Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση Θεωρήστε τις πιο κάτω διεργασίες: A....A B....B.... P ( A B \{ P ( A A \{,,, },,, } (α Να κτίσετε τα συστήματα μεταβάσεων που αντιστοιχούν στις διεργασίες P, Ρ. Ακολουθούν τα συστήματα μεταβάσεων όπου γράφουμε L για το σύνολο,,, }. { Σύστημα μεταβάσεων για Ρ τ( (A A \L τ( τ( τ(.... \.... \ τ( τ(.... \.... \ τ( τ(.. \ τ( τ(.. \ τ( τ(...... \...... \ Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα
Σύστημα μεταβάσεων για Ρ τ( (A B \L τ( τ( τ(.... \.... \ τ( τ(.... \.... \ τ( τ(.. \ τ( τ(.. \........ \ (β Να παρουσιάσετε τις παραγωγές των μεταβάσεων P (...A...B.. \{,,, } Πιο κάτω δείχνονται ξεχωριστά οι παραγωγές των μεταβάσεων. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 2
(γ Να αποφασίσετε κατά πόσο ισχύει η σχέση P P. : Οι δύο διεργασίες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους ως προς τη σχέση της ασθενούς δυπροσομοίωσης. Παρατηρώντας τα συστήματα μεταβάσεων σύμφωνα με το σκέλος (α, η σχέση που συνδέει τα δύο συστήματα είναι η σχέση R που περιέχει όλα τα ζεύγη (Α,Β όπου η διεργασία Α προέρχεται από το Ρ και η διεργασία Β προέρχεται από το Ρ. Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι αν A A' τότε = τ και επιπρόσθετα B â B' όπου (Α,Β R. To ίδιο ισχύει και στην αντίθετη κατεύθυνση. Άσκηση 2 N φιλόσοφοι βρίσκονται σε μία αίθουσα και περνούν τον περισσότερό τους χρόνο σε διαλογισμό φιλοσοφικών θεωριών. Στη διπλανή αίθουσα βρίσκεται ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Έτσι, όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει κάθεται στην καρέκλα του, παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο του, και τρώει. Όταν τελειώσει αφήνει τα δύο πιρούνια και επιστρέφει στην αίθουσα διαλογισμού. Προφανώς είναι αδύνατο να τρώνε ταυτόχρονα όλοι οι φιλόσοφοι όπως επίσης είναι αδύνατο να τρώνε ταυτόχρονα δύο φιλόσοφοι που κάθονται σε γειτονικές θέσεις. Η άσκηση αυτή μελετά στρατηγικές για διευκόλυνση των γευμάτων των φιλοσόφων. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 3
(α Μία τεχνική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τους φιλόσοφους είναι: επανειλημμένα κάθε ένας από αυτούς σηκώνει αρχικά το πιρούνι που βρίσκεται στα αριστερά του και στη συνέχεια αυτό που βρίσκεται στα δεξιά του. Πιο συγκεκριμένα, κάθε φιλόσοφος μπορεί να παρουσιάζει την πιο κάτω συμπεριφορά: Διαλογίσου Σήκωσε πιρούνι στα αριστερά Σήκωσε το πιρούνι στα δεξιά Φάγε Άφησε το πιρούνι στα δεξιά Άφησε το πιρούνι στα αριστερά Με τη σειρά του, ένα πιρούνι μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια σημαφόρη: Fork get.put.fork (i Μοντελοποιήστε το σύστημα με 3 φιλόσοφους. Ένας φιλόσοφος μοντελοποιείται ως την πιο κάτω διεργασία. Χρησιμοποιούμε την εσωτερική ενέργεια τ για να δείξουμε ότι ο φιλόσοφος σκέφτεται και την ενέργεια et για να δείξουμε ότι ο φιλόσοφος γευματίζει. Phil. Phil ( upleft. upright. Et upright. up. Et Et et.( downleft. downright. Phil downright. downleft. Phil Συνδυάζουμε τις περιγραφές αυτές για να μοντελοποιήσουμε το σύστημα που αποτελείται από τρεις φιλόσοφους και τρία πιρούνια ορίζοντας μια παράλληλη σύνθεση από έξι διεργασίες εφαρμόζοντας μετονομασία καναλιών για να συνδέσουμε τις διεργασίες αυτές και περιορισμό καναλιών για να περιορίσουμε τη χρήση των καναλιών που αναφέρονται στα πιρούνια εντός του συστήματος. ystem ( Phil[ up upleft,up3 upright,down downleft,down3 downright] Phil[ up2 upleft,up upright,down2 downleft,down downright] Phil[ up3 upleft,up3 upright,down3 downleft,down3 downright] Fork[ up get,down Fork[ up2 get,down2 Fork[ up2 get,down3 put] put] put] \ L L { up,up2,up3,down,down2,down3} (ii Επιδείξτε ότι το σύστημα μπορεί να εμφανίσει αδιέξοδο. Το σύστημα αυτό μπορεί να εμφανίσει αδιέξοδο αν και τρεις φιλόσοφοι σηκώσουν το πιρούνι που βρίσκεται στα αριστερά τους. Αυστηρά, έχουμε ότι Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 4
ystem ( up2.et[ up upleft,up3 upright,down downleft,down3... Phil[ up2 upleft,up upright,down2 downleft,down Phil[ up3 upleft,up2 upright,down3 downleft,down2 down.fork[ up get,down Fork[ up2 get,down2 Fork[ up2 get,down3 \ ( up2.et[ up upleft,up3 upright,down downleft,down3 up3.et[ up2 upleft,up upright,down2 downleft,down up.et[ up3 upleft,up2 upright,down3 downleft,down2 down.fork[ up get,down down2.fork[ up2 get,down2 down3.fork[ up2 get,down3 L \ L Η κατάσταση δεν μπορεί να εκτελέσει καμιά ενέργεια και επομένως εμφανίζει αδιέξοδο. (β Μια τακτική για αποφυγή του αδιεξόδου που εμφανίζεται στο μέρος (α είναι η μετατροπή του αλγόριθμου έτσι ώστε κάθε φιλόσοφος να σηκώνει πρώτα το γειτονικό του πιρούνι που έχει περιττό αριθμό (θεωρούμε ότι ο φιλόσοφος i έχει στα δεξιά το πιρούνι με τον αριθμό i και αριστερά του το πιρούνι με τον αριθμό i + εκτός από τον τελευταίο φιλόσοφο ο οποίος έχει στα αριστερά του το πιρούνι με τον αριθμό. (i Να κάνετε τις απαραίτητες αλλαγές στον κώδικα από το μέρος (β έτσι ώστε να υλοποιείται η πιο πάνω ιδέα σε σενάριο όπου υπάρχουν 3 φιλόσοφοι (και πιρούνια. (ii Η λύση αυτή παρουσιάζει αδιέξοδο; Συζητήστε πως θα μπορούσατε να αποδείξετε την απάντησή σας. (i Η προτεινόμενη στρατηγική μοντελοποιείται μέσω των πιο κάτω διεργασιών. Phil. Phil up3. up. et. down. down3. Phil Phil2. Phil2 up. up2. et. down2. down. Phil2 Phil3. Phil3 up3. up2. et. down2. down3. Phil3 ystem ( Phil Phil2 Phil3 Fork[ up put,down Fork[ up2 put,down2 Fork[ up2 put,down3 \ L { up,up2,up3,down,down2,down3} (ii Για να δείξουμε την απουσία αδιεξόδου θα μπορούσαμε να επιδείξουμε ότι το καινούριο σύστημα είναι ισοδύναμο με την προδιαγραφή pe et. pe L Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 5
σύμφωνα με την οποία οι φιλόσοφοι γευματίζουν ξανά και ξανά. Άσκηση 3 Να αποφασίσετε ποια από τα πιο κάτω συστήματα μεταβάσεων σχετίζονται με ισχυρή ή ασθενή δυπροσομοίωση. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας με σαφήνεια. P 2 τ τ 3 P 2 P 3 d d d d 4 5 6 P 4 P 5 P 6 T R T 2 T 3 T 4 T 5 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 T 6 T 7 Τα συστήματα μεταβάσεων και P μπορούν να εκτελέσουν την ενέργεια d, ενέργεια που δεν μπορούν να εκτελέσουν τα συστήματα μεταβάσεων T και R. Από το πιο πάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι εάν υπάρχει κάποιο είδος δυπροσομοίωσης θα είναι μεταξύ είτε των και P είτε των T και R. Εντούτοις παρατηρούμε ότι ούτε τα δύο αυτά ζεύγη διεργασιών είναι ισοδύναμα, αφού υπάρχουν ιδιότητες της HML που ξεχωρίζουν τις δύο διεργασίες όπως φαίνεται πιο κάτω: ~ P : tt, P tt : P tt, tt P T ~ R : R ( tt tt, T ( tt tt T R : R ( tt tt, T ( tt tt Επομένως κανένα σύστημα δεν σχετίζεται με οποιοδήποτε άλλο με κάποια μορφή δυπροσομοίωσης. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 6
Άσκηση 4 Από τις ισοδυναμίες και ποια είναι η πιο ισχυρή ισοδυναμία η οποία συνδέει το κάθε ένα από τα πιο κάτω ζεύγη; ( P και P + P ( P και P P ( P (Q R και (P Q R (d τ.p Q και τ.τ. Q P Για το κάθε ζεύγος είτε να δώσετε απόδειξη για την ισχυρότερη ισοδυναμία που ικανοποιείται είτε να δώσετε αντιπαράδειγμα που να επιδεικνύει την έλλειψη ύπαρξης οποιασδήποτε ισοδυναμίας. (α Θα δείξουμε ότι οι διεργασίες P και P + P είναι ισχυρά ισοδύναμες μεταξύ τους. Έστω η σχέση:, Έστω P, Q. Αν P P για κάποια ενέργεια α, τότε Q P P P και P, P. Παρόμοια, αν Q Q, τότε Q P P και P όπου P P και P, P. Συνεπώς η σχέση R είναι μια ισχυρή δυπροσομοίωση. (β Οι διεργασίες P και P P δεν είναι ισχυρά ισοδύναμες μεταξύ τους ούτε και ασθενώς ισοδύναμες. Για παράδειγμα, αν πάρουμε P =., παρατηρούμε ότι P P P και P και προφανώς, οι διεργασίες P και δεν είναι ισοδύναμες αφού η πρώτη μπορεί να εκτελέσει την ενέργεια ενώ η δεύτερη όχι. (γ Θα δείξουμε ότι οι διεργασίες (P Q R και P (Q R είναι ισχυρά ισοδύναμες μεταξύ τους. Έστω η σχέση P Q R, P Q R,, Έστω, T. Τότε = (P Q R και Τ= P (Q R για κάποιες διεργασίες P, Q και R και για κάποια ενέργεια α. Επιπρόσθετα έχουμε: Αν U και, τότε o Αν και P τότε P T, όπου,. o Αν και Q τότε P T, όπου,. o Αν,, P, Q, τότε P T, όπου,. Αν R και, τότε P T, όπου, Αν, R και P Q, τότε P T, όπου,. Αν, R και P Q, τότε P T, όπου,. Παρόμοια, μπορεί να αναλυθεί και η αντίθετη κατεύθυνση. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 7
(δ Οι δύο διεργασίες τ.p Q και τ.τ.q P συνδέονται μέσω της πιο κάτω ασθενούς ισοδυναμίας: R = {(τ.p Q, τ.τ Q P, (P Q, τ.τ.q P, (P Q, τ.q P, (τ.p Q, τ.q P, (τ.p Q, Q P, (P Q, Q P,,, } Άσκηση 5 Θεωρήστε δύο διεργασίες Ρ και Q. Θέλουμε να ορίσουμε στη CC καινούριο τελεστή ακολουθίας: P ; Q. Διαισθητικά, σε μια διεργασία της μορφής P ; Q, η διεργασία P τρέχει μέχρι να μην έχει άλλες ενέργειες και στη συνέχεια, όταν τελειώσει, θα τρέξεi η διεργασία Q. (α Να ορίσετε τυπικά τη σημασιολογία του τελεστή ; με τη βοήθεια κατάλληλων κανόνων. (β Θεωρήστε τις δυο πιο κάτω διεργασίες P;Q (.Q P[.nil nil] \{ } όπου P [.nil nil} είναι η διεργασία που προκύπτει με την αντικατάσταση κάθε όρου Nil στο Ρ με τον όρο.nil. Να αποφασίσετε κατά πόσο οι διεργασίες είναι ισοδύναμες ως προς τις σχέσεις ασθενούς και ισχυρής δυπροσομοίωσης σύμφωνα με τους κανόνες σημασιολογίας που προτείνατε στο σκέλος (α. (α eq eq 2 ; ;, ; Εκτελείται η αριστερή διεργασία Η δεξιά διεργασία εκτελείται μόνο όταν η αριστερή είναι nil (β Οι δύο διεργασίες δε συνδέονται με ισχυρή δυπροσομοίωση. Η πρώτη διεργασία εκτελεί τις ενέργειες της P ακολουθούμενες από τις ενέργειες της Q. Όσον αφορά τη δεύτερη διεργασία, μεταξύ των ενεργειών των P και Q θα μεσολαβήσει η εσωτερική ενέργεια τ, η οποία έχει εισαχθεί για να «επιβάλει» την εκτέλεση της Q όταν ολοκληρωθεί η εκτέλεση της Ρ. Οι δύο διεργασίες είναι ισοδύναμες ως προς την ασθενή δυπροσομοίωση, υπό την προϋπόθεση ότι το κανάλι δεν εμφανίζεται στο Q, σύμφωνα με την πιο κάτω σχέση. R {( P;Q, (.Q P[.nil nil] \{ }, ( nil;q, (.Q.nil] \{ }, ( Q, Q \{ } P, Q Pr o} Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 8