ΚΟΛΛΕΓΙΟ. το ξεκίνηµα των µοντέρνων µαθηµατικών. Οι πρώτες του µελέτες πάνω στη θεωρία των συνόλων χρονολογούνται από το 1879.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1. ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Θεωρία Συνόλων Τα σύνολα είναι οµάδες στοιχείων, διαφορετικά µεταξύ τους, τα οποία έχουν κάποιες συγκεκριµένες κοινές ιδιότητες και οι οποίες είναι καλά ορισµένες. Η γέννηση της θεωρίας των συνόλων από τον Georg Cantor (St Petersburg, 1845 Halle, 1918) Mathematicians/Cantor.html θεωρείται το ξεκίνηµα των µοντέρνων µαθηµατικών. Οι πρώτες του µελέτες πάνω στη θεωρία των συνόλων χρονολογούνται από το Παραδείγµατα: 1. Ένα σύνολο είναι οι µαθητές της πρώτης τάξης του Γυµνασίου του Αριστοτελείου Κολλεγίου Θεσσαλονίκης. Στοιχεία αυτού του συνόλου είναι οι µαθητές και οι κοινές τους ιδιότητες είναι: α. ότι είναι µαθητές της πρώτης τάξης του Γυµνασίου και β. ότι πηγαίνουν όλοι στο Αριστοτέλειο Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Παρατηρούµε ότι αυτή η οµάδα των µαθητών όντως αποτελεί ένα σύνολο γιατί οι ιδιότητές τους είναι συγκεκριµένες και ακόµη είναι καλά ορισµένες. 2. Η οµάδα όµως που περιέχει τα ενδιαφέροντα µαθήµατα της πρώτης τάξης του Γυµνασίου δεν αποτελεί ένα σύνολο γιατί ενώ η ιδιότητα των µαθηµάτων να είναι µαθήµατα της πρώτης τάξης του Γυµνασίου είναι καλά ορισµένη, η ιδιότητά τους να είναι ενδιαφέροντα δεν είναι καλά ορισµένη, είναι υποκειµενική. ηλαδή, δεν βρίσκουν όλοι ενδιαφέροντα τα ίδια µαθήµατα. Τα σύνολα τα συµβολίζουµε µε κεφαλαία γράµµατα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου. Για να συµβολίσουµε ότι κάποια στοιχεία που έχουµε είναι στοιχεία του ίδιου συνόλου, τα γράφουµε ανάµεσα σε άγκιστρα, {...}. Παράδειγµα προσδιορισµού συνόλου µε περιγραφή των στοιχείων του: Α = {οι µαθητές της Α τάξης του Γυµνασίου του Αριστοτελείου Κολλεγίου Θεσσαλονίκης}. Εµείς θα ασχοληθούµε µε σύνολα, τα οποία έχουν ως στοιχεία τους αριθµούς και τα οποία ονοµάζονται σύνολα αριθµών. 1.2 Άσκηση Ποιες από τις παρακάτω οµάδες στοιχείων είναι σύνολα; α. Οι πόλεις της Ελλάδος. β. Οι µέρες της εβδοµάδας. γ. Τα ωραία σπίτια της Θεσσαλονίκης. δ.{1, 3, 5, 7, 9, 0, 21, 3.4, 1, 6} ε. {2.1, 1.2, 4.5, 1.3, 11, 7.3} στ. {2.3, 4.2, 2, 7.1, 9, 0, 7.1, 2, 3} ζ. {5.1, 6.1, 7.1, 1.5, 1.6, 1.7} Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 1

2 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1.3 Σύνολο των φυσικών αριθµών Η ανάγκη των ανθρώπων να απαριθµήσουνε τα αντικείµενα του περιβάλλοντός τους, τους ώθησε να δηµιουργήσουνε τους φυσικούς αριθµούς. Το σύνολο των φυσικών αριθµών αποτελείται από τους αριθµούς: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... και ο αυστηρά µαθηµατικός ορισµός τους στηρίχθηκε στα πέντε αξιώµατα του Giuseppe Peano (Cuneo, Torino, 1932) Το σύνολο αυτό το συµβολίζουµε µε το γράµµα ΙΝ.. ηλαδή, έχουµε ότι το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι το εξής: ΙΝ = { 1, 2, 3, 4,...} Τους φυσικούς αριθµούς τους χωρίζουµε σε περιττούς και άρτιους. Οι ΠΕΡΙΤΤΟΙ είναι οι αριθµοί που τελειώνουν σε 1, 3, 5, 7 και 9 ενώ οι ΑΡΤΙΟΙ είναι οι αριθµοί που τελειώνουν σε 2, 4, 6, 8 και 0. ΠΡΟΣΟΧΗ!! Χρησιµοποιούµε το συµβολισµό για να δείξουµε ότι ένας αριθµός ανήκει σε ένα σύνολο αριθµών και τον συµβολισµό για να δείξουµε ότι ένας αριθµός δεν ανήκει σε ένα σύνολο αριθµών. π.χ. Το 5 ΙΝ σηµαίνει ότι ο αριθµός 5 ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθµών. ηλαδή ότι είναι φυσικός αριθµός. Ενώ το 3,5 ΙΝ σηµαίνει ότι το 3,5 δεν είναι φυσικός αριθµός. 1.4 Άσκηση Να συµπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις µε τον κατάλληλο συµβολισµό ( ή ). α. 12,0 ΙΝ β. 51 ΙΝ γ. 32,3 ΙΝ δ ΙΝ ε. 2,1234 ΙΝ στ. 1,1 ΙΝ ζ. 12,01 ΙΝ η. 65,00001 ΙΝ θ. 4 ΙΝ 1.5 Σύγκριση Αριθµών Στη µελέτη των αριθµών, είναι πολύ σηµαντικό να καταλάβουµε ποιος αριθµός είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε κάποιον άλλον. 2

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Για αυτό το λόγο χρησιµοποιούµε τα µαθηµατικά σύµβολα: >, <, = ως εξής: για δύο ίσους αριθµούς το ίσον (=). για δύο άνισους αριθµούς: µεγαλύτερος > µικρότερος µικρότερος < µεγαλύτερος. Όταν συγκρίνουµε αριθµούς καταλήγουµε σε µαθηµατικές σχέσεις, οι οποίες ονοµάζονται ισότητες, αν οι αριθµοί είναι ίσοι, ή σε ανισότητες αν οι αριθµοί δεν είναι ίσοι. 1.6 Άσκηση Να τοποθετήσετε τα κατάλληλα σύµβολα <,> και = στις παρακάτω σχέσεις: α β ,00 γ ,554 δ ε στ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ ιε Στρογγυλοποίηση των Αριθµών Για στατιστικούς συνήθως λόγους, αλλά καµιά φορά και για τη διευκόλυνσή τους οι άνθρωποι αναγκάζονται να στρογγυλοποιούν τους αριθµούς. ηλαδή να αντικαθιστούν τον αριθµό που επεξεργάζονται µε κάποιον άλλο, πιο εύχρηστο. Αν θέλουµε να στρογγυλοποιήσουµε έναν αριθµό ως προς κάποια τάξη τότε προσέχουµε το επόµενο προς τα δεξιά ψηφίο αν είναι 0, 1, 2, 3, 4, τότε δεν αλλάζουµε τα ψηφία του αριθµού µέχρι και την τάξη που θέλουµε και αντικαθιστούµε τα υπόλοιπα ψηφία µε µηδενικά. αν είναι 5, 6, 7, 8, 9, τότε προσθέτουµε µια µονάδα στο ψηφίο της τάξης της στρογγυλοποίησης και αντικαθιστούµε τα υπόλοιπα ψηφία µε µηδενικά. 3

4 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1.8 Άσκηση Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Στρογγυλοποίηση στη πλησιέστερη (ή στο πλησιέστερο) Αριθµός Εκατοµµύριο Εκατοντάδα Χιλιάδα εκάδα Χιλιάδα Χιλιάδα Εκατοντάδα εκάδα ΠΡΑΞΕΙΣ Πρόσθεση, Ιδιότητες πρόσθεσης Οι αριθµοί που προσθέτουµε, ονοµάζονται προσθετέοι, ενώ το αποτέλεσµα της πράξης ονοµάζεται άθροισµα. Ουδέτερο στοιχείο Αν έχουµε έναν οποιοδήποτε αριθµό, α, τότε γνωρίζουµε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: α + 0 = 0 + α = α. Το µηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης = 5. 4

5 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Αντιµεταθετική ιδιότητα Έστω δύο αριθµοί α και β τότε ισχύει: α + β = β + α. Αυτή η σχέση είναι η γενική µορφή της αντιµεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης. ηλαδή µπορούµε να προσθέτουµε αριθµούς µε οποιαδήποτε σειρά θέλουµε και το άθροισµα να µην αλλάζει. Παραδείγµατα: = 5 ισχύει όµως και ότι = , ,89 = 13621,67 ισχύει όµως και ότι 375, ,78 = 13621,67. Παρατηρούµε ακόµη ότι η αντιµεταθετική ιδιότητα στην πρόσθεση εφαρµόζεται και σε αθροίσµατα µε περισσότερους από δύο προσθετέους = = = = 23 κ.ο.κ. Προσεταιριστική ιδιότητα Έστω τρεις αριθµοί α, β και γ. Έχουµε τότε: α + (β + γ) = (α + β) + γ. Αυτή η σχέση είναι η γενική µορφή της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης. 3 + (4 + 5) = = 12 (3 + 4) + 5 = = Πρόσθεση φυσικών αριθµών Για να προσθέσουµε φυσικούς αριθµούς, τους τοποθετούµε τον έναν κάτω από τον άλλον ευθυγραµµίζοντάς τους ως προς τη δεξιά κατακόρυφο Άσκηση Να βρείτε τα αθροίσµατα: (κατακόρυφα οι προσθέσεις στο τετράδιο) α = β. 3293, = γ = δ = ε = στ = ζ = η = θ = ι = ια = ιβ = 5

6 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αφαίρεση φυσικών αριθµών ιαφορά, του Α από τον Μ, όπου Α και Μ είναι δύο αριθµοί, λέγεται ο αριθµός ο οποίος αν προστεθεί στον Α θα µας δώσει τον Μ. = Μ Α Ο αριθµός Μ ονοµάζεται µειωτέος (αυτός που µειώνεται) ενώ ο Α ονοµάζεται αφαιρετέος (αυτός που αφαιρεί). Η αριθµητική πράξη που κάνουµε για να βρούµε τη διαφορά δύο αριθµών ονοµάζεται αφαίρεση Άσκηση Να κάνετε τις παρακάτω αφαιρέσεις: (κατακόρυφα οι αφαιρέσεις στο τετράδιο) α = β = γ = δ = ε = στ = ζ = η = θ = ι = ια = ιβ = Πολλαπλασιασµός, Ιδιότητες πολλαπλασιασµού Το αποτέλεσµα που βρίσκουµε από τον πολλαπλασιασµό δύο ή και περισσοτέρων αριθµών ονοµάζεται γινόµενο των αριθµών αυτών. Οι αριθµοί που πολλαπλασιάζονται µεταξύ τους ονοµάζονται παράγοντες του γινοµένου. Ουδέτερο στοιχείο Αν έχουµε έναν οποιοδήποτε αριθµό, α, τότε γνωρίζουµε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: α 1 = 1 α = α. Η µονάδα είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού. 5 1 =

7 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Αντιµεταθετική ιδιότητα Έστω δύο αριθµοί α και β τότε ισχύει: α β = β α. Αυτή είναι η αντιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού. ηλαδή µπορούµε να πολλαπλασιάζουµε αριθµούς µε οποιαδήποτε σειρά θέλουµε και το γινόµενο να µην αλλάζει. 2 3 = 6 ισχύει όµως και ότι 3 2 = 6. Παρατηρούµε ακόµη ότι η αντιµεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασµό ισχύει και για γινό- µενα µε περισσότερους από δύο παράγοντες = = = = 1800 κ.ο.κ. Προσεταιριστική ιδιότητα Έστω τρεις αριθµοί α, β και γ. Έχουµε τότε: α (β γ) = (α β) γ. Αυτή είναι η προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού. 3 (4 5) = 3 20 = 60 (3 4) 5 = 12 5 = Πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών Έστω ότι ένας µαθητής έχει επτά ώρες µάθηµα την ηµέρα στο σχολείο και θέλει να δει πόσες ώρες κάνει µάθηµα την εβδοµάδα. Τότε θα πρέπει να προσθέσει πέντε φορές τον αριθµό των επτά ωρών, δηλαδή να πολλαπλασιάσει τις επτά ώρες µε το πέντε. Έχουµε λοιπόν: = 5 7 = 35 ώρες την εβδοµάδα Χρήσιµες παρατηρήσεις για τα γινόµενα Για διευκόλυνση στις πράξεις µας µαθαίνουµε τον εξής κανόνα: Όταν πολλαπλασιάζω έναν φυσικό αριθµό µε το 10 (ή το 100 ή το 1000 ή το ή κτλ) τότε γράφουµε στη δεξιά µεριά του αριθµού αυτού ένα µηδενικό (ή δύο ή τρία ή τέσσερα ή κτλ µηδενικά αντίστοιχα). Παραδείγµατα: = = =

8 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καλό είναι να µάθετε απ έξω τα παρακάτω γινόµενα: 2 5 = = = = Όταν σε ένα γινόµενο έχουµε έναν αριθµό µε µηδενικά στη θέση µερικών ψηφίων εργαζόµαστε όπως στα παρακάτω παραδείγµατα: Χωρίζουµε µε µία γραµµή τα µηδενικά. Θα εκτελέσουµε τον πολλαπλασιασµό σαν να µην έχουµε τα µηδενικά και θα τα προσθέσουµε στο τέλος Πάνω πάνω γράφουµε τον αριθµό µε τα περισσότερα µη µηδενικά ψηφία. Θα εκτελούµε τους διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς µόνο µε τα µη µηδενικά ψηφία. Αντί για να γράφουµε σειρές µε µηδενικά, µετακινούµε τη θέση που θα γράψουµε τον επόµενο πολλαπλασιασµό. Όσα µηδενικά έχουµε, τόσες θέσεις προς τα αριστερά µετακινούµαστε Άσκηση Να εκτελέσετε τους παρακάτω πολλαπλασιασµούς (δεν πρέπει να γίνουν όλοι κατακόρυφα): α = β = γ = δ = ε = στ = ζ = η = θ = ι = ια = ιβ = ιγ = ιδ = ιε = ιστ = ιζ = ιη = ιθ = κ = κα = κβ = κγ = κδ = κε = κστ = κζ = κη = κθ = λ = λα = λβ = λγ = λγ = λδ = λστ = λζ = λη = λθ = 8

9 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.10 Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού Για να διευκολυνθούν οι µαθητές στο σχολικό βιβλίο το µηδέν θεωρείται φυσικός αριθµός και στη συνέχεια αναφέρεται στα πολλαπλάσια ενός αριθµού. Για αυτόν το λόγο το αναφέρουµε και εµείς. Σωστότερα όµως, τα πολλαπλάσια έχουν οριστεί στο σύνολο των ακεραίων αριθµών (όπου ανήκει και το µηδέν) που θα ασχοληθούµε αργότερα. Τα γινόµενα ενός φυσικού αριθµού n µε όλους τους φυσικούς αριθµούς είναι τα πολλαπλάσιά του. ηλαδή το σύνολο Π n = {0, n, 2n, 3n, 4n,...} είναι το σύνολο των πολλαπλάσιων του n. Αν τώρα έχουµε δύο φυσικούς αριθµούς και τα πολλαπλάσιά τους τότε, Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των δύο αυτών αριθµών είναι το µικρότερο, διάφορο του µηδενός κοινό πολλαπλάσιό τους. Για συντοµία το συµβολίζουµε Ε.Κ.Π.. Παραδείγµατα: 1. Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα εξής: 0 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2,... Τα οποία δεν είναι παρά τα 0, 2, 4, 6, 8,... (δηλαδή στον ορισµό, βάζουµε όπου n το 2). Ακόµη, το σύνολο των πολλαπλασίων του 2 είναι το Π 2 = { 0, 2, 4, 6, 8,...}. Με αυτόν τον τρόπο µπορούµε να ορίσουµε τα πολλαπλάσια όλων των φυσικών αριθµών. 2. Έστω τώρα δύο φυσικοί αριθµοί το 2 και το 9 και θέλουµε να βρούµε το Ε.Κ.Π. τους. Παίρνουµε πρώτα τα πολλαπλάσια και των δύο αριθµών και ψάχνουµε να βρούµε ποια είναι ίδια και για τους δύο αριθµούς. Έχουµε δηλαδή: Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα εξής: Π 2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,... }. Τα πολλαπλάσια του 9 είναι τα εξής: Π 9 = {0, 9, 18, 27, 36,... }. Παρατηρούµε ότι τα κοινά τους πολλαπλάσια είναι τα 0, 18, 36,... Από τα κοινά τους λοιπόν πολλαπλάσια το µικρότερο µη µηδενικό είναι το 18. Άρα, Ε.Κ.Π.(2, 9) = 18. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή και περισσοτέρων αριθµών ορίζεται µε τον αντίστοιχο τρόπο και για να το βρούµε ακολουθούµε την ίδια διαδικασία. 9

10 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ποιο είναι το Ε.Κ.Π.(3, 5, 9): Ζητάµε να βρούµε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3, 5 και 9. Γράφουµε τα σύνολα των πολλαπλασίων τους: Του 3 είναι Π 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60,...} Του 5 είναι Π 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70,...} Του 9 είναι Π 9 = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 72,...} Παρατηρούµε ότι τα κοινά τους πολλαπλάσια είναι τα 0, 45, 90,... Από τα κοινά τους λοιπόν πολλαπλάσια το µικρότερο µη µηδενικό είναι το 45. Άρα, Ε.Κ.Π.(3, 5, 9) = 45. Η εύρεση του Ε.Κ.Π. είναι πολύ σηµαντική γι αυτό πρέπει να ρωτήσετε όλες τις σας Άσκηση Να βρεθούν τα παρακάτω ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια: α. Ε.Κ.Π.(2, 4) β. Ε.Κ.Π.(5, 12) γ. Ε.Κ.Π.(4, 9) δ. Ε.Κ.Π.(2, 7) ε. Ε.Κ.Π.(2, 3, 5) στ. Ε.Κ.Π.(5, 6, 4) ζ. Ε.Κ.Π.(6, 2, 10) η. Ε.Κ.Π.(1, 5) θ. Ε.Κ.Π.(3, 7, 2) ι. Ε.Κ.Π.(9, 8) ια. Ε.Κ.Π.(12, 8) ιβ. Ε.Κ.Π.(7, 5, 2) 1.11 υνάµεις αριθµών Ορισµοί και αξιώµατα Έστω α ένας οποιοσδήποτε αριθµός. Τότε το γινόµενο που έχει ν παράγοντες και είναι όλοι ίσοι µε το α ονοµάζεται νιοστή δύναµη του α και συµβολίζεται α ν. Το α ονοµάζεται βάση της δύναµης και το ν εκθέτης της δύναµης. Στις δυνάµεις ισχύουν τα εξής: α. α 1 = α β. α ν + 1 = α ν α και γ. α 0 = 1, α 0 (δηλαδή το α πρέπει να είναι αριθµός διάφορος του µηδενός). 10

11 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Το α 1 διαβάζεται «α στην πρώτη» και όπως είδαµε παραπάνω είναι ίσο µε το α. Το α 2 διαβάζεται ή «α στη δευτέρα» ή πιο συχνά «α στο τετράγωνο». Το α 3 διαβάζεται ή «α στην τρίτη» ή «α στον κύβο». Το α 4 διαβάζεται «α στην τετάρτη», κτλ. Παραδείγµατα: 1. Η πέµπτη δύναµη του 2, δηλαδή το 2 5, είναι το γινόµενο πέντε παραγόντων που είναι ίσοι µεταξύ τους και ίσοι µε το 2. ηλαδή 2 5 = = παράγοντες 2. Οι δυνάµεις του 10 είναι πολύ απλό να βρεθούν. ιότι κάθε φορά που αυξάνουµε τον εκθέτη κατά µία µονάδα γράφουµε ένα µηδενικό στα δεξιά του αριθµού. ηλαδή είναι: 10 2 = = 100, 10 3 = = 1000, 10 4 = = 10000,... Να µη µπερδεύετε τα 2 5 = 5 2 = = = = = = 5 5 = 25 Αντιµεταθετική Ιδιότητα στον Πολλαπλασιασµό Ιδιότητες των δυνάµεων Το γινόµενο δύο ή και περισσοτέρων δυνάµεων του ίδιου αριθµού α, είναι µία δύναµη του α πάλι, η οποία όµως έχει ως εκθέτη το άθροισµα των εκθετών. ηλαδή αν α ν και α µ είναι δύο δυνάµεις του α, τότε το α ν α µ = α ν + µ Αντίστοιχα αν α λ, α ν και α µ είναι τρεις δυνάµεις του α τότε το γινόµενό τους α λ α ν α µ = α λ + ν + µ 11

12 = = 2 8. ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ = (2 2 2) ( ) = = παράγοντες 5 παράγοντες 8 παράγοντες Για να υψώσουµε σε µία δύναµη το γινόµενο δύο ή και περισσοτέρων αριθµών αρκεί να υψώσουµε τον κάθε παράγοντα του γινοµένου στη δύναµη αυτή. (α β) ν = α ν β ν (2 3) 5 = Για να εξετάσουµε όµως αναλυτικά αυτή την εφαρµογή της δεύτερης ιδιότητας: (2 3) 5 = (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) = (αναπτύσσουµε τη δύναµη) 5 παράγοντες (εκτελούµε τους πολλαπλασιασµούς στις παρενθέσεις) = = = 7776 Παίρνουµε το δεύτερο µέλος της ισότητας και έχουµε: = ( ) ( ) = (αναπτύσσουµε τις δυνάµεις) 5 παράγοντες 5 παράγοντες = = Αντίστοιχα ενεργούµε στην περίπτωση που στο γινόµενο έχουµε περισσότερους από δύο παράγοντες. Αν µια δύναµη ενός αριθµού α υψωθεί σε µία άλλη δύναµη, τότε προκύπτει µία δύναµη µε βάση τον ίδιο αριθµό, δηλαδή τον α, και εκθέτη το γινόµενο των εκθετών. ηλαδή αν έχουµε τη νιοστή δύναµη του α, α ν, τότε το (α ν ) µ = α ν µ (2 3 ) 2 = = 2 6 = 64 12

13 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ (2 3 ) 2 = (2 2 2) 2 = (αναπτύσσουµε τη τρίτη δύναµη του δύο που βρίσκεται µέσα στην παρένθεση) = = (σύµφωνα µε τη δεύτερη ιδιότητα των δυνάµεων που λέει ότι: «για να υψώσουµε σε µία δύναµη το γινόµενο δύο ή και περισσοτέρων αριθµών αρκεί να υψώσουµε τον κάθε παράγοντα του γινοµένου στη δύναµη αυτή») = = (σύµφωνα µε την πρώτη ιδιότητα των δυνάµεων που λέει ότι: «αν µια = 2 6 = 64 Παράδειγµα και Μεθοδολογία: δύναµη ενός αριθµού α υψωθεί σε µία άλλη δύναµη, τότε προκύπτει µία δύναµη µε βάση τον ίδιο αριθµό και εκθέτη το άθροισµα των εκθετών») Χρησιµοποιώντας τον ορισµό και τις ιδιότητες των δυνάµεων και εξηγώντας προσεκτικά το κάθε σας βήµα να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθµητική παράσταση έτσι ώστε το αποτέλεσµα να είναι δύναµη ενός και µόνο αριθµού (5-2) (2 3-5) (2 4-7) (1+ 2) 3 = (κάνουµε τις πράξεις στις παρενθέσεις εφαρµόζοντας = 3 (8-5) (16-7) 3 3 = και τον ορισµό της δύναµης ενός αριθµού) = = (γνωρίζουµε ότι 3 2 =9) = = (γνωρίζουµε ότι αν α ένας αριθµός τότε α 1 =α) = = (σύµφωνα µε την πρώτη ιδιότητα των δυνάµεων που λέει ότι: «αν µια δύναµη ενός αριθµού α υψωθεί σε µία άλλη δύναµη, τότε προκύπτει µία δύναµη µε βάση τον ίδιο = = αριθµό και εκθέτη το άθροισµα των εκθετών») =3 7 Δύσκολη Άσκηση!! Ασκήσεις Ι. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: α. 3 4 = β. 4 3 = γ. 5 2 = δ = ε. 6 2 = στ = ΙΙ. Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάµεων και εξηγώντας προσεκτικά το κάθε σας βήµα να κάνετε τις πράξεις στις παρακάτω αριθµητικές παραστάσεις: α. (2 3) 2 2 = γ = ε , = β. ( ) 2 = δ = στ. (5 20 ) = ΙΙΙ. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό και τις ιδιότητες των δυνάµεων και εξηγώντας προσεκτικά το κάθε σας βήµα να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθµητική παράσταση έτσι ώστε το αποτέλεσµα να είναι δύναµη ενός και µόνο αριθµού. (όπως στο παραπάνω παράδειγµα) (3-1) (3 2-7) ( ) = 13

14 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υνάµεις αριθµών (χρειάζονται φέτος για την ανάλυση και του χρόνου για την εύρεση ριζών) α. υνάµεις του = = = = = = = = = = = 1024 β. υνάµεις του = = = = = = 243 γ. υνάµεις του = = = = = = 1024 δ. υνάµεις του = = = = = 625 ε. υνάµεις του = = = = 216 στ. υνάµεις του = = = = 343 ζ. υνάµεις του = = = = 512 η. υνάµεις του = = = 81 θ. υνάµεις του = = = 121 ι. υνάµεις του = = = 144 ια. υνάµεις του = = = 169 θ. υνάµεις του = = = 196 ι. υνάµεις του = = = 225 ια. υνάµεις του = = = 256 ια. υνάµεις του = = = 289 ια. υνάµεις του = = = 324 ια. υνάµεις του = = = 361 ια. υνάµεις του = = = 400 ια. υνάµεις του = = = 441 ια. υνάµεις του = = = 484 ια. υνάµεις του = = = 529 ια. υνάµεις του = = = 576 ια. υνάµεις του = = = 625 ια. υνάµεις του = = = 676 ια. υνάµεις του = = = 729 ια. υνάµεις του = = = 784 ια. υνάµεις του = = = 841 ια. υνάµεις του = = =

15 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.12 Επιµεριστική ιδιότητα Η επιµεριστική ιδιότητα είναι µια ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση Έστω τρεις αριθµοί α, β και γ. Έχουµε τότε: α (β + γ) = α β + α γ α β + α γ = α (β + γ) Σ αυτές τις σχέσεις χρησιµοποιούµε την επιµεριστική ιδιότητα. Παρατηρούµε ότι στη δεύτερη σχέση τα δύο γινόµενα α β και α γ έχουν έναν ίδιο παράγοντα, το α. Αυτόν τον παράγοντα τον ονοµάζουµε κοινό παράγοντα. Όταν χρησιµοποιούµε τη δεύτερη σχέση της επιµεριστικής ιδιότητας τότε λέµε ότι «βγάζουµε κοινό παράγοντα το α» από την α β + α γ. Αυτό το κάνουµε συνήθως για να διευκολυνθούµε στις πράξεις µας. Παραδείγµατα: α. 100 (63, ,9) = (εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα) = , ,9 = = = 7715 Αν δεν χρησιµοποιούσαµε την επιµεριστική ιδιότητα τότε θα κάναµε πρώτα την πρόσθεση των 63,25 και 13,9 και µετά θα τα πολλαπλασιάζαµε µε το 100. ηλαδή: 100 (63, ,9) = ,15 = 7715 β = (βγάζουµε κοινό παράγοντα το 4 εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα) = 4 ( ) = = = 400 Αν σ αυτήν την άσκηση δε βγάζαµε κοινό παράγοντα το 4 και βρίσκαµε ξεχωριστά τα γινόµενα και µετά τα προσθέταµε τότε θα έπρεπε να εκτελέσουµε τους πολλαπλασιασµούς 4 63 και 4 37 οι οποίοι είναι σχετικά δύσκολοι. γ ,3 = (γράφουµε το 1001 ως άθροισµα των 1000 και 1) = ( ) 15,3 = (εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα) = , ,3 = 15

16 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ = ,3 = 15315,3 Αν σ αυτήν την άσκηση δε γράφαµε το 1001 ως άθροισµα των 1000 και 1 θα έπρεπε να εκτελέσουµε τον σχετικά δύσκολο πολλαπλασιασµό: ,3. δ. 5x + 8x = (βγάζουµε κοινό παράγοντα το x εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα) = x (5 + 8) = 5x =5 x = x 13 = 13x ε πρέπει να ξεχνάµε ότι: x = 1 x Η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει και στην περίπτωση που αντί για πρόσθεση έχουµε αφαίρεση. ηλαδή έχουµε: Έστω τρεις αριθµοί α, β και γ. Έχουµε τότε: α (β - γ) = α β - α γ. α β - α γ = α (β - γ). Σ αυτές τις σχέσεις χρησιµοποιούµε την επιµεριστική ιδιότητα. Παρατηρούµε ότι και σ αυτήν την περίπτωση βγάζουµε κοινό παράγοντα το α από την α β - α γ = α (β - γ). Παραδείγµατα: α. 21 (35 12) = = = 483 β = 45 (38 37) = 45 1= Η επιµεριστική ιδιότητα και ο εντοπισµός του κοινού παράγοντα είναι πολύ σηµαντικά γι αυτό δεν πρέπει να αφήσετε καµιά Άσκηση Να εφαρµόσετε την επιµεριστική ιδιότητα και να κάνετε τις πράξεις στις παρακάτω αλγεβρικές και αριθµητικές παραστάσεις: α. 5x + 3x = β. 15x + 7x 8x + 6x 4x = γ. 18ω + 5y 6ω + 5x 2y 3x = δ. 1, ,7 5 = ε = στ = ζ ,7 = η = θ = ι = ια = ιβ. 18, ,1 176 = ιγ = ιδ = ιε = ιστ = ιζ. 15 (x + 7) + 8 (x 3) = ιη. 26 (y - 5 ) + 27 (y 4) 53y = ιθ. 26 (y - 5 ) = κ (ω 5) + 6 (ω 3) = κα. 6 (y + 2x ) + 5 (y x) 9y =

17 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.13 ιαίρεση Ορισµοί Ονοµάζουµε πηλίκο ενός αριθµού δ από έναν αριθµό, έναν αριθµό π, ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί µε τον δ µας δίνει τον. ηλαδή = δ π Η πράξη που κάνουµε για να βρούµε το πηλίκο ονοµάζεται διαίρεση και συµβολίζεται µε ή µε : ο Το κανονικό σύµβολο της διαίρεσης είναι το και προέκυψε από το κλάσµα. ο Έτσι έχουµε π = : δ. Για να βρούµε δηλαδή τον π, διαιρούµε τον µε το δ. Τον αριθµό τον ονοµάζουµε διαιρετέο (που σηµαίνει: αυτός που διαιρείται) ενώ τον αριθµό δ διαιρέτη (που σηµαίνει: αυτός που διαιρεί). Έστω ότι έχουµε 45 τετράδια και θέλουµε να τα µοιράσουµε σε 15 µαθητές έτσι ώστε όλοι να έχουν τον ίδιο αριθµό τετραδίων. Τότε θα πρέπει να διαιρέσουµε το 45 µε το 15 για να δούµε πόσα τετράδια θα πάρει ο καθένας από τους µαθητές. Έχουµε λοιπόν: 45 : 15 = 3 τετράδια θα πάρει ο καθένας από τους µαθητές. Το 3 είναι το πηλίκο αυτής της διαίρεσης, το 45 είναι ο διαιρετέος και το 15 ο διαιρέτης. Πάντα όταν κάνουµε µία διαίρεση µετά για να βεβαιωθούµε ότι το πηλίκο που βρήκαµε είναι το σωστό, πρέπει να κάνουµε επαλήθευση. Θα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε το πηλίκο µε τον διαιρέτη και αν το γινόµενο που θα προκύψει είναι ο διαιρετέος τότε η πράξη µας έγινε σωστά αλλιώς θα πρέπει να προσέξουµε πιο πολύ τα νούµερα στη διαίρεση. Στο παράδειγµα αυτό ας κάνουµε επαλήθευση: Πολλαπλασιάζουµε το 3 µε το 15 και το γινόµενο θα πρέπει να είναι ίσο µε το = 45. Άρα η διαίρεση που κάναµε πριν ήτανε σωστή. 17

18 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αν τώρα ο διαιρέτης και ο διαιρετέος είναι και οι δύο φυσικοί αριθµοί και το πηλίκο µετά από τη διαίρεση που θα κάνουµε δούµε ότι είναι και αυτός φυσικός αριθµός, τότε λέµε ότι η διαίρεση είναι µία τέλεια διαίρεση. Αν έχουµε δηλαδή τέλεια διαίρεση τότε σύµφωνα µε τον ορισµό του πηλίκου ισχύει: = δ π όπου είναι ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης και π το πηλίκο (και οι τρεις είναι φυσικοί αριθµοί). Από τον ορισµό τότε των πολλαπλασίων ενός αριθµού προκύπτει ότι ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη. Έτσι από το παραπάνω παράδειγµα έχουµε τα εξής: η διαίρεση του 45 µε το 15 είναι µία τέλεια διαίρεση και ότι το 45 είναι πολλαπλάσιο του 15 (κάτι που ήδη το ξέρετε). Παρατηρούµε ότι αν α είναι ένας τυχαίος αριθµός τότε ισχύουν τα εξής: α : 1 = α 0 : α = 0. Ας κάνουµε επαλήθευση στις παραπάνω σχέσεις. Θα πρέπει στην πρώτη να ισχύει ότι α 1=α το οποίο ισχύει για όλους τους αριθµούς α και α 0 = 0 που πάλι ισχύει για όλα τα α. Η διαίρεση µε το µηδέν δεν ορίζεται. ηλαδή δεν µπορούµε να διαιρέσουµε µε το µηδέν ιαιρέτες φυσικού αριθµού Έστω ότι έχουµε το 24 ο οποίος είναι ένας φυσικός αριθµός. Γνωρίζουµε ότι το γινόµενο του 12 µε το 2 είναι ίσο µε το 24. Μπορούµε τότε να πούµε ότι τo 12 και το 2 είναι διαιρέτες του 24. Αλλά δεν είναι µόνο αυτοί οι διαιρέτες του 24. Είναι και οι 1, 3, 4, 6, 8 και το 24. ηλαδή οι διαιρέτες του 24 είναι 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Άρα οι διαιρέτες του 24 είναι όλοι οι φυσικοί αριθµοί που τον διαιρούν και δίνουν ως πηλίκο έναν φυσικό αριθµό. 18

19 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Λέµε ότι ένας φυσικός αριθµός είναι πρώτος αν έχει ακριβώς δύο διαιρέτες: την µονάδα (1) και τον εαυτό του. Ένας φυσικός αριθµός λέγεται σύνθετος αν έχει και άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και τη µονάδα. Παρατηρήσεις: 1. Ο αριθµός 1 δεν είναι ένας πρώτος αριθµός. Γιατί ο µόνος του διαιρέτης είναι ο εαυτός του. 2. Ο αριθµός 2 είναι πρώτος αριθµός. Γιατί οι µόνοι του διαιρέτες είναι ο εαυτός του και το 1. Όµοια και το 3 και το 5 κτλ. 3. Ενώ το 4 δεν είναι πρώτος αριθµός γιατί εκτός από το 4 και το 1 έχει σαν διαιρέτη του και το 2. Άρα µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι οι άρτιοι αριθµοί, εκτός του 2, είναι σύνθετοι αριθµοί Ασκήσεις Ι. Να γίνουνε οι παρακάτω διαιρέσεις: α. 34 : 2 γ. 213 : 71 ε : 2 ζ. 56 : 7 θ : 1000 β. 39 : 3 δ. 297 : 9 στ. 252 : 3 η. 252 : 4 ι : 20 Και οι επαληθεύσεις. ΙΙ. Ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να βρεθούν οι διαιρέτες όλων των παρακάτω αριθµών: α. 34 ε. 6 θ. 11 ιγ. 96 ιζ. 243 β. 39 στ. 9 ι. 41 ιδ. 54 ιη. 216 γ. 21 ζ. 14 ια. 72 ιε. 555 ιθ. 196 δ. 27 η. 13 ιβ. 48 ιστ. 169 κ Μέγιστος κοινός διαιρέτης Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο φυσικών αριθµών α και β είναι ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των δύο αριθµών και τον συµβολίζουµε Μ.Κ.. (α, β). ύο αριθµοί α και β λέγονται πρώτοι µεταξύ τους αν και µόνον αν ο µέγιστος κοινός τους διαιρέτης είναι η µονάδα, δηλαδή αν Μ.Κ..(α, β) = 1. 19

20 Μεθοδολογία και παραδείγµατα: ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να βρεθεί ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των 15 και 25. Οι διαιρέτες του 15 είναι οι 1, 3, 5, 15 και οι διαιρέτες του 25 είναι οι 1, 5, 25. Οι κοινοί τους διαιρέτες είναι οι 1 και 5. Ο µεγαλύτερος από αυτούς είναι το 5. Άρα ο Μ.Κ..(15, 25) = Να βρεθούν οι µέγιστοι κοινοί διαιρέτες των 1024, 512 και 256. Παρατηρούµε ότι το 256 διαιρεί και το 512 και το Συνεπώς ο Μ.Κ..(1024, 512, 256) = 256. Πονηρό! Από το παραπάνω παράδειγµα συµπεραίνουµε ότι για να βρούµε το µέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ή και περισσοτέρων αριθµών δε χρειάζεται πάντα να βρίσκουµε τους διαιρέτες καθένα από τους αριθµούς και µετά να εξετάζουµε ποιος είναι ο µεγαλύτερος από τους κοινούς τους διαιρέτες. Πρέπει να εξετάζουµε αν ο µικρότερος από τους αριθµούς που έχουµε διαιρεί όλους τους υπόλοιπους αριθµούς. Στην περίπτωση αυτή ο µέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο αριθµός αυτός. 3. Για να βρούµε τον Μ.Κ.. χρησιµοποιούµε και άλλο τρόπο τον εξής: Να βρεθεί ο Μ.Κ..(60, 45, 75) (Γράφουµε τους αριθµούς και κατεβάζουµε τον µικρότερο) Ο πιο εύκολος (Τον αφαιρούµε από τους άλλους και τις διαφορές τις γράφουµε στην αντίστοιχη θέση) (Συνεχίζουµε κατά τον ίδιο τρόπο έως ότου µείνει ένας αριθµός και οι υπόλοιποι µηδενιστούν) (Αν έχουµε ίδιους αριθµούς διαλέγουµε έναν από αυτούς) Άρα ο Μ.Κ..(60, 45, 75) = Για να βρούµε τον Μ.Κ.. χρησιµοποιούµε ακόµη έναν άλλο τρόπο τον εξής: Να βρεθεί ο Μ.Κ..(1890, 1470, 1092). Ο πιο γρήγορος (Γράφουµε τους αριθµούς και κατεβάζουµε τον µικρότερο) (Τον διαιρούµε από τους άλλους και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων τα γράφουµε στην αντίστοιχη θέση) (Συνεχίζουµε κατά τον ίδιο τρόπο έως ότου µείνει ένας αριθµός και οι υπόλοιποι µηδενιστούν) (Αν έχουµε ίδιους αριθµούς διαλέγουµε έναν από αυτούς) Άρα ο Μ.Κ..(1890, 1470, 1092) = Και άλλος τρόπος στην ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων

21 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.16 Κανόνες διαιρετότητας Για να διευκολυνθούµε στις διαιρέσεις µας πολλές φορές χρησιµοποιούµε τους παρακάτω κανόνες. Όλοι οι φυσικοί αριθµοί διαιρούν τα πολλαπλάσιά τους. Έστω ότι έχουµε το 9 και όλα τα πολλαπλάσιά του, 0, 9, 18, 27, 36, 45,... Παρατηρούµε ότι το 9 τα διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του: 0 : 9 = 0 9 : 9 = 1 18 : 9 = 2 27 : 9 = 3... Αν ένας αριθµός διαιρεί κάποιον άλλον τότε διαιρεί και όλα τα πολλαπλάσια αυτού. Έστω ότι έχουµε τους αριθµούς 3 και 9 τότε το 3 διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του 9, δηλαδή διαιρεί τα 0, 9, 18, 27, 36, 45,... 0 : 3 = 0 9 : 3 = 3 18 : 3 = 6 27 : 3 = 9... Αν ένας αριθµός διαιρεί δύο άλλους αριθµούς τότε διαιρεί και τη διαφορά τους και το άθροισµά τους και προφανώς διαιρεί και το γινόµενό τους. Έστω ότι έχουµε τους αριθµούς 5, 35 και 150 και γνωρίζουµε ότι το 5 διαιρεί και τους δύο αυτούς αριθµούς. Τότε σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα το 5 διαιρεί και τους αριθµούς = 115, = 185 και το = Είναι απλό να επαληθεύσουµε τη παραπάνω εφαρµογή του κανόνα: 115 : 5 = : 5 = : 5 = Προσοχή!! Δύσκολος κανόνας 21

22 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Με το 1 διαιρούνται όλοι οι αριθµοί. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 αν και µόνο αν είναι άρτιος (δηλαδή αν το τελευταίο ψηφίο του διαιρείται µε το 2). Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 αν και µόνον αν το άθροισµα όλων των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν και µόνον αν τα δύο τελευταία του ψηφία διαιρούνται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 αν και µόνο αν το τελευταίο του ψηφίο είναι ή 0 ή 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 6 αν και µόνον αν είναι άρτιος και το άθροισµα όλων των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 8 αν και µόνον αν τα τρία τελευταία του ψηφία διαιρούνται µε το 8. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 αν το άθροισµα όλων των ψηφίων του διαιρείται µε το 9. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0. Ο κανόνας για το 7 είναι τόσο πολύπλοκος ώστε είναι καλύτερα να κάνετε τη διαίρεση και να ελέγξετε αν είναι τέλεια ή όχι. Έστω ότι έχουµε τους αριθµούς 34566, και θέλουµε να εξετάσουµε αν διαιρούνται µε το 3. Τότε το µόνο που πρέπει να κάνουµε είναι να προσθέτουµε τα ψηφία των αριθµών και σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα να εξετάσουµε αν το άθροισµα αυτό διαιρείται µε το 3. ηλαδή: = 24 Το 24 διαιρείται µε το 3. Άρα και το διαιρείται µε το 3. Όµοια = 54. Το 54 διαιρείται µε το 3 (γιατί = 9) άρα και ο αριθµός διαιρείται µε το Άσκηση (να λυθεί µε πινακάκι) Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς διαιρούνται µε τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 και 10. α. 110 β. 210 γ. 275 δ. 270 ε. 448 στ. 520 ζ. 480 η θ ι. 225 ια. 792 ιβ. 245 ιγ ιδ ιε ιστ ιζ ιη. 864 ιθ κ

23 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.17 Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων Έστω ότι έχουµε έναν σύνθετο αριθµό α. Τότε από το προηγούµενο µάθηµα γνωρίζουµε ότι αυτός έχει και άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και τη µονάδα. Όταν λέµε ότι αναλύουµε τον α σε γινόµενο παραγόντων τότε γράφουµε τον α σαν γινόµενο διαιρετών του. Το 63 είναι ένας σύνθετος αριθµός. Οι διαιρέτες του είναι οι αριθµοί: 1, 3, 7, 9, 21, 63. Μπορούµε να τον αναλύσουµε στα εξής γινόµενα: 63 = 1 63 = = 3 21 = = 7 9. Όπως παρατηρούµε οι διαιρέτες των αριθµών δεν είναι πάντα πρώτοι αριθµοί αλλά είναι και σύνθετοι. Όταν λέµε ότι αναλύουµε έναν σύνθετο αριθµό σε γινόµενο πρώτων παραγόντων τότε αναλύουµε τον αριθµό αυτό σε γινόµενο διαιρετών του αλλά πρέπει όλοι οι παράγοντες του γινοµένου να είναι πρώτοι αριθµοί και διάφοροι της µονάδας. Στο προηγούµενο παράδειγµα παρατηρούµε ότι σε καµία από αυτές τις αναλύσεις δεν είναι οι παράγοντες των γινοµένων όλοι πρώτοι αριθµοί. Στην πρώτη ανάλυση έχουµε το Το 63 δεν είναι πρώτος (γιατί 63 ={ 1, 3, 7, 9, 21, 63}). Στην δεύτερη ανάλυση έχουµε το Το 21 δεν είναι πρώτος (γιατί 21 ={ 1, 3, 7, 21}). Στην τρίτη ανάλυση έχουµε το 7 9. Το 9 δεν είναι πρώτος (γιατί 9 ={ 1, 3, 9}). Ας αναλύσουµε το 63 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Παίρνουµε τη δεύτερη ανάλυση Όπως είδαµε το 3 είναι πρώτος άρα δε µπορεί να αναλυθεί σε γινόµενο πρώτων παραγόντων και έτσι αυτό που θα αναλύσουµε είναι το 21. Το 21 έχει ως διαιρέτες του τους 1, 3, 7, 21. Άρα µπορεί να γραφεί: 21 = 1 21 = 3 7. Η πρώτη ανάλυση παρατηρούµε ότι δεν είναι ανάλυση πρώτων παραγόντων γιατί το 21 δεν είναι πρώτος αριθµός, ενώ η δεύτερη είναι ανάλυση πρώτων παραγόντων του 21 γιατί και οι δύο παράγοντες του γινοµένου και το 3 και το 7 είναι πρώτοι αριθµοί. 23

24 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Έχουµε λοιπόν µία ανάλυση του 21 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Αντικαθιστώ το 21 στη σχέση 63 = 3 21 και έχουµε: 63 = Από τον ορισµό της δύναµης ενός αριθµού έχουµε: 63 = Αυτή είναι και η ανάλυση του 63 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Ένας άλλος τρόπος είναι να τον αναλύσετε σύµφωνα µε το παρακάτω παράδειγµα: = = Τέλος ένας ακόµη τρόπος είναι να τον αναλύσετε σύµφωνα µε το παρακάτω παράδειγµα: = = Άσκηση Να αναλυθούν σε γινόµενο πρώτων παραγόντων οι αριθµοί: α. 45 β. 400 γ. 625 δ. 300 ε. 20 στ. 180 ζ η. 724 θ ι. 162 ια 310 ιβ. 420 ιγ. 196 ιδ. 492 ιε. 384 ιστ. 32 ιζ. 189 ιη 224 ιθ. 990 κ. 540 κα. 112 κβ. 432 κγ. 462 κδ κε κστ κζ κη κθ λ λα λβ λγ λδ λε λστ λζ λη λθ µ µα µβ µγ. 864 µδ µε µστ µζ µη µθ ν. 504 να νβ νγ νδ νε νστ νζ νη νθ ξ

25 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.19 Εύρεση Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.. µε τη βοήθεια της ανάλυσης αριθµών σε γινόµενο πρώτων παραγόντων ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ Ε.Κ.Π. Γράφουµε τους αριθµούς τον έναν δίπλα στον άλλο αφήνοντας αρκετή απόσταση για να µην µπερδεύονται οι αριθµοί. Φέρνουµε µία κατακόρυφη γραµµή δίπλα από τους αριθµούς. Ξεκινώντας από το 2 γράφουµε ποιοι πρώτοι αριθµοί διαιρούν (φυσικά ακριβώς) έστω και έναν από τους δεδοµένους αριθµούς. Κάτω από τον εκάστοτε αριθµό γράφουµε το πηλίκο της διαίρεσης του µε τον πρώτο αριθµό που σηµειώσαµε. Αν κάποιος από τους αριθµούς δε διαιρείται από αυτόν τον πρώτο αριθµό που γράψαµε δίπλα στη γραµµή τότε τον κατεβάζουµε χωρίς να τον αλλάξουµε. Πολύ χρήσιµες µεθοδολογίες Συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία έως ότου να καταλήξουµε σε µονάδες. Τότε για να βρούµε το Ε.Κ.Π. των αριθµών που µας δώσανε πολλαπλασιάζουµε τους αριθµούς που συµπληρώσαµε από τη δεξιά µεριά της κατακόρυφης γραµµής. Προσοχή για να διαιρέσετε µε κάποιον αριθµό πρέπει να εξαντλήσετε τον προηγού- µενο. ηλαδή δε µπορώ να διαιρέσω µε το 2 µετά µε το 3 µετά ξανά µε το 2 και ούτε κάθε εξής γιατί θα µπερδευτώ τελικά. Να βρείτε το Ε.Κ.Π.(35, 42, 75): Ετερώνυµα Κλάσµατα σε Οµώνυµα Άρα έχουµε: Ε.Κ.Π.(35, 42, 75) = = ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ Μ.Κ.. Αναλύουµε τους αριθµούς χωριστά σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. ιαλέγουµε τους αριθµούς που εµφανίζονται σε όλες τις αναλύσεις. 25

26 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Για να βρούµε τον Μ.Κ.. των αριθµών που µας δώσανε πολλαπλασιάζουµε τους αριθµούς που βρήκαµε. Απλοποίηση Κλασµάτων Να βρείτε τον Μ.Κ..(1386, 588, 924): Άρα έχουµε: Μ.Κ..(1386, 588, 924)= = = Άσκηση Να υπολογίσετε τα παρακάτω: α. Ε.Κ.Π.(32, 42, 72) β. Ε.Κ.Π.(135, 45, 25) γ. Ε.Κ.Π.(5, 4, 12) δ. Ε.Κ.Π.(3, 4, 21) ε. Ε.Κ.Π.(12, 18, 28) στ. Ε.Κ.Π.(32, 18, 72) ζ. Ε.Κ.Π.(15, 40, 12) η. Ε.Κ.Π.(17, 6, 34) θ. Ε.Κ.Π.(11, 33, 44) ι. Ε.Κ.Π.(56, 42, 24) ια Ε.Κ.Π.(16, 24, 36) ιβ. Ε.Κ.Π.(25, 35, 14) ιγ. Ε.Κ.Π.(18, 27, 36) ιδ. Ε.Κ.Π.(96, 32, 12) ιε. Ε.Κ.Π.(144, 216, 54) ιστ. Ε.Κ.Π.(343, 49, 42) ιζ. Ε.Κ.Π.(81, 63, 27) ιη Ε.Κ.Π.(39, 26, 169) ιθ. Ε.Κ.Π.(12, 15, 55) κ. Ε.Κ.Π.(16, 39, 12) κα. Ε.Κ.Π.(38, 57, 19) κβ. Ε.Κ.Π.(21, 49, 15) κγ. Ε.Κ.Π.(30, 42, 35) κδ. Ε.Κ.Π.(64, 144, 72) κε. Ε.Κ.Π.(90, 18, 50) κστ. Ε.Κ.Π.(135, 54, 18) κζ. Ε.Κ.Π.(22, 55, 121) κη. Ε.Κ.Π.(105, 42, 14) κθ. Ε.Κ.Π.(125, 75, 6) λ. Ε.Κ.Π.(23, 46, 69) λα. Μ.Κ..(336, 360, 432) λβ. Μ.Κ..(1386, 5544) λγ. Μ.Κ..(1320, 528, 264) λδ. Μ.Κ..(189, 315, 441) λε. Μ.Κ..(144, 252, 1512) λστ. Μ.Κ..(624, 960, 1200) λζ. Μ.Κ..(220, 385, 715) λη. Μ.Κ..(1728, 576, 2880) λθ. Μ.Κ..(400, 250, 300) µ. Μ.Κ..(378, 594, 864) µα.μ.κ..(3744, 22464, 390) µβ. Μ.Κ..(420, 3360, 1512) µγ. Μ.Κ..(175, 315, 525) µδ. Μ.Κ..(648, 1512, 2808) µε. Μ.Κ..(5040, 2772) µστ. Μ.Κ..(324, 594, 810) µζ. Μ.Κ..(168, 252, 462) µη. Μ.Κ..(66528, 9504) µθ. Μ.Κ..(75, 165, 195) ν. Μ.Κ..(144, 360, 936) να. Μ.Κ..(9792, 53856) νβ. Μ.Κ..(72, 162, 288) νγ. Μ.Κ..(576, 720, 1296) νδ. Μ.Κ..(7182, 210, 296) νε. Μ.Κ..(80, 128, 208) νστ. Μ.Κ..(46, 69, 115) νζ. Μ.Κ..(4536, 27216) νη. Μ.Κ..(125, 175, 325) νθ. Μ.Κ..(180, 315, 495) ξ. Μ.Κ..(3888, 6804) 26

27 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.21 Η ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ Ευκλείδης (~365 - ~300 π.χ.) MM1/html/Euklid.htm Έστω ότι έχουµε δύο αριθµούς τον και τον δ. Τότε µπορούµε να βρούµε δύο άλλους αριθµούς τον π και τον υ, οι οποίοι να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: = δ π + υ και 0 υ < δ (δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης θα πρέπει να είναι µεγαλύτερο ή ίσο του µηδενός και µικρότερο του διαιρέτη). Η διαδικασία κατά την οποία βρίσκουµε τα υ και π ονοµάζεται ευκλείδεια διαίρεση. Αν υ = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια ενώ αν υ 0 η διαίρεση λέγεται ατελής. Το ονοµάζεται διαιρετέος, το δ ονοµάζεται διαιρέτης, το π πηλίκο και το υ υπόλοιπο. Αν ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη τότε το υπόλοιπο είναι µηδέν και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: = δ π. Αν όµως ο διαιρετέος δεν είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη τότε βρίσκουµε δύο διαδοχικά πολλαπλάσια του διαιρέτη τα οποία να είναι τέτοια ώστε το ένα να είναι µικρότερο του διαιρετέου και το άλλο µεγαλύτερο. Τότε: υπολογίζουµε τη διαφορά του µικρότερου πολλαπλάσιου από τον διαιρετέο και λέµε ότι αυτή η διαφορά είναι ίση µε το υπόλοιπο της διαίρεσης. Προφανώς το άθροισµα του µικρότερου πολλαπλάσιου µε το υπόλοιπο είναι ίσο µε τον διαιρετέο. Για να καταλάβουµε καλύτερα τη διαδικασία αυτή ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Έστω ότι θέλουµε να διαιρέσουµε το 123 µε το 25 και να γράψουµε την ταυτότητα της διαίρεσης. Γράφουµε τα πολλαπλάσια του 25: 0 25, 1 25, 2 25, 3 25, 4 25, 5 25, 6 25, 7 25, 825, 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, Παρατηρούµε ότι τα ζητούµενα διαδοχικά πολλαπλάσια του 25 είναι το 100 που είναι µικρότερο του 123 και το 125 που είναι µεγαλύτερο. Άρα έχουµε ότι: υ = = 23 (υ = 100) 123 = ( = = υ) 100 = 25 4 (100 = δ 4 = δ π) Άρα η ταυτότητα της διαίρεσης είναι 123 = µε π = 4 και υ = 23 27

28 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ένας πιο εύκολος τρόπος για να βρούµε την ταυτότητα της διαίρεσης είναι να κάνουµε τη διαίρεση όπως κάναµε στο δηµοτικό και µετά να συµπληρώσουµε στη σχέση = δ π + υ τους αριθµούς που θα βρούµε = 23 4 Η επαλήθευση (ή αλλιώς δοκιµή) στην ευκλείδεια διαίρεση είναι απλή. Πρέπει το άθροισµα του υπολοίπου µε το γινόµενο του πηλίκου επί του διαιρέτη να είναι ίσο µε το διαιρετέο. ηλαδή το δ π + υ να είναι ίσο µε το διαιρετέο. Στο παραπάνω παράδειγµα η επαλήθευση είναι η εξής: = = Άσκηση Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις (κατακόρυφα στο τετράδιο): α = β = γ = ζ = η = θ = ι = ια = ιβ = ιγ = ιδ = ιε = ιστ = ιζ = ιη = ιθ = κ = κα = κβ = κγ = κδ = κε = κστ = κζ = κη = λ = λα = λβ = λγ = λδ = λε = λστ = λζ = λη = λθ = µ = µα = µβ = µγ = µδ = µε = µστ = µζ = µη = µθ = ν = να = νβ = νγ = νδ = νε = νστ = νζ = νη = νθ = ξ = ξα = 28

29 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1.23 Επανάληψη Α Κεφαλαίου Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι είναι σύνολο; πως συµβολίζεται; τι ονοµάζουµε σύνολο αριθµών; 2. Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθµοί; 3. Ποια σύµβολα χρησιµοποιούµε στις ανισότητες; από πόσα µέλη αποτελείται µία ανισότητα και ποια είναι αυτά (χρησιµοποιώντας παράδειγµα). 4. Ποιοι οι κανόνες στρογγυλοποίησης; 5. Τι ονοµάζεται άθροισµα δύο αριθµών και ποιοι είναι οι προσθετέοι; 6. Πως ονοµάζεται το αποτέλεσµα της πρόσθεσης; οι αριθµοί που προστίθενται µεταξύ τους; 7. Να γραφούν αναλυτικά οι τρεις ιδιότητες της πρόσθεσης. 8. Τι ονοµάζουµε διαφορά δύο αριθµών; ποιός είναι ο αφαιρετέος και ποιός ο µειωτέος; τι είναι αφαίρεση; 9. Πως ονοµάζεται το αποτέλεσµα της αφαίρεσης και πως οι αριθµοί που αφαιρούνται µεταξύ τους; 10. Τι ονοµάζουµε γινόµενο δύο ή και περισσοτέρων αριθµών; ποιους λέµε παράγοντες του γινοµένου; 11. Πως πολλαπλασιάζουµε έναν φυσικό αριθµό µε τις δυνάµεις του δέκα; (παράδειγµα). 12. Πως ονοµάζεται το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού και πως οι αριθµοί που πολλαπλασιάζονται µεταξύ τους; 13. Να γραφούν αναλυτικά οι τρεις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού. 14. Τι είναι µία αριθµητική παράσταση; 15. Ποια είναι τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθµού; 16. Ποιο είναι το σύνολο των πολλαπλασίων ενός φυσικού αριθµού n; 17. Με τι ισούται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή και περισσοτέρων αριθµών; 18. Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη ενός αριθµού α; ποιος είναι ο εκθέτης; ποια η βάση; 19. Ποιοι είναι οι τρεις βασικοί κανόνες στους οποίους στηρίζονται οι ιδιότητες των δυνάµεων; (τα αξιώµατα των δυνάµεων) 20. Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες των δυνάµεων; 21. Με τι ισούται το 12 2 ; το 11 2 ; 22. Να γραφεί αναλυτικά η επιµεριστική ιδιότητα. 23. Τι κάνουµε όταν λέµε ότι «βγάζουµε κοινό παράγοντα»; γράψτε το γενικό τύπο. 24. Πως ονοµάζεται το αποτέλεσµα της διαίρεσης; Οι αριθµοί που διαιρούνται µεταξύ τους; 25. Πότε ένας αριθµός διαιρεί κάποιον άλλο; 29

30 ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 26. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 1; 27. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 2; 28. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 3; 29. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 4; 30. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 5; 31. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 6; 32. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 8; 33. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 9; 34. Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 10; 35. Τι είναι οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθµούς 36. Με τι ισούται ο Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης δύο ή και περισσοτέρων αριθµών; 37. Πότε ένας αριθµός ονοµάζεται πρώτος; 38. Πότε ένας αριθµός ονοµάζεται σύνθετος; 39. Πότε δύο αριθµοί ονοµάζονται πρώτοι µεταξύ τους; 40. Τι κάνουµε όταν αναλύουµε έναν αριθµό σε γινόµενο πρώτων παραγόντων; Επαναληπτικές Ασκήσεις Ι. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Αριθµός Στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο (ή στη πλησιέστερη) εκάδα Εκατοντάδα Χιλιάδα Εκατοµµύριο ΙΙ. Για να αριθµηθούν οι 500 σελίδες ενός βιβλίου πόσα ψηφία χρειάστηκαν; ΙΙΙ. Αν α ΙΝ να δικαιολογήσετε γιατί οι παρακάτω αριθµοί διαιρούνται ακριβώς µε το 5. 15α 45α +30α 20α-35α 55α-40 25α α α Επίσης, να εκτελέσετε τις διαιρέσεις και να βρείτε το πηλίκο. ΙV. Να βρεθούν τα εξαγόµενα: α. ( ) = β. ( ) 5-3 ( ) - 3 = γ ( ) (5+1 3 ) (7-2 3) 2 = 30