ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 6 7 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ Ισορροπία Σωματιδίου Στατική Ισορροπία Στερεού Σώματος ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ (ΒΑΡΟΥΣ) Ορισμός Κέντρου Μάζας (Βάρους) Εύρεση Κέντρου Μάζας με Ολοκλήρωση Staths STIIARIS, UoA 6-7
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 6 7 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ AOSO FI GIACOI HAIAY RESICK WAKER YOUG FREEA ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ 4.5, 4.6, 4.8, 4.9.,.,.3.,.,.3,.5,.6.,.3 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ 4.7 9.8.4. Staths STIIARIS, UoA 6-7
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Η ισορροπία υλικού σωματιδίου στο χώρο εξασφαλίζεται όταν το διανυσματικό άθροισμα των επενεργούντων σ αυτό δυνάμεων μηδενίζεται. r F F F F z Η συνθήκη αυτή είναι ισοδύναμη με τις τρεις επιμέρους συνθήκες που αναφέρονται στον μηδενισμό των συνιστωσών των δυνάμεων κατά μήκος των αξόνων,, z. Ειδική περίπτωση: Ισορροπία τριών δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε σωματίδιο. Staths STIIARIS, UoA 6-7 3
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Ισορροπία τριών δυνάμεων σε σωματίδιο F γ α β F 3 α F 3 F β F γ F Εάν οι τρεις δυνάμεις ισορροπούν, τότε απαραίτητα σχηματίζουν επίπεδο τρίγωνο, οπότε ισχύει ο νόμος των ημιτόνων: snα F snβ F sn γ F 3 Staths STIIARIS, UoA 6-7 4
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα: Ομογενής σφαίρα βάρους W και ακτίνας R συγκρατείται με τεντωμένο σκοινί σε λείοτοίχοκαισεαπόσταση απόσταση πάνωαπότοκέντροτηςσφαίρας. της Βρείτε: (α) Τηντάσηστοσκοινί στο σκοινί (β) Τη δύναμη που εξασκεί ο τοίχος στην σφαίρα. T r T r r θ R θ r W r W r Εφαρμόζοντας τον νόμο των ημιτόνων: T sn9 W sn(8 Ν θ ) sn(9 + θ) T W sn W snθ / W + R W + R cosθ W Wcot θ W θ cosθ snθ Staths STIIARIS, UoA 6-7 5 R
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για την ισορροπία στερεού σώματος είναι αναγκαίο να εξασφαλιστεί ισορροπία τόσο ως προς τις μετατοπίσεις, όσο και ως προς τις περιστροφές. F r τ r Ισορροπία ως προς την μετατόπιση Ισορροπία ως προς την περιστροφή Για συνεπίπεδες δυνάμεις οι παραπάνω συνθήκες ανάγονται στις: F F τ Staths STIIARIS, UoA 6-7 6
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Παράδειγμα: Το παρακάτω σχήμα δίνει την κάτοψη ομογενούς ράβδου σε στατική ισορροπία. Να βρεθούν οι δυνάμεις F και F. F 4d d d d 3 Συνολική ροπή ως προς το δεξιό άκρο της ράβδου: F 8d 4d F d 3 d F Μηδενισμός συνισταμένης δύναμης: F 3 + F F + F 45 65 Staths STIIARIS, UoA 6-7 7
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ομογενής δοκός μήκους 8m και βάρους Ν είναι στερεωμένη σε τοίχο, ενώ τοάλλοτηςάκρο υποβαστάζεται με συρματόσκοινο σε γωνία 53. Άνθρωπος βάρους 6Ν στέκεται σε απόσταση m από τον τοίχο. Να υπολογισθούν οι ασκούμενες από τον τοίχο και το συρματόσκοινο δυνάμεις στη δοκό. F F R cosθ Τcos53 R snθ + Τsn53 τ ( Τsn53 6 ) 8m 6 m 4m T 33 θ 7. R 58 Staths STIIARIS, UoA 6-7 8
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Τοπρόβληματηςστήριξηςσκάλαςσεδάπεδομετριβήκαισελείοτοίχο. n n f s 68 98 68 Staths STIIARIS, UoA 6-7 9
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Ορισμός κέντρου μάζας σώματος Staths STIIARIS, UoA 6-7
ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Ορισμός κέντρου βάρους σώματος Η δύναμη βαρύτητας F g μπορεί να θεωρηθεί ως το διανυσματικό άθροισμα (συνισταμένη δύναμη) των βαρυτικών δυνάμεων m g που δρουν στα ξεχωριστά στοιχεία m ενός εκτεταμένου σώματος. Αυτή η βαρυτική δύναμη F g ασκείται σ ένα σημείο που ονομάζεται κέντρο βάρους (CG: Center of Gravt) του σώματος. Εάν το g παραμένει σταθερό για όλα τα στοιχεία του σώματος, τόσο σε ένταση όσο και σε διεύθυνση (παραλληλία στοιχειωδών δυνάμεων), τότε: Το κέντρο βάρους σώματος συμπίπτει με το κέντρο μάζας. Staths STIIARIS, UoA 6-7
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ & ΜΑΖΑΣ Γιατί το κέντρο βάρους σώματος συμπίπτει με το κέντρο μάζας; Πρέπει να ελεγχθεί και η διατήρηση της ροπής των δυνάμεων ως προς τυχαίο σημείο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας γίνεται ως προ το Ο και μόνο για την κατεύθυνση. Συνολική ροπή των στοιχείων του σώματος τ net F + F + F m g Ροπή της βαρυτικής δύναμης τ CG F g CG F CG m g τ Απαιτώντας ττ net καταλήγουμε στη σχέση: τ net CG mg mg CG m m CG m Staths STIIARIS, UoA 6-7 m C
ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Συνεχής κατανομή ύλης: Τα αθροίσματα αντικαθίστανται με ολοκληρώματα z C C C dm dm dm dm zdm dm dm dm zdm Η γεωμετρική συμμετρία του σώματος απλουστεύει τους υπολογισμούς. Staths STIIARIS, UoA 6-7 3
ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Να βρεθεί το κέντρο βάρους ομογενούς ράβδου πυκνότητας ρ και μήκους με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης, που ως γνωστόν ευρίσκεται στο γεωμετρικό της κέντρο. Εάν διατάξουμε τη ράβδο κατά μήκος του άξονα και θεωρήσουμε ότι έχει πλάτος και ύψος h, τότε για ένα απειροστό μήκος d ισχύουν: d dv h d dm ρ dv ρ h d dm ( ρ h)d h d ρ cm dm ( ρ h)d ρ h d ( /) Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα αυτό εάν η ράβδος δεν είναι ομογενής; Staths STIIARIS, UoA 6-7 4
ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Να βρεθεί το κέντρο βάρους ανομοιογενούς ράβδου μήκους, όταν η πυκνότητά της εξαρτάται γραμμικά από το μήκος της: ρ() )ρ (+/). d Όπως προηγουμένως, για ένα απειροστό μήκος d ισχύουν: dv h d dm ρdv ρ( + ) h d dm ρ + hd ρ + hd + d + d 3 dm C + 3 + 5 6 3 C 5 9 Staths STIIARIS, UoA 6-7 5
ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Να βρεθεί το κέντρο βάρους ομογενούς πλάκας σχήματος ισοσκελούς τραπεζίου με βάσεις και και ύψος. d Σε τυχαίο ύψος και για στοιχειώδες d το μήκος του στοιχείου δίνεται από τη σχέση: Οπότε: dv h d dm ρ h d h d dm ρ hd ρ hd d d 3 dm 3 C 3 3 C Staths STIIARIS, UoA 6-7 6 4 9