση: yx,t=aµ 2 T t - x-x v - t yx,t=aµ 2 t T - x-x vt - t T yx,t=aµ 2 t T - x-x - t yx,t=aµ 2 t-t T T - x-x 2 µε t t + T x - x ii Aς δεχθούµε ότι το διάγραµµα 1 κατανοµής των φάσεων των σηµείων του άξονα x x αντιστοιχεί στην χρονική στιγµή t 1 και το διάγραµµα 2 στην χρονι κή στιγµή t 2. Με βάση το διάγραµµα 1 θα έχουµε τις σχέσεις: Σχήµα 2 3 = 2 t -t 1 T - -x *,, + = 2 t -t 1 T - 6 -x, -, 3 2 = t 1 -t T + x t 1 -t T = 6 -x 3 2 = 6 -x + x = 6 = 4 3 Εξάλλου µε βάση το διάγραµµα 2 µπορούµε να γράψουµε την σχέση: 4 = 2 t -t 2 T - -x 2 = t -t 2 T + x 4 --------------------------- * Eάν x<x, τότε η αποµάκρυνση του Μ την χρονική στιγµή t θα είναι όση η αποµάκρυνση του σηµείου Μ την χρονική στιγµή t+x -x/v, δηλαδή θα κατα λήξουµε πάλι στην εξίσωση 2.
Αφαιρώντας από την 4 την 3 2 = t 1 -t T + x παίρνουµε: 2-3 2 = t 2 -t 1 T 1 2 = t * T T = 2t * 5 H ζητούµενη ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι: v = 3,5 T v = 4 2t * = 2 t * 6 iii H σχέση 2 την χρονική στιγµή t 1 δίνει: yx,t 1 =Aµ 2 t -t 1 T - x-x yx,t 1 =Aµ 2 6 -x - x-x * yx,t 1 =Aµ 2 6 4 - x =Aµ 3 - x 4 2 yx,t 1 =Aµ x µε x 6 7 2 Σχήµα 3 Εξάλλου η σχέση 2 την χρονική στιγµή t 2 δίνει: yx,t 2 =Aµ 2 t -t 2 T - x-x yx,t 2 =Aµ 2 8 -x - x-x * yx,t 2 =Aµ 2 8 4 - x 4 =Aµ 4 - x 2
yx,t 2 = - Aµ x µε x 8 8 2 Η γραφικές παραστάσεις των 7 και 8 αποτελούν τα ζητούµενα στιγµιότυπα του κύµατος σχήµα 3. P.M. fysikos Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα πλάτους Α και πε ριόδου Τ, διαδίδεται κατά µήκος ενός τεντωµένου ελαστικού νήµατος µεγάλου µήκους. H φάση φ των σηµείων του νήµατος κάποια συγ κεκριµένη χρονική στιγµή t µεταβάλλεται µε την συντεταγµένη τους x ως προς µια αρχή O, σύµφωνα µε την σχέση: 2 - x x = 1 2 µε x α όπου x θετική και σταθερή ποσότητα. i Nα γράψετε την κυµατοσυνάρτηση yx,t που περιγράφει το κύµα και να σχεδιάσετε το στιγµιότυπό του την χρονική στιγµή t. ii Να σχεδιάσετε το διάγραµµα της αποµάκρυνσης του σηµείου x του σχοινιού σε συνάρτηση µε τον χρόνο στην περίπτωση που ισχύει t =T, καθώς και το αντίστοιχο διάγραµµα της φάσεως του σηµείου αυτού. ΛΥΣΗ: i Η δοθείσα σχέση α µπορεί να πάρει την µορφή: 2 = x + 1 x 2 = 2 x + 1 µε x 1 x 2 Η γραφική παράσταση της 1 είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος 4, η οποία εκφράζει την κατανοµή των φάσεων των σηµείων του νήµατος την χρονική στιγµή t. Παρατηρούµε τα εξής: Σχήµα 4 Σχήµα 5 α. Η φάση του κύµατος την στιγµή t αυξάνεται µε την απόσταση x, που σηµαί νει ότι η φορά διάδοσής του είναι αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα x x.
β. Το µέτωπο του κύµατος φθάνει την στιγµή t στην αρχή Ο του άξονα διάδο σης x x, η οποία αρχίζει να δονείται έχοντας αποµάκρυνση µηδέν και ταχύτητα ταλάντωσης αρνητική, αφού η αντίστοιχη φάση της είναι π. Τα παραπάνω µας επιτρέπουν να ισχυριστούµε ότι το στιγµιότυπο του κύµατος την χρονική στιγµή t έχει την µορφή του σχήµατος 5 η δε εξίσωση κίνησης της αρχής Ο, δηλαδή η εξίσωση που δίνει την αποµάκρυνση του Ο σε συνάρτη ση µε τον χρόνο t θα έχει την µορφή: [ ] = Aµ 2 y O = Aµ t - t + *, + t - t T + 1 - / µε t t 2 2. Θεωρώντας ένα σηµείο Μ του άξονα διάδοσης µε συντεταγµένη x>*, µπο ρούµε να ισχυρισθούµε ότι η αποµάκρυνσή του yx,t την χρονική στιγµή t είναι ίδια µε την αποµάκρυνση του Ο την χρονική στιγµή t+x/v, διότι το Μ άρχισε να ταλαντεύεται πριν από χρόνο x/v σε σχέση µε το Ο, δηλα δή θα έχουµε: t + x/v yt,x = Aµ 2 - t T T + 1, +. = Aµ 2 t - t * 2- T + x Tv + 1 2 yt,x = Aµ 2 t - t T + x + 1 3 2 Η 3 αποτελεί την κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την διάδοση του αρµονικού κύµατος, µε µήκος κύµατος λ. Το πεδίο ορισµού της συνάρτη σης αυτής θα προκύψει µε βάση τον συλλογισµό ότι η φάση της αποµά κρυνσης στα σηµεία όπου έχει φθάσει το κύµα είναι µεγαλύτερη ή ίση του π, οπότε θα έχουµε: 2 t - t T + x + 1 t - t 2 T + x t t - Tx Εξάλλου την χρονική στιγµή t η κατανοµή των φάσεων στα σηµεία που έχει φθάσει το κύµα εκφράζεται από τις σχέσεις: t,x = 2 t - t T + x + 1 *, 2, + t,x = 2 x + 1, x 2 -, = x --------------------------- * Eάν x< τότε η αποµάκρυνση του Μ την χρονική στιγµή t θα είναι όση η αποµάκρυνση του σηµείου O την χρονική στιγµή t- x /v ή t+x/v, δηλαδή θα καταλήξουµε πάλι στην εξίσωση 3.
Έτσι η 3 γράφεται: yt,x = Aµ 2 t - t T + x + 1 µε t t x 2 - Tx 4 Το στιγµιότυπο του κύµατος την χρονική στιγµή t=t είναι η γραφική πα ράσταση της 4 για t=t, δηλαδή το στιγµιότυπο αυτό αντιστοιχεί στην συνάρτηση: yt,x = Aµ 2 x + 1 = Aµ 2x + x 2 x yt,x = -Aµ 2x µε x 5 x Η γραφική παράσταση της 5 φαίνεται στο σχήµα 5. ii Η κυµατοσυνάρτηση 4 για x=x και T=t δίνει: yt,x = Aµ 2 t - t + x + 1 = Aµ 2 t + 1 t x 2 t 2 yt,x = Aµ 2t + = -Aµ 2t µε t t t 6 t Σχήµα 6 Σχήµα 7 Το διάγραµµα της 6 φαίνεται στο σχήµα 6. Εξάλλου η φάση φt,x της απο µάκρυνσης του σηµείου x στην περίπτωση που ισχύει t =T µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: t,x = 2 t + 1 µε t t t 2 7 Η γραφική παράσταση της 7 είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος 7. P.M. fysikos
Κατά µήκος µιας τεντωµένης χορδής διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα. Η αποµάκρυνση ενός σηµείου Μ 1 της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση: y 1 = Aµ 3t S.Ι. ενώ η αποµάκρυνση ενός άλλου σηµείου Μ 2 της χορδής, που βρίσκε ται δεξιά του Μ 1 σε απόσταση d=6 cm, περιγράφεται από την εξίσω ση: y 2 = Aµ 3t + /6 S.I. i Εάν η απόσταση d είναι µικρότερη από το µήκος κύµατος λ του κύµατος, να βρεθεί η φορά διάδοσης του κύµατος. ii Να βρεθεί η εξίσωση ενός άλλου κύµατος που πρέπει να διαδί δεται κατά µήκος της χορδής ταυτόχρονα µε το αρχικό, ώστε η συµ βολή των δύο κυµάτων να δίνει επί της χορδής στάσιµο κύµα. ΛΥΣΗ: i Ας δεχθούµε ότι η φορά διαδόσεως του αρµονικού κύµατος είναι από το σηµείο Μ 1 προς το Μ 2. Τότε η απόµακρυνση y 2 του Μ 2 κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t θα είναι ίση µε την αποµάκρυνση του Μ 1 κατά την χρονική στιγµή t-d/v, όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του κύµατος. Έτσι θα έχουµε την σχέση: Σχήµα 8 y 2 = Aµ 3 t - d, +. = Aµ 2 15t - 15Td * v - / y 2 = Aµ 2 15t - d 1 όπου στο S.I. ισχύει για την περίοδο Τ του κύµατος η σχέση 15Τ=1. Όµως συµ φωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε για την αποµάκρυνση y 2 και την σχέση: y 2 = Aµ 3t + 1 6 Aµ 2 15t - d = Aµ 3t + 6
2 15t- d =3t+ 6 +2k 2 15t- d =- 3t+ 6 +2k * 15t- d =15t+ 1 12 +k 15t- d = 1 2-15t- 1 12 +k - d = 1 12 +k 3t- d = 5 12 +k d =- 1 12 -k 3t- d - 5 12 =k 2 όπου k ακέραιος. Όµως η δεύτερη εκ των σχέσεων 2 δεν µπορεί να ισχύει για κάθε τιµή του χρόνου, οπότε απορρίπτεται και εποµένως τα µεγέθη d και λ πρέπει να ικανοποιούν την πρώτη εκ των σχέσεων 2. Όµως για τα µεγέθη αυτά δίνεται ότι: < d < 1 2 < - 1 12 - k < 1-13 12 < k < - 1 12 k = -1 Άρα d/λ=11/12, δηλαδή λ=12d/11= 72/11 cm. Aν λοιπόν το µήκος κύµατος του αρµονικού κύµατος είναι λ=72/11 cm, τότε η φορά διάδοσής του είναι από το Μ 1 προς το Μ 2. Πρέπει όµως να εξετάσουµε αν είναι δυνατη και η φορά διάδο σης του κύµατος από το σηµείο Μ 2 προς το Μ 1 σχ. 9. Στην περίπτωση αυτή η απόµακ ρυνση y ι του Μ 1 κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t θα είναι ίση µε την αποµάκρυνση του Μ 2 κατά την χρονική στιγµή t-d/v, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: Σχήµα 9 y 1 = Aµ 3 t - d +, +. = Aµ 2 15t - 15Td * v 6- vt + 1 12 y 1 = Aµ 2 15t - 15Td + 1 = Aµ 2 15t - d 12 + 1 3 12 Όµως για την αποµάκρυνση y 1 έχουµε και την σχέση:
3 y 1 = Aµ 2 15t Aµ 2 15t - d + 1 = Aµ 2 15t 12 2 15t- d + 1 12 2 15t- d + 1 12 =2 15t +2k =-2 15t +2k * - d + 1 12 =k 3t- d + 1 12-1 2 =k d =-k+ 1 12 3t- d - 5 12 =k 4 όπου k ακέραιος. Όµως η δεύτερη εκ των σχέσεων 4 δεν µπορεί να ισχύει για κάθε τιµή του χρόνου, οπότε απορρίπτεται και εποµένως τα µεγέθη d και λ πρέ πει να ικανοποιούν την πρώτη σχέση. Όµως για τα µεγέθη αυτά δίνεται ότι: < d < 1 4 < -k + 1 12 < 1-11 12 < k < 1 12 k = Άρα d/λ=1/12, δηλαδή λ=12d=72 cm. Aν λοιπόν το µήκος κύµατος του αρµονι κού κύµατος είναι λ=72 cm η φορά διάδοσής του είναι από το Μ 2 προς το Μ 1. ii Στην περίπτωση που το µήκος κύµατος είναι λ=72/11 cm και λάβουµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων πάνω στην χορδή το σηµείο Μ 1, τότε η κυµα τοσυνάρτηση που περιγράφει την διάδοση του κύµατος θα έχει την µορφή: yt,x = Aµ 2 15t - 11x S.I. 72 οπότε η αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση του κύµατος που η συµβολή του µε το αρχικό δίνει επί της χορδής στάσιµο κύµα, θα έχει την µορφή: yt,x = Aµ 2 15t + 11x S.I. 72 Στην περίπτωση όµως που το µήκος κύµατος είναι λ=72 cm και λάβουµε πάλι ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων το σηµείο Μ 1, τότε η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το κύµα θα έχει την µορφή: yt,x = Aµ 2 15t + x S.I. 72
η δε αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση του κύµατος που η συµβολή του µε το αρχι κό δίνει πάνω στην χορδή στάσιµο κύµα, θα έχει την µορφή: yt,x = Aµ 2 15t - x S.I. 72 P.M. fysikos Δύο σηµεία O 1, O 2 της ελεύθερης επιφάνειας νε ρού που ηρεµεί, αποτελούν σύγχρονες πηγές αρµονικών κυµάτων. Tα κύµατα αυτά θεωρούνται εγκάρσια µε κοινό σταθερό πλάτος A, η δε περίοδός τους είναι Τ. Θεωρούµε ακόµη ότι κατά την έναρξη ταλάν τωσης των δύο πηγών t=, αυτές έχουν µηδενική αρχική φάση. i Nα βρείτε την εξίσωση κίνησης ένος σηµείου Μ της επιφάνειας του νερού που βρίσκεται στην µεσοκάθετη της ευθείας Ο 1 Ο 2, του οποίου η φάση αποµάκρυνσης υστερεί της αντίστοιχης φάσεως των δύο πηγών κατα 8π. ii Έαν στο σηµείο Μ βρίσκεται µικρό τεµάχιο φελλού, να βρείτε κα τά ποιες χρονικές στιγµές η κινητική του ενέργεια αποβαίνει µέγιστη. ΛΥΣΗ: i Επειδή η αρχική φάση της αποµάκρυνσης των πηγών Ο 1, Ο 2 είναι µηδενική, η εξίσωση κινησής τους έχει την µορφή: y =Aµ 2t/ 1 Όταν αρχίσει στο σηµείο Μ η συµβολή των δύο κυµάτων που παράγουν οι πηγές, αυτό θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση περιόδου Τ, η οποία περιγράφεται από την σχέση: Σχήµα 1 y M = 2A r - r +,µ2 t * T - r + r + 2 *
y M = 2Aµ2 t T - r µε t r / v ή t rt / 2 όπου r η απόσταση του Μ από τις δύο πηγές, λ το µήκος κύµατος των δύο κυµάτων που παράγουν και v η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων. Όµως σύµ φωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η φάση αποµάκρυνσης του σηµείου Μ υστερεί της αντίστοιχης φάσεως των πηγών κατα 8π, δηλαδή ισχύει: 2t T - 2 t T - r = 8 r = 4 οπότε η σχέση 2 γράφεται: y M = 2Aµ2 t T - 4 µε t 4T 3 ii H κινητική ενέργεια του φελλού που βρίσκεται στην θέση Μ γίνεται µέγι στη κατά τις χρονικές στιγµές που το µέτρο της ταχύτητας ταλάντωσής του γίνεται µέγιστο. Όµως για την αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του φελλού ισχύ ει η σχέση: V = 2A 2 T 2 t T - 4 + = 4A * T 2 t T - 4 + * Άρα η κινητική ενέργεια του φελλού γίνεται µέγιστη όταν: 2 t T - 4 * = ± 1 2 t T - 4 = k t T = k 2 + 4 4 όπου k ακέραιος. Όµως ο χρόνος t δεσµεύεται µε την σχέση t/t 4, οπότε η 4 δίνει: k + 4 4 k k=, 1, 2, 3, 2 Άρα οι ζητούµενες χρονικές στιγµές είναι: 8T 2, 9T 2, 1T 2, 11T 2,. P.M. Fysikos Δύο σηµεία O 1, O 2 της ελεύθερης επιφάνειας νε ρού που ηρεµεί, αποτελούν σύγχρονες πηγές αρµονικών κυµάτων η δε µεταξύ τους απόσταση είναι 1λ, όπου λ το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν στην επιφάνεια του νερού. Tα κύµατα αυτά θεωρούνται εγκάρσια µε κοινό σταθερό πλάτος A και συχνότητα f. Θεωρούµε ακόµη ότι κατά την έναρξη ταλάντωσης των δύο πηγών
t=, αυτές βρίσκονται στις θέσεις ισορροπίας τους και οι ταχύτητές τους είναι θετικές. Ένα σηµείο Μ της επιφάνειας του νερού, που βρίσκεται πάνω στον πλησιέστερο προς το µέσον Ο της απόστασης των δύο πηγών κροσσό ενίσχυσης, έχει εξίσωση κίνησης της µορφής: y M = 2Aµ 2ft - 1 α Nα βρείτε τις αποστάσεις του σηµείου Μ από τις δύο πηγές. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ως πλησιέστερο προς το µέσον Ο των δύο πηγών κροσσό ενισχυτικής συµβολής των κυµάτων που παραγουν οι πηγές τον ευρικόµενο αριστερά του Ο σχ. 11. Επειδή το Μ βρίσκεται σε κροσσό ενίσχυσης, το πλάτος της εγκάρσιας αρµονικής ταλάντωσης που εκτελεί, λόγω συµβολής των δύο κυ Σχήµα 11 µάτων που φθάνουν σ αυτό είναι 2Α, η δε εξίσωση κίνησής του έχει την µορ φή: y M = 2Aµ2 t T - r 1 + r 2 * = 2Aµ 2ft - 2 r 1 + r 2 -, / 1 +. µε t max r 1 v, r 2 ή t max r 1 v f, r 2 f όπου Τ η περίοδος και v η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυµάτων. Συνδυάζοντας την 1 µε την δεδοµένη εξίσωση κίνησης α του Μ, παίρνουµε: * 2Aµ 2ft - 2 r 1 + r 2 -, / = 2Aµ 2ft - 1 +. 2ft-2 r +r 1 2 =2ft-1+2k 2ft-2 r +r 1 2 =- 2ft-1 +2k *
- r +r 1 2 =-5+k 2ft- r +r 1 2 = 1 2 +5+k * r 1 +r 2 =5-k 2ft- r +r 1 2-7 2 =k * 2 όπου k ακέραιος. Η δεύτερη από τις σχέσεις 2 απορρίπτεται, διότι δεν µπορεί να ισχύει για κάθε επιτρεπτή τιµή του χρόνου t, οπότε οι ζητούµενες αποστά σεις r 1, r 2 θα ικανοποιούν την σχέση: r 1 + r 2 = 5 - k 3 Εξάλλου οι αποστάσεις r 1, r 2 δεσµευόνται µε την γεωµετρική σχέση r 1 +r 2 >O 1 O 2 ή r 1 +r 2 >1λ, η οποία συνδυάζοµενη µε την 3 γράφεται: 5 - k > 1 k < -5 k=-6, -7, -8,. Δηλαδη θα έχουµε: r 1 + r 2 = 11, 12, 13,... 4 Επειδή το σηµείο Μ βρίσκεται επί του πλησιέστερου προς το Ο κροσσού ενίσχυ σης, οι αποστάσεις r 1, r 2 δεσµεύονται και µε την σχέση: r 1 - r 2 = r 1 - r 2 = ± 5 Οι σχέσεις 4 και 5 αποτελούν συστήµατα, από την λύση των οποίων υπολογί ζονται οι αποστάσεις r 1, r 2. P.M. fysikos Κατά µήκος µιας τεντωµένης χορδής x x διαδίδον ται δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα 1 και 2 του ίδιου πλάτους Α, του ίδιου µήκους κύµατος λ και της ίδιας περιόδου Τ. Στο σχήµα 12 αποδίδονται τα στιγµιότυπα των δύο κυµάτων την στιγµή t=. i Να δείξετε ότι κατά µήκος της χορδής σχηµατίζεται στάσιµο κύµα. ii Θεωρούµε δύο σηµεία Κ και Λ της χορδής που είναι συµµετρικά της αρχής Ο σε απόσταση 2λ µεταξύ τους. Να σχεδιάσετε τα στιγµιό τυπα του στασιµου κύµατος µεταξύ των Κ και Λ κατά τις χρονικές στιγµές t=t και t=3t/2. iii Εάν µεταβληθούν οι αρχικές φάσεις των δύο κυµάτων και οι περί οδοι τους, ενώ η θέση και η στιγµή συνάντησής τους παµείνουν ίδιες, ποια πρέπει να είναι η εξίσωση του νέου στάσιµου κύµατος, ώστε τα
σηµεία K και Λ να είναι δεσµοί και µεταξύ αυτών να σχηµατίζεται µία επιπλέον κοιλία σε σχέση µε την προηγούµενη κατάσταση; ΛΥΣΗ: i Το σηµείο Ο της χορδής, λόγω του αρµονικού κύµατος 1 που διαδί δεται κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα x x εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε µηδενική αρχική φάση, περιγράφεται δε από την σχέση: y O 1 = Aµ 2t 1 T Θεωρώντας ένα σηµείο Μ της χορδής µε συντεταγµένη x, παρατηρούµε ότι η αποµάκρυνσή του y 1 κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, λόγω του κύµατος 1, είναι ίση µε την αντίστοιχη αποµάκρυνση του O την χρονική στιγµή t-x/v, όπου v η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος, δηλαδή ισχύει: y 1 = Aµ 2 T t - x + * v, - = Aµ2 t T - x 2 Σχήµα 12 Εξάλλου το σηµείο Ο, λόγω του αρµονικού κύµατος 2 που διαδίδεται κατά την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x x εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε αρχι κή φάση π, περιγράφεται δε από την σχέση: y O 2 = Aµ 2t T + 3 Λόγω του κύµατος αυτού το σηµείο Μ θα έχει την χρονική στιγµή t αποµάκ ρυνση y 2 ίση µε την αντίστοιχη αποµάκρυνση του O την χρονική στιγµή t+x/v, δηλαδή θα ισχύει: y 2 = Aµ 2 T t + x + * + v, - = Aµ2 t T + x + 1 2 4 Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας η ολική αποµάκρυνση y ολ του σηµείου M, λόγω της συµβολής των δύο κυµάτων θα είναι ίση µε y 1 +y 2, δηλαδή θα ισ χύει: 2,4 y = y 1 +y 2 y = Aµ2 t T - x + Aµ2 t T + x + 1 2
y = A µ2 t T - x +µ2 t T + x + 1 * 2, 5 + Xρησιµοποιώντας την Tριγωνοµετρική ταυτότητα: µ + µ= 2 - + µ 2 2 η 5 γράφεται: y = 2A 2x + µ 2t 2 T + 2 y = 2Aµ 2x 2t µε - t T T x t T 6 H σχέση 6 αποτελεί την κυµατοσυνάρτηση ενός στάσιµου κύµατος, το οποίο στην θέση x= παρουσιάζει δεσµό, διότι το πλάτος ταλάντωσης του O είναι µη δέν, αφού για το σηµείο αυτό ισχύει ηµ2πx/λ=. ii Eάν θεωρήσουµε επί της χορδής δύο σηµεία Κ και Λ συµµετρικά του O σε απόσταση 2λ µεταξύ τους, τα σηµεία αυτά θα έχουν συντεταγµένες -λ και λ αντιστοίχως, οπότε το πλάτος ταλάντωσής τους θα είναι µηδενικό, όπως εύκο λα προκύπτει από την εξίσωση πλάτους A =2A µ2x/ του στάσιµου κύ µατος, δηλαδή τα σηµεία αυτά θα αποτελούν δεσµούς του στάσιµου κύµατος, ενώ θα υπάρχουν συνολικά πέντε δεσµοί και τέσσερις κοιλίες µεταξύ των Κ και Λ. Eξάλλου η σχέση 6 δίνει: Για t=t: y = 2Aµ 2x µε - x + Για t=3t2: y = -2Aµ 2x µε - x + Σχήµα 13 Στο σχήµα 13 φαίνονται τα στιγµιότυπα του στασίµου κύµατος κατά τις χρονι κές στιγµές T και 3T/2.
iii Eάν απαιτήσουµε να σχηµατίζεται µεταξύ των σηµείων Κ και Λ µία επι πλέον κοιλία, δηλαδη συνολικά πέντε κοιλίες και τα σηµεία αυτά να εξακο λουθούν να είναι δεσµοί του νέου στάσιµου κύµατος, τότε πρέπει να µεταβλη θούν οι αρχικές φάσεις των δύο κυµάτων την στιγµή της συνάντησής τους t= στο Ο αλλά και η περίοδός τους, ώστε το Ο να είναι αναγκαστικά κοιλία του στάσιµου κύµατος σχ. 14, που σηµαίνει ότι τα δύο κύµατα πρέπει να έχουν µηδενικές αρχικές φάσεις στο Ο. Η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το νέο στάσιµο κύµα µπορεί να πάρει την µορφή: y = 2A 2x + µ 2t T + 7 όπου λ το µήκος κύµατος και Τ η περίοδος των δύο νέων κυµάτων που η συµβολή τους δίνει το στάσιµο κύµα και φ, θ σταθερές ποσότητες που πρέπει να προσδιορισθούν. Για x=λ /4 ισχύει κάθε στιγµή y ολ =, οπότε η 7 δίνει: Σχήµα 14 = 2A 2 4 + = 2 + 2 + = 2 = Eξάλλου για x= και t=t /4 είναι y ολ =2Α, αφού το Ο είναι κοιλία, οπότε στην περί πτωση αυτή η 7 δίνει: 2A = 2A µ 2t T T 4 + µ 2 + = 1 2 + = 2 = Έτσι η 7 παίρνει την µορφή: y = 2A 2x µ 2t T µε t T x t T 8 Όµως έχουµε:
και K = 4 / 2 = 5/2 = 4 / 5 v = /T= / T T= T / = 4T/5 οπότε η 8 γράφεται: y = 2A 5x µ 5t µε t 2 2T T x t T 9 P.M. fysikos Κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσου δια δίδονται κατ αντίθετη φορά δύο αρµονικά κύµατα πλάτους Α, περιόδου T και µήκους κύµατος λ. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου τα δύο κύµατα συναντώνται σε σηµείο Ο του ελαστικού µέσου, κάθε δε κύµα έχει µηδενική αρχική φάση στο σηµείο αυτό. i Λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων το σηµείο Ο, να βρείτε την κύµατοσυνάρτηση που περιγράφει το κύµα που προκύπτει από την συµβολή των δύο κυµάτων. ii Να δείξετε ότι υπάρχουν σηµεία του ελαστικού µέσου που παρα µένουν συνεχώς ακίνητα και να καθορίσετε το πλήθος τους την χρονι κή στιγµή 2Τ. iii Nα σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του συνιστάµενου κύµατος πάνω σε ένα τµήµα ΜΝ του ελαστικού µέσου που έχει µέσο το σηµείο Ο και µήκος ίσο µε λ, κατά τις χρονικές στιγµές t=3t/4, t=t και t=5t/4. ΛYΣH: i Επειδή την στιγµή της αφίξεως t= των δύο κυµάτων στο Ο η φά ση κάθε κύµατος είναι µηδενική τα αντίστοιχα στιγµιότυπά τους θα έχουν την µορφή του σχήµατος 15, µπορούµε δε να ισχυριστούµε ότι η εξίσωση ταλάντω σης του O εξ αιτίας του κάθε κύµατος, έχει την µορφή: y O = Aηµωt 1 Σχήµα 15 µε ω=2π/τ. Θεωρούµε ένα σηµείο M του γραµµικού µέσου διαδόσεως των δύο κυµάτων, του οποίου η συντεταγµένη ως προς το σηµείο συνάντησής τους O είναι x. Η αποµάκρυνση y 1 του M την τυχαία χρονική στιγµή t, λόγω του κύµα
τος 1 που οδεύει προς την θετική κατεύθυνση του άξονα x x, είναι ίση µε την αντίστοιχη αποµάκρυνση του O την χρονική στιγµή t-x/v, όπου v η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος, δηλαδή ισχύει: y 1 = Aµ t - x v = Aµ2 t T - x 2 Eξάλλου, το κύµα που οδεύει αντίρροπα προς την θετική κατεύθυνση του άξονα x x θέτει σε ταλάντωση πρώτα το σηµείο M και µετά από χρόνο x/v το σηµείο O, που σηµαίνει ότι η αποµάκρυνση y 2 του M λόγω του κύµατος αυτού την χρονική στιγµή t είναι ίση µε την αντίστοιχη αποµάκρυνση του O την χρονική στιγµή t+x/v, δηλαδή ισχύει: y 2 = Aµ t + x v = Aµ2 t T + x 3 Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας η ολική αποµάκρυνση y ολ του σηµείου M, λόγω της συµβολής των δύο κυµάτων θα είναι ίση µε y 1 +y 2, δηλαδή θα ισ χύει: 2,3 y = y 1 +y 2 y = Aµ2 t T - x + Aµ2 t T + x y = A µ2 t T - x +µ2 t T + x *, 4 + Xρησιµοποιώντας την Tριγωνοµετρική ταυτότητα: µ + µ= 2 - + µ 2 2 η 4 γράφεται: y = 2A 2x µ 2t T t µε - T x t T 5 H σχέση 5 αποτελεί την κυµατοσυνάρτηση ενός στάσιµου κύµατος, το οποίο στην θέση x= παρουσιάζει κοιλία, διότι το πλάτος ταλάντωσης του O είναι 2Α, αφού για το σηµείο αυτό ισχύει συν2πx/λ=1. ii Tα σηµεία του γραµµικού µέσου που συνεχώς είναι ακίνητα αποτελούν τους δεσµούς του στάσιµου κύµατος, καθορίζονται δε από την σχέση: 2x = 2x = k+ 2 x = 2 k + 1 6 2 όπου k ακέραιος. Όµως ισχύει -λt/t x λt/t, οπότε λόγω της 6 θα έχουµε:
-t T 2 k + 1 t 2 T -2t T k + 1 2 2t T η οποία για t=2t δίνει: -4 k + 1 2 4-9 2 k 7 2 k = -4, -3, -2, -1,, 1, 2, 3 που σηµαίνει ότι την χρονική στιγµή t=2t θα έχουν σχηµατιστεί οκτώ δεσµοί. iii Σύµφωνα µε τα προηγούµενα πάνω σε µήκος KΛ=λ θα υπάρχουν δύο µόνο δεσµοί µεταξύ των Κ και Λ, οι οποίοι θα ευρίσκονται εκατέρωθεν του O σε από σταση λ/4 από αυτό. Eξάλλου τα σηµεία Κ και Λ θα έχουν συντεταγµένες -λ/2 και λ/2 αντιστοίχως, οπότε το πλάτος ταλάντωσής τους θα είναι 2Α, όπως εύκολα προκύπτει από την εξίσωση πλάτους A = 2A 2x/ του στάσι µου κύµατος. Eξάλλου η σχέση 5 δίνει: Για t=3t/4: y = - 2A 2x µε - 2 x + 2 Για t=t: y = µε - 2 x + 2 Για t=5t/4: y = 2A 2x µε - 2 x + 2 Σχήµα 16 Στο σχήµα 16 φαίνονται τα στιγµιότυπα του συνιστάµενου κύµατος στασίµου κύµατος κατά τις χρονικές στιγµές 3T/4, T, 5T/4. P.M. fysikos