f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,

NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n

2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc opoðouc kai euqarist jerm.

Perieqìmena 1 Eisagwg 5 1.1 Eisagwgikèc 'Ennoiec....................... 5 1.2 'Uparxh kai Monadikìthta StajeroÔ ShmeÐou.............................. 8 2 AstajeÐc Upìqwroi 13 2.1 Basikèc Idiìthtec tou W u (p, f)................. 13 2.2 To sônolo Ω(f).......................... 19 3 To Je rhma tou Sarkovskii 25 3.1 MÐa eidik perðptwsh....................... 25 3.2 To Je rhma tou Sarkovskii................... 27 4 Q oc 39 4.1 Qaotikèc apeikonðseic....................... 39 4.2 Sumper smata........................... 40 4.3 Q oc se Peperasmènec Diast seic................ 44 4.4 Q oc se 'Apeirec Diast seic................... 46 3

4 PERIEQ OMENA

Kef laio 1 Eisagwg 1.1 Eisagwgikèc 'Ennoiec Sthn paroôsa ergasða, pragmateuìmaste suneqeðc sunart seic oi opoðec è- qoun san pedðo orismoô kai pedðo tim n èna kleistìkai fragmèno di sthma, u- posônolo thc eujeðac twn pragmatik n arijm n. Sto ex c loipìn, me C 0 (I,I) ja sumbolðzoume to sônolo twn suneq n sunart sewn apo to I ston eautì tou, ìpou I =[a, b] gia k poia a, b R. Orismìc 1.1.1. 'Estw f C 0 (I,I). To x I ja lègetai stajerì shmeðo thc f sto I an f(x) =x. Gewmetrik, to stajerìshmeðo eðnai to shmeðo tom c thc sun rthshc f me thn diqotìmo 1hc - 3hc gwnðac, dhlad thn eujeða y = x. Gia par deigma ac jewr soume thn sun rthsh f :[0, 1] [0, 1] me tôpo f(x) =x 2. Gia na broôme ta stajer shmeða thc arkeð na lôsoume thn exðswsh f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0, apo to opoðo sumperaðnoume ìti x =0 x =1. 5

6 KEF ALAIO 1. EISAGWG H 2 1 2-1 1 Sq ma 1.1: Stajer shmeða thc f(x) =x 2, sto [0, 1] Orismìc 1.1.2. OrÐzoume thn n-ost sunjesh miac f C 0 (I,I) wc thn sun rthsh f n C 0 (I,I),gia thn opoða isqôei ìti f n = f f n 1 kai f 0 (x) =x, gia k je x I. Orismìc 1.1.3. 'Estw f C 0 (I,I). To shmeðo x I ja lègetai periodikì me perðodo n N, an f n (x) =x, en f κ (x) x, gia κ =1, 2,..., n 1. Orismìc 1.1.4. An f C 0 (I,I) tìte gia k je x I orðzoume thn troqi tou x wc proc thn f, na eðnai to sônolo Orb(x) ={x, f(x),f 2 (x),...}. Ac shmei soume sto shmeðo autì ìti gia k je shmeðo x I mporoôme na p roume thn Orb(x). Profan c, an h troqi eðnai peperasmèno sônolo, tìte to x eðnai periodikì shmeðo, kai antðstrofa. Orismìc 1.1.5. An to p I eðnai èna periodikì shmeðo miac f C 0 (I,I) tìte orðzoume ton astaj upìqwro na eðnai to sônolo, W u (p, f) = f n (p ɛ, p + ɛ). ε>0 n 0 Me lla lìgia, an x W u (p, f), èpetai ìti gia k je ɛ>0, up rqei n 0 ste x f n (p ɛ, p + ɛ). O parap nw orismìc eðnai isodônamoc me to na poôme ìti an x W u (p, f), tìte up rqoun akoloujðec y κ stoiqeðwn tou I kai m κ me y κ p, ste x = f m k (yk ). Orismìc 1.1.6. An to p I eðnai èna periodikì shmeðo miac f C 0 (I,I) tìte orðzoume ton + astaj upìqwro na eðnai to sônolo, W u (p, f, +) = f n [p, p + ɛ). ɛ>0 n 0

1.1. EISAGWGIK ES ENNOIES 7 Me lla lìgia, an x W u (p, f, +), èpetai ìti gia k je ɛ>0, up rqei n 0, ste x f n [p, p + ɛ). IsodÔnama mporoôme na poôme ìti up rqoun akoloujðec y κ stoiqeðwn tou I kai m κ me y κ p kai y κ p, ste x = f mκ (y κ ). Orismìc 1.1.7. An to p I eðnai èna periodikì shmeðo miac f C 0 (I,I) tìte orðzoume ton - astaj upìqwro na eðnai to sônolo, W u (p, f, ) = ɛ>0 f n (p ɛ, p]. Entel c antðstoiqa me parap nw, an x W u (p, f, ), èpetai ìti gia k je ɛ>0, up rqei n 0, ste x f n (p ɛ, p]. IsodÔnama mporoôme na poôme ìti up rqoun akoloujðec y κ stoiqeðwn tou I kai m κ me y κ p kai y κ p, ste x = f mκ (y κ ). n 0 Profan c isqôei ìti W u (p, f) =W u (p, f, ) W u (p, f, +)

8 KEF ALAIO 1. EISAGWG H 1.2 'Uparxh kai Monadikìthta StajeroÔ ShmeÐou Orismìc 1.2.1. 'Estw f C 0 (I,I). H f ja lègetai sustol sto I an up- rqei L (0, 1) ste gia k je x, y I, isqôei ìti f(x) f(y) L x y. Je rhma 1.2.2. (StajeroÔ shmeðou tou Banach) 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f eðnai sustol. Tìte h f èqei monadikì stajerì shmeðo sto I. Apìdeixh. 'Estw z I. JewroÔme thn akoloujða a n = f n (z),n=1, 2,... H {a n } eðnai Cauchy kaj c gia m, n me m>n, a n a m a m a m 1 + a m 1 a m 2 +... a n+1 a n L m 2 a 2 a 1 + L m 3 a 2 a 1 +... + L n 1 a 2 a 1 = a 2 a 1 (L n 1 + L n +...L m 3 + L m 2 ) n 1 1 Lm n 1 = a 2 a 1 (L ) 1 L kaj c m, n. a 2 a 1 Ln 1 1 L 0 'Ara, h {a n } sugklðnei se k poio a I. f(a n ) f(a). 'Omwc f(a n )=a n+1 kai Apì sunèqeia thc f, èpetai ìti lim n a n = lim n a n+1.

1.2. UPARXH KAI MONADIK OTHTA STAJERO U SHME IOU 9 Telik, f(a) =a. T ra ja apodeðxoume ìti autìto a eðnai monadikì. 'Estw oti h f èqei dôo stajer shmeða x, y me x y. Tìte, x y = f(x) f(y) L x y kai ra, L 1 to opoðo eðnai topo. Prìtash 1.2.3. 'Estw f C 0 (I,I), kai upojètoume ìti h f eðnai sustol. Tìte, gia k je n N h f n èqei monadikì stajerì shmeðo. Apìdeixh. JewroÔme thn akoloujða a n = f n (z), gia k poio z I, ìpwc kai parap nw. ApodeÐxame ìti a n a, a I. Apì sunèqeia thc f n èpetai ìti, f n (a n ) f n (a) 'Omwc, f n (a n )=a 2n kai lim n a n = lim n a 2n. Telik, f n (a) =a. T ra ja apodeðxoume ìti autìto a eðnai monadikì. 'Estw ìti h f n èqei dôo stajer shmeða x, y me x y. Tìte, x y = f n (x) f n (y) L n x y kai èqoume to opoðo eðnai topo. L n 1 Je rhma 1.2.4. 'Estw f : I I suneq c kai paragwgðsimh sto I o me f (x) L<1 kai autì gia k je x I o. Tìte h f èqei monadikì stajerì shmeðo sto I. Apìdeixh. 'Estw x, y I me x<y. H f eðnai suneq c sto [x, y] I H f eðnai paragwgðsimh sto (x, y) I o Apì to Je rhma Mèshc Tim c, èpetai ìti up rqei x 0 (x, y) ste, f(x) f(y) =f (x 0 )(x y) f(x) f(y) = f (x 0 ) x y f(x) f(y) L x y me 0 L<1. 'Ara h f eðnai sustol, kai to zhtoômeno èpetai apo to Je rhma StajeroÔ shmeðou.

10 KEF ALAIO 1. EISAGWG H Me to pèrac thc parap nw apìdeixhc gennioôntai k poia erwt mata thc morf c: An f (x) =1 f (x) 1 tìte mporoôme na sumper noume thn Ôparxh akìma kai thn monadikìthta k poiou stajeroô shmeðou? To mìno sðgouro eðnai ìti den mporoôme na mil soume gia monadikìthta (ìpoioc epiqeir sei na deðxei k ti tètoio ja katal xei sto Ðdio sumpèrasma). Ti gðnetai ìmwc gia thn Ôparxh? Se toôto to shmeðo èrqetai to epìmeno je rhma gia na d sei apant seic sta erwt mat mac. Je rhma 1.2.5. 'Estw f C 0 (I,I) kai èstw K I èna kleistì di sthma gia to opoðo isqôei ìti K f(k). Tìte h f èqei toul qiston èna stajerì shmeðo sto K. Apìdeixh. 'Estw K =[a, b], kai lìgw tou ìti K f(k), èqoume ìti [a, b] f([a, b]). JewroÔme thn suneq sto I sun rthsh me tôpo, g(x) =f(x) x kai diakrðnoume tic ex c 2 peript seic: a) An [a, b] [f(a),f(b)]. 'Eqoume loipìn ìti f(a) a kai f(b) b. g(a) =f(a) a 0 g(b) =f(b) b 0 Apì ta parap nw èqoume ìti, g(a)g(b) 0. An isqôei h isìthta èqoume ìti èna apo ta a, b einai stajerì shmeðo kai telei noume. An isqôei h anðswsh, tìte apo to Je rhma Bolzano èqoume ìti up rqei x 0 (a, b) tètoio ste, g(x 0 )=0 f(x 0 ) x 0 =0 f(x 0 )=x 0 b) An [a, b] [f(b),f(a)] 'Eqoume loipìn ìti f(a) b kai f(b) a. g(a) =f(a) a b a>0 g(b) =f(b) b a b<0 Apì ta parap nw èqoume ìti, g(a)g(b) < 0.

1.2. UPARXH KAI MONADIK OTHTA STAJERO U SHME IOU 11 Xan apì to Je rhma Bolzano èqoume ìti up rqei x 0 (a, b), tètoio ste g(x 0 )=0 f(x 0 ) x 0 =0 f(x 0 )=x 0. Se ìlec tic peript seic apodeðxame thn Ôparxh stajeroô shmeðou. b a a b Sq ma 1.2: Gewmetrik ErmhneÐa tou Jewr matoc 1.2.5 To Je rhma 1.2.5. mac exasfalðzei thn Ôparxh stajeroô shmeðou upìtic proupojèseic tic opoðec anafèrame. Up rqoun kai llec sunj kec, oi opoðec se sunduasmìme to parap nw Je rhma mac exasfalðzoun kai thn monadikìthta, ìpwc gia par deigma h gn sia monotonða.

12 KEF ALAIO 1. EISAGWG H

Kef laio 2 AstajeÐc Upìqwroi 2.1 Basikèc Idiìthtec tou W u (p, f) L mma 2.1.1. 'Estw f C 0 (I,I), kaièstw p èna stajerì shmeðo thc f sto I. Tìte ta sônola W u (p, f), W u (p, f, +), W u (p, f, ) eðnai sunektik. Apìdeixh. Ja d soume apìdeixh mon qa gia ton upìqwro W u (p, f). Gia touc + kai - astajeðc upìqwrouc h apìdeixh kineðtai sta Ðdia akrib c plaðsia. 'Estw b, c W u (p, f) kai upojètoume oti b<x<c. ArkeÐ na deðxoume oti x W u (p, f). QwrÐc bl bh thc genikìthtac mporoôme na upojèsoume ìti p x. JewroÔme thn ɛ-perioq tou p, V =(p ɛ, p + ɛ). 'Eqoume ìti c W u (p, f) kai ra c f n (V ), gia k poio n>0. 'Omwc h f eðnai suneq c, kai ra h f n suneq c. EpÐshc to sônolo V eðnai di sthma kai telik sumperaðnoume ìti to sônolo f n (V ) eðnai epðshc di sthma. 'Eqoume loipìn, c f n (V ) p f n (V ) p x<c apì ta opoða èpetai x f n (V ), dhlad x W u (p, f), to opoðo eðnai kai to zhtoômeno. Pìrisma 2.1.2. 'Estw f C 0 (I,I), kai èstw p èna stajerì shmeðo thc f sto I. Tìte kajèna apì ta sônola W u (p, f), W u (p, f, +), W u (p, f, ) eðnai eðte di sthma, eðte to monosônolo {p}. Apìdeixh. Ja d soume apìdeixh mon qa gia ton W u (p, f). Gia touc + kai - astajeðc upìqwrouc, h apìdeixh eðnai ìmoia. Apo to L mma 2.1.1., èqoume ìti 13

14 KEF ALAIO 2. ASTAJE IS UP OQWROI o W u (p, f) eðnai sunektikì sunolo. EÐnai swstì ìti p W u (p, f) kaj c to p eðnai stajerì shmeðo kai ra, p f n (p ɛ, p + ɛ). 'Omwc ta mìna sunektik uposônola tou R, eðnai ta monosônola kai ta diast mata. An o W u (p, f) perièqei mon qa to p, tìte profan c W u (p, f) ={p}, to opoðo eðnai sunektikì. An t ra perièqei kai llo shmeðo ektìc tou p, tìte ja perièqei kai ìla ta shmeða metaxô touc kaj c eðnai sunektikì, kai rajaeðnai di sthma. Prìtash 2.1.3. 'Estw f C 0 (I,I), kai èstw p èna stajerì shmeðo thc f sto I. An to W u (p, f, ) perièqei shmeðo megalôtero tou p, tìte W u (p, f, +) W u (p, f, ). An to W u (p, f, ) den perièqei shmeðo mikrìtero tou p,tìte W u (p, f, ) ={p} W u (p, f, ) =W u (p, f, +) An to W u (p, f, +) perièqei shmeðo mikrìtero tou p, tìte W u (p, f, ) W u (p, f, +). An to W u (p, f, +) den perièqei shmeðo megalôtero tou p, tìte W u (p, f, +) = {p} W u (p, f, +) = W u (p, f, ) Apìdeixh. Ja deðxoume mon qa touc duo pr touc isqurismoôc, kaj c h apìdeixhtwn llwn duo kineðtai se entel c antðstoiqa plaðsia. Gia thn pr th prìtash èqoume ta ex c: 'Estw ìti o W u (p, f, ), perièqei èna shmeðo c>p. Autì, se sunduasmì me to ìti p W u (p, f, ), mac dðnei ìti [p, c] W u (p, f, ). Ac jewr soume t ra èna x W u (p, f, +). 'Eqoume loipìn ex orismoô ìti, x = f mκ (y κ ) ìpou y κ p kai y κ p. Gia meg la κ, isqôei ìti y κ W u (p, f, ) dhlad x W u (p, f, ) kai ra èqoume ìti W u (p, f, +) W u (p, f, ), to opoðo eðnai kai to zhtoômeno. Gia ton deôtero isqurismì èqoume ta ex c: 'Estw xan ìti o W u (p, f, ), perièqei èna shmeðo c>p, kai upojètoume ìti den up rqei shmeðo mikrìtero tou p. JewroÔme èna d (p, c) kai epilègoume èna α<ptètoio ste f(x) <d, gia k je x (α, p). IsqÔei ìti α/ W u (p, f, )) apìto opoðo èpetai ìti up rqei b (α, p) ste an x (b, p) tìte f n (x) α, gia k je n 0. 'Eqoume epðshc ìti up rqei y (b, p) kai n>0 ste c = f n (y). 'Estw m n o megalôteroc jetikìc akèraioc pou ikanopoieð thn sqèsh f κ (y) (α, p), κ =0, 1, 2,..., m 1. An f m (y) <p,tìte f m (y) α kai ra α = f m (w) gia k poðo w (b, p), pr gma to opoðo apoteleð antðfash kai ra

2.1. BASIK ES IDI OTHTES TOU W U (P, F) 15 p<f m (y) <d. Efìson to d eðnai aujaðreta kont sto p, èpetai ìti c W u (p, f, +), to opoðo shmaðnei ìti W u (p, f, ) W u (p, f, +). Ta sumper smat mac se sunduasmì me ton isqurismì parap nw mac dðnoun ìti W u (p, f, ) =W u (p, f, +). Prìtash 2.1.4. 'Estw f C 0 (I,I), kai èstw p èna stajerì shmeðo thc f sto I. An f(x) <xgia k je a x<p,tìte [α, p] W u (p, f, ). An f(x) >xgia k je p<x b, tìte [p, b] W u (p, f, +). Apìdeixh. Ja apodeðxoume mon qa ton pr to isqurismì kaj c xan oi duo apodeðxeic kinoôntai sta ÐdiaplaÐsia. Gia k je x 0 [α, p] up rqei èna x 1 (x 0,p) me f(x 1 )=x 0. An akolouj soume thn Ðdia diadikasða paðrnoume mia akoloujða {x κ } h opoða eðnai aôxousa, nw fragmènh apìto p kai isqôei f(x κ+1 )=x κ, gia k je κ. EpÐshc, x κ p kaj c κ, kai autìdiìti h x κ eðnai aôxousa kai nw fragmènh apo to p. 'Eqoume loipìn ìti x 0 = f κ (x κ ) me x κ p kai x κ p ra x 0 W u (p, f, ). 'Omwc x 0 [α, p] kai telik [α, p] W u (p, f, ). L mma 2.1.5. 'Estw f C 0 (I,I) kai èstw {p 1,p 2,..., p n } mia periodik troqi thc f.tìte, W u (p 1,f)=W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ) Apìdeixh. IsqÔei ìti f(p i )=p i+1, i =1, 2,..., n kai ìti f(p n )=p 1. H apìdeixh qwrðzetai se dôo mèrh. Arqik ja deðxoume ìti, W u (p 1,f) W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ). 'Estw z W u (p 1,f) kai èstw z/ W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ).

16 KEF ALAIO 2. ASTAJE IS UP OQWROI Gia k je p i ja sumbolðzoume me V i thn ε-perioq autoô. up rqei ε>0 ste, z/ f mn (V i ) m=0 'Etsi èqoume ìti gia k je i =1, 2,...,n. JewroÔme W 1 = V 1, en gia j =2,..., n orðzoume W j na eðnai mia geitonða tou p j gia thn opoða isqôei ìti f j 1 (W j ) V j. 'EpÐshc orðzoume W 0 = W 1 W 2... W n. EÐnai swstì ìti z/ m=0 f m (W 0 ) diìti an z f j (W 0 ) gia k poio j, tìte z f j (W 1 )=f j (V 1 ). 'Omwc z/ f jn (V 1 ). DiakrÐnoume tic ex c peript seic: An j = n, èqoume z f n (W 0 ) to opoðo eðnai topo. An j>ntìte, j = κn+(i 1) gia k poðo κ (Z). GnwrÐzoume ìti f j 1 (W i ) V i. 'Ara ja èqoume z f j (W i )=f j+1 i (f i 1 (W i )) f j+1 i (V i )=f nκ (V i ) to opoðo eðnai topo. An j<ntìte z f j (W 0 ) f j (W j+1 ) V j+1 to opoðo eðnai epðshc topo. 'Eqoume lopìn ìti, z/ m=0 f m (W 0 ), dhlad z/ m=0 f m (W 1 ) kai telik z/ W u (p 1,f) pr gma to opoðo antibaðnei sthn arqik mac upìjesh. 'Ara, èqoume ìti W u (p 1,f) W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ). Ja deðxoume t ra ìti, W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ) W u (p 1,f). 'Estw ìti z W u (p k,f n ) gia k poio k =1, 2,..., n. 'Estw V mia ɛ-perioq tou p 1. OrÐzoume gia k =1(dhlad mil me gia to p 1 ), tìte V = N, en giak>1 orðzoume N na eðnai mia geitoni tou p k gia thn opoða isqôei ìti f n (k 1) (N) V. Tìte ja èqoume, z f r (V ) apo to opoðo èpetai ìti z W u (p 1,f) ìpou, r = mn ìtan k =1 en, r = mn +(n k +1)gia k>1. Telik, W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ) W u (p 1,f) kai sumperaðnoume to zhtoômeno.

2.1. BASIK ES IDI OTHTES TOU W U (P, F) 17 L mma 2.1.6. 'Estw f C 0 (I,I) kai èstw p èna periodikì shmeðo thc f. Jètoume J = W u (p, f). Tìte f(j) =J Apìdeixh. Arqik ja deðxoume ìti f(j) J. 'Estw x J. Tìte gia k je W geitoni tou p èqoume, x J isodônama x W u (p, f), dhlad x f m (W ) gia k poio m 0, apo to opoðo èpetai ìti f(x) f m+1 (W ). 'Ara, f(j) J. Ja deðxoume t ra ìti,j f(j). Upojètoume ìti to f(j) eðnai gn sio uposônolo tou J kai ja katal xoume se topo. 'Estw z J\f(J) kai èstw n h perðodoc tou p. Apì to L mma 2.1.5, èqoume ìti up rqei p 0 Orb(p), ste z W u (p 0,f n ). Jètoume K = W u (p 0,f n ), kai diakrinoume tic ex c dôo peript seic: a) To K eðnai mia geitoni tou p 0. Tìte èqoume, z W u (p 0,f n ) alli c z f mn (K) gia k poio m>0. IsqÔei ìti f(j) J to opoðo mac dðnei f 2 (J) J, dhlad f r (J) J, giak je r>0. 'Etsi, f mn (K) f mn (J) kai ra z f(j), to opoðo eðnai topo kaj c upojèsame ìti z J\f(J). b) To K den eðnai geitoni tou p 0. Tìte apo to L mma 2.1.1. ja eðnai èna di sthma me kro to p 0. QwrÐc bl bh thc genikìthtac mporoôme na upojèsoume ìti K =[p 0,b] gia k poio b I. Epilègoume èna c<p 0 tètoio ste f n (x) z,gia k je x [c, p 0 ]. H epilog enìc tètoiou shmeðou eðnai efikt kaj c h f eðnai suneq c kai f n (p 0 )=p 0. Kaj c c<p 0, sumperaðnoume ìti c/ K. 'Etsi, up rqei mia geitoni tou p 0 èstw V =(a, d) me c<a<p 0 <d<z, ste c/ f mn (V ) m=0 Ac shmei soume ìti z/ f mn (K) kaj c, f mn (K) f(j), kaiz J\f(J). 'EpÐshc, c/ m=0 f mn (V ), kai ra c/ f n (V ). IsqÔei ìti z/ f n ((a, p 0 )), kaiautìdiìti, z/ f n ([c, p 0 ]), kai (a, p 0 ) [c, p 0 ]. 'Enac lloc swstìc isqurismìc eðnai ìti z/ f n ([p 0,d]) diìti, [p 0,d) K, kai ra f n ([p 0,d]) f n (K). Sugkentr nontac ta parap nw èqoume ìti z/ f n ((a, p 0 ) [p 0,d)),apo to opoðo èpetai ìti z/ f n (V ).

18 KEF ALAIO 2. ASTAJE IS UP OQWROI 'Ara f n (V ) (c, z). Epanalamb nontac thn Ðdia diadikasða epagwgik èpetai ìti gia k je m>0,z / f mn (V ), me llalìgia z/ W u (p 0,f n ) kai ra z/ K, to opoðo eðnai topo. Kai stic dôo peript seic katal xame se topo. 'Ara h upìjes mac tan esfalmènh. Telik, èqoume ìti f(j) =J. Ac shmei soume se autì to shmeðo ìti autì pou isqôei sto L mma 2.1.6. gia ton astaj upìqwro W u (p, f), isqôei kai kai gia touc + kai - astajeðc upìqwrouc. IsqÔei dhlad ìti, W u (p, f, +) = f(w u (p, f, +)) kai W u (p, f, ) =f(w u (p, f, )) L mma 2.1.7. 'Estw f C 0 (I,I) kai èstw p èna periodikì shmeðo thc f.'an jèsoume J = W u (p, f), en me J sumbolðsoume thn kleistìthta tou J, tìte èqoume ìti k je stoiqeðo tou J J, eðnai periodikì. Apìdeixh. 'Estw x J J.Apo to L mma 2.1.6., èqoume ìti f(j) =J. 'Ara, up rqei y J, tètoio ste, y = f(x).'omwc, f(j) =J, kai ra y J J, dhlad f(x) J J. Sugkentr nontac ta parap nw èqoume ìti, J J f(j J). Apo to L mma 2.1.1. ìti to sônolo J eðnai sunektikì kai sumperaðnoume ìti kai to sônolo J, eðnai epðshc sunektikì. Apo to L mma 2.1.5. èqoume ìti J = W u (p 1,f)= n i=1 W u (p i,f n ). 'Ara to sônolo J J, perièqei ta kra twn diasthm twn W u (p i,f n ). Efìson to pl joc aut n twn diasthm twn eðnai peperasmèno, èqoume ìti kai to sônolo J J èqei peperasmèna to pl joc stoiqeða(pl joc mikrìtero Ðso me 2n). Telik, k je stoiqeðo tou sunìlou J J eðnai periodikì kai autì diìti, an up rqe èna a J J to opoðo den eðnai periodikì, tìte to sônolo Orb(a) ={a, f(a),f 2 (a),...} ja eðqe peira to pl joc stoiqeða to opoðo eðnai topo kaj c Orb(a) J J

2.2. TO S UNOLO Ω(F ) 19 2.2 To sônolo Ω(f) Orismìc 2.2.1. 'Ena shmeðo x I ja legetai wandering an up rqei sônolo V pou naeðnai e-perioq tou x, ste gia k je n>0 na isqôei f n (V ) V =. An p roume thn rnhsh thc parap nw prìtashc prokôptei o parak tw orismìc gia to nonwandering shmeðo. Orismìc 2.2.2. 'Ena shmeðo x I ja legetai nonwandering an gia k je sônolo V pou naeðnai e-perioq tou x na up rqei n>0 ste f n (V ) V. Sto ex c me Ω(f) ja sumbolðzoume to sônolo twn nonwandering shmeðwn. Ac shmei soume ìti to Ω(f) eðnai mh kenì sônolo kai ìti isqôei f(ω(f)) Ω(f). L mma 2.2.3. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei peperasmènou pl jouc periodik shmeða, en p eðnai èna stajerì shmeðo. 'Estw epðshc ìti x W u (p, f). An x>ptìte x W u (p, f, +), en an x<ptìte x W u (p, f, ). Apìdeixh. Oi dôo apodeðxeic eðnai an logec kai ra, eðnai arketì na deðxoume mon qa to pr to. 'Estw x W u (p, f) me x>p. Upojètoume ìti x/ W u (p, f, +) kai ja katal xoume se topo. Efìson x/ W u (p, f, +) èpetai ìti x W u (p, f, ). 'Estw p 1 to kontinìtero stajerì shmeðo sta arister tou p. Se perðptwsh pou to p eðnai monadikì, san p 1 epilègoume to aristerì kro tou I. Tìte gia k je y (p 1,p) isqôei ìti f(y) <y f(y) >ykai autì diìti metaxô duo diadoqik n stajer n shmeðwn thc f, h posìthta f(y) y anagkastik ja diathreð stajerì prìshmo. 'Omwc an f(y) >y èpetai ìti W u (p, f, ) W u (p, f, +), apo thn Prìtash 2.1.4, kai ra x W u (p, f, +) to opoðo antibaðnei sth upìjes mac. Telik, gia k je y (p 1,p), f(y) <y. Ac jewr soume t ra to sônolo, A = {y <p 1 : f(y) =p}. To sônolo autì eðnai mh kenì diìti x W u (p, f, ). 'Estw z =supa. Tìte isqôei ìti z<p 1 kai f(z) =p.

20 KEF ALAIO 2. ASTAJE IS UP OQWROI 'Estw y (z, p 1 ). To f([z, y]) eðnai to di sthma [f(y),f(z)], dhlad [f(y),p]. Efìson x W u (p, f, ) antilambanìmaste ìti z W u (p, f, ) to opoðo shmaðnei ìti z f n (f([z, y])), giak poio n>0, dhlad z f n+1 [z, y]. EpÐshc, y f n+1 ([z, y]) kai sumperaðnoume ìti to f n+1 ([z, y]) eðnai di sthma pou perièqei ta y, z. 'Eqoume loipìn ìti [z, y] f n+1 ([z, y]) to opoðo, mac eggu tai thn Ôparxh stajeroô shmeðou thc f n+1 sto [z, y]. Me lla lìgia, h f èqei periodikì shmeðo sto [z, y]. Wstìso, to y epilèqjhke tuqaða, pr gma apo to opoðo èpetai ìti gia k je timh pou to y mporeð na p rei, up rqei kai toul qiston èna periodikì shmeðo. Sunep c h f èqei peira periodik shmeða, to opoðo eðnai topo. 'Ara, x W u (p, f, +). Je rhma 2.2.4. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei peperasmènou pl jouc periodik shmeða, en p eðnai èna stajerì shmeðo. An x W u (p, f) me f(x) =p, tìte x = p. Apìdeixh. 'Estw x W u (p, f) me f(x) =p kai upojètoume ìti x p. QwrÐc bl bh thc genikìthtac mporoôme na upojèsoume ìti x>p. Tìte apo to L mma 2.2.3. èqoume ìti x W u (p, f, +). Gia k poio di sthma (q, z) (p, x) isqôei ìti f 1 (p) (q, z) = kai f(z) =p. Gia k je a I me a<z,to f([a, z]) eðnai di sthma pou perièqei to p. IsqÔei ìti gia k je a<z, to f([a, z]) perièqei di sthma thc morf c [b, p]. An ìqi, ja èprepe gia k je a<z to f([a, z]) na perièqei èna di sthma thc morf c [p, b], to opoðo eðnai adônato. An p<a<z, tìte [p, b] f([a, z]). Kaj c z W u (p, f, +), èpetai ìti gia k poio n>0, z f n ([p, b]) to opoðo mac dðnei ìti z f n+1 ([a, z]). 'Eqoume loipìn ìti ta a, z an koun sto di sthma f n+1 ([a, z]), dhlad [a, z] f n+1 ([a, z]) to opoðo mac lèei ìti h f èqei periodikìshmeðo sto [a, z]. 'Omwc to a epilèqjhke tuqaða kai ra h f èqei peira periodik shmeða, pr gma to opoðo antibaðnei sthn upìjes mac. Isqurizìmaste ìti up rqei èna y (p, z) ste na isqôei ìti f(y) >p, kai autì diìti an upojèsoume ìti gia k je y (p, z) isqôei ìti f(y) p, ja katal xoume se topo. Pr gmati, kaj c z W u (p, f, +) paðrnoume ìti gia k poio n>0, z f n ([a, z]) apo thn Prìtash 2.1.3. EpÐshc, a f n ([a, z]). Sunep c

2.2. TO S UNOLO Ω(F ) 21 [a, z] f n ([a, z]), to opoðo mac eggu tai thn Ôparxh periodikoô shmeðou thc f. 'Omwc to a epilèqjhke tuqaða, kai ra h f èqei peira periodik shmeða, to opoðo eðnai topo. 'Ara up rqei y (p, z) ste f(y) >p. JewroÔme to sônolo, A = {w >y: f(w) =p} kai jètoume d =infa. IsqÔei ìti f(d) =p kai y < d < z. JewroÔme èna a I me p<a<d. SÔmfwna me ton isqurismì ton opoðo deðxame parap nw, [p, b] f([a, d]) gia k poio b I. 'Omwc d W u (p, f, +) apo to opoðo sumperaðnoume ìti gia k poio n>0 isqôei ìti d f n ([p, b]), dhlad d f n+1 ([a, d]). SunoyÐzontac, èqoume ìti ta a, d an koun sto di sthma f n+1 ([a, d]), dhlad [a, d] f n+1 ([a, d]) pr gma to opoðo mac eggu tai thn Ôparxh periodikoô shmeðou thc f sto di sthma [a, d]. Efìson to a epilèqjhke tuqaða sumperaðnoume ìti h f èqei peira periodik shmeða, pr gma to opoðo eðnai topo. 'Ara x = p. Je rhma 2.2.5. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei peperasmènou pl jouc periodik shmeða. 'Estw {p 1,p 2,...,p n } mia periodik troqi thc f periìdou n. An p i kai p j eðnai diakekrimèna stoiqeða thc parap nw troqi c, tìte p j / W u (p i,f n ). Apìdeixh. JewroÔme ta p i,p j {p 1,p 2,...,p n } me p i p j kai p j W u (p i,f n ). Isqurizìmaste ìti gia k je κ =1, 2,...,n to sônolo W u (p κ,f n ), perièqei èna stoiqeðo tou sunìlou {p 1,p 2,...,p n }\{p κ }. Pr gmati, ac jewr soume mia e-perioq tou p κ èstw V. 'Estw r o mikrìteroc jetikìc akèraioc me f r (p i )=p κ. 'Estw W mia geitoni tou p i ste f r (W ) V. Up rqei m>0 ste p j f mn (W ) kai autì diìti p j W u (p i,f n ). 'Eqoume loipìn, f r (p j ) f r (f mn (W )) = f mn (f r (W )) f mn (V ), dhlad f r (p j ) f mn (V ). Efìson ìmwc to V eðnai tuqaðo èpetai ìti f r (p j ) W u (p κ,f n ). EpÐshc f r (p i )=p κ. 'Omwc p i p j to opoðo mac dðnei f r (p i ) f r (p j ),diìti ta p i,p j eðnai shmeða thc troqi c. 'Ara p κ f r (p j ), kai h apìdeixh tou isqurismoô eðnai pl rhc. QwrÐc bl bh thc genikìthtac m- poroôme na upojèsoume ìti p 1 <p 2 <...<p n. To W u (p 1,f n ) eðnai di sthma pou perièqei to p 1 kai k poio llo stoiqeðo tou {p 1,p 2,...,p n }\{p 1 }. 'Ara p 2 W u (p 1,f n ). Parìmoia, eðte p 1 W u (p 2,f n ) eðte p 3 W u (p 2,f n ). Ac upojèsoume ìti p 1 W u (p 2,f n ). SumperaÐnoume ìti p 1 W u (p 2,f n, ) kai ìti p 2 W u (p 1,f n, +) kaj c p 1 <p 2 se sunduasmìme to L mma 2.2.3. Ta p 1,p 2

22 KEF ALAIO 2. ASTAJE IS UP OQWROI eðnai stoiqeða tou W u (p 1,f n ) kai ra [p 1,p 2 ] W u (p 1,f n ). Apo to Je rhma 2.2.4. èpetai ìti gia k je x (p 1,p 2 ),f n (x) >p 1. Kaj c p 2 W u (p 1,f n, +) sumperaðnoume ìti up rqei x (p 1,p 2 ), ste f n (x) =p 2. JewroÔme to sônolo A = {x (p 1,p 2 ):f n (x) =p 2 } kai jètoume z = infa. Tìte z (p 1,p 2 ) kai f n (z) =p 2. JewroÔme èna a I me p 1 <a<z. To f n ([a, z]) perièqei èna di sthma thc morf c [b, p 2 ] gia k poio b I. Anafèrame parap nw ìti p 1 W u (p 2,f n, ), dhlad p 1 f mn ([a, p 2 ]) kai ra [a, z] f mn ([a, z]). Autììmwc mac lèei ìti h f èqei periodikì shmeðo sto [a, z]. 'Omwc to a epilèqjhke tuqaða kai ra h f èqei peira periodik shmeða to opoðo eðnai topo. 'Ara p 1 / W u (p 2,f n ), dhlad p 3 W u (p 2,f n ). Epanalamb nontac thn Ðdia diadikasða me parap nw katal goume sto ìti p i+1 W u (p i,f n ) gia k je i =1, 2,...,n 1. IsqÔei ìti p n 1 W u (p n,f n ) kaj c to sônolo W u (p n,f n ) perièqei èna stoiqeðo tou {p 1,p 2,...,p n 1 }. 'Eqoume epðshc ìti p n W u (p n,f n ). 'Ara [p 1,p 2 ] W u (p n,f n ). Xan apo Je rhma 2.2.4. èqoume ìti f n (x) >p n 1 gia k je x (p n 1,p n ). IsqÔei ìti p n W u (p n 1,f n ) kai ìti p n >p n 1 apo ta opoða, se sunduasmì me to L mma 2.2.3. sumperaðnoume ìti p n W u (p n 1,f n, +), dhlad up rqei x (p n 1,p n ) tètoio ste f n (x) =p n. JewroÔme to sônolo B = {x (p n 1,p n ):f n (x) =p n } kai jètoume z = infb. IsqÔei ìti z (p n 1,p n ) kai ìti f n (z) =p n. 'Estw a I me p n 1 <a<z<p n. To f n ([a, z]) perièqei èna di sthma thc morf c [a, p n ]. 'Eqoume loipìn ìti [a, z] [a, p n ] f n ([a, z]) to opoðo mac eggu tai thn Ôparxh periodikoô shmeðou thc f sto [a, z]. H epilog ìmwc tou a ègine tuqaða kai ra h f èqei peira periodika shmeða to opoðo eðnai topo. Telik, p j / W u (p i,f n ). Je rhma 2.2.6. 'Estw f C 0 (I,I). Upojètoume ìti to sônolo Ω(f) eðnai peperasmèno kai ìti to x Ω(f) den eðnai periodikì. Tìte gia k poio periodikì shmeðo p thc f, up rqei z W u (p, f) tètoio ste f(z) =p en to z den eðnai periodikì. Apìdeixh. Apo to gegonìc ìti x Ω(f) èpetai ìti f m (x) Ω(f) kai autì gia k je m > 0. 'Omwc to Ω(f) eðnai peperasmèno. Sunep c, up rqei k poio z Orb(x) gia to opoðo f(z) =p ìpou to p eðnai periodikì shmeðo, en to z ìqi. IsqÔei epðshc ìti z Ω(f), kaj c z Orb(x). Gia na deðxoume to zhtoômeno, arkeð na deðxoume ìti z W u (p, f), kai autì

2.2. TO S UNOLO Ω(F ) 23 apo to L mma 2.1.7. Upojètoume ìti z/ W u (p, f). 'Estw (a, b) I èna anoiktì di sthma pou perièqei to z, gia to opoðo isqôei ìti [a, b] W u (p, f) =. Apo thn teleutaða prìtash prokôptei ìti {a, b} f m (N) =, ìpou N mia geitoni tou p, kai autì gia k je m>0. 'Eqoume epðshc ìti gia k je m>0 to sônolo f m (N) eðnai di sthma pou perièqei k poio stoiqeðo thc troqi c tou p dhlad tou kôklou Orb(p). Epeid ìmwc Orb(p) W u (p, f), èqoume ìti Orb(p) (a, b) =, apo to opoðo èpetai ìti f(n) (a, b) =, kai autì gia k je m>0. MporoÔme na epilèxoume to N na eðnai mikrìtero, efìson autìeðnai anagkaðo, ste na upojèsoume ìti N (a, b) =. Ac jewr soume t ra V na eðnai mia e-perioq tou z, gia thn opoða isqôei ìti V (a, b) kai f(v ) N. Tìte gia k je m>0 ja èqoume ìti f m (N) (a, b) =, dhlad f m (f(v )) V = kai telik, f m+1 (V ) V =. Autììmwc shmaðnei ìti to z eðnai wandering, dhlad z/ Ω(f) to opoðo fusik eðnai topo. 'Ara z W u (p, f) dhlad z W u (p, f) W u (p, f) kai apo to L mma 2.1.7 èqoume ìti to z den eðnai periodikì. Je rhma 2.2.7. (L.S.Block [2]) 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti to sônolo Ω(f) eðnai peperasmèno. Tìte to Ω(f) eðnai to sônolo twn periodik n shmeðwn thc f. Apìdeixh. 'Estw z Ω(f) kai upojètoume ìti den eðnai periodikì. Ja katal xoume se topo. 'Estw {p 1,p 2,...,p n } mia periodik troqi thc f. Apo to Je rhma 2.2.6 èqoume ìti up rqei z W u (p 1,f) ste f(z) =p 1, en to z na mhn eðnai periodikì shmeðo. Efìson loipìn z W u (p 1,f), apo to L mma 2.1.5 èqoume ìti z W u (p 1,f n ) W u (p 2,f n )... W u (p n,f n ), dhlad z W u (p κ,f n ) gia k poio p κ {p 1,p 2,...,p n }. Anafèrame parap nw ìti f(z) =p 1, dhlad f n (z) =f n 1 (p 1 ), apo to opoðo telik èpetai ìti, f n (z) Orb(p 1 ). Apo to L mma 2.1.6 èqoume ìti f(w u (p κ,f n )) = W u (p κ,f n ) kai epeid z W u (p κ,f n ) katalabaðnoume ìti f n (z) W u (p κ,f n ). Tìte apo to Je rhma 2.2.5 èpetai ìti f n (z) =p κ kai lìgw tou ìti z W u (p κ,f n ) sumperaðnoume ìti p κ = z kai autì apo to Je rhma 2.2.4. Autì ìmwc eðnai topo kaj c to z den eðnai periodikì. Telik, to Ω(f) eðnai to sônolo twn periodik n shme n thc f.

24 KEF ALAIO 2. ASTAJE IS UP OQWROI

Kef laio 3 To Je rhma tou Sarkovskii 3.1 MÐa eidik perðptwsh L mma 3.1.1. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodik troqi {p 1,p 2,...,p n }, me p i <p i+1 gia k je i =1, 2,...,n 1. OrÐzoume I κ na eðnai ta kleist diast mata me kra p κ kai p κ+1, dhlad I κ =[p κ,p κ+1 ], κ =1, 2,...n 1. Tìte gia k je κ, up rqei j ste I j f(i κ ), me κ j. Apìdeixh. 'Estw I κ èna di sthma ìpwc parap nw. Ja deðxoume ìti up rqei j =1, 2,...n 1, ste na isqôei ìti I j f(i κ ). f(i κ )=f([p κ,p κ+1 ]) < f(p κ ),f(p κ+1 ) >, ìpou me <f(p κ ),f(p κ+1 ) > sumbolðzoume to kleistì di sthma me kra f(p κ ) kai f(p κ+1 ). QwrÐc blabh thc genikìthtac upojètoume ìti <f(p κ ),f(p κ+1 ) >= [f(p κ ),f(p κ+1 )] (me ìmoio skeptikì leitourgoôme kai ìtan isqôei to antðjeto). Den mporeð na isqôei ìti f(p κ )=f(p κ+1 ) kai autìdiìti ta f(p κ ),f(p κ+1 ) eðnai stoiqeða tou sunìlou {p 1,p 2,...,p n }. An ta f(p κ ) kai f(p κ+1 ) èqoun metaxô touc dôo kai nw stoiqeða thc troqi c, tìte san p j epilègoume na eðnai to kontinìtero shmeðo apo ta dexi tou f(p κ ) to opoðo an kei sthn troqi {p 1,p 2,...p n }, en san p j+1 epilègoume na eðnai to kontinìtero shmeðo apo ta arister tou f(p κ+1 ) to opoðo an kei sthn troqi {p 1,p 2,...p n }. An ta f(p κ ) kai f(p κ+1 ) èqoun metaxô touc èna stoiqeðo thc troqi c,èstw α, epilègoume p j = α kai p j+1 = f(p κ+1 ). An ta f(p κ ) kai f(p κ+1 ) den èqoun metaxô touc k poio stoiqeðo thc troqi c tìte epilègoume p j = f(p κ ) kai p j+1 = f(p κ+1 ). Kai stic 3 peript seic h epilog enìc I j gia to opoðo isqôei ìti I j f(i κ ) 25

26 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII eðnai efikt. EpÐshc anafèrame ìti prèpei j κ. Autì shmaðnei ìti gia k je κ isqôei ìti I κ f(i κ ). 'Estw ìti I κ f(i κ ) kai ja katal xoume se topo. Apo autìpou upojèsame, èpetai ìti [p κ,p κ+1 ] < f(p κ ),f(p κ+1 ) >. Xan, mporoôme na upojèsoume ìti <f(p κ ),f(p κ+1 ) >= [f(p κ ),f(p κ+1 )] kai ra èqoume [p κ,p κ+1 ] [f(p κ ),f(p κ+1 )], to opoðo telik mac dðnei ìti f(p κ ) p κ kai f(p κ+1 ) p κ+1.efìson f(p κ ) p κ kai f(p κ )=p i gia k poio p i {p 1,p 2,...,p n }, èqoume ìti p i = p κ, pr gma to opoðo eðnai adônato an i κ en an i = κ ja eðqame f(p κ )=p κ to opoðo eðnai epðshc adônato. Je rhma 3.1.2. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou n > 1. Tìte h f èqei periodikì shmeðo periìdou 2. Apìdeixh. Ac upojèsoume ìti to mh stajerì periodikì shmeðo thc f, èqei perðodo megalôterh apo dôo, alli c tìte èqoume amèswc to zhtoômeno. 'Estw loipìn n to el qisto stoiqeðo tou sunìlou {l 3:l perðodoc periodikoô shmeðou thc f}. Ac jewr soume mða periodik troqi thc f, èstw {p 1,p 2,...,p n } me p i <p i+1 gia k je i =1, 2,...,n 1. OrÐzoume I κ na eðnai ta kleist diast mata me kra p κ kai p κ+1, dhlad I κ =[p κ,p κ+1 ], κ =1, 2,...n 1. Apo to L mma 3.1.1, èqoume ìti gia k je κ, up rqei j, tètoio ste I j f(i κ ). B zoume k poia diast mata se seir, {I κ1,i κ2,...,i κm } me m =2, 3,...,n 1 ste na isqôei ìti, I κi+1 f(i κi ), gia i =1, 2,...,m 1 kai I κ1 f(i κm ). JewroÔme thn akoloujða kleist n diasthm twn J κm gia thn opoða isqôei ìti gia i =1, 2,...,m 1 èqoume J κi I κi kai f(j κi )=J κi+1,en f(j κm )=I κ1. Tìte ja èqoume f m (J κ1 )=f m 1 (f(j κ1 )) = f m 1 (J κ2 )=...= f(j κm )=I κ1 to opoðo me lla lìgia mac lèei ìti f m (J κ1 )=I κ1. 'Omwc J κ1 I κ1, apo to opoðo èpetai ìti J k1 f m (J κ1 ). Apo to L mma 1.2.5 sumperaðnoume ìti h f m, èqei stajerìshmeðo sto di sthma J κ1, èstw y. 'Eqoume dhlad ìti up rqei y J κ1 me thn idiìthta f m (y) =y. 'Eqoume epðshc ìti m<nkai ra Orb(y) {p 1,p 2,...,p n } = kai autì diìti an den Ðsque, ja up rqan i, j tètoia ste y i = p j. 'Omwc f m (y i )=y i dhlad f m (p j )=p j to opoðo eðnai topo diìti m<n. 'Eqoume telik ìti Orb(y) {p 1,p 2,...,p n } = to opoðo mac dðnei ìti f i (y) I κi+1

3.2. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII 27 gia i =1, 2,...,m 1. Telik o arijmìc m eðnai h perðodoc tou periodikoô shmeðou y. 'Omwc m < n = min{l 3:l perðodoc thc f} kai èqoume ìti m =2. Je rhma 3.1.3. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo tou opoðou h perðodoc den eðnai dônamh tou 2.Tìte gia k je κ =1, 2,...,n, h f èqei periodikì shmeðo periìdou 2 κ. Sunep c, h f èqei peira periodik shmeða. Apìdeixh. Proqwr me me epagwg. 'Estw κ ènac jetikìc akèraioc kai orðzoume n =2 κ 1. Tìte h f n èqei periodikì shmeðo to opoðo den eðnai stajerì. Apì to Je rhma 3.1.2 èqoume ìti h f n èqei periodikì shmeðo p periìdou 2. Dhlad to periodikì shmeðo p thc f èqei perðodo 2 κ. Orismìc 3.1.4. OrÐzoume to sônolo P (f) na eðnai to sônolo ìlwn twn jetik n akeraðwn oi opoðoi eðnai perðodoi twn periodik n shmeðwn thc f. Je rhma 3.1.5. (L.S.Block [2]) 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei peperasmènou pl jouc periodik shmeða. Tìte gia k poio mh arnhtikì akèraio n, èqoume ìti P (f) ={2 κ : κ =1, 2,...,n} Apìdeixh. Apo to Je rhma 3.1.3. èqoume ìti up rqei k poioc jetikìc akèraioc n ste, P (f) {2 κ : κ =0, 1, 2,...,n} kai 2 n P (f). An n =0, 1 to sumpèrasma èpetai amèswc, ra upojètoume ìti n 2. 'Estw j =2 n 2. Tìte h f j, èqei periodikì shmeðo periìdou 4. Apo to Je rhma 3.1.2. èpetai ìti èqei periodikì shmeðo periìdou 2. 'Etsi h f èqei periodikì shmeðo periìdou 2 n 1. Epanalamb nontac aut n thn diadikasða katal goume sto zhtoômeno. 3.2 To Je rhma tou Sarkovskii L mma 3.2.1. 'Estw f C 0 (I,I) kai K, J I sumpag diast mata, tètoia ste K f(j). Tìte up rqei sumpagèc di sthma L J tètoio ste f(l) =K. Apìdeixh. Ac upojèsoume ìti J K. 'Estw K =[a, b] kai J =[x 1,x 2 ]. AfoÔ K f(j) èqoume ìti [a, b] < f(x 1 ),f(x 2 ) >. UpenjumÐzoume ìti me <f(x 1 ),f(x 2 ) > sumbolðzoume to kleðsto di sthma me kra f(x 1 ) kai f(x 2 ).

28 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII QwrÐc bl bh thc genikìthtac upojètoume ìti <f(x 1 ),f(x 2 ) >= [f(x 1 ),f(x 2 )] kai tìte èqoume ìti f(x 1 ) <akai f(x 2 ) >b. 'Omwc h f eðnai suneq c kai ra apo to je rhma endi meswn tim n èpetai ìti up rqoun c, d J tètoia ste f(c) =a kai f(d) =b. Autììmwc mac dðnei ìti f([c, d]) [a, b] dhlad f([c, d]) K. An epilèxoume L =[c, d], h apìdeixh telei nei. L mma 3.2.2. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti ta J 0,J 1,...,J m eðnai sumpag diast mata me J i I, gia k je i =0, 1,...,m, tètoia ste J κ f(j κ 1 ), gia κ =1, 2,...,m. Tìte up rqei sumpagèc di sthma L J 0 tètoio ste f m (L) =J m kai f κ (L) J κ, gia κ =1, 2,...,m. An epðshc J 0 J m, tìte up rqei shmeðo y ste f m (y) =y kai f κ (y) J κ gia κ =0, 1,...,m. Apìdeixh. Sthn perðptwsh ìpou m =1èqoume to prohgoômeno L mma an jèsoume J = J 0 kai K = J 1. Ac upojèsoume ìti to L mma isqôei gia k je tim austhr mikrìterh apo m. Ja èqoume loipìn ìti up rqei sumpagèc di sthma A J 0 ste f m 1 (A) =J m kai f κ 1 (A) J κ, gia k je κ =1, 2,...,m 1. 'Omwc an epilèxoume A = f(l) èqoume ìti up rqei L J 0 ste f m 1 (f(l)) = J m, dhlad kai f κ 1 (f(l)) J κ, dhlad f m (L) =J m f κ (L) J κ gia k je κ =1, 2,...,m 1. An epiplèon gnwrðzoume ìti J 0 J m tìte ja èqoume J 0 J m f(j m 1 ) f 2 (J m 2 )... f m (J 0 ) dhlad J 0 f m (J 0 ) apo to opoðo èpetai ìti h f m èqei stajero shmeðo sto J 0. Me lla lìgia, up rqei y J 0 me en isqôei epðshc ìti f m (y) =y f κ (y) J κ gia k je κ =1, 2,...,m 1, kaiautìdiìti y J 0 kai f κ (J 0 ) J κ.

3.2. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII 29 Prìtash 3.2.3. MetaxÔ dôo tuqaðwn shmeðwn miac periodik c troqi c periìdou n>1, up rqei periodikì shmeðo me perðodo mikrìterh apo n. Apìdeixh. JewroÔme mia periodik troqi thc f periìdou n kai epilègoume dôo diadoqik stoiqeða thc, èstw a, b me a<b. IsqÔei ìti f m (a) >akai f m (b) <b gia k poio m<n kai autì diìti, an den Ðsque aut h prìtash, ja Ðsque h rnhsh aut c h opoða mac lèei ìti, gia k je m>nèqoume ìti f m (a) a f m (b) b, to opoðo eðnai adônato diìti tìte h troqi ja eðqe perðodo n +1. JewroÔme t ra thn akoloujða kleist n diasthm twn, J κ =<f κ (a),f κ (b) > me kra f κ (a) kai f κ (b), diìti den mporoôme na gnwrðzoume mèsw poi c di taxhc sqetðzontai ta f κ (a) kai f κ (b) gia tic di forec timèc tou κ. AfoÔ f m (a) >akai f m (b) <bgia k poio m<n, isqôei ìti J 0 J m. Dhlad èqoume epðshc ìti J 0 J m. Apo to L mma 3.2.2 èpetai ìti up rqei y J 0 tètoio ste f m (y) =y kai f κ (y) J κ gia k je κ =0, 1,...,m 1. To shmeðo y èqei perðodo m<nkai ètsi h apìdeixh telei nei. Upojètoume gia llh mia for ìti f C 0 (I,I), kai jewroôme ìti h f èqei periodik troqi periìdou n, èstw {p 1,p 2,...,p n },mep i <p i+1 gia k je i =1, 2,...,n 1. OrÐzoume thn akoloujða diasthm twn I κ =[p κ,p κ+1 ], gia κ =1, 2,...,n 1. Orismìc 3.2.4. OrÐzoume c diatetagmèno gr fhma (directed graph) thn sqèsh pou sundèei dôo diast mata I i kai I j, kai sumbolðzoume ìti I i I j, h opoða eðnai ìti to di sthma I j perièqetai sto kleistì di sthma <f(x i ),f(x i+1 ) >, ìpou x i,x i+1 ta kra tou I i. Sto ex c ta sônola I κ ja onom zontai korufèc tou graf matoc. Orismìc 3.2.5. O kôkloc m kouc n, J 0 J 1 J 2... J n 1 J 0 ja onom zetai jemeli dhc kôkloc efìson, an to a eðnai kro tou J 0, tìte f κ (a), jaeðnai kro tou diast matoc J κ, gia k je κ =1, 2,...,n 1. O jemeli dhc kôkloc p nta up rqei kai eðnai monadikìc. Pr gmati, qwrðc bl bh thc genikìthtac, ac p roume a = x 1, ste J 0 = J 1. Ac upojèsoume ìti ta J 0,/ldots,J i 1, èqoun orisjeð. An J i 1 =[z 1,z 2 ], ètsi ste to f i 1 (a) na

30 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII eðnai eðte to a eðte to b, tìte prèpei na p roume san J i to I κ <f(z 1 ),f(z 2 ) >, to opoðo eðnai me monadikìtrìpo orismèno kai èqei kro to f i (a). Tìte J n = J 0. Mesa sflautìn, k je koruf emfanðzetai to polô duo forèc, kaj c h k je koruf èqei dôo kra. An ènac jemeli dhc kôkloc perièqei mia koruf dôo forèc, tìte mporeð na aposuntejeð se dôo llouc kôklouc, wste o kajènac na perièqei aut thn koruf mon qa mia for. Orismìc 3.2.6. 'Enac jemeli dhc kôkloc ja lègetai arqikìc,an den apoteleðtai exflolokl rou apo ènan kôklo mikrìterou m kouc o opoðoc epanalamb netai k poiec forèc. H Ôparxh arqikoô jemeli douc kôklou m kouc m, mac dðnei thn dunatìthta na sumper noume thn Ôparxh miac periodik c troqi c periìdou m. L mma 3.2.7. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou n>1. An to sqetizìmeno diatetagmèno gr fhma perièqei èna arqikì kôklo m kouc m èstw J 0 J 1... J m 1 J 0, tìte h f èqei periodikì shmeðo y periìdou m ste, f κ (y) J κ gia k je κ =0, 1, 2,...,m 1. Apìdeixh. Epeid, J κ 1 J κ, antilambanìmaste ìti J κ <f(x κ 1 ),f(x κ ) > f(< x κ 1,x κ >) f(j κ 1 ) gia k je κ =1, 2,...,m 1. 'Eqoume epðshc ìti J 0 f(j m 1 )... f m (J 0 ). Apo to L mma 3.2.2. èpetai ìti up rqei y J 0 ste, f m (y) =y kai f κ (y) J κ gia k je κ =0, 1,...,m 1. Dhlad h f èqei periodikì shmeðo periìdou m. Prìtash 3.2.8. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou n>1. Tìte sðgoura èqei stajerì shmeðo. Apìdeixh. To diatetagmèno gr fhma perièqei sðgoura mia epan lhyh. Pr gmati, an x 1 <... < x n eðnai mia periodik troqi kai I i =[x i,x i+1 ], tote sðgoura ja isqôei ìti f(x 1 ) >x 1 kai f(x n ) <x n. Apo autì èpetai ìti gia k poio j =1, 2,...,n 1 isqôei ìti f(x j ) >x j kai f(x j+1 ) <x j+1. Tìte, f(x j ) x j+1 kai f(x j+1 ) x j to opoðo mac lèei ìti I j I j. Me lla lìgia up rqei sðgoura κ 1, 2,...,n 1 ste, I κ f(i κ ). Apo to L mma 1.2.5 èpetai ìti h f èqei stajerìshmeðo sto I κ kai kata sunèpeia sto I.

3.2. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII 31 Prìtash 3.2.9. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo peritt c periìdou n>1, en den èqei periodikì shmeðo peritt c periìdou mikrìterhc apo n. An a eðnai to mèso thc troqi c tou periodikoôshmeðou peritt c periìdou n tìte ta stoiqeða thc troqi c èqoun eðte thn di taxh, f n 1 (a) <f n 3 (a) <...<f 2 (a) <a<f(a) <...<f n 4 (a) <f n 2 (a) eðte thn di taxh, f n 2 (a) <f n 4 (a) <...<f(a) <a<f 2 (a) <...<f n 3 (a) <f n 1 (a) Apìdeixh. H apìdeixh ja gðnei epagwgik. An n =3, tìte eðnai profanèc. Sthn perðptwsh ìpou n =5, èqoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou 5, en den èqei periodikì shmeðo periìdou 3 kai an a to mèso thc troqi c tìte isqôei eðte h di taxh, eðte h di taxh, f 4 (a) <f 2 (a) <a<f(a) <f 3 (a) f 3 (a) <f(a) <a<f 2 (a) <f 4 (a). Upojètoume ìti ta f(a),f 2 (a) brðskontai kai ta dôo sthn mða meri tou a kai ja katal xoume se topo. Tìte sðgoura ta f 3 (a) kai f 4 (a) ja brðskontai st n llh meria tou a. Upojètoume dhlad ìti isqôei <f 2 (a),f(a) > < f 2 (a),f 3 (a) >. 'Omwc isqôei f 2 (a) f(< f 2 (a),f(a) >) kai f 3 (a) f(< f 2 (a),f(a) >) apo ta opoða sumperaðnoume ìti <f 2 (a),f 3 (a) > f(< f 2 (a),f(a) >) dhlad <f 2 (a),f 3 (a) > f(< f 2 (a),f 3 (a) >), pr gma to opoðo eðnai adônato ìpwc mac lèei to L mma 3.1.1. 'Ara ta f(a),f 2 (a) brðskontai ekatèrwjen tou a. To èpìmeno pr gma to opoðo prèpei na deðxoume eðnai ìti ta f(a) kai f 4 (a) ( ra kai ta f 3 (a) kai f 2 (a)) den brðskontai sthn Ðdia meri tou a. Upojètoume loipìn ìti <f 2 (a),a> < f 3 (a),f(a) > kai ja katal xoume se topo. 'Eqoume loipìn ìti f 3 (a) f(< f 2 (a),a>) kai ìti f(a) f(< f 2 (a),a>), dhlad <f(a),f 3 (a) > f(< f 2 (a),a>) apo to opoðo èpetai ìti <f(a),f 3 (a) > f(< f(a),f 3 (a) >) to opoðo xan apo to L mma 3.1.1. eðnai adônato. Mèqri stigm c èqoume deðxei ìti ta f(a),f 3 (a) eðnai sthn mða meri tou a, en ta <f 2 (a),f 4 (a) >

32 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII brðskontai sthn llh meri tou a. To mìno pou apomènei na deðxoume eðnai ìti den mporeð na isqôei oôte h di taxh, f(a) <f 3 (a) <a<f 4 (a) <f 2 (a) all oôte kai h di taxh f 2 (a) <f 4 (a) <a<f 3 (a) <f(a), dhlad ìti den isqôei ìti <f 4 (a),f 3 (a) > < f(a),f 2 (a) >. Upojètoume ìti autì eðnai swstìkai ja katal xoume se topo. 'Eqoume ìti f(a) f 3 (<f 4 (a),f 3 (a) >) kai f 2 (a) f 3 (<f 4 (a),f 3 (a) >), dhlad <f(a),f 2 (a) > f 3 (<f 4 (a),f 3 (a) > f 3 (<f(a),f 2 (a) >) to opoðo mac lèei ìti ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou 3 to opoðo eðnai adônato. Telik oi pijanèc diat xeic pou mporeð na isqôoun eðnai eðte, eðte, f 4 (a) <f 2 (a) <a<f(a) <f 3 (a) f 3 (a) <f(a) <a<f 2 (a) <f 4 (a). An t ra n =7, èqoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou 7, en den èqei periodikì shmeðo periìdou 5 3.Apo parap nw èqoume ìti eðte, eðte, f 4 (a) <f 2 (a) <a<f(a) <f 3 (a) f 3 (a) <f(a) <a<f 2 (a) <f 4 (a). Ja deðxoume ìti ta f 3 (a),f 6 (a) ( ra kai ta f 4 (a),f 5 (a)) den gðnetai na brðskontai sthn mða meri tou a.upojètoume ìti <f 4 (a),a> < f 5 (a),f(a) >. IsqÔei ìti f 5 (a) f(< f 4 (a),a>) kai f(a) f(< f 4 (a),a>), apo ta opoða sumperaðnoume ìti <f(a),f 5 (a) > f(< f 4 (a),a>), dhlad <f(a),f 5 (a) > f(< f(a),f 5 (a) >) to opoðo xan apo to L mma 3.1.1. eðnai adônato. 'Ara sthn mða meri tou a brðskontai ta f 3 (a),f(a) kai f 5 (a), en sthn llh èqoume ta f 2 (a),f 4 (a) kai f 6 (a). Mènei na deðxoume ìti den mporeð na isqôei oôte h di taxh alla oôte kai h di taxh f 4 (a) <f 6 (a) <f 2 (a) <a<f(a) <f 5 (a) <f 3 (a) f 3 (a) <f 5 (a) <f(a) <a<f 2 (a) <f 6 (a) <f 4 (a)

3.2. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII 33 alli c <f 5 (a),f 6 (a) > < f 3 (a)f 4 (a) >. Upojètoume ìti isqôei kai ja katal xoume se topo. 'Eqoume f 3 (a) f 5 (<f 5 (a),f 6 (a) >) kai f 4 (a) f 5 (<f 5 (a),f 6 (a) >). 'Ara, <f 3 (a),f 4 (a) > f 5 (<f 5 (a),f 6 (a) >) to opoðo mac dðnei ìti <f 3 (a),f 4 (a) > f 5 (<f 3 (a),f 4 (a) >) kai telik sumperaðnoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou 5 to opoðo den mporeð na isqôei. Telik oi pijanèc diat xeic pou mporeð na isqôoun eðnai eðte, f 6 (a) <f 4 (a) <f 2 (a) <a<f(a) <f 3 (a) <f 5 (a) eðte, f 5 (a) <f 3 (a) <f(a) <a<f 2 (a) <f 4 (a) <f 6 (a). Upjètoume ìti h prìtas mac eðnai orj sthn perðptwsh ìpou n = κ. Dhlad upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou κ, en den èqei periodikì shmeðo periìdou κ 2,κ 4,..., kai gnwrðzoume ìti isqôei, eðte h di taxh f κ 1 (a) <f κ 3 (a) <...<f 2 (a) <a<f(a) <...<f κ 4 (a) <f κ 2 (a) eðte thn di taxh, f κ 2 (a) <f κ 4 (a) <...<f(a) <a<f 2 (a) <...<f κ 3 (a) <f κ 1 (a). K nontac qr sh autoô, ja deðxoume ìti h prìtash isqôei kai gia n = κ +2. Dhlad upojètoume ìti h f èqei periodikìshmeðo periìdou κ +2, en den èqei periodikì shmeðo periìdou κ, κ 2,κ 4,..., kai ja deðxoume ìti isqôei, eðte h di taxh f κ+1 (a) <f κ 1 (a) <...<f 2 (a) <a<f(a) <...<f κ 2 (a) <f κ (a) eðte thn di taxh, f κ (a) <f κ 2 (a) <...<f(a) <a<f 2 (a) <...<f κ 1 (a) <f κ+1 (a). Arqik ja deðxoume ìti den mporeð na isqôei h di taxh f κ (a) <f κ 1 (a) <...<f 2 (a) <a<f(a) <...<f κ 2 (a) <f κ+1 (a)

34 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII alla oôte kai h di taxh, f κ+1 (a) <f κ 2 (a) <...<f(a) <a<f 2 (a) <...<f κ 1 (a) <f κ (a) Me lla lìgia den mporeð potè na eðnai swstììti <f κ 1 (a),a> < f κ (a),f(a) >. Upojètoume ìti autì eðnai swsto kai ja katal xoume se topo. 'Eqoume ìti f κ (a) f(< f κ 1 (a),a>) kai f(a) f(< f κ 1 (a),a>) ta opoða mac dðnoun ìti <f κ (a),f(a) > f(< f κ 1 (a),a) > f(< f κ (a),f(a) >), to opoðo fusik eðnai adônato. ApodeÐxame ìti ta f κ (a),f κ 1 (a) den brðskontai kai ta dôo sthn mða meri tou a. Gia na telei soume arkeð na deðxoume ìti den mporeð na isqôei oôte hdi taxh, f κ 1 (a) <f κ+1 (a) <...<f 2 (a) <a<f(a) <...<f κ (a) <f κ 2 (a) all oôte kai h di taxh, f κ 2 (a) <f κ (a) <...<f(a) <a<f 2 (a) <...<f κ+1 (a) <f κ 1 (a). Me lla lìgia, arkeð na deðxoume ìti den eðnai dunatì na isqôei ìti <f κ+1 (a),f κ (a) > < f κ 1 (a),f κ 2 (a) >. Upojètoume ìti autì eðnai swstì kai ja katal xoume se topo. 'Eqoume f κ 1 (a) f κ (<f κ+1 (a),f κ (a) >), diìti (2κ +1) mod(κ +2)=κ 1, kai f κ 2 (a) f κ (<f κ+1 (a),f κ (a) >), diìti 2κ mod (κ +2)=κ 2. 'Ara <f κ 1 (a),f κ 2 (a) > f κ (<f κ+1 (a),f κ (a) >) f κ (<f κ 1 (a),f κ 2 (a) >) to opoðo mac lèei ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou κ to opoðo fusik eðnai topo. H apìdeixh eðnai plèon pl rhc. H parap nw prìtash ousiastik mac lèei ìti to sqetizìmeno diatetagmèno gr fhma gia J 1 =<α,f(α) >, J κ =<f κ 2 (α),f κ (α) > kai κ =1,...,n 1, faðnetai c ex c: J 1 J 2 J 3... J n-3 J n-2 J n-1 Oi troqièc peritt c periìdou oi opoðec akoloujoôn mia apo tic dôo diat xeic sthn Prìtash 3.2.9. onom zontai troqièc Stefan.

3.2. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII 35 Prìtash 3.2.10. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo peritt c periìdou n > 1. Tìte h f, èqei periodikì shmeðo ìlwn twn rtiwn periìdwn, kai periodikì shmeðo ìlwn twn peritt n periìdwn megalôterhc apo n. Apìdeixh. Upojètoume ìti h f èqei periodikì shmeðo peritt c periìdou n kai ìti to n autìeðnai h mikrìterh dunat peritt perðodoc, ste h troqi na èqei to sqetizìmeno diatetagmèno gr fhma thc Prìtashc 3.2.9. 'Estw m<nkai upojètoume ìti o m eðnai perittìc. Tìte o kôkloc, J n 1 J n m J n m+1... J n 1 eðnai ènac arqikìc kôkloc m kouc m kai ra h f èqei periodikìshmeðo peritt c periìdou m. 'Estw m>neðte rtioc eðte perittìc. Tìte o kôkloc, J 1 J 2...J n 1 J 1 J 1... J 1 eðnai arqikìc kôkloc m kouc m kai ra h f èqei periodikì shmeðo periìdou m kai se aut n thn perðptwsh. L mma 3.2.11. 'Estw f C 0 (I,I) kai jewroôme touc jetikoôc akèraiouc, κ, m, n kai s. Tìte oi akìloujec prot seic eðnai alhjeðc: (1) An to x 0 eðnai periodikì shmeðo thc f periìdou m, tìte eðnai kai periodikì shmeðo thc f n m periìdou, ìpou (m, n) o mègistoc koinìc diairèthc (m,n) twn m, n. (2) An to x 0 eðnai periodikì shmeðo thc f n periìdou κ, tìte eðnai kai periodikì shmeðo thc f periìdou κn, ìpou to s diaireð to n kai (s, κ) =1. s Apìdeixh. (1) 'Estw t h perðodoc tou periodikoô shmeðou x 0 thc f n. To x 0 eðnai periodikì shmeðo thc f n, kaj c (f n ) m (x 0 )=(f m ) n (x 0 )=x 0. ArkeÐ na deðxoume ìti t = m (m,n). 'Eqoume ìti f nt (x 0 )=(f t ) n (x 0 )=x 0 kai ra to m diaireð to nt, dhlad nt = am gia k poio a N, apo to opoðo èpetai ìti to nt = a m n nt m kai telik to diaireð to. Efìson oi (m,n) (m,n) (m,n) (m,n) (m,n) kai n (m,n) eðnai pr toi metaxô touc, tìte sðgoura o diaireð to t. m (m,n) 'Eqoume epðshc ìti f m n (m,n) (x 0 )=(f n m (m,n) ) (x0 )=x 0 apo to opoðo èpetai ìti m to t diaireð to. Telik èqoume ìti t = m (m,n) (m,n).

36 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII (2) Efìson x 0 =(f κ ) n (x 0 )=f nκ (x 0 ), h perðodoc tou x 0 thc f eðnai nκ s, gia nκ s k poiì jetikì akèraio s. Apì thn (1) èqoume ìti = κ. 'Etsi, ),n) (( nκ s n s =((n s )κ, n) =((n s )κ, (n s )s) =(n )(κ, s) s apo to opoðo èpetai ìti to s diaireð to n kai (s, κ) =1, to opoðo eðnai kai to zhtoômeno. Je rhma 3.2.12. (Sarkovskii [1]) Ac jewr soume touc fusikoôc arijmoôc me thn di taxh, 3 5... 2.3 2.5... 2 κ (2λ +1)... 2 2 2 1. 'Estw f C 0 (I,I) kai upojètoume ìti h f èqei periodik troqi, periìdou n. Tìte èqei periodik troqi periìdou m, gia ìla ta n m. Apìdeixh. 'Estw ìti n =2 d q kai q perittìc. DiakrÐnoume tic ex c peript seic: An q =1, èqoume n =2 d. Tìte, m =2 e ìpou 0 e<d. An e =0 èqoume ìti m =1to opoðo isqôei kaj c gnwrðzoume ìti n èqoume periodikì shmeðo periìdou megalôterhc tou 1, tìte sðgoura èqoume kai stajerì shmeðo (Prìtash 3.2.8.). MporoÔme loipìn na upojèsoume ìti e>0. Ac jewr soume thn sun rthsh g = f m 2. Apo to L mma 3.2.11. èpetai ìti h g èqei periodikìshmeðo periìdou, n (n, m) = 2 d (2 2, 2 e 1 ) = 2d 2 e 1 =2d e+1. Parap nw anafèrame ìti (2 e 1, 2 d )=2 e 1. AutìeÐnai swstìdiìti e 1 <d. Apo thn Prìtash 3.1.2. èqoume ìti h g èqei periodikì shmeðo periìdou 2. X- an apo to 3.2.11., èqoume ìti h f èqei periodikìshmeðo periìdou 2 m = m, to 2 opoðo eðnai kai to zhtoômeno. An t ra q>1, upojètoume ìti m =2 d r. Apomènei na exet soume tic peript seic ìpou pr ton o r eðnai rtioc kai o r na eðnai perittìc megalôteroc tou q. JewroÔme thn sun rthsh g = f 2d. GnwrÐzoume ìti h f èqei periodikì shmeðo periìdou 2 d q. 'Etsi, apo to L mma 3.2.11., èpetai ìti h g = f 2d èqei periodikì shmeðo periìdou, 2 d q (2 d q, 2 d ) = 2d q 2 d (q, 1) = q (q, 1) = q.

3.2. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII 37 Apo thn Prìtash 3.2.10. sumperaðnoume ìti h g èqei kai periodikì shmeðo periìdou r. Sthn pr th perðptwsh, ìpou o r eðnai rtioc, h f èqei periodikì shmeðo periìdou 2d r ìpou (2 d,s)=1, dhlad s =1. Me lla lìgia, h f èqei periodikì s shmeðo periìdou m =2 d r, to opoðo eðnai kai to zhtoômeno. Sthn deôterh perðptwsh, ìpou o r>q eðnai perittìc, h perðodoc autoô tou shmeðou wc proc thn f, eðnai 2 e r, gia k poio e d. An e = d, tìte to zhtoômeno èpetai mesa. An e<d,tìte arkei na doulèyoume me to n =2 e r anti gia n =2 d q. Tìte mporoôme na gr youme m =2 e (r2 d e ),dhlad èqoume ìti o m eðnai ginìmeno dônamhc tou 2 epi ènan rtio. Tìte èqoume apo thn parap nw perðptwsh ìti xan h f, èqei periodikì shmeðo periìdou m. Gia di forec apodeðxeic tou Jewr matoc tou Sarkovskii parapèmpoume sto prìsfato rjro [4].

38 KEF ALAIO 3. TO JE WRHMA TOU SARKOV SKII