ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ Ισορροπία Σωματιδίου Στατική Ισορροπία Στερεού Σώματος

Transcript

1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση ης Δύναμης Σύνθεση Δυνάμεων ΡΟΠΗ Η Έννοια ης Ροπής Ροπή Πολλών Δυνάμεων Ζεύγος Δυνάμεων ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Α. Καραμπαρμπούνης, Ε. Συλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 4 5 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ Ισορροπία Σωμαιδίου Σαική Ισορροπία Σερεού Σώμαος ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ (ΒΑΡΟΥΣ) Ορισμός Κένρου Μάζας (Βάρους) Εύρεση Κένρου Μάζας με Ολοκλήρωση Staths STIIAIS, UoA, 4-5

2 ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Α. Καραμπαρμπούνης, Ε. Συλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 4 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση AOSO I HAIDAY ESICK WAKE 4., ΡΟΠΗ 4.3, 4.4.8,.6. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ 4.5, 4.6, 4.8, 4.9.,.,.3,.5,.6 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ YOUG EEDMA.,.3 Staths STIIAIS, UoA, 4-5

3 ΔΙΑΝΥΣMΑΤΙΚΗ ΑΤΙΚΗ ΦΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Δύναμη: Διανυσμαικό μέγεθος Για ον καθορισμό ης χρειάζεαι όχι μόνο ο μέρο ης αλλά και η φορά ης. Ο ακριβής ορισμός ης δύναμης θα δοθεί σε συνδυασμό με η δυναμική ης κίνησης (Νόμοι ου Νεύωνα). Σο καρεσιανό σύσημα συνεαγμένων μια δύναμη μπορεί να ορισεί πλήρως από ις ρεις συνισώσες ης, και :,, : Μοναδιαία Διανύσμαα Μέρο ης Δύναμης: Μονάδα Μέρησης (S.I.): (ewton) Staths STIIAIS, UoA, 4-5 3

4 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Συνρέχουσες δυνάμεις: Οι δυνάμεις που εφαρμόζοναι σο ίδιο υλικό σημείο Συνισαμένη: Το διανυσμαικό άθροισμα όλων ων συνρεχουσών δυνάμεων v με,, α μοναδιαία διανύσμαα Staths STIIAIS, UoA, 4-5 4

5 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Ροπή: Η ικανόηα μιας δύναμης να θέει σε περισροφή ένα σώμα Άξονας Περισροφής θ Άξονας Περισροφής θ b : Η κάθεη συνισώσα ης δύναμης σο διάσημα b: Η απόσαση ου άξονα περισροφής από ο φορέα ης δύναμης (βραχίονας) [ sn( θ )] Μέρο ης ροπής b [ sn( θ )] sn(θ ) Staths STIIAIS, UoA, 4-5 5

6 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Διανυσμαικός ορισμός ης ροπής Μέρο: sn(θ ) Καεύθυνση: Κάθεη σο επίπεδο επιβαικής ακίνας δύναμης ( ) O θ Φορά: Καθοριζόμενη από ον κανόνα ου ανίχειρα ου δεξιού χεριού Μονάδα μέρησης: m (S.I.) Η ροπή δύναμης ορίζεαι πάνοε ως προς κάποιο συγκεκριμένο σημείο αναφοράς. Μεαόπιση ης δύναμης καά μήκος ου άξονα εφαρμογής αφήνει αναλλοίωη ην ροπή ης. Αλλαγή ου σημείου αναφοράς αλλάζει ην ροπή ης δύναμης. Staths STIIAIS, UoA, 4-5 6

7 ΡΟΠΗ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Διανυσμαικός Διανυσμαικός ορισμός ορισμός ης ης ροπής ροπής ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Γραφή Γραφή σε σε μορφή μορφή ορίζουσας ορίζουσας Staths STIIAIS, UoA, 4-5 7

8 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Ειδική Περίπωση: Υπολογισμός ροπής δύναμης που βρίσκεαι σο επίπεδο ΧΥ O Με βάση ον διανυσμαικό ορισμό ης ροπής P(, ) Συνισώσες ης :, Ροπή ης : Ροπή ης : Συνολικό μέρο ροπής: με καεύθυνση καά μήκος ου άξονα. ( ) Staths STIIAIS, UoA, 4-5 8

9 ΡΟΠΗ ΠΟΛΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Υπολογισμός ροπής πολλών δυνάμεων ως προς ο σημείο Ο, όαν αυές έχουν κοινό σημείο εφαρμογής (συνρέχουσες) 3 Ν P 3 Ο Η συνισαμένη δύναμη μπορεί να ανικαασήσει ένα σύσημα συνρεχουσών δυνάμεων σε ένα σώμα: Επιφέρει ο ίδιο αποέλεσμα αναφορικά με μεαοπίσεις και περισροφές. : 3 Ν 3 ( 3 ) Συνισαμένη ων συνρεχουσών Staths STIIAIS, UoA, 4-5 9

10 ΡΟΠΗ ΠΟΛΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Προσοχή! Εάν οι δυνάμεις δεν έχουν κοινό σημείο εφαρμογής (δεν είναι συνρέχουσες) όε η συνισαμένη ους δεν επιφέρει ισοδύναμα αποελέσμαα. 3 Ο P Μεαόπιση Περισροφή 3 Ν ι Επειδή καά κανόνα α διανύσμαα και δεν είναι κάθεα μεαξύ ους, δεν διασφαλίζεαι η ικανοποίηση ης σχέσης για κάποιο ζηούμενο. Staths STIIAIS, UoA, 4-5

11 ΖΕΥΓΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζεύγος Δυνάμεων: Σύσημα δύο ίσων καά μέρο αλλά με ανίθεη φορά δυνάμεων με παράλληλες διευθύνσεις. b Ο Η ροπή ου ζεύγους είναι ανεξάρηη από ο σημείο ως προς ο οποίο υπολογίζεαι η ροπή. Δεν μπορεί να βρεθεί μια δύναμη που να ανικαθισά ο ζεύγος δυνάμεων. Συνισαμένη Δύναμη Άρα, ο ζεύγος δυνάμεων δεν προκαλεί μεαφορική κίνηση. Ασκούμενη Ροπή ( b b ) Staths STIIAIS, UoA, 4-5

12 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΟΛΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ένα σύσημα πολλών δυνάμεων μπορεί πάνα να ανικαασαθεί με μια δύναμη και ένα ζεύγος δυνάμεων. P Ο b Ο 3 3 Ν ι b Η συνισαμένη δύναμη διέρχεαι από ο σημείο υπολογισμού ης ροπής Ο, ώσε να μην συνεισφέρει σην ροπή. Το ζεύγος δυνάμεων οποθεείαι σε επίπεδο κάθεο σην συνολική ροπή. Staths STIIAIS, UoA, 4-5

13 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Η ισορροπία υλικού σωμαιδίου σο χώρο εξασφαλίζεαι όαν ο διανυσμαικό άθροισμα ων επενεργούνων σ αυό δυνάμεων μηδενίζεαι. Η συνθήκη αυή είναι ισοδύναμη με ις ρεις επιμέρους συνθήκες που αναφέροναι σον μηδενισμό ων συνισωσών ων δυνάμεων καά μήκος ων αξόνων,,. Ειδική περίπωση: Ισορροπία ριών δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε σωμαίδιο. Staths STIIAIS, UoA, 4-5 3

14 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Ισορροπία ριών δυνάμεων σε σωμαίδιο γ α β 3 α 3 β γ Εάν οι ρεις δυνάμεις ισορροπούν, όε απαραίηα σχημαίζουν επίπεδο ρίγωνο, οπόε ισχύει ο νόμος ων ημιόνων: snα snβ sn γ 3 Staths STIIAIS, UoA, 4-5 4

15 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα: Ομογενής σφαίρα βάρους W και ακίνας συγκραείαι με ενωμένο σκοινί σε λείοοίχοκαισεαπόσαση απόσαση πάνωαπόοκένροηςσφαίρας. ης Βρείε: (α) Τηνάσησοσκοινί σο σκοινί (β) Τη δύναμη που εξασκεί ο οίχος σην σφαίρα. T T θ θ W W Εφαρμόζονας ον νόμο ων ημιόνων: T sn9 W sn(8 Ν θ ) sn(9 θ) T W sn W snθ / W W cosθ W Wcot θ W θ cosθ snθ Staths STIIAIS, UoA, 4-5 5

16 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για ην ισορροπία σερεού σώμαος είναι αναγκαίο να εξασφαλισεί ισορροπία όσο ως προς ις μεαοπίσεις, όσο και ως προς ις περισροφές. Ισορροπία ως προς ην μεαόπιση Ισορροπία ως προς ην περισροφή Για συνεπίπεδες δυνάμεις οι παραπάνω συνθήκες ανάγοναι σις: Staths STIIAIS, UoA, 4-5 6

17 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Παράδειγμα: Το παρακάω σχήμα δίνει ην κάοψη ομογενούς ράβδου σε σαική ισορροπία. Να βρεθούν οι δυνάμεις και. 4d d d d 3 Συνολική ροπή ως προς ο δεξιό άκρο ης ράβδου: 8d 4d d 3 d Μηδενισμός συνισαμένης δύναμης: Staths STIIAIS, UoA, 4-5 7

18 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ομογενής δοκός μήκους 8m και βάρους Ν είναι σερεωμένη σε οίχο, ενώ οάλλοηςάκρο υποβασάζεαι με συρμαόσκοινο σε γωνία 53. Άνθρωπος βάρους 6Ν σέκεαι σε απόσαση m από ον οίχο. Να υπολογισθούν οι ασκούμενες από ον οίχο και ο συρμαόσκοινο δυνάμεις ση δοκό. cosθ Τcos53 snθ Τsn53 ( Τsn53 6 ) 8m 6 m 4m T 33 θ Staths STIIAIS, UoA, 4-5 8

19 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Τοπρόβλημαηςσήριξηςσκάλαςσεδάπεδομεριβήκαισελείοοίχο. n n f s Staths STIIAIS, UoA, 4-5 9

20 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Ορισμός κένρου μάζας σώμαος Staths STIIAIS, UoA, 4-5

21 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Ορισμός κένρου βάρους σώμαος Η δύναμη βαρύηας g μπορεί να θεωρηθεί ως ο διανυσμαικό άθροισμα (συνισαμένη δύναμη) ων βαρυικών δυνάμεων m g που δρουν σα ξεχωρισά σοιχεία m ενός εκεαμένου σώμαος. Αυή η βαρυική δύναμη g ασκείαι σ ένα σημείο που ονομάζεαι κένρο βάρους (CG: Cente of Gavt) ου σώμαος. Εάν ο g παραμένει σαθερό για όλα α σοιχεία ου σώμαος, όσο σε έναση όσο και σε διεύθυνση (παραλληλία σοιχειωδών δυνάμεων), όε: Το κένρο βάρους σώμαος συμπίπει με ο κένρο μάζας. Staths STIIAIS, UoA, 4-5

22 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ & ΜΑΖΑΣ Γιαί ο κένρο βάρους σώμαος συμπίπει με ο κένρο μάζας; Πρέπει να ελεγχθεί και η διαήρηση ης ροπής ων δυνάμεων ως προς υχαίο σημείο. Χωρίς βλάβη ης γενικόηας γίνεαι ως προ ο Ο και μόνο για ην καεύθυνση. Συνολική ροπή ων σοιχείων ου σώμαος net m g Ροπή ης βαρυικής δύναμης CG g CG CG m g Απαιώνας net κααλήγουμε ση σχέση: net CG mg mg CG m m CG m Staths STIIAIS, UoA, 4-5 m CM

23 ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Συνεχής καανομή ύλης: Τα αθροίσμαα ανικαθίσαναι με ολοκληρώμαα CM CM CM M M M M M dm M dm dm dm dm dm M M M dm M dm M dm M Η γεωμερική συμμερία ου σώμαος απλουσεύει ους υπολογισμούς. Staths STIIAIS, UoA, 4-5 3

24 ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Να βρεθεί ο κένρο βάρους ομογενούς ράβδου πυκνόηας ρ και μήκους με η μέθοδο ης ολοκλήρωσης, που ως γνωσόν ευρίσκεαι σο γεωμερικό ης κένρο. Εάν διαάξουμε η ράβδο καά μήκος ου άξονα και θεωρήσουμε όι έχει πλάος D και ύψος h, όε για ένα απειροσό μήκος d ισχύουν: d dv D h d dm ρ dv ρ D h d dm ( ρ Dh)d Dh d ρ cm dm ( ρ Dh)d ρ Dh d ( /) Πώς διαμορφώνεαι ο αποέλεσμα αυό εάν η ράβδος δεν είναι ομογενής; Staths STIIAIS, UoA, 4-5 4

25 ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ Να βρεθεί ο κένρο βάρους ανομοιογενούς ράβδου μήκους, όαν η πυκνόηά ης εξαράαι γραμμικά από ο μήκος ης: ρ() )ρ (/). d Όπως προηγουμένως, για ένα απειροσό μήκος d ισχύουν: dv D h d dm ρdv ρ( ) D h d dm ρ Dhd ρ Dhd d d 3 dm CM CM Staths STIIAIS, UoA, 4-5 5

26 ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ D Να βρεθεί ο κένρο βάρους ομογενούς πλάκας σχήμαος ισοσκελούς ραπεζίου με βάσεις και και ύψος D. d Σε υχαίο ύψος και για σοιχειώδες d ο μήκος ου σοιχείου δίνεαι από η σχέση: Οπόε: D D dv h d D dm ρ h d D h d dm ρ hd D ρ hd D d D d D D D D 3 dm D D 3D CM D D D D D D D 3 3 D CM Staths STIIAIS, UoA, D