Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε ϕραγµένη ακολουθία συγκλίνει ϐ Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ϕραγµένη γ Αν a είναι µια ακολουθία ακεραίων αριθµών, τότε η a συγκλίνει αν και µόνο αν είναι τελικά σταθερή δ Υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών ε Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό στ Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι όριο κάποιας ακολουθίας άρρητων αριθµών Ϲ Αν a είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών, τότε a 0 αν και µόνο αν a + η Εστω a αύξουσα ακολουθία Αν η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε a + ϑ Αν η a συγκλίνει τότε και η a συγκλίνει ι Αν a > 0 και η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε a + ια Αν η a συγκλίνει και a + a για κάθε N, τότε η a είναι σταθερή Υπόδειξη α Λάθος Η ακολουθία a είναι ϕραγµένη αλλά δεν συγκλίνει ϐ Σωστό Υποθέτουµε ότι a a R Παίρνουµε ε > 0 Μπορούµε να ϐρούµε 0 N ώστε a a < για κάθε 0 ηλαδή, αν 0, τότε a a a + a < + a Θέτουµε M max{ a,, a 0, + a } και ελέγχουµε ότι a M για κάθε N διακρίνετε περιπτώσεισ: 0 και > 0 Άρα, η a είναι ϕραγµένη γ Σωστό Υποθέτουµε ότι η a συγκλίνει στον πραγµατικό αριθµό a Επιλέγουµε ε και ϐρίσκουµε 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a a < Τότε, αν 0 έχουµε a a 0 a a + a a 0 a a + a a 0 < + Οµως, οι a και a 0 είναι ακέραιοι, άρα a a 0 ηλαδή, η a είναι τελικά σταθερή : για κάθε 0 έχουµε a a 0 Η αντίστροφη κατεύθυνση είναι απλή : γενικότερα, αν για µια ακολουθία a στο R όχι αναγκαστικά στο Z υπάρχουν 0 N και a R ώστε για κάθε 0 να ισχύει a a, τότε a a εξηγήστε, µε ϐάση τον ορισµό του ορίου δ Λάθος Ας υποθέσουµε ότι a είναι µια γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών Το σύνολο A {a : N} είναι µη κενό υποσύνολο του N Από την αρχή της καλής διάταξης, έχει ελάχιστο στοιχείο
ηλαδή, υπάρχει m N ώστε : για κάθε N ισχύει a m a Αυτό είναι άτοπο, αφού a m+ A και a m+ < a m ε Λάθος Η ακολουθία a είναι ακολουθία άρρητων αριθµών, όµως a 0 και ο 0 είναι ϱητός στ Σωστό ιακρίνετε περιπτώσεις Αν ο x είναι άρρητος, µπορείτε να ϑεωρήσετε τη σταθερή ακολουθία a x Αν ο x είναι ϱητός, µπορείτε να ϑεωρήσετε την ακολουθία a x + Ϲ Σωστό Υποθέτουµε πρώτα ότι a 0 Εστω M > 0 Αφού a 0, εφαρµόζοντας τον ορισµό µε ε M > 0, µπορούµε να ϐρούµε 0 0 ε 0 M N ώστε : για κάθε 0 ισχύει 0 < a < M ηλαδή, υπάρχει 0 0 M N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a > M Επεται ότι a + Για την αντίστροφη κατεύθυνση εργαζόµαστε µε ανάλογο τρόπο η Σωστό Εστω M > 0 Αφού η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, υπάρχει 0 N ώστε a 0 > M Αφού η a είναι αύξουσα, για κάθε 0 ισχύει a a 0 > M Αφού ο M > 0 ήταν τυχών, συµπεραίνουµε ότι a + ϑ Λάθος Η a δεν συγκλίνει, όµως η a συγκλίνει ι Λάθος Θεωρήστε την ακολουθία a µε a k k και a k για κάθε k N Τότε, a > 0 και η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, όµως a + αν αυτό ίσχυε, ϑα έπρεπε όλοι τελικά οι όροι της a να είναι µεγαλύτεροι από, το οποίο δεν ισχύει αφού όλοι οι περιττοί όροι της είναι ίσοι µε ια Σωστό Αν a a τότε οι ακολουθίες a k και a k συγκλίνουν στον a εξηγήστε γιατί Από την υπόθεση ότι a + a για κάθε N, ϐλέπουµε ότι οι a k και a k είναι σταθερές ακολουθίεσ: υπάρχουν x, y R ώστε x a a 3 a 5 και y a a 4 a 6 Από τις a k x και a k y έπεται ότι x y a Άρα, η a είναι σταθερή Εστω a ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών Αν a a > 0 αποδείξτε ότι a Τι µπορείτε να πείτε αν a 0; Υπόδειξη Επιλέγουµε ε a/ > 0 Αφού lim a a, υπάρχει 0 ε N µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a a < a/ Ισοδύναµα, για κάθε 0 ισχύει a/ < a < 3a/ Τότε, a/ < a < 3a/ Οµως, lim lim a a/ lim 3a/, από το α Τότε, το κριτήριο παρεµβολής µας εξασφαλίζει ότι Αν a 0 δεν µπορούµε να συµπεράνουµε το ίδιο : ϑεωρήστε τα παραδείγµατα a, b 3, γ Τι παρατηρείτε για τις lim a, lim b, lim c ; 3 Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε lim a Θεωρούµε τα σύνολα A { N : a < 00} A { N : a > 003} A 3 { N : a < 98} A 4 { N : 99997 < a < 000} A 5 { N : a } Για κάθε j,, 5 εξετάστε αν α το A j είναι πεπερασµένο, ϐ το N \ A j είναι πεπερασµένο Υπόδειξη α Παίρνοντας ε 000 > 0 ϐρίσκουµε N ώστε : για κάθε ισχύει 999 < a < 00 Άρα, κάθε ανήκει στο A Το N \ A είναι πεπερασµένο και το A άπειρο, και µάλιστα, τελικό τµήµα του N
γ Παίρνοντας ε 00 > 0 ϐρίσκουµε 3 N ώστε : για κάθε 3 ισχύει 98 < a < 0 Άρα, κάθε 3 ανήκει στο N \ A 3 Το A 3 είναι πεπερασµένο και το N \ A 3 άπειρο, και µάλιστα, τελικό τµήµα του N δ Παίρνοντας ε 000003 > 0 ϐρίσκουµε 4 N ώστε : για κάθε 4 ισχύει 99997 < a < 00003 < 000 Άρα, κάθε 4 ανήκει στο A 4 Το N \ A 4 είναι πεπερασµένο και το A 4 άπειρο, και µάλιστα, τελικό τµήµα του N ε Το A 5 µπορεί να είναι πεπερασµένο ή άπειρο, εξαρτάται από την a ακολουθίες a, a +, a + Ολες ικανοποιούν την Πάρτε σαν παραδείγµατα τις lim a Στην πρώτη περίπτωση έχουµε A 5 N και N \ A 5 Στην δεύτερη, A 5 και N \ A 5 N Στην τρίτη, τόσο το A 5 όσο και το N \ A 5 είναι άπειρα σύνολα το σύνολο των περιττών και το σύνολο των άρτιων ϕυσικών, αντίστοιχα 4 Αποδείξτε µε τον ορισµό ότι a + Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι a + + + < Για τυχόν ε > 0 ϐρείτε 0 ε N ώστε 0 < ε Τότε, για κάθε 0 ισχύει a < 0 < ε 5 Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών Αν lim a a > 0, δείξτε ότι a > 0 τελικά Υπόδειξη Επιλέγουµε ε a/ > 0 Αφού lim a a, υπάρχει 0 ε N µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a a < a/ Ισοδύναµα, για κάθε 0 ισχύει a/ < a < 3a/ Άρα, a > a/ > 0 τελικά από τον 0 -οστό όρο και πέρα x 6 Για ποιές τιµές του x R συγκλίνει η ακολουθία +x ; Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι x + x x + x + x + x Επίσης, αν x 0 τότε x +x ± εξηγήστε γιατί, άρα x + x < Από το α, αν x 0 τότε η ακολουθία ηλαδή, η ακολουθία x +x 0 Τέλος, αν x 0 έχουµε x +x x +x συγκλίνει, όποιο κι αν είναι το x 7 Για καθεµιά από τις παρακάτω ακολουθίες εξετάστε αν συγκλίνει, και αν ναι, ϐρείτε το όριό της: α 3!, β 3 +, γ, δ + ε 0, κ!, ν τ 3!, ξ si3 ζ 6 6, η si, 3 +, ρ + θ si, σ 3 + + 3
Υπόδειξη α α 3 α+! : µε το κριτήριο του λόγου Παρατηρήστε ότι α 3 + 0 <, άρα α 0 ϐ β 3+ / 3+/ 3 γ γ + δ δ + : Παρατηρήστε ότι + + e, διότι η + είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον e Παίρνοντας -οστές ϱίζες ϐλέπουµε ότι + δ e Από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, δ αφού + και e ε ε 0 : µε το κριτήριο της ϱίζας Παρατηρήστε ότι ε 0 0 < Άρα, ε 0 Ϲ ζ 6 6 : µε το κριτήριο του λόγου Παρατηρήστε ότι ζ+ ζ + 6 6 6 < Άρα, ζ 0 η η si Χρησιµοποιώντας την si t t για t > 0, ϐλέπουµε ότι 0 < 3 η 3 0 Άρα, η 0 ϑ θ si : η si είναι ϕραγµένη απολύτως από και η µηδενική Άρα, θ 0 κ κ! : παρατηρήστε ότι κ + κ + / + e < Άρα, κ 0 ν ν + : παρατηρήστε ότι ν + + ϱ ρ + : Παρατηρήστε ότι + + e, διότι η x + είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον e Παίρνοντας τετραγωνικές ϱίζες ϐλέπουµε ότι x ρ e Από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, ρ e ς σ 3 ++ 3 τ τ 3! : παρατηρήστε ότι Άρα, τ + τ + τ 3 + 3/ + ξ ξ si3 : η si 3 είναι ϕραγµένη απολύτως από και η 3 e > µηδενική Άρα, ξ 0 4
8 α Εστω a, a,, a k > 0 είξτε ότι b : a + a + + a k max{a, a,, a k } ϐ Υπολογίστε το όριο της ακολουθίας x + + + Υπόδειξη α Ορίζουµε a max{a, a,, a k } Τότε, για κάθε N έχουµε a a + + a k ka Άρα, a b : a + a + + a k ka a k Αφού lim k, από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε b a Για παράδειγµα, + 3 + 7 7 ϐ Το πλήθος των προσθετέων στον ορισµό του -οστού όρου δεν είναι σταθερό ουλέψτε όµως όπως στο α: παρατηρήστε ότι < + + + < αν Άρα, < x + + + < για κάθε Αφού, εφαρµόζεται το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, και x 9 Εστω α R Εξετάστε αν συγκλίνει η ακολουθία x [α] και, αν ναι, ϐρείτε το όριο της Υπόδειξη Από τον ορισµό του ακεραίου µέρους έχουµε [α] α < [α] +, άρα x α < x + Επεται ότι α < x α, άρα x α 0 Εστω α > 0 είξτε ότι η ακολουθία b +α +α Υπόδειξη Η b έχει ϑετικούς όρους Παρατηρούµε ότι άρα η b είναι ϕθίνουσα Επίσης, b + b Από το κριτήριο του λόγου, b 0 είναι ϕθίνουσα και προσδιορίστε το όριο της b + + + α b + α + α + + α + + α + α < + + α + α + α + α + + α + + α + α < Εστω a, b ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Υποθέτουµε ότι lim a a > 0 και b + α είξτε ότι υπάρχουν δ > 0 και 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a > δ ϐ είξτε ότι a b + 5
Υπόδειξη α Εφαρµόζουµε τον ορισµό του ορίου µε ε a/ > 0 Υπάρχει 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a a < a a > a a a Θέτοντας δ a/ παίρνουµε το Ϲητούµενο ϐ Εστω M > 0 Αφού b +, υπάρχει N ώστε b > M/δ για κάθε Θέτουµε max{ 0, } Τότε, για κάθε έχουµε a b > δm/δ M Με ϐάση τον ορισµό, a b + είξτε ότι η ακολουθία y πρώτα αν η y είναι µονότονη Υπόδειξη Παρατηρούµε ότι y + y + + άρα η y είναι γνησίως αύξουσα Επίσης, + + + συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό Υπόδειξη: Εξετάστε + + + 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + > 0, y + + + + + + + + + + + + <, αφού το άθροισµα που ορίζει τον y έχει προσθετέους το πολύ ίσους µε + Άρα, η y είναι άνω ϕραγµένη Από το ϑεώρηµα σύγκλισης µονότονων ακολουθιών, η y συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό 3 Θέτουµε a 6 και, για κάθε,,, a + 6 + a Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση την ακολουθία a Υπόδειξη είξτε µε επαγωγή ότι η a είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον 3 Άρα, a x για κάποιον x που ικανοποιεί την x 6 + x Οι ϱίζες της εξίσωσης είναι και 3 Αφού η a έχει ϑετικούς όρους, a 3 4 Ορίζουµε µια ακολουθία a µε a και Εξετάστε αν συγκλίνει a + a + a +, N Υπόδειξη Παρατηρήστε πρώτα ότι, αν η a συγκλίνει τότε το όριο της ϑα ικανοποιεί την x x+ x+ εξηγήστε γιατί Άρα x + 5 ή x 5 είξτε διαδοχικά τα εξήσ: Η a ορίζεται καλά Αρκεί να δείξετε ότι a για κάθε N είξτε µε επαγωγή ότι a > 0 για κάθε N Η a είναι αύξουσα µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι αν a m a m+ τότε a m+ a m+ 3 Η a είναι άνω ϕραγµένη µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι a m+ a m 0 a m+ + a m + a m+ a m + a m + a m + a m + για κάθε m Θα µπορούσατε επίσης να δείξετε ότι a m + 5 για κάθε m αφού, από τα παραπάνω, αυτό είναι το «υποψήφιο όριο» της αύξουσας ακολουθίας a 6
Αφού η a είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη, συγκλίνει στον + 5 5 Εστω a µια ακολουθία είξτε ότι a a αν και µόνο αν οι υπακολουθίες a k και a k συγκλίνουν στο a Υπόδειξη Υποθέτουµε ότι οι υπακολουθίες a k και a k συγκλίνουν στον a Εστω ε > 0 Υπάρχει N µε την ιδιότητα : για κάθε k ισχύει a k a < ε Επίσης, υπάρχει N µε την ιδιότητα : για κάθε k ισχύει a k a < ε Αν ϑέσουµε 0 max{, } τότε για κάθε 0 ισχύει a a < ε [Πράγµατι, παρατηρήστε ότι αν ο είναι άρτιος τότε k για κάποιον k ενώ αν ο είναι περιττός τότε k για κάποιον k ] Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι a a Το αντίστροφο είναι απλό : έχουµε δει ότι αν µια ακολουθία a συγκλίνει στον a R τότε κάθε υπακολουθία a k της a συγκλίνει στον a 6 Εστω a µια ακολουθία Υποθέτουµε ότι οι υπακολουθίες a k, a k και a 3k συγκλίνουν είξτε ότι : α lim a k lim a k lim a 3k k k k ϐ Η a συγκλίνει Υπόδειξη Ας υποθέσουµε ότι a k x, a k y και a 3k z Παρατηρήστε ότι : i Η a 6k είναι ταυτόχρονα υπακολουθία της a k και υπακολουθία της a 3k Άρα, η a 6k συγκλίνει και x lim a k lim a 6k lim a 3k z k k k ii Η a 6k 3 είναι ταυτόχρονα υπακολουθία της a k και υπακολουθία της a 3k Άρα, η a 6k 3 συγκλίνει και y lim a k lim a 6k 3 lim a 3k z k k k Επεται ότι x y z Αφού οι a k και a k έχουν το ίδιο όριο, η Άσκηση 5 δείχνει ότι η a συγκλίνει Β Οµάδα 7 Για καθεµιά από τις παρακάτω ακολουθίες εξετάστε αν συγκλίνει, και αν ναι, ϐρείτε το όριό της: α 5 + 6, β + 3, γ δ + +, ε cos + λ +, µ!, θ!! Υπόδειξη α α 5 + 6 5/6 +/6 /6 0 0 0 0 ϐ β + 3 : παρατηρήστε ότι β + Αφού, από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών ϐλέπουµε ότι β / γ γ : µε το κριτήριο της ϱίζας Παρατηρήστε ότι γ 0 < Άρα, γ 0 7
δ δ + + + : γράφουµε δ + + + + + + + + + + ε ε cos : η cos είναι ϕραγµένη απολύτως από και η λ λ + : δεν συγκλίνει, αφού λ και λ µ µ! : παρατηρήστε ότι µ Άρα, µ + ϑ θ!! : παρατηρήστε ότι άρα θ 0 θ + + θ + + <, 8 Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω ακολουθίες: Υπόδειξη α Παρατηρήστε ότι a + a + + + + + + b + + 3 3 + + γ! + +! + +! δ + /3 + + + /3 /3 + + + + + + Αφού lim lim + +, συµπεραίνουµε ότι a ϐ Παρατηρούµε πρώτα ότι µηδενική Άρα, ε 0 + + + 3 3 + + + + 3 + + + + + 3 + + Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα + x + x + + x x+ x για x, παίρνουµε Συνεπώς, Από την άλλη πλευρά, + + 3 3 + + + + + + + b + + 3 3 + + + + + + b + + 3 3 + + 8
ηλαδή, Από το κριτήριο παρεµβολής έπεται ότι b γ Παρατηρήστε ότι b + 0 < γ! + +! + +! +! Από το κριτήριο του λόγου προκύπτει εύκολα ότι +! 0 Άρα, γ 0 δ Παρατηρήστε ότι Άρα, δ + δ + /3 + + + + 3 /3 /3 > 3 + /3 4 9 Εστω A µη κενό και άνω ϕραγµένο υποσύνολο του R Αν a sup A, δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία a στοιχείων του A µε lim a a Αν, επιπλέον, το sup A δεν είναι στοιχείο του A, δείξτε ότι η παραπάνω ακολουθία µπορεί να επιλεγεί ώστε να είναι γνησίως αύξουσα Υπόδειξη Από τον ϐασικό χαρακτηρισµό του supremum, για κάθε ε > 0 υπάρχει x xε A ώστε a ε < x a Εφαρµόζοντας διαδοχικά το παραπάνω για ε,, 3,, µπορείτε να ϐρείτε ακολουθία a στοιχείων του A µε a < a a Από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, a a Ας υποθέσουµε, επιπλέον, ότι ο a sup A δεν είναι στοιχείο του A Υπάρχει a A που ικανοποιεί την a < a a Οµως, a a διότι a / A, άρα a < a < a Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ϐρεί a,, a m A που ικανοποιούν τα εξήσ: a < a < < a m < a Για κάθε k,, m ισχύει a k < a k < a Τότε, ο s m max{a m+, a m} είναι µικρότερος από τον a Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε a m+ A που ικανοποιεί την s m < a m+ < a εξηγήστε γιατί Άρα, a m < a m+ και a m+ < a m+ < a Επαγωγικά, ορίζεται γνησίως αύξουσα ακολουθία a στοιχείων του A που ικανοποιούν την a < a < a Από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, a a 0 Εστω a ακολουθία µε a a Ορίζουµε µια δεύτερη ακολουθία b ϑέτοντας είξτε ότι b a b a + + a Υπόδειξη Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι a 0 και δείχνουµε ότι b 0 Θεωρούµε ε > 0 και ϐρίσκουµε ε N µε την ιδιότητα : για κάθε ισχύει a < ε/ Τότε, για κάθε > έχουµε b a + + a + ε < a + + a + ε Ο αριθµός A : a + + a εξαρτάται από το ε αφού ο εξαρτάται από το ε όχι όµως από το Από την Αρχιµήδεια ιδιότητα, υπάρχει A ε N µε την ιδιότητα : για κάθε έχουµε a + + a A < ε 9
Αν λοιπόν πάρουµε 0 max{, } τότε, για κάθε 0 ισχύει η b A + ε < ε Με ϐάση τον ορισµό, b 0 Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρήστε την ακολουθία a : a a Τότε, a 0 Άρα, Επεται ότι b a b a a + + a a a a + + a a a + + a 0 Εστω a ακολουθία ϑετικών όρων µε a a > 0 είξτε ότι Υπόδειξη Αφού a a, η Άσκηση 0 δείχνει ότι b : a + + a και γ : a a a a b a + + a Αρα, b a Για την γ, παρατηρήστε ότι b γ δ : a+ +a από την ανισότητα αρµονικούγεωµετρικού-αριθµητικού µέσου, και εφαρµόστε το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών σε συνδυασµό µε την Άσκηση 0 Εστω a ακολουθία µε lim a + a a είξτε ότι a a a Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι a a a + + a a + a όπου b : a + a a Τώρα, χρησιµοποιήστε την Άσκηση 0 3 Εστω a αύξουσα ακολουθία µε την ιδιότητα b + + b + a b : a + + a a είξτε ότι a a Υπόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι η a είναι άνω ϕραγµένη Τότε, η a συγκλίνει και, από την Άσκηση 0, lim a lim b a Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι a 0 Τότε, a a 0 για κάθε N Αφού η b συγκλίνει, είναι ϕραγµένη : ειδικότερα, υπάρχει M R ώστε : για κάθε k N ισχύει a + +a k kb k km Παίρνοντας k και χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι η a είναι αύξουσα, γράφουµε a a + + + a a + + a b M ηλαδή, η a είναι άνω ϕραγµένη από τον M Πού χρησιµοποιήθηκε η υπόθεση ότι οι όροι της a είναι µη αρνητικοί ; 0
Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρήστε την αύξουσα ακολουθία a a a και την b : a + +a Από την υπόθεση έχουµε b a a και, όπως ορίστηκε η a, έχουµε a 0 Άρα, η a είναι άνω ϕραγµένη Επεται ότι η a είναι άνω ϕραγµένη εξηγήστε γιατί a 4 είξτε ότι : αν a > 0 και lim + a a, τότε lim a a Υπόδειξη Γράφουµε όπου b a και b a a a a b b b, a a a a,, 3, ακολουθία των γεωµετρικών µέσων της b συγκλίνει στον a ηλαδή, lim 5 Προσδιορίστε τα όρια των ακολουθιών : α Από την υπόθεση έχουµε b a και, από την Άσκηση, η a a [ ] /!! β [ + + + ]/ + γ [ 3 3 4 3 ] / Υπόδειξη Για την α Άρα, α 4 από την Άσκηση 4 [ ] /!! ϑέτουµε x!! και παρατηρούµε ότι x + + + x + 4 Για την β [ + + + ]/ παρατηρούµε ότι [ ++ + ] / ϑέτουµε y ++ + και y + y + + + Άρα, β 4 e από την Άσκηση 4 [ Για την γ 3 4 3 3 + ] / ϑέτουµε z Άρα, γ e από την Άσκηση 4 + + + + + z + z 6 Υπολογίστε τα όρια των παρακάτω ακολουθιών : a 3 4 3 + + e + 4 + e 3 + και παρατηρούµε ότι +, b +, c και d, e + 3
Υπόδειξη Χρησιµοποιήστε το γεγονός ότι x + e Για παράδειγµα, α a + x e ϐ b + + + + + + x +x e γ c x e, άρα c e δ d + e e ε e 3 + 3 3 e γιατί ;, άρα e 3 e a 7 Εστω a, b δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών µε b 0 για κάθε N και lim b α Αν, επιπλέον, η b είναι ϕραγµένη, δείξτε ότι lim a b 0 ϐ ώστε παράδειγµα ακολουθιών για τις οποίες lim αλλά δεν ισχύει lim a b 0 a Υπόδειξη α Γράφουµε a b b b Από την υπόθεση, η b είναι ϕραγµένη και η µηδενική Συνεπώς, lim a b 0 ϐ Θεωρήστε τις a + και b 8 Χρησιµοποιώντας την ανισότητα a b + + + + +, a b δείξτε ότι η ακολουθία a + + + δεν είναι ϐασική ακολουθία Συµπεράνατε ότι a + Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι : για κάθε N, + + + + + + + είναι Ας υποθέσουµε ότι η ακολουθία a + + + είναι ϐασική ακολουθία Τότε, παίρνοντας ε 4 > 0, µπορούµε να ϐρούµε 0 N µε την ιδιότητα : για κάθε m, 0 ισχύει a m a < 4 Πάρτε 0 και m > 0 Τότε, a a < 4 Αυτό δεν µπορεί να ισχύει, διότι a a Εξηγήστε τώρα τα εξήσ: + + + + + + + + + + + + + + + α Αφού η a δεν είναι ϐασική ακολουθία, η a δεν συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό ϐ Αφού η a είναι αύξουσα και δεν συγκλίνει, η a δεν είναι άνω ϕραγµένη γ Αφού η a είναι αύξουσα και δεν είναι άνω ϕραγµένη, αναγκαστικά a + 9 Εστω 0 < µ < και ακολουθία a για την οποία ισχύει είξτε ότι η a είναι ϐασική ακολουθία a + a µ a a,
Υπόδειξη Εστω a a και b a Από την a + a µ a a έπεται εξηγήστε γιατί ότι : για κάθε ισχύει a + a µ a a b a µ Αν λοιπόν m, N και m >, τότε a m a a m a m + + a + a b a µ + + µ m Θεωρήστε ε > 0 και ϐρείτε 0 N που ικανοποιεί την Τότε, αν m > 0, a m a ηλαδή, η a είναι ϐασική ακολουθία b a µ µm µ b a µ µ b a µ µ µ b a µ µ µ0 < ε Τέτοιος 0 υπάρχει γιατί µ 0 όταν b a µ µ b a µ µ µ < ε µ0 30 Ορίζουµε a a, a b και a + a+a, Εξετάστε αν η a είναι ϐασική ακολουθία Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι : για κάθε ισχύει δηλαδή a + a a + a a a a, a + a a a Από την Άσκηση 9, η a είναι ϐασική ακολουθία Γ Οµάδα 3 είξτε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός είναι όριο γνησίως αύξουσας ακολουθίας ϱητών αριθµών, καθώς επίσης και όριο γνησίως αύξουσας ακολουθίας άρρητων αριθµών Υπόδειξη Εστω x R Υπάρχει q Q που ικανοποιεί την x < q < x από την πυκνότητα του Q στο R Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ϐρεί ϱητούς αριθµούς q,, q m που ικανοποιούν τα εξήσ: q < q < < q m < x Για κάθε k,, m ισχύει x k < q k < x Τότε, ο s m max{x m+, q m} είναι µικρότερος από τον x Λόγω της πυκνότητας των ϱητών στους πραγ- µατικούς αριθµούς, µπορούµε να ϐρούµε q m+ Q στο ανοικτό διάστηµα s m, x Τότε, q m < q m+ και x m+ < q m+ < x Επαγωγικά, ορίζεται γνησίως αύξουσα ακολουθία q ϱητών αριθµών που ικανοποιούν την x < q < x Από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, q x 3 είξτε ότι αν a είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε a a > 0, τότε if{a : N} > 0 3
Υπόδειξη Η ϐασική ιδέα είναι ότι, αφού a > 0 και a a, ϑα υπάρχει 0 µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a > a/ ηλαδή, τελικά όλοι οι όροι της a ξεπερνούν τον ϑετικό αριθµό a/ Πράγµατι, αν εφαρµόσετε τον ορισµό του ορίου για την a µε ε a/ > 0, µπορείτε να ϐρείτε 0 R ώστε : για κάθε 0, a a < ε a/ a/ < a < 3a/ Τότε, ο ϑετικός αριθµός m : mi{a,, a 0, a/} είναι κάτω ϕράγµα του συνόλου A {a : N} εξηγήστε γιατί Συνεπώς, ifa m > 0 33 είξτε ότι αν a είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε a 0, τότε το σύνολο A {a : N} έχει µέγιστο στοιχείο Υπόδειξη Η ϐασική ιδέα είναι ότι, αφού a > 0 και a 0, ϑα υπάρχει 0 µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a < a ηλαδή, υπάρχει στοιχείο του A µεγαλύτερο από «όλα» εκτός από πεπερασµένα το πλήθος τα στοιχεία του A Πράγµατι, αν εφαρµόσετε τον ορισµό του ορίου για την a µε ε a > 0, µπορείτε να ϐρείτε 0 R ώστε : για κάθε 0, a a 0 < ε a Τότε, ο µεγαλύτερος από τους a,, a 0 είναι το µέγιστο στοιχείο του A: ανήκει στο A και είναι µεγαλύτερος ή ίσος από κάθε a εξηγήστε γιατί 34 Ορίζουµε µια ακολουθία α µε α 0 και α + 3α + α +,,, 3, είξτε ότι : α Η α είναι αύξουσα ϐ α Υπόδειξη α Παρατηρούµε πρώτα ότι α > 0 για κάθε N Επίσης, άρα η α είναι αύξουσα α + α 3α + α + α α α + α 0, α + α + ϐ Η α είναι άνω ϕραγµένη από τον είξτε το επαγωγικά : αν α τότε 3α + α + α + α + + α +, οπότε α + 3α + α + Αφού η α είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη, συγκλίνει σε κάποιον x > 0 ο οποίος ικανοποιεί την x 3x + x+, δηλαδή x x + 0 Άρα, x 35 Θεωρούµε την ακολουθία α που ορίζεται από τις α 3 και α + α+3 5,,, είξτε ότι η α συγκλίνει και υπολογίστε το όριο της Υπόδειξη Παρατηρούµε ότι α 9 5 < 3 α είξτε µε επαγωγή ότι η α είναι ϕθίνουσα Αφού απλό η α είναι και κάτω ϕραγµένη από τον 3/5, συγκλίνει στη λύση της εξίσωσης x x+3 5 ηλαδή, α 36 Εστω a > 0 Θεωρούµε τυχόν x > 0 και για κάθε N ορίζουµε x + x + a x είξτε ότι η x, τουλάχιστον από τον δεύτερο όρο της και πέρα, είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη από τον a Βρείτε το lim x Υπόδειξη είξτε διαδοχικά τα εξήσ: Η x ορίζεται καλά Αρκεί να δείξετε ότι x 0 για κάθε N είξτε µε επαγωγή ότι x > 0 για κάθε 4
Για κάθε ισχύει x a µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι x + x + a a x a x x για κάθε N 3 Για κάθε ισχύει x x + µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι για κάθε N x x + x a x 0 Αφού η x είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη, συγκλίνει Το όριο x είναι ϑετικό από τα προηγούµενα έχουµε x a και πρέπει να ικανοποιεί την x x + a x, δηλαδή x a Άρα, x a 37 Εστω 0 < a < b Ορίζουµε αναδροµικά δύο ακολουθίες ϑέτοντας a + a b και b + a + b α είξτε ότι η a είναι αύξουσα και η b ϕθίνουσα ϐ είξτε ότι οι a, b συγκλίνουν και έχουν το ίδιο όριο Υπόδειξη είξτε διαδοχικά τα εξήσ: a > 0 και b > 0 για κάθε N a b για κάθε N Από τον αναδροµικό ορισµό ανεξάρτητα µάλιστα από το ποιοί είναι οι a και b έχετε a + a b a + b b + 3 Η a είναι αύξουσα Παρατηρήστε ότι a + a b a a για κάθε N 4 Η b είναι ϕθίνουσα Παρατηρήστε ότι b + a+b b b για κάθε N Από τα παραπάνω, η a είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον b, ενώ η b είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη από τον a εξηγήστε γιατί Άρα, υπάρχουν a, b R ώστε a a και b b Από την b + a+b έπεται ότι b a+b, δηλαδή a b 38 Επιλέγουµε x a, x b και ϑέτουµε x + x 3 + x + 3 είξτε ότι η x συγκλίνει και ϐρείτε το όριό της [Υπόδειξη : Θεωρήστε την y x + x και ϐρείτε αναδροµικό τύπο για την y ] Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι x + x + x + x 3 Άρα, η ακολουθία y x + x ικανοποιεί την αναδροµική σχέση y + y 3 Επεται εξηγήστε γιατί ότι y 3 y 3 b a 5
Παρατηρήστε ότι Άρα, x x + x x + + x x a + y + + y x a + + + + + 3 3 b a 3 a + 3 3 b a a + 3 3b + a b a 4 4 39 Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε την ιδιότητα : για κάθε k N το σύνολο A k { N : a k} είναι πεπερασµένο είξτε ότι lim a 0 Υπόδειξη Εστω ε > 0 Υπάρχει k N ώστε /k < ε Το σύνολο A k { N : a k} είναι πεπερασµένο, άρα έχει µέγιστο στοιχείο Θέτουµε 0 maxa k + Τότε, για κάθε 0 έχουµε / A k, άρα a > k ειδικότερα, a k 0 Επεται ότι, για κάθε 0 ισχύει a < k < ε Άρα, lim a 0 40 Θεωρούµε γνωστό ότι lim + e είξτε ότι, για κάθε ϱητό αριθµό q, ισχύει : lim + q e q Υπόδειξη Αρχικά παρατηρούµε ότι, για κάθε x > 0, η ακολουθία t x + x είναι αύξουσα Ενας τρόπος για να το δούµε είναι εφαρµόζοντας την ανισότητα αριθµητικού γεωµετρικού µέσου για τους αριθµούς s s s + x και s + Εχουµε + s + + s + s + s s s +, + δηλαδή + x + + x + + Αφού + x + + + x, συµπεραίνουµε ότι + x + + + x + x + + + Θεωρούµε ϑετικό ϱητό q k m, όπου k, m N Θέλουµε να δείξουµε ότι + k e k/m m Ισοδύναµα, ότι b + k m e k m 6
Παρατηρήστε ότι η b είναι αύξουσα : Ϲητάµε b + t m+ k t m k b, το οποίο ισχύει για κάθε, αφού η t k είναι αύξουσα και m + > m Επιπλέον, b k + k mk [ + m ] k e k, mk m διότι + m m e Τώρα, για τυχόν ε > 0, ϐρίσκουµε 0 ώστε : για κάθε 0, e k ε < b k < e k + ε Τότε, για κάθε > k 0 έχουµε e k ε < b k0 b b k < e k + ε Συνεπώς, b e k Για την περίπτωση q < 0 δουλεύουµε µε παρόµοιο τρόπο 4 Λήµµα του Stoltz Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών και έστω b γνησίως αύξουσα ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε lim b + είξτε ότι αν a + a lim λ, b + b όπου λ R ή λ +, τότε a lim λ b a Υπόδειξη Υποθέτουµε ότι lim + a b + b λ όπου λ R η περίπτωση λ + εξετάζεται ανάλογα Εστω ε > 0 Χρησιµοποιώντας και το γεγονός ότι b +, ϐλέπουµε ότι υπάρχει ε N ώστε : για κάθε ισχύει b > 0 και λ ε < a + a < λ + ε b + b Αφού η b είναι γνησίως αύξουσα, έχουµε b + b > 0 Άρα, για κάθε ισχύει λ ε b + b < a + a < λ + ε b + b Επεται εξηγήστε γιατί ότι : για κάθε > ισχύει λ ε ιαιρώντας µε b παίρνουµε λ ε b b < a a < b b + a b < a < λ + ε b λ + ε b b b b + a b Παρατηρήστε ότι και lim lim [ λ ε [ λ + ε b b b b + a ] λ ε b + a ] λ + ε b 7
γιατί b + όταν Άρα εξηγήστε γιατί υπάρχει N, που εξαρτάται από το και από το ε, ώστε : για κάθε ισχύει λ ε < λ ε b b Συνεπώς, αν 0 : max{, }, έχουµε Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι + a < λ + ε b λ ε < a b < λ + ε a lim λ b b b + a b < λ + ε 4 Ορίζουµε ακολουθία a µε 0 < a < και a + a a,,, είξτε ότι lim a Υπόδειξη Επαγωγικά δείχνουµε ότι 0 < a < για κάθε N για το επαγωγικό ϐήµα πρατηρήστε ότι αν 0 < a < τότε έχουµε και 0 < a <, οπότε πολλαπλασιάζοντας ϐλέπουµε ότι 0 < a a <, δηλαδή 0 < a + < Από την αναδροµική σχέση έχουµε a + a a < 0, άρα a > a + για κάθε N Συνεπώς, η a είναι γνησίως ϕθίνουσα Αφού είναι και κάτω ϕραγµένη από το 0, η a συγκλίνει σε κάποιον x 0 Πάλι από την αναδροµική σχέση, ο x ικανοποιεί την x x x x x, δηλαδή x 0 Άρα, a 0 Με ϐάση τα παραπάνω, η ακολουθία b a ορίζεται καλά, είναι γνησίως αύξουσα, και a + εξηγήστε γιατί Γράφουµε a b και εφαρµόζουµε το Λήµµα του Stolz: έχουµε + b + b a + a a a, a a άρα a b από την Άσκηση 4 8