1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση

1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό αναλύονται πρότυπα ελέγχου αποθεμάτων για προϊόντα με σταθερή ζήτηση. Παρότι η υπόθεση της σταθερής ζήτησης είναι περιοριστική, τα πρότυπα που βασίζονται σε αυτήν είναι σημαντικά επειδή οι λύσεις τους είναι αρκετά εύρωστες ως προς τις παραμέτρους τους και συχνά αποτελούν μια καλή βάση εκκίνησης για πιο πολύπλοκα πρότυπα. Επίσης, είναι χρήσιμα γιατί διευκολύνουν στην ανάδειξη σημαντικών εννοιών και μεθόδων στην περιοχή της επιχειρησιακής διοίκησης, σε ένα σχετικά απλό πλαίσιο. Το κεντρικό πρότυπο αναφοράς είναι το πρότυπο οικονομικής ποσότητας παραγγελίας. Αρχικά, παρουσιάζεται η βασική μορφή του προτύπου αυτού που αναδεικνύει με λιτό τρόπο την αντιστάθμιση του σταθερού κόστους παραγγελίας και του κόστους διατήρησης αποθέματος. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται γενικεύσεις ή επεκτάσεις του βασικού προτύπου που περιλαμβάνουν περιορισμούς στις ποσότητες παραγγελίας, εκπτώσεις για μεγάλες παραγγελίες, χρονικά μεταβαλλόμενη αξία κεφαλαίου, ελλείψεις προϊόντων, πολλαπλά προϊόντα, περιορισμένη δυναμικότητα παραγωγής, κ.α. 1.2 Το Βασικό Πρότυπο Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας Το βασικό πρότυπο της Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας (ΟΠΠ) αναφέρεται στο πρόβλημα της παραγγελιοδοσίας ενός προϊόντος με σταθερή ζήτηση όπου κάθε παραγγελία εγείρει ένα σημαντικό σταθερό κόστος. Η ΟΠΠ είναι η ποσότητα που πρέπει να παραγγέλνεται για την αναπλήρωση του αποθέματος του προϊόντος με σκοπό την οικονομικότερη (βέλτιστη) αντιστάθμιση του σταθερού κόστους παραγγελίας και του κόστους διατήρησης αποθέματος. Για την ανάλυση της αντιστάθμισης αυτής γίνονται οι εξής υποθέσεις: (1) Η ζήτηση του προϊόντος είναι συνεχής και με σταθερό ρυθμό. (2) Ο χρονικός ορίζοντας του προβλήματος είναι άπειρος. (3) Η ελλείψεις του προϊόντος απαγορεύονται. (4) Οι παραγγελίες για την αναπλήρωση του αποθέματος γίνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα που ονομάζονται κύκλοι. (5) Κάθε παραγγελία εγείρει ένα σταθερό κόστος (ανεξάρτητα από την ποσότητα παραγγελίας) και ένα μεταβλητό κόστος (ανάλογο με την ποσότητα παραγγελίας). (6) Η αναπλήρωση του αποθέματος γίνεται στιγμιαία. 1

2 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση (7) Η διατήρηση αποθέματος εγείρει ένα κόστος ανάλογο με το επενδυμένο κεφάλαιο σε απόθεμα. Οι βασικές παράμετροι του προτύπου είναι οι εξής: λλ = ρυθμός ζήτησης (μονάδες προϊόντος ανά μονάδα χρόνου), KK = σταθερό κόστος παραγγελίας ( ανά παραγγελία), cc = μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας ( ανά μονάδα προϊόντος), II = κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου ( ανά επενδυμένο σε απόθεμα ανά μονάδα χρόνου), h = μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος ( ανά μονάδα αποθέματος ανά μονάδα χρόνου). Το μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος είναι το κόστος κεφαλαίου που έχει επενδυθεί σε απόθεμα και υπολογίζεται ως εξής: Η μεταβλητή απόφασης είναι η εξής: h = IIII. (1.1) QQ = ποσότητα παραγγελίας (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία). Το Σχήμα 1-1 δείχνει τα διαγράμματα των αθροιστικών καμπυλών παραγγελιών και ζήτησης συναρτήσει του χρόνου για δεδομένη ποσότητα παραγγελίας QQ. Η καμπύλη των παραγγελιών αυξάνεται κατά βαθμίδες ύψους QQ κάθε φορά που γίνεται μια παραγγελία και είναι ασυνεχής από αριστερά. Η καμπύλη της ζήτησης αυξάνεται συνεχώς με σταθερή κλίση λλ. Η υψομετρική διαφορά μεταξύ των δύο αυτών καμπυλών είναι το επίπεδο αποθέματος. Αθροιστικές ποσότητες Παραγγελίες Ζήτηση Απόθεμα Χρόνος Σχήμα 1-1. Αθροιστικές παραγγελίες και ζήτηση συναρτήσει του χρόνου στο βασικό πρότυπο ΟΠΠ. Το Σχήμα 1-2 δείχνει το διάγραμμα του αποθέματος συναρτήσει του χρόνου. Το απόθεμα αυξάνεται κατά QQ κάθε φορά που γίνεται μία παραγγελία και μειώνεται με σταθερό ρυθμό λλ μεταξύ των παραγγελιών μέχρι να μηδενιστεί. Η παραγγελία δίνεται αμέσως μόλις μηδενιστεί το απόθεμα και η ποσότητα παραγγελίας είναι άμεσα διαθέσιμη.

Το Βασικό Πρότυπο Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας 3 Απόθεμα Σχήμα 1-2. Απόθεμα συναρτήσει του χρόνου στο βασικό πρότυπο ΟΠΠ. Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών παραγγελιών ονομάζεται χρόνος κύκλου ή περιόδου. Το αντίστροφο του χρόνου κύκλου είναι η συχνότητα παραγγελιών. Για τις δύο αυτές ποσότητες χρησιμοποιούμε τον κάτωθι συμβολισμό: TT = χρόνος κύκλου (μονάδες χρόνου ανά παραγγελία), NN = συχνότητα παραγγελιών (αριθμός παραγγελιών (κύκλων) ανά μονάδα χρόνου). Είναι προφανές από την ανάλυση των ορθογωνίων τριγώνων του Σχήματος 1-2 ότι οι ποσότητες λλ, QQ, TT και NN σχετίζονται μεταξύ τους ως εξής: ΤΤ = 1 NN = QQ λλ. (1.2) Να σημειωθεί ότι οποιαδήποτε από τις τρεις ποσότητες QQ, TT και NN μπορεί να θεωρηθεί ως η κύρια μεταβλητή απόφασης αφού οι άλλες δύο ποσότητες ορίζονται μονοσήμαντα από τις ανωτέρω σχέσεις. Για δεδομένη ποσότητα παραγγελίας QQ, το μέσο κόστος παραγγελίας ανά μονάδα χρόνου ισούται με το συνολικό σταθερό και μεταβλητό κόστος παραγγελίας ανά κύκλο δια του χρόνου κύκλου και υπολογίζεται ως εξής: 1 TT (KK + cccc) = KK λλ QQ + ccλλ. Χρόνος Αντίστοιχα, το μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος ανά μονάδα χρόνου ισούται με το συνολικό κόστος διατήρησης αποθέματος ανά κύκλο δια του χρόνου κύκλου και υπολογίζεται ως εξής: TT 1 h (QQ λλtt)dddd = 1 TT 0 TT h QQQQ 1 2 λλtt2 = h QQ 1 λλtt = h QQ 2 2. Η ποσότητα QQ 2 στον ανωτέρω τύπο ισούται με το μέσο επίπεδο αποθέματος ανά χρόνο κύκλου αλλά και ανά μονάδα χρόνου γενικότερα, όπως άλλωστε φαίνεται και από το Σχήμα 1-2. Από τους ανωτέρω τύπους και τα Σχήματα 1-1 και 1-2 είναι προφανές ότι μια μικρή ποσότητα παραγγελίας QQ οδηγεί σε υψηλή συχνότητα παραγγελίας και χαμηλά επίπεδα αποθέματος και συνεπάγεται υψηλό μέσο σταθερό κόστος παραγγελίας και χαμηλό μέσο κόστος αποθέματος. Αντίθετα, μια μεγάλη τιμή του QQ οδηγεί σε χαμηλή συχνότητα παραγγελίας και υψηλά επίπεδα αποθέματος και συνεπάγεται χαμηλό μέσο σταθερό κόστος παραγγελίας και υψηλό μέσο κόστος αποθέματος. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί στην κάτωθι επισήμανση:

4 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Υπάρχει αντιστάθμιση μεταξύ του μέσου σταθερού κόστους παραγγελίας και του μέσου κόστους διατήρησης αποθέματος. Το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος δίνεται από το άθροισμα των ανωτέρω κοστών και συμβολίζεται με GG(QQ), δηλαδή, GG(QQ) = KKKK QQ + ccλλ + hqq 2. (1.3) Το Σχήμα 1-3 δείχνει διαγράμματα του GG(QQ) και των τριών συνιστωσών του. Η πρώτη συνιστώσα, KKλλ QQ, είναι αντιστρόφως ανάλογη του QQ και συνεπώς φθίνουσα στο QQ. Η δεύτερη συνιστώσα, ccλλ, είναι σταθερή στο QQ. Τέλος, η τρίτη συνιστώσα, hqq 2, είναι ανάλογη του QQ και συνεπώς αύξουσα στο QQ. Το άθροισμα των τριών συνιστωσών είναι μια κυρτή συνάρτηση με ένα μοναδικό ελάχιστο που επιτυγχάνεται στο σημείο QQ. To σημείο QQ είναι η ΟΠΠ. Μέσο κόστος Σχήμα 1-3. Μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος συναρτήσει της ποσότητας παραγγελίας στο πρότυπο ΟΠΠ. Για ευκολία, μπορούμε να διαχωρίσουμε το GG(QQ) σε δύο τμήματα: ένα που εξαρτάται από το QQ και το άλλο που δεν εξαρτάται. Αν συμβολίσουμε με GG (QQ) το μερικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος που εξαρτάται από το QQ και ισούται με τότε, έχουμε: GG (QQ) = KKKK QQ + hqq 2, (1.4) GG(QQ) = GG (QQ) + cccc. (1.5) Για να βρεθεί το QQ χρησιμοποιείται η συνθήκη πρώτης τάξης, δηλαδή, dd(gg(qq)) dddd Η συνθήκη αυτή μπορεί να γραφτεί ως εξής: = dd(gg (QQ)) dddd KKλλ QQ 2 + h 2 = 0. = 0.

Το Βασικό Πρότυπο Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας 5 Η ανωτέρω εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και έχει δύο λύσεις: μία αρνητική και μία θετική. Η αρνητική δεν έχει φυσική σημασία και απορρίπτεται. Η θετική λύση είναι η ΟΠΠ και είναι Η συνθήκη δευτέρου βαθμού είναι: dd 2 (GG(QQ)) ddqq 2 QQ = 2KKKK h. (1.6) = dd2 (GG (QQ)) ddqq 2 = 2KKλλ QQ 3. Από την ανωτέρω έκφραση φαίνεται ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική για οποιαδήποτε θετική τιμή του QQ επιβεβαιώνοντας ότι το GG(QQ) είναι κυρτή συνάρτηση και συνεπώς το QQ το ελαχιστοποιεί και δεν το μεγιστοποιεί. Από τον τύπο (1.6) είναι προφανές ότι η ΟΠΠ δεν εξαρτάται άμεσα από το μεταβλητό κόστος παραγγελίας cc. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού ο μόνος όρος του GG(QQ) που περιλαμβάνει το cc, δηλαδή ο όρος cccc, δεν είναι συνάρτηση του QQ, όπως προαναφέρθηκε. Το QQ εξαρτάται όμως έμμεσα από το cc, επειδή το μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος h είναι συνάρτηση του cc από τη σχέση (1.1). Μια άλλη επίσης αναμενόμενη παρατήρηση είναι ότι το QQ είναι αύξον στο σταθερό κόστος KK και στο ρυθμό ζήτησης λλ και φθίνον στο μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος h. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι το QQ συμπίπτει με το σημείο τομής των δύο συνιστωσών του GG (QQ), KKλλ QQ και hqq 2. Ο βέλτιστος χρόνος κύκλου TT και η βέλτιστη συχνότητα παραγγελίας NN που αντιστοιχούν στην ΟΠΠ προκύπτουν εύκολα αν αντικατασταθεί η ποσότητα παραγγελίας από την έκφραση (1.6) στις εκφράσεις (1.2), ως εξής: TT = 1 NN = QQ λλ = 2KK λλh. (1.7) Ομοίως, προκύπτει το ελάχιστο μερικό και ολικό μέσο κόστος, GG (QQ ) και GG(QQ ), αν αντικατασταθεί η ποσότητα QQ στις σχέσεις (1.4) και (1.5), ως εξής: GG (QQ ) = 2KKKKh, (1.8) GG(QQ ) = GG (QQ ) + ccλλ = 2KKKKh + ccλλ. (1.9) Παράδειγμα 1-1. Ένας χονδρέμπορος ποτών προμηθεύεται μια μπύρα από μια ζυθοποιία. Τα μεταφορικά και τα πάγια έξοδα διαμορφώνουν το σταθερό κόστος παραγγελίας σε 144 ανά παραγγελία ενώ το κόστος αγοράς είναι 1,20 ανά φιάλη. Ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας είναι αμελητέος. Ο χονδρέμπορος πουλάει την μπύρα σε καταστήματα τροφίμων και εστιατόρια με σταθερό ρυθμό 72 κιβώτια των 24 φιαλών ανά μήνα. Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου είναι 15% ετησίως. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων;

6 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Λύση: Πρώτα, μετατρέπουμε το επιτόκιο σε μηνιαία βάση επειδή ο ρυθμός της ζήτησης είναι εκφρασμένος σε μηνιαία βάση. Έτσι το μηνιαίο επιτόκιο είναι ΙΙ = 0,15/12 = 0,0125 ανά ανά μήνα. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το μεταβλητό κόστος παραγγελίας ανά κιβώτιο που είναι η μονάδα μέτρησης του προϊόντος. Το μεταβλητό κόστος παραγγελίας είναι cc = (1,20)(24) = 28,8 ανά κιβώτιο. Συνεπώς, το μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος είναι h = IIII = (0,0125)(28,8) = 0,36 ανά κιβώτιο ανά μήνα. Αντικαθιστώντας στον τύπο (1.6), έχουμε: QQ = 2KKKK h = (2)(144)(72) 0,36 = 240 κιβώτια ανά παραγγελία. Ο συνεπαγόμενος βέλτιστος χρόνος κύκλου είναι TT = QQ λλ = 240 72 = 3,3333 μήνες. Το μερικό και το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος υπολογίζονται από τον τύπους (1.8) και (1.9) ως εξής: GG (QQ ) = 2KKKKh = (2)(144)(72)(0,36) = 86,4 ανά μήνα και GG(QQ ) = GG (QQ ) + cccc = 86,4 + (28,8)(72) = 2160 ανά μήνα. Συνεπώς, για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το GG(QQ ), ο χονδρέμπορος πρέπει να πουλάει τη μπύρα στην τιμή των GG(QQ ) λλ = 2160 72 = 30 ανά κιβώτιο που ισοδυναμεί με 30 24 = 1,25 ανά φιάλη. 1.3 Ανάλυση Ευαισθησίας Για οποιαδήποτε ποσότητα παραγγελίας QQ ισχύει η κάτωθι σχέση: GG (QQ) GG (QQ ) (KKλλ QQ = ) + (hqq 2) = 1 2KKKKh QQ (ΚΚΚΚ)2 2KKKKh + QQ h2 2 2KKKKh = QQ 2QQ + = 1 2 QQ QQ + QQ QQ > 1, QQ QQ. QQ 2QQ (1.10) Η σχέση (1.10) εκφράζει τον λόγο του μερικού μέσου κόστους GG (QQ) για οποιαδήποτε ποσότητα παραγγελίας QQ QQ προς το ελάχιστο μερικό μέσο κόστος GG (QQ ) για την ΟΠΠ. Αν υποθέσουμε ότι QQ = 2QQ, ο ανωτέρω λόγος ισούται με 1 2 (1 2 + 2 1) = 1,25. Αυτό δείχνει ότι μια απόκλιση 100% στην ποσότητα παραγγελίας σε σχέση με την ΟΠΠ οδηγεί σε αύξηση του μερικού μέσου κόστους μόνον κατά 25%. Η δε ποσοστιαία αύξηση του ολικού μέσου κόστους θα είναι ακόμη μικρότερη, δεδομένου ότι GG(QQ) GG(QQ ) = GG (QQ) + cccc GG (QQ ) + ccλλ < GG (QQ) GG (QQ ) > 1, QQ QQ. Η σχέση (1.10) ισχύει ακόμα κι αν εκφράσουμε τα μέσα κόστη συναρτήσει του χρόνου κύκλου αντί της ποσότητας παραγγελίας, χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.2). Σε αυτή την περίπτωση, η (1.10) παίρνει τη μορφή Οι ανωτέρω παρατηρήσεις οδηγούν στην εξής επισήμανση: GG (ΤΤ) GG (ΤΤ ) = 1 2 ΤΤ ΤΤ + ΤΤ ΤΤ > 1, TT TT. (1.11) Το μερικό και ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος έχει μικρή ευαισθησία στην ποσότητα παραγγελίας (και στον αντίστοιχο χρόνο κύκλου) και κατ επέκταση σε σφάλματα εκτίμησης των παραμέτρων κόστους και ζήτησης που μπορεί να οδηγήσουν σε εσφαλμένες τιμές της ποσότητας παραγγελίας (και του αντίστοιχου χρόνου κύκλου).

Μη Μηδενικός Χρόνος Αναπλήρωσης Αποθέματος 7 1.4 Μη Μηδενικός Χρόνος Αναπλήρωσης Αποθέματος Μια από τις υποθέσεις του βασικού προτύπου ΟΠΠ είναι ότι η αναπλήρωση του αποθέματος γίνεται στιγμιαία. Η υπόθεση αυτή είναι εύλογη στην περίπτωση όπου ο χρόνος αναπλήρωσης του αποθέματος είναι αμελητέος σε σχέση με τον χρόνο κύκλου. Ακόμα όμως κι αν ο χρόνος αυτός είναι σημαντικός αλλά σταθερός και ίσος με LL, τίποτε δεν αλλάζει επί της ουσίας στο πρότυπο ΟΠΠ. Απλά, η παραγγελία αναπλήρωσης του αποθέματος δεν δίνεται τη στιγμή που μηδενίζεται το απόθεμα αλλά LL χρονικές μονάδες πριν μηδενιστεί το απόθεμα. Αν LL > TT, κάθε παραγγελία που δίνεται φθάνει στην αποθήκη σε περισσότερους του ενός κύκλους. Από την σκοπιά του αποθέματος, η παραγγελία δίνεται όταν το απόθεμα διασχίσει καθώς μειώνεται ένα συγκεκριμένο σημείο που ονομάζεται σημείο αναπαραγγελίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1-4. Για το σημείο αυτό χρησιμοποιούμε τον κάτωθι συμβολισμό: RR = σημείο αναπαραγγελίας. Το σημείο RR δίνεται από τον κάτωθι τύπο: RR = λλll, λλ(ll mod TT), αν 0 LL < ΤΤ, αν LL ΤΤ, (1.12) όπου το LL mod TT συμβολίζει το υπόλοιπο της διαίρεσης του LL με το TT. Να σημειωθεί ότι αν το LL είναι μηδέν ή ακέραιο πολλαπλάσιο του TT, το RR είναι μηδέν. Απόθεμα Απόθεμα Σχήμα 1-4. Σημείο αναπαραγγελίας στο πρότυπο ΟΠΠ όταν ο χρόνος αναπλήρωσης του αποθέματος, LL, είναι μη-μηδενικός, για τις περιπτώσεις όπου: (α) 0 LL < ΤΤ και (β) LL ΤΤ. Παράδειγμα 1-2. Στο Παράδειγμα 1-1, βρείτε το σημείο αναπαραγγελίας για τις περιπτώσεις όπου ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας είναι (α) 0,5 μήνας και (β) 3,5 μήνες. Λύση: (α) Χρόνος Αποστολή παραγγελίας Η λύση του προβλήματος παραμένει η ίδια, συνεπώς η ΟΠΠ είναι QQ = 240 κιβώτια και ο βέλτιστος χρόνος κύκλου είναι TT = QQ λλ = 240 72 = 3,3333 μήνες. Το σημείο αναπαραγγελίας δίνεται από τον τύπο (1.12) και υπολογίζεται ως εξής για τις δύο περιπτώσεις: (α) RR = λλll = (72)(0,5) = 36 κιβώτια και (β) RR = λλ(ll mod TT) = (72)(3,5 mod 3,3333) = (72)(1,1666) = 12 κιβώτια. 1.5 ΟΠΠ με Περιορισμούς Αποστολή παραγγελίας Χρόνος Το πρόβλημα εύρεσης της ΟΠΠ μορφοποιήθηκε ως ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης της μηγραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης (1.5) χωρίς κανέναν περιορισμό πέραν του φυσικού περιορισμού της μη-αρνητικότητας του QQ. Στη ενότητα αυτή, θα δούμε κάποιες επεκτάσεις του (β)

8 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση προτύπου όπου τίθενται περιορισμοί είτε στην μεταβλητή απόφασης είτε σε παραμέτρους του προβλήματος. 1.5.1 Ανώτατα και Κατώτατα Όρια στην Ποσότητα Παραγγελίας ή στον Χρόνο Κύκλου Η πρώτη επέκταση αφορά στην περίπτωση όπου η ποσότητα παραγγελίας ή εναλλακτικά ο χρόνος κύκλου υπόκειται σε κάποιο ανώτατο ή/και κατώτατο όριο. Τέτοια όρια μπορεί να έχουν τεχνική ή οικονομική προέλευση. Παραδείγματα ορίων με τεχνική προέλευση είναι το ανώτατο όριο στην ποσότητα παραγγελίας λόγω της περιορισμένης χωρητικότητας του χώρου αποθήκευσης ή μεταφοράς του προϊόντος και το ανώτατο όριο στον χρόνο κύκλου λόγω της περιορισμένης διάρκειας ζωής του προϊόντος που δεν επιτρέπει την αποθήκευσή του πέρα από την ημερομηνία λήξης του. Παραδείγματα ορίων οικονομικής προέλευσης είναι το κατώτατο όριο στην ποσότητα παραγγελίας ή τον χρόνο κύκλου που έχει επιβληθεί από τον προμηθευτή ή έχει συμφωνηθεί μαζί του. Η ανάλυση στην περίπτωση ύπαρξης ανώτατων και κατώτατων ορίων είναι απλή. Έστω ότι η ποσότητα παραγγελίας υπόκειται στον περιορισμό QQ mmmmmm QQ QQ mmmmmm για κάποιες τιμές QQ mmmmmm, QQ mmmmmm. Σε αυτήν την περίπτωση, λόγω της κυρτότητας της αντικειμενικής συνάρτησης GG(QQ), είναι εύκολο να δειχτεί ότι η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας υπό τον ανωτέρω περιορισμό, έστω QQ cccccccccccc, είναι είτε η ΟΠΠ QQ που δίνεται από τον τύπο (1.6) είτε μία από τις ακραίες τιμές QQ mmmmmm, QQ mmmmmm, ως εξής: QQ cccccccccccc QQ mmmmmm, αν QQ < QQ, = QQ, αν QQ mmmmmm QQ QQ mmmmmm, QQ mmmmmm, αν QQ > QQ mmmmmm. Οι τρεις διαφορετικές περιπτώσεις της θέσης του QQ σε σχέση με το διάστημα QQ mmmmmm, QQ mmmmmm που αναφέρονται στην ανωτέρω έκφραση φαίνονται στο Σχήμα 1-5. Μέσο κόστος (α) (β) (γ) Σχήμα 1-5. Οι τρεις διαφορετικές περιπτώσεις της θέσης του QQ σε σχέση με το διάστημα [QQ mmmmmm, QQ mmmmmm ]. Η ανωτέρω έκφραση μπορεί να γραφτεί συνοπτικά ως εξής: QQ cccccccccccc = max[min(qq, QQ mmmmmm ), QQ mmmmmm ]. (1.13)

ΟΠΠ με Περιορισμούς 9 Σε περίπτωση που ο περιορισμός αναφέρεται στον χρόνο κύκλου αντί για την ποσότητα παραγγελίας, η λύση είναι παρόμοια. Συγκεκριμένα, έστω ότι η χρόνος κύκλου υπόκειται στον περιορισμό ΤΤ mmmmmm ΤΤ ΤΤ mmmmmm. Τότε, ο βέλτιστος χρόνος κύκλου υπό τον ανωτέρω περιορισμό, έστω ΤΤ cccccccccccc, μπορεί να υπολογισθεί ως εξής: ΤΤ cccccccccccc = max[min(ττ, ΤΤ mmmmmm ), ΤΤ mmmmmm ]. (1.14) Εναλλακτικά, πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέρη του περιορισμού του TT με λλ, έχουμε ΤΤ mmmmmm λλ QQ ΤΤ mmmmmm λλ, οπότε ο περιορισμός του TT μετατρέπεται σε περιορισμό του QQ. Η λύση είναι πάλι ίδια με την (1.13), όπου QQ mmmmmm = ΤΤ mmmmmm λλ και QQ mmmmmm = ΤΤ mmmmmm λλ. Ομοίως, σε περίπτωση που ο περιορισμός αναφέρεται στη συχνότητα παραγγελίας, δηλαδή, ΝΝ mmmmmm ΝΝ ΝΝ mmmmmm, αντιστρέφοντας όλα τα μέρη του περιορισμού και συνεπώς και την φορά των ανισοτήτων, έχουμε 1 ΝΝ mmmmmm ΤΤ 1 ΝΝ mmmmmm. Με αυτόν τον τρόπο, ο περιορισμός του ΝΝ μετατρέπεται σε περιορισμό του ΤΤ, με TT mmmmmm = 1 ΝΝ mmmmmm και TT mmmmmm = 1 ΝΝ mmmmmm. Παράδειγμα 1-3. Να λυθεί ξανά το Παράδειγμα 1-1 υποθέτοντας ότι η μπύρα που προμηθεύεται ο χονδρέμπορος δεν είναι παστεριωμένη με αποτέλεσμα να έχει περιορισμένο χρόνο ζωής και ο χονδρέμπορος να μην θέλει να την κρατήσει στο ράφι του περισσότερο από 2,5 μήνες. Επίσης, η ζυθοποιία που προμηθεύει τη μπύρα στον χονδρέμπορο δεν δέχεται παραγγελίες μικρότερες των 150 κιβωτίων. Να υπολογισθεί η αύξηση στο μερικό και ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος που οφείλεται στους περιορισμούς. Λύση: Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν οι περιορισμοί ΤΤ TT mmmmmm = 2,5 μήνες και QQ QQ mmmmmm = 150 κιβώτια. Ο πρώτος περιορισμός μπορεί να μετατραπεί σε περιορισμό του QQ αν και τα δύο του μέρη πολλαπλασιαστούν με λλ ως εξής: QQ QQ mmmmmm = TT mmmmmm λλ. Αντικαθιστώντας τις τιμές, έχουμε: QQ (2,5)(72) = 180. Ο συνδυασμός των δύο περιορισμών μπορεί να γραφεί ως εξής: 150 QQ 180. Από τη σχέση (1.13), προκύπτει QQ ccccssssss = max[min(qq, QQ mmmmmm ), QQ mmmmmm ] = max[min(240,180), 150] = 180 κιβώτια ανά παραγγελία. Ο αντίστοιχος χρόνος κύκλου είναι TT = QQ cccccccccccc λλ = 180 72 = 2,5 μήνες, δηλαδή το ανώτατο χρονικό όριο που έχει θέσει ο χονδρέμπορος λόγω του περιορισμένου χρόνου ζωής της μπύρας. Το μερικό και το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος υπολογίζονται από τους τύπους (1.4) και (1.5) ως εξής: GG (QQ) = KKKK QQ + hqq 2 = (144)(72) 180 + (0,36)(180) 2 = 90 ανά μήνα και GG(QQ) = GG (QQ) + cccc = 90 + (28,8)(72) = 2163,6 ανά μήνα. Συνεπώς, για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το GG(QQ ), ο χονδρέμπορος πρέπει να πουλάει τη μπύρα στην τιμή των GG(QQ ) λ = 2163,6 72 = 30,05 ανά κιβώτιο που ισοδυναμεί με 30,05 24 = 1,2521 ανά φιάλη. Να σημειωθεί ότι ο λόγος του μερικού μέσου κόστους για την ποσότητα παραγγελίας QQ προς το ελάχιστο μερικό μέσο κόστος GG (QQ ) για την ΟΠΠ είναι GG (QQ) GG (QQ ) = 90 86,4 = 1,0417. Συνεπώς, η αύξηση στο μερικό μέσο κόστος είναι μόνο 4,17%. Ο αντίστοιχος λόγος για το ολικό μέσο κόστος, GG(QQ) GG(QQ ) = 2163,3 2160 = 1,0017. Συνεπώς, η αύξηση στο ολικό μέσο κόστος είναι μόλις 0,17%, δηλαδή κάτω από δύο τοις χιλίοις. 1.5.2 Στρογγυλοποίηση της Ποσότητας Παραγγελίας ή του Χρόνου Κύκλου σε Ακεραίους Μια άλλη συνήθης περίπτωση περιορισμού είναι να απαιτείται η ποσότητα παραγγελίας να παίρνει ακέραιες τιμές επειδή το ίδιο το προϊόν βρίσκεται σε ακέραια μορφή (π.χ. τεμάχια, φιάλες, κτλ.) Σε αυτή την περίπτωση, η απλούστερη και πρακτικότερη λύση είναι να

10 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση στρογγυλέψουμε την ΟΠΠ στον κοντινότερο ακέραιο. Στην καλύτερη περίπτωση, αυτή θα είναι και η βέλτιστη ακέραια λύση. Στην χειρότερη περίπτωση, η βέλτιστη ακέραια λύση θα είναι ο αμέσως επόμενος ή προηγούμενος ακέραιος, αλλά λόγω της περιορισμένης ευαισθησίας του ολικού μέσου κόστους στην ποσότητα παραγγελίας, το σφάλμα θα είναι αμελητέο. Σε κάθε περίπτωση πάντως η βέλτιστη ακέραια λύση μπορεί να βρεθεί και αναλυτικά. Συγκριμένα, επειδή η GG(QQ) είναι κυρτή συνάρτηση της συνεχούς μεταβλητής απόφασης QQ, αν περιορίσουμε την ποσότητα παραγγελίας στις διακριτές τιμές = 1,2,3,, τότε η τιμή του ακεραίου που ελαχιστοποιεί την GG() είναι ο μικρότερος μη-αρνητικός ακέραιος για τον οποίο GG( ) GG( + 1). Από την (1.3), η ανωτέρω συνθήκη μπορεί να γραφτεί ως KKKK + h 2 KKKK + 1 + ( + 1)h 2 που απλοποιείται στην ανισότητα ( + 1) 2ΚΚΚΚ h. Εν κατακλείδι: = arg min =1,2,3, 2KKKK ( + 1). (1.15) h Ένας απλοϊκός τρόπος για να υπολογισθεί το είναι να δοκιμάσουμε διαδοχικά τις τιμές = 1,2,3, και να σταματήσουμε στην πρώτη και συνεπώς μικρότερη τιμή που ικανοποιεί την ανισότητα στον τύπο (1.15). Όμως, ο τύπος (1.15) μπορεί να λυθεί για το και αναλυτικά αναγράφοντας την ανισότητα ως εξής: 2 + 2KKλλ h 0. Το αριστερό μέλος της ανωτέρω ανισότητας είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού που έχει δύο ρίζες: μία αρνητική και μία θετική. Η ανισότητα ικανοποιείται για τιμές του μικρότερες ή ίσες της αρνητικής ρίζας και μεγαλύτερες ή ίσες της θετικής ρίζας. Οι τιμές που είναι μικρότερες ή ίσες της αρνητικής ρίζας είναι αρνητικές κι δεν έχουν φυσική σημασία. Συνεπώς, κρατούμε μόνο τις τιμές που είναι μεγαλύτερες ή ίσες της θετικής ρίζας η οποία είναι 2KKλλ h + 1 4 1 2. Κατά συνέπεια, ο μικρότερος ακέραιος που λύνει την ανισότητα είναι = 2KKλλ h + 1 4 1. (1.16) 2 1.5.3 Στρογγυλοποίηση της Ποσότητας Παραγγελίας ή του Χρόνου Κύκλου σε Ακέραια Πολλαπλάσια μιας Βασικής Ποσότητας Παραγγελίες με τη Μέθοδο των Δυνάμεων του 2 Μια επέκταση του περιορισμού της ακεραιότητας της τιμής της ποσότητας παραγγελίας είναι να απαιτείται η ποσότητα αυτή να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο κάποιας βασικής ποσότητας QQ BB, π.χ., της ποσότητας που χωράει σε μία παλέτα, σε ένα φορτηγό, ή σε ένα κοντέινερ. Το ίδιο ισχύει και για τον χρόνο κύκλου ο οποίος μπορεί να απαιτείται να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο κάποιου βασικού χρόνου, π.χ., μίας βάρδιας, μίας εβδομάδας ή ενός μηνός.

ΟΠΠ με Περιορισμούς 11 Μια ειδική περίπτωση είναι το ακέραιο πολλαπλάσιο αυτό να περιορίζεται σε μια δύναμη του 2, δηλαδή να μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 1, 2, 4, 8, 16, Στην περίπτωση αυτή, η ποσότητα παραγγελίας περιορίζεται στις τιμές QQ = 2 kk QQ BB, kk = 0,1,2,3, Ομοίως, αν η μεταβλητή απόφασης είναι ο χρόνος κύκλου, ο χρόνος αυτός περιορίζεται στις τιμές ΤΤ = 2 kk ΤΤ BB, kk = 0,1,2,3,, όπου το ΤΤ BB είναι κάποιος βασικός χρόνος κύκλου. Η πολιτική παραγγελίας με τη μέθοδο των δυνάμεων του 2 που περιγράψαμε πιο πάνω είναι μια ευρέως διαδεδομένη πολιτική που αναφέρεται συχνά στην βιβλιογραφία της Διοίκησης Παραγωγής και Λειτουργιών. Για να δούμε τα πλεονεκτήματά της θα απαντήσουμε στα εξής ερωτήματα: (α) Γιατί το να μην είναι ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός αλλά μια δύναμη ενός ακεραίου; (β) Γιατί ο ακέραιος αυτός να είναι το 2 και όχι κάποιος άλλος φυσικός αριθμός; Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι ότι όταν υπάρχουν πολλά προϊόντα ή πολλές αποθήκες, είναι επιθυμητό να υπάρχει συγχρονισμός μεταξύ των παραγγελιών των διαφορετικών προϊόντων ή αποθηκών. Ένας τέτοιος συγχρονισμός επιτυγχάνεται καλύτερα όταν ο χρόνος κύκλου κάθε προϊόντος μπορεί να εκφραστεί ως μια δύναμη του ιδίου φυσικού αριθμού. Για να γίνει κατανοητό αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι οι παραγγελίες τριών προϊόντων, Α, Β και Γ, έχουν χρόνους κύκλου 3, 9 και 27 (δηλαδή, 3 1, 3 2 και 3 3 ) ημέρες, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι παραγγέλνεται το προϊόν Α τις ημέρες 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63,, το προϊόν Β τις ημέρες 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63,, και το προϊόν Γ τις ημέρες 0, 27, 54,, Με τον τρόπο αυτό, οι παραγγελίες όλων των προϊόντων συμπίπτουν τις ημέρες 0, 27, 54,, ενώ οι παραγγελίες των προϊόντων Α και Β συμπίπτουν επιπλέον και τις ημέρες 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, Η σύμπτωση αυτή στις ημερομηνίες επιτρέπει την ταυτόχρονη παραγγελία πολλών προϊόντων που μπορεί να είναι ιδιαίτερα επωφελής οικονομικά αν τα προϊόντα προέρχονται από τον ίδιο προμηθευτή, επειδή θα μπορούν να μοιράζονται το σταθερό κόστος παραγγελίας. Υπάρχει όμως και η αντίθετη περίπτωση, να είναι δηλαδή επιθυμητό τα προϊόντα να παραγγέλνονται σε διαφορετικούς χρόνους, επειδή για παράδειγμα η ταυτόχρονη άφιξή τους στην αποθήκη μπορεί να δημιουργεί συνωστισμό. Στο παράδειγμα με τα τρία προϊόντα, Α, Β και Γ, η μη ταυτόχρονη παραγγελία των προϊόντων θα μπορούσε να επιτευχθεί αν παραγγέλνεται το προϊόν Α όπως πριν τις ημέρες 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63,, το προϊόν Β μετατοπισμένο κατά μία ημέρα σε σχέση με πριν, τις ημέρες 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64,, και το προϊόν Γ μετατοπισμένο κατά δύο ημέρες σε σχέση με πριν, τις ημέρες 2, 29, 56, Με τον τρόπο αυτό, κανένα προϊόν δεν παραγγέλνεται ταυτόχρονα με κάποιο άλλο. Η απάντηση στο ερώτημα (β) είναι πιο απλή και είναι η εξής. Στη χειρότερη περίπτωση, η αύξηση του μέσου κόστους αν χρησιμοποιηθεί ως πολλαπλάσιο της βασικής ποσότητας παραγγελίας (ή του βασικού χρόνου κύκλου) μια δύναμη του 2 είναι μικρότερη από την αύξηση του ιδίου κόστους αν χρησιμοποιηθεί ως πολλαπλάσιο μια δύναμη οποιουδήποτε άλλου αριθμού μεγαλύτερου του 2. Δεδομένου ότι η ποσότητα παραγγελίας περιορίζεται στις τιμές QQ = 2 kk QQ BB, kk = 0,1,2,3,, το ερώτημα τώρα είναι ποια είναι η βέλτιστη τιμή της ακέραιας δύναμης kk που ελαχιστοποιεί το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος. Επειδή η GG(QQ) είναι κυρτή συνάρτηση της συνεχούς μεταβλητής απόφασης QQ, αν περιορίσουμε την ποσότητα παραγγελίας στις διακριτές τιμές 2 kk QQ BB, kk = 0,1,2,3,, τότε η τιμή της ακέραιας δύναμης του 2 που ελαχιστοποιεί την GG(2 kk QQ BB ) είναι ο μικρότερος μη-αρνητικός ακέραιος kk για τον οποίο GG(2 kk QQ BB ) GG(2 kk +1 QQ BB ). Από την σχέση (1.3), η ανωτέρω συνθήκη μπορεί να γραφτεί ως

12 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση KKKK + 2kk hqq BB KKKK + 2 2kk hqq BB 2 kk QQ BB 2 2 2 kk QQ BB 2 που απλοποιείται στην ανισότητα 2 kk KKλλ h QQ BB, η οποία εντέλει μπορεί να γραφτεί ως 2 kk QQ 2QQ BB. Εν κατακλείδι: QQ kk = arg min kk=0,1,2,3, 2kk. (1.17) 2QQ BB Επειδή η βέλτιστη τιμή της δύναμης του δύο, kk, είναι ο μικρότερος μη-αρνητικός ακέραιος kk που ικανοποιεί την ανισότητα στον τύπο (1.17), ο αμέσως μικρότερος ακέραιος, kk 1 (αν kk 1), δεν ικανοποιεί την ανισότητα, δηλαδή 2 kk 1 < QQ 2QQ BB. Συνδυάζοντας τις δύο ανισότητες έχουμε 2 kk 1 < QQ 2QQ BB 2 kk. Αν αντιστρέψουμε τους όρους και συνεπώς τη φορά της τελευταίας ανισότητας, αυτή μπορεί να γραφτεί διαφορετικά ως εξής: QQ 2 2kk QQ BB < 2QQ. (1.18) Από τη σχέση (1.18), βλέπουμε ότι η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, που μπορεί να εκφραστεί ως μια δύναμη του 2 επί την βασική ποσότητα QQ BB, θα είναι κοντά στην ΟΠΠ. Συγκεκριμένα, θα είναι μεγαλύτερη ή ίση από 1 2 ( 0,7071) φορές το QQ και μικρότερη ή ίση από 2( 1,4142) φορές το QQ. Στην ακραία περίπτωση που η ποσότητα αυτή ισούται με QQ 2, η αύξηση στο μερικό μέσο κόστος, από τον τύπο (1.10), ισούται με GG QQ 2 GG (QQ = 1 ) 2 QQ QQ 2 + QQ 2 QQ = 1 2 2 + 1 = 1,0607. 2 Ομοίως, στην άλλη ακραία περίπτωση όπου η ποσότητα παραγγελίας τείνει στο 2QQ, η αύξηση στο μερικό μέσο κόστος ισούται με GG 2QQ GG (QQ ) = 1 QQ 2 2QQ + 2QQ QQ = 1 2 1 + 2 = 1,0607. 2 Συνεπώς, και στις δύο ακραίες και χειρότερες περιπτώσεις, η αύξηση στο μερικό μέσο κόστος είναι μόλις 6,07% που σημαίνει ότι η πολιτική παραγγελίας με τη μέθοδο των δυνάμεων του 2 είναι μια «σχεδόν βέλτιστη» πολιτική. Όπως είδαμε, η βέλτιστη τιμή της ακέραιας δύναμης kk που ελαχιστοποιεί το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος δίνεται από το τύπο (1.17). Ένας απλοϊκός τρόπος για να υπολογισθεί το kk είναι να δοκιμάσουμε διαδοχικά τις τιμές kk = 0,1,2,3, και να σταματήσουμε στην πρώτη και συνεπώς μικρότερη τιμή που ικανοποιεί την ανισότητα στον τύπο (1.17). Όμως, ο τύπος (1.17) μπορεί να λυθεί για το kk και αναλυτικά αναγράφοντας την ανισότητα ως εξής: 2 kk QQ kkln(2) ln QQ kk ln QQ 2QQ BB. 2QQ BB 2QQ BB ln(2) Ο μικρότερος ακέραιος που λύνει την ανωτέρω ανισότητα είναι

ΟΠΠ με Περιορισμούς 13 kk = ln QQ 2QQ BB. (1.19) ln(2) Να σημειωθεί ότι όλες οι ανωτέρω σχέσεις ισχύουν στο ακέραιο αν αντικατασταθούν οι ποσότητες παραγγελίας με τους χρόνους κύκλου. Συνεπώς, ο τύπος (1.19) μπορεί να γραφτεί ως εξής: kk = ln TT 2TT BB. (1.20) ln(2) Παράδειγμα 1-4. Να λυθεί ξανά το Παράδειγμα 1-1 υποθέτοντας ότι ο χονδρέμπορος μπορεί να παραγγέλνει την μπύρα μόνον σε χρόνους κύκλου που έχουν τη μορφή TT = 2 kk μήνες. Ποια είναι η επακόλουθη αύξηση του μερικού και του ολικού μέσου κόστους παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος; Λύση: Ο βασικός χρόνος κύκλου είναι TT BB = 1 μήνας ενώ ο βέλτιστος χρόνου κύκλου είναι TT = 3,333 μήνες. Από τον τύπο (1.20), έχουμε kk = ln ΤΤ 2ΤΤ BB ln(2) = ln 3,333 2(1) ln(2) = 1,2282 = 2. Συνεπώς, ο βέλτιστος χρόνος κύκλου που μπορεί να γραφτεί με την μορφή του γινομένου μιας δύναμης του 2 επί τον βασικό χρόνο κύκλου είναι TT = 2 kk ΤΤ ΒΒ = (2 2 )(1) = 4 μήνες. Η αντίστοιχη ποσότητα παραγγελίας είναι QQ = TTTT = (4)(72) = 288 (αντί για 240 που είναι το QQ ) κιβώτια ανά παραγγελία. Το μερικό και το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος υπολογίζονται από τους τύπους (1.4) και (1.5) ως εξής: GG (QQ) = KKKK QQ + hqq 2 = (144)(72) 288 + (0,36)(288) 2 = 87,84 ανά μήνα και GG(QQ) = GG (QQ) + cccc = 87,84 + (28,8)(72) = 2161,44 ανά μήνα. Συνεπώς, για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το GG(QQ ), ο χονδρέμπορος πρέπει να πουλάει τη μπύρα στην τιμή των GG(QQ) λ = 2161,44 72 = 30,02 ανά κιβώτιο που ισοδυναμεί με 30,02 24 = 1,2508 ανά φιάλη. Ο λόγος του μερικού μέσου κόστους για την ποσότητα παραγγελίας QQ προς το ελάχιστο μερικό μέσο κόστος GG (QQ ) για την ΟΠΠ είναι GG (QQ) GG (QQ ) = 87,84 86,4 = 1,0116. Συνεπώς, η αύξηση στο μερικό μέσο κόστος είναι μόνο 1,16%. Για το ολικό μέσο κόστος, ισχύει: GG(QQ) GG(QQ ) = 2161,44 2160 = 1,0007. Συνεπώς, η αύξηση στο ολικό μέσο κόστος είναι μόλις 0,07%, δηλαδή κάτω από ένα τοις χιλίοις. 1.5.4 Πεπερασμένος Χρονικός Ορίζοντας Μια άλλη περίπτωση περιορισμού αφορά τον χρονικό ορίζοντα του προβλήματος ο οποίος στο βασικό πρότυπο ΟΠΠ θεωρείται άπειρος. Στην πραγματικότητα, ποτέ ο ορίζοντας δεν θα είναι άπειρος αλλά μπορεί να είναι πολύ μεγάλος σε σχέση με τον χρόνο κύκλου και με το διάστημα όπου η ζήτηση παραμένει πρακτικά σταθερή, οπότε η υπόθεση του απείρου ορίζοντα εξυπηρετεί στην ανάλυση και στην επίλυση του προβλήματος στην πράξη. Υπάρχει όμως η περίπτωση ο ορίζοντας να είναι πραγματικά πεπερασμένος, όπως για παράδειγμα συμβαίνει όταν μια αποθήκη σκοπεύει να διακινεί ένα εποχιακό προϊόν για ένα περιορισμένο διάστημα, ή ένα προϊόν το οποίο θα αντικατασταθεί από μία νεότερη έκδοσή του μετά από κάποιο διάστημα. Σε αυτή τη ενότητα αναλύουμε μια τέτοια περίπτωση. Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι ο ορίζοντας του προβλήματος είναι πεπερασμένος και ίσος με ΤΤ ΗΗ και ότι το απόθεμα στην αρχή και το τέλος του ορίζοντα είναι υποχρεωτικά μηδέν. Η βασική

14 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση υπόθεση ότι η ζήτηση έχει σταθερό ρυθμό καθ όλη τη διάρκεια του ορίζοντα παραμένει. Εφόσον το απόθεμα στην αρχή και στο τέλος του ορίζοντα είναι μηδέν, μέσα στον ορίζοντα θα πρέπει να γίνει ένας αριθμός παραγγελιών που θα οδηγήσει στο ίδιο αριθμό πανομοιότυπων πλήρων κύκλων αναπλήρωσης και εξάντλησης του αποθέματος που καλύπτουν όλο τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1-6. Απόθεμα Έστω Σχήμα 1-6. Απόθεμα συναρτήσει του χρόνου στο πρότυπο ΟΠΠ με πεπερασμένο ορίζοντα. = αριθμός παραγγελιών στον ορίζοντα ΤΤ ΗΗ. Για δεδομένη τιμή του, ο χρόνος κύκλου υποχρεωτικά είναι TT = TT HH. (1.21) Κατά συνέπεια, η ποσότητα παραγγελίας είναι QQ = TTTT = TT HH λλ. Συνεπώς, ο ακέραιος προσδιορίζει επακριβώς τον χρόνο κύκλου και την ποσότητα παραγγελίας και μπορεί να θεωρηθεί ως η μεταβλητή απόφασης. Το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος κατά τη διάρκεια του ορίζοντα TT HH για δεδομένο, GG(), δίνεται από τον τύπο GG() = KK TT + cccc + hqq 2 = TT HH + cccc + htt HHλλ 2. (1.22) Η συνάρτηση GG() έχει την ίδια μορφή με την GG(QQ) στον τύπο (1.3) και είναι κυρτή συνάρτηση του. Επειδή όμως το πρέπει υποχρεωτικά να πάρει ακέραια τιμή, η τιμή του που ελαχιστοποιεί το GG() είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο GG( ) GG( + 1). Από την (1.22), η ανωτέρω συνθήκη μπορεί να γραφτεί ως KK TT HH + h htt HHλλ 2 2 λλ ( + 1)KK + htt HH TT HH 2( + 1) που απλοποιείται στην ανισότητα KK TT HH htt HH λλ (2 ( + 1)), η οποία εντέλει μπορεί να γραφεί ως ( + 1) htt 2 HH λλ 2KK. Εν κατακλείδι: = arg min ( + 1) htt HH. (1.23) =1,2,3, 2KK Ένας απλοϊκός τρόπος για να υπολογισθεί το είναι να δοκιμάσουμε διαδοχικά τις τιμές = 1,2,3, και να σταματήσουμε στην πρώτη και συνεπώς μικρότερη τιμή που ικανοποιεί την 2 λλ Χρόνος

Έκπτωση για Μεγάλες Ποσότητες Παραγγελίας 15 ανισότητα στον τύπο (1.23). Όμως, ο τύπος (1.23) μπορεί να λυθεί και αναλυτικά ακολουθώντας τα ίδια βήματα που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση του τύπου (1.15). Η τελική λύση είναι: = htt HH 2 λλ 2KK + 1 4 1. (1.24) 2 Παράδειγμα 1-5. Να λυθεί ξανά το Παράδειγμα 1-1 υποθέτοντας ότι η μπύρα που παραγγέλνει ο χονδρέμπορος εμφιαλώνεται σε ειδική αναμνηστική συσκευασία για ένα μεγάλο αθλητικό γεγονός που θα πραγματοποιηθεί σε 9 μήνες από τώρα. Κατά συνέπεια, η μπύρα στην συσκευασία αυτή προβλέπεται να διακινείται μόνον για έναν πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα 9 μηνών. Ποια είναι η επακόλουθη αύξηση του ολικού μέσου κόστους παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος; Λύση: Ο χρονικός ορίζοντας είναι πεπερασμένος και ίσος με TT HH = 9 μήνες. Από τον τύπο (1.24), ο βέλτιστος αριθμός παραγγελιών είναι = 1 4 + htt 2 HH λλ (2KK) 1 2 = 1 4 + (0,36)(9) 2 (72) ((2)(144)) 1 2 = 2,2459 = 3. Από τον τύπο (1.21), ο χρόνος κύκλου είναι TT HH = 9 3 = 3 μήνες, συνεπώς η ποσότητα παραγγελίας είναι QQ = TTTT = (3)(72) = 216 κιβώτια ανά μήνα. Από τον τύπο (1.22), το βέλτιστο ολικό μέσο κόστος είναι GG( ) = KK TT HH + cccc + htt HH λλ (2 ) = (3)(144) 9 + (28,8)(72) + (0,36)(9)(72) ((2)(3)) = 2160,48 ανά μήνα. Συνεπώς, για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος, ο χονδρέμπορος πρέπει να πουλάει τη μπύρα στην τιμή των GG( ) λ = 2160,48 72 = 30,0067 ανά κιβώτιο που ισοδυναμεί με 30,0067 24 = 1,2503 ανά φιάλη. Ο λόγος του ολικού μέσου κόστους για την ποσότητα παραγγελίας QQ, προς το ελάχιστο ολικό μέσο κόστος για την ΟΠΠ είναι GG( ) GG(QQ ) = 2160,48 2160 = 1,0002. Συνεπώς, η αύξηση στο ολικό μέσο κόστος είναι μόλις 0,02%, δηλαδή κάτω από ένα τοις χιλίοις. 1.6 Έκπτωση για Μεγάλες Ποσότητες Παραγγελίας Μια από τις υποθέσεις του βασικού προτύπου ΟΠΠ είναι ότι το μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας (δηλαδή η μοναδιαία τιμή αγοράς του προϊόντος) cc δεν εξαρτάται από την ποσότητα παραγγελίας. Πολλές φορές, οι προμηθευτές είναι διατεθειμένοι να χρεώσουν χαμηλότερη τιμή για μεγαλύτερες παραγγελίες παρέχοντας έτσι ένα κίνητρο στους πελάτες τους να αυξήσουν την ποσότητα παραγγελίας. Τρία είδη εκπτώσεων είναι κοινά: (1) συνεχής έκπτωση όπου η τιμή του προϊόντος είναι μια συνεχής, συχνά γραμμική, συνάρτηση της ποσότητας παραγγελίας, (2) ενιαία έκπτωση για όλες τις μονάδες μιας παραγγελίας που εξαρτάται από το διάστημα στο οποίο ανήκει η ποσότητα παραγγελίας και (3) σταδιακή έκπτωση που κλιμακώνεται για μονάδες που ανήκουν σε υψηλότερα διαστήματα. Σε αυτή την ενότητα, θα αναλύσουμε την επέκταση του προτύπου ΟΠΠ για τις περιπτώσεις (2) και (3). 1.6.1 Ενιαία Έκπτωση Στην περίπτωση της ενιαίας έκπτωσης, η ποσότητα παραγγελίας QQ μπορεί να ανήκει σε ένα από NN διαδοχικά διαστήματα έκπτωσης που διαχωρίζονται από τα σημεία bb 1, bb 2,, bb NN 1 και χαρακτηρίζονται από τις τιμές cc 1, cc 2,, cc NN, αντίστοιχα, όπου cc 1 > cc 2 > > cc NN. Το μοναδιαίο

16 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση μεταβλητό κόστος παραγγελίας εξαρτάται από το διάστημα όπου ανήκει η ποσότητα παραγγελίας και είναι ενιαίο για όλες τις μονάδες της παραγγελίας. Συμβολίζεται με cc(qq) και δίνεται από την κάτωθι κατά μέρη επίπεδη ασυνεχή συνάρτηση: cc(qq) = cc, αν bb 1 QQ < bb, = 1,2,, NN, όπου bb 0 = 0 και bb NN =. Το Σχήμα 1-7 δείχνει το διάγραμμα του συνολικού μεταβλητού κόστους παραγγελίας μιας ποσότητας QQ συναρτήσει του QQ. Η συνάρτηση του σχήματος αυτού ισούται με cc(qq)qq και είναι κατά μέρη γραμμική με ασυνέχειες (κάθετες πτώσεις) στα σημεία αλλαγής bb 1, bb 2,, bb NN 1 που την κάνουν να μην είναι αύξουσα στο QQ. Συγκεκριμένα, αν η ποσότητα παραγγελίας είναι bb, δηλαδή ελάχιστα μικρότερη από bb, το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας θα είναι cc bb, ενώ αν η ποσότητα παραγγελίας είναι bb, το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας θα είναι cc +1 bb. Δεδομένου ότι cc bb > cc +1 bb, αυτό σημαίνει ότι για μεγαλύτερη ποσότητα παραγγελίας το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας είναι μικρότερο. Αυτό εκ πρώτης όψεως φαίνεται παράδοξο, αλλά θα μπορούσε να έχει νόημα στην περίπτωση όπου ο στόχος της αποθήκης είναι η παροχή κινήτρου για μεγαλύτερες αγορές. Μια άλλη περίπτωση που μπορεί να ισχύει μια τέτοιου είδους έκπτωση είναι όταν το προϊόν είναι συσκευασμένο σε παρτίδες (π.χ., παλέτες) και τα σημεία bb είναι πολλαπλάσια του μεγέθους της παρτίδας. Σε αυτή την περίπτωση, η παραγγελία μιας ποσότητας bb θα μπορούσε να έχει μικρότερο μεταβλητό κόστος από την παραγγελία μια ποσότητας bb, λόγω της εξοικονόμησης από το κόστος διαχείρισης υλικών. Συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας Σχήμα 1-7. Συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας μιας ποσότητας QQ συναρτήσει του QQ για το πρότυπο ΟΠΠ με ενιαία έκπτωση. Το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος εξακολουθεί να δίνεται από τον τύπο (1.3) αλλά εξαρτάται από το διάστημα έκπτωσης, επειδή το μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας εξαρτάται από το διάστημα έκπτωσης. Συγκεκριμένα, το GG(QQ) έχει την εξής μορφή: όπου οι συναρτήσεις GG(QQ) = GG (QQ), αν bb 1 QQ < bb, = 1,2,, NN, GG (QQ) = KKKK QQ + cc λλ + IIcc QQ, = 1,2,, NN, (1.25) 2 εκφράζουν το ολικό μέσο κόστος για τις διαφορετικές τιμές του cc. Να σημειωθεί ότι στον τελευταίο όρο του ανωτέρω τύπου, το μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος h έχει

Έκπτωση για Μεγάλες Ποσότητες Παραγγελίας 17 εκφραστεί ρητά ως IIcc από τη σχέση (1.1). Η συνάρτηση GG(QQ), όπως και η cc(qq), είναι κατά μέρη συνεχής με ασυνέχειες (κάθετες πτώσεις) στα σημεία αλλαγής bb 1, bb 2,, bb NN 1 και ισούται με την συνάρτηση GG (QQ) αν η ποσότητα παραγγελίας QQ ανήκει στο -στο διάστημα έκπτωσης, όπως υποδεικνύεται από την έντονη καμπύλη στο Σχήμα 1-8. Μέσο κόστος Σχήμα 1-8. Ολικό μέσο κόστος συναρτήσει της ποσότητας παραγγελίας για το πρότυπο ΟΠΠ με ενιαία έκπτωση. Για κάθε επίπεδο έκπτωσης, έστω QQ η ποσότητα που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση GG (QQ) χωρίς να λαμβάνεται υπόψη κανένας περιορισμός (βλέπε Σχήμα 1-8). Από τον τύπο (1.25), η συνάρτηση GG (QQ) έχει την ίδια μορφή με την συνάρτηση του ολικού μέσου κόστους του βασικού προτύπου ΟΠΠ, και συνεπώς το QQ έχει την ίδια μορφή με την ΟΠΠ και δίνεται από τον τύπο QQ = 2ΚΚΚΚ IIcc. (1.26) Έστω QQ,cccccccccccc η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας υπό τον περιορισμό ότι αυτή πρέπει να ανήκει στο αντίστοιχο διάστημα έκπτωσης [bb 1, bb ). Το QQ,cccccccccccc δίνεται από τον τύπο (1.13) ως εξής: QQ,cccccccccccc = max[min(qq, bb ), bb 1 ], = 1,2,, NN. (1.27) Τέλος, έστω GG QQ,cccccccccccc η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης GG (QQ) στο διάστημα [bb 1, bb ). Το GG QQ,cccccccccccc δίνεται από τον τύπο (1.25) για QQ = QQ,cccccccccccc. Το επίπεδο έκπτωσης όπου ανήκει η τιμή του QQ που ελαχιστοποιεί το ολικό μέσο κόστος GG(QQ) δίνεται από τον τύπο = arg min GG QQ,cccccccccccc. (1.28) =1,2,,NN Η δε βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, QQ cccccccccccc, και το αντίστοιχο ελάχιστο ολικό μέσο κόστος ) υπολογίζονται ως εξής: GG(QQ cccccccccccc QQ cccccccccccc GG(QQ cccccccccccc = QQ,cccccccccccc. (1.29) ) = GG QQ,cccccccccccc. (1.30)

18 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Παράδειγμα 1-6. Να λυθεί ξανά το Παράδειγμα 1-1 υποθέτοντας ότι ο προμηθευτής της μπύρας παρέχει ενιαία έκπτωση για παραγγελίες μεγάλων ποσοτήτων, με μοναδιαία τιμή παραγγελίας 1,20, 1,18 και 1,16 ανά φιάλη για παραγγελίες έως 500 κιβώτια, από 500 έως 1000 κιβώτια και 1000 ή περισσότερα κιβώτια, αντίστοιχα. Λύση: Το μεταβλητό κόστος παραγγελίας ανά κιβώτιο που είναι η μονάδα μέτρησης του προϊόντος για τα τρία επίπεδα έκπτωσης έχει ως εξής: cc 1 = (1,20)(24) = 28,8 ανά κιβώτιο αν 0 QQ < 500, cc 2 = (1,18)(24) = 28,32 ανά κιβώτιο αν 500 QQ < 1000, και cc 3 = (1,16)(24) = 27,84 ανά κιβώτιο αν 1000 QQ <. Από τον τύπο (1.26), οι ΟΠΠ για τα τρία επίπεδα έκπτωσης είναι: QQ 1 = 2KKKK IIcc 1 = (2)(144)(72) (0.0125)(28,8) = 240,0, QQ 2 = 2KKKK IIcc 2 = (2)(144)(72) (0.0125)(28,32) = 242,025, QQ 3 = 2KKKK IIcc 3 = (2)(144)(72) (0.0125)(27,84) = 244,103. Από τον τύπο (1.27), οι αντίστοιχες δεμευμένες βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας είναι: QQ 1,cccccccccccc = max[min(qq 1, bb 1 ), bb 0 ] = max[min(240,500), 0] = 240, QQ 2,cccccccccccc = max[min(qq 2, bb 2 ), bb 1 ] = max[min(242,025, 1000), 500] = 500, QQ 3,cccccccccccc = max[min(qq 3, bb 3 ), bb 2 ] = max[min(244,103, ), 1000] = 1000. Από τον τύπο (1.25), τα αντίστοιχα ολικά μέσα κόστη είναι: GG 1 QQ 1,cccccccccccc GG 2 QQ 2,cccccccccccc GG 3 QQ 3,cccccccccccc = KKKK QQ 1,cccccccccccc + cc 1 λλ + IIcc 1 QQ 1,cccccccccccc 2 = (144)(72) 240 + (28,8)(72) + (0,0125)(28,8)(240) 2 = 2160, = KKKK QQ 2,cccccccccccc + cc 2 λλ + IIcc 2 QQ 2,cccccccccccc 2 = (144)(72) 500 + (28,32)(72) + (0,0125)(28,32)(500) 2 = 2148,28, = KKKK QQ 3,cccccccccccc + cc 3 λλ + IIcc 3 QQ 3,cccccccccccc 2 = (144)(72) 1000 + (27,84)(72) + (0,0125)(27,84)(1000) 2 = 2188,85. Από τον τύπο (1.28), το βέλτιστο επίπεδο έκπτωσης είναι: = arg min GG QQ,cccccccccccc = arg min{2160, 2148,28, 2188,85} = 2. =1,2,3 Τέλος, από τους τύπους (1.29) και (1.30), η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας και το αντίστοιχο ελάχιστο ολικό μέσο κόστος υπολογίζονται ως εξής: GG(QQ cccccccccccc QQ cccccccccccc = QQ,cccccccccccc = QQ 2,cccccccccccc = 500. ) = GG QQ,cccccccccccc = GG 2 QQ 2,cccccccccccc = 2148,28. Ο αντίστοιχος χρόνος κύκλου είναι TT = QQ cccccccccccc λλ = 500 72 = 6,9444 μήνες. Για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το GG(QQ cccccccccccc ), ο χονδρέμπορος πρέπει να πουλάει τη μπύρα στην τιμή των 2148,28 72 = 29,8372 ανά κιβώτιο που ισοδυναμεί με 29,8372 24 = 1,2432 ανά φιάλη. 1.6.2 Σταδιακή Έκπτωση Στην περίπτωση της σταδιακής έκπτωσης, η ποσότητα παραγγελίας QQ πάλι μπορεί να ανήκει σε ένα από NN διαδοχικά διαστήματα έκπτωσης που διαχωρίζονται από τα σημεία bb 1, bb 2,, bb NN 1 και χαρακτηρίζονται από τιμές cc 1, cc 2,, cc NN, αντίστοιχα, όπου cc 1 > cc 2 > > cc NN. Όπως στην περίπτωση της ενιαίας έκπτωσης, το μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας εξαρτάται από

Έκπτωση για Μεγάλες Ποσότητες Παραγγελίας 19 το διάστημα όπου ανήκει η ποσότητα παραγγελίας αλλά, αντί να είναι ίδιο για όλες τις μονάδες της παραγγελίας, αυξάνει σταδιακά και σε κλιμάκια. Συγκεκριμένα, αν η ποσότητα παραγγελίας ανήκει στο διάστημα [bb 1, bb ), το μοναδιαίο μεταβλητό κόστος είναι cc 1 για τις πρώτες bb 1 μονάδες, cc 2 για τις επόμενες (bb 2 bb 1 ) μονάδες, cc 3 για τις επόμενες (bb 3 bb 3 ) μονάδες, κ.ο.κ, και τέλος cc για τις τελευταίες (QQ bb 1 ) μονάδες. Έστω CC(QQ) το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας όταν η ποσότητα παραγγελίας είναι QQ. Το CC(QQ) δίνεται από τον κάτωθι τύπο: CC(QQ) = CC (QQ), αν bb 1 QQ < bb, = 1,2,, NN, όπου bb 0 = 0 και bb NN = και οι συναρτήσεις 1 CC (QQ) = cc mm (bb mm bb mm 1 ) + cc (QQ bb 1 ), = 1,2,, NN, mm=1 εκφράζουν το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας για τα διαφορετικά επίπεδα έκπτωσης. Να σημειωθεί ότι οι ανωτέρω συναρτήσεις είναι γραμμικές στο QQ και μπορούν να γραφούν ως εξής: όπου η τέμνουσα aa δίνεται από τον επαναληπτικό τύπο CC (QQ) = aa + cc QQ, = 1,2,, NN, (1.31) aa 1 = 0 και aa = aa 1 + (cc 1 cc )bb 1, = 2,3, NN. (1.32) Το Σχήμα 1-9 δείχνει το διάγραμμα του συνολικού μεταβλητού κόστους παραγγελίας μιας ποσότητας QQ συναρτήσει του QQ για την περίπτωση της σταδιακής έκπτωσης. Συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας Σχήμα 1-9. Συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας μιας ποσότητας QQ συναρτήσει του QQ για το πρότυπο ΟΠΠ με σταδιακή έκπτωση. Από το Σχήμα 1-9 φαίνεται ότι το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγγελίας CC(QQ) είναι συνεχής, κατά μέρη γραμμική συνάρτηση του QQ, με σπασίματα (αλλαγή κλίσης) στα σημεία bb 1, bb 2,, bb NN 1. Το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος εξακολουθεί να δίνεται από τον τύπο (1.3) αλλά εξαρτάται από το διάστημα έκπτωσης, επειδή το CC(QQ) εξαρτάται από το διάστημα έκπτωσης. Συγκεκριμένα, το GG(QQ) έχει την εξής μορφή: όπου οι συναρτήσεις GG(QQ) = GG (QQ), αν bb 1 QQ < bb, = 1,2,, NN,

20 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση GG (QQ) = KKKK QQ + CC (QQ)λλ QQ + IICC (QQ) QQ QQ, = 1,2,, NN, 2 εκφράζουν το ολικό μέσο κόστος για τα διαφορετικά επίπεδα έκπτωσης. Να σημειωθεί ο λόγος CC (QQ) QQ στον ανωτέρω τύπο εκφράζει το μέσο μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας. Σημειώνεται επίσης ότι η συνάρτηση GG(QQ), όπως και η CC(QQ), είναι συνεχής με σπασίματα (αλλαγή κλίσης) στα σημεία bb 1, bb 2,, bb NN 1, και ισούται με την συνάρτηση GG (QQ) αν η ποσότητα παραγγελίας QQ ανήκει στο -στό διάστημα έκπτωσης, όπως φαίνεται από την έντονη καμπύλη στο Σχήμα 1-10. Μέσο κόστος Σχήμα 1-10. Ολικό μέσο κόστος συναρτήσει της ποσότητας παραγγελίας για το πρότυπο ΟΠΠ με σταδιακή έκπτωση. Οι συναρτήσεις GG (QQ), μετά από αντικατάσταση του CC (QQ) από την σχέση (1.31), αναγράφονται ως εξής: GG (QQ) = (KK + aa )λλ + IIcc QQ QQ 2 + cc λλ + IIaa 2, = 1,2,, NN. (1.33) Για κάθε επίπεδο έκπτωσης, έστω QQ η ποσότητα που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση GG (QQ) χωρίς να λαμβάνεται υπόψη κανένας περιορισμός (βλέπε Σχήμα 1-10). Από τον τύπο (1.27), η συνάρτηση GG (QQ) έχει την ίδια μορφή με την συνάρτηση του ολικού μέσου κόστους του βασικού προτύπου ΟΠΠ (με επαυξημένο σταθερό κόστος παραγγελίας ΚΚ + aa αντί για ΚΚ) και συνεπώς το QQ έχει την ίδια μορφή με την ΟΠΠ και δίνεται από τον τύπο QQ = 2(ΚΚ + aa )λλ IIcc. (1.34) Για να βρεθεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας και το αντίστοιχο ελάχιστο ολικό μέσο κόστος ακολουθείται η ίδια διαδικασία που περιεγράφηκε στην περίπτωση της ενιαίας έκπτωσης στην Ενότητα 1.6.1. Έτσι, αρχικά υπολογίζονται οι δεσμευμένες βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας QQ,cccccccccccc από τον τύπο (1.27), όπου το QQ δίνεται από τον τύπο (1.34), και στην συνέχεια υπολογίζεται το επίπεδο έκπτωσης όπου ανήκει η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας από τον τύπο (1.28). Τέλος, υπολογίζονται η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας QQ cccccccccccc και το αντίστοιχο ελάχιστο ολικό μέσο κόστος GG(QQ cccccccccccc ) από τους τύπους (1.29) και (1.30), αντίστοιχα. Να σημειωθεί ότι αν για

Έκπτωση για Μεγάλες Ποσότητες Παραγγελίας 21 κάποιο επίπεδο έκπτωσης, η δεσμευμένη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας QQ,cccccccccccc συμπίπτει με ένα από τα ακρότατα σημεία του διαστήματος έκπτωσης, bb 1 ή bb (που σημαίνει ότι η αδέσμευτη οικονομική ποσότητα παραγγελίας QQ δεν είναι πραγματοποιήσιμη), είναι εύκολο να δειχτεί ότι το αντίστοιχο ολικό μέσο κόστος GG QQ,cccccccccccc αποκλείεται να είναι το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης GG(GG), και συνεπώς δεν χρειάζεται να συμπεριληφθεί στην ελαχιστοποίηση (1.28). Παράδειγμα 1-7. Να λυθεί ξανά το Παράδειγμα 1-1 υποθέτοντας ότι ο προμηθευτής της μπύρας παρέχει σταδιακή έκπτωση για παραγγελίες μεγάλων ποσοτήτων, με μοναδιαία τιμή παραγγελίας 1,20, 1,16 και 1,12 ανά φιάλη για τα πρώτα 400 κιβώτια, τα επόμενα 400 κιβώτια και τα υπόλοιπα κιβώτια πάνω από 800, αντίστοιχα. Λύση: Το μεταβλητό κόστος παραγγελίας ανά κιβώτιο που είναι η μονάδα μέτρησης του προϊόντος για τα τρία επίπεδα έκπτωσης έχει ως εξής: cc 1 = (1,20)(24) = 28,8 ανά κιβώτιο για τα πρώτα 400, cc 2 = (1,16)(24) = 27,84 ανά κιβώτιο για τα επόμενα 400, και cc 3 = (1,12)(24) = 26,88 ανά κιβώτιο για τα υπόλοιπα κιβώτια πάνω από 800. Από τον τύπο (1.32), οι τέμνουσες των συναρτήσεων CC (QQ) για τα τρία επίπεδα έκπτωσης είναι: aa 1 = 0, aa 2 = aa 1 + (cc 1 cc 2 )bb 1 = (28,8 27,84)(400) = 384 και aa 3 = aa 2 + (cc 2 cc 3 )bb 2 = 384 + (27,84 26,88)(800) = 1152. Από τον τύπο (1.26), οι ΟΠΠ για τα τρία επίπεδα έκπτωσης είναι: QQ 1 = 2(KK + aa 1 )λλ IIcc 1 = (2)(144 + 0)(72) (0.0125)(28,8) = 240, QQ 2 = 2(KK + aa 2 )λλ IIcc 2 = (2)(144 + 384)(72) (0.0125)(27,84) = 467,421, QQ 3 = 2(KK + aa 3 )λλ IIcc 3 = (2)(144 + 1152)(72) (0.0125)(26,88) = 745,271. Από τον τύπο (1.27), οι αντίστοιχες δεσμευμένες βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας είναι: QQ 1,cccccccccccc = max[min(qq 1, bb 1 ), bb 0 ] = max[min(240, 400), 0] = 240, QQ 2,cccccccccccc = max[min(qq 2, bb 2 ), bb 1 ] = max[min(467,421, 800), 500] = 467,421, QQ 3,cccccccccccc = max[min(qq 3, bb 3 ), bb 2 ] = max[min(745,271, ), 800] = 745,271. Από τον τύπο (1.33), τα αντίστοιχα ολικά μέσα κόστη είναι: GG 1 QQ 1,cccccccccccc GG 2 QQ 2,cccccccccccc = (KK + aa 1 )λλ QQ 1,cccccccccccc + IIcc 1 QQ 2 + cc 1 λλ + IIaa 1 2 = (144 + 0)(72) 240 + (0,0125)(28,8)(240) 2 + (28,8)(72) + (0,0125)(0) 2 = 2160, = (KK + aa 2 )λλ QQ 2,cccccccccccc + IIcc 2 QQ 2 + cc 2 λλ + IIaa 2 2 = (144 + 384)(72) 467,421 + (0,0125)(27,84)(467,421) 2 + (27,84)(72) + (0,0125)(384) 2 = 2169,54, GG 3 QQ 3,cccccccccccc = (KK + aa 3 )λλ QQ 3,cccccccccccc + IIcc 3 QQ 2 + cc 3 λλ + IIaa 3 2 = (144 + 1152)(72) 745,271 + (0,0125)(26,88)(745,271) 2 + (26,88)(72) + (0,0125)(1152) 2 = 2192,97. Από τον τύπο (1.28), το βέλτιστο επίπεδο έκπτωσης είναι: = arg min GG QQ,cccccccccccc = arg min{2160, 2169,54, 2192,97} = 1. =1,2,3

22 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Τέλος, από τους τύπους (1.29) και (1.30), η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας και το αντίστοιχο ελάχιστο ολικό μέσο κόστος υπολογίζονται ως εξής: GG(QQ cccccccccccc QQ cccccccccccc = QQ,cccccccccccc = QQ 1,cccccccccccc = 240. ) = GG QQ,cccccccccccc = GG 1 QQ 1,cccccccccccc = 2160. Ο αντίστοιχος χρόνος κύκλου είναι TT = QQ cccccccccccc λλ = 240 72 = 3,3333 μήνες. Για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το GG(QQ cccccccccccc ), ο χονδρέμπορος πρέπει να πουλάει τη μπύρα στην τιμή των GG(QQ cccccccccccc ) λλ = 2160 72 = 30 ανά κιβώτιο που ισοδυναμεί με 30 24 = 1,25 ανά φιάλη. 1.7 Προεξόφληση και Πληθωρισμός Μια από τις υποθέσεις του βασικού προτύπου ΟΠΠ είναι ότι η αξία του κεφαλαίου και τα κόστη παραγγελίας παραμένουν σταθερά στον χρόνο. Η υπόθεση αυτή είναι λογική αν οι ρυθμοί μεταβολής της αξίας του κεφαλαίου και των κοστών παραγγελίας είναι μικροί σε σχέση με την συχνότητα παραγγελίας. Στην πραγματική οικονομία, η αξία του κεφαλαίου μεταβάλλεται με το χρόνο επειδή το κεφάλαιο έχει τη δυνατότητα τοκισμού. Έτσι, η αξία που θα έχουν 100 σε 10 έτη είναι μικρότερη από την αξία που έχουν 100 σήμερα, επειδή τα σημερινά 100, αν τοκιστούν ή γενικότερα επενδυθούν, θα αξίζουν περισσότερο από 100 σε 10 έτη. Η διαδικασία υπολογισμού της παρούσας αξίας μελλοντικών κεφαλαιακών ποσών ονομάζεται προεξόφληση και ο ρυθμός μεταβολής της αξίας του κεφαλαίου ονομάζεται ρυθμός προεξόφλησης. Στην περίπτωση που ο ρυθμός προεξόφλησης είναι συνεχής και σταθερός στο χρόνο και ίσος με rr ανά ανά μονάδα χρόνου, τότε ένα ποσό που τη χρονική στιγμή tt έχει αξία AA(tt), μετά από απειροελάχιστα μικρό χρονικό διάστημα dddd θα έχει αξία AA(tt + dddd) = AA(tt) + rrrr(tt)dddd. Αναδιατάσσοντας τους όρους και παίρνοντας το όριο καθώς dddd 0, έχουμε dddd(tt) dddd = rrrr(tt). Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι AA(tt) = AA 0 ee rrrr, όπου AA 0 είναι η αξία του ποσού τη χρονική στιγμή μηδέν. Εν κατακλείδι, όταν ο ρυθμός προεξόφλησης είναι συνεχής, σταθερός και ίσος με rr, η μελλοντική αξία ενός σημερινού ποσού AA 0 είναι AA 0 ee rrrr. Αντίστροφα, η παρούσα αξία ενός μελλοντικού (στον μέλλοντα χρόνο tt) ποσού AA είναι AAee rrrr. Στο αντίποδα της προεξόφλησης βρίσκεται ο πληθωρισμός. Ακριβώς επειδή το χρήμα χάνει την αξία του με την πάροδο του χρόνο λόγω της δυνατότητάς του να τοκίζεται και άρα να πολλαπλασιάζεται, η τιμή των αγαθών και υπηρεσιών αυξάνεται με τον χρόνο. Η αύξηση αυτή ονομάζεται πληθωρισμός και ο ρυθμός της αύξησης ονομάζεται ρυθμός πληθωρισμού και συχνά υπολογίζεται σε ετήσια ποσοστιαία βάση, π.χ. 2% ετησίως. Για να γίνει κατανοητό γιατί η προεξόφληση και ο πληθωρισμός δρουν αντίθετα, αρκεί να πούμε ότι αν κάποιος σήμερα έχει ένα κεφάλαιο AA 0, σε 10 έτη θα έχει μεν αυξηθεί η αξία του κεφαλαίου αυτού λόγω της δυνατότητας τοκισμού του, ταυτόχρονα όμως θα έχει αυξηθεί και η τιμή των προϊόντων/υπηρεσιών που μπορεί να αγοράσει λόγω του πληθωρισμού. Σημασία λοιπόν έχει η διαφορά του ρυθμού πληθωρισμού από τον ρυθμό προεξόφλησης. Στην ενότητα αυτή επανεξετάζουμε το πρότυπο ΟΠΠ υποθέτοντας ότι οι ρυθμοί προεξόφλησης και πληθωρισμού είναι συνεχείς και σταθεροί και συμβολίζονται ως εξής: rr = ρυθμός προεξόφλησης ( ανά ανά μονάδα χρόνου), ii = ρυθμός πληθωρισμού ( ανά ανά μονάδα χρόνου). Η διαφορά των δύο ρυθμών συμβολίζεται με II, δηλαδή