HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/03/2017 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/21/2017 1 1 3/21/2017 2 ιµελής σχέση ιµελής σχέση Έστω A, Bοποιαδήποτε σύνολα. Μίαδιµελής σχέση Rαπό το Aστο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Το (a, b) R σηµαίνει ότι «το a σχετίζεται µέσω της R µε το b» Επίσης γράφεται ως arb ή ως R(a,b) Π.χ.,έστω η σχέση ΚατοικείΣτηνΠόληη οποία ορίζεται ως ένα υποσύνολο του A B όπου Α το σύνολο των ανθρώπων και Β το σύνολο των πόλεων. Αντώνης ΚατοικείΣτηνΠόλη Ηράκλειο (Αντώνης, Ηράκλειο) ΚατοικείΣτηνΠόλη ΚατοικείΣτηνΠόλη(Αντώνης, Ηράκλειο) 3/21/2017 3 Κι άλλο παράδειγμα: A = {Κώστας, Νίκος, Μαρία, Πάνος} Β = {Μακαρόνια, Μπριζόλες, Όσπρια, Σαλάτες} Σχέση Προτιμάει_το_φαγητό = {(Κώστας,Μπριζόλες), (Νίκος,Σαλάτες), (Μαρία,Όσπρια), (Πάνος, Σαλάτες)} 3/21/2017 4 1
n-µελείς σχέσεις Μία n-µελήςσχέση Rστα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Αυτή είναι µία προφανής γενίκευση της διµελούς σχέσης. 3-µελείςσχέσεις, παραδείγµατα: Το a είναι µεταξύ του b και του c Ο a έδωσε το b στον c n-µελείς σχέσεις Μία n-µελήςσχέση Rστα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Τα σύνολα A i ονοµάζονταιπεδίατης R. Ο βαθµόςτης Rείναι n. 3/21/2017 5 3/21/2017 6 Συµπληρωµατικές σχέσεις Έστω R:A, B µία διµελής σχέση. Τότε, R:A B, το συµπλήρωµα της R, είναι η διµελής σχέση που ορίζεται από R: {(a,b) A B (a,b) R}=(A B) R Το συµπλήρωµα της R είναι το R. Παράδειγµα: < = {(a,b) (a,b) <} = {(a,b) (a<b)} = Αντίστροφες σχέσεις Κάθε διµελής σχέση R:A B έχει µία αντίστροφη σχέση R 1 :B A, που ορίζεται ως R 1 : {(b,a) (a,b) R}. Π.χ., < 1 = {(b,a) a<b} = {(b,a) b>a} = > Άλλο παράδειγµα: Εάν η R Άνθρωποι x Tροφή ορίζεται από a R b aτρώει την b, τότε: b R 1 a bτρώγεται από τον a. (παθητική φωνή) 3/21/2017 7 3/21/2017 8 2
Σχέσεις και πράξεις συνόλων Εφόσον οι διµελείς σχέσεις είναι σύνολα από διατεταγµένα ζεύγη, οι έννοιες της τοµής ένωσης διαφοράς συµµετρικής διαφοράς σχέσεων είναι αυτές που γνωρίζουµε ήδη από τη θεωρία συνόλων. Σχέσεις επί συνόλου Μία (διµελής) σχέση από ένα σύνολο A στονεαυτό του ονοµάζεται σχέσηεπί του συνόλου A.Άρα, µίαδιµελήςσχέση Rεπί του A ορίζεται ως R A A. Π.χ., η σχέση < µπορεί να είναι µία σχέση επίτου συνόλουτων πραγµατικών αριθµών. 3/21/2017 9 3/21/2017 10 Μία σχέση R επί του A είναι ανακλαστική εάν και µόνο αν a A(aRa). Π.χ., η σχέση : {(a,b) a b} είναι ανακλαστική. Η R είναι µη-ανακλαστική εάν και µόνο αν a A( (ara)) Σηµειώστε τη διαφορά µεταξύ µιας σχέσης που είναι µη ανακλαστική ( a A( (ara))) από µία σχέση που απλά δεν είναι ανακλαστική ( ( a A(aRa)), δηλαδή, a A (αra). Είναι η σχέση ανακλαστική; 3/21/2017 11 3/21/2017 12 3
Είναι η σχέση ανακλαστική; Όχι, γιατί δεν ισχύει ότι a A(aRa) Είναι η σχέση µη ανακλαστική; 3/21/2017 13 3/21/2017 14 Είναι η σχέση µη ανακλαστική; Όχι, γιατί δεν ισχύει ότι a A( (ara)) Π.χ. (Γ,Γ) R Ανακλαστική ιδιότητα Θεώρηµα:Μία σχέση Rείναιµη ανακλαστικήεάν και µόνο ανη συµπληρωµατική της σχέση είναι ανακλαστική. Παράδειγµα: η < είναι µη ανακλαστική. Η είναι ανακλαστική. Απόδειξη:. 3/21/2017 15 3/21/2017 16 4
Μερικά παραδείγµατα Μπορείτε να σκεφτείτε Ανακλαστικές σχέσεις Μη ανακλαστικές σχέσεις...που να έχουν να κάνουν µε αριθµούς, προτάσεις, ή σύνολα; Ανακλαστικές:,,,, κλπ. Μη ανακλαστικές: <, >,, κλπ. 3/21/2017 17 3/21/2017 18 Συµµετρική / ασσύµετρη διµελής σχέση Μία διµελής σχέση R επί ενός συνόλου A είναι συµµετρική εάν και µόνο αν a,b ((a, b) R (b, a) R). Π.χ., η = (ισότητα) είναι συµµετρική. Η < δεν είναι συµµετρική. Η είναι παντρεµένος µε είναι συµµετρική Η Συµπαθεί δεν είναι συµµετρική. Μία διµελής σχέση R είναι ασύµµετρη εάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R). Π.χ.: Η < είναι ασύµµετρη, Η Συµπαθεί δεν είναι, κατ ανάγκη, ασύµµετρη. Τι ισχύει για την Θαυµάζει={(Γ, Μ), (Β, Μ), (Γ, Γ)}; Συµµετρική ιδιότητα / ασσύµετρη διµελής σχέση Μία διµελής σχέση Rείναιασύµµετρηεάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R). Τι ισχύει για την Θαυµάζει={(Γ, Μ), (Β, Μ), (Γ,Γ)}; εν είναι ασύµµετρη εξαιτίας τουότι (Γ,Γ) Θαυµάζει 3/21/2017 19 3/21/2017 20 5
Μερικές άµεσες συνέπειες Συµµετρική ιδιότητα Θεωρήµατα: 1. Η R είναι συµµετρική αν και µόνο αν R = R 1, 2. Η R είναι ασύµµετρη αν και µόνο άνη R R 1 είναι κενή. 3/21/2017 21 1. Η R είναι συµµετρική αν και µόνο αν R = R 1 Ευθύ: Έστω ότι η R είναι συµµετρική. Τότε (x,y) R (y,x) R (x,y) R 1 Αντίστροφο:Έστωότι R = R 1. Τότε, (x,y) R (x,y) R 1 (y,x) R 3/21/2017 22 Συµµετρική ιδιότητα 2. Η R είναι ασύµµετρη αν και µόνο ανη R R 1 = ø. Ευθύ: Έστω ότι η R είναι ασύµµετρη. Τότε a,b((a,b) R (b,a) R). Εποµένως, a,b((a,b) R (a,b) R 1 ). Τότε όµως, R R 1 =ø. Αντίστροφο: Έστω ότι η R R 1 = ø. Τότε a,bµε (a,b) R ισχύει ότι (a,b) R 1. Τότε όµως, (b,a) R. Άρα, a,b((a,b) R (b,a) R) και εποµένως η R είναι ασύµµετρη. 3/21/2017 23 ΕΡΩΤΗΣΗ:Μπορείτε να βρείτε ένα σύνολο A και µία σχέση R επί του A έτσι ώστε η R να είναι συµµετρική και η R(x,y) να µπορεί λογικά να διαβαστεί ως ο x είναι γιός του y 3/21/2017 24 6
Απάντηση: κάθε µοντέλο στο οποίο δεν υπάρχουν x, y τέτοια ώστε ηγιός_του(x, y) να είναι αληθής Π.χ., A = {John, Mary, Sarah}, AxA R= {} Για την κενή σχέση, ισχύει ότι a,b((a,b) R (b,a) R) και εποµένως η κενή σχέση είναι συµµετρική! 3/21/2017 25 7