Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Transcript

1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 N φιλόσοφοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο του και τρώει. Στην άσκηση αυτή σας ζητείται να διατυπώσετε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ένα σύνολο από απαιτήσεις/προτάσεις που σχετίζονται με το δείπνο των φιλοσόφων χρησιμοποιώντας τα κατηγορήματα που ακολουθούν. Philosopher(u) : o u είναι ένας φιλόσοφος Eating(u): o φιλόσοφος u τρώει το δείπνο του Neighbors(u,v) οι u και v είναι φιλόσοφοι που κάθονται σε γειτονικές θέσεις Fork(f) : το f είναι ένα πιρούνι Free(f) : το πιρούνι f είναι διαθέσιμο Left(f,u) : To πιρούνι f βρίσκεται αριστερά από τον φιλόσοφο u Right(f,u) : To πιρούνι f βρίσκεται δεξιά από τον φιλόσοφο u (i) Κάθε φιλόσοφος έχει ένα πιρούνι στα δεξιά του και ένα πιρούνι στα αριστερά του. x f g [ Philosopher(x) (Fork(f) Fork(g) Left(f,x) Right(g,x))] (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Αν κάποιος φιλόσοφος τρώει, τα πιρούνια που βρίσκονται αριστερά και δεξιά από αυτόν δεν είναι διαθέσιμα. x[ Philosopher(x) Eating(x) f g ((Fork(f) Fork(g) Left(f,x) Right(g,x)) ( Free(f) Free(g)) ] Αν κάποιος φιλόσοφος δεν τρώει το δείπνο του τότε τουλάχιστον ένα από τα γειτονικά του πιρούνια είναι δεσμευμένο. x[ Philosopher(x) Eating(x) f g ((Fork(f) Fork(g) Left(f,x) Right(g,x)) ( Free(f) Free(g)) ] Αν δύο φιλόσοφοι τρώνε το δείπνο τους τότε τα πιρούνια που βρίσκονται δίπλα στον καθένα από αυτούς είναι ξεχωριστά. x y[ Philosopher(x) Philosopher(y) Eating(x) Eating(y) (x=y) f g h j ((Fork(f) Fork(g) Left(f,x) Right(g,x)) Fork(h) Fork(j) Left(h,y) Right(j,y)) ( (f = h f = j g = h g = j)] Υπάρχει ακριβώς ένας φιλόσοφος που αν τρώει το δείπνο του, τότε κανένας άλλος φιλόσοφος δεν τρώει το δείπνο του. x [ Philosopher(x) (Eating(x) y ((Philosopher (y) (x = y)) Eating (y)))] Υπάρχουν δύο φιλόσοφοι οι οποίοι κάθονται σε απόσταση 2 ο ένας από τον άλλο (δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένας φιλόσοφος ανάμεσά τους) οι οποίοι τρώνε ταυτόχρονα. x y (Philosopher (x) Philosopher(y) Eating(x) Eating(y) (x = y) ( z Neighbors(x,z) Neighbors(z,y)) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 1 από 6

2 (vii) Δεν είναι δυνατό δύο φιλόσοφοι που κάθονται σε γειτονικές θέσεις να τρώνε ταυτόχρονα. x y[ (Philosopher(x) Philosopher(y) Neighbors(x,y)) (Eating(x) Eating(y)) ] Άσκηση 2 Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα του κατηγορηματικού λογισμού. (α) x ( P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) 1. x ( P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x 0 3. P(x 0) Q(x 0) x e 1 4. P(x 0) προσωρινή υπόθεση 5. P(x 0) e e 4, 5 7. Q(x 0) e 6 8. P(x 0) Q(x 0) i x (P(x) Q(x)) x i 2 8 (β) P(b), x y(p(x) P(y) x = y) x (P(x) x = b) 1. P(b) προϋπόθεση 2. x y(p(x) P(y) x = y) προϋπόθεση 3. x 0 4. y(p(x 0) P(y) x 0 = y) x e 2 5. P(x 0) P(b) x 0 = b y e [b/y] 4 6. P(x 0) προσωρινή υπόθεση 7. P(x 0) P(b) i 1,6 8. x 0 = b MP 5,7 9. P(x 0) x 0 = b i x (P(x) x = b) x i 3 9 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 2 από 6

3 (γ) x ( P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) 1. x ( P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x 0 3. P(x 0) Q(x 0) υπόθεση 4. P(x 0) Q(x 0) υπόθεση 5. P(x 0) υπόθεση 6. P(x 0) e 4 7. e 5,6 8. Q(x 0) υπόθεση 9. Q(x 0) e e 8,9 11. e 3, 5 7, (P(x 0) Q(x 0)) i x (P(x) Q(x)) x i x (P(x) Q(x)) x e 1,2 13 (δ) x (P(x) (Q(x) R(x))), x(p(x) R(x)) x (P(x) Q(x)) 1. x(p(x) (Q(x) R(x))) προϋπόθεση 2. x(p(x) R(x)) προϋπόθεση 3. x 0 4. P(x 0) προσωρινή υπόθεση 5. P(x 0) (Q(x 0) R(x 0)) x e 1 6. Q(x 0) R(x 0) e 4,5 7. Q(x 0) πρ. υπόθεση R(x 0) πρ. υπόθεση 8. P(x 0) R(x 0) i 4,7 9. x(p(x) R(x)) y i e 2, Q(x 0) e Q(x 0) e 6, P(x 0) Q(x 0) i x (P(x) Q(x)) x i 3 8 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 3 από 6

4 (ε) x P(x) S x (P(x) S) 1. x P(x) S προϋπόθεση 2. x P(x) x P(x) LEM 3. x P(x) προσωρινή υπόθεση 4. P(x 0) πρ. υπόθεση 5. S ΜΡ 1, 3 6. P(x 0) S i x (P(x) S) x I 6 8. x P(x) προσωρινή υπόθεση 9. x P(x) Διαφάνεια x 0 P(x 0) υπόθεση 11. P(x0) υπόθεση 12. e 10, S e P(x 0) S i x(p(x 0) S) x i x(p(x 0) S) x e 9, x (P(x) S) e 3 7, 8 16 Άσκηση 3 Έστω προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού, και. Ποιοι από τους πιο κάτω ισχυρισμούς είναι ορθοί; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. (α) Αν η είναι σημασιολογικό επακόλουθο της τότε η δεν μπορεί να είναι σημασιολογικό επακόλουθο της. Η πρόταση αυτή είναι λανθασμένη. Αν πάρουμε = True, έχουμε ότι και επίσης για οποιαδήποτε πρόταση φ. (β) Αν η είναι σημασιολογικό επακόλουθο της τότε η είναι σημασιολογικό επακόλουθο της και σημασιολογικό επακόλουθο της. Η πρόταση είναι λανθασμένη. Αν πάρουμε = x P(x), ψ = x P(x) και = x Q(x), τότε προφανώς έχουμε ότι καθώς επίσης και ψ αλλά δεν μπορούμε να εγγυηθούμε ότι ψ. (γ) Αν η είναι σημασιολογικό επακόλουθο της ή της τότε η είναι σημασιολογικό επακόλουθο της. Η πρόταση είναι ορθή. Αν ισχύει ένα από τα και τότε σε οποιαδήποτε ερμηνεία αν μία από τις και είναι αληθείς τότε και η είναι αληθής (Αλήθεια του Tarski). Κατά συνέπεια. (δ) Η είναι σημασιολογικό επακόλουθο της αν και μόνο αν η πρόταση είναι λογικά έγκυρη (αληθής σε όλες τις ερμηνείες). Η πρόταση είναι ορθή αφού οι πιο κάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. - Η πρόταση είναι λογικά έγκυρη. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 4 από 6

5 - Σε κάθε ερμηνεία της κατηγορηματικής μας γλώσσας αν η είναι αληθής τότε και η είναι αληθής. - Άσκηση 4 Θεωρήστε τις πιο κάτω προτάσεις οι οποίες εκφράζουν ότι το κατηγόρημα P είναι αυτοπαθές, συμμετρικό και μεταβατικό. φ 1 = x P(x,x) φ 2 = x y (P(x,y) P(y,x)) φ 3 = x y z ((P(x,y) P(y,z)) P(x,z)) Να δείξετε ότι καμιά από τις προτάσεις δεν αποτελεί σημασιολογικό επακόλουθο των άλλων δύο. (α) H φ 3 δεν αποτελεί σημασιολογικό επακόλουθο των φ 1, φ 2. Ακολουθεί ερμηνεία όπου ικανοποιούνται οι προτάσεις φ 1 και φ 2 αλλά όχι η φ 3. A = {a,b,c} P Α = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)} (β) H φ 2 δεν αποτελεί σημασιολογικό επακόλουθο των φ 1, φ 3. Ακολουθεί ερμηνεία όπου ικανοποιούνται οι προτάσεις φ 1 και φ 3 αλλά όχι η φ 2. A = {a,b} P A = {(a,a), (b,b), (a,b)} (γ) H φ 1 δεν αποτελεί σημασιολογικό επακόλουθο των φ 2, φ 3. Ακολουθεί ερμηνεία όπου ικανοποιούνται οι προτάσεις φ 2 και φ 3 αλλά όχι η φ 1. A = {a,b,c} P A = {(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)} Άσκηση 5 (14 μονάδες) Να γράψετε τις πιο κάτω προτάσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό και να αποδείξετε την εγκυρότητα του συλλογισμού. 1. Αν ένας κύβος βρίσκεται πάνω σε κάποιο άλλο κύβο τότε δεν βρίσκεται πάνω στο τραπέζι. 2. Κάθε κύβος βρίσκεται είτε πάνω στο τραπέζι είτε πάνω σε κάποιο άλλο κύβο. 3. Κανένας κύβος δεν βρίσκεται πάνω σε κάποιο κύβο ο οποίος βρίσκεται επίσης πάνω σε κάποιο κύβο. Συμπέρασμα: Αν κάποιος κύβος βρίσκεται πάνω σε κάποιο άλλο κύβο τότε ο δεύτερος κύβος βρίσκεται πάνω στο τραπέζι. Χρησιμοποιούμε τα κατηγορήματα Π(x,y) και Τ(x) τα οποία ερμηνεύουμε ως «ο κύβος x βρίσκεται πάνω από τον κύβο y» και «ο κύβος x βρίσκεται πάνω στο τραπέζι». Οι προτάσεις μεταφράζονται στον Κατηγορηματικό λογισμό ως εξής. 1. Αν ένας κύβος βρίσκεται πάνω σε κάποιο άλλο κύβο, τότε δεν βρίσκεται πάνω στο τραπέζι. x ( y Π(x,y) T(x)) 2. Κάθε κύβος βρίσκεται είτε πάνω στο τραπέζι είτε πάνω σε κάποιο άλλο κύβο. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 5 από 6

6 x (T(x) y Π(x,y)) 3. Κανένας κύβος δεν βρίσκεται πάνω σε κάποιο κύβο ο οποίος βρίσκεται επίσης πάνω σε κάποιο κύβο. x ( y Π(x,y) z Π(y,z)) 4. Αν κάποιος κύβος βρίσκεται πάνω σε κάποιο άλλο κύβο τότε ο δεύτερος κύβος βρίσκεται πάνω στο τραπέζι. x ( y Π(x,y) T(y)) Απόδειξη συλλογισμού: 1. x ( y Π(x,y) T(x)) προϋπόθεση 2. x (T(x) y Π(x,y)) προϋπόθεση 3. x ( y Π(x,y) z Π(y,z)) προϋπόθεση 4. x 0 5. y Π(x 0,y) πρ. υπόθεση 6. T(y) πρ. υπόθεση 7. T(y) z Π(y,z) x e 2 8. T(y) πρ. υπόθεση 9. e 6, z Π(y,z)) πρ. υπόθεση 11. y Π(x 0,y) z Π(y,z)) i 5, ( y Π(x 0,y) z Π(y,z)) x e e 12, e 7, 8 9, T(y) e y Π(x,y) T(y) i x ( y Π(x,y) T(y)) x i 4 16 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 6 από 6