ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 000. Αρ3.2 Συγκρίνουν και διατάσσουν τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 1 000 000 000 000. Αρ3.3 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 1 000 000 000 000. Αρ3.8 Χρησιμοποιούν αρνητικούς αριθμούς στην καθημερινή ζωή. Αρ4.1 Συγκρίνουν και σειροθετούν ρητούς αριθμούς (θετικούς και αρνητικούς) και ορίζουν τη θέση τους στην αριθμητική γραμμή. Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 1 000 000 και επαληθεύουν την απάντησή τους. Αρ3.17 Στρογγυλοποιούν αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα, εκατοντάδα, χιλιάδα και εκατομμύριο και δεκαδικούς αριθμούς στο πλησιέστερο δέκατο και εκατοστό. Αρ4.11 Αναφέρουν και εφαρμόζουν στρατηγικές εκτέλεσης νοερών υπολογισμών με ακέραιους, κλασματικούς, δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά. Αρ4.12 Εφαρμόζουν στρατηγικές στρογγυλοποίησης ακέραιων, κλασματικών και δεκαδικών αριθμών για εκτίμηση και έλεγχο του αποτελέσματος μιας πράξης. ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση εξισώσεων Αλ2.7 Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική), για να απλοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς και να ελέγχουν τα αποτελέσματά τους.
Αλ3.9 Επιλύουν και χειρίζονται εξισώσεις. Αλ3.11 Επιλύουν και κατασκευάζουν προβλήματα ρουτίνας πολλαπλών βημάτων και προβλήματα διαδικασίας. Αλ4.13 Μεταφράζουν αλγεβρικά σύμβολα σε λεκτική μορφή και αντίστροφα. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 64-67): Αρνητικοί αριθμοί Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 68-72): Αισθητοποίηση εξαψήφιων αριθμών Μάθημα 5 (σελίδες 73-75): Ανάλυση και σύνθεση εξαψήφιων αριθμών Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 76-80): Σύγκριση και στρογγυλοποίηση εξαψήφιων αριθμών και εκτίμηση αθροίσματος και διαφοράς Μαθήματα 8, 9 και 10 (σελίδες 81-85): Επίλυση προβλήματος Επανάληψη τεσσάρων πράξεων Μάθημα 11 (σελίδες 86-88): Προβλήματα πολλαπλασιαστικής δομής Μαθήματα 12 και 13 (σελίδες 89-92): Προβλήματα πολλαπλασιαστικής δομής Αλγόριθμος πολλαπλασιασμού Μαθήματα 14 και 15 (σελίδες 93-96): Προσεταιριστική και αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης Μάθημα 16 (σελίδες 97-99): Προσεταιριστική και αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Μάθημα 17 (σελίδες 100-103): Μέθοδος αρχαίων Αιγυπτίων Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Μάθημα 18 (σελίδες 104-106): Αναπαράσταση λεκτικών εκφράσεων Μαθήματα 19 και 20 (σελίδες 107-110): Διψήφια διαίρεση Επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεση ως προς τον διαιρετέο Μάθημα 21 (σελίδες 111-112): Εκτίμηση πηλίκου Μαθήματα 22 και 23 (σελίδες 113-115): Κατακόρυφος αλγόριθμος διψήφιας διαίρεσης Μάθημα 24 (σελίδες 116-117): Αντίστροφες πράξεις Μάθημα 25 (σελίδες 118-119): Πρόβλημα μοντελοποίησης Μαθήματα 26 και 27 (σελίδες 120-122): Προβλήματα διαδικασίας
ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 64-67) Εξερεύνηση (σελ. 64) Στόχος της εξερεύνησης είναι τα παιδιά να αντιληφθούν και να εντοπίσουν τη χρήση των αρνητικών αριθμών στην καθημερινή ζωή. Τα παιδιά μπορούν να αναφέρουν και άλλες περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούνται οι αρνητικοί αριθμοί στην καθημερινή ζωή. Διερεύνηση (σελ. 65) Τα παιδιά αναμένεται να αξιοποιήσουν το μοντέλο της αριθμητικής γραμμής που παρουσιάζεται ως εργαλείο δίπλα από κάθε εικόνα, για να απαντήσουν τα ερωτήματα. Ερωτήματα (α) και (β): Αισθητοποίηση και σύγκριση θετικών και αρνητικών αριθμών σε σχέση με το μηδέν. Ερώτημα (δ): Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Για παράδειγμα, αν ο Σάββας βρίσκεται στον πρώτο όροφο, η Άννα βρίσκεται στο πρώτο υπόγειο. Δραστηριότητα 4 (σελ. 67) Για να απαντήσουν τα ερωτήματα, τα παιδιά αναμένεται να ερμηνεύσουν το διάγραμμα και να αντιληφθούν ότι ο κύριος Γιάννης έκανε δύο ταξίδια (αναχώρησε από το Λονδίνο με προορισμό το Πεκίνο και αναχώρησε από το Βανκούβερ με προορισμό το Παρίσι). Δραστηριότητα 5 (σελ. 67) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές λύσεις. Ενδεικτικές λύσεις: (α) 3 ορθές απαντήσεις (3 4 = 12), 2 λανθασμένες, 1 καμία απάντηση (β) 4 ορθές απαντήσεις (4 4 = 16), 6 λανθασμένες
Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 68-72) Εξερεύνηση (σελ. 68) Ο αριθμός 100 000 μπορεί να σχηματιστεί, χρησιμοποιώντας το υλικό Dienes ως εξής: 100 χιλιάδες ή 99 χιλιάδες και 1000 μονάδες ή 90 χιλιάδες και 100 εκατοντάδες κτλ. Διερεύνηση 1 (σελ. 69) Στόχος της διερεύνησης είναι να προκύψουν οι σχέσεις μεταξύ των διαφορετικών αξιών (δεκάδα, εκατοντάδα, χιλιάδα, δεκάδα χιλιάδα, εκατοντάδα χιλιάδα). Διερεύνηση 2 (σελ. 70) Ο ισχυρισμός και των δύο παιδιών είναι ορθός. Το 300 000 (η αξία του ψηφίου 3 στη ροζ κάρτα) είναι 1000 μεγαλύτερο από το 300 (η αξία του ψηφίου 3 στη μπλε κάρτα). Το 300 είναι το 1 του 3000 (η αξία του ψηφίου 3 στη μοβ κάρτα). 10 Μάθημα 5 (σελίδες 73-75) Διερεύνηση (σελ. 73) Γράφοντας τους ιερογλυφικούς αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (7, 49, 343, 2301 και 16 807), τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι κάθε όρος στο μοτίβο που παρουσιάζεται είναι το εφταπλάσιο του προηγούμενου. Συνεπώς, ο τέταρτος όρος του μοτίβου θα έπρεπε να είναι ο αριθμός 2401 (7 343). Στο ερώτημα (δ), συγκρίνοντας το σύστημα αρίθμησης των αρχαίων Αιγυπτίων με το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι και τα δύο συστήματα αρίθμησης έχουν ως βάση το 10. Στο σύστημα αρίθμησης των αρχαίων Αιγυπτίων χρησιμοποιείται διαφορετικό σύμβολο για κάθε αξία του δέκα. Αντίθετα, το βασικό χαρακτηριστικό του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης είναι η οικονομία. Η αξία του 10 καθορίζεται με βάση τη θέση του ψηφίου. Δηλαδή, με μόνο 10 ψηφία (0 μέχρι 9) μπορούν να αναπαρασταθούν όλοι οι αριθμοί, αφού το κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό.
Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 76-80) Διερεύνηση (σελ. 76-77) Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να χειριστούν πολλά δεδομένα. Ερώτημα (ε): Πόσα περίπου άτομα δήλωσαν ότι αναζητούν πληροφορίες στο διαδίκτυο; Ανάγνωση online ειδήσεων / εφημερίδων / περιοδικών: 322 321 Αναζήτηση πληροφοριών για προϊόντα ή υπηρεσίες: 398 388 Σύνολο: Περίπου 720 000 Δραστηριότητα 4 (σελ. 80) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι η στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη χιλιάδα δίνει περισσότερες πληροφορίες για έναν αριθμό από ότι η στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη δεκάδα χιλιάδα ή στην πλησιέστερη εκατοντάδα χιλιάδα. Συνεπώς, για να βρουν με ποιον εξαψήφιο αριθμό αντιστοιχεί κάθε γράμμα, πρέπει τα παιδιά να λάβουν υπόψη τη δοσμένη στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη χιλιάδα. Μαθήματα 8, 9 και 10 (σελίδες 81-85) Διερεύνηση (σελ. 81-82) Ερώτημα (α): Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι, εκτός από το ενοίκιο της αίθουσας και τη χρέωση ανά άτομο στη δεξίωση, ο αριθμός των ατόμων είναι μια παράμετρος που χρειάζεται να ληφθεί υπόψη για να αποφασιστεί ποια προσφορά είναι η πιο συμφέρουσα. Ερώτημα (β): Αριθμός ατόμων Ξενοδοχείο «ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ» ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ «ΗΛΙΟΒΑΣΙΛΕΜΑ» 50 2550 + (50 25) = 3800 1200 + (50 30) = 2700 100 2550 + (100 25) = 5050 1200 + (100 30) = 4200 150 6300 5700 200 7550 7200 250 8800 8700 300 10 050 10 200 350 11 300 11 700 400 12 550 13 200
Ερώτημα (γ): Με βάση τον πίνακα για μια δεξίωση με καλεσμένους μέχρι 250 άτομα, είναι πιο συμφέρουσα η προσφορά του ξενοδοχείου «Ηλιοβασίλεμα». Αντίθετα, για μια δεξίωση με καλεσμένους από 300 μέχρι 400 είναι πιο συμφέρουσα η προσφορά του ξενοδοχείου «Αύγουστος». Ερώτημα (δ): Θα τοποθετήσουν στη γραφική παράσταση τα σημεία με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια προσέγγιση. Ερώτημα (ε): Ξενοδοχείο «Αύγουστος»: Πολλαπλασιάζω τον αριθμό ατόμων επί 25 (χρέωση ανά άτομο) και προσθέτω 2550 (ενοίκιο αίθουσας). Ξενοδοχείο «Ηλιοβασίλεμα»: Πολλαπλασιάζω τον αριθμό ατόμων επί 30 (χρέωση ανά άτομο) και προσθέτω 1200 (ενοίκιο αίθουσας). Ερώτημα (στ): Με βάση τον πίνακα και τη γραφική παράσταση για 380 άτομα είναι πιο συμφέρουσα η προσφορά του ξενοδοχείου «Αύγουστος». Ερώτημα (ζ): Αξιοποιώντας τη γραφική παράσταση, τον πίνακα και κάνοντας δοκιμές τα παιδιά θα παρατηρήσουν ότι για να επιλεγεί το ξενοδοχείο «Ηλιοβασίλεμα» πρέπει να προσκληθούν λιγότερα από 270 άτομα (για 270 άτομα η προσφορά των δύο ξενοδοχείων είναι η ίδια). Δραστηριότητα 4 (σελ. 84) και Δραστηριότητα 5 (σελ. 85) Τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν, αξιοποιώντας το γεγονός ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίθετες πράξεις. Δραστηριότητα 6 (σελ. 85) Η ορθή λύση είναι Α = 8, Β = 3, Γ = 7, Δ = 6 και Ε = 1 Μάθημα 11 (σελίδες 86-88) Διερεύνηση (σελ. 86) Η Ιωάννα σε μια μέρα εξοικονομεί περίπου 48 L νερό (2 φορές 2 λεπτά 12 λίτρα). Τα παιδιά αναμένεται να στρογγυλοποιήσουν το 48 σε 50 (πλησιέστερη δεκάδα) και να συμπληρώσουν τον πίνακα, αξιοποιώντας την εκτίμηση αυτή. (β) 200 παιδιά (10 000 50 = 200)
Μαθήματα 12 και 13 (σελίδες 89-92) Διερεύνηση (σελ. 89) Ερώτημα (α): Για να δώσουν μια λογική εκτίμηση για το γινόμενο 588 8, τα παιδιά μπορούν να εργαστούν ως ακολούθως: 588 8 (600 8) = 4800. Ερώτημα (β): Λάθος Φιλοθέης: Κατά την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού, η Φιλοθέη ορθά υπολόγισε ότι το γινόμενο θα έχει 70 δεκάδες, δηλαδή 7 εκατοντάδες και 0 δεκάδες. Αντί να γράψει μόνο το μηδέν στη θέση των δεκάδων και να προχωρήσει στον υπολογισμό των εκατοντάδων με το 7 ως κρατούμενο, έγραψε 70. Λάθος Ηλία: Κατά την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού, ο Ηλίας υπολόγισε ότι το γινόμενο έχει 64 δεκάδες και έγραψε το ψηφίο 4 στη θέση των δεκάδων. Ξέχασε να προσθέσει στις 64 δεκάδες τις 6 δεκάδες που προέκυψαν από τον πολλαπλασιασμό των μονάδων των δύο παραγόντων. Ερώτημα (γ): Σύμφωνα με την αρχική εκτίμηση, το γινόμενο είναι τετραψήφιος αριθμός. Αυτό καθιστά εμφανές ότι ο υπολογισμός της Φιλοθέης, που κατέληξε σε πενταψήφιο αριθμό, είναι λανθασμένος. Μαθήματα 14 και 15 (σελίδες 93-96) Εξερεύνηση (σελ. 93) Τα παιδιά θα εργαστούν με όποιο τρόπο θέλουν για να υπολογίσουν τα αθροίσματα. Είναι πιθανό κάποια παιδιά να παρατηρήσουν ότι στο πρώτο άθροισμα υπάρχουν ζεύγη προσθετέων με άθροισμα 10 (1 + 9, 2 + 8 κ.ο.κ.), ενώ στο δεύτερο άθροισμα υπάρχουν ζεύγη προσθετέων με άθροισμα 20 (1 + 19, 2 + 18 κ.ο.κ.). Μέσα από την συζήτηση αναμένεται να προκύψει η ανάγκη αξιοποίησης της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης. Διερεύνηση (σελ. 94) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι ο Αλέξης βρήκε το άθροισμα πιο γρήγορα, εφαρμόζοντας την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης.
Δραστηριότητες 3 και 4 (σελ. 96) Τα παιδιά αναμένεται να εφαρμόσουν την προσεταιριστική ιδιότητα που ισχύει στην πρόσθεση. Δραστηριότητα 5 (σελ. 96) 9 3 (15 6) 3 = 6, ενώ 15 (6 3) = 12 Άρα στην αφαίρεση δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Μάθημα 16 (σελίδες 97-99) Διερεύνηση (σελ. 97) Η διάσπαση του ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου σε επιμέρους στρώματα παρέχει την ευκαιρία αξιοποίησης της προσεταιριστικής ιδιότητας. Τα παιδιά αναμένεται, μέσα από την οπτικοποίηση, να παρατηρήσουν ότι, ανεξάρτητα με τον τρόπο διαχωρισμού της κατασκευής, για τον υπολογισμό του όγκου καταλήγουν σε μαθηματική πρόταση πολλαπλασιασμού με παράγοντες τις 3 διαστάσεις του στερεού (μήκος, πλάτος, ύψος). Παρατηρώντας ότι το γινόμενο παραμένει το ίδιο, τα παιδιά καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι στον πολλαπλασιασμό ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Δραστηριότητα 1 (σελ. 98) Τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν τα γινόμενα, εφαρμόζοντας την προσεταιριστική και την αντιμεταθετική ιδιότητα που ισχύει στον πολλαπλασιασμό. Δραστηριότητα 5 (σελ. 99) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές λύσεις. Ενδεικτικές λύσεις: (α) = 2, = 3, = 30 διότι 2 3 30 = 180 (β) = 3, = 6, = 10 διότι 3 6 10 = 180 (γ) = 4, = 5, = 9 διότι 4 5 9 = 180
Μάθημα 17 (σελίδες 100-103) Διερεύνηση (σελ. 100-101) Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι όταν διπλασιάζεται ένας παράγοντας, διπλασιάζεται και το γινόμενο. Αξιοποιώντας την παρατήρηση αυτή, θα υπολογίσουν το γινόμενο 64 15. Για να υπολογιστεί το γινόμενο 13 15 θα αξιοποιηθεί η επιμεριστική ιδιότητα 13 15 = (8 15) + (4 15) + (1 15). Δραστηριότητες 1 και 2 (σελ. 102) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι ισχύουν τα πιο κάτω: (α) Σε ένα γινόμενο αν πολλαπλασιάσουμε τον έναν παράγοντα με κάποιο αριθμό και διαιρέσουμε τον δεύτερο παράγοντα με τον ίδιο αριθμό, το γινόμενο δεν μεταβάλλεται. (β) Σε ένα γινόμενο αν πολλαπλασιάσουμε (ή διαιρέσουμε) τον έναν παράγοντα με έναν αριθμό Α, ενώ ο δεύτερος παράγοντας δεν αλλάζει, τότε το γινόμενο θα πολλαπλασιαστεί (ή θα διαιρεθεί, αντίστοιχα) με τον αριθμό Α. Μάθημα 18 (σελίδες 104-106) Διερεύνηση (σελ. 104) Τα παιδιά αναμένεται να κάνουν μετάφραση ανάμεσα σε λεκτικές και συμβολικές προτάσεις. (α) (i) «το τετραπλάσιο του αθροίσματος 3 και 2» (ii) «το πενταπλάσιο του 4 και το διπλάσιο του 7» Δραστηριότητα 4 (σελ. 106) Λύση: Τέσσερις φορές το άθροισμα 14 και 26 Τρεις φορές τη διαφορά 38 πλην 25 14 + 26 14 + 26 14 + 26 14 + 26 38-25 38-25 38-25 Το άθροισμα του τριπλάσιου του 16 και του διπλάσιου του 9 16 16 16 9 9 Η διαφορά μεταξύ 6 φορές το 25 και 5 φορές το 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
Μαθήματα 19 και 20 (σελίδες 107-110) Εξερεύνηση (σελ. 107) Τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν το υλικό Dienes, για να αναπαραστήσουν τον αριθμό 156 (1Ε, 5Δ, 6Μ). Στη συνέχεια, αναμένεται να εργαστούν ως εξής: - Θα ανταλλάξουν την μία εκατοντάδα με 10 δεκάδες. Τώρα έχουν 15 δεκάδες. Τις μοιράζουν διά 13. Μένουν 2 δεκάδες υπόλοιπο. - Ανταλλάζουν τις 2 δεκάδες με 20 μονάδες. Τώρα έχουν 26 μονάδες. Τις μοιράζουν διά 13. Δραστηριότητα 1 (σελ. 108) Ο Μιχάλης προσπαθεί να χρησιμοποιήσει έναν προσεγγιστικό τρόπο. Βλέπει τι μέρος του 345 χωρίζει κάθε φορά σε ομάδες των 20 και συνεχίζει να κάνει το ίδιο με το υπόλοιπο. Η Θάλεια ανέλυσε το 345 σε 300 και 40 και 5. Στη συνέχεια υπολόγισε πόσες ομάδες των 20 υπάρχουν στο 300 και πόσες στο 40. Εφάρμοσε την προσεταιριστική ιδιότητα της διαίρεσης ως προς τον διαιρετέο, επιλέγοντας πολλαπλάσια του 20. Μάθημα 21 (σελίδες 111-112) Διερεύνηση (σελ. 111) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι ο Γιώργος κάνει εκτίμηση του πηλίκου, στρογγυλοποιώντας τον διαιρετέο και τον διαιρέτη σε αριθμούς των οποίων μπορεί εύκολα να υπολογιστεί το πηλίκο. Με τον ίδιο τρόπο θα εργαστούν στις δραστηριότητες που ακολουθούν. Μαθήματα 22 και 23 (σελίδες 113-115) Διερεύνηση (σελ. 113) Γίνεται εισαγωγή στον κατακόρυφο αλγόριθμο της διψήφιας διαίρεσης.
Ερώτημα (β): Τα παιδιά αναμένεται να επεξηγήσουν τον τρόπο της Τερέζας ως εξής: Μία εκατοντάδα έχει 10 δεκάδες. Συνολικά, λοιπόν, ο αριθμός 168 έχει 16 δεκάδες. Διαίρεσε 16 δεκάδες διά 12 και βρήκε πηλίκο 1 και υπόλοιπο 4 δεκάδες. Οι 4 δεκάδες ανταλλάζονται και γίνονται 40 μονάδες. Πρόσθεσε τις σαράντα μονάδες (υπόλοιπο) με τις 8 μονάδες και διαίρεσε διά 12. Βρήκε πηλίκο 4. Άρα η διαίρεση 168 διά 12 έχει πηλίκο 14. Η εκτίμηση πηλίκου αξιοποιείται για τον έλεγχο της λογικότητας της απάντησης. Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά αναμένεται να εισηγηθούν όπως η Τερέζα πολλαπλασιάσει το πηλίκο της διαίρεσης με τον διαιρέτη, για να ελέγξει την ορθότητα του υπολογισμού της, εφόσον η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντίστροφες πράξεις. Δραστηριότητα 1 (σελ. 114) Για την επαλήθευση των διαιρέσεων όπου υπάρχει υπόλοιπο, τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι αφού πολλαπλασιάσουν το πηλίκο με τον διαιρέτη, θα πρέπει να προσθέσουν στο αποτέλεσμα το υπόλοιπο, για να βρουν τον διαιρετέο [Διαιρετέος = (διαιρέτης πηλίκο) + υπόλοιπο]. Τα παιδιά αξιοποιούν την Ευκλείδεια διαίρεση. Μάθημα 24 (σελίδες 116-117) Διερεύνηση (σελ. 116) Ερωτήματα (α) και (β): Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ακολουθώντας την πορεία που περιγράφεται στο διάγραμμα, καταλήγουν στον αρχικό αριθμό.
Ερωτήματα (γ) και (δ): Η παρατήρηση που έκαναν τα παιδιά στο (β) ισχύει για οποιοδήποτε αρχικό αριθμό. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις και στο συγκεκριμένο διάγραμμα ο αρχικός αριθμός πολλαπλασιάζεται και διαιρείται με τον ίδιο αριθμό (12). Ως επέκταση, οι μαθητές μπορεί αντί αριθμό να χρησιμοποιήσουν σύμβολο. Μάθημα 25 (σελίδες 118-119) Εξερεύνηση (σελ. 118-119) Πρόκειται για πρόβλημα μοντελοποίησης. Τα παιδιά αναμένεται να αξιολογήσουν τα δεδομένα και να απαντήσουν στα ερωτήματα. Λύση: Ερώτημα (α): «Κάρτα Μουσείου» για κάθε μέλος της οικογένειας: 3 30 = 90 Κάστρο: 6, Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης: 10, Μουσείο Φυσικής Ιστορίας: 3 7 = 21 (Σύνολο: 37) Η οικογένεια δεν θα εξοικονομήσει χρήματα, αν αγοράσει την «Κάρτα Μουσείου», για κάθε μέλος της. Ερώτημα (β): «Κάρτα Μουσείου» για κάθε μέλος της οικογένειας: 4 30 = 120 Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης: 2 10 = 20 (ενήλικες), 10 (παιδί) Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο: 4 12 = 48 Σύνολο: 78 Η οικογένεια δεν έπρεπε να αγοράσει «Κάρτα Μουσείου». Ερώτημα (γ): «Κάρτα Μουσείου» για κάθε μέλος της οικογένειας: 4 30 = 120 Σάββατο: Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο (4 12 = 48) Κυριακή: Μουσείο Επιστημών (4 11 = 44) Δευτέρα: Μουσείο Φυσικής Ιστορίας (4 7 = 28) Τρίτη: Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης (2 10 = 20) Σύνολο: 140. Θα εξοικονομήσει 20.
Μαθήματα 26 και 27 (σελίδες 120-122) Διερεύνηση (σελ. 120) Α. Τα παιδιά αναμένεται να συμπληρώσουν τον πίνακα ως εξής: Αριθμός τραπεζιών Αριθμός ατόμων 1 4 2 6 3 8 4 10 Για να υπολογίσουν τα παιδιά πόσα τραπέζια θα χρειαστεί να ενώσουν οι σερβιτόροι για μια ομάδα πελατών που αποτελείται από 22 άτομα μπορούν να εργαστούν ως εξής: (α) Να κάνουν σχέδιο. (β) Να παρατηρήσουν το δοσμένα σχέδια και να σκεφτούν ότι 2 άτομα θα κάθονται στις δύο μικρότερες πλευρές. Μετά θα διαιρέσουν το 20 διά 2, αφού σε κάθε τραπέζι που ενώνεται μπορούν να καθίσουν 2 άτομα. (γ) Να παρατηρήσουν τον πίνακα και να ανακαλύψουν το μοτίβο: Ο αριθμός των ατόμων προκύπτει διπλασιάζοντας τον αριθμό των τραπεζιών και προσθέτοντας 2 κάθε φορά. Β. Παρατηρώντας το δοσμένο σχέδιο τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι από το 22 θα αφαιρέσουν τα 2 άτομα που κάθονται στα άκρα και θα διαιρέσουν τα υπόλοιπα 20 άτομα διά 4 (αφού σε κάθε εξάγωνο τραπέζι που ενώνεται μπορούν να καθίσουν 4 άτομα). Επομένως, θα χρειαστεί να ενωθούν 5 τραπέζια με σχήμα κανονικό εξάγωνο. Δραστηριότητα 1 (σελ. 121) Λύση: Αξιοποίηση στρατηγικής «Κάνω πίνακα» Εφτά Οκτώ Δέκα Δημήτρης Ευάγγελος Όμηρος
Δραστηριότητα 2 (σελ. 122) (α) Τα παιδιά είναι καλό να ενθαρρυνθούν να κάνουν την καταγραφή τους με συστηματικό τρόπο. Μια εισήγηση είναι η πιο κάτω. κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα Κυριάκος Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα Καλλιόπη Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Καλλιόπη Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Μαρίνα Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Μαρίνα Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Κυριάκος Μαρίνα Τα παιδιά στο σημείο αυτό αναμένεται να παρατηρήσουν ότι όταν το ζεύγος Κων/νου είναι πρώτο στη σειρά, υπάρχουν 6 διαφορετικοί συνδυασμοί. Με τον ίδιο τρόπο θα υπάρχουν 6 συνδυασμοί όταν το ζεύγος είναι δεύτερο στη σειρά, 6 συνδυασμοί όταν είναι τρίτο στη σειρά και 6 συνδυασμοί όταν είναι τελευταίο, όπως φαίνεται πιο κάτω. Αν τα παιδιά κάνουν αυτή την παρατήρηση δεν χρειάζεται να κάνουν όλη την καταγραφή. Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Καλλιόπη Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Κυριάκος Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Μαρίνα Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα Καλλιόπη Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα Κυριάκος Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Μαρίνα Μαρίνα Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Μαρίνα Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Κυριάκος Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα Κυριάκος Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Καλλιόπη Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Καλλιόπη Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα
Μαρίνα Κυριάκος Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Μαρίνα Καλλιόπη Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Καλλιόπη Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου Κυριάκος Μαρίνα Καλλιόπη κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Μαρίνα Κυριάκος κος Κων/νου κα Κων/νου Καλλιόπη Κυριάκος Μαρίνα κος Κων/νου κα Κων/νου (β) Ενδεικτική λύση: Ε1 (Ενήλικας 1), Ε2 (Ενήλικας 2), Ε3 (Ενήλικας 3), Ε4 (Ενήλικας 4), Π1 (Παιδί 1), Π2 (Παιδί 2) Διαδρομή 1: Ε1 και Π1. Κατεβαίνει ο Ε1. Διαδρομή 2: Ε2 και Π1. Κατεβαίνει ο Ε2. Διαδρομή 3: Ε3 και Π1. Κατεβαίνει ο Ε3. Διαδρομή 4: Ε4 και Π1. Κατεβαίνει ο Ε4. Διαδρομή 5: Π1 και Π2. Κατεβαίνουν. Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 1 (σελ. 123) Για να απαντήσουν τις ερωτήσεις, τα παιδιά πρέπει να λάβουν υπόψη τις πληροφορίες του κειμένου. Η θέση του γλάρου, του ξιφία και της πέρκας στην εικόνα δεν αντιστοιχεί με την αριθμητική γραμμή. Δραστηριότητα 26 (σελ. 136) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές λύσεις.
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: 1. Εφαρμογίδια για αρνητικούς αριθμούς 1.1 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2001/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα διερεύνησης των αρνητικών αριθμών στην αριθμητική γραμμή. Στη δραστηριότητα Name the number παρουσιάζονται 3 σημεία στην αριθμητική γραμμή και τα παιδιά καλούνται να δηλώσουν ποιος αριθμός παρουσιάζεται σε συγκεκριμένη θέση. Στη δραστηριότητα Select the spot δύο αριθμοί παρουσιάζονται στην αριθμητική γραμμή και τα παιδιά καλούνται να σημειώσουν τη θέση ενός τρίτου αριθμού. Και στις δύο δραστηριότητες, σε περίπτωση που ο χρήστης δώσει λανθασμένη απάντηση, δίνεται η επιλογή να χρησιμοποιηθεί κλίμακα χωρισμένη σε ίσα τμήματα.
1.2 Ιστοσελίδα http://mathstar.lacoe.edu/newmedia/integers/intro/activities/intro_numberline.html Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν στην αριθμητική γραμμή τα γράμματα που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένους (θετικούς ή αρνητικούς) αριθμούς. 1.3 Ιστοσελίδα http://pbskids.org/cyberchase/math-games/space-coupe-rescue/ Τα παιδιά καλούνται να κατευθύνουν το όχημα προς τους στόχους, καθορίζοντας με έναν θετικό ή έναν αρνητικό αριθμό την κίνηση που απαιτείται να εκτελέσει.
1.4 Ιστοσελίδα http://www.sheppardsoftware.com/mathgames/integers/fs_compareintegers.htm Τα παιδιά καλούνται να συγκρίνουν ακέραιους αριθμούς. 2. Εφαρμογίδια για εξαψήφιους αριθμούς 2.1 Ιστοσελίδα http://www.aaamath.com/g31d_px1.html#section2 Τα παιδιά καλούνται να γράψουν σε συμβολική μορφή τον πενταψήφιο ή εξαψήφιο αριθμό που παρουσιάζεται ως άθροισμα.
2.2 Ιστοσελίδα http://www2.nzmaths.co.nz/learningobjects/numbers/numbersen123456.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης εξαψήφιων αριθμών. 2.3 Ιστοσελίδα http://mathsframe.co.uk/en/resources/resource/53/rounding Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα εξάσκησης στη στρογγυλοποίηση αριθμών, με δραστηριότητες σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας. Για παράδειγμα, στο τέταρτο επίπεδο ζητείται στρογγυλοποίηση τετραψήφιων αριθμών στην πλησιέστερη εκατοντάδα.
2.4 Ιστοσελίδα http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspdetail&resourc eid=1024 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα στρογγυλοποίησης στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα. Έχοντας επιλεγμένη την εντολή Flat, ο χρήστης τοποθετεί αριθμούς στην αριθμητική γραμμή (το διάστημα καθορίζεται με τα βέλη δεξιά και αριστερά στη γραμμή). Στο στάδιο αυτό γίνεται πρόβλεψη για τη στρογγυλοποίηση των αριθμών, η οποία επαληθεύεται στη συνέχεια με τη χρήση της εντολής Hill.
3. Εφαρμογίδια για πολλαπλασιασμό 3.1 Ιστοσελίδα http://www.mathsisfun.com/numbers/estimation-game.php Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε «Multiply Tens» για εκτίμηση γινομένου. Τα παιδιά καλούνται, με βάση την εκτίμησή τους για το γινόμενο που παρουσιάζεται, να τοποθετήσουν το βέλος στο κατάλληλο σημείο της αριθμητικής γραμμής. 3.2 Ιστοσελίδα http://mathsframe.co.uk/en/resources/resource/29/missing_digits Από την αρχική σελίδα ο χρήστης επιλέγει τη μορφή πολλαπλασιασμού με την οποία θα εργαστεί (π.χ. HTU U, για τριψήφιο επί μονοψήφιο αριθμό). Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν τα ψηφία που λείπουν από την πράξη πολλαπλασιασμού που παρουσιάζεται.
3.3 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l61/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού ως εμβαδόν, αξιοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Το συγκεκριμένο εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για πολλαπλασιασμούς διψήφιου επί μονοψήφιο αριθμό. 3.4 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l82/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού ως εμβαδόν, αξιοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (τόσο ως προς την πρόσθεση όσο και ως προς την αφαίρεση). Το συγκεκριμένο εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για πολλαπλασιασμούς διψήφιου επί διψήφιο αριθμό.
3.5 Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_192_g_2_t_1.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού ως εμβαδόν, αξιοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. 3.6 Ιστοσελίδα http://www.bbc.co.uk/skillswise/game/ma12pape-game-written-multiplication Εργαζόμαστε στο δεύτερο επίπεδο (Level B Medium) για πολλαπλασιασμό διψήφιου επί διψήφιο αριθμό.
4. Εφαρμογίδια για διαίρεση 4.1 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2007/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει στα παιδιά τη δυνατότητα να βρουν το πηλίκο διαιρέσεων, αξιοποιώντας μια αναπαράσταση με εμβαδόν ορθογωνίου. Τα παιδιά χωρίζουν την επιφάνεια σε μικρότερα ορθογώνια με βάση διαιρέσεις που γνωρίζουν. Για παράδειγμα, στη διαίρεση 126 9 αξιοποιούν τη διαίρεση 90 9 = 10 και προχωρούν στη διαίρεση 36 9 = 4. Άρα, 126 9 = 10 + 4 = 14. Στο πιο πάνω εφαρμογίδιο τα παιδιά εργάζονται με διαιρέσεις χωρίς υπόλοιπο. Για διαιρέσεις με υπόλοιπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί το αντίστοιχο εφαρμογίδιο (http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2008/index.html). Για καθορισμό διαιρέσεων από τον χρήστη (τριψήφιος διά μονοψήφιο αριθμό) μπορεί να αξιοποιηθεί το εφαρμογίδιο στην ακόλουθη ιστοσελίδα: http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2009/index.html.
5. Εφαρμογίδιο για πράξεις 5.1 Ιστοσελίδα http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/17001/ Το εφαρμογίδιο δίνει στον χρήστη τη δυνατότητα να δημιουργήσει αλυσίδες πράξεων. Μπορεί να αξιοποιηθεί κατά τη διδασκαλία πράξεων που είναι αντίθετες (πρόσθεση αφαίρεση) ή αντίστροφες (πολλαπλασιασμός διαίρεση).