Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Transcript

1 Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου

2 Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις... Λεξιλόγιο... 7 Σημείο... 7 Σχετικές Θέσεις... 7 Συνέχεια... 8 Παράγωγος... 9 Εφαπτομένη... 9 Ακρότατα... Σύνολο Τιμών... Ένα προς Ένα - Αντίστροφη... Μονοτονία - Κυρτότητα... Ασύμπτωτες... Σταθερή Συνάρτηση... Παράγουσα... Εμβαδό Επίπεδου Χωρίου... Συνοπτικές Μεθοδολογίες... 4 Συναρτήσεις... 4 Όρια... 4 Συνέχεια... 6 Παράγωγος... 7 Επίλυση Εξισώσεων (Ύπαρξή που ικανοποιεί μία σχέση)... 4 Εύρεση Συνόλου Τιμών... 4 Απόδειξη (επίλυση) Ανισοτήτων Εύρεση Προσήμου... 4 Ασύμπτωτες... 4 Ολοκληρώματα Προσδιορισμός Τύπου Συνάρτησης Θέματα Εξετάσεων Παρελθόντων Ετών Θέματα Από Μαθηματική Εταιρεία Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων... 6 Απαντήσεις Θεμάτων Απαντήσεις Θεμάτων Μαθηματικής Εταιρείας... 7 Απαντήσεις Συλλογής Θεμάτων Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

3 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

4 Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις Ερώτηση. Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και τι τιμή της στο A Απάντηση Μία διαδικασία (κανόνα) με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Ερώτηση. Τι ονομάζεται σύνολο τιμών μίας συνάρτησης : A ; Απάντηση Το σύνολο όλα τα A. y y για κάποιο A που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε Ερώτηση. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση μίας συνάρτησης : A ; Απάντηση Το σύνολο C των σημείων,,,. σημείων M A M y για τα οποία ισχύει y, δηλαδή το σύνολο των Ερώτηση 4. Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες; Απάντηση Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

5 Ερώτηση 5. Αν, g είναι δύο συναρτήσεις να ορίσετε τις συναρτήσεις g, g, g και g. Απάντηση Έστω : A και g: B Ορίζουμε το άθροισμα g, διαφορά g συναρτήσεις με τύπους αντιστοίχως τους, γινόμενο g και πηλίκο g των, g τις g g, g g, g g g g Το πεδίο ορισμού των και g, g και g είναι η τομή A B των πεδίον ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή A και B, με g. g είναι το A B g, δηλαδή το σύνολο, εξαιρουμένων Ερώτηση 6. Αν : A, g: B είναι δύο συναρτήσεις να ορίσετε τη σύνθεση g της με την g. Απάντηση Είναι η συνάρτηση με τύπο g g και πεδίο ορισμού το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο A A B Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

6 Ερώτηση 7. Έστω μία συνάρτηση και Δ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της. Πότε η ονομάζεται γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, αύξουσα, φθίνουσα στο Δ Απάντηση Η λέγεται: γνησίως αύξουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει αύξουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε, με φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ισχύει Ερώτηση 8. περιττή; Πότε μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα καλείται άρτια και πότε Απάντηση Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται: Άρτια, όταν για κάθε ισχύει: και Περιττή, όταν για κάθε ισχύει: και Ερώτηση 9. Πότε μία συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της. Απάντηση Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο Παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο το, όταν (ολικό) ελάχιστο το, όταν για κάθε για κάθε Ερώτηση. Τι είναι ολικά ακρότατα μίας συνάρτησης ; Απάντηση Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο της (εφόσον υπάρχουν) λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

7 Ερώτηση. Πότε μία συνάρτηση λέγεται -; Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Απάντηση Μία συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, ισχύει η συνεπαγωγή Αν, τότε Ερώτηση. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση a, με a είναι συνάρτηση -. Απάντηση Αν υποθέσουμε ότι, τότε έχουμε διαδοχικά: a a a a Ερώτηση. Πώς ορίζεται η αντίστροφη μίας - συνάρτησης; Απάντηση Έστω μία - συνάρτηση : A. Τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει y και επομένως ορίζεται μία συνάρτηση g : A με την οποία κάθε y αντιστοιχίζεται στο μοναδικό για το οποίο ισχύει συμβολίζεται με. y. Η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση και v v Ερώτηση 4. Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυώνυμο ισχύει lim P P P a a... a a και v v Απάντηση Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6

8 Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των ορίων έχουμε: Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» v v v v lim P lim a a... a a v v av av a a v v v lim lim... lim lim a lim a lim... a lim lim a v a a... a a P v v v v Ερώτηση 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε ρητή συνάρτηση Q ισχύει P lim Q P Q P και με Q Απάντηση Έστω η ρητή συνάρτηση Q. Τότε P, όπου Q lim P P lim P lim Q Q Q P, Q πολυώνυμα του και με Ερώτηση 6. Να διατυπώσετε το κριτήριο Παρεμβολής. Απάντηση lim Αν h g κοντά στο και lim, τότε lim g Ερώτηση 7. Πότε μία συνάρτηση θα είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Απάντηση Όταν ισχύει lim Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 7

9 Ερώτηση 8. Πότε μία συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Απάντηση Όταν: α) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β) Υπάρχει το όριο της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, Ερώτηση 9. Πότε θα λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a, ; Απάντηση Όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a, Ερώτηση. Πότε θα λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα a, ; Απάντηση Μία συνάρτηση θα είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα a, Όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a, και επιπλέον lim a και lim a Ερώτηση. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano. Απάντηση Έστω μία συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα a,. Αν Η είναι συνεχής στο a, και επιπλέον ισχύει a Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον a, τέτοιο ώστε, Δηλαδή: Υπάρχει μία τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα a, Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 8

10 Ερώτηση. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano. Απάντηση Αν για μία συνάρτηση ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano τότε η γραφική της παράσταση της τέμνει τον άξονα. σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη, Ερώτηση. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών; Απάντηση Διατύπωση: Έστω μία συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα a,. Αν: Η είναι συνεχής στο a, και a Τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των a και υπάρχει ένας τουλάχιστον τέτοιος, ώστε, Απόδειξη: Έστω a a.. Τότε θα ισχύει Θεωρούμε συνάρτηση g, a, Η g είναι συνεχής στο a, και έχουμε ότι: gg αφού g a a και g Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε, οπότε g, Ερώτηση 4. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών Απάντηση Αν για μία συνάρτηση ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών σε ένα διάστημα a, τότε η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη., Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 9

11 Ερώτηση 5. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής. Απάντηση ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν,, τέτοια, ώστε, αν και Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο a,, τότε η παίρνει στο a, μία μέγιστη τιμή Μ και μία να ισχύει m M, για κάθε,. m M, Ερώτηση 6. Ποίο είναι το σύνολο τιμών μίας συνεχούς, όχι σταθερής, συνάρτησης με πεδίο ορισμού το a, ; Απάντηση Το κλειστό διάστημα mm,, όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της. Ερώτηση 7. Ποίο είναι το σύνολο τιμών μίας γνησίως αύξουσας (αντιστοίχως φθίνουσας) και συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε ένα ανοικτό διάστημα a, ; Απάντηση Το διάστημα AB, ( αντιστοίχως BA, ) όπου lim και B lim A a Ερώτηση 8. Πως ορίζεται η εφαπτόμενη της C στο σημείο της, A ; Απάντηση Έστω μία συνάρτηση και, A ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτόμενη της ευθεία : y που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. C στο σημείο Α, την Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

12 Ερώτηση 9. Πότε θα λέμε ότι μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Απάντηση Αν υπάρχει το lim παράγωγος της στο και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται και συμβολίζεται με. Δηλαδή: lim Ερώτηση. Τι ονομάζεται κλήση της C στο, A, ή κλίση της στο ; Απάντηση Η πρώτη παράγωγος της στο της C στο, A., δηλαδή, καλείται κλίση της στο ή της εφαπτομένης Ερώτηση. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Απάντηση Για έχουμε: Όποτε Αφού η είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως lim lim lim lim lim, δηλαδή η είναι συνεχής στο. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

13 Ερώτηση. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αν και είναι συνεχής στο, δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό. Απάντηση Έστω η συνάρτηση. Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού lim lim, ενώ lim lim. Ερώτηση. Πότε λέμε για μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι: ) Η είναι παραγωγίσιμη στο Α; ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της; ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της; Απάντηση ) Η είναι παραγωγίσιμη στο Α όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της όταν είναι a παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της όταν είναι a παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο a, και επιπλέον lim και a a lim Ερώτηση 4. Τι ονομάζεται παράγωγος μίας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση Έστω Α το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε στο, ορίζουμε τη συνάρτηση : A, η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

14 Ερώτηση 5. Να αποδείξετε ότι η σταθερή συνάρτηση c, c είναι παραγωγίσιμη. στο και ισχύει Απάντηση Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει lim, δηλαδή c c c. Επομένως Ερώτηση 6. Να αποδείξετε ότι η σταθερή συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Απάντηση Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει lim lim, δηλαδή. Επομένως v Ερώτηση 7. Να αποδείξετε ότι η σταθερή συνάρτηση, v είναι παραγωγίσιμη v. v στο και ισχύει Απάντηση Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει v v v v v v Επομένως v v v v lim lim v v v v v v v v v v v v v δηλαδή, Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

15 Ερώτηση 8. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει αυτό.. Ακόμη να αποδείξετε ότι αν και συνεχής στο δεν είναι παραγωγίσιμη σ Απάντηση Αν ένα σημείο του,, τότε για ισχύει: Όποτε lim lim, δηλαδή Τέλος η είναι συνεχής στο και lim lim πραγματικός αριθμός, άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη το. που δεν είναι Ερώτηση 9. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g Απάντηση Για, ισχύει: g g g g g g g g g g Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

16 g g g g lim lim lim g Δηλαδή g g v Ερώτηση 4. Να αποδείξετε ότι η σταθερή συνάρτηση στο * v και ισχύει v. *, v είναι παραγωγίσιμη Απάντηση Για * v v έχουμε v v v v v v v v v a Ερώτηση 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, a είναι παραγωγίσιμη στο a, και ισχύει a Απάντηση a ln Έχουμε ότι a a ln a ln a ln a a a ln a ln a ln a a Ερώτηση 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση a, a, a a και ισχύει ln είναι παραγωγίσιμη στο Απάντηση ln Έχουμε ότι a a ln a a a a lna lna a lna ln ln ln Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

17 Ερώτηση 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ln, * και ισχύει ln * είναι παραγωγίσιμη στο Απάντηση Έχουμε ότι ln Για ln, ln, έχουμε ln ln έχουμε ln ln Για Σε κάθε περίπτωση για κάθε * Ερώτηση 44. Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς ; Απάντηση Ρυθμός μεταβολής του y ως προς στο σημείο είναι η παράγωγος. Ερώτηση 45. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Roll και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του. Απάντηση Αν μία συνάρτηση είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και a Τότε υπάρχει, ένα τουλάχιστον a, τέτοιο, ώστε Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6

18 Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον a, της C στο M, να είναι παράλληλη στον άξονα. τέτοιο, ώστε η εφαπτόμενη Ερώτηση 46. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του. Απάντηση Αν μία συνάρτηση είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και Τότε υπάρχει, ένα τουλάχιστον a, τέτοιο, ώστε a a Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον a, της C στο M, να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ όπου, B, τέτοιο, ώστε η εφαπτόμενη A a a και Ερώτηση 47. Να αποδείξετε ότι αν είναι μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε σημείο εσωτερικό του Δ τότε η είναι σταθερή σε όλο το Δ Απάντηση Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε, Αν Αν ισχύει. Πράγματι, τότε προφανώς, τότε στο διάστημα, τιμής. Επομένως υπάρχει, τέτοιο, ώστε: η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης Επειδή, το ξ είναι εσωτερικό του Δ, ισχύει. Αν (), οπότε, λόγω της (), είναι, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 7

19 Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι. Ερώτηση 48. Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ και οι, g είναι συνεχείς στο Δ και g για κάθε σημείο εσωτερικό του Δ τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: g c Απάντηση Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει. Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g g g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει g c, οπότε g c. Ερώτηση 49. Έστω μία συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε εσωτερικό σημείο τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Απάντηση. Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι Έστω, με. Θα δείξουμε ότι., Επομένως υπάρχει, τέτοιο, ώστε: Πράγματι στο διάστημα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Επειδή και Στην περίπτωση, έχουμε, οπότε εργαζόμαστε ανάλογα. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 8

20 Ερώτηση 5. Πως ορίζεται η θέση τοπικού μέγιστου και τοπικού ελάχιστου μίας συνάρτησης. Απάντηση Μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο (αντιστοίχως τοπικό ελάχιστο), όταν υπάρχει δ >, τέτοιο, ώστε (αντιστοίχως ) για κάθε A,. Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μέγιστου (αντιστοίχως θέση τοπικού ελάχιστου), ενώ το τοπικό μέγιστο (αντιστοίχως τοπικό ελάχιστο), της. Ερώτηση 5. σημείο ελάχιστο., Πότε μία παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα a στο οποίο όμως είναι συνεχής, θα παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό Απάντηση Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, a στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο a, και στο, τότε το μέγιστο της. Αν στο a, και στο, τότε το ελάχιστο της.,, είναι τοπικό είναι τοπικό Αν η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο a,,, τότε το τοπικό ακρότατο της. δεν είναι Ερώτηση 5. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι: i) Αν ( ) στο ( α, ) και ( ) στο (, β), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της. ii) Αν ( ) στο ( α, ) και ( ) στο (, β), τότε το ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της. iii) Aν η () διατηρεί πρόσημο στο ( α, ) (, β), τότε το ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο ( α, β). Απάντηση i) Eπειδή ( ) για κάθε ( α, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο α, ]. Έτσι έχουμε ( ) ( ), για κάθε α, ]. () ( ( Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 9

21 Επειδή ( ) για κάθε (, β) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β). Έτσι έχουμε: ) ( ), για κάθε [, β). () ( y > < y > < 5a ( ) ( ) O a β O a β Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: ) ( ), για κάθε ( α, β), ( που σημαίνει ότι το ) είναι μέγιστο της στο ( α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ( ii) Εργαζόμαστε αναλόγως. y y 5β < > < > O a β O a β iii) Έστω ότι ( ), για κάθε α, ) (, ). ( β y > y > 5γ > > O a β O a β Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ( α, ] και [, β). Επομένως, για ισχύει ( ) ( ) ( ). Άρα το ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β). Πράγματι, έστω, ( α, β) με. Αν ( α, ], επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο α, ], θα ισχύει ) ( )., ( ( Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

22 Αν [, ), επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [, β), θα ισχύει ) ( )., β Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε ( ) ( ) ( ). ( Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει ) ( ), οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β). ( Ομοίως, αν ( ) για κάθε α, ) (, ). ( β Ερώτηση 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Frmat. Απάντηση Διατύπωση: Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο. Επειδή το είναι εσωτερικό το σημείου Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε, και για κάθε, Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, () lim lim Αν,, τότε λόγω τις (), θα είναι Αν, lim, τότε λόγω τις (), θα είναι () lim (), οπότε θα έχουμε, οπότε θα έχουμε Από τις () και () έχουμε. Η απόδειξη για το τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

23 Ερώτηση 54. Πότε μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ θα είναι κυρτή και πότε κοίλη; Απάντηση Έστω μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε: Αν η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε εσωτερικό του Δ τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, δηλαδή είναι κυρτή. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε εσωτερικό του Δ τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δηλαδή είναι κοίλη. Ερώτηση 55. Πότε μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ θα είναι κυρτή και πότε κοίλη; Απάντηση Έστω μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε: Αν για κάθε εσωτερικό του Δ τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, δηλαδή είναι κυρτή. για κάθε εσωτερικό του Δ τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δηλαδή Αν είναι κοίλη Ερώτηση 56. Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του. Πότε το σημείο A, ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της ; Απάντηση Το σημείο, A ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της αν ισχύει: η είναι κυρτή στο a, και κοίλη στο, η C έχει εφαπτόμενη στο σημείο A,, ή αντιστρόφως, και Ερώτηση 57. Πότε η ευθεία θα λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ; Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

24 Απάντηση Η ευθεία θα λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο αν και μόνο αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim, lim ή lim είναι ή Ερώτηση 58. Πότε η ευθεία y θα λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ); Απάντηση Αν lim (αντίστοιχα lim της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ) ) τότε η ευθεία y θα είναι οριζόντια ασύμπτωτη Ερώτηση 59. Πότε η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως ); Απάντηση Αν ισχύει lim, (αντιστοίχως lim ) Ερώτηση 6. Αν η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως ) ποίες σχέσεις μας δίνουν τα λ, β; Απάντηση lim lim και lim και lim αντιστοίχως Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

25 Ερώτηση 6. Να διατυπώσετε τους κανόνες D l Hospital. Απάντηση Μορφή lim g Μορφή lim g : Αν lim, lim g όπου, (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: lim lim g g : Αν lim, lim g (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: και υπάρχει το όπου και υπάρχει το, lim lim g g Ερώτηση 6. στο Δ; Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζεται παράγουσα της Απάντηση Παράγουσα μίας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F, για κάθε. Ερώτηση 6. Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι αν F είναι μία παράγουσα της στο Δ, τότε: G F c, c είναι παράγουσες της στο Δ Όλες οι συναρτήσεις της μορφής και Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c. Απάντηση Κάθε συνάρτηση της μορφής G F c, όπου c είναι μία παράγουσα της στο Δ αφού G F c F για κάθε Έστω G είναι μία άλλη παράγουσα της στο Δ. Τότε για κάθε ισχύουν F G G F, για κάθε. Άρα υπάρχει και, οπότε σταθερά c τέτοια, ώστε G F c, για κάθε. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

26 Ερώτηση 64. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β] και G μία παράγουσα της στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι: a d G G Απάντηση Η συνάρτηση F t dt είναι μία παράγουσα της στο [α, β]. Επειδή και η G είναι μία a παράγουσα της στο [α, β], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε Από την (), για Οπότε c a, έχουμε G F c () a G a F a c t dt c c Ga. Επομένως, G F Ga, οπότε, για a, έχουμε, άρα d G G a a G F G G d G Ερώτηση 65. Έστω δύο συναρτήσεις και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β] με g για κάθε, και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες a και. Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του Ω θα ισχύει E g d a Απάντηση Παρατηρούμε ότι: E E E d g d g d Επομένως a E g d a a a Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

27 Ερώτηση 66. Έστω δύο συναρτήσεις και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β] με g για κάθε, και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες a και. Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν E του Ω θα ισχύει E g d a Απάντηση Πράγματι, επειδή οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο [α, β], θα υπάρχει αριθμός c τέτοιος ώστε c g c, για κάθε, ίδιο εμβαδό με το χωρίο Ω (Σχ. β). Επομένως, έχουμε:. Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. α) έχει το a a E E c g c d a E g d g d. Άρα Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6

28 Λεξιλόγιο Φράσεις που Συναντάμε σε Ασκήσεις Μαθηματικές Σχέσεις που Προκύπτουν Το σημείο Σημείο, y ανήκει στην γραφική y C y παράσταση της συνάρτησης Η γραφική παράσταση στης διέρχεται από, y το, Το σημείο, y : y ανήκει στην ευθεία Η ευθεία : y διέρχεται από το σημείο, y, y y Η γραφική παράσταση της στο σημείο με τετμημένη έχει την τιμή y Η γραφική παράσταση της στο σημείο με τεταγμένη y y y Σχετικές Θέσεις Η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα Σημεία της γραφικής παράστασης της με τεταγμένη ίση με Λύνουμε την εξίσωση Η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα yy Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με το άξονα yy Βρίσκουμε το Η γραφική παράσταση της βρίσκετε πάνω από τον άξονα Τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βρίσκουμε τις λύσεις της ανίσωσης Η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από τον άξονα Βρίσκουμε της λύσεις της ανίσωσης Τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 7

29 η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από τον άξονα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y Το πλήθος των σημείων με τεταγμένη, Λύνουμε την εξίσωση Η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την ευθεία y Λύνουμε την ανίσωση Η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την ευθεία y Λύνουμε την ανίσωση Η γραφική παράσταση της τέμνει την γραφική παράσταση της g Σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των και g Η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g Το σύνολο των σημείων για τα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g Η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της g Το σύνολο των σημείων για τα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της g Λύνουμε την εξίσωση g Λύνουμε την ανίσωση g Λύνουμε την ανίσωση g Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της και της ευθείας y Λύνουμε την εξίσωση Το σύνολο των σημείων για τα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την ευθεία y Λύνουμε την ανίσωση Το σύνολο των σημείων για τα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την ευθεία y Λύνουμε την ανίσωση H είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της Συνέχεια lim lim ή lim Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 8

30 lim lim h h lim h h, Η είναι παραγωγίσιμη στο του πεδίου ορισμού της Παράγωγος lim h lim h ή h h lim h h ή, Πρώτη παράγωγος της Ρυθμός μεταβολής της ως προς Κλίση εφαπτομένης Βρίσκουμε το Η ευθεία : y είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της, y στο σημείο της Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης, y ταυτίζεται της στο σημείο της με την ευθεία : y Εφαπτομένη και Εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της, y στο σημείο Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης, y είναι της στο σημείο παράλληλη στον άξονα Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης, y είναι της στο σημείο παράλληλη στην ευθεία : y Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης, y είναι κάθετη της στο σημείο στην ευθεία : y : y Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 9

31 Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης, y έχει κλίση λ της στο σημείο Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης, y σχηματίζει με της στο σημείο τον άξονα γωνία ω Οι γραφικές παραστάσεις των και g έχουν κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο, y Οι γραφικές παραστάσεις των και g έχουν κοινή εφαπτόμενη και g g Έστω A a a τότε ισχύει ότι:, C και a g a a a g g B g C, g Ακρότατα Η παρουσιάζει μέγιστο στο D για κάθε D Η παρουσιάζει ελάχιστο στο D για κάθε D Σύνολο Τιμών Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο Ισχύει για κάθε D, Δίνεται η συνάρτηση : D a, Το (μηδέν) ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Το (μηδέν) δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης για κάθε D Ένα προς Ένα - Αντίστροφη Η είναι - στο πεδίο ορισμού της, D ισχύουν οι σχέσεις και Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

32 H δεν είναι - Υπάρχουν D τέτοια ώστε, Να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης της συνάρτησης H αντιστρέφεται y y Μονοτονία - Κυρτότητα H είναι παραγωγίσιμη και γνησίως για κάθε αύξουσα σε ένα διάστημα Δ H είναι παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ Η είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ Η είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ για κάθε Για κάθε, ισχύει ότι Για κάθε, ισχύει ότι Η είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ γνησίως αύξουσα στο Δ Η είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ γνησίως φθίνουσα στο Δ Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα διάστημα Δ Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη σε ένα διάστημα Δ για κάθε για κάθε Ασύμπτωτες Η γραφική παράσταση της παρουσιάζει lim κατακόρυφή ασύμπτωτή στο Η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο lim Η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο Η γραφική παράσταση της παρουσιάζει οριζόντια ασύμπτωτη στο lim lim όπου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

33 Η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο Η γραφική παράσταση της παρουσιάζει οριζόντια ασύμπτωτη στο Η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο lim lim lim όπου όπου όπου lim Ισχύει ακόμη ότι lim lim lim Ισχύει ακόμη ότι lim lim και και Σταθερή Συνάρτηση Η είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ για κάθε c, c για κάθε Η F είναι μία παράγουσα της σε ένα διάστημα Δ Η F είναι μία αρχική της σε ένα διάστημα Δ Η F είναι η αντιπαράγωγος της στο Δ Παράγουσα F για κάθε Εμβαδό Επίπεδου Χωρίου Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της τον E d άξονα a και τις ευθείες a και Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται με a από την γραφική παράσταση της τον E d όπου ρίζα της a Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

34 άξονα και την ευθεία Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» a και a Ή a E d όπου ρίζα της και a Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της τον άξονα Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της, την γραφική παράσταση της g και τις ευθείες a και Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της, την γραφική παράσταση της g και την ευθεία a Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της και την γραφική παράσταση της g E d όπου, ρίζες της και E g d με a a E g d όπου ρίζα της a g και a a E g d όπου ρίζα Ή της g και a E d όπου, ρίζες της g και Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

35 Συνοπτικές Μεθοδολογίες Συναρτήσεις Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Σύνθεση Συναρτήσεων Για να ορίσουμε την g, βρίσκουμε: Το πεδίο ορισμού Α της Το πεδίο ορισμού Β της g g : A A B Το πεδίο ορισμού της Τον τύπο της g : g g Αντίστροφη Συνάρτηση Για να ορίσουμε την : Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της. Εξετάζουμε, αν η είναι ( για κάθε, Βρίσκουμε τον τύπο της (θέτουμε y A με ) και λύνουμε ως προς ). Συναρτησιακές Σχέσεις Στην περίπτωση που έχουμε y y ή y y Αρχικά θέτουμε y για τον υπολογισμό του και στην συνέχεια y Στην περίπτωση που έχουμε y y ή y y Αρχικά θέτουμε y για τον υπολογισμό του και στην συνέχεια y Όρια Χρήσιμες Προτάσεις Όριο και διάταξη Αν lim ( ), τότε ( ) κοντά στο Αν lim ( ), τότε ( ) κοντά στο Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο και ισχύει ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim ( ) lim g( ) Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

36 Αν lim Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» ( ), τότε ( ) κοντά στο, ενώ αν lim ( ), τότε ( ) κοντά στο. Υπολογισμός - Ιδιότητες Αν lim ( ), τότε lim( ( )), ενώ αν lim ( ), τότε lim( ( )). Αν lim ( ) ή, τότε lim. ( ) Αν lim ( ) και ( ) κοντά στο, τότε και ( ) κοντά στο, τότε lim ( ) lim ( )., ενώ αν lim ( ) Αν lim ( ) ή, τότε lim ( ). Αν lim ( ), τότε lim ( ) k. ν ν Για την πολυωνυμική συνάρτηση P( ) αν αν α, με α ν lim P( ) lim ( α και lim P( ) lim ( α ) ν ισχύει ν ) ν ν Αν P( ) αν αν α P lim Q a v lim και και v v P a v lim lim Q Q... τότε ν ν Υπολογισμός Ορίων Τα όρια, αντιμετωπίζονται με τους κανόνες d l Hospital. Για τα όρια της μορφής έχουμε: g Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5 g lim lim lim. Η g σειρά με την οποία επιλέγουμε να «μεταφέρουμε» συναρτήσεις στον παρονομαστή είναι: ) Εκθετική ) Πολυωνυμική ) Λογαριθμική

37 Στα όρια που περιέχουν και, όταν δεν είναι της μορφής, χρησιμοποιούμε το Κριτήριο Παρεμβολής, δηλαδή: και Αν h g κοντά στο h lim g, τότε lim lim Σημείωση!!! lim, lim, lim Για τις συναρτήσεις και ισχύει ακόμη,, Στην περίπτωση ορίων που μηδενίζεται ο παρονομαστής και όχι ο αριθμητής, παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή, ξεχωρίζουμε τις μη μηδενιζόμενες από τις μηδενιζόμενες ποσότητες, παίρνουμε πλευρικά όρια χρησιμοποιώντας τα lim και lim. Δεν είναι αναγκαία τα πλευρικά όρια όταν γνωρίζουμε το πρόσημο του παρονομαστή που μηδενίζεται. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις: lim, lim v Στις περιπτώσεις των ορίων της μορφής: lim g και g lim Εργαζόμαστε ως εξής: Στο πρόχειρο κάνουμε εξαγωγή κοινού παράγοντα τη μεγαλύτερη δύναμη του. Αν δεν εμφανίζεται μη επιτρεπτή πράξη,,,, αυτό είναι το ζητούμενο όριο. Αν εμφανίζεται μη επιτρεπτή πράξη, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση. Συνέχεια Εύρεση Συνέχειας Μελέτη συνέχειας της συνάρτησης, g a, Για η είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Συνέχεια στο : Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6

38 Αν το lim Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» δεν υπάρχει, η είναι ασυνεχής στο Αν lim και, τότε η είναι συνεχής στο τότε η είναι ασυνεχής στο. Για να μελετήσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης, ενώ αν, g, εξετάζουμε τη g, συνέχεια της στο σημείο αλλαγής τύπου με την βοήθεια τον πλευρικών ορίων και του lim lim. Εάν η ισότητα δεν αληθεύει τότε η συνάρτηση ορισμού είναι ασυνεχής. Υπολογισμός Παραμέτρων Για να βρούμε τις τιμές των α, β για τις οποίες η είναι συνεχής στο, χρησιμοποιούμε την πρόταση: συνεχής στο lim lim Συνέχεια και Συναρτησιακές Σχέσεις Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση που ορίζεται με συναρτησιακή σχέση, είναι συνεχής στο, αποδεικνύουμε ότι για κάθε lim. ισχύει Στην περίπτωση που δίνεται η σχέση y y ή h y y τότε: lim lim h h Στην περίπτωση που δίνεται η σχέση y y ή h y y τότε: lim lim h h Παράγωγος Παράγωγος στο Για να βρούμε την παράγωγο της Για Για g, g, έχουμε ότι g έχουμε ότι g εργαζόμαστε ως εξής: Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 7

39 Για χρησιμοποιούμε τον ορισμό lim lim η είναι παραγωγίσιμη στο Άλλοι Τύπο υπολογισμού της παραγώγου της σε σημείο lim, h h h. Αν τα πλευρικά όρια είναι ίσα τότε h h lim, h Εύρεση Παραμέτρων Για να βρούμε τις τιμές των α, β για τις οποίες η είναι παραγωγίσιμη στο, παίρνουμε τις συνθήκες: lim lim συνεχής στο παραγωγίσιμη στο lim lim Εφαπτόμενη Ο αριθμός γεωμετρικά εκφράζει τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο σημείο της M,, Ισχύει όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η C με τον άξονα Αν. lim Η εξίσωση της εφαπτομένης της η ευθεία είναι κατακόρυφη εφαπτόμενη της C στο C στο M, είναι η ευθεία με εξίσωση : y C στο M, είναι παράλληλη στον, τότε C στο M, είναι παράλληλη στην ευθεία y, τότε C στο M, είναι κάθετη στην ευθεία y, τότε C στο M, ταυτίζεται με την ευθεία y, τότε Αν η εφαπτόμενη της Αν η εφαπτόμενη της Αν η εφαπτόμενη της Αν η εφαπτόμενη της Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 8

40 Αν οι C και Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» C έχουν κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο g M, y, τότε g C έχουν κοινή εφαπτόμενη, τότε g g g g g Αν οι C και Σταθερή Συνάρτηση Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι σταθερή στο πεδίο ορισμού της αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε D. Άρα c, c για κάθε D, από μία αρχική συνθήκη που θα δίνεται ή που μπορούμε να βρούμε υπολογίζουμε την σταθερά c Μονοτονία Ακρότατα Για να μελετήσουμε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα μίας συνάρτησης, εργαζόμαστε ως εξής: o Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού o Την εξετάζουμε ως προς την συνέχεια o Βρίσκουμε την παράγωγό της o Λύνουμε την εξίσωση o Κατασκευάζουμε πίνακα μονοτονίας της. Αν στην υπόθεση του προβλήματος αναφέρεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ αυτό, σύμφωνα με το Θεώρημα Frmat θα είναι Κυρτότητα Σημεία Καμπής Για να μελετήσουμε ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής μία συνάρτηση: o Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. o Την εξετάζουμε ως προς την συνέχεια o Βρίσκουμε την o Λύνουμε την εξίσωση o Κατασκευάζουμε τον αντίστοιχο πίνακα. Αν στην υπόθεση του προβλήματος αναφέρεται ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει σημείο καμπής σ αυτό, τότε θα είναι Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 9

41 Επίλυση Εξισώσεων (Ύπαρξή που ικανοποιεί μία σχέση) Για να λύσουμε μία εξίσωση ή να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον που ικανοποιεί μία σχέση έχουμε τα εξής εργαλεία: Προφανής Ρίζα ( μία τιμή που μηδενίζει την συνάρτηση που έχουμε ορίσει) Θεώρημα Bolzano a, δηλαδή ύπαρξη δύο ετερόσημων τιμών για την συνάρτηση που Ένδειξη έχουμε ορίσει Σημείωση!!! Στην περίπτωση που θέλουμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano και παρατηρήσουμε ότι μηδενίζεται κάποιος από τους παρονομαστές που τυχών υπάρχουν, τότε κάνουμε απαλοιφή. Αν a τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις o a όπου εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano o ή Θεώρημα Roll Ενδείξεις: a a o Έχουμε την, θέλουμε να βρούμε ρίζα για την και επιπλέον υπάρχουν α, β για τα οποία ισχύει a o Θέλουμε να λύσουμε την, δεν μπορούμε να εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano, επομένως βρίσκουμε την παράγουσα της, F και ελέγχουμε αν ικανοποιεί F a F την συνθήκη Θεώρημα Μέσης Τιμής Ένδειξη το Θ.Μ.Τ. χρησιμοποιείται όταν στο πρόβλημα υπάρχουν αναφορές σε τιμές τις συνάρτησης π.χ. a,,... Προσοχή!!! Τα α και β δεν είναι απαραίτητο να είναι πάντοτε άκρα διαστήματος. Αρκετές φορές είναι εσωτερικές τιμές, του πεδίου ορισμού, που προκύπτουν από προηγούμενα ερωτήματα. Σύνολο Τιμών Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης D. Αν το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης τότε η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο πεδίο ορισμού της. Θεώρημα Frmat Ένδειξη εάν στην εκφώνηση δίνεται μία ανισο-ισότητα τότε θεωρούμε συνάρτηση του πρώτου μέλους ( ή ). Εντοπίζουμε μία λύση της εξίσωσης. Δηλαδή ένα εσωτερικό του πεδίου ορισμού για το οποίο. Άρα Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

42 ή θεώρημα Frmat θα ισχύει, δηλαδή η παρουσιάζει ακρότατο στο. Από το Σημείωση!!! Το θεώρημα Frmat είναι το μοναδικό θεώρημα που μας «πηγαίνει» από μία ανισοϊσότητα σε μία ισότητα, για ένα όμως συγκεκριμένο. Για να δείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μία το πολύ ρίζα σε ένα διάστημα ( υπάρχει ένα το πολύ που να ικανοποιεί μία σχέση) Μελετούμε την μονοτονία. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει μία το πολύ ρίζα στο πεδίο ορισμού της. Άτοπο με Θεώρημα Roll Ένδειξη αν στην εκφώνηση υπάρχει κάποιου είδους σχέση που να παραπέμπει σε άτοπο για την παράγωγο της συνάρτησης που έχουμε ορίσει. Για να δείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα σε ένα διάστημα ( υπάρχει ένα ακριβώς που να ικανοποιεί μία σχέση) δείχνουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον και μία το πολύ ρίζα της εξίσωσης. Εύρεση Συνόλου Τιμών Αρχικά κάνουμε τον πίνακα μονοτονία της συνάρτησης και στην συνέχεια βρίσκουμε και υπολογίζουμε τα ακρότατα (αν υπάρχουν). Στην συνέχεια εργαζόμαστε ως εξής Αν γνησίως αύξουσα στο, τότε, a, Αν γνησίως αύξουσα στο a, τότε Αν γνησίως αύξουσα στο a, τότε Αν γνησίως αύξουσα στο, Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4, lim, a a,, lim, lim, lim a a a a τότε a Αν γνησίως φθίνουσα στο, τότε,, a Αν γνησίως φθίνουσα στο a, τότε,, lim a a Αν γνησίως φθίνουσα στο a, τότε a, lim, a Αν γνησίως φθίνουσα στο a, τότε, lim, lim a a

43 Το σύνολο τιμών της προκύπτει ως η ένωση των διαστημάτων, όπως αυτά προκύπτουν από τον πίνακα μονοτονίας Απόδειξη (επίλυση) Ανισοτήτων Εύρεση Προσήμου Για να αποδείξουμε (ή να λύσουμε) μία ανίσωση ή να βρούμε το πρόσημο μίας συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής: Μονοτονία Συνάρτησης o Αν γνησίως αύξουσα τότε για a a o Αν γνησίως φθίνουσα τότε για a a Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να βρούμε και το πρόσημο της συνάρτησης, με την προϋπόθεση βέβαια ότι a. o Αν γνησίως αύξουσα τότε για o Αν γνησίως φθίνουσα τότε για Ακρότατα Συνάρτησης o Αν η παρουσιάζει μέγιστο στο επιπρόσθετα ισχύει D o Αν η παρουσιάζει ελάχιστο στο a a a a a a a a τότε τότε για κάθε D. Εάν για κάθε τότε επιπρόσθετα ισχύει τότε D Σύνολο Τιμών για κάθε D. Εάν για κάθε Έστω ότι το σύνολο τιμών μίας συνάρτηση είναι το σύνολο D m, M ότι m M για κάθε D ( αν D m, M τότε,. Τότε ισχύει m M ) Θεώρημα Μέσης Τιμής Ένδειξη αν γνωρίζουμε την μονοτονία της μίας συνάρτησης τότε μπορούμε να κάνουμε χρήση του Θ. Μ.Τ. για να αποδείξουμε την ανίσωση. Το Θ.Μ.Τ. είναι ιδιαίτερος χρήσιμο όταν έχουμε να δείξουμε διπλή ανίσωση. Ανισότητα Jnsn Ένδειξη αν γνωρίζουμε την μονοτονία της και θέλουμε να αποδείξουμε μία από τις παρακάτω ανισόσεις Αν η είναι κυρτή σε ένα διάστημα, τότε a a Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

44 Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» a a Αν η είναι κοίλη σε ένα διάστημα, τότε Προσοχή Οι παραπάνω ανισώσεις χρειάζονται απόδειξη ( δύο Θ.Μ.Τ στα διαστήματα a a, και a, ) Κυρτότητα Ενδείξεις: Μας ζητά σε προηγούμενα ερωτήματα να βρούμε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της ή να μελετήσουμε την ως προς τα κυρτά και τα κοίλα o Αν κυρτή και : y M, τότε o Αν κοίλη και : y M, τότε η εφαπτόμενη της C στο η εφαπτόμενη της C στο Προσοχή!!! Η ισότητα έχει μοναδική λύση την και αποτελεί μία ειδική περίπτωση επίλυσης εξισώσεων. Αν η είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και για κάθε, Θεώρημα Bolzano η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ : τότε για κάθε o Αν υπάρχει o Αν υπάρχει : τότε για κάθε τότε από Από το Θεώρημα Bolzano έχουμε ακόμη ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών. Για να δείξουμε μία ανισότητα, που περιέχει ολοκληρώματα χρησιμοποιούμε και τις προτάσεις: d a o Αν συνεχής στο [α, β] και, τότε o Αν συνεχής στο [α, β] και για κάθε, μηδέν στο [α, β], τότε: a d και η δεν είναι παντού Ασύμπτωτες Για να βρούμε τις ασύμπτωτες μία συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής: αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim, lim ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Αν lim (αντίστοιχα lim ή lim είναι ή τότε η ) τότε η ευθεία y θα είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ) Για να βρούμε τις πλάγιες ασύμπτωτες της C υπολογίζουμε τα όρια o lim και lim αντιστοίχως Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

45 Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» o lim και lim Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C Για ασύμπτωτες ερευνούμε στα ανοικτά άκρα του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης. Αν εντοπίζουμε οριζόντια ασύμπτωτη τότε δεν μπορεί να υπάρχει και πλάγια στο σημείο αυτό. Αν η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C τότε lim Ολοκληρώματα Εύρεση Παράγουσας Συνάρτησης Για την εύρεση της παράγουσας μία συνάρτησης κάνουμε χρήση του παρακάτω πίνακα Βασικές Συναρτήσεις Σύνθετες Συναρτήσεις Παράγουσα Δύο Συναρτήσεων c c c c g g g a v v a v v v v g g g g a a ln ln g g g Συνηθισμένες Παράγουσες Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 44

46 a a a, g g g ln a a g g g a a ln a a a Υπολογισμός Ολοκληρώματος Για τον υπολογισμό ενός στοιχειώδους ολοκληρώματος Βρίσκουμε την αρχική F της συνάρτησης ( με την χρήση του παραπάνω πίνακα) a d F a Κατά Παράγοντες Ολοκλήρωσης a a g d g g d Την ολοκλήρωση κατά παράγοντες την χρησιμοποιούμε για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ενός γινόμενου συναρτήσεων. Έχοντας ένα ολοκλήρωμα λοιπόν της μορφής. τέτοια ώστε g d αναζητούμε μια συνάρτηση a Η σειρά με την οποία αναζητούμε τις συναρτήσεις που θα βάλουμε κάτω από τόνο είναι: ) Εκθετικές h Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 45

47 ) Τριγωνομετρικές h, h v v ) Πολυωνυμικές av av... a a 4) Λογαριθμικές ln h Ένα απλό «κόλπο» στην ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι d d d a a a Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων o Εάν ο βαθμός του P() είναι μικρότερος από τον βαθμό του Q() τότε διαιρούμε «σπάζουμε» το κλάσμα σε απλά κλάσματα. a Με τον όρο απλά κλάσματα εννοούμε κλάσματα της μορφής και a με Δ< o Εάν ο βαθμός του P() είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό του Q() τότε κάνουμε την διαίρεση P():Q() και το κλάσμα μας γράφεται: P και εφαρμόζουμε την προηγούμενη μεθοδολογία για το Q Q κλάσμα Q Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Έχουμε ότι Άρα g g d θέτουμε u g a o Για u g o Για u g o gd du g g gd udu a g a Ολοκληρώματα και Αντίστροφη Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος o Για t a t o Για t t o d tdt Άρα d t t dt a a Εμβαδό Χωρίου Ω Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από: d θέτουμε t a Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 46

48 Την C, τον και τις a και την απόλυτη τιμή βρίσκουμε το πρόσημο της. Την C, τον είναι: μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης Τις C, C και τις g a και είναι: E d. Για να βγάλουμε E d όπου η μικρότερη ρίζα και η είναι: a. Για να βγάλουμε a E g d την απόλυτη τιμή βρίσκουμε το πρόσημο της g. Τις C, C, τον g είναι: η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης g E g d όπου η μικρότερη ρίζα και Προσδιορισμός Τύπου Συνάρτησης Στην περίπτωση που η υπόθεση είναι ισότητα στην οποία συνυπάρχουν η συνάρτηση και η παράγωγός της εφαρμόζουμε το θεώρημα g g c Για τον υπολογισμό της από μία σχέση της μορφής g, Aπρέπει να γνωρίζουμε ( ή να μπορέσουμε) να δείξουμε ότι: o συνεχής στο Α o g για κάθε Τότε από τα συμπεράσματα του Θεωρήματος Bolzano έχουμε ότι g για κάθε A ή g για κάθε A. Αν επιπλέον μπορέσουμε να βρούμε το πρόσημο μίας τιμής της τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε τον τύπο. o Αν υπάρχει A: τότε g o Αν υπάρχει A: τότε g Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 47

49 Ασκή σεις Για Λυ σή Θέματα Εξετάσεων Παρελθόντων Ετών Θέμα. Δίνεται η συνάρτηση ln, i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα. Στην συνέχεια να βρείτε το, σύνολο τιμών της ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. iii. Αν, με είναι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος ii, να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε iv. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση g με, τον άξονα και την ευθεία της συνάρτησης Θέμα. Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε:, και lim για κάθε i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της με τετμημένη ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο g,, τότε: Αν επιπλέον iii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να βρείτε το lim g iv. Να αποδείξετε ότι d v. Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και είναι 5 E τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d και στη συνέχεια, τέτοιο, ώστε F όπου F είναι μία να αποδείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της με F. (δίνεται ακόμη ότι F και F ) Θέμα. Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y,. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στην θέση, ενός συστήματος συντεταγμένων Oy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 48

50 Δίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του κινητού για κάθε χρονική στιγμή t, t είναι t m 6 / min i. Να αποδείξετε ότι η τετμημένη του κινητού, για κάθε χρονική στιγμή t, t δίνεται από τον τύπο t 6t ii. Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο παρατηρητής έχει A 4, και, στη συνέχεια, να υπολογίσετε οπτική επαφή με το κινητό είναι το πόσο χρόνο διαρκεί η οπτική επαφή. iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει η οπτική ακτίνα ΠΜ του παρατηρητή από το σημείο Ο μέχρι το σημείο Α. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t,, κατά την οποία η απόσταση 4 d M του παρατηρητή από το κινητό να γίνεται ελάχιστη. Να θεωρήσετε ότι το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π είναι σημεία του συστήματος συντεταγμένων Oy Θέμα 4. Δίνεται η συνάρτηση ln, i. Να βρείτε τις ασύμπτωτές της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, γνησίως αύξουσα στο διάστημα iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες., και iv. Αν, είναι οι ρίζες του ερωτήματος iii με, να αποδείξετε ότι υπάρχει, και ότι η μοναδικός αριθμός τέτοιος, ώστε εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο M διέρχεται από την αρχή των αξόνων., Θέμα 5. Δίνεται η συνάρτηση ln ln ένας πραγματικός αριθμός με Έστω, όπου λ i. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο lim πραγματικός αριθμός. και να είναι Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 49

51 ii. iii. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης a έχει μοναδική λύση για κάθε iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματικό αριθμό α με a Θέμα 6. Δίνεται μία συνάρτηση :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες 4 4 k, 4,, όπου k ένας πραγματικός αριθμός., ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Roll στο διάστημα, i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε να ισχύει g για κάθε, iii. Να αποδείξετε ότι k 6 και ότι ισχύει iv. Να αποδείξετε ότι v. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, d Θέμα 7. Δίνεται η συνάρτηση ln, i. Να αποδείξετε ότι ισχύει: για κάθε. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. ln, g k, a. Να βρείτε την τιμή του k έτσι ώστε η g είναι συνεχής b.αν k, τότε να αποδείξετε ότι η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα,. iii. Έστω η συνάρτηση Θέμα 8. Δίνεται η συνάρτηση lim i. Να αποδειχθεί ότι, a, Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

52 ii. Αν a Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Αν και η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο, να αποδειχθεί ότι a., να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Θέμα 9. Δίνετε η συνάρτηση d, i. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία της στο ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d iii. Για κάθε να αποδείξετε ότι: Θέμα. Δίνεται η συνάρτηση ln ln,, i. Να αποδείξετε ότι: a. ln ln, b.η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, ii. Να υπολογίσετε το lim ln iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός a, a a a a τέτοιος, ώστε Θέμα. Δίνεται η συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με i. Να δείξετε ότι η είναι «-» ii. Αν η γραφική παράσταση C της διέρχεται από τα σημεία, 5 B, να λύσετε την εξίσωση 4 8 για κάθε A και iii. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της C, στο οποίο η εφαπτόμενη της C είναι κάθετη στην ευθεία : y Θέμα. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει lim 5 i. Να δείξετε ότι: a. b. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

53 ii. Να βρείτε το έτσι, ώστε: lim iii. Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο και για κάθε, να δείξετε ότι: a. για κάθε b. d Θέμα. Θεωρούμε συνάρτηση : με m 4 5 m i. Να βρείτε τον m ώστε για κάθε *,όπου m, ii. Αν m, να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες και. Θέμα 4. Δίνεται η συνάρτηση i. Να αποδείξετε ότι ii. lim Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν το τείνει στο iii. Να αποδείξετε ότι iv. Να αποδείξετε ότι ln d Θέμα 5. Δίνεται μία συνάρτηση ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: και για κάθε. i. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη. ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. iii. Έστω η συνάρτηση g. Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 o Θέμα 6. Δίνεται η συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: κάθε i. Να αποδείξετε ότι: ln ii. iii. για, Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής ln έχει μία ακριβώς λύση στο iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα, Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

54 Θέμα 7. Δίνεται η συνάρτηση ln, i. Για να μελετήσετε ως προς την μονοτονία της συνάρτησης. ii. Να λύσετε την εξίσωση: ln 4 iii. Να αποδείξετε ότι η έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της στα σημεία καμπής της, τέμνονται σε σημείο στον άξονα yy iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d Θέμα 8. Δίνεται η συνάρτηση a ln, όπου a και a i. Αν ισχύει για κάθε, να αποδείξετε ότι a ii. Για a a. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή. b.να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα c. Αν,,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, ln,, i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο. ii. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της. a iii. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α., για κάθε. Θέμα 9. Δίνεται η συνάρτηση iv. Να αποδείξετε ότι ισχύει Θέμα. Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει t dt i. Να αποδείξετε ότι ii. Δίνεται επίσης μία συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε g g h ότι g lim h h iii. Αν για την συνάρτηση του ερωτήματος (i) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος (ii) g h g g h ισχύει ότι lim 45 και g g, h h τότε: Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5