ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Eaρινό Εξάµηνο Ρόδος, Μαρτιος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Εργασία Προόδου #1 φυλλάδιο 2 και 3 από 3 ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Α,Β,Γ,,Ε,Ζ,Η Παρακαλούµε να απαντήσετε µε προσοχή δίνοντας έµφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του µαθήµατος, αλλά και σε όσα µπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραµµάτων της προτεινόµενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: οι φοιτητές µε άρτιο αριθµό µητρώου σε τέσσερις τουλαχιστον από κάθε µια από τις άρτια αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις κλπ της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων και οι φοιτητές µε περιττό αριθµό µητρώου σε σε τέσσερις τουλάχιστον από κάθε µια από τις περιττά αριθµηµένες Ασκήσεις Προβλήµατα, Ερωτήσεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #1 θα πρέπει να παραδοθεί την ευτέρα 12 Μαΐου 2014 και ώρες 9.00-12.00 στο Εργαστήριο Μαθηµατικών στο 1 ο όροφο του κτηρίου 7 ης Μαρτίου. Ρόδος, Τετάρτη 30 Απριλίου 2014 Για το Εργαστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και Πολυµέσων Ευγένιος Αυγερινός ήµητρα Ρεµουνδου Ελένη Χρυσαφινα 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΩΝ Α Ποια είναι τα αληθοσύνολα των παρακάτω προτασιακών τύπων. ώστε τις απαντήσεις σας µε δύο τρόπους παράστασης. 1. P(x) : 5(x 2-1) = 120 2. q(x) : x 2 1 24 3. R(x) : 6x 2 + 5x = 0 4. α(x) : 7x 2 + 1 > 0 5. β(x) : 2x 2-18 0 6. c(x) : x 2 + 9 = 0 7. d(x) : -x 2 + 2x + 3 0 8. h(x) : -6x 2 + 11x 4 < 0 3x 1 24x + 2 9. f(x) : {(3x 1) 24x π x Z} 45 2x > 7x 10. g(x) : 2(x + 4) (x + 6) < 12 x x N ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΩΝ Β 11. k(x) : 6 x + 3 5 > 2(1 + x) x Z 12. l(x) : 3x 1 < x + 5 2-2 x x + 2 1 13. m(x) : x - 2 1 > 2 x + 1 x - 3 1 3 x - 1 14. n(x) : x 10 x = - 3 x - 2 x Z 15. P 1 (x) : x 2 > 1 x 2 3 0 16. P 2 (x) : 5x 2x 2 x N 17. P 3 (x) : x < 3 x 2 + 3x 4 < 0 18. P 4 (x) : x 2 + 4 > 4x x Z 19. P 5 (x) : x + x+4 2 5x + 2 x N 2 1 x 1 x 20. P 6 (x) : x - > + 1 x - - 1 2 2 3 3 21. P 7 (x) : x 2 + 1 > 0 x N 22. P 8 (x) : x 2 x + 1 > 0 x(x + 4) 5 2
23. P 9 (x) : x 2 4 < 12 x Z 24. P 10 (x) : -2x 2 + 5x 3 0 x N 25. P 11 (x) : x 2 4x + 4 0 x Z ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ Οµάδα Ζ 1. Α. Χρησιµοποιώντας έναν υπολογιστή εάν είναι απαραίτητο, εκτιµήστε τον χρόνο που θα έπαιρνε σ ένα κοµπιούτερ να κάνει λίστα όλα τα θέµατα από {1, 2, 3, 64}. Υποθέτουµε ότι το γρηγορότερο κοµπιούτερ µπορεί να καταγράψει ένα θέµα περίπου σε 1 εκατοµµυριοστό δευτερολέπτου. Β. Βρείτε τον χρόνο που θα πάρει στο κοµπιούτερ να ολοκληρώσει όλες τις αντιστοιχήσεις 1-1 ανάµεσα στα σύνολα {1, 2, 3,, 64} και {65, 66, 67,, 128} 2 Πόσες διαφορετικές αντιστοιχίσεις 1-1 υπάρχουν µεταξύ δύο συνόλων µε: Α. 5 στοιχεία το καθένα Β. 8 στοιχεία το καθένα Γ. ν στοιχείa το καθένα ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εάν πέσει µια πινέζα µπορεί να προσγειωθεί ( ) µε το κεφάλι κάτω, ή ( ) µε το κεφάλι πάνω. Το πείραµα επαναλήφθηκε 80 φορές µε τα ακόλουθα αποτελέσµατα. Με την κεφαλή προς τα πάνω: 56 φορές µε την κεφαλή προς τα κάτω: 24 φορές. Α) Ποια είναι η πιθανότητα η πινέζα να προσγειωθεί µε το κεφάλι πάνω. Β) Ποια η πιθανότητα να προσγειωθεί µε το κεφάλι κάτω. Γ) Εάν επιχειρήσετε το πείραµα αυτό άλλες 80 φορές θα πάρετε τα ίδια αποτελέσµατα; γιατί; ) Περιµένετε να πλησιάσετε σχεδόν τα πρώτα αποτελέσµατα από τη δεύτερη προσπάθεια; Γιατί; 2. Σε ένα πείραµα συλλέξτε το τελευταίο νούµερο τηλεφωνικών αριθµών. Ας υποθέσουµε ότι κάθε ένα από τα 10 ψηφία έχει τις ίδιες πιθανότητες να παρουσιαστεί σαν τελικό ψηφίο. Καταγράψτε τα ακόλουθα. Α) Ένα διάστηµα δειγµάτων Β) Τα αποτελέσµατα εκείνα που το ψηφίο αυτό είναι µικρότερο του 5. Γ) Τα αποτελέσµατα που το ψηφίο είναι µονός αριθµός. ) Τα αποτελέσµατα που το ψηφίο δεν είναι το 2. Ε) Βρες τις πιθανότητες κάθε ενός από τα αποτελέσµατα (Β) ( ). 3. Γυρίζουµε τον παρακάτω τροχό. 4 5 3 6 2 7 1 8 3
Βρες τις πιθανότητες να λάβουµε τα κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Ρ(παράγοντες του 35) Β) Ρ(πολλαπλάσιο του 3) Γ) Ρ(ζυγό αριθµό) ) Ρ(6 ή 2) Ε) Ρ(11) Στ) Ρ(σύνθετος αριθµό) Ζ) Ρ(ούτε ένας πρώτος ούτε ένας σύνθετος αριθµός) 4. Τραβάµε ένα χαρτί από µια τράπουλα 52 καρτών. Βρες την πιθανότητα για κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Μια κόκκινη κάρτα Β) Μια κόκκινη κάρτα ή ένα 10 Γ) Μια φιγούρα ) Μια Ντάµα Ε) Όχι µια Ντάµα Στ) Μια φιγούρα ή ένα µπαστούνι Ζ) Μια φιγούρα και ένα µπαστούνι Η) Ούτε φιγούρα ούτε µπαστούνι. 5. Ένα συρτάρι περιέχει 6 µαύρες κάλτσες 4 καφέ και 2 πράσινες. Ας υποθέσουµε ότι τραβάµε µια κάλτσα από το συρτάρι. Βρες την πιθανότητα να συµβεί κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Η κάλτσα είναι καφέ. Β) Η κάλτσα είναι η µαύρη ή πράσινη. Γ) Η κάλτσα είναι κόκκινη. ) Η κάλτσα δεν είναι µαύρη. 6. Κάθε γράµµα της αλφαβήτου γράφεται σε ένα ξεχωριστό χαρτί και τοποθετείται µέσα σ ένα κουτί. Στην συνέχεια τραβάµε ένα χαρτί στην τύχη. Α) Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να έχει γραµµένο πάνω του ένα φωνήεν, Β) Ποια η πιθανότητα να έχει γραµµένο ένα σύµφωνο; 7) Εάν η πιθανότητα να καταφέρεις να ταξιδέψεις µε την πτήση για Βοστόνη είναι 0,2, ποια είναι η πιθανότητα να χάσεις την πτήση; 8) Η Σοφία έχει 6 δισκέτες κοµπιούτερ χωρίς καµία ένδειξη στην επιφάνειά τους. Αυτές περιέχουν Αγγλικά, Μαθηµατικά, Αµερικάνικη Ιστορία, Χηµεία και Φυσική. Απάντησε στις ακόλουθες ερωτήσεις. Α) Εάν επιλέξει µια δισκέτα στην τύχη ποια είναι η πιθανότητα να έχει επιλέξει το CD µε τα αγγλικά; Β) Ποια η πιθανότητα το CD που θα επιλέξει να µην είναι ούτε Μαθηµατικά ούτε Χηµεία. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε 1. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συγκεκριµένα γεγονότα µε το πέταγµα του ζαριού; Α Β 1 Ένα µονό νούµερο. Ένας αριθµός µικρότερος του 7. 2 Ένας ζυγός αριθµός Ένας αριθµός διαφορετικός του 0 3 Ένα νούµερο µεγαλύτερο από το 2 Ο αριθµός 0. 4 Ένας αριθµός µικρότερος του 4. Ένα νούµερο διαφορετικό του 4 4
2. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί κάθε ένα από τα παρακάτω συγκεκριµένα γεγονότα τραβώντας ένα χαρτί από µια συνηθισµένη τράπουλα 52 χαρτιών; Ένας άσσος. Ένα µπαστούνι. Ένας βασιλιάς Ένα κόκκινο χαρτί. 3. Οι ακόλουθες ερωτήσεις αναφέρονται σ ένα πολύ δηµοφιλές παιχνίδι ζαριών στο οποίο κάθε παίχτης ρίχνει δύο ζάρια. Α) Φέρνοντας άθροισµα 7 ή 11 στην πρώτη ρήψη κερδίζεις. Ποια η πιθανότητα να κερδίσεις µε την πρώτη ρήψη; Β) Φέρνοντας 2, 3, ή 12 στην πρώτη ρήψη χάνεις. Ποια η πιθανότητα να χάσεις στην πρώτη ρήψη; Γ) Αν φέρεις 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 στην πρώτη ρήψη ούτε χάνεις ούτε κερδίζεις. Ποια η πιθανότητα ούτε να χάσεις ούτε να κερδίσεις στην πρώτη ρήψη; ) Εάν φέρεις 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 ο παίκτης πρέπει να φέρει ξανά το ίδιο νούµερο πριν φέρει 7. Ποιο ποσό τα 4, 5, 6, 8, 9, 10 ή 10 έχει την µεγαλύτερη πιθανότητα να ληφθεί ξανά; Ε. Ποια η πιθανότητα να φέρουµε το άθροισµα 1 σε οποιαδήποτε ρήψη; Στ. Ποια η πιθανότητα να φέρουµε άθροισµα µικρότερο του 13 σε οποιαδήποτε ρήψη; 4 Εάν ρίξουµε τα ζάρια 60 φορές υποθέστε πόσες φορές θα εµφανιστεί το άθροισµα 7; 5. 25 µέλη µιας τάξης δίνουν χειραψίες ο ένας µε τον άλλο την µέρα που ανοίγει το σχολείο. Α) πόσες χειραψίες έγιναν στο σύνολο; Β) πόσες θα γίνουν εάν συµπληρωµατικά κάθε ένας δίνει τα χέρια επίσης και µε τον διευθυντή; 6. Μια τάξη πρόκειται να διαιρεθεί σε δύο οµάδες µε τουλάχιστον ένα µαθητή η κάθε µια. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια οµάδων µπορούν να γίνουν από µια τάξη 8 µαθητών; 7. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια οµάδων από τέσσερις σπουδαστές η κάθε µια µπορούν να γίνουν από µια τάξη εννέα µαθητών; 8. Προβλήµατα µέτρησης µπορούν να προκύψουν µέσα από πολλά µαθηµατικά πάζλς. είτε το σχέδιο παρακάτω και βρείτε για παράδειγµα τα ακόλουθα πάζλς µε στόχους: Επιτρέπεται να ρίξεις τέσσερα βέλη και ας υποθέσουµε ότι δεν αστοχείς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορείς να επιτύχεις το σκορ 60 πόντων; 5 10 15 25 9 Παρατήρησε και τοποθέτησε µε την σειρά τα 2 τελευταία ψηφία από 20 πινακίδες αυτοκινήτων που βρίσκονται στο πάρκιν. Επανέλαβε αυτή τη διαδικασία για 5 τουλάχιστον σετ από 20 διψήφιους αριθµούς. Για κάθε σετ από 20 νούµερα παρατήρησε 5
πόσο συχνά βρίσκεις µια επανάληψη από κάθε ζευγάρι ψηφίων. (το ίδιο διψήφιο νούµερο να εµφανίζεται τουλάχιστον δυο φορές). ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ζ 1. Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι αριθµοί; Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι αριθµοί που περιέχουν µόνο άρτια ψηφία; Πόσοι τριψήφιοι δεν περιέχουν το ψηφίο 7, αλλά περιέχουν τουλάχιστο µια φορά το 8; 2. Έχουµε έναν αριθµό πουλιών και αγοράσαµε µερικά κλουβιά, για να τα βάλουµε µέσα. Αν βάλουµε 7 πουλιά σε κάθε κλουβί, τότε περισσεύει ένα πουλί. Αν βάλουµε 9 πουλιά σε κάθε κλουβί, τότε περισσεύει ένα κλουβί. Πόσα είναι τα πουλιά και πόσα τα κλουβιά; 3. Θεωρείστε έναν τριψήφιο αριθµό, έστω τον abc, µε a c και c 0. Αντιστρέψτε τη σειρά των ψηφίων, οπότε παίρνετε τον τριψήφιο αριθµό cba. Αφαιρέστε το µικρότερο από τον µεγαλύτερο. Αν π.χ. abc>cba, αφαιρέστε: abc-cba=def. Αντιστρέψτε το τριψήφιο def και προσθέστε τους αριθµούς def και fde. Επαναλάβετε τα ίδια µε άλλον τριψήφιο αριθµό. Τι παρατηρείτε; Πώς το εξηγείτε; 4. Μια βρύση γεµίζει µια δεξαµενή σε 15 λεπτά της ώρας, µια δεύτερη σε 20 λεπτά, και µια τρίτη σε 30. Αν είναι ανοιχτές και οι τρεις βρύσες, σε πόσο χρόνο θα γεµίσουν τη δεξαµενή; 5. Ένας γεωργός έχει στην αυλή του κότες και κουνέλια. Όλα τα ζώα είναι 50, ενώ τα πόδια τους συνολικά είναι 140. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια; 6. Ένα µικρό αεροπλάνο πετάει µε 360 km/h όταν δε φυσάει άνεµος. Στο ντεπόζιτό του έχει καύσιµα για ασφαλή πτήση τεσσάρων ωρών. Αν σ ένα ταξίδι του φυσάει αντίθετος άνεµος µε σταθερή ταχύτητα 40 km/h, που φυσικά στην επιστροφή αυτός ο άνεµος είναι ευνοϊκός, πόσα χιλιόµετρα µπορεί να πετάξει (µαζί µε την επιστροφή), ώστε το ταξίδι να είναι ασφαλές; 7. Πόσα κιλά καφέ αξίας των 900 δραχµών ανά κιλό και πόσα των 600 πρέπει να αναµίξουµε, ώστε να πάρουµε µίγµα 50 κιλών και αξίας 720 δραχµών ανά κιλό; 8. Σ ένα δοχείο µε υγρό υδράργυρο επιπλέει µια σφαίρα σιδήρου. Προσθέτουµε νερό πάνω από τον υδράργυρο, ώσπου να καλυφθεί η σφαίρα. Τι από τα τρία θα συµβεί: θα ανυψωθεί, θα βυθιστεί ή θα µείνει η σφαίρα στο ίδιο βάθος ως προς την επιφάνεια του υδράργυρου; Το ειδικό βάρος του νερού είναι 1,00 gr./cm³, του υδράργυρου 13,60 gr/cm³, και του σιδήρου 7,84 gr/cm³. 9. Κάποιος έκανε µια πορεία 5 ωρών. Αρχικά βάδισε σ έναν επίπεδο δρόµο, ύστερα σε έναν ανηφορικό, και µετά επέστρεψε από τον ίδιο δρόµο µέχρι το σηµείο που ξεκίνησε. Στον επίπεδο δρόµο η ταχύτητά του ήταν 4 km/h, στον ανήφορο ήταν 3 km/h, και στον κατήφορο 6 km/h. Ποιο ήταν το συνολικό µήκος του δρόµου που βάδισε; 6