ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη από 3 η εργασία. Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την 1 η εργασία. Ενθαρρυντικό: σε μια εργασία με «άρωμα εξετάσεων», όσοι προσπαθήσατε, δείξατε ότι μπορείτε να τα καταφέρετε. Θεωρία Γραφημάτων έχει βαρύτητα 40% στις εξετάσεις. Προετοιμασία εν όψει εξετάσεων (Σαβ. 4/7, ο μηγένοιτοσαβ. 25/7): Μελέτη Θεωρίας Γραφημάτων σε βάθος και επίλυση ασκήσεων (λίγες ευκαιρίες για επανάληψη!). Επαναλήψεις σε συνδυαστική μαθηματική λογική (με ασκήσεις και αναφορά σε θέματα εργασιών και εξετάσεων). Εξάσκηση σε σύντομη και περιεκτική διατύπωση των λύσεων. Προετοιμασία «τυπολογίου» (3 φύλλα Α4, χειρόγραφα). Θερμή προτροπή για συμμετοχή στην αξιολόγηση. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 2

Δομή Εξετάσεων: Α Μέρος 10 Ερωτήματα, από 4 προτάσεις το καθένα (4 10 = 40). Κάθε πρόταση πρέπει να χαρακτηριστεί ως Σωστή ή Λάθος. Όχι απάντηση: 0. Σωστή απάντηση: 1. Λάθος απάντηση: 0.25 Ελάχιστη βαθμολογία σε κάθε ερώτημα: 0. Χρόνος: συνήθως 1 ώρα και 10 λεπτά. Βαρύτητα: περίπου 1/3 συνολικής βαθμολογίας. Εξετάζονται τα πάντα! Αλλά (σχετικά) εύκολα και έτσι ώστε να λύνονται (σχετικά) γρήγορα. Βασικό η ακριβής κατανόηση του ζητούμενου. Σε κάποιες περιπτώσεις «οι λέξεις κάνουν τη διαφορά»! «Τυπολόγιο» δεν βοηθάει σημαντικά, λόγω χρόνου. Εξάσκηση, ψυχραιμία, προσοχή, αυτοσυγκέντρωση! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 3

Δομή Εξετάσεων: Β Μέρος Συνήθως 4 ασκήσεις σε περίπου 2 ώρες και 20 λεπτά. Αρκετές φορές παρόμοια με ερωτήματα εργασιών (όχι μόνο τρέχουσας χρονιάς, αλλά και παλαιότερων 3-4 ετών). Συνδυαστική (συνήθως 25%): Συνήθως δύο σκέλη (με επιμέρους ερωτήματα). Μαθηματική Λογική (συνήθως 35%): Συνήθως τρία σκέλη (κάποια με επιμέρους ερωτήματα). Γραφήματα (συνήθως 2 20%): Συνήθως δύο ασκήσεις, μπορεί να αναλύονται σε επιμέρους ερωτήματα (για διευκόλυνση). Αναλυτικά στην 6 η ΟΣΣ με βασικό θέμα τις εξετάσεις: Σάββατο 9/5, 11:00-15:00, αίθουσα K2.5 (New York College). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 4

4 η Εργασία: Ερώτημα 3.α Σύμπαν: κορυφές (απλού μη κατευθυνόμενου) γραφήματος. P(x, y) δηλώνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή. Κάθε μη μεμονωμένη κορυφή έχει τουλάχιστον δύο γείτονες. Κάθε κορυφή με βαθμό 2 περιέχεται σε μία κλίκα 3 κορυφών. Υπάρχει συνεκτική συνιστώσα με δύο ακριβώς κορυφές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 5

4 η Εργασία: Ερώτημα 3.β Σύμπαν: κορυφές (απλού μη κατευθυνόμενου) γραφήματος. P(x, y) δηλώνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή. Τι δηλώνουν οι παρακάτω προτάσεις: Κάθε δύο κορυφές με κοινό γείτονα συνδέονται με ακμή. Π.χ., Κ 5, ανεξάρτητο σύνολο 5 κορυφών, Κ 3 και Κ 2. Κάθε μη μεμονωμένη κορυφή συνδέεται με κορυφή βαθμού τουλάχιστον 3. Η πρόταση αληθεύει π.χ. στο Κ 5. Ηπρότασηδεναληθεύειπ.χ. στο C 5. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 6

4 η Εργασία: Ερωτήματα 4.α, 4.β Έστω γράφημα G με κορυφή x που έχει βαθμό 0 ή n 1. Νδο, είτε G μη συνεκτικό είτε συμπλ(g) μη συνεκτικό. Αν βαθμός(x) = 0, τότε x μεμονωμένη και G μη συνεκτικό. Αν βαθμός(x) = n 1, τότε x μεμονωμένη στο συμπλ(g) και συμπλ(g) μη συνεκτικό. Νδο. για κάθε γράφημα G με n = 2, 3, 4 κορυφές, είτε G μη συνεκτικό είτε συμπλ(g) μη συνεκτικό, εκτός αν G είναι το Ρ 4. n = 2: είτε G είναι το Κ 2 είτε G είναι το συμπλ(κ 2 ). n = 3: G έχει είτε 0 ή 1 ακμή (μη συνεκτικό) είτε 2 ή 3 ακμές (συμπλ(g) μη συνεκτικό). n = 4: αν G έχει 0, 1 ή 2 ακμές, είναι μη συνεκτικό, αν G έχει 4, 5, ή 6 ακμές, συμπλ(g) είναι μη συνεκτικό. Αν G έχει 3 ακμές, είτε Ρ 4 είτε αστέρας είτε Κ 3 και κορυφή. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 7

4 η Εργασία: Ερώτημα 4.γ Γράφημα G με n 2 κορυφές και χωρίς Ρ 4. Νδο κάθε επαγόμενο υπογράφημα είτε μη συνεκτικό είτε συμπλήρωμα μη συνεκτικό. Βάση: για n = 2, 3, 4 κορυφές το αποδείξαμε στο 4.β. Επαγωγική υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα με n 4 κορυφές. Επαγωγικό βήμα: Θδο ζητούμενο ισχύει για G με n+1 κορυφές. Έστω x κορυφή και G = G x. G έχει n κορυφές και δεν περιέχει Ρ 4 (επειδή G δεν περιέχει Ρ 4 ). Ισχύει για κάθε επαγόμενο υπογρ. G από επαγωγική υπόθεση. (άρα και για κάθε επαγόμενο υπογρ. G που δεν περιέχει τη x). Αν επαγόμενο υπογράφημα περιέχει την x και έχει k = 2, 3, 4 κορυφές, ζητούμενο έπεται από 4.β. Αν επαγόμενο υπογράφημα περιέχει την x, έχει k 5 κορυφές, δεν περιέχει Ρ 4 και είναι συνεκτικό, τότε η x έχει αναγκαστικά βαθμό k 1σε αυτό. Το ζητούμενο έπεται από 4.α. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 8

Συντομότερη Διαδρομή Διαδρομή Μονοκονδυλιά Μονοπάτι Διαδρομή: ακολουθία «διαδοχικών» ακμών. Μονοκονδυλιά: διαδρομή χωρίς επανάληψη ακμών. (Απλό) μονοπάτι: διαδρομή χωρίς επανάληψη κορυφών (και ακμών). Υπάρχει διαδρομή u v ανν υπάρχει μονοπάτι u v. Γράφημα με βάρη (ή μήκη) στις ακμές του. Απόσταση κορυφών u v, d(u, v): μήκος συντομότερης διαδρομής u v (άθροισμα βαρών ακμών κατά μήκος της διαδρομής). Συντομότερη διαδρομή είναι μονοπάτι, εκτός αν... κάποιες ακμές αρνητικές, και υπάρχει κύκλος αρνητικού μήκους. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) 9

Βασικές Ιδιότητες Κάθε τμήμα συντομότερου μονοπατιού αποτελεί συντομότερο μονοπάτι μεταξύ των άκρων του. Βλ. ΑΑ 4.13, Βούρος, σελ. 128, και Ερ. 1.γ, 5 η Εργ. 06-07. Π.χ. u 1 u 7 συντομότερο μονοπάτι: τμήμα του από u 2 εως u 5 συντομότερο u 2 u 5 μονοπάτι. Αν υπάρχει άλλο π συντομότερο u 2 u 5 μονοπάτι, π συνδυάζεται με u 1 u 2 και u 5 u 7 και δίνει πιο σύντομο u 1 u 7 μονοπάτι. Άτοπο! Συντομότερα μονοπάτια από μία κορυφή s προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές αποτελούν δέντρο: Δέντρο Συντομότερων Μονοπατιών, βλ. Ερ. 4, Ιούνιος 2009. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 10

Βασικές Ιδιότητες Για κάθε ζεύγος ακμών u, v με ακμή (u, v), και κάθε κορυφή s, ισχύει ότι d(s, v) d(s, u) + w(u, v). Βλ. Ερ. 5.β, 5 η Εργ. 06-07. Υπάρχει ένα s v μονοπάτι μέσω u: συντομότερο s u μονοπάτι και ακμή (u, v). Συντομότερο s v μονοπάτι έχει μήκος όσοτοπαραπάνωήμικρότερο. (Κάποιο) συντ. s v μονοπ. «διέρχεται» από ακμή (u, v) ανν ισότητα. Πάντα υπάρχει τουλ. μια κορυφή u που εξασφαλίζει ισότητα: τελευταία πριν v στο συντομότερο s v μονοπάτι. Αρχή λειτουργίας Dijkstra (όχι μόνο!) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 11

Αλλάζοντας τα Μήκη Γράφημαμεθετικάμήκηστιςακμές. Πολλαπλασιάζουμε μήκη με ίδιο αριθμό Β > 0. Υφίστανται αλλαγές συντομ. μονοπάτια; Προσθέτουμε ίδιο Β > 0. Υφίστανται αλλαγές συντομ. μονοπάτια; Μονοπάτια (συντομότερα) αποτελούνται από διαφορετικό #ακμών. Όταν όλα τα μονοπάτια έχουν ίδιο αριθμό ακμών; Αντιστροφή βάρους ακμών (δηλ. w 1/w): συντομότερο μονoπάτι μακρύτερο μονοπάτι; Ερ. 1.γ, 5 η εργ. 08-09. Δείτε ακόμη ερ. 1.δ από ίδια εργασία. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 12

Αλγόριθμος Dijkstra Αρχική κορυφή s. Λειτουργεί σε επαναλήψεις. u, διατηρεί ετικέτα L(u). Αρχικά L(s) = 0, L(u) = για κάθε u s. Μήκος συντ. s u μονοπ. που έχει «ανακαλύψει» οαλγόριθμος. S κορυφές με ετικέτα ίση με απόσταση από s (οριστική ετικέτα). Επανάληψη επιλέγει διαθέσιμη κορυφή u με ελάχιστη ετικέτα. u αποκτά οριστική ετικέτα, προστίθεται στο S(μη διαθέσιμη) Ενημέρωση ετικετών γειτονικών κορυφών. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 13

Αλγόριθμος Dijkstra Ετικέτες: «απαισιόδοξη» εκτίμηση απόστασης από s. Ξεκινούν από. Μειώνονται ώστε d(s, v) d(s, u) + w(u, v), με «ανακάλυψη» ακμής (u, v). Οριστικοποιούνται όταν επιλέγεται κάθε κορυφή. Επιλογή σε αύξουσα σειρά ετικετών. Θετικά μήκη: επιλογή κορυφής δεν μειώνει μικρότερες ετικέτες! Όταν κορυφή u επιλέγεται, έχει «ανακαλυφθεί» συντομ. s u μονοπ. και L(u) = d(s, u). Συνεχίζουμε μέχρι επιλογή κορυφής t ήεπιλογήόλων των κορυφών. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 14

Αλγόριθμος Dijkstra: Παράδειγμα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 15

Αλγόριθμος Dijkstra: Παράδειγμα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 16

Αλγόριθμος Dijkstra Συντομότερα μονοπάτια με δύο κριτήρια (π.χ. ελάχιστου μήκους, και ανάμεσα σε μονοπάτια ίδιου μήκους, προτιμούμε αυτό με ελάχιστο πλήθος ακμών); Χρήση δύο ετικετών με κατάλληλη ενημέρωση. Όταν L(v) > L(u) + w(v, u) ενημέρωση και των δύο ετικετών. Όταν L(v) = L(u) + w(v, u) μπορεί ενημέρωση 2 ης ετικέτας. Π.χ. Δείτε ερ. 1.β, 5 η εργ. 08-09. Αρνητικά μήκη: τα αυξάνουμε σε θετικά προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στο μήκος όλων των ακμών. Αλγόριθμος Dijkstra δεν υπολογίζει σωστά συντομότερα μονοπάτια. Υπό ποιες προϋποθέσεις θα μπορούσε να συμβεί αυτό; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 17

Αναπαράσταση Γραφημάτων με πίνακα γειτνίασης: Αν έχουμε βάρη, (Απλό) μη κατευθυνόμενο: συμμετρικός, διαγώνιος 0. Άθροισμα στοιχείων γραμμής (στήλης): βαθμός κορυφής. 1 3 5 2 4 6 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 18

Αναπαράσταση Γραφημάτων με πίνακα γειτνίασης: Αν έχουμε βάρη, (Απλό) μη κατευθυνόμενο: συμμετρικός, διαγώνιος 0. Άθροισμα στοιχείων γραμμής (στήλης): βαθμός κορυφής. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 19

Πίνακας Γειτνίασης Α k [u i, u j ] = #διαδρομών u i u j μήκους k. Πρόταση 1.4, σελ. 49, Μαυρονικόλας, Θεώρημα 4.4, σελ. 131, Βούρος. Διαγώνιος τετραγώνου: Α 2 [u i, u i ] = βαθμός(u i ). Α 3 [u i, u i ] = 2 #τριγώνων που συμμετέχει u i. Πλήθος τριγώνων = Υ[u i, u j ] = #διαδρομών u i u j μήκους n 1. Μονοπάτια έχουν μήκος n 1, και διαδρομή ανν μονοπάτι. Γράφημα συνεκτικό ανν όλα τα στοιχεία του Υθετικά(> 0). Μήκος ελάχιστου (#ακμών) u i u j μονοπατιού: Ελάχιστη τιμή k ώστε Α k [u i, u j ] > 0. Ερ. 2.α, 5 η Εργ. 2008-2009. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 20

Πίνακας Πρόσπτωσης 2 7 1 3 6 8 10 9 5 4 1,2 1,5 1,6 2,3 2,7 3,4 3,8 4,5 4,9 5, 10 6,8 6,9 7,9 7, 10 8, 10 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 21

Ισομορφικά Γραφήματα Γραφήματα G(V G, E G ) και H(V H, E H ) είναι ισομορφικά ανν υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση f: V G V H (ισομορφισμός) ώστε για κάθε u, v V G, {u, v} E G ανν {f(u), f(v)} E H Υπάρχει αντιστοιχία κορυφών που διατηρεί τη γειτονικότητα. Ισομορφισμός αποτελεί σχέση ισοδυναμίας (Προτ. 1.1, σελ. 30). Αναλλοίωτη ιδιότητα: ισομορφικά γραφήματα «συμφωνούν». Όλες οι σημαντικές ιδιότητες: #κορυφών, #ακμών, βαθμοί, συνεκτικότητα, κύκλος Euler και Hamilton, χρωματικός αριθμός,... Πως αποδεικνύω ότι δύο γραφήματα ισομορφικά: Βρίσκω ισομορφισμό και ελέγχω ότι διατηρεί γειτονικότητα. Αποδεικνύω (με ισομορφισμό) ότι τα συμπληρωματικά τους είναι ισομορφικά (Δραστ. 4.9, σελ. 139, Βούρος). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 22

Ισομορφικά Γραφήματα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 23

Ισομορφικά Γραφήματα Πως αποδεικνύω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά: Βρίσκω μια αναλλοίωτη ιδιότητα στην οποία «διαφωνούν». Π.χ. 6 μη ισομορφικά συνεκτικά γραφήματα με 4 κορυφές (βλ. σελ. 33, Μαυρονικόλας). Μεθοδολογία απόδειξης ότι μια ιδιότητα είναι αναλλοίωτη. Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα: γράφημα ισομορφικό με το συμπληρωματικό του. Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα έχει n(n-1)/4 ακμές. Αυτοσυμπληρωματικά γραφήματα υπάρχουν μόνο αν n ή n-1 είναι πολλαπλάσιο του 4. Ερώτ. 2, 5 η Εργ. 07-08. Πόσες κορυφές έχει αυτοσυμπληρωματικό γράφημα που είναι δέντρο (δέντρο: συνεκτικό και άκυκλο, m = n - 1); ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 26

Αυτοσυμπληρωματικά Γραφήματα Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα: γράφημα ισομορφικό με το συμπληρωματικό του. Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα έχει n(n-1)/4 ακμές. Υπάρχουν αυτοσυμπληρωματικά γραφήματα για: n = 1: μεμονωμένη κορυφή. n = 4: μονοπάτι μήκους 3 n = 5, 8, 9, : ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 27

Συνδυαστική και Γραφήματα Πόσα γραφήματα ισομορφικά με το διπλανό γράφημα έχει το γράφημα Κ 4 ; Πόσα έχει το Κ 20. Θεωρούμε τις κορυφές των Κ 4 και Κ 20 διακεκριμένες. Πόσους διαφορετικούς κύκλους C 6 περιέχει το Κ 3,3 αν οι κορυφές του θεωρούνται διακεκριμένες; Πόσους διαφορετικούς κύκλους C 6 περιέχει το Κ m,n αν οι κορυφές του θεωρούνται διακεκριμένες; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 28

Συνδυαστική και Γραφήματα Πόσα γραφήματα ισομορφικά με καθένα από τα παρακάτω έχει το γράφημα Κ 10 ; Θεωρούμε τις κορυφές του Κ 10 διακεκριμένες. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 29

Επίπεδα Γραφήματα Επίπεδο ένα γράφημα που μπορεί να ζωγραφιστεί στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές του. Θεώρημα 4 χρωμάτων: Επίπεδο γράφημα έχει χρωματικό αριθμό 4. Επίπεδη αποτύπωση ορίζει όψεις (faces). Περιοχή επιπέδου που ορίζεται από (απλό) κύκλο και δεν μπορεί να διαιρεθεί σε μικρότερες όψεις. Εσωτερικές και εξωτερική όψη. f = #όψεων επίπεδου γραφήματος. Τύπος του Euler για συνεκτικά επίπεδα γραφ.: n + f = m + 2 #όψεων είναι αναλλοίωτη ιδιότητα, δεν εξαρτάται από αποτύπωση! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 30

Επίπεδα Γραφήματα Μέγιστος αριθμός ακμών απλού επίπεδου γραφήματος. Απλό: κάθε όψη ορίζεται από τουλάχιστον 3 ακμές. Κάθε ακμή «ανήκει» σε μία ή δύο όψεις: Αν ανήκει σε κύκλο: σύνορο δύο όψεων. Διαφορετικά, «ανήκει» σε μία όψη. (Κάθε ακυκλικό γράφημα είναι επίπεδο με μία όψη, την εξωτερική). Υπάρχει συνεκτικό απλό επίπεδο γράφημα με m = 3n 6. Όλες του οι όψεις είναι τρίγωνα. Απλό διμερές επίπεδο γράφημα: m 2n 4. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 31

Επίπεδα Γραφήματα Άρα αν απλό γράφημα έχει m > 3n 6 (m > 2n 4 αν διμερές), δεν είναι επίπεδο. Τα Κ 5 και Κ 3,3 δεν είναι επίπεδα. Το συμπληρωματικό του γραφ. Petersen δεν είναι επίπεδο. Κάθε απλό επίπεδο γράφημα περιέχει κορυφή βαθμού 5. Π.χ. χρησιμοποιείται για να δείξουμε επαγωγικά ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματικό αριθμό 5. Κάθε γράφημα G με n 11 κορυφές, είτε το G είτε το συμπληρωματικό του δεν είναι επίπεδο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 32

Ομοιομορφικά Γραφήματα Απλοποίηση σειράς: απαλοιφή κορυφών βαθμού 2 (δεν επηρεάζουν επιπεδότητα). Γραφήματα G και H ομοιομορφικά ανν μπορούν να καταλήξουν ισομορφικά με διαδοχική εφαρμογή απλοποιήσεων σειράς. Ομοιομορφικά μπορούν να «διαφωνούν» σε αναλλοίωτες ιδιότητες, αλλά «συμφωνούν» σε επιπεδότητα. Ομοιομορφικά «συμφωνούν» σε κύκλο Euler και κύκλο Hamilton; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 33

Θεώρημα Kuratowski Θ. Kuratowski: Γράφημα επίπεδο ανν δεν περιέχει υπογράφημα ομοιομορφικό με Κ 5 ήκ 3,3. Ένα γράφημα δεν είναι επίπεδο ανν μπορούμε με απλοποιήσεις (διαγραφές κορυφών και ακμών, απλοποιήσεις σειράς) να καταλήξουμε σε Κ 5 ήκ 3,3. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 34

Πλατωνικά Γραφήματα Πλατωνικό (απλό μη κατευθυνόμενο) γράφημα: επίπεδο, όλες οι κορυφές βαθμού d, και όλες οι όψεις βαθμού h (d, h 3). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2014-2015) ΟΣΣ 5 (Θεωρία Γραφημάτων) 35