ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

Transcript

1 ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98] = 3, [ ] 0,4 0 =, [ 4,8] = 5, [ π ] = 3, [ ] e = Θεώρηµα του ακέραιου µέρους Για κάθε πραγµατικό αριθµό υπάρχει µοναδικός ακέραιος κτέτοιος ώστε ηλαδή: κ <κ+ Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι ακέραιος ή βρίσκεται µεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Αν κ= [ ] τότε R ισχύει [ ] < [ ] + () Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ. Για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει Απόδειξη: Από () έχουµε [ ] Άρα < [ ] [ ] < και [ ] < < + [ ] 0 <. Για κάθε πραγµατικό ισχύει : [ ] Απόδειξη: [ ] < [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα 0 [ ] < < + 3. Για κάθε R θ [ 0,) : [ ] = +θ Απόδειξη: Θέτω [ ] =θ. Τότε [ ] = +θ.

2 4. Για κάθε Ζ ισχύει [ ] Απόδειξη: Αν [ ] = και αντίστροφα. = Ζ τότε Ζ Έστω τώρα Ζ. Θα δείξουµε ότι [ ] Ισχύει όµως [ ] Τότε [ ] [ ] = +θ, 0 θ< +θ= δηλαδή 0 =. θ=. Άρα [ ] =. 5. Για κάθε κ Ζκαι κάθε R Απόδειξη: Ισχύει [ ] < [ ] + ισχύει [ ] [ ] +κ = +κ προσθέτοντας τον ακέραιο κ παίρνουµε: [ ] ([ ] ) +κ +κ< +κ + Άρα [ +κ ] = [ ] +κ διότι οι αριθµοί [ ] +κ, ([ ] ) +κ + είναι διαδοχικοί. 6. Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς, y ισχύει = y [ ] = [ y] όµως αντίστροφα. Απόδειξη: Από την () έχουµε [ ] < [ ] + και επειδή Το αντίστροφο δεν αληθεύει [, ] = [,3] = εντούτοις,, 3. [ ] y< [ ] + δηλαδή [ ] = [ y] = = όχι = y παίρνουµε 7. Για κάθε, y Rισχύει [ ] [ ] [ y] + + y = = ή [ ] + [ y] + Απόδειξη: Από το θεώρηµα του ακέραιου µέρους έχουµε: [ ] < [ ] + [ y] y< [ y] + Με πρόσθεση: [ ] + [ y] + y< [ ] + [ y] + ιακρίνουµε περιπτώσεις:

3 [ ] + [ y] + y< [ ] + [ y] + οπότε [ + y] = [ ] + [ y] [ ] + [ y] + + y< [ ] + [ y] + οπότε [ ] [ ] [ ] + y = + y + + y + y + y + Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Για κάθε Rισχύει 0 αν Z + = αν Z [ ] [ ]. Να αποδείξετε ότι: αν > 0, τότε ισχύει: αν < 0, τότε ισχύει: < < γ) R ισχύει: < 3. Να αποδείξετε ότι, αν α, β R + τότε ισχύουν α α α < β β β α α α > β β β ( 0, + ) (,0) 4. Αν R και [ ν] < ν ν [ ] ν Ν, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις ν = 0 ν 5. Να βρείτε τα σύνολα λύσεων των παρακάτω εξισώσεων: [ + 5] = 3 3

4 = ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΟΡΙΩΝ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Όριο συνάρτησης που έχει στον τύπο της, παράσταση του µέσα στο σύµβολο Αν Αν του ακέραιου µέρους. Παρουσιάζεται δηλαδή [ g() ], όπου g()µια συνάρτηση του. ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: lim g() 0 0 = ± τότε δουλεύουµε µε την ανισότητα g() < [ g() ] g() lim g() =α Rτότε, υπάρχει σύνολο U(,δ) τέτοιο ώστε να ισχύει α ε< g() <α+ε, ε> 0 και επιλέγοντας κατάλληλη τιµή τουε, περιορίζουµε το g()σε διάστηµα της µορφής ( κ, κ+ ), κ Ζοπότε [ g() ] =κ 0 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση ΛΥΣΗ f () α =, α 0έχει όριο στο 0 = 0. Για κάθε R ισχύει α επειδή lim± =± 0 α α α < Τότε α α α <, 0 άρα α α < α Είναι όµως ( ) ( ) lim α = lim α = Άρα σύµφωνα µε το Κριτήριο Παρεµβολής lim f () = 0 0 4

5 . Να εξετάσετε αν έχει όριο στο 0 = 4η συνάρτηση f µε ΛΥΣΗ Είναι lim 4 ε< < +ε, ε> 0 ή =. Άρα υπάρχει ένα σύνολο ( ) 4 ε< < 4+ ε, ε> 0 Η τελευταία θα ισχύει και για Άρα 3< < 5 ιακρίνουµε περιπτώσεις 3< < 4είναι 3 < < και ε=. = Ο τύπος της fείναι f () = + άρα 4 4 ( ) lim f () = lim + = 9 4< < 5 τότε 5 < < και [ ] Ο τύπος της f γίνεται f () = ( ) lim f () = lim + = 0 =. f () = +. U 4,δ τέτοιο ώστε να ισχύει Αφού lim f () lim f () δεν υπάρχει το όριο της fστο 0 = ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ. είξτε ότι: β lim f () = µε 0 α β f () = α, α, β R + ( ). είξτε ότι: ( [ ]) [ ] lim + = 5

6 3. Να εξετάσετε αν έχει όριο στο 0 η συνάρτηση fόταν: f () = + και 0 = 4 f () = + και 0 = 3 4. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση fµε f () α =, α 0έχει στο 0 = Να βρείτε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: 0 [ ] [ ] lim [ ] γ) lim 0 6. Να βρείτε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια, µε α, β R + γ) δ) β α + 0 β α 0 β 0 α 0 7. Αν 3 3 f () = 5, να αποδείξετε ότι lim f () = Να αποδείξετε ότι: 4 =. 6

7 9. Αφού πρώτα βρείτε το όριο στο 0 = 0 της συνάρτησης g() να βρείτε, αν υπάρχει το όριο στο 0 = 0 της συνάρτησης π οποία ισχύει f () g() 4 συν. 3 = f : R π, κατόπιν Rγια την 0. Να βρείτε εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: lim f () 0 lim g() 0 όπου f () = + ( [ ] ) όπου g() =ηµ + [ συν ]. ίνεται η συνάρτηση f () [ ] ( [ ] ) f () = +. Να βρεθεί το lim +.. ίνονται οι συναρτήσεις: κ f () = λ λ και λ f () = κ κ µε κ, λ R +. είξτε ότι lim f () lim g() = ίνεται η συνάρτηση f : R Rµε f () = +. Να βρείτε το lim f () Να εξετάσετε αν υπάρχει το πραγµατικός αριθµός. lim f () λ, όπου f () [ ] = και λ τυχαίος 5. Έστω f :[ 0,] Rµε 0, αν ρητός f () = (συνάρτηση Dirichlet)., αν άρρητος Να αποδείξετε ότι η fδεν έχει οριακή τιµή για κανένα στο πεδίο ορισµού της. 6. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : Α R. Να αποδείξετε ότι: Αν lim f () = l R, 0 τότε για κάθε ε> 0υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε για κάθε, 0< <δ και <δ να ισχύει f( ) f( ) Aµε <ε (Κριτήριο Cauchy). 7

8 Παρατήρηση: Επειδή οι αντιθετοαντίστροφες προτάσεις είναι ισοδύναµες, δηλαδή { P P} { όχι P όχι P} το παραπάνω κριτήριο χρησιµοποιείται συχνά σε εφαρµογές «αρνητικά» δηλαδή για την απόδειξη ότι δεν υπάρχει το όριο µιας συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΜΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Αν υπάρχει ε > 0 : δ > 0 να υπάρχουν, Αµε 0< <δ και 0 < <δ τέτοια, ώστε να είναι f( ) f( ) ε, τότε δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο είξτε ότι η συνάρτηση f () π =συν δεν έχει όριο στο 0 = 0. 8