ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το 3, το 5, το 9, το 10 ή το 25. 2. Να βρεις τα κριτήρια µε τα οποία θα ξεχωρίζεις αν ένας αριθµός διαιρείται µε το 2, το 3, το 5, το 9, το 10 ή το 25 (κριτήρια διαιρετότητας). 3. Να λύνεις προβλήµατα χρησιµοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 59

ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριιότητα 1η Ένα σχολείο έχει 165 κορίτσια και 132 αγόρια. Είναι δυνατό τα κορίτσια να παραταχθούν σε δυάδες, τριάδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένα; Μπορεί να συµβεί το ίδιο και µε τα αγόρια; Ποια πράξη θα κάνεις για να χωρίσεις τα παιδιά σε δυάδες και να διαπιστώσεις αν χωρίζονται ακριβώς ή αν περισσεύει κανένα;... Κάνε την πράξη για τα κορίτσια:... Κάνε το ίδιο για τα αγόρια:... Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε τριάδες:... Κάνε το ίδιο για τα αγόρια:... Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε πεντάδες:... Κάνε το ίδιο για τα αγόρια:... Μπορείς να βρεις έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 5;... Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 2; Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 3; Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; 60 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

- Βρίσκεις δυσκολίες στη δραστηριότητα αυτή; - Όχι, είναι πολύ εύκολη! Θα προσπαθήσω να βρω σε πόσες οµάδες των 2 των 3 ή των 5 ατόµων µπορώ να χωρίσω τα παιδιά, ώστε κάθε οµάδα να έχει ίσο αριθµό παιδιών. Στο προηγούµενο κεφάλαιο µάθαµε ότι η πράξη που κάνουµε είναι η διαίρεση. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Ποια πράξη θα κάνεις για να χωρίσεις τα παιδιά σε δυάδες και να διαπιστώσεις αν χωρίζονται ακριβώς ή αν περισσεύει κανένα; Θα κάνω διαίρεση του 165 µε το 2 και του 132 µε το 2. Κάνε την πράξη για τα κορίτσια: Η διαίρεση του 165 µε το 2 είναι ατελής. Μας δίνει πηλίκο 82 και υπόλοιπο 1. ηλαδή τα κορίτσια δεν µπορούν να παραταχθούν σε δυάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. 1 6 5 2 0 5 8 2 1 Κάνε το ίδιο για τα αγόρια: Η διαίρεση του 132 µε το 2 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 66 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα αγόρια µπορούν να παραταχθούν σε 66 δυάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. 1 3 2 2 1 2 6 6 0 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 61

Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε τριάδες: Η διαίρεση του 165 µε το 3 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 55 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα κορίτσια µπορούν να παραταχθούν σε 55 τριάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. 1 6 5 3 1 5 5 5 0 Κάνε το ίδιο για τα αγόρια: Η διαίρεση του 132 µε το 3 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 44 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα αγόρια µπορούν να παραταχθούν σε 44 τριάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. 1 3 2 3 1 2 4 4 0 Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε πεντάδες: Η διαίρεση του 165 µε το 5 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 33 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα κορίτσια µπορούν να παραταχθούν σε 33 τριάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. 1 6 5 5 1 5 3 3 0 Κάνε το ίδιο για τα αγόρια: Η διαίρεση του 132 µε το 5 δεν είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 26 και υπόλοιπο 2. ηλαδή τα αγόρια δεν µπορούν να παραταχθούν σε πεντάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. 1 3 2 5 3 2 2 6 2 62 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Μπορείς να βρεις έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 5; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. Όταν δηλαδή είναι πολλαπλάσιο του 5. π.χ. οι αριθµοί 30, 45, 145, 680, 12.450 κ.λπ., διαιρούνται µε το 5. Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 2; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8, όταν δηλαδή είναι άρτιος (ζυγός) αριθµός, δηλαδή πολλαπλάσιο του 2. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 164, 686, 1.458, κ.λπ., διαιρούνται µε το 2. Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 3; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Όλα τα πολλαπλάσια του 3 διαιρούνται µε το 3. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 201, 165 (κορίτσια) και 132 (αγόρια), διαιρούνται µε το 3, γιατί: 3 + 0 = 3 (διαιρείται µε το 3) 4 + 2 = 6 (διαιρείται µε το 3) 2 + 0 + 1 = 3 (διαιρείται µε το 3) 1 + 6 + 5 = 12 (διαιρείται µε το 3) 1 + 3 + 2 = 6 (διαιρείται µε το 3) Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 63

ραστηριιότητα 2η Στη Γεωργική Σχολή Θεσσαλονίκης συσκευάζουν τα αβγά σε αβγοθήκες 4 θέσεων. Τα αβγά που έχουν να συσκευάσουν σήµερα είναι 104. Μπορούν να συσκευαστούν σε τετράδες χωρίς να περισσέψει κανένα; Μπορεί να βρεθεί κανόνας, ώστε οι υπεύθυνοι να γνωρίζουν αν τα αβγά κάθε ηµέρας συσκευάζονται σε τετράδες ακριβώς; Κάνοντας τη διαίρεση, διαπιστώνετε αν υπάρχει υπόλοιπο. Τα πολλαπλάσια του 104 θα διαιρούνται ακριβώς µε το 4; Γράψτε µερικά από αυτά: Τι κοινό έχουν τα τελευταία ψηφία των αριθµών αυτών; ιατυπώστε έναν κανόνα. Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Τι θα κάνουµε στη δραστηριότητα αυτή; - Θα εργαστούµε όπως και στην προηγούµενη. Κάνοντας τη διαίρεση του 104 µε το 4 θα δούµε αν µπορούµε να µοιράσουµε τα αβγά σε τετράδες χωρίς να περισσεύει κανένα. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Κάνοντας τη διαίρεση, διαπιστώνετε αν υπάρχει υπόλοιπο. Η διαίρεση του 104 µε το 4 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 26 και υπόλοιπο 0. 1 0 4 4 2 4 2 6 0 ηλαδή τα αβγά µπορούν να µπουν σε 26 αβγοθήκες και να µην περισσεύει κανένα. 64 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Τα πολλαπλάσια του 104 θα διαιρούνται ακριβώς µε το 4; - Ποια είναι τα πολλαπλάσια ενός αριθµού; - Είναι όλοι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον αριθµό αυτόν µε το 1, το 2, το 3, το 4, κ.λπ. Για παράδειγµα, τα πολλαπλάσια του 4 είναι οι αριθµοί 4, 8, 12, 16, 20, κ.λπ. Όλα τα πολλαπλάσια του 4 διαιρούνται ακριβώς µε το 4. Εποµένως: Τα πολλαπλάσια του 104 θα διαιρούνται και αυτά µε το 4. Γράψτε µερικά από αυτά: Μερικά πολλαπλάσια του 104 είναι οι αριθµοί: 208 (2 104 = 208) 312 (3 104 = 312) 416 (4 104 = 416) 520 (5 104 = 520) 624 (6 104 = 624) κ.λπ. Τι κοινό έχουν τα τελευταία ψηφία των αριθµών αυτών; Το τελευταίο διψήφιο τµήµα τους διαιρείται ακριβώς µε το 4. Και το 8 και το 12 και το 16 και το 20 και το 24, διαιρούνται ακριβώς µε το 4. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 65

ιατυπώστε έναν κανόνα. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 9; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. Όλα τα πολλαπλάσια του 9 διαιρούνται µε το 9. Για παράδειγµα: Οι αριθµοί 27, 54, 126, 468, κ.λπ., διαιρούνται µε το 9, γιατί: 2 + 7 = 9 (διαιρείται µε το 9) 5 + 4 = 9 (διαιρείται µε το 9) 1 + 2 + 6 = 9 (διαιρείται µε το 9) 4 + 6 + 8 = 18 (διαιρείται µε το 9) Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 25; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. Όλα τα πολλαπλάσια του 25 διαιρούνται µε το 25. Για παράδειγµα: 66 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Οι αριθµοί 125, 350, 1.250, 24.625, 34.000, κ.λπ., διαιρούνται µε το 25, γιατί το τελευταίο διψήφιο τµήµα τους (που είναι συνήθως το 25, το 50 ή το 00), διαιρείται µε το 25. Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, κ.λπ.; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10 όταν τελειώνει σε ένα µηδενικό. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 100 όταν τελειώνει σε δύο µηδενικά. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 1000 όταν τελειώνει σε τρία µηδενικά, κ.λπ. Για παράδειγµα: Οι αριθµοί 20, 50, 120, 4.650, κ.λπ., διαιρούνται µε το 10. Οι αριθµοί 400, 700, 1.200, 4.600, κ.λπ., διαιρούνται µε το 100. Οι αριθµοί 3.000, 34.000, 450.000, κ.λπ., διαιρούνται µε το 1000. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 67

Τι µάθαµε µέχρι τώρα; Μέχρι τώρα µάθαµε τα εξής κριτήρια διαιρετότητας: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. Κάθε αριθµός που διαιρείται µε το 2 ονοµάζεται άρτιος ή ζυγός αριθµός. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 164, 686, 1.458, κ.λπ., διαιρούνται µε το 2. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. π.χ. οι αριθµοί 30, 45, 145, 680, 12.450, κ.λπ., διαιρούνται µε το 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 201, 165, 132, κ.λπ., διαιρούνται µε το 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. π.χ. οι αριθµοί 27, 54, 126, 468, κ.λπ., διαιρούνται µε το 9. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. π.χ. οι αριθµοί 32, 140, 204, 160, 1.032, κ.λπ., διαιρούνται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. π.χ. οι αριθµοί 125, 350, 1.250, 24.625, 34.000, κ.λπ., διαιρούνται µε το 25. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, όταν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία,. µηδενικά αντιστοίχως. Για παράδειγµα: Οι αριθµοί 20, 50, 120, 4.650, κ.λπ., διαιρούνται µε το 10. Οι αριθµοί 400, 700, 1.200, 4.600, κ.λπ., διαιρούνται µε το 100. Οι αριθµοί 3.000, 34.000, 450.000, κ.λπ., διαιρούνται µε το 1000. 68 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Εφαρµογές Εφαρρµµοογγήή 1ηη Οι µαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από 283 και λιγότεροι από 293. Είναι δυνατό να παραταχθούν σε τριάδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι; Απαντώ στην εφαρµογή Έχουµε µάθει ότι: Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν σε τριάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς µε το 3. Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν και σε πεντάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς και µε το 5. Εποµένως, για να βρούµε πόσοι είναι οι µαθητές, αρκεί να βρούµε έναν αριθµό ανάµεσα στο 283 και στο 293 (οι µαθητές είναι περισσότεροι από 283 και λιγότεροι από 293) που να διαιρείται ταυτόχρονα και µε το 3 και µε το 5. - Ποιοι αριθµοί είναι ανάµεσα στο 283 και στο 293; - Οι αριθµοί: 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291 και 292. - Ποιοι από αυτούς διαιρούνται µε το 5; - Με το 5 διαιρούνται οι αριθµοί 285 και 290 (αφού τελειώνουν σε 0, ή σε 5). - Και ποιος από αυτούς διαιρείται και µε το 3; - Ο αριθµός 285 γιατί το άθροισµα των ψηφίων του είναι: 2 + 8 + 5 = 15 (που διαιρείται µε το 3). Ο αριθµός 290 δεν διαιρείται µε το 3 (2 + 9 + 0 = 11). - Τι συµπεραίνουµε λοιπόν; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 69

Οι µαθητές του σχολείου είναι 285. Εφαρρµµοογγήή 2ηη Στην παρέλαση τα παιδιά προσπάθησαν να µετρήσουν τα άρµατα. Στο τέλος όµως διαφώνησαν, καθώς άλλοι έλεγαν ότι ήταν 57 και άλλοι 59. Μπορείς να βρεις ποιος έχει δίκιο, αν ξέρεις ότι τα άρµατα περνούσαν σε τριάδες; Απαντώ στην εφαρµογή Έχουµε µάθει ότι: Αφού τα άρµατα περνούσαν σε τριάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς µε το 3. Εποµένως, για να βρούµε πόσα είναι τα άρµατα, αρκεί να βρούµε ποιος από τους αριθµούς 57 και 59 διαιρείται ακριβώς µε το 3. - Ο αριθµός 57 διαιρείται µε το 3; - Ελέγχω: 5 + 7 = 12 και απαντώ: Ναι, διαιρείται µε το 3, γιατί το 12 διαιρείται µε το 3 ακριβώς (το 3 χωράει 4 φορές στο 12). - Ο αριθµός 59 διαιρείται µε το 3; - Ελέγχω: 5 + 9 = 14 και απαντώ: Όχι, δεν διαιρείται µε το 3, γιατί το 14 δεν διαιρείται µε το 3 ακριβώς. 70 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

- Τι συµπεραίνουµε λοιπόν; ίκιο έχουν τα παιδιά που υποστηρίζουν ότι τα άρµατα ήταν 57. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 71

Ερωτήσειις γιια αυτοέλεγχο καιι συζήτηση Στο κεφάλαιο αυτό µάθαµε τα κριτήρια διαιρετότητας. Θυµήσου κάθε κριτήριο αναφέροντας ένα δικό σου παράδειγµα για κάθε περίπτωση. : Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. π.χ. Ο αριθµός 456 διαιρείται µε το 2 γιατί τελειώνει σε 6. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. π.χ. Ο αριθµός 105 διαιρείται µε το 5 γιατί τελειώνει σε 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. π.χ. Ο αριθµός 201 διαιρείται µε το 3 γιατί: 2 + 0 + 1 = 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. π.χ. Ο αριθµός 729 διαιρείται µε το 9 γιατί: 7 + 2 + 9 = 18. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. π.χ. Ο αριθµός 516 διαιρείται µε το 4, γιατί το τελευταίο διψήφιο τµήµα του είναι το 16 που διαιρείται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. π.χ. Ο αριθµός 850, διαιρείται µε το 25, γιατί το τελευταίο διψήφιο τµήµα του είναι το 50 που διαιρείται µε το 25. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, όταν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία,. µηδενικά αντιστοίχως. Για παράδειγµα: 72 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Ο αριθµός 3.450 διαιρείται µε το 10. Ο αριθµός 4.500 διαιρείται µε το 100. Ο αριθµός 13.000 διαιρείται µε το 1000. Σηµειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 και µε το 9. Όποιος αριθµός διαιρείται ακριβώς µε το 2 είναι ζυγός αριθµός. Μπορώ να πω αν θα έχω υπόλοιπο σε µια διαίρεση µε το 5 χωρίς να κάνω την πράξη. : Η έκφραση «Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 και µε το 9» είναι Λάθος. Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 (αφού 3 + 0 + 9 = 12, που διαιρείται µε το 3), αλλά δεν διαιρείται µε το 9 (αφού το 12 δεν διαιρείται µε το 9). Η έκφραση «Όποιος αριθµός διαιρείται ακριβώς µε το 2 είναι ζυγός αριθµός» είναι Σωστή. Η έκφραση «Μπορώ να πω αν θα έχω υπόλοιπο σε µια διαίρεση µε το 5 χωρίς να κάνω την πράξη» είναι Σωστή. Θα ελέγξω αν ο αριθµός τελειώνει σε 0 ή σε 5. Αν δεν τελειώνει, τότε θα έχω υπόλοιπο. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 73

Συµπληρώνουµε λοιπόν: Σωστό Λάθος Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 και µε το 9. Όποιος αριθµός διαιρείται ακριβώς µε το 2 είναι ζυγός αριθµός. Μπορώ να πω αν θα έχω υπόλοιπο σε µια διαίρεση µε το 5 χωρίς να κάνω την πράξη. 74 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Εξέτασε σύµφωνα µε τα κριτήρια διαιρετότητας τις παρακάτω διαιρέσεις και σηµείωσε ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε στήλη. ιαιρέτης Αριθµοί 11.250 5.645 131 4.590 842 920.310 2 3 4 5 9 10 25 1.684 Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 2, το 3 και το 5:... Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 4, το 10 και το 25:... Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Τι έχεις στην άσκηση αυτή; - Έχω έναν πίνακα µε αριθµούς και πρέπει να εξετάσω αν διαιρούνται µε το 2, το 3, το 4, το 5, το 9, το 10 και το 25. - Και πώς θα το εξετάσεις αυτό; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 75

- Θα θυµηθώ τα κριτήρια διαιρετότητας: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, όταν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία,. µηδενικά αντιστοίχως. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. Λύση ιαιρείται µε το 2, µε το 5 και το 10 γιατί τελειώνει σε 0. ιαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: 1 + 1 + 2 + 5 + 0 = 9. 11.250 Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 50, άρα διαιρείται µε το 25, αλλά όχι µε το 4. ιαιρείται µε το 5 γιατί τελειώνει σε 5. 5.645 εν διαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: 5 + 6 + 4 + 5 = 20. Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 45, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25. εν διαιρείται µε το 2 ή το 5. εν διαιρείται µε το 3 ή το 9, γιατί: 1 + 3 + 1 = 5. 131 εν διαιρείται µε το 4 ή το 25. Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 31. Επίσης δεν διαιρείται µε το 10. 76 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

ιαιρείται µε το 2, µε το 5 και το 10 γιατί τελειώνει σε 0. 4.590 ιαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: 4 + 5 + 9 + 0 = 18. Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 90, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25 (το 4, όπως και το 25 δεν διαιρούν το 90). ιαιρείται µε το 2, γιατί τελειώνει σε 2. εν διαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: 8 + 4 + 2 = 14. 842 Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 42, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25 (το 4, όπως και το 25 δεν διαιρούν το 42). ιαιρείται µε το 2, µε το 5 και το 10 γιατί τελειώνει σε 0. ιαιρείται µε το 3 (αλλά όχι µε το 9), γιατί: 9 + 2 + 3 + 1 = 15. 920.310 Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 10, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25 (το 4, όπως και το 25 δεν διαιρούν το 10). ιαιρείται µε το 2, γιατί τελειώνει σε 4. εν διαιρείται µε το 3 ή το 9. 1.684 Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 84, άρα διαιρείται µε το 4 αλλά όχι µε το 25 (το 4 διαιρεί το 84 αλλά το 25 δεν το διαιρεί. Οπότε, ο πίνακας συµπληρωµένος θα είναι: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 77

ιαιρέτης 2 3 4 5 9 10 25 Αριθµοί 11.250 ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ 5.645 ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 131 ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 4.590 ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ 842 ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 920.310 ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ 1.684 ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 2, το 3 και το 5: 11.250, 4.590, 920.310 (όπως προκύπτει από τον πίνακα). Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 4, το 10 και το 25:... Κανείς δεν διαιρείται (όπως προκύπτει από τον πίνακα). ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Γράψε 5 αριθµούς που διαιρούνται µε: Το 2:... Το 3:... Το 4:... Το 5:... Λύση Όταν ένας αριθµός τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, ή 8, τότε διαιρείται µε το 2. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 78 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

82, 116, 3.454, 23.780, 121.678 Όταν ένας αριθµός έχει ψηφία που το άθροισµά τους διαιρείται µε το 3, τότε ο αριθµός αυτός διαιρείται µε το 3. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 81, 114, 5.484, 23.730, 522.000 Όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα ενός αριθµού διαιρείται µε το 4, τότε αυτός ο αριθµός διαιρείται µε το 4. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 84, 116, 2.000, 3.452, 23.732 Όταν ένας αριθµός τελειώνει σε 0, ή 5, τότε διαιρείται µε το 5. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 85, 110, 5.690, 53.785, 121.600 ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Κύκλωσε όσους από τους παρακάτω αριθµούς διαιρούνται ταυτόχρονα µε το 2, το 4 και το 9: 100 302 815 150 925 300 3.600 8.136 8.082 1.306 5.127 9.246 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; Έχουµε µάθει ότι: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. Εποµένως, θα βρω πρώτα αυτούς που διαιρούνται µε το 2 (που είναι πολύ εύκολο). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 79

Στη συνέχεια, θα εξετάσω ποιοι από αυτούς διαιρούνται και µε το 4. Τέλος, θα εξετάσω ποιοι διαιρούνται και µε το 9. Γιατί οι αριθµοί που θα επιλέξω, πρέπει να διαιρούνται ταυτόχρονα και µε το 2 και µε το 4 και µε το 9. Λύση Οι αριθµοί που διαιρούνται µε το 2 (δηλαδή αυτοί που τελειώνουν σε 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8) είναι οι: 100 302 150 300 3.600 8.136 8.082 1.306 9.246 Από αυτούς, οι αριθµοί που διαιρούνται και µε το 4 (δηλαδή αυτοί που το τελευταίο διψήφιο τµήµα τους διαιρείται µε το 4) είναι οι: 100 300 3.600 8.136 Τέλος, από αυτούς, οι αριθµοί που διαιρούνται και µε το 9 (δηλαδή αυτοί που έχουν ψηφία που το άθροισµά τους διαιρείται µε το 9) είναι οι: 3.600 8.136 Κυκλώνουµε λοιπόν µόνο τους αριθµούς 3.600 και 8.136. ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 1 ο ο Στο σχολείο µας φοιτούν 153 µαθητές και θα πάρουν όλοι µέρος στην κατάθεση στεφάνου. Πώς είναι δυνατόν να παραταχθούν; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα αυτό; - Θα σκεφτώ ότι πρέπει να χωρίσω τους 153 µαθητές σε δυάδες, τριάδες, τετράδες, κ.λπ., έτσι ώστε να µην περισσεύει κανείς. Έχουµε µάθει ότι: 80 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Για να µπορέσουµε να µοιράσουµε έναν αριθµό σε ίσα µέρη, χωρίς να µένει υπόλοιπο, βρίσκουµε τους διαιρέτες του. Εποµένως, για να κάνουµε τους 153 µαθητές οµάδες των δύο, των τριών, των τεσσάρων, κ.λπ., χωρίς να περισσεύει κανένας, πρέπει να βρούµε τους διαιρέτες του 153. Λύση Ποιοι αριθµοί χωρούν ακριβώς στο 153; Ο αριθµός 1 διαιρεί το 153 (αλλά δεν είναι συνηθισµένο να παρατάσσονται οι µαθητές ένας ένας). Ο αριθµός 2 δεν διαιρεί το 153 (δεν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8). Ο αριθµός 3 διαιρεί το 153 (άθροισµα ψηφίων: 1 + 5 + 3 = 9). Κάνουµε τη διαίρεση 153 : 3 = 51, εποµένως: Ο αριθµός 51 διαιρεί το 153. Ο αριθµός 4 δεν διαιρεί το 153 (το τελευταίο διψήφιο τµήµα, το 53, δεν διαιρείται µε το 4). Ο αριθµός 5 δεν διαιρεί το 153 (δεν τελειώνει σε 0 ή 5). Ο αριθµός 9 διαιρεί το 153 (άθροισµα ψηφίων: 1 + 5 + 3 = 9). Κάνουµε τη διαίρεση 153 : 9 = 17, εποµένως: Ο αριθµός 17 διαιρεί το 153. Τέλος, ο αριθµός 153 διαιρεί το 153. Άρα: Οι διαιρέτες του αριθµού 153 είναι οι αριθµοί: 1, 3, 9, 17, 51 και 153 Όµως δεν συνηθίζεται οι µαθητές να παρατάσσονται ένας ένας ή σε 17άδες, κ.λπ. Εποµένως, συµπεραίνω ότι: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 81

Οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν σε τριάδες (τρεις τρεις) ή σε εννιάδες (εννιά εννιά). ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 2 ο ο Αν έχουµε να βάλουµε 355 κιλά κρασιού σε δοχεία των 3 κιλών, θα γεµίσουν όλα τελείως; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Ποια είναι τα δεδοµένα στο πρόβληµα αυτό; - Στο πρόβληµα αυτό ξέρουµε πόσα κιλά κρασί έχουµε να µοιράσουµε στα δοχεία των 3 κιλών. - Και ποιο είναι το ζητούµενο στο πρόβληµα αυτό; - Πρέπει να βρούµε αν θα γεµίσουν όλα τα δοχεία τελείως. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούµε αν τα 355 κιλά µπορούµε να τα µοιράσουµε ακριβώς σε δοχεία των 3 κιλών. Πρέπει λοιπόν να διαπιστώσουµε αν ο αριθµός 355 διαιρείται ακριβώς µε το 3. Έχουµε όµως µάθει ότι: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Λύση Το άθροισµα των ψηφίων του αριθµού 355 είναι: 3 + 5 + 5 = 13 Ο αριθµός 13 όµως δεν διαιρείται µε το 3. 82 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

εν θα γεµίσουν όλα τα δοχεία. Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πόσα δοχεία θα γεµίσουµε και πόσα κιλά κρασί θα περισσέψει; Κάνουµε τη διαίρεση: 3 5 5 3 0 5 1 1 8 2 5 1 Εποµένως θα γεµίσουµε 118 δοχεία των 3 κιλών και θα περισσέψει 1 κιλό κρασί. ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 3 ο ο Έχω µια κλειδαριά που έχει 40 αριθµούς από το 0 έως το 39 και λειτουργεί µε συνδυασµό τριών αριθµών. Για να ξεκλειδώσει πρέπει να ξεκινήσω από το µηδέν, να γυρίσω δεξιά στον πρώτο αριθµό, µετά αριστερά στο δεύτερο και τέλος δεξιά στον τρίτο. Για να θυµάµαι τους αριθµούς µου έχω γράψει πίσω από την κλειδαριά τον εξής µυστικό κανόνα: 123 + 2235 + 249, δηλαδή: πρώτος αριθµός είναι µονοψήφιος (1) και διαιρείται µε τους αριθµούς 2 και 3. δεύτερος αριθµός είναι διψήφιος (2) και διαιρείται µε τους αριθµούς 2, 3 και 5. τρίτος αριθµός είναι διψήφιος (2) και διαιρείται µε τους αριθµούς 4 και 9. Μπορείς να βρεις τους τρεις αριθµούς του συνδυασµού; Λύση Πρώτος αριθµός µονοψήφιος που διαιρείται µε το 2 και το 3 ταυτόχρονα. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 83

- Ποιοι αριθµοί µονοψήφιοι (µε ένα ψηφίο) διαιρούνται µε το 2; - Οι αριθµοί 2, 4, 6 και 8 - Από αυτούς ποιος αριθµός διαιρείται και µε το 3; - Ο αριθµός 6. Βρήκαµε λοιπόν ότι ο πρώτος αριθµός του συνδυασµού είναι το 6. εύτερος αριθµός διψήφιος που διαιρείται µε τους αριθµούς 2, 3 και 5 ταυτόχρονα. - Ποιοι αριθµοί διψήφιοι µέχρι το 39 διαιρούνται µε το 5; - Οι αριθµοί 10, 15, 20, 25, 30 και 35. - Από αυτούς ποιοι διαιρούνται µε το 2; - Οι αριθµοί 10, 20 και 30. - Και από αυτούς ποιος διαιρείται µε το 3; - Ο αριθµός 30. Βρήκαµε λοιπόν ότι ο δεύτερος αριθµός του συνδυασµού είναι το 30. Τρίτος αριθµός διψήφιος που διαιρείται µε τους αριθµούς 4 και 9 ταυτόχρονα. - Ποιοι αριθµοί διψήφιοι µέχρι το 39 διαιρούνται µε το 4; - Οι αριθµοί 12, 16, 20, 24, 28, 32 και 36. - Από αυτούς ποιος διαιρείται µε το 9 (το άθροισµα των ψηφίων του να διαιρείται µε το 9); - Ο αριθµός 36 (3 + 6 = 9). Βρήκαµε λοιπόν ότι ο τρίτος αριθµός του συνδυασµού είναι το 36. Οι τρεις αριθµοί του συνδυασµού της κλειδαριάς είναι οι: 6, 30 και 36. 84 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

ραστηριιότητα µε προεκτάσειις: «Κατασκευή αφίίσας µε τα κριιτήριια διιαιιρετότητας» Σε χαρτί κανσόν διαστάσεων 70x100 εκατοστά γράφουµε τα κριτήρια διαιρετότητας ως εξής: Κάθε οµάδα ετοιµάζει σε ένα χαρτόνι διαστάσεων 50x23 εκατοστά ένα κριτήριο διαιρετότητας. Η οµάδα εκφράζει το κριτήριο µε δικά της λόγια και δίνει τη δική της εικαστική άποψη στην απόδοση του κριτηρίου αυτού. Τα χαρτόνια των οµάδων θα κολληθούν στο µεγάλο χαρτόνι και το σύνολο θα κρεµαστεί στην αίθουσα. Απαντώ στην ερώτηση της δραστηριότητας Πώς κατά τη γνώµη σου θα µπορούσες να κατασκευάσεις ένα χαρτόνι µε ένα κριτήριο διαιρετότητας; Σου δίνουµε ένα δικό µας παράδειγµα το οποίο δεν είναι ανάγκη να το ακολουθήσεις. Προσπάθησε να κατασκευάσεις εσύ ο ίδιος ένα δικό σου. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 85

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Γράψε 5 αριθµούς που διαιρούνται µε: Το 2 και το 3 ταυτόχρονα:... Το 3 και το 4 ταυτόχρονα:... Το 2 και το 5 ταυτόχρονα:... Λύση Όταν ένας αριθµός τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, ή 8, τότε διαιρείται µε το 2. Για να διαιρείται και µε το 3, θα πρέπει το άθροισµα των ψηφίων του να είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 72, 102, 504, 2.070, 14.106 Όταν ένας αριθµός έχει ψηφία που το άθροισµά τους διαιρείται µε το 3, τότε ο αριθµός αυτός διαιρείται µε το 3. Για να διαιρείται και µε το 4 θα πρέπει το τελευταίο διψήφιο τµήµα του να διαιρείται µε το 4. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 804, 216, 48, 1.164, 33.372 Για να διαιρείται ένας αριθµός µε το 2 και µε το 5 ταυτόχρονα πρέπει να τελειώνει σε 0. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 80, 110, 2.000, 3.450, 23.700 86 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Το κρασί που έβγαλε ο κυρ Γιώργος από το αµπέλι του το έβαλε σε 50 δοχεία των 5 λίτρων και περίσσεψαν και 2 λίτρα. Αν το έβαζε σε δοχεία των 3 λίτρων θα περίσσευε; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Ποια είναι τα δεδοµένα στο πρόβληµα αυτό; Τι ξέρουµε; - Στο πρόβληµα αυτό ξέρουµε ότι ο κυρ Γιώργος έβαλε το κρασί σε 50 δοχεία των 5 λίτρων και περίσσεψαν 2 λίτρα. - Και ποιο είναι το ζητούµενο; - Αν έβαζε το κρασί σε δοχεία των 3 λίτρων θα περίσσευε; - Τι θα κάνεις λοιπόν; - Θα βρω πόσα λίτρα ήταν το κρασί. Θα πολλαπλασιάσω το 50 µε το 5 και στο γινόµενο θα προσθέσω το 2. Αυτό που θα βρω θα είναι η συνολική ποσότητα του κρασιού. Στη συνέχεια, θα ελέγξω αν ο αριθµός αυτός διαιρείται ακριβώς µε το 3. Λύση 50 5 = 250 λίτρα 250 + 2 = 252 λίτρα ήταν όλο το κρασί. Το 252 διαιρείται µε το 3 (γιατί 2 + 5 + 2 = 9). : Εποµένως, δεν θα περισσέψει καθόλου κρασί αν το βάλει σε δοχεία των 3 λίτρων. Σηµείωση: Στην περίπτωση αυτή θα χρειαστούν 252 : 3 = 84 δοχεία. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 87

ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Οι µαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από 200 και λιγότεροι από 240. Μπορούν να παρελάσουν σε τετράδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; Έχουµε µάθει ότι: Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν σε τετράδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς µε το 4. Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν και σε πεντάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς και µε το 5. Εποµένως, για να βρούµε πόσοι είναι οι µαθητές, αρκεί να βρούµε έναν αριθµό ανάµεσα στο 200 και στο 240 (οι µαθητές είναι περισσότεροι από 200 και λιγότεροι από 240) που να διαιρείται ταυτόχρονα και µε το 4 και µε το 5. Λύση - Οι αριθµοί που είναι ανάµεσα στο 200 και στο 240 και διαιρούνται µε το 5 είναι οι: 205, 210, 215, 220, 225, 230 και 235. - Από αυτούς µε το 4 διαιρείται µόνον ο αριθµός 220 (το 20 διαιρείται µε το 4). - Τι συµπεραίνουµε λοιπόν; Οι µαθητές του σχολείου είναι 220. 88 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς