και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

Transcript

1 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε από τα A1 ή A μπορεί να επιλεγεί με k1+ k Παράδειγμα 1 Με πόσους μπορούμε να διαλέξουμε μια φιγούρα ή ένα άσσο από μία συνηθισμένη τράπουλα? Υπάρχουν 1 τρόποι επιλογής μιας φιγούρας από μια τράπουλα αι 4 τρόποι επιλογής ενός άσσου. (η επιλογή φιγούρας απολείει την ταυτόχρονη επιλογή άσσου αι η επιλογή άσσου απολείει την ταυτόχρονη επιλογή φιγούρας). Άρα από την αρχή του αθροίσματος υπάρχουν 1+4=16 τρόποι επιλογής μιας φιγούρας ή ενός άσσου. Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε με πόσους μπορούμε να διαλέξουμε μια φιγούρα ή ένα αρό από μια συνηθισμένη τράπουλα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αρχή του αθροίσματος? Όχι, γιατί η επιλογή ενός αρό δεν απολείει την ταυτόχρονη επιλογή μιας φιγούρας, π.χ. μπορεί να επιλεγεί η ντάμα αρό. (Αλήθεια, με πόσους μπορούμε να το άνουμε?) ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Η ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι για αθένα από αυτούς τους ένα άλλο αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k, ΤΟΤΕ η επιλογή αι των δύο αντιειμένων αι μπορεί να γίνει με k k A1 A 1 Παράδειγμα 3 Ένα δελτίο στοιχήματος έχει ποδοσφαιριούς αγώνες. Σε άθε αγώνα μπορώ να συμπληρώσω ένα από τα σημεία 1--Χ. Με πόσους διαφορετιούς μπορεί να παιχθεί αυτό το δελτίο? Ο πρώτος αγώνας μπορεί να παιχθεί με 3 διαφορετιούς (1 ή ή Χ). Για αθένα από αυτούς τους ο δεύτερος αγώνας μπορεί να παιχθεί με 3

2 διαφορετιούς (1 ή ή Χ). Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή ο πρώτος αι ο δεύτερος αγώνας μπορούν να παιχθούν με 3*3=9. Άσηση 1 Διατυπώστε τις παραπάνω αρχές για n το πλήθος αντιείμενα. Παράδειγμα 4 Πόσοι διαφορετιοί αριθμοί μπορούν να σχηματισθούν χρησιμοποιώντας ως ψηφία τους αεραίους 1,,3,4 αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη τους στον ίδιο αριθμό? Μπορώ να σχηματίσω το πολύ τετραψήφιους αριθμούς γιατί με μεγαλύτερο πλήθος ψηφίων θα αναγαστώ να έχω επαναλήψεις ψηφίων. Υπάρχουν 4 μονοψήφιοι αριθμοί αι σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή 4*3=1 διψήφιοι, αι 4*3*=4 τριψήφιοι αι 4*3**1=4 τετραψήφιοι. Άρα, σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος υπάρχουν συνολιά =64 διαφορετιοί τέτοιοι αριθμοί. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Ορισμός Διάταξη ν στοιχείων ανά είναι μια διατεταγμένη συλλογή στοιχείων από τα ν. Η ειδιή περίπτωση της διάταξης των ν στοιχείων ανά ν ονομάζεται μετάθεση των ν στοιχείων. Παράδειγμα 5 Οι διατάξεις των τριών γραμμάτων Α,Β,Γ ανά δύο είναι οι εξής: ΑΒ, ΒΑ, ΑΓ, ΓΑ, ΒΓ, ΓΒ Και είναι 6 στο πλήθος σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή Παράδειγμα 6 Οι μεταθέσεις των τριών γραμμάτων Α,Β,Γ είναι οι εξής: ΑΒΓ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ Και είναι 6 στο πλήθος σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή Παράδειγμα 7 Οι διατάξεις των 5 γραμμάτων Α,Α,Α,Β,Γ ανά 3 είναι οι εξής: ΑΑΑ, ΑΑΒ, ΑΒΑ, ΒΑΑ, ΑΑΓ, ΑΓΑ, ΓΑΑ, ΑΒΓ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ Διατάξεις Διαεριμένων Στοιχείων Το πλήθος των διατάξεων ν διαεριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά, συμβολίζεται με P( ν, ) ή ( ν ) αι δίνεται από τη σχέση P( ν, ) ( ν) = ν ( ν 1) ( ν + 1)

3 Εφαρμογή της πολλαπλασιαστιής αρχής: το 1 ο στοιχείο από τα μπορεί να επιλεγεί με ν. Για αθένα από αυτούς τους το ο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με ν- 1 λπ έως το στοιχείο που μπορεί να επιλεγεί με ν-+1. Άρα τα στοιχεία μπορούν να επιλεγούν με ν ( ν 1) ( ν + 1) Πόρισμα Το πλήθος των μεταθέσεων ν διαεριμένων στοιχείων είναι P( ν, ν) ( ν) = ν ( ν 1) 1 = ν! (ν παραγοντιό) ν Πρόταση P( ν, ) ( ν) = ν ( ν 1) ( ν + 1) = ( ν )! (Άσηση) Παράδειγμα 8 Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε από τα ψηφία 1,,3,4,5,6,7 οι οποίοι (i) να περιέχουν το ψηφίο (ii) να μη περιέχουν το ψηφίο? (όπου σε άθε αριθμό δεν έχουμε επαναλήψεις στα χρησιμοποιούμενα ψηφία) Απάντηση (i) (ii) το ψηφίο μπορεί να είναι το 1 ο, το ο ή το 3 ο ψηφίο του αριθμού οπότε σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος το ζητούμενο πλήθος αριθμών θα είναι το άθροισμα του πλήθους των αριθμών σε άθε μια από αυτές τις περιπτώσεις. Αν το είναι το πρώτο ψηφίο υπάρχουν 6 τρόποι για επιλογή του δεύτερου ψηφίου αι 5 τρόποι για την επιλογή του τρίτου ψηφίου. Άρα σε αυτή την περίπτωση αι σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή το πλήθος των σχηματιζόμενων αριθμών είναι 6*5=30. Παρόμοια υπάρχουν 30 δυνατοί αριθμοί αν το ο ψηφίο είναι το αι άλλοι 30 δυνατοί αριθμοί αν το 3 ο ψηφίο είναι το. Άρα υπάρχουν συνολιά 3*30=90 αριθμοί που περιέχουν το ψηφίο εάν το ψηφίο δεν συμμετέχει στο σχηματισμό του αριθμού τότε το πρόβλημα μας είναι να φτιάξουμε τριψήφιους αριθμούς από τα 6 ψηφία 1,3,4,5,6,7. Το 1 ο ψηφίο επιλέγεται με 6, για αθένα από αυτούς τους το ο ψηφίο επιλέγεται με 5 αι για αθένα από αυτούς τους το 3 ο στοιχείο επιλέγεται με 4. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή μπορούν να σχηματισθούν 6*5*4=10 τέτοιες λέξεις. Βάσει αυτής της λογιής μπορούμε να δείξουμε το εξής P( ν, ) ( ν) = P( ν 1, 1) + P( ν 1, ) (Άσηση) Υπόδειξη: ο πρώτος όρος του αθροίσματος αντιστοιχεί στο (i) του Παραδείγματος 8 ενώ ο δεύτερος όρος του αθροίσματος αντιστοιχεί στο (ii) του Παραδείγματος 8. Στη συνέχεια εφαρμόστε την αρχή του αθροίσματος.

4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετιών ειδών Έστω ν στοιχεία τα οποία ανήουν σε διαφορετιά είδη με 1,,..., στοιχεία αντίστοιχα (όπου =ν. Το πλήθος των μεταθέσεων των ν στοιχείων είναι 1!!...! (Άσηση) Υπόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι τα είδη είναι οι αριθμοί 1,,...,, όπου το 1 υπάρχει 1 φορές, το υπάρχει φορές λπ. Θα μπορούσα να διαριτοποιήσω (προσωρινά) τα στοιχεία μου τοποθετώντας δείτες ως εξής: 1,1,...1, 1 1,,...,,..., 1,,..., 1 ν = Αυτά τα ν (προσωρινά) διαεριμένα στοιχεία μετατίθενται με ν!. Ας θεωρήσω τώρα ένα από αυτούς τους, δηλ. μια συγεριμένη μετάθεση αυτών των ν στοιχείων, π.χ την 1,1,...1,,,...,,...,,,...,. Αν αλλάξω τη θέση των 1 μεταξύ τους, τη θέση των μεταξύ τους λπ, θα πάρω μια μετάθεση που δε θα μπορώ να την ξεχωρίσω από την αρχιή αν ρύψω τους δείτες (δηλαδή χωρίς τους δείτες οι δύο μεταθέσεις θα είναι ίδιες). Π.χ η 1,1 δεν ξεχωρίζει από την 1 1 1,...1 1, 1,,...,,...,, 1,..., 1 1,1,...1, αν ρύψω τους δείτες. Αυτό μπορώ να το 1 1,,...,,..., 1,,..., άνω με 1!!...!. Παράδειγμα 9 Οι μεταθέσεις των γραμμάτων της λέξης ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Έχουμε ν=11 από τα οποία 1 = 1είναι του είδους Α, = 1είναι του είδους Δ, 3 = 1είναι του είδους Η, 4 = 1είναι του είδους Ι, 5 = 1είναι του είδους Κ, 6 = 1είναι του είδους Ν, 7 = είναι του είδους Σ, 8 = 1είναι του είδους Τ, 11! 9 = είναι του είδους Υ. Άρα υπάρχουν, μεταθέσεις αυτών των γραμμάτων (!) Πόρισμα 1 Ο αριθμός είναι ο συντελεστής του x1 x... x στο ανάπτυγμα του 1!!...! ( x1+ x x ) ν (Άσηση) Υπόδειξη: ( x1+ x x ) ν = ( x1+ x x)... ( x1+ x x) αι το ν παράγοντες 1 ανάπτυγμα αποτελείται από όρους της μορφής x1 x... x (χωρίς το συντελεστή) όπου = ν. Αυτός ο όρος φτιάχνεται παίρνοντας το x 1 από 1 παρενθέσεις, το x από παρενθέσεις λπ, έως το x από παρενθέσεις

5 Επαναληπτιές Διατάξεις Το πλήθος των διατάξεων ν διαεριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά, αν άθε στοιχείο μπορεί να επαναληφθεί απεριόριστο αριθμό φορών, είναι ν Το 1 ο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με ν, για άθε ένα από αυτούς τους το ο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με ν επίσης. Το ίδιο ισχύει αι για τα υπόλοιπα στοιχεία στη σειρά. Άρα, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστιή αρχή το συνολιό πλήθος των επαναληπτιών διατάξεων των ν στοιχείων ανά είναι ν Παράδειγμα 10 3 Κατά τη ρίψη ενός νομίσματος 3 φορές μπορούν να προύψουν = 8διαφορετιά αποτελέσματα. Αυτά είναι ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ Άσηση Έστω σύνολο Α με ν το πλήθος στοιχεία. Δείξτε ότι το Α έχει, ν υποσύνολα (δηλ. ότι ο πληθάριθμος του δυναμοσυνόλου ( Α) είναι ν ) Υπόδειξη: Έστω Β ένα υποσύνολο του συνόλου Α. Κάθε στοιχείο του συνόλου Α έχει δύο δυνατότητες. Είτε ανήει στο Β είτε δεν ανήει στο Β. Άρα με πόσους φτιάχνεται ένα υποσύνολο του Α? ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παραγοντιά 1. Υπολογίστε τα a. (!)! 13! b. 11! 7! c. 10!. Απλοποιείστε τις παραάτω εφράσεις a. ( ν + 1)! b. ( ν )! c. ( ν 1)! ( ν + )! d. ( ν + 1)! ( ν 1 )! e. ( ν 1)!

6 f. ( ν + )! Διατάξεις, μεταθέσεις 1. Εάν δεν επιτρέπονται οι επαναλήψεις a. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορείτε να σχηματίσετε από τα ψηφία,3,5,6,7,9? b. Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς είναι μιρότεροι από το 400? c. Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς είναι ζυγοί? d. Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς είναι μονοί? e. Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς είναι πολλαπλάσια του 5?. Με πόσους μπορούμε να τοποθετήσουμε 7 ανθρώπους a. Σε μια σειρά από 7 αρέλες? b. Γύρω από ένα υλιό τραπέζι? 3. Με πόσους μπορούν να αθίσουν στη σειρά a. 3 αγόρια αι ορίτσια b. Εάν τα αγόρια πρέπει να αθίσουν μαζί αι τα ορίτσια μαζί? c. Εάν μόνο τα ορίτσια πρέπει να αθίσουν μαζί? 4. Με πόσους μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά 3 Αμεριάνοι, 4 Γάλλοι, 4 Δανοί αι Ιταλοί έτσι ώστε όσοι είναι της ίδιας εθνιότητας να άθονται μαζί? 5. Λύστε το προηγούμενο πρόβλημα όταν δεν είναι στη σειρά αλλά σε στρογγυλό τραπέζι 6. Ας υποθέσουμε ότι σε μια ληρωτίδα βρίσονται οτώ διαεριμένες σφαίρες. Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων δειγμάτων μεγέθους 3 a. Όταν επαναθέτουμε στην ληρωτίδα άθε σφαίρα που επιλέγουμε b. Όταν δεν επαναθέτουμε στην ληρωτίδα άθε σφαίρα που επιλέγουμε 7. Να βρεθεί το ν στις παραάτω περιπτώσεις a. P( ν,) = 7 b. P( ν,4) = 4 P( ν,) c. P( ν,) + 50 = P( ν,) 8. Έστω ότι υπάρχουν 6 δρόμοι ανάμεσα στις πόλεις Α αι Β αι 4 δρόμοι ανάμεσα στις πόλεις Β αι Γ. a. Με πόσους διαφορετιούς μπορεί άποιος να παέι από την πόλη Α στην πόλη Γ περνώντας μέσα από την πόλη Β? b. Με πόσους μπορεί άποιος να πάει από την πόλη Α στην πόλη Γ αι πάλι πίσω στην Α περνώντας από την πόλη Β αι στα δύο σέλη του ταξιδιού του? c. Με πόσους μπορεί άποιος να άνει τη διαδρομή του προηγούμενου ερωτήματος αλλά χωρίς να χρησιμοποιήσει τον ίδιο δρόμο περισσότερες από μια φορά? 9. Βρείτε το πλήθος των τετραψήφιων λέξεων που μπορούν να σχηματισθούν από τα γράμματα της λέξης ΙΣΤΟΡΙΑ a. Πόσες από αυτές περιέχουν μόνο σύμφωνα? b. Πόσες από αυτές περιέχουν μόνο φωνήεντα? c. Πόσες από αυτές ξεινούν από αι τελειώνουν σε σύμφωνο d. Πόσες από αυτές ξεινούν από φωνήεν?

7 e. Πόσες από αυτές περιέχουν το γράμμα Α? f. Πόσες από αυτές ξεινούν από Τ αι τελειώνουν σε φωνήεν? g. Πόσες από αυτές ξεινούν από Τ αι επίσης περιέχουν αι το Σ? h. Πόσες από αυτές περιέχουν όλα τα φωνήεντα? 10. Βρείτε με πόσους μπορούν να αθίσουν σε μια σειρά 4 αγόρια αι 4 ορίτσια εάν πρέπει να άθονται εναλλάξ ένα αγόρι αι ένα ορίτσι 11. Βρείτε με πόσους μπορούν να αθίσουν σε μια σειρά 4 αγόρια αι 4 ορίτσια εάν πρέπει να άθονται εναλλάξ ένα αγόρι αι ένα ορίτσι αι εάν επιπλέον ένα συγεριμένο αγόρι αι ένα συγεριμένο ορίτσι πρέπει να άθονται σε γειτονιές θέσεις 1. Βρείτε με πόσους μπορούν να αθίσουν σε μια σειρά 4 αγόρια αι 4 ορίτσια εάν πρέπει να άθονται εναλλάξ ένα αγόρι αι ένα ορίτσι αι εάν επιπλέον ένα συγεριμένο αγόρι αι ένα συγεριμένο ορίτσι δεν πρέπει να άθονται σε γειτονιές θέσεις 13. Λύστε τις 3 προηγούμενες ασήσεις εάν πρέπει να άθονται σε στρογγυλό τραπέζι 14. Βρείτε με πόσους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε ένα ράφι 5 μεγάλα βιβλία, 4 μεσαία βιβλία αι 3 μιρά βιβλία, έτσι ώστε τα βιβλία του ίδιου μεγέθους να είναι όλα μαζί 15. Θεωρείστε όλους τους θετιούς αέραιους με 3 διαφορετιά ψηφία (σημειώστε ότι το 0 δε μπορεί να είναι το πρώτο ψηφίο). a. Πόσοι από αυτούς είναι μεγαλύτεροι από το 700? b. Πόσοι από αυτούς είναι περιττοί? c. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι? d. Πόσοι από αυτούς διαιρούνται με το 5? 16. Να βρεθεί το πλήθος των διαεριμένων μεταθέσεων που μπορούν να σχηματισθούν από τα γράμματα της λέξης ELEVEN. Πόσες από αυτές ξεινούν αι τελειώνουν με το γράμμα Ε? Πόσες από αυτές έχουν τα τρία Ε μαζί? Πόσες από αυτές ξεινούν με Ε αι λήγουν σε Ν? 17. Πόσες λέξεις μπορούμε να γράψουμε χρησιμοποιώντας όλα τα γράμματα της λέξης ΥΠΕΡΒΟΛΗ? Σε πόσες από αυτές τα γράμματα Λ αι Η εμφανίζονται μαζί? 18. Με πόσους μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα ράφι μιάς βιβλιοθήης έργα από 3 τόμους το αθένα αι έργα από 4 τόμους το αθένα έτσι ώστε οι τόμοι του ίδιου έργου να μη χωρίζονται? 19. Με πόσους μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά 5 αγόρια αι 4 ορίτσια έτσι ώστε άθε ορίτσι να βρίσεται ανάμεσα σε αγόρια? 0. Με πόσους μπορεί να σχηματισθεί μια λέξη 4 γραμμάτων από τα 4 γράμματα του αλφαβήτου αν a. Κάθε γράμμα μπορεί να επαναλαμβάνεται b. Δεν επιτρέπεται να έχουμε επαναλήψεις γραμμάτων