Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Transcript

1 ΦΥΣ - Διαλ.25 Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε µια νέα ποσότητα που ονοµάζεται κέντρο µάζας (ΚΜ ή CM) η οποία ακολουθεί τους νόµους του Newton Για 2 σώµατα η θέση του κέντρου µάζας ορίζεται m m 2 x x 2 m x + m 2 x 2 m + m 2

2 ΦΥΣ - Διαλ.25 2 Κέντρο µάζας περισσότερων σωµάτων Αν είχαµε N σώµατα τότε το κέντρο µάζας ορίζεται από την σχέση: Ν i m i x i M N όπου M m i i Aν το σύστηµά µας δεν αποτελείται από διακριτά σηµεία αλλά είναι ένα συνεχές σώµα τότε το κέντρο µάζας δίνεται από την σχέση x M xdm x dm N m i r i Για Ν διακριτά σώµατα σε 3 διαστάσεις η παραπάνω σχέση γράφεται r cm i N i m i Για συνεχή κατανοµή µάζας έχουµε: r cm M r dm όπου dmρdv απειροστή µάζα dm σε απειροστό όγκο dv

3 ΦΥΣ - Διαλ.25 3 Κέντρο μάζας Η τελευταία σχέση είναι μια διανυσματική εξίσωση που ουσιαστικά περιέχει 3 βαθμωτές εξισώσεις ως προς τους 3 άξονες συντεταγμένων Ν Ν m i x i m y cm i y i z cm M M i i Διαισθητικά το κέντρο της βαρυτικής μάζας (κέντρο βάρους) ενός σώματος είναι το σημείο στο οποίο η βαρύτητα δεν προκαλεί καμιά κίνηση. Ν i m i z i M Το κέντρο μάζας αντιστοιχεί σε ένα σημείο στο χώρο. Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει στο σημείο αυτό κάποια μάζα.! Πως βρίσκουμε το κέντρο μάζας ενός συστήματος O σωστότερος τρόπος είναι να λύσουμε τα ολοκληρώματα ή να πάρουμε τα αθροίσματα. Αλλά μερικές φορές συμμετρίες του συστήματος βοηθάνε να βρούμε πιο εύκολα το κέντρο μάζας

4 ΦΥΣ - Διαλ.25 4 Εύρεση του κέντρου µάζας! Συµµετρίες: Ένα οµογενές συνεχές παραλληλόγραµµο έχει το κέντρο µάζας του στο γεωµετρικό του κέντρο. Θεωρώ το κέντρο αυτό σα την αρχή των αξόνων dm r i CM r i! Άθροισµα επιµέρους τµηµάτων: " Χωρισµό του σώµατος σε επιµέρους συµµετρικά σώµατα. " Εύρεση της συνολικής µάζας του κάθε επιµέρους τµήµατος. " Εύρεση του κέντρου µάζας χρησιµοποιώντας κάθε επιµέρους τµήµα σαν υλικό σηµείο µε µάζα και θέση τη µάζα και θέση του κέντρου µάζας του! Διαφορά επιµέρους τµηµάτων: Για κάθε µάζα dm σε θέση r i υπάρχει µια στοιχειώδης µάζα dm στη συµµετρική θέση r i. Οι δύο όροι r i dm + (-r i )dm. Το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε µάζα-θέση του συστήµατος Ίδια µε την προηγούµενη µέθοδο αλλά στην περίπτωση αυτή αφαιρούµε συγκεκριµένα κανονικά γεωµετρικά σώµατα

5 ΦΥΣ - Διαλ.25 5 Εύρεση κέντρου µάζας! Πειραµατική µέθοδος Πολλές φορές το σώµα τελείως ανώµαλο και οι άλλες µέθοδοι δεν δουλεύουν. Πειραµατικά µπορούµε να βρούµε το κέντρο µάζας κρεµώντας το σώµα από 2 τυχαία σηµεία. " Όταν ένα σώµα ισορροπεί ελεύθερα κρεµασµένο από κάποιο σηµείο, η µάζα του θα κρέµεται µε το κέντρο µάζας στην κατακόρυφο ευθεία από το σηµείο στήριξης και κάτω από το σηµείο αυτό µια και θα ελαττώνει τη δυναµική ενέργεια. " Το σηµείο στο οποίο τέµνονται οι κατακόρυφοι σε δυο διαδοχικές προσπάθειες στήριξης ορίζουν το CM του σώµατος. g CM

6 ΦΥΣ - Διαλ.25 6 Παραδείγµατα Κέντρο µάζας 3 µαζών Να βρεθεί η θέση του κέντρου μάζας των 3 μαζών του σχήματος Λύση Ορίζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως παρακάτω y Tα διανύσματα θέσης των m m μαζών θα είναι: d CM r dˆ x dˆ y m d 2m m r 2m x r 3 r CM M ( r m + r 2 m 2 + r 3 m 3 ) (2m + m + m) (2mdˆ x + mdˆ y + ) r CM 4m (2mdˆ x + mdˆ y ) r CM d 4 (2 ˆ x + ˆ y )

7 Κέντρο μάζας με διαχωρισμό τμημάτων ΦΥΣ - Διαλ.25 7 Που βρίσκεται το κέντρο μάζας (CM) ενός τμήματος φύλου μετάλλου όπως στο σχήμα με επιφανειακή μάζα (μάζα/εμβαδό επιφάνειας) σ Λύση y To χωρίζουμε σε 2 τμήματα Α και Α2 L r CM A CM A 2 Α Α2 L L/2 x Χρησιμοποιούμε συμμετρία: Το CM του Α είναι στο κέντρο του παρ/μου με πλευρές L και L/2. Ανάλογα και για το Α2. Τα διανύσματα θέσης των 2 CM είναι r L x 4 ˆ + L y 2 ˆ r CM 3L x 4 ˆ + L y 4 ˆ M m ( Ar + m A 2 ) σl 2 r CM 5L x 2 ˆ + 5L y 2 ˆ 2 + σl2 4 Οι ολικές μάζες των 2 τμημάτων είναι m A L L 2 σ σl2 2 m A 2 L 2 L 2 σ σl2 4 σl 2 L x 2 4 ˆ + L y 2 ˆ + σl2 3L x 4 4 ˆ + L y 4 ˆ

8 ΦΥΣ - Διαλ.25 8 y L Κέντρο µάζας αφαιρετική µέθοδος Να βρεθεί το κέντρο µάζας ενός φύλλου µετάλλου πλευράς L από το οποίο αποκόπηκε ένα τετράγωνο τµήµα πλευράς L/2. Λύση r L Το πρόβληµα είναι το ανάστροφο του προηγούµενου Μπορούµε να υπολογίσουµε το CM του αρχικού τετραγώνου και το CM του αποκοµµένου τµήµατος και να τα προσθέσουµε. x Μάζες των 2 τµηµάτων r L x 2 ˆ + L y 2 ˆ 3L 4 ˆ x + 3L 4 ˆ y m A L L σ σl 2 m A 2 L 2 L 2 Διανύσµατα θέσης σl2 σ 4 m A 2 σl2 4 r CM M (m Ar + m A 2 ) σl 2 σl2 4 σl 2 L x 2 ˆ + L y 2 ˆ σl2 4 3L 4 ˆ x + 3L y 4 ˆ r CM 5L 2 ˆ x + 5L 2 ˆ y

9 ΦΥΣ - Διαλ.25 9 Κέντρο µάζας συνεχούς κατανοµής µάζας Να βρεθεί το κέντρο µάζας µιας ράβδου µήκους L, µάζας Μ και πυκνότητας λ Μ/L Λύση dm Χωρίς να υπολογίσουµε ξέρουµε ότι το κέντρο µάζας είναι σε L/2 (συµµετρία) Aς το ελέγξουµε µε υπολογισµούς: dm λdx M M xdm L M xλdx λx 2 L 2M λl2 2M (λl)l 2M ML 2M L 2

10 ΦΥΣ - Διαλ.25 Εύρεση κέντρου µάζας Ένα ακόµα παράδειγµα Να βρεθεί το κέντρο µάζας ενός ηµισφαιρικού κελύφους (άδεια σφαίρα) ακτίνας R και πυκνότητας µάζας σ Kg/m 2 Λύση R θ Rcosθ Rsinθ Κοιτάµε σε ένα κύκλο σε γωνία θ πάνω από τον ορίζοντα. Η κυκλική λωρίδα έχει µάζα: dm σ(da) σ(µηκος)(παχος) dm σ(2π Rcosθ)(Rdθ) Όλα τα σηµεία στο κύκλο αυτό έχουν y Rsinθ άρα y CM M y dm 2πR 2 σ π / 2 (Rsinθ)(2πR 2 σ cosθdθ) y CM R π / 2 sinθ cosθdθ R sin2 θ 2 π / 2 y CM R 2 Πόσο είναι το x CM?