ΤΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ ΣΕ ΠΑΙ ΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΚΑΙ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας ΤΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ ΣΕ ΠΑΙ ΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΚΑΙ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Χρύσω Γεωργίου, Ελένη Ζαννέττου, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το διδακτικό συµβόλαιο επηρεάζει τη συµπεριφορά των µαθητών κατά την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων και παρουσιάζεται από τα πρώτα στάδια της φοίτησης τους στο σχολείο. Στην εργασία αυτή διερευνήθηκε η ύπαρξη και η επίδραση του διδακτικού συµβολαίου σε παιδιά προσχολικής ηλικίας και σε παιδιά Α τάξης ηµοτικού, ως προς την ηλικία των παιδιών και τα είδη των προβληµάτων που δόθηκαν. ιαπιστώθηκε η ύπαρξη του διδακτικού συµβολαίου και στις δύο οµάδες µαθητών. Όµως, η επίδραση του φάνηκε να διαφοροποιείται για τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας ανάλογα µε το είδος του προβλήµατος, ενώ για τους µαθητές της Α τάξης το διδακτικό συµβόλαιο ήταν ισχυρό ανεξάρτητα από το είδος του προβλήµατος. 1. Θεωρητικό πλαίσιο- ιδακτικό Συµβόλαιο Ο Brousseau ορίζει το «ιδακτικό Συµβόλαιο» ως το σύνολο των συµπεριφορών του διδάσκοντος που αναµένονται από τον µαθητή και το σύνολο των συµπεριφορών του µαθητή που αναµένονται από τον διδάσκοντα. Αυτό το συµβόλαιο επιβάλλει το πώς πρέπει να συµπεριφέρονται οι µαθητές και οι δάσκαλοι στο µάθηµα των µαθηµατικών, πώς πρέπει να σκέφτονται και να επικοινωνούν µεταξύ τους, τι ερωτήσεις επιτρέπονται να γίνονται από το δάσκαλο καθώς και τι είδους απαντήσεις αναµένονται από τους µαθητές (Γαγάτσης, 2004, σ. 125). Το ιδακτικό Συµβόλαιο περιλαµβάνει κανόνες ρητά εκπεφρασµένους, αλλά και υπονοούµενους, οι οποίοι αποτελούν το αντικείµενο συνεχούς αµφισβήτησης και διαπραγµάτευσης και οι οποίοι καθορίζουν τη σχέση µεταξύ δασκάλου και µαθητή. Οι υπονοούµενοι κανόνες καθοδηγούν τους µαθητές στο σεβασµό και στην υπακοή σε ακατανόητες εντολές και στην αυτόµατη λύση ασκήσεων και επιβάλλει την πεποίθηση ότι, το πρόβληµα που δίνεται από το δάσκαλο, πάντα σηµαίνει κάτι και πάντα έχει λύση. Το συµβόλαιο αυτό «υπογράφεται» στα πρώτα στάδια της φοίτησης των παιδιών στο σχολείο. Η συµπεριφορά τους στα µαθηµατικά προκύπτει από νόρµες και υπόρρητους κανόνες που δηµιουργούνται µε το χρόνο και ριζώνονται σταδιακά, µε τη δύναµη της συνήθειας (D Amore, 1997). Ωστόσο, αξίζει να σηµειωθεί ότι επίδραση στη «δοµή» του συµβολαίου ασκεί η στρατηγική της κάθε διδασκαλίας, και άρα οι κανόνες του ιδακτικού Συµβολαίου διαφοροποιούνται από τάξη σε τάξη καθώς και σε διαφορετική διδακτική κατάσταση (Γαγάτσης, 2004, σ. 125). Στην έρευνα που διεξήχθη από τους D Amore, Fascinelli, Fiori, Gastaldelli & Golinelli (1997), σε παιδιά προσχολικής ηλικίας στην Ιταλία, µε σκοπό να διερευνηθεί αν ένα αριθµητικό πρόβληµα θα τραβούσε την προσοχή τους σε µαθηµατικές έννοιες, 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 73

Χ. Γεωργίου κ. ά. πίεση για να βρεθεί οπωσδήποτε ένα αποτέλεσµα ή αφηγηµατικές έννοιες, δόθηκε το πρόβληµα: «Η Γκρέτα έχει 6 µπαλόνια. Έσπασαν τα 2. Πόσα µπαλόνια έχει η Γκρέτα;». Το πρόβληµα ήταν ένα τυπικά σχολικό, περίπλοκο σε αριθµητικό επίπεδο και αρκετά πλούσιο σε δυναµικές ανακλήσεις για να προκαλέσει συγκινησιακές αντιδράσεις. Η έρευνα έδειξε ότι δεν παρουσιάζεται, κατά µαζικό τρόπο, στα παιδιά της προσχολικής ηλικίας η τάση για αριθµητική λύση. Αντίθετα, η προσοχή τους επικεντρώνεται στη συγκινησιακή κατάσταση και στην αφηγηµατική πλευρά του προβλήµατος. ιαπιστώθηκε ακόµη ότι το αρνητικό διδακτικό συµβόλαιο είναι ακόµα απών και αρχίζει µε την είσοδο στο δηµοτικό σχολείο. Υπάρχει όµως κάποιο είδος συµφωνίας που προβλέπει ότι ο/η εκπαιδευτικός ζητά πάντα µια ζωγραφισµένη απάντηση. Το ιδακτικό Συµβόλαιο επηρεάζει τη συµπεριφορά των µαθητών κατά τη διάρκεια επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων. Στα πλαίσια του ιδακτικού Συµβολαίου «επιλύω» σηµαίνει για τους µαθητές, ερµηνεύω το κείµενο από την αριθµητική του πλευρά. Το κείµενο µπορεί να λησµονηθεί και να δοθεί έµφαση στην εκτέλεση της πράξης, στο αποτέλεσµα. Ακόµη, η επιτυχία στην επίλυση προβληµάτων ταυτίζεται µε την επιλογή της κατάλληλης πράξης για εκτέλεση, χωρίς να λαµβάνεται υπ όψιν το πλαίσιο του προβλήµατος. Σύµφωνα µε τον Brousseau (1986) η υπακοή στο ιδακτικό Συµβόλαιο δεν προωθεί τη µάθηση, αλλά οδηγεί σε µη δηµιουργικές και µηχανικές απαντήσεις. Αντίθετα, η ρήξη του συµβολαίου αυτού προωθεί την κατανόηση και τη µαθηµατική σκέψη καθώς επίσης την ουσιαστική µάθηση των µαθηµατικών. 2. Η έρευνα Σκοπός της έρευνας Η ερευνητική αυτή εργασία προέκυψε από την ανάγκη να διαπιστωθεί κατά πόσο τα αποτελέσµατα έρευνας, σχετικής µε την επίδραση του διδακτικού συµβολαίου σε παιδιά προσχολικής ηλικίας στην Ιταλία, παρουσιάζονται και στην κυπριακή εκπαίδευση. Αποσκοπεί να διερευνήσει αν ένα αριθµητικό πρόβληµα το οποίο δίνεται σε παιδιά προσχολικής ηλικίας και πρώτης τάξης δηµοτικού σχολείου τραβά την προσοχή των παιδιών σε µαθηµατικές έννοιες, πίεση για να βρεθεί οπωσδήποτε ένα αποτέλεσµα ή σε αφηγηµατικές έννοιες. Υποθέσεις Τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας είναι ξένα προς συνήθειες όσον αφορά τη λύση αριθµητικών προβληµάτων και δείχνουν µια τάση αυθόρµητη και συγκινησιακή σε αυτή τη διαδικασία. Η επίδραση του διδακτικού συµβολαίου είναι διαφορετική σε παιδιά προσχολικής ηλικίας και σε παιδιά πρώτης τάξης του δηµοτικού. Η επίδραση του διδακτικού συµβολαίου διαφοροποιείται ανάλογα µε τα είδη προβληµάτων (πραγµατικά, αδύνατα µε τη λογική και απροσδόκητα) που προτείνονται στα παιδιά. Τα είδη αναπαραστάσεων που χρησιµοποιούν τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας και τα παιδιά πρώτης τάξης του δηµοτικού διαφοροποιούνται ανάλογα µε το είδος του προβλήµατος και την ηλικία των παιδιών. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 74

ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας Μέσα συλλογής δεδοµένων Το δοκίµιο αποτελούσαν τέσσερα προβλήµατα, από τα οποία τα πρώτα δύο ήταν πραγµατικά (ένα αφαίρεσης και ένα πρόσθεσης), το τρίτο πρόβληµα αδύνατο µε τη λογική και το τέταρτο πρόβληµα απροσδόκητο. 1. Πραγµατικό πρόβληµα: Η Γκρέτα κρατούσε 6 µπαλόνια. Τα δυο ξεφούσκωσαν. Πόσα µπαλόνια έχει η Γκρέτα; 2. Πραγµατικό πρόβληµα: Στη φρουτιέρα έχει 4 µήλα. Η µητέρα έβαλε ακόµα 2 µήλα. Πόσα µήλα έχει τώρα στη φρουτιέρα; 3. Πρόβληµα αδύνατο µε τη λογική: Η κυρία Μαρία έδωσε στο Γιώργο 2 καραµέλες και 3 σοκολάτες. Ο Γιώργος τα έβαλε σε ένα κουτί. Πόσων χρονών είναι ο Γιώργος; 4. Πρόβληµα απροσδόκητο: Μια κότα έκανε 3 αυγά. Κατά λάθος έσπασαν τα 2. Πόσες κότες έµειναν στην αυλή; Τα προβλήµατα ήταν αρκετά πλούσια σε δυναµικές ανακλήσεις για να προκαλέσουν συγκινησιακές αντιδράσεις. Τα δυο πρώτα προβλήµατα ήταν τυπικά σχολικά, ενώ τα άλλα δυο δεν ήταν συνηθισµένα σχολικά προβλήµατα. όθηκαν στα παιδιά, ένα κάθε φορά, σε διάστηµα δυο εβδοµάδων, ακολουθώντας την πιο πάνω σειρά. Οι εκπαιδευτικοί ζήτησαν από τα παιδιά να παραµείνουν σιωπηλά, να ακούσουν προσεκτικά το πρόβληµα, να εργαστεί ο καθένας ατοµικά στο θρανίο του χρησιµοποιώντας λευκό χαρτί, χρωµατιστά και µολύβια και να απαντήσουν το πρόβληµα στο χαρτί. Έγινε απλή και αργή ανάγνωση του κειµένου χωρίς να τονιστεί τίποτα. Επιπρόσθετα λήφθηκαν κάποιες συνεντεύξεις των παιδιών και αξιοποιήθηκαν κάποιες παρατηρήσεις των εκπαιδευτικών για σχόλια των παιδιών. είγµα Τον πληθυσµό αποτέλεσαν παιδιά προσχολικής ηλικίας και Α τάξης ηµοτικού, από σχολεία πόλεων της Κύπρου, κατά τη σχολική χρονιά 2005-2006. Συµµετείχαν συνολικά 75 παιδιά, 41 παιδιά προσχολικής ηλικίας και 34 παιδιά Α τάξης. Ανάλυση εδοµένων Γίνεται ποσοτική και ποιοτική ανάλυση των δεδοµένων ως προς τα είδη των αναπαραστάσεων, τη χρήση του αριθµητικού συµβόλου, την ποικιλία των τρόπων απαντήσεων, τη διαφορετικότητα των λύσεων στο πρόβληµα, τις εξηγήσεις των παιδιών στις απαντήσεις τους. 3. Αποτελέσµατα Αρχικά, θα πρέπει να σηµειωθεί ότι κατά τη στιγµή επίλυσης των προβληµάτων παρατηρήθηκε µια ανησυχία των παιδιών προσχολικής ηλικίας ως προς το τι έπρεπε να κάνουν. Συγκεκριµένα, ρωτούσαν τη νηπιαγωγό, «Να ζωγραφίσουµε ή να γράψουµε τον αριθµό;», η οποία τους απαντούσε να αποφασίσουν τα ίδια. Παρόµοια αντίδραση είχαν και τα παιδιά της Α τάξης, τα οποία ρωτούσαν «Να γράψω την εξίσωση, κυρία;». Ως εκ 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 75

Χ. Γεωργίου κ. ά. τούτου, διαφαίνεται η εφαρµογή κάποιων κανόνων του ιδακτικού Συµβολαίου οι οποίοι σιωπηλά έχουν καθιερωθεί και χρησιµοποιούνται από τους µαθητές. Ως προς τα είδη των αναπαραστάσεων και τη χρήση αριθµητικού συµβόλου Ανεξάρτητα από το είδος του προβλήµατος, οι µαθητές της Α τάξης χρησιµοποίησαν περισσότερο συµβολική αναπαράσταση για να απαντήσουν στα προβλήµατα σ αντίθεση µε τα παιδιά προσχολικής ηλικίας τα οποία χρησιµοποίησαν περισσότερο εικονική αναπαράσταση. Αναφορικά µε την επίλυση των δυο πρώτων προβληµάτων, των ρεαλιστικών και τυπικά σχολικών προβληµάτων, παρατηρείται ότι η πλειοψηφία των µαθητών της Α τάξης χρησιµοποίησε µόνο συµβολική αναπαράσταση (µαθηµατική εξίσωση) για να επιλύσει τα προβλήµατα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, σε αντίθεση µε τα παιδιά προσχολικής ηλικίας, που χρησιµοποίησαν περισσότερο την εικονική αναπαράσταση. Πρόβληµα 1 2 3 4 Εικονική Συµβολική Μαθηµατική εξίσωση Συµβολική Αριθµητικό σύµβολο Εικονική και συµβολική Αριθµητικό σύµβολο Εικονική και συµβολική Μαθηµατική εξίσωση Α τάξη 3% 72.8% 3% 0% 21.2% Προδηµ. 68.42% 0% 0% 31.58% 0% Α τάξη 2.9% 58.9% 2.9% 0% 35.3% Προδηµ. 58.54% 0% 4.88% 36.58% 0% Α τάξη 0% 59.4% 9.3% 18.8% 12.5% Προδηµ. 41.46% 0% 2.44% 56.1% 0% Α τάξη 3.1% 54.9% 3.1% 3.1% 31.3% Προδηµ. 73.17% 0% 2.44% 24.39% 0% Πίνακας 1 Στα µη ρεαλιστικά προβλήµατα «πρόσθεσης» και «αφαίρεσης», τα υψηλότερα ποσοστά των απαντήσεων για τους µαθητές Α τάξης συγκεντρώνει η συµβολική αναπαράσταση γεγονός που υποδεικνύει ότι οι µαθητές υπακούοντας στους όρους του ιδακτικού Συµβολαίου και θέλοντας να δώσουν λύση στο πρόβληµα, συνδύασαν τα αριθµητικά δεδοµένα του προβλήµατος. Συχνή όµως, είναι η χρήση του αριθµητικού συµβόλου που παρατηρείται στις γραπτές απαντήσεις των παιδιών της προσχολικής ηλικίας. Έντονη παρουσία του αριθµητικού συµβόλου παρουσιάζεται στο ρεαλιστικό και στο µη ρεαλιστικό πρόβληµα της πρόσθεσης και το οποίο κατευθύνει τα παιδιά στην πράξη της πρόσθεσης. Εποµένως ένα αρκετά µεγάλο ποσοστό παιδιών προσχολικής ηλικίας παρουσιάζουν πίεση να βρουν ένα αριθµητικό αποτέλεσµα. Μικρότερη σε σχέση µε τα πιο πάνω προβλήµατα είναι η παρουσία του αριθµητικού συµβόλου στο ρεαλιστικό πρόβληµα αφαίρεσης και στο µη ρεαλιστικό πρόβληµα στο οποίο τα παιδιά συνδυάζουν 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 76

ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας τις γνώσεις και τις εµπειρίες τους σχετικά µε την κότα και το αυγό, παρά µε τα αριθµητικά σύµβολα και την πράξη που υποδηλώνει το περιεχόµενο του προβλήµατος. Σύµφωνα µε τις πιο πάνω παρατηρήσεις, διαπιστώνεται ότι τα παιδιά προσχολικής ηλικίας χρησιµοποιούν περισσότερο το αριθµητικό σύµβολο στα προβλήµατα πρόσθεσης, τόσο στα ρεαλιστικά, όσο και στα µη ρεαλιστικά. Ακόµη, διαπιστώνεται ότι τόσο τα ρεαλιστικά προβλήµατα, 1 και 2, τα οποία χαρακτηρίζονται ως τυπικά σχολικά, όσο και τα µη ρεαλιστικά προβλήµατα 3 και 4 συγκεντρώνουν παρόµοια ποσοστά χρήσης της µαθηµατικής εξίσωσης για τα παιδιά της Α τάξης. Εποµένως, διαφαίνεται ότι, αν και τα µη ρεαλιστικά προβλήµατα δεν βρίσκονται στα πλαίσια της καθηµερινής ρουτίνας των µαθητών οι µαθητές τα χειρίζονται ως τέτοια, χρησιµοποιώντας τον ίδιο τρόπο επίλυσης και παραµένοντας πιστοί στους όρους του ιδακτικού Συµβολαίου. Ως προς την ποικιλία τρόπων απαντήσεων Στο πρώτο πρόβληµα, το ρεαλιστικό, της αφαίρεσης, από το σύνολο των 38 παιδιών προσχολικής ηλικίας, 25 παιδιά έδωσαν ορθή απάντηση στο πρόβληµα, 10 έδωσαν λανθασµένη, ενώ 3 δεν απάντησαν. Παρατηρήθηκε µια ποικιλία τρόπων απαντήσεων: 15 παιδιά ζωγράφισαν 4 µπαλόνια, ενώ οκτώ από τα παιδιά έγραψαν και το αριθµητικό σύµβολο, 3 παιδιά ζωγράφισαν το κοριτσάκι να κρατά 4 µπαλόνια, ενώ δυο από τα παιδιά έγραψαν και το αριθµητικό σύµβολο, 1 παιδί ζωγράφισε µια σειρά µε 6 µπαλόνια και µια δεύτερη σειρά µε 4 µπαλόνια, 1 παιδί ζωγράφισε τα 6 µπαλόνια διαγράφοντας µε Χ τα δυο και το αριθµητικό σύµβολο, 1 παιδί ζωγράφισε 6 µπαλόνια και τα 2 να ξεφουσκώνουν και το αριθµητικό σύµβολο, 2 παιδιά ζωγράφισαν το κοριτσάκι, 6 µπαλόνια και τα 2 να ξεφουσκώνουν (µικρότερα, µε ακτίνες), 2 παιδιά ζωγράφισαν τα 6 µπαλόνια διαγράφοντας µε Χ τα δυο, 2 παιδιά ζωγράφισαν το κοριτσάκι να κρατά τα 6 µπαλόνια, 3 παιδιά ζωγράφισαν έναν αριθµό µπαλονιών διαγράφοντας τα δύο, 2 παιδιά ζωγράφισαν πολλά µπαλόνια, 3 παιδιά ζωγράφισαν το κοριτσάκι να κράτα κάποια µπαλόνια Στο ίδιο πρόβληµα στα παιδιά της Α τάξης παρουσιάστηκαν οι πιο κάτω απαντήσεις: 24 παιδιά έγραψαν την αριθµητική εξίσωση εκ των οποίων τα 2 απάντησαν λανθασµένα, 7 παιδιά έγραψαν την αριθµητική εξίσωση, ζωγράφισαν τα 6 µπαλόνια και έδειξαν την πράξη χρησιµοποιώντας διαγραφή,1 παιδί έγραψε την εξίσωση και ζωγράφισε την Γκρέτα, 1 παιδί έγραψε µόνο το αριθµητικό σύµβολο, 1 παιδί έκανε την Γκρέτα να κρατά 4 µπαλόνια Α τάξη Προσχολική ηλικία 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 77

Χ. Γεωργίου κ. ά. Μια προσεκτικότερη µελέτη των τρόπων που αναπαριστούν τα παιδιά την αφαίρεση στις απαντήσεις τους, υποδεικνύει ότι τα παιδιά προσχολικής ηλικίας χρησιµοποιούν µια ποικιλία τρόπων, ζωγραφίζοντας τα µπαλόνια που έσπασαν είτε µικρότερα, είτε σε άλλο χρώµα, είτε µε ακτίνες γύρω από αυτά, είτε διαγράφοντας τα µε Χ, σε αντίθεση µε τα παιδιά της Α τάξης που η αφαίρεση αποτελεί τη συνήθη µέθοδο διδασκαλίας της αφαίρεσης, γεγονός που υποδεικνύει την υπακοή στους όρους του ιδακτικού Συµβολαίου. Όπως και στο πρώτο πρόβληµα παρουσιάζεται και στο δεύτερο µια ποικιλία τρόπων απαντήσεων των παιδιών προσχολικής ηλικίας: 15 παιδιά ζωγράφισαν τα 6 µήλα, ενώ 4 από τα παιδιά αυτά έγραψαν και το αριθµητικό σύµβολο, 5 παιδιά ζωγράφισαν 6 κύκλους γράφοντας και το αριθµητικό σύµβολο, 2 παιδιά ζωγράφισαν τη φρουτιέρα µε 6 µήλα, ενώ το ένα παιδί έγραψε και το αριθµητικό σύµβολο, 2 παιδιά ζωγράφισαν τη µητέρα, τη φρουτιέρα µε τέσσερα µήλα και µια δεύτερη φρουτιέρα µε έξι µήλα, ενώ το ένα παιδί έγραψε και το αριθµητικό σύµβολο, 6 παιδιά ζωγράφισαν 4 µήλα σε µια σειρά και 2 σε άλλη σειρά, ενώ δυο από τα παιδιά αυτά έγραψαν το αριθµητικό σύµβολο, 3 παιδιά ζωγράφισαν 4 µήλα στη φρουτιέρα και τη µητέρα να κρατά δυο µήλα, ενώ τα δυο παιδιά έγραψαν και το αριθµητικό σύµβολο. ύο από τα 6 παιδιά που έδωσαν λανθασµένες απαντήσεις ζωγράφισαν 4 µήλα, δίνοντας κάποιες πληροφορίες του προβλήµατος, ενώ τα υπόλοιπα 4 παιδιά ζωγράφισαν είτε τη µητέρα ανάµεσα σε πολλές φρουτιέρες µε µήλα, είτε πολλά µήλα, δείχνοντας έτσι µια συγκινησιακή αντίδραση στο πρόβληµα. Οι ακόλουθοι τρόποι παρουσιάστηκαν στις απαντήσεις των παιδιών της Α τάξης: 20 απάντησαν χρησιµοποιώντας αριθµητική πράξη εκ των οποίων 3 παιδιά απάντησαν λανθασµένα κάνοντας εξίσωση πολλαπλασιασµού, 9 παιδιά ζωγράφισαν τα µήλα ή και την φρουτιέρα και έκαναν την αριθµητική πράξη, 2 παιδιά ζωγράφισαν τα µήλα και έγραψαν το αριθµητικό σύµβολο, 1 παιδί έγραψε µόνο στο αριθµητικό σύµβολο, 1 παιδί ζωγράφισε µόνο τα µήλα Α τάξη Παιδιά προσχολικής ηλικίας Ως προς τη διαφορετικότητα των λύσεων και τις εξηγήσεις των παιδιών Στο τρίτο πρόβληµα, 31.7% των παιδιών προσχολικής ηλικίας ζωγράφισε είτε τα πρόσωπα του προβλήµατος, είτε µια ποσότητα γλυκών, χωρίς να δίνει µιαν απάντηση στο πρόβληµα. Ένα ποσοστό 39.2% των παιδιών ζωγράφισε το αγόρι, το κουτί µε τα γλυκά, το αριθµητικό σύµβολο που προκύπτει από το άθροισµα των καραµέλων και των σοκολάτων. Όταν ζητήθηκε από αυτά να εξηγήσουν την απάντηση που έδωσαν στη ζωγραφιά τους, απάντησαν για την ηλικία του αγοριού, επιδεικνύοντας 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 78

ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας το αριθµητικό σύµβολο, που προέκυψε από το άθροισµα των καραµέλων και των σοκολάτων. Αξίζει να σηµειωθεί η θέση του αριθµητικού συµβόλου στο σχέδιο των παιδιών σε σχέση µε το αγόρι και τα γλυκά. Το αριθµητικό σύµβολο, αν και ανάποδο σε αρκετά σχέδια, βρισκόταν πιο κοντά στο αγόρι παρά στο κουτί µε τα γλυκά. Το 12.19% των παιδιών ζωγράφισε το αγόρι, µόνο ή µε τη µητέρα του και ένα αριθµητικό σύµβολο διαφορετικό από το άθροισµα των καραµέλων και των σοκολατών, δίνοντας τις εξηγήσεις κάποια παιδιά «είναι 8 χρονών, όπως τον αδελφό µου», «είναι 6, όπως εγώ», αποδίδοντας το ρόλο του αγοριού του προβλήµατος σε οικεία τους πρόσωπα. Το 17.07% των παιδιών ζωγράφισε τις καραµέλες και τις σοκολάτες, δίνοντας απάντηση για την ποσότητα των γλυκών, χωρίς να ενδιαφέρεται για την ηλικία του αγοριού. Με βάση τα πιο πάνω διαπιστώνεται ότι το ποσοστό των παιδιών που απάντησαν επηρεαζόµενα από τα αριθµητικά δεδοµένα και τις πράξεις που υποδηλώνονταν στο πρόβληµα είναι µεγαλύτερο σε σχέση µε το ποσοστό των παιδιών που δεν υπάκουσαν στους κανόνες του ιδακτικού Συµβολαίου. Από τον πίνακα 2 συµπεραίνεται επίσης, ότι την προσοχή των παιδιών Α τάξης ελκύουν περισσότερο τα αριθµητικά δεδοµένα αφού το µεγαλύτερο ποσοστό δίνει απάντηση η οποία προκύπτει από το άθροισµα των καραµελών και των σοκολατών. Το πιο πάνω αποτέλεσµα διαπιστώνεται επίσης από το γεγονός ότι κανένα από τα παιδιά της Α τάξης δεν επικεντρώθηκε µόνο στη συγκινησιακή πλευρά του προβλήµατος και όλα ήθελαν να δώσουν απάντηση στο πρόβληµα. Επιπλέον, οι εικονικές αναπαραστάσεις που δηµιούργησαν τα παιδιά δεν τους βοήθησαν να αντιληφθούν τη µη ρεαλιστικότητα του προβλήµατος αφού ανήκουν στην κατηγορία της διακοσµητικής εικόνας (σοκολατάκια και καραµέλες), γεγονός που υποδεικνύει ότι τα παιδιά δεν είχαν κατανοήσει τα δεδοµένα του προβλήµατος αλλά τους παρέσυρε το ελκυστικό πλαίσιο του. Πρόβληµα 3, αδύνατο µε τη λογική Η κυρία Μαρία έδωσε στο Γιώργο 2 καραµέλες και 3 σοκολάτες. Ο Γιώργος τα έβαλε σε ένα κουτί. Πόσο χρονών είναι ο Γιώργος; Απαντήσεις παιδιών Προδηµοτική Α τάξη Απάντηση για την ηλικία του αγοριού, διαφορετική 12.19% 9.4% από το άθροισµα των καραµέλων και των σοκολάτων Απάντηση για την ηλικία του αγοριού, που προκύπτει 39.2% 87.5% από το άθροισµα των καραµέλων και των σοκολάτων Απάντηση για την ποσότητα των γλυκών 17.07% 3.1% Συγκινησιακές αντιδράσεις 31.7% - Πίνακας 2 Αξίζει να σηµειωθεί ότι στην Α τάξη τα παιδιά τα οποία έδωσαν απάντηση διαφορετική από το άθροισµα των σοκολατών και των καραµελών, οφειλόταν σε υπολογιστικό λάθος στην αριθµητική πράξη ή σε λανθασµένη επιλογή της αριθµητικής πράξης κι όχι στην συνειδητοποίηση της αδύνατης λύσης. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 79

Χ. Γεωργίου κ. ά. Α τάξη Προσχολική ηλικία Κάποια παιδιά της Α τάξης έδειξαν να προβληµατίζονται έντονα κατά τη διάρκεια επίλυσης των µη ρεαλιστικών προβληµάτων. Από αυτά τα παιδιά λήφθηκαν συνεντεύξεις, οι οποίες παρατίθενται πιο κάτω. - εν είµαι σίγουρη για το αποτέλεσµα (εννοεί 2+3=5) -Γιατί δεν ήσουνα σίγουρη για το αποτέλεσµα; - εν είµαι σίγουρη αν είναι σωστό. - εν είσαι σίγουρη αν 2 και 3 µας κάνει 5; -Όχι, γι αυτό είµαι σίγουρη. -Τότε; -Μπορεί το παιδάκι να είναι και 6 χρονών! Με βάση τα πιο πάνω διαπιστώνεται ότι η συγκεκριµένη µαθήτρια αν και κατανόησε τη µη ρεαλιστικότητα του προβλήµατος, εντούτοις δεν µπορούσε να ξεφύγει από τα πλαίσια των κανόνων του ιδακτικού Συµβολαίου και συνδύασε τα αριθµητικά δεδοµένα για να δώσει µια απάντηση. Στο τέταρτο πρόβληµα, 24.39% των παιδιών προσχολικής ηλικίας δεν επιδίωξαν να δώσουν κάποια αριθµητική λύση, αλλά ζωγράφισαν είτε την κότα µε πολλά αυγά, είτε την κότα ανάµεσα σε άλλες κότες και πολλά αυγά, είτε την ποσότητα των αυγών που γέννησε η κότα, είτε την ποσότητα των αυγών που έσπασαν, δίνοντας έτσι κάποιες πληροφορίες του προβλήµατος. Ένα ποσοστό 31.7% των παιδιών έδωσαν την απάντηση «1», ζωγραφίζοντας την κότα και τα 3 αυγά, είτε την κότα, τα 3 αυγά µε τα δυο µαυρισµένα ή ραγισµένα ή µακριά της. Όταν τους ζητήθηκε να αιτιολογήσουν την απάντησή τους είπαν ότι είναι η κότα που γέννησε τα αυγά. Πρόβληµα 4, απροσδόκητο Μια κότα έκανε 3 αυγά. Κατά λάθος έσπασαν τα 2. Πόσες κότες έµειναν; Απαντήσεις παιδιών Προδηµοτική Α τάξη Απάντηση «1» 31.7% 93.8% Απάντηση «2» 24.39% 6.2% Απάντηση «3» 7.32% - Συγκινησιακές αντιδράσεις 24.39% - Πίνακας 3 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 80

ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας Το 24.39% των παιδιών έδωσαν την απάντηση «2», ζωγραφίζοντας είτε δυο κότες, είτε µια κότα και ένα αυγό µέσα στο οποίο είχε ένα κοτοπουλάκι, είτε µια κότα και ένα αυγό στην µια πλευρά του χαρτιού και δυο κότες στην άλλη πλευρά, είτε την κότα µε τρία αυγά από τα οποία τα δυο ήταν ραγισµένα και το αριθµητικό σύµβολο 2. Όταν προκλήθηκαν να απαντήσουν στο ερώτηµα «Γιατί οι κότες είναι 2;» αναφέρθηκαν στο αυγό που δεν έσπασε και από το οποίο βγαίνει κοτοπουλάκι και στην κότα που γέννησε τα αυγά. Το 7.32% έδωσαν την απάντηση «3», ζωγραφίζοντας είτε 3 κότες, είτε µια κότα και δυο κότες που βγήκαν από τα δυο ραγισµένα αυγά, είτε µια κότα και µέσα σε δυο αυγά ένα κοτοπουλάκι στο καθένα, αιτιολογώντας την απάντησή τους ότι τις 3 κότες αποτελούν τα δυο κοτοπουλάκια που βγήκαν από τα δυο σπασµένα αυγά και η κότα που γέννησε τα αυγά. ιαπιστώνεται έτσι, ότι η πλειοψηφία των παιδιών δεν επηρεάστηκε στο συγκεκριµένο πρόβληµα από τους κανόνες του ιδακτικού Συµβολαίου, αλλά εστίασε την προσοχή της στην αφηγηµατική πλευρά του προβλήµατος. Προσχολική ηλικία Στην πρώτη τάξη η διαφορετικότητα των απαντήσεων δεν είναι τόσο πλούσια, όσο αυτή παρουσιάζεται από τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Συγκεκριµένα, η πλειοψηφία των µαθητών απαντά στο πρόβληµα µέσω της µαθηµατικής εξίσωσης, συνδυάζοντας αµέσως τα αριθµητικά δεδοµένα. Επιπλέον, κάποιοι µαθητές επέλεξαν µαζί µε την µαθηµατική εξίσωση να σχεδιάσουν και µια εικόνα η οποία παρουσίαζε τα 3 αυγά και µε τη µέθοδο της διαγραφής έδωσαν την απάντηση στο πρόβληµα. Η διαγραφή αποτελεί τη συνήθη µέθοδο διδασκαλίας της αφαίρεσης στην Α τάξη, γεγονός που υποδεικνύει την υπακοή στους όρους του διδακτικού συµβολαίου. Αξίζει να σηµειωθεί ότι µόνο 3 µαθητές Α τάξης έδωσαν διαφορετικές απαντήσεις στο απροσδόκητο πρόβληµα, το οποίο επιδέχεται πολλές ενδεχόµενες λύσεις. Συγκεκριµένα, ένας µαθητής έδωσε την απάντηση «1 κότα», δικαιολογώντας την απάντησή του ανέφερε ότι «είναι η κότα που θα βγει από το αυγό που δεν έσπασε». ύο άλλα παιδιά έδωσαν απάντηση «2 κότες», περιλαµβάνοντας στον συλλογισµό τους την κότα που έκανε τα αυγά. Α τάξη 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 81

Χ. Γεωργίου κ. ά. 4. Συµπεράσµατα Τα παιδιά προσχολικής ηλικίας δεν είναι ξένα προς συνήθειες όσον αφορά τη λύση αριθµητικών προβληµάτων. Η επίλυση τυπικών σχολικών προβληµάτων αποτελούν µέρος του εκπαιδευτικού προγράµµατος. Υπάρχει ένα είδος διδακτικού συµβολαίου, πέρα από τη ζωγραφιά που καλούνται τα παιδιά να κάνουν. Η έντονη παρουσία του αριθµητικού συµβόλου καθώς και η ανησυχία τους «να ζωγραφίσουµε ή να γράψουµε τον αριθµό», που εκφράζουν την ώρα που καλούνται να απαντήσουν το πρόβληµα στο χαρτί, δηλώνουν την ύπαρξη διδακτικού συµβολαίου. Το διδακτικό συµβόλαιο στα παιδιά προσχολικής ηλικίας δεν είναι τόσο ισχυρό, όσο είναι στα µεγαλύτερα παιδιά. Τείνει όµως να γίνει ισχυρό. Τα παιδιά ψάχνουν να βρουν ένα αποτέλεσµα σε όλα τα προβλήµατα που ακούνε. Η επίδραση του διδακτικού συµβολαίου διαφοροποιείται για τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας ανάλογα µε το είδος του προβλήµατος που προτείνεται, σ αντίθεση µε τα παιδιά της Α τάξης για τα οποία δεν συµπεραίνεται παρόµοια διαφοροποίηση. Στο πρόβληµα 4 το διδακτικό συµβόλαιο δεν είναι τόσο ισχυρό, όσο στο πρόβληµα 3. Η παρουσία του αριθµητικού συµβόλου για τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας και η παρουσία τόσο της µαθηµατικής εξίσωσης όσο και του αριθµητικού συµβόλου για τα παιδιά της Α τάξης, ήταν ιδιαίτερα έντονη, γεγονός που οδήγησε στο συµπέρασµα ότι η υπακοή στους κανόνες του διδακτικού συµβολαίου είναι υπαρκτή ακόµη και για παιδιά µικρής ηλικίας. ιαπιστώθηκε επίσης, διαφοροποίηση των αναπαραστάσεων που χρησιµοποίησαν τα παιδιά ανάλογα µε το είδος του προβλήµατος. Τα µη ρεαλιστικά προβλήµατα και συγκεκριµένα το τέταρτο πρόβληµα έκανε τα παιδιά να χρησιµοποιήσουν µια πληθώρα εικονικών αναπαραστάσεων επικεντρωµένοι στην αφηγηµατική πλευρά της κατάστασης και να οδηγηθούν εποµένως σε διαφορετικές λύσεις, κάτι που υποδεικνύει ότι δεν υπάκουσαν τους όρους του διδακτικού συµβολαίου. Εποµένως, η διαφορετικότητα των προβληµάτων που προτείνονται στη διδασκαλία θα έπρεπε να αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβληµάτων, αφού προωθεί τη σκέψη των µαθητών και τα ωθεί να «σπάσουν» τους κανόνες του διδακτικού συµβολαίου. Η ανάγκη για εισαγωγή στη διδασκαλία µιας ποικιλίας διαφορετικών προβληµάτων πριν γίνει εδραίωση του διδακτικού συµβολαίου αποτελεί το πιο σηµαντικό πόρισµα της έρευνας αυτής. Εισηγήσεις για περαιτέρω έρευνα Τελειώνοντας την εργασία αυτή, θέτουµε κάποια ερωτήµατα που δύναται να προβληµατίσουν και ίσως αποτελέσουν αφορµή για µελλοντικές έρευνες. Ποια είδη αριθµητικών προβληµάτων καλούνται να επιλύσουν τα παιδιά προσχολικής ηλικίας και πώς αυτά προωθούν την ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης; Η χρήση του αριθµητικού συµβόλου συµβάλει στην εδραίωση του διδακτικού συµβολαίου; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 82

ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας Η εισαγωγή του αριθµητικού συµβόλου σε παιδιά προσχολικής ηλικίάς βοηθά στην ανάπτυξη της ικανότητας για επίλυση προβληµάτων ή µήπως προωθεί την διαδικαστική αντιµετώπισή τους; Με ποιους τρόπους µπορεί να αποφευχθεί η ισχυροποίηση του διδακτικού συµβολαίου στο δηµοτικό σχολείο; ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ξένη Βιβλιογραφία Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques, Vol. 7-2, p.p. 33-115. Carney, R. N., & Levin, J. R. (2002). Pictorial illustrations still improve students learning from text. Educational Psychology Review, 14 (1), 101-120 D Amore, B. (1997). Mental images, everyday language and expected behaviours in problem-solving. In Br. D Amore & A. Gagatsis (Eds.) Didactics of Mathematics-Techology in Education (pp. 11-23). Thessaloniki: Art of Text. D Amore, B., Franchini, G., Gabellini, G., Mancini, M., Masi, F., Matteucci, A., Pascucci, N. & Sandri, P. ( 1997). The formulation of standard school problems. Dufour- Janvier, B., Bednarz, N., & Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning the problem of representations. In C. Janvier (Ed), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. (pp. 159-195). Hillsdale, N. J: Erlbaum Hiebert, J., & Carpenter, T. (1988). Learning and teaching with understanding. In D. A. Grows, & T. J. Cooney (Eds.), Effective Mathematics Teaching (p. 65-97). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Lesh, R., Behr, M., Post, T. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (ed.), Problems of representations and learning of mathematics, (pp.33-40). Hillsdale, NJ.: Lawrence Erlbaum Associates Ελληνική βιβλιογραφία B.D. Amore et al. Αυθόρµητες συµπεριφορές στις καταστάσεις επίλυσης αριθµητικών προβληµάτων στην προσχολική ηλικία. Τα µπαλόνια της Γκρέτα D Amore, B. & Martini, B. (1997). ιδακτικό συµβόλαιο, νοητικά µοντέλα και διαισθητικά µοντέλα στην επίλυση τυπικών σχολικών προβληµάτων. La matematica e la sua didattica. n.2 (pp.151-175). D Amore, B. & Sandri, P. (1997). Η καθηµερινή γλώσσα και «εξωτερικά» µοντέλα σε µια α- διδακτική κατάσταση. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 83

Χ. Γεωργίου κ. ά. Γαγάτσης, Α. & Θεοδούλου, Ρ. ( 2002). Μια εικόνα αξίζει χίλιες λέξεις... Ποιο είδος εικόνας όµως βοηθά στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος; Πρακτικά Β Συνεδρίου για τα Μαθηµατικά στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Αθήνα: Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών- Πανεπιστήµιο Κύπρου Γαγάτσης, Α. (1992). Θέµατα ιδακτικής των Μαθηµατικών. Θεσσαλονίκη. (Erasmus ICP) Γαγάτσης, Α. & Μάρκου, Α. (2004). Η επίδραση των εικόνων στην Επίλυση Ρεαλιστικών Προβληµάτων. Στον Α. Γαγάτση (Εκδ), Σύγχρονες τάσεις της ιδακτικής των Μαθηµατικών, σ. 125-134. Λευκωσία: Υπουργείο παιδείας και Πολιτισµού Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου Ε., Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες Αναπαράστασης και Μάθηση των Μαθηµατικών. Λευκωσία. Κύπρος: Πανεπιστήµιο Κύπρου. (Erasmus IPI). Κολέζα, Ε.(2000). Γνωσιολογική και ιδακτική προσέγγιση των Στοιχειωδών Μαθηµατικών Εννοιών. ιδακτικές Καταστάσεις- ιδακτικό Συµβόλαιο (σ.49-52).αθήνα, Εκδόσεις Leader Books 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 84