Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, ISBN: 978-9963-0-4611-9) Και Βανδουλάκης Ι., Καλλιγάς Χ., Μαρκάκης Ν., Φερεντίνος Σ., (2007), Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, ΟΕ Β, Αθήνα, εκδ. Α. 1
Αρ.1. Αρ.2 Ευκλείδεια διαίρεση- διαιρετότητα Αν α, β είναι φυσικοί αριθμοί, ο αριθμός β διαιρεί τον αριθμό α, αν υπάρχει ένας φυσικός αριθμός γ, έτσι ώστε να ισχύει η τέλεια διαίρεση, Γενικότερα: Παρατήρηση: 2
Παραδείγµατα 3
4. 4
Αρ.3. Ιδιότητες των ιαιρετών ιερεύνηση (1) Η καθηγήτρια της μουσικής ζήτησε από τους μαθητές της να την βοηθήσουν να υπολογίσει πόσες θήκες θα χρειαστεί για να τοποθετήσει τους 1144 ψηφιακούς δίσκους που έχει στην αίθουσα μουσικής σε θήκες των 11 δίσκων. Τους είπε ότι μίλησε με τον καθηγητή των μαθηματικών τους και της ζήτησε να τους βάλει ένα περιορισμό, να μην χρησιμοποιήσουν διαίρεση. Δύο μαθητές βρήκαν την ορθή απάντηση, ότι θα χρειαστούν θήκες. Πιο κάτω φαίνεται ο τρόπος που εργάστηκαν: Να σχολιάσετε τον τρόπο που εργάστηκε ο κάθε μαθητής ιερεύνηση (2) Τι παρατηρείτε; 5
Ιδιότητες διαιρετότητας Ο 3 διαιρεί το 12. Τότε διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιο του 12 (π.χ 36, 48,.). Ιδιότητα 1: Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλο φυσικό, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. Ο 2 διαιρεί το 14 και ο 2 διαιρεί το 8. Τότε ο 2 διαιρεί και το άθροισμα και τη διαφορά των αριθμών 14 και 8. Ιδιότητα 2: Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί δύο άλλους, θα διαιρεί το άθροισμα και τη διαφορά τους. Ο αριθµός 5 διαιρεί το 15 και ο αριθµός 15 διαιρεί το 60. Άρα ο αριθµός 5 διαιρεί το 60. Ιδιότητα 3: Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί ένα δεύτερο φυσικό αριθμό και ο δεύτερος αριθμός διαιρεί έναν τρίτο, τότε ο πρώτος αριθμός θα διαιρεί και τον τρίτο (Μεταβατική ιδιότητα). Κριτήρια ιαιρετότητας Ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας τους κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε αν ένας αριθμός α διαιρεί τον αριθμό β, όπου α, β φυσικοί αριθμοί χωρίς να εκτελέσουμε την διαίρεση του β με το α. Ακόμα Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4, αν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το 4. Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 25, αν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το 25. 6
Παραδείγµατα Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια, ώστε να προκύψει τετραψήφιος αριθμός που να διαιρείται με το και το 3 και το 4: Λύση: Για να διαιρείται ο αριθμός με το θα πρέπει ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του να διαιρείται με το 4. Έτσι στο τελευταίο τετραγωνάκι (μονάδες) μπορούμε να έχουμε τα ψηφία 2 ή 6. Αν τοποθετήσουμε το 2 ως τελευταίο ψηφίο και προσθέσουμε τα τρία γνωστά ψηφία, θα έχουμε άθροισμα 7+ 5 + 2 = 14. Στη θέση του ψηφίου των χιλιάδων θα τοποθετήσουμε ένα ψηφίο, έτσι ώστε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να διαιρείται με το 3. Τα ψηφία που μπορούν να τοποθετηθούν είναι το 1 και το 4, 14+1=15, 14+ 4 =18. Άρα, οι αριθμοί θα είναι οι 1752 και 4752. Αν τοποθετήσουμε το 6 ως τελευταίο ψηφίο και προσθέσουμε τα τρία γνωστά ψηφία, 7+ 5+ 6= 18. Στη θέση του ψηφίου των χιλιάδων θα τοποθετήσουμε ένα ψηφίο, έτσι ώστε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να διαιρείται με το 3. Τα ψηφία που μπορούν να τοποθετηθούν είναι το 3, το 6 και το 9 (18+3=21, 18+6=24, 18+9=27). Άρα οι αριθμοί θα είναι οι 3756, 6756 και 9756. Αρ.4. Πρώτοι και Σύνθετοι αριθµοί 7
ιερευνητική δραστηριότητα Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο Java applet «Κόσκινο του Ερατοσθένη» στην http://www.vex.net/~trebla/numbertheory/eratosthenes.html. Παρατηρήστε ότι Αν πατήσετε το κουμπί 3 θα αφαιρεθούν τα πολλαπλάσια του 3. Αν πατήσετε reset γίνεται επανεκκίνηση της δραστηριότητας. Αν πατήσετε το κουμπί 2 τι συμβαίνει;.. Παρατηρήστε την εικόνα κάτω και πείτε πια κουμπιά πατήσαμε. Τι παρατηρείτε; Ποιοι αριθμοί περισσεύουν; Συνεχίστε στον πίνακα κάτω. Να βάλετε σε κύκλο τα πολλαπλάσια του στη συνέχεια του 2, του3, του 4, μέχρι και του 20. Τι παρατηρείτε; Ποιοι αριθμοί περισσεύουν; 8
Ιστορικό σημείωμα Παραδείγµατα 1. 9
2. Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς 18, 45 και 79 είναι πρώτοι. Λύση: Το 18 έχει παράγοντες τους αριθμούς 1, 2, 3, 6, 9 και 18. Επομένως, είναι σύνθετος. Το 45 έχει παράγοντες τους αριθμούς 1, 3, 5, 9, 15 και 45. Επομένως, είναι σύνθετος. Το 79 έχει παράγοντες μόνο τους αριθμούς 1 και 79, δηλαδή είναι πρώτος. 3. Να αναλύσετε τον αριθμό 90 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 10
Αρ.5. Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (ΜΚ ) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) Φυσικών Αριθµών Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (ΜΚ ) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών αυτών. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών ονομάζεται το μικρότερο, μη μηδενικό, κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών αυτών. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι µεταξύ τους (ή σχετικά πρώτοι), αν ο ΜΚΔ τους είναι το 1. 1. Παραδείγµατα 11
2. 3. 12
Αρ.6. Επίλυση προβληµάτων µε Ε.ΚΠ.-Μ.Κ. 13
Αρ.7. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Κάθε πολιτισμός στην αρχαιότητα καθόρισε τη βάση του αριθμητικού του συστήματος και χρησιμοποιούσε δικά του σύμβολα, για να αναπαριστάνει ποσότητες. Στο αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης, της τρίτης χιλιετίας π.χ., χρησιμοποιούνταν τα ακόλουθα σύμβολα. Στο κινέζικο σύστημα αρίθμησης, της τρίτης χιλιετίας π.χ., χρησιμοποιούνταν σύμβολα για τους πρώτους εννέα αριθμούς και σύμβολα για τη δεκάδα, εκατοντάδα και χιλιάδα. ιερευνητική δραστηριότητα Στην πιο κάτω εικόνα, ένας Αιγύπτιος παρουσιάζει στην ιερογλυφική γραφή τον τρόπο υπολογισμού του γινομένου αριθμών. Γράψτε ποια γινόμενα παρουσιάζει ο Αιγύπτιος. 14
δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες,, δηλαδή δυνάμεις του 10 με βάση το 10 και ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ( ψηφία). Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί μονάδες, δυάδες, τετράδες, οκτάδες,, δηλαδή δυνάμεις με βάση το 2 και ψηφία μόνο το 0 και το 1 ( ψηφία). Δηλώνουμε ότι ένας αριθμός είναι γραμμένος στο δυαδικό σύστημα γράφοντας σε παρένθεση, στη θέση δείκτη τον αριθμό 2. 1. 15
2. 16
Στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης αντίστοιχα χρησιμοποιούμε μόνο τρία ψηφία: 0, 1, 2 επομένως θα έχουμε μονάδες, τριάδες, εννιάδες κλπ 3 4 3 3 3 2 3 1 3 0. 81 27 9 3 1 Άλλα συστήματα αρίθμησης Ιωνικό και Ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης 17
Πυθαγόρας και Σχηματικοί αριθμοί Διερευνητική Δραστηριότητα Κάθε τετράγωνος αριθμός σχηματίζεται από τον προηγούμενο με πρόσθεση ενός γνώμονα. Συνεχίστε τη διαδικασία προσθήκης τετραγώνων αριθμών και περιγράψτε τη. Τι παρατηρείτε; Σκεφτείτε μια διαδικασία με την οποία συνεχίζονται οι τρίγωνοι αριθμοί. 18