УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00

САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме 4 IТригонометријска форма Чевијеве теореме 6 I3Изотомична и изогоналана коресподенција 7 I4Чевијева теорема за просторни четвороугао 0 I5Доказ Чевијеве теореме помоћу Менелајеве теореме I6Чевијева теорема доказ помоћу вектора II ГЕОМЕТРИЈА МАСА И ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 III ПРОЈЕКТОВАЊЕ И ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 0 IV ДОДАТАК 8 D Менелајева теорема 9 D Тригонометријски облик Менелајеве теореме 30 D Менелајева теорема за просторни четвороугао 3 D Геометрија и уметност ЛИТЕРАТУРА 35

УВОД Чевијева теорема (Ђовани Чева, италијански геометар 7 века, 647 734, теорема публикована 678) садржи значајно и дубоко својство троугла и трију конкурентих правих које има свој елегантан алгебарски еквивалент Пресеци висина троугла, тежишних линија, симетрала углова, као и других значајних правих троугла се могу извести из Чевијеве теореме, тако да њихова метричка својства падају у други план У првом поглављу Чевијева теорема навели смо више доказа Чевијеве теореме Такође је наведен њен тригонометријски еквивалент, као и неколико задатака као примери у којима се Чевијевом теоремом елегантно добија решење Дат је и израз за Чевијеву теорему просторног четвороугла и тиме заокружен приступ овој важној теореми Друго поглавље Геометрија маса и Чевијева теорема доноси нов механички приступ и примену Чевијеве теореме Треће поглавље Пројектовање и Чевијева теорема садржи делове пројективне геометрије (без строгог аксиоматског заснивања, онолико колико може да схвати и прихвати средњошколац, са назнакама богатства које постоји у методама пројектовања), којим се добија дубље поимање и повезивање метричких особина То само говори о богатству садржаја Чевијеве теореме Четврто поглавље Додатак садржи доказе Менелајеве теореме, коју смо често цитирали у раду приликом доказивања Чевијеве теореме, као и додатак Геометрија и уметност у коме се може видети трагање ренесансних уметника за методама пројектовања приликом приказивања света који нас окружује Аутор је захвалан на сарадњи, помоћи и разумевању ментору проф др Неди Бокан приликом израде рада Београд, 00 У математичкој литератури на српском језику влада неуједначеност приликом транскрипције имена Чеве и теореме са његовим именом Тако, на пример, могу се у збиркама и књигама из геометрије наћи називи: Чевина теорема, Чевијева теорема, Чеваова теорема, теорема Чевија Ми смо у овом раду изабрали већински назив - Чевијева теорема 3

I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА Чевијева теорема: Нека су на правама,, страница троугла дате тачке,, Да би се праве,, секле у једној тачки или биле паралелне потребно је и довољно да је = () I ДОКАЗ ЧЕВИЈЕВЕ ТЕОРЕМЕ Услов је потребан Нека се праве,, секу у тачки Поставимо праву кроз теме троугла паралелну правој (Слика и ) и нека су пресечне тачке те праве са М С Р А В N и редом тачке N и M Из Талесове теореме следи: А Слика N =, = M, А M N M = N Множећи ове три пропорције добија се тражена једнакост () Слика А Нека су праве,, паралелне (слика 3) Тада по Талесовој теореми имамо: тачна = и =, па је једнакост () А А Слика 3 4

Услов довољан Нека је тачна једнакост () Треба доказати да се праве,, секу у једној тачки, или да су паралелне За две праве, су могућа два случаја: а) праве, се секу у једној тачки, б) праве, су паралелне Размотримо први случај и докажимо да и садржи тачку Претпоставимо супротно (Слика 4) Нека права сече у тачки Тада је по услову () = Како важи и да је =, то добијамо = То значи да се тачке и поклапају, а то опет значи да тачка припада правој б) Ако су праве, паралелне, то ће и права бити паралелна, јер ако би секла, тада би по раније доказаном, и права пролазила кроз пресечну тачку, што је у супротности са паралелношћу правих, А Слика 4 5

I ТРИГОНОМЕТРИЈСКА ФОРМА ЧЕВИЈЕВЕ ТЕОРЕМЕ Ако посматрамо оријентисане углове (оријентација је битна због предзнака синуса угла): α =, α =, γ =, γ =, β =, β =, (Слика 5), тада једнакост () Чевијеве теореме можемо представити у еквивалентном облику помоћу синуса углова Како је по синусној теореми: sn β = sn и sn β = sn оријентисаних) углова су једнаки па имамо једнакост: sn β = sn β Аналогно добијамо и једнакости Из последњих једнакости добијамо: sn β = sn β Чевијеве теореме: sn α sn α sn γ sn γ, а синуси упоредних (једнако sn α = sn α = и sn γ = sn γ, па је тригонометријски облик sn α sn α snβ snβ sn γ sn γ = () Напомена: Ако су праве,, симетрале углова троугла тада су углови α = α, β = β и γ = γ па је једнакост (), односно () задовољена и по Чевијевој теореми добијамо да се симетрале углова троугла секу у једној тачки Врло елегантан доказ β β А С γ α α В γ Слика 5 6

Пример : Над страницама троугла АВС конструисани су споља једнакостранични троуглови,, Доказати да се праве, секу у једној тачки (Слика 7), Решење: Користећемо Чевијеву теорему у тригонометријском облику уз исто означавање углова На почетку се ограничимо да су углови троугла мањи од 0 Из троуглова и по синусној теореми добијамо: a a = и = o sn( 60 + ) sn α o sn( 60 + ) sn α Из ових једнакости добијамо: С o sn α sn(60 + ) = sn α o sn(60 + ) А На исти начин се добија и за остале углове o α snβ sn(60 + ) α = и snβ o sn(60 + ) β γ o sn γ sn(60 + ) β γ = sn γ o sn(60 + ) В а С Множећи ове три једнакости sn α snβ sn γ добија се =, а а sn α snβ sn γ што је једнакост Чевијеве теореме у тригонометријском облику, а то значи А да се праве,, секу у једној Слика 6 тачки o Ако је угао = 0, тада су тачке В, С, В колинеарне, као и тачке А, С, А Дакле, посматране праве се секу у тачки С o А ако је угао > 0, у горњи доказ треба унети исправке: o Праве и се секу ван троугла АВС, па угао 60 + треба o o заменити углом 360 (60 + ), што неће променити резултат В 7

Пример Из тачке М повучене су тангенте МА и МВ на круг и две произвољне сечице D и EF (Слика 7) Доказати да се праве F и DE секу на правој АВ која спаја тачке додира тангенти и круга Решење: Применом Чевијеве теореме у тригонометријском облику на праве, F, DE које секу странице троугла EF добићемо жељени резултат Дате праве, F, DE се секу у једној тачки ако је испуњен услов sn E sn FED sn F = sn F sn DE sn FE (3) Сви углови који фигуришу у претходном изразу (3) су периферијски углови круга те су њихови синуси пропорционални наспрамним сечицама, на пример, E sn E = R, где је R полупречник круга, па се једнакост (3) своди на доказивање једнакости: E F DF = D E (4) Из сличних троуглова M и MD ( M = MD - угао између тетиве и тангенте једнак је периферијском углу над том тетивом, M заједнички за оба троугла) следи: M = D MD Из сличности троуглова ME и MDF ( за оба троугла) следи: DF MD = E ME Из сличности троуглова ME и MF ( и тангенте једнак је периферијском углу над том тетивом, ME заједнички за оба троугла) следи: E F ME =, M = M M једнакост тангентних одсечака из исте тачке При множењу датих односа на десној страни ће бити, па је самим тим испуњена једнакост (3) ME = MFD, MF ME = MF А заједнички - угао између тетиве О D M E F Слика 7 8

Пример 3: Дужи које спајају темена троугла са тачкама додира страница и споља описаних кругова троугла се секу у једној тачки (слика 8) Доказ: Нека споља описани кругови додирују странице АВ, ВС и СА у тачкама F, K, D Како је D = K = p c, D = F = p a, K = F = p b, то се добија: F K D p b p c p a = = F K D p a p b p c И поново по Чевијевој теореми следи да се дужи једној тачки N K, D и F секу у F K N D Слика 8 Ове једнакости се врло често користе као готове и наведене су у оквиру Великог задатка из предмета Основи геометрије који почиње: Конструисати троугао ако је дато 9

I3 ИЗОТОМИЧНА И ИЗОГОНАЛНА КОРЕСПОДЕНЦИЈА За било коју тачку троугла С (изузев тачака на страницама истог) посебну пажњу привлачи њена изотомично, као и изогонално спрегнута В А тачка В Р А Нека се праве,, које садрже Q темена троугла секу у тачки и секу А С С В праве,, у тачкама,, Слика 9 Конструишимо тачке,, симетричне тачкама,, редом, у односу на средишта дужи,, Тада се и праве,, такође секу у једној тачки Q (Слика 9) Докажимо то Ако су тачке и симетричне у односу на средиште Е дужи АВ, тада очигледно важи = Аналогно закључујемо и за остале односе = и = Ако је испуњена Чевијева једнакост () за тачке,,, то ће она бити такође важећа и за тачке,, из претходних односа Кажемо тачке и Q су изотомично спрегнуте у односу на дати троугао Нека су даље и симетричне у односу на симетралу угла код темена А, троугла АВС, а праве и симетричне у односу на симетралу угла темена В и праве и симетричне у односу на симетралу угла код темена С Тада ако прва тројка правих,, има заједничку тачку Р, онда ће и друга тројка правих,, имати заједничку тачку М Доказ се добија из тригонометријског облика Чевијеве теореме () Заиста, ако права образује са правама АВ и АС оријентисане углове α и α, тада ће права са правама АВ и АС образовати оријентисане углове α и α Исто важи и за остале праве,, и Како Чевијева теорема важи за праве,,, важиће и за праве,, Кажемо тачке Р и М су изогонално спрегнуте у односу на троугао АВС Може се показати да су центар О описаног круга око троугла и ортоцентар Н изогоноално спрегнути у односу на дати троугао 0

I4 ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА ЗА ПРОСТОРНИ ЧЕТВОРОУГАО Чевијева теорема је изворно дата у облику () Теорема која важи за просторни четвороугао када уместо правих узимамо равни које садрже странице просторног четвороугла и секу мимоилазну страницу просторног четвороугла има елегантан алгебарски еквивалент и носи Чевијево име Нека је страницама,, D, D одређен просторни четвороугао D и на њима дате тачке,, D Да би се равни D, D,, D секле у једној тачки потребно је и довољно да важи: DD = D D Доказ Услов је потребан Нека праве D, D, D, у тачкама, D По Чевијевој теореми,, за троугао и тачку D (слика 0) имамо: K = K По истој теореми за троугао D и тачку имамо (5),,, D секу равни D D DD K = D K D Множећи дате односе добијамо тражену Чевијеву једнакост (5) Слика 0 А Услов је довољан Нека је задовољена једнакост (5) Тада по Менелајевој теореми (43) за просторни четвороугао D тачке,, D леже у једној равни То значи да се праве и D секу у некој тачки или су паралелне То значи да и равни D, D, D садрже тачку, Последица: Ако тачке,, D које припадају редом правим,, D, D, леже у истој равни, тада се равни D, D,, D секу у једној тачки и обрнуто D K

I5 ДОКАЗ ЧЕВИЈЕВЕ ТЕОРЕМЕ ПОМОЋУ МЕНЕЛАЈЕВЕ ТЕОРЕМЕ Менелајева теорема (Менелај, први век нове ере): Нека је у равни дат троугао Тачке, Q, R које се налазе редом на правама,, и различите су од темена троугла, припадају једној правој Q R Q R АКО И САМО АКО је: = Нека је у равни E дат троугао АВС Праве одређене теменима А, В, С и тачкама А, В, С које се налазе на правама ВС, СА, АВ припадају једном прамену ако и само ако је: = Доказ: Претпоставимо најпре да се праве,, секу у некој тачки S (Слика ) Применом Менелајеве теореме најпре за троугао Δ и праву, а затим и на троугао Δ и праву налазимо: (6) S S = и = S S Слика Множењем одговарајућих страна ових једнакости добија се једнакост Чевијеве теореме Обрнуто, ако важи релација (6) и ако права одређена тачкама А и S = сече праву ВС у тачки А, према доказаном делу ове теореме имамо да је = (7) Из (6) и (7) следи = С обзиром да Менелајева теорема важи и када је неки од односа на левој страни једнак, Чевијева теорема важи и за случај када су праве,, паралелне S А

I6 ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА ДОКАЗ ПОМОЋУ ВЕКТОРА Векторски рачун је новијег доба и није био познат математичарима 7 века Данас се елементи векторског рачуна уче у средњој школи Истраживања особина векторских простора у 9 веку су убрзали развој, не само математике, већ и механике, физике и других природних наука Доказ Чевијеве теореме преузет из [, стр 87-88] Нека су, Q, R тачке редом на правама, и троугла АВС Доказати да је: R Q = ако и само ако се праве R Q R секу у једној тачки или су паралелне, Q и Доказ: R Q Нека је v =, λ =, μ = Постоје два случаја R Q а) када се праве и Q секу; б) када су праве и Q паралелне Ако је Q = {S} тада се лако доказује да је + λ + λμ 0 и λ S = + + λ + λμ + λ + λμ + λ У случају када је + λ + λμ = 0, следи λ 0, μ = λ λ = +, + λ + λ μ Q = + = + = ( + λ), па су вектори и + μ + μ + μ Q колинеарни То значи да су у овом случају праве и Q паралелне На овај начин је доказано да се праве и Q секу ако и само ако је + λ + λμ 0 На исти начин се доказује да се праве и R секу ако је и само ако + ν + λν 0 и R S Q Р Слика 3

Уколико је тачка S пресек ових правих R = {S }, тада је ν S = + + ν + λν + ν + λν а) У случају када се праве и Q секу, односно када је + λ + λμ 0, Чевина теорема гласи: λνμ = ако и само ако се праве, Q и R секу у једној тачки (прамен конкуретних правих) λμ + + λ Нека је прво λνμ = У том случају ν =, па је + ν + λν = 0 λμ λμ Због тога се и праве и R секу у некој тачки R = {S } Лако се доказује да је у овом случају S = S, па је S S и праве, Q и R се секу у једној тачки Обрнуто: Нека се праве, Q и R секу у једној тачки Тада је S S ( R = {S } ), па је S = S Изједначавањем претходно добијених израза за ове векторе и коришћењем линеарне независности вектора и добија се = + λ + λμ λ 0 и ν + ν + λν, то јест λνμ = б) Ако су праве и Q паралелне, тада је + λ + λμ = 0, следи да је + λ μ = λ Теорема у овом случају гласи: λνμ = ако и само ако су праве, Q и R паралелне Нека је λνμ =, Тада је су праве и R паралелне Обрнуто: Нека су праве ν = = λμ + λ, па је ν + νλ + = 0 Одавде следи да, Q и R паралелне (слика 3) Тада је ν + νλ + = 0 и + λ + λμ = 0, одакле се лако проверава да је λνμ = Q R А Слика 3 4

II ГЕОМЕТРИЈА МАСА И ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА Посматрајмо познати Архимедов закон полуге (слика ) На слици су приказане две тачке и оптерећене масама m и m Нека је тачка M равнотежна тачка m Тада је систем у равнотежи ако важи M =, m M што се може записати m M = m M, или у векторском облику m M + m M = 0 Тачка M се у механици назива центар масе система материјалних тачака и А М А g m r Слика m g r За даље разматрање су нам потребне дефиниције новоуведених појмова Дефиниција: Материјалном тачком називамо пар ( ; m), где је нека тачка равни, а m позитиван број (маса тачке ) 3 Дефиниција: Систем материјалних тачака је скуп који се састоји из коначног броја материјалних тачака Дефиниција: Центар масе система материјалних тачака ; ), ( m ; ),, ; m ) је тачка M за коју важи једнакост: ( ( m m M + m M + + m M = 0 (За посматрани систем од две тачке на слици, тачка М је центар масе) Даље ћемо сматрати да је у равни задат правоугли координатни систем Теорема : За задати систем материјалних тачака постоји центар масе и притом је јединствен Доказ: Нека тачке датог система материјалних тачака имају координате: x ; y ), ( x, y ),, ( x, y ) и нека су у њима распоређене редом масе ( m, Одредимо координате тачке M ( x, y) која задовољава дефиницију центра масе система материјалних тачака Вектори M, где је =,,, имају координате M = ( x x, y y) Тада вектор m M + m M + + m M има координате:, m, m 3 У неким књигама, као на пример, у [] материјална тачка се обележава са m 5

m ( x x); m ( y y) = = Услов да је тачка M ( x, y) центар масе је еквивалентан систему једначина: m ( x x) + m ( x x) + + m ( x x) = 0, m ( y y) + m ( y y) + + m ( y y) = центра маса M : x m x m y, m m = = = y = = = 0, из кога добијамо координате Тиме је доказано постојање центра маса M ( x, y) и притом је центар маса јединствен Примедба: Ако имамо систем материјалних тачака који је разложен на комплементне подсистеме материјалних тачака, тада сваки од подсистема можемо заменити његовим центром масе и поједноставити даље тражење центра маса целокупног система Другим речима, важи следећа: Теорема : Нека су дата два комплементна система материјалних тачака ; m ), (, m ),,(, m ) и ; n ), (, n ),,(, ) t n Тада се центар масе ( ( t тог система поклапа са центром маса система M, m,( ; n ), (, n ),,( t, nt ) = Доказ: Нека тачке, =,, имају координате x ; y ), ( x, y ),, ( x, y ), а тачке j, j =,, t координате ( a ; b ), ( a, b ),, ( a, b ) ( t t t Тада ако је M u, ) центар масе целокупног система биће: = ( v m x + n ja j m y + n jb j = j= = j= u =, v = t t m + n m + n t j= = t j= Са друге стране нека је M u, ) центар масе система материјалних ( v тачака M, m,( ; n ), (, n ),,( t, nt ) Тада ће бити: = u ( m ) x + j j = j= = j= =, v = t t = m + t n n j= a = t ( m ) y + n jb j, одакле добијамо: m + n j= 6

u ( = m ) x + = j= t = m + t n n j j= a j = t = m + = m + m + + m j= t = m m x + n j= n j a j = u Аналогно се показује да је v = v, то јест тачке M и M се поклапају Примедба: Може се увести још строже и апстрактније заснивање геометрије маса (погледати: []) За наше даље истраживање је сасвим довољно претходно речено Посматрајмо троугао АВС у чијим су теменима распоређене једнаке масе m (слика ) По претходној теорими центар маса M датог троугла можемо заменити са центром маса система ( ; m) и ( ;m), где је центар маса система (А; m) и (; m) и је средина дужи АВ По дефиницији центра масе биће m M + m M = 0, одакле добијамо M = M Тако смо доказали да тачка М лежи на медијани троугла АВС и дели је у односу : почев од темена Како је по претходном разматрању центар маса јединствен, можемо тврдити да се центар маса троугла чија су темена оптерећена једнаким масама поклапа са тачком пресека медијана тог троугла У том погледу има смисла такву тачку назвати тежиштем, а медијане тежишним линијама На тај начин је доказана важна теорема из геометрије троугла: Тежишне линије троугла се секу у једној тачки, тежишту троугла, и притом тежиште дели тежишну дуж у размери : почев од темена троугла Обратимо пажњу на Чевијеву теорему у светлу претходних чињеница М Слика Чевијева теорема: Нека тачке,, леже на страницама,,, троугла Одсечци, се секу у једној тачки M тада и само тада када је = (слика 3) Доказ: Уведимо ознаке Нека је: =, = l, = n А Слика 3 l n = () M 7

Докажимо да се тада одсечци,, секу у једној тачки Оптеретимо темена троугла,, тежинама,, l Тада је очигледно: + = 0 и + l = 0, то јест тачке и су центри маса система материјалних тачака респективно ( ;),( ; ) и ( ; ),( ; l) Тада по теореми центар масе М троугла АВС лежи на дужима и, другим речима речено - дати одсечци се секу у тачки М Затим докажимо да је l + = 0 Заиста, претходна једнакост одговара следећој: = Како је према () n l l =, добијамо = n То значи да је центар маса система тачака ( ;),( ; l), па је тачка М на основу теореме, такође на одсечку Обрнуто: Нека се одсечци,, секу у једној тачки М Докажимо да важи () Поново означимо = = l Претпоставимо супротно Нека је, и нека је n такво да важи l n = 8 n Изаберимо на дужи ВА тачку С, такву да је, то јест = n Тада из претходно доказаног следи да одсечак садржи тачку М То значи да се дуж поклапа са дужи, па се и тачке и поклапају То значи да важи једнакост Чевијеве теореме = Чевијева теорема омогућава доказе значајних теорема везаних за троугао о пресеку висина, симетрала углова и других значајних правих троугла Некима од њих даћемо механичку интерпретацију, иако се оне могу доказати (и доказују се) чисто геометријски Теорема: Три симетрале угла троугла АВС се секу у тачки I, која је центар маса система материјалних тачака ( ; a), ( ; b), ( ; c) (слика 4) Доказ: Како по познатој теореми симетрале угла деле наспрамне странице у односу суседних страница имамо: L b L c L a 3 = ; = ; = L3 a L b L c L3 L L b c a Множећи дате једнакости добијамо = = L L L a b c 3 L 3 α/ α/ β/ β/ I L L Слика 4 γ/ γ/

По Чевијевој теореми следи да се дужи L, L, L3 секу у једној тачки I Даље, посматрајмо систем материјалних тачака ( ; a), ( ; b), ( ; c) Центар масе тог система се налази на дужи K 3, при чему је тачка K 3 на страници АВ и важи да је K 3 b = То значи да се тачка K 3 поклапа са тачком K a 3 L 3, па је центар масе датог троугла на дужи L 3, односно симетрали угла На исти начин се показује да се центар масе датог троугла налази на симетралама L, L Теорема: Три висине оштроуглог троугла АВС се секу у тачки Н, која је центар масе система материјалних тачака ( ; tg ), ( ; tg ), ( ; tg ) Доказ: Нека су H a, H b, H c висине троугла АВС (слика 5) Из троугла H c имамо H c = hcctg Анлогно је и: H a = h ctg ; H a H b = hbctg ; H Тада је: c b = h ctg ; H c = h ctg b a = h ctg ; H c H a H b hc ctg ha ctg hb ctg = =, H c H a H b hc ctg ha ctg hb ctg па се по Чевијевој теореми висине секу у једној тачки Даље, посматрајмо систем материјалних тачака ( ; tg ), ( ; tg ), ( ; tg ) Центар масе датог система тачака лежи на дужи која садржи С и тачку Х на страници АВ која страницу дели у односу И за тачку H c важи исти однос H c ctg = H c ctg Значи тачке H c и Х се поклапају Такође се и одсечци X и H c поклапају, па центар масе система тачака се налази на висини H c Аналогно се доказује да центар масе датог система тачака лежи и на другим двема висинама (слика 5) a H c X X tg ctg = = tg ctg H H b H a Слика 5 9

III ПРОЈЕКТОВАЊЕ И ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА Пројектовање се врло често и успешно користи у науци и техници Тако су сви цртежи просторних фигура (зграде, механизми, машине) инжењера и архитеката конструисани по правилима нацртне геометрије, и увек је резултат пројектовања слика просторног лика у равни Даље, ђачки цртеж на табли, или у свесци на часовима геометрије (стереометрије) није ништа друго него пројекција просторне фигуре у равни свеске или табле Ђак цртеж прави по интуицији не знајући правила пројектовања и његова дубока својства Сликар - уметник, радећи своје дело, такође, врши пројекцију на раван свога платна 4 Ми у овом приказу нећемо ићи за строгим заснивањем метода пројектовања као што се то ради и изучава на факултетима из нацртне геометрије или пројективне геометрије, већ ћемо се задржати на једном слободнијем и интуитивнијем приступу S пројектовања које може да прихвати и разуме ђак у средњој школи α Пројектовање омогућава сазнавања значајних својстава геометријских фигура, много више него што су симетрије, транслација и хомотетија Својства која има фигура и све њене α пројекције су дубља и више повезана са датом фигуром него својства која се чувају при разним кретањима - изометријским трансформацијама Пример : Ако узмемо троугао АВС у равни α и пројектујемо га из неке тачке S која није у равни троугла добијамо такође троугао Слика 3 α Ако је једна од пројектујућих правих, на пример S паралелна равни α, теме ће бити без своје пројекције (односно биће у бесконачности), па ће се троугао отворити у тачки (Видећемо касније да и од тога имамо користи) Посматрајмо како метода пројектовања у многим случајевима упрошћава доказе теорема Пројектујући неки лик са једне равни на другу, можемо добити лаке доказе појединих теорема Добивши закључке у пројекцији можемо их пренети и на оригинални лик и обрнуто 4 Погледати поглавље Геометрија и уметност 0

Теорема: Ако су дате две елипсе са заједничким центром и пропорционалним полуосама a, b и λ a, λb, при чему велике осе леже на једној правој (такође и мале осе) то ће одсечци и између елипси одређени било којом сечицом бити једнаки а O α б в Слика 3 Елементаран доказ ове чињенице није могуће спровести зато што се у школи не уче особине елипсе (у 3 години средњих школа се особине елипсе изучавају преко аналитичке геометрије) Врло просто и једноставно је доказати теорему методом паралелног пројектовања Ако је таква теорема тачна за кругове, то је могуће очекивати да ће доказ за кругове бити лакши него за елипсу Ако докажемо теорему за кругове, покушајмо утврдити методом пројектовања исту теорему и за елипсе За кругове је теорема тачна Довољно је посматрати подударне троуглове Δ O ΔO и Δ O ΔO, одакле добијамо: = = =, што даје тражену једнакост Како је теорема важећа за кругове пројектујмо круг (слика 3б) на неку раван α (слика 3, в) паралелним пројектовањем Кругови ће се пресликати у елипсе и сечица кругова у сечицу елипсе Из теореме (Талесове) закључујемо да паралелне праве одсецају на странама угла пропорционалне одсечке, добијамо тврђење теореме

Чевијева теорема: Нека су у равни троугла на страницама троугла,, дате тачке, Q, R Праве, Q, R се секу у једној тачки O ако и само ако је: Q R = Q R (3) Примедба : Како смо раније видели при пројектовању троугла, пројекција може бити дегенерисана, то јест, R неко његово теме или страница може отићи у бесконачност O Ми ћемо Чевијеву теорему доказати у случајевима Q када се троугао у свим пројектовањима преводи у троугао и ниједан његов елемент не одлази у Слика 33 бесконачност 5 У сваком односу бројиоци и имениоци тврђења Чевијеве теореме су колинеарни вектори, па су њихови односи позитивни или негативни сматрајући да је Q = Q Пре доказа Чевијеве теореме запазимо следеће: У тврђењу (3) на десној страни једнакости је вредност, што није очигледно и потребно је доказати Али то што је производ односа на левој страни једнакости позитивна величина је очигледно Запазимо ако је тачка пресека O у унутрашњости троугла, тада су сви односи у (3) позитивни Ако се тачка O не налази у унутрашњости, то ће у једнакости (3) негативна бити само два односа, тако да две од тачака, Q, R деле странице троугла у спољашњој размери, па је њихов производ односа такође позитиван Доказ Чевијеве теореме: Услов је потребан Посматрајмо троуглове у пару ΔOQ и Δ QO као и однос њихових површина: ΔQ = ΔQ Q Q Па можемо записати ΔQ ΔOQ = или ΔQ Δ QO ΔOQ, (имају исте висине) Такође је ΔQ ΔQ = ΔOQ Δ QO ΔQO ΔO ΔO = ΔOQ Δ QO Δ OQ = ΔQO Q Q Δ Q и Δ Q и (3 ) Одузимајући од обе једнакости по и доводећи их на исти именилац добијамо: Δ Q Δ OQ Δ Q Δ QO = или 5 Треба приметити да се при паралелном пројектовању троугла увек добија пројекција троугао, па Чевијева теорема има смисла

Користећи (3) имамо ΔO Q Δ O = Q Аналогно, за парове других тоуглова имамо: Δ O Δ = и O R = Δ O Δ O R Множећи леве и десне стране у последње три једнакости добијамо: Q R = Q R Услов је довољан: Претпоставимо супротно Нека се три праве, Q, R не секу у једној тачки и нека важи (3) Ако се праве, R секу у тачки O, то ће права Q која не садржи O сећи праву у некој тачки Q, а права O праву у некој тачки Q Докажимо да је то немогуће и да ће се тачке Q и Q поклопити R Имамо: O Q R ) Услов (3) = Q R Q Q ) По услову конструкције праве O праве, Q, R се секу у тачки, па за њих важи Чевијева теорема тј, Q R = Q R Слика 34 (3) б Изједначавајући (3) и (3) добијамо Q Q = Додајући левој и Q Q десној страни претходне једнакости следи јест тачке Q и Q се поклапају Q =, одакле је Q = Q, то Q 3

Примедба : Чевијева теорема карактерише Чевијеву конфигурацију: геометријској чињеници о три трансверзале троугла које садрже заједничку тачку одговара алгебарски израз (3) И обрнуто: алгебарском изразу (3) одговара геометријски Чевијева конфигурација Чевијева теорема остаје сачувана при било ком броју централног или паралелног пројектовања са једне равни на другу За доказ те чињенице приметимо да у S поставци теореме се говори о било ком произвољном троуглу и произвољној тачки O (само α да не буде на страницама троугла) Пројекција једне Чевијеве конфигурације са равни α на другу раван α такође је Чевијева конфигурација (Слика 3 5) Заиста, при пројектовању се троугао α пресликава у троугао, а прамен правих са заједничком тачком такође у прамен правих са заједничком тачком Слика 35 в Последице Чевијеве теореме Знамо да Чевијева теорема важи за било који троугао и за било које три праве које садрже темена троугла са заједничком пресечном тачком и да за њих важи (3) То значи да важи (3) и за три висине троугла, три тежишне линије, три симетрале угла Та чињеница нас доводи до занимљивог резултата У свим теоремама (три висине, три тежишне линије, три симетрале угла) у питању је тројка трансверзала које се секу у једној тачки У резултату пројектовања троугао са његовим висинама, тежишним линијама или симетралама углова се пресликава у троугао код кога пројекције нису исте природе (висине, тежишне линије, симетрале угла) и губе свој метрички смисао Опште језгро са тако изгубљеним смислом и даље остаје, тако да Чевијева теорема исказује једно дубоко својство које се не губи пројектовањем Природно се поставља питање: Користећи Чевијеву теорему да ли је могуће применити је на специјалне праве и доказати теореме о значајним тачкама троугла Показује се да је то могуће У поглављу Чевијева теорема и геометрија маса ми смо доказали следеће теореме: Теорема: Три тежишне линије троугла се секу у једној тачки Теорема: Три симетрале унутрашњих углова троугла се секу у једној тачки Теорема: Праве које садрже висине троугла се секу у једној тачки 4

Запажање: Као што је представљено добијен је занимљив резултат У елементарној геометрији све три теореме би се доказивале као различите теореме на различите начине немајући међусобно ничег заједничког које је сакривено метричким својствима објеката Ми смо доказали све три теореме јединственом методом и то као парцијалне случајеве једне опште теореме (Чевијева теорема) У чему је унутрашња природа тог резултата? Из предходног је одговор врло јасан У све три теореме се садржало једно заједничко језгро чињеница пресека трију конкурентних правих које изражава услов (3) Када дужи сваке од тројки правих окарактеришемо неким својством (бити тежишна линија, симетрала угла или висина троугла, итд), у сваком случају добијамо да праве имају заједничку пресечну тачку Одатле можемо доћи на идеју да исто важи и за друге тројке трансверзала са другим својствима и добити нове теореме о заједничком пресеку у једној тачки као део Чевијеве теореме Ево пример: Теорема: Нека је у произвољни троугао уписан круг Тачке додира круга и страница,, означимо са, Q, R Тада се праве, Q, R секу у једној тачки O (Жергонова тачка) 6 (Слика 36) Доказ: На основу једнакости тангентних одсечака добијамо: Q = R, Q =, = R На основу добијених једнакости: Q R Q R = = Како је испуњен Q R R Q услов (3), то се по Чевијевој теореми три праве секу у једној тачки R O Q Слика 36 Теорема: Праве које садрже темена троугла и деле наспрамне странице пропорционално налеглим угловима се секу у једној тачки Доказ: По услову теореме (слика 37) имамо: Q α γ R β =, =, = Q γ β R α R O Q Слика 37 6 Ж Жергон (77 859) француски математичар 5

Q R Множећи добијене једнакости добијамо да важи =, тј важи Q R (3), па се по Чевијевој теореми праве, Q, R секу у једно тачки Чевијева теорема нас је снабдела унутрашњим јединством низа теорема елементарне геометрије и општом методом њиховог доказа Чевијева теорема нам убедљиво говори о смислу и користи изучавања метода пројектовања Изучавање пројектовања нас не обогаћује само знањем нових теорема и нових својстава, већ служи и продубљивању врло познатих питања То је нов и свеж поглед и приступ питањима елементарне геометрије И не само то Нека у једној равни α имамо неку од доказаних конфигурација Пројектујмо дату конфигурацију равни α из неког центра S која није у равни α, на неке друге равни α, α и тако даље (Слика 38 и 39) S α Q R O Слика 38 α Слика 39 Тада при пројектовању круг прелази у једну од кривих (елипса у равни α, парабола у равни α, хипербола у α Тангенте круга прелазе у тангенте кривих у равнима α, α, α Све праве које садрже темена сваког од тих тангентних троуглова се секу у заједничкој тачки О, О, О, па можемо да искажемо теорему: Теорема: Ако је троугао образован трима тангентама елипсе, параболе или хиперболе, то ће се праве, Q, R које садрже темена,, и тачке додира супротних страница, Q, R сећи у једној тачки O Непосредан доказ такве теореме је тежак Али је доказ за круг релативно лак Јасно се види снага и моћ методе пројектовања α 6

Примедба: За потпуност доказа би требало установити да се сваки троугао састављен од тангената круга пројектује у тангентни троугао поменутих кривих Ми то сматрамо очигледним зато што мењајући положај тачке S (центра пројектовања) и тангенте на кругу (за које је теорема доказана) можемо тангентном троуглу било које криве дати било коју форму Није нам био циљ да у овом приказу идемо даље у пројективну геометрију и њено строго заснивање Враћајући се на почетак излагања, тек сад можемо уочити да приликом пројектовања троугла са једне равни на другу, чак и када нам у пројекцији неко од темена побегне у бесконачност од тога имамо и те како корист Само да назначимо: једна таква бесконачна тачка обезбеђује дубоку повезаност геометријских објеката и њихових особина и надилази интуитивно поимање простора У том смислу је Пројективна геометрија као нова дисциплина одговор Еуклида цару Птолемеју Еуклид би данас, наком два и више миленијума, вероватно могао рећи: Царски пут у геометрији је пут пројективне геометрије 7

IV ДОДАТАК У доказу Чевијеве теореме често смо користили друге познате теореме из геометрије Неке од њих смо наводили у фуснотама да не бисмо реметили основни текст У оквиру овог додатка наводимо доказе Менелајеве теореме Такође наводимо и кратак историјски осврт развоја идеја пројективности код ренесансних сликара 8

D МЕНЕЛАЈЕВА ТЕОРЕМА А Нека је у равни E дат троугао В R Тачке, Q, R које се редом Q А С налазе на правама,, и s различите су од темена троугла В С Слика 4 припадају једној правој ако и само ако је: Q R = (4) Q R Доказ: Претпоставимо да тачке, Q, R припадају некој правој s (Слика 4) Будући да права s не садржи ниједно теме троугла, тачке, Q, R су на продужењима страница,, или се две налазе на страницама, а трећа на продужењу Стога су сва три односа на левој страни релације Менелајеве теореме негативна или су два позитивна док је трећи негативан, па је производ тих односа негативан Ако обележимо са,, подножја нормала из темена на праву s биће: Q R = = Q R Обрнуто, претпоставимо да важи релација (4)и да права Q сече праву у тачки R Q R Тада према доказаном делу важи = Q R Q R Како важи и = добија се Q R R R = и према томе је R R R R Други начин доказивања Менелајеве теореме Услов је потребан Нека су А,, колинеарне тачке Кроз В теме В поставимо праву K По С К теореми о пропорционалним одсечцима на крацима угла имамо: А В С Слика 4 K =, = K Множењем једнакости се добија тврђење Менелајеве теореме Други део доказа је исти као у претходном доказу, па га изостављамо 9

D ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ОБЛИК МЕНЕЛАЈЕВЕ ТЕОРЕМЕ Ако посматрамо оријентисане углове: α =, α =, γ =, γ =, β =, β =, (Слика 43), тада једнакост Менелајеве теореме (4) можемо представити у еквивалентном облику помоћу синуса углова sn α snβ sn γ = (4) sn α snβ sn γ Доказ је као и доказ Чевијеве теореме у тригонометријском облику, па га изостављамо С В γ γ А β α α β А В С Слика 43 30

D МЕНЕЛАЈЕВА ТЕОРЕМА ЗА ПРОСТОРНИ ЧЕТВОРОУГАО Нека су на страницама,, D, D просторног четвороугла D дате тачке,,, D Да би те тачке биле компланарне потребно је и довољно да је: DD = D D (43) Доказ Услов је потребан Нека задане тачке леже у равни γ и γ D = {M} По Менелајевој теореми за троугао D и праву D имамо: M DD = MD D По Менелајевој теореми за троугао D и праву имамо: DM D M = Множећи леве стране једнакости добијамо тражену једнакост DD = D D Услов је довољан Претпоставимо супротно Ако раван сече праву D у тачки D то по потребном услову важи: DD DD = и = D D D D Из ове две једнакости следи DD D DD =, а то значи да је D D D D D M Слика 44 3

D ГЕОМЕТРИЈА И УМЕТНОСТ Нека се нико, ко није математичар, не дрзне да чита моје радове, Леонардо да Винчи, Трактат о сликарству Београд, 998, Још у 4 веку многе уметнике је привукла идеја према којој се слика посматра као својеврсни прозор, кроз који посматрач види овај или онај део света (стварности) Нацртати посматране објекте је сасвим лако По мери удаљености од посматрача размере предмета се смањују, а паралелни крајеви поља се стичу у даљем делу собе Значајан напредак је постигнут око 40 године када су ивице коцке које нису нормалне на раван слике биле нацртане тако да се стичу у две тачке хоризонта, коју називамо линија недогледа (слика 45) Средином века дошло се до тога да све нормале, а не само нормале које леже у једној равни треба сликати тако да се стичу у једну тачку недогледа и знање још једне такве тачке је довољно за установљење хоризонта, као хоризонталне линије која пролази на слици кроз познату Слика 45 тачку недогледа Нешто раније, уметнике је интересовао проблем еквидистантних трансферзала Представимо себи да смо поставили слику у соби, чији је под обложен квадратним плочицама Једна страница плочица је нормална на раван слике, а друге образују једнако удаљене паралелне праве, које секу под у попречном правцу еквидистантне трансферзале D U W R Q E F G Слика 46 Око средине 5 века у моди је био неправилни метод палца, по којем је растојање на слици међу суседним трансферзалама требало сваки пут умањити за једну трећину Око педесетих година пронађено је правилно оштроумно решење проблема (слика 46) Квадрат D то је изглед пода одозго Дијагонале свих квадрата је могуће поделити у две групе, тако да су све дијагонале једне групе међусобно паралелне Ако кроз тачку U нацртамо праву v, паралелну одсечку АВ, тада ће права v бити линија хоризонта И група 3 D R Q E F G Слика 47

дијагонала паралелних правој FQ биће нацртана на слици у виду правих које се секу у тачки W на линији хоризонта За разлику од данас, таква конструкција је у 5 веку била епохална Обратимо посебну пажњу на занимљиви експеримент који је извео Филипо Бруналески У биографији Филипа Бруналескија Антонио Манети, пријатељ и обожавалац великог градитеља, даје следећи извештај о догађају који се десио 45 године у Фиренци: Овај случај перспективе он је први пут Слика Огледало показао на табли од око пола лакта у квадрату, на којој је начинио приказ спољашњег изгледа Око Крстионица храма Сан Ђовани (тј Баптистеријума) у Фиренци Овај храм нацртао је онако како се види споља обухваћен једним погледом Како изгледа, приликом цртања он је стајао око три лакта унутар средњих врата Санта Мариа дел Фиоре Слика је урађена са толико труда и лепоте и тако прецизно у бојама белог и црног мермера да ниједан сликар минијатура то не би могао боље учинити Узео је полирано огледало као позадину тако да је оно рефлектовало ваздух и природно небо и, такође, облаке који су падали на то огледало и били ношени ветром када је он дувао Код ове слике је сликар настојао да утврди само једно место са кога ће се она моћи посматрати Да не би дошло до грешке при посматрању, пошто на сваком месту појава за око мора бити другачија, он је на табли на којој је била та слика направио отвор који се у одразу храма Сан Ђовани налазио тачно на оном месту куда је гледало око са трга унутар средњих врата Санта Мариа дел Фиоре, где је он приликом цртања стајао Овај отвор је био мали као сочиво на страни слике, а ширио се пирамидално на полеђини, слично женском сламном шеширу, све до величине дуката или нешто више Он је замислио да око посматрача буде на полеђини где је био велики отвор и да једном руком принесе слику до ока, а да у другој руци, наспрам табле, држи равно огледало са кога се рефлектовала слика Удаљеност огледала од друге руке износила је отприлике онолико малих лаката колико је износило растојање правих лаката од трга, на коме је он стајао при цртању, до храма Сан Ђовани Заједно са другим споменутим околностима, полираним огледалом, тргом итд, изгледало је, при посматрању са те тачке, као да човек стварно и уистину види Баптистеријум Ја сам то држао у рукама и својевремено више пута гледао, те то могу посведочити (Цитирано према Еugeno attstn, Flpo runellesch, Stuttgart - Zürch, 979) Прво, догађај је имао све особине nau~nog espermenta Дато је poreђeњe између предмета који је произвео човек, Бруналескијеве слике, и стварности Друго, поређење није препуштено самовољи експериментатора; он не посматра ствар једноставно, већ је истражује под строгим условима: упућује се на тачно прорачунато место, отприлике девет стопа од улаза у катедралу, држи апарат око пет стопа високо, гледа кроз отвор у центру слике, поставља огдедало на сасвим одређеном растојању Огледало рефлектује на доњој половини слику, у горњој половини облаке, а посматрач види комбинацију уметности и стварности Огледало се уклања, али се поглед не мења, мада је сада пред нама само стварност 33

Треће, предмет који се оцењује, дакле слика, није напросто насликан, већ је onstrusan po pravlma Четврто, ова правила потичу из prase хоризонталне и вертикалне пројекције која је Бруналескију била позната Али сама пракса не објашњава зашто конструкција води ка идентичном утиску слике и стварности Она се зато мора комбиновати са одређеним схватањем природе процеса гледања То гледање повезује процес гледања према обрасцу средњевековне оптике, са пирамидом видних зрака Делотворни су само они зраци који улазе у око водоравно у односу на његову површину Они стварају дводимензиону слику оне стране предмета која је окренута према оку У расправи О сликарству Леон Баптисте Албертија налази се следећа дефиниција: Слика је пресек оптичке пирамиде Израда слике тако постаје геометријски проблем Проблем се може решити, каже Алберти, јер: постоје нови принципи који нам допуштају да представимо односе на површи из којих пирамида произилази Функција сликара је (међутим) следећа: раван обележити линијама и изнијансирати бојама тако да она, посматрана са одређене удаљености и одређеног положаја, у потпуности личи на приказане предмете Наша упутства (наставља Алберти, почетак треће књиге О сликарству ) у којима је изложена савршена и апсолутна уметност сликања, може лако да схвати геометар, али не и човек који није упознат са геометријом Зато наглашавам да је нужно да сликар учи геометрију (Према []) Сликарство је, дакле, наука која се глатко уклапа у структуру других наука То ново схватање сликарства се често користи ради задобијања већег угледа у области наука и уметности Од старог доба све до ренесансе сликари, скулптори и архитекте сматрани су за обичне занатлије И данас најразличитије струке покушавају да увећају свој углед тиме што доказују академске везе или, како се то каже, своју научност Научност је подизала углед још у време Албертија Он је, дакле, покушавао да покаже да сликарство и архитектура имају научну - математичку основу Његови напори су успели Вазари ускоро у Фиренци оснива прву уметничку академију 34

ЛИТЕРАТУРА: [] Балк, М Б, Болтянский, Геометрия масс, Библиотека Квант, выпуск 6, Москва, 987 [] Ђорић Мирјана, Миленковић Оливера, Збирка задатака из аналитичке геометрије, Математички факултет, Београд, 000 [3] Кечкић, Д Јован, Математика са збирком задатака, Агенција Кечкић, Београд, 005 [4] Курант Р, Шта је то математика, Просвета, Београд, 973 [5] Лопандић Д, Геометрија за 3 разред усмереног образовања, Научна књига, Београд, 98 [6] Marjanovc Mlosav, Metrc eucldan projectve and topologcal propertes, The teachng of mathematcs, Vol IV,, 00, pp 4-70 [7] Никулин АВ, А Г Кукуш, Ю С Татаренко, Геометрия на плоскости, Алфа, Москва, 996 [8] Понарин Я П, Элементарная геометријя, том, Москва, МЦНМО, 008 [9] Понарин Я П, Элементарная геометријя, том 3, Москва, МЦНМО, 008 [0] Потоцкий МВ, Что изучает проективная геометрия, Просвещение, Москва, 98 [] Фајерабенд, Паул, Наука као уметност, Матица српска, Нови Сад, 984 35