0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка чија је висина 6 cm а полупречник основе 4 cm.. Купа и ваљак имају једнаке основе и једнаке висине (сл. 0). H Слика 0 Направи модел ових тела са једном отвореном основом. Ако купу напуниш песком (водом), па је преспеш у ваљак, видећеш да три пуне купе напуне ваљак. Из овог експеримента се изводи закључак: Ако купа и ваљак имају једнаке основе и једнаке висине, онда је запремина купе три пута мања од запремине ваљка. Запремина купе се изражава формулом V = B$ H, где је B = π, а висина купе H. Уопште: Запремина купе једнака је трећини производа површине основе и дужине висине. Пример Израчунај запремину купе чија је висина 6 cm и полупречник основе,5 cm. H = 6 cm; =,5 cm; V H = $ = $ $,5 $ 6 = $ 6,5 =,5; V =,5π cm. Пример Изводница купе је 5 cm а пречник основе 8 cm, израчунај запремину s = 5 cm; = 8 cm; V = $ H ; H = s = 5 9 = 44; H = cm. 80
математикa за VIII разред основне школе Пример Обим основе купе је 6π cm, а висина је једнака пречнику основе, израчунај запремину π = 6π; = cm; H = 6 cm. Пример 4 Дата је мрежа купе (сл. ). Израчунај запремину те 60 s=cm K Слике = $ s $ 60 ; = cm итд. 80 Пример 5 Површина основе купе је 6π cm, а висина је једнака пречнику, израчунај запремину π = 6π; = 6 cm; H = cm итд.. ) Израчунај запремину дрвене чигре облика купе, ако је пречник основе 4 cm и висина 5 cm. ) Израчунај масу чигре (густина 0,5). ) = cm; H = 5 cm; V 0 = cm ; ) 0,47 g. 4. Колико литара воде може да стане у суд облика купе, висине 0 cm и пречника основе 0 cm? 5. Осни пресек купе је једнакостранични троугао странице 8 cm. Израчунај запремину те 6. Стог сена има облик Израчунај запремину стога ако је његова висина 4,5 m и пречник 5,4 m. 8
7. Правоугли троугао, чије су катете a = 6 cm, b = 8 cm ротира (60 ) око осе ротације: а) катете a; б) катете b. ) Колике су запремине тих тела? ) Колико пута је запремина једног тела мања од запремине другог? 8. Пречник основе купе је cm, а угао при врху осног пресека 90. Израчунај запремину те 9. Израчунај запремину купе полупречника основе 4 cm, а нагибни угао изводнице према равни основе је: ) 45 ; ) 60 ; ) 0. 40. Површина основе купе је 9π cm, а површина купе 4π cm. Колика је запремина те купе? 4. Пречник основе купе је 6 cm, а површина омотача 0π cm. Израчунај запремину те 4. Од челичне коцке ивице 0 cm треба изрезати купу (конус) највеће запремине. ) Колика је запремина те купе? ) Израчунај масу купе (густина 7,8). 4. Да ли течност из пуне чаше облика купе ( = 8 cm, s = 5 cm) може испунити суд облика коцке чија је дијагонала D = cm? 44. Омотач купе има површину 6π cm, а изводница је три пута већа од полупречника основе. Израчунај запремину 45. Висина купе једнака је полупречнику основе. ) Колики је угао при врху осног пресека те купе? ) Ако је изводница купе 8 cm, израчунај њену запремину. 46. Површина основе купе је 8π cm, а површина осног пресека 08 cm. Наћи запремину 47. Збир свих ивица коцке је 48 cm. Израчунај запремину и површину купе чија је основа уписана у једној страни коцке, а врх купе је у пресеку дијагонала коцке. 48. Једнакостранични троугао странице a и квадрат странице a, сваки од њих, ротира за 60 око осе симетрије симетралне странице. Израчунати: ) Запремине обртних тела. ) Површине обртних тела. ) Колико пута је запремина једног тела већа од запремине другог тела? 49. Две подударне купе имају заједничку основу. Нацртај слику и напиши формулу за израчунавање запремине и површине тог сложеног тела (пример: = 4 cm; s = 5 cm). 50. Правоугли троугао чија је хипотенуза 0 cm и једна катета 6 cm, ротира око хипотенузе (за 60 ); израчунати запремину и површину обртног тела. 5. Страница ромба 0 cm а дијагонала 6 cm. Израчунати запремину и површину обртног тела које настаје ротацијом (за 60 ) датог ромба око: ) мање дијагонале; ) веће дијагонале. 8
математикa за VIII разред основне школе 5. Две купе, чији су омотачи 80π, односно 40π, имају заједничку основу пречника 4 cm. Врхови су са исте стране основе Израчунај запремину простора ограниченог омотачима датих купа. 5. Изводница купе је cm. Разлика висине и полупречника основе је 7 cm. Израчунај запремину 54. Израчунај запремину купе ако је: ) = cm, M = 5π cm ; ) H = 6,6 cm, B = 44π cm. 55. Површина купе је 5π. Њен омотач развијен у равни представља кружни исечак са углом 60. Израчунај запремину 56. Суд облика ваљка има пречник основе dm и висину 0 cm. Други суд облика купе пречника dm и изводнице 5 cm напуњен је водом. Који део ваљкастог суда испуњава вода из првог суда? 57. Површина купе је 6π cm, а омотач јој је пута већи од површине основе. Наћи запремину 58. Однос површине основе купе и површине осног пресека је број π. Колики угао образују изводница и основа купе? 8
Контролни задатак А. На слици је приказан омотач праве Израчунај дужину полупречника основе те. Висина праве купе (сл. ) је 5 cm, а изводница cm. Израчунај дужину обима основе те Слика 90 8cm A Слика Слика 4 6 C 0 B Резултати А π = l; = cm = cm; 4π cm H = 8 cm; 80π cm Катета s s = 8. Правоугли троугао ABC (сл. 4) ротира око праве AB (за 60 ). Израчунај површину омотача добијеног обртног тела. 4. Полупречник основе праве купе је 4 cm, а осни пресек је правоугли троугао. Израчунај површину тог осног пресека. Б. Полукруг полупречника 6 cm је савијен у омотач праве Израчунај дужину полупречника основе. Обим основе праве купе је 8π cm, а изводница 5 cm. Израчунај висину те. Колико литара воде може да стане у суд који има облик купе чија је висина 0 cm и пречник основе 0 cm? 4. Угао између висине и изводнице праве купе је 45. Ако је висина купе 6,5 cm, колика је површина њеног омотача? Б = cm cm π литара H = ; s = 6,5 cm В. Конструиши мрежу праве купе ако је полупречник њене основе cm, а централни угао развијеног омотача 0.. Основа купе је круг уписан у једној страни коцке, а врх купе је средиште супротне стране коцке. Ако је дужина ивице коцке 4 cm, израчунај изводницу. Полукруг је савијен у омотач Наћи угао између изводнице и висине 4. Површина купе је,5 пута већа од површине њеног омотача. Одреди однос изводнице и полупречника основе s = 6 cm В 5 cm = s; угао 0 P =,5 M; = M; = s; s = 84