Ramsey's Theory or something like that.

Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá ôçò ëïãéêþò. Óôï Üñèñï áõôü ñçóéìïðïéïýóå êáé öõóéêü áðïäåßêíõå Ýíá èåþñçìá ðïõ Ýìåëëå íá ðüñåé ôï üíïìá ôïõ. Ôï 1935 ïé Erdos 1 êáé Szekeres[5] ôï áíáêüëõøáí åê íýïõ. Óôïí Erdos Üëëùóôå ïöåßëåôáé êáé ç probabilistic method ìéá êëáóéêþ åöáñìïãþ ôçò ïðïßáò èá äïýìå ðéï êüôù 2.1. Ãéá ó åôéêþ âéâëéïãñáößá äåßôå ôï [6]. ÏõóéáóôéêÜ ç èåùñßá Ramsey ìáò ëýåé üôé ìýóá óå Ýíá áñêåôü ìåãüëï óýíïëï èá õðüñ åé äïìþ. 2 ÈåùñÞìáôá ôïõ Ramsey. 2.1 Âáóéêïß ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá. Óõìâïëéóìüò 2.1 Ìå K n èá óõìâïëßæïõìå ôï ðëþñåò ãñüöçìá ìå n êïñõöýò. Ïñéóìüò 2.1 óôù r öõóéêïß áñéèìïß i 1 ; : : : ; i r 2. Ï åëü éóôïò öõóéêüò n ãéá ôïí ïðïßï áí ïé áêìýò ôïõ ðëþñïõò ãñáöþìáôïò K n ñùìáôéóôïýí ìå r ñþìáôá ôüôå õðüñ åé ðëþñåò õðïãñüöçìá K ij ôïõ ïðïßïõ üëåò ïé áêìýò íá Ý ïõí ôï j-ïóôü ñþìá ãéá êüðïéï 1 j r êáëåßôáé áñéèìüò Ramsey ãéá ôá {i j } r j=1 êáé óõìâïëßæåôáé R(i 1; : : : ; i r ). ÂÝâáéá õðüñ ïõí êáé ç åîþò ãåíéêåýóåéò: 1 ¼ôé êáé íá ðïýìå ãéá ôïí Erdos èá åßíáé ëßãï... 1

Ïñéóìüò 2.2 óôù i 1 ; : : : ; i r öõóéêïß áñéèìïß. Ï ìéêñüôåñïò öõóéêüò áñéèìüò n Ýôóé þóôå áí ñùìáôßóïõìå ôá óýíïëá {x 1 ; : : : ; x k } {1; : : : ; n} ìå r ñþìáôá ôüôå, íá õðüñ ïõí áñéèìüò j êáé óýíïëï Á {1; : : : ; n} ìå i j óôïé- åßá þóôå êüèå óýíïëï {x 1 ; : : : ; x k } Á íá Ý åé ôï j-ïóôï ñþìá êáëåßôáé áñéèìüò Ramsey êáé óõìâïëßæåôáé R k (i 1 ; : : : ; i r ). Ïñéóìüò 2.3 óôù ãñáöþìáôá G 1 ; : : : ; G m. O ìéêñüôåñïò öõóéêüò áñéèìüò n þóôå áí ñùìáôßóïõìå ôï Ê n ìå m ñþìáôá íá õðüñ åé Ýíá j þóôå óôï Ê n íá ðåñéý åôáé Ýíá ìïíï ñùìáôéêü ãñüöçìá G j ñþìáôïò j ëýãåôáé áñéèìüò Ramsey êáé óõìâïëßæåôáé R(G 1 ; : : : ; G m ). Éó õñéóìüò 1 Ï áñéèìüò Ramsey ðïõ ïñßóôéêå ðáñáðüíù õðüñ åé. Áõôü åßíáé ïõóéáóôéêü ôï èåþñçìá ôïõ Ramsey ãéá ôçí ðåðåñáóìýíç ðåñßðôùóç. Ãéá äýï ñþìáôá Ý ïõìå ôï ðáñáêüôù èåþñçìá. ( ) r + m 2 Èåþñçìá 2.1 óôù äýï öõóéêïß áñéèìïß m; r 2 êáé n =. Ôüôå áí ïé áêìýò ôïõ K n ñùìáôéóôïýí ìùâ Þ êüêêéíåò èá õðüñ åé õðïãñüöçìá K m ìå ìùâ áêìýò ìüíï Þ õðïãñüöçìá K r ìå êüêêéíåò áêìýò ìüíï. Áðüäåéîç. Ç áðüäåéîç èá ãßíåé ìå åðáãùãþ óôï m + r. Åßíáé m + r 4 üìùò áí m = 2 Þ r = 2 ôüôå, ç ðñüôáóç åßíáé ðñïöáíþò! Áí ãéá ðáñüäåéãìá m = 2 ôüôå, n = r êáé áí ôï ðëþñåò ãñüöçìá ìå r êïñõöýò äåí ðåñéý åé ìéá ìùâ áêìþ 2 ôüôå, üëåò ôïõ ïé áêìýò åßíáé êüêêéíåò (ÃïõÜïõ!). Áò õðïèýóïõìå ëïéðüí üôé m > 2; r > 2 êáé üôé ôï èåþñçìá éó ýåé ãéá êüèå Üèñïéóìá ìéêñüôåñï ôïõ m + r. ( ) r + (m 1) 2 1. Áí n 1 = áðü åðáãùãéêþ õðüèåóç ôï K n1 Ý åé Ýíá ìùâ K m 1 Þ Ýíá êüêêéíï K r. ( ) () + m 2 2. Áí n 2 = áðü åðáãùãéêþ õðüèåóç ôï K () 1 n2 Ý åé Ýíá ìùâ K m Þ Ýíá êüêêéíï K r 1. ( ) r + m 2 óôù n =. Áí u ìéá êïñõöþ ôïõ K n ôüôå, õðüñ ïõí n-1 2 Éóïäýíáìá äåí ðåñéý åé Ýíá ðëþñåò õðüãñáöçìá K 2. 2

áêìýò ðïõ ôç óõíäýïõí ìå ôéò õðüëïéðåò. ïõìå: ( ) r + m 2 n 1 = 1 ( ) ( r + m 3 r + m 3 = + r 2 ( ) r + (m 1) 2 > 1 + = n 1 1 + n 2 1 ) 1 ( () + m 2 () 1 ) 1 Óõíåðþò áðü ôéò n-1 áêìýò ðïõ êáôáëþãïõí óôçí u èá õðüñ ïõí ðáñáðüíù áðü n 1 1 ìùâ Þ ðáñáðüíù áðü n 2 1 êüêêéíåò (ðéèáíüí íá éó ýïõí êáé ôá äýï). óôù üôé õðüñ ïõí n 1 ìùâ. ñá ç êïñõöþ u óõíäýåôáé ìå n 1 Üëëåò êïñõöýò ìå áêìýò ñþìáôïò ìùâ. óôù Ê n1 ôï ðëþñåò ãñüöçìá ðïõ ó çìáôßæåôáé áðü áõôýò. Áðü ôïí ïñéóìü ôïõ n 1 óôï (1) ðéï ðüíù õðüñ åé õðáãñüöçìá K r ìå êüêêéíåò ìüíï áêìýò Þ õðïãñüöçìá K m 1 ìå ìùâ ìüíï áêìýò. Óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç åßìáóôå ÏÊ. Óôç äåýôåñç ðáñáôçñïýìå üôé ôï ãñüöçìá ðïõ ó çìáôßæåôáé áðü ôï Ê m 1 êáé ôçí êïñõöþ u ìáæß ìå ôéò áêìýò ðïõ ôç óõíäýïõí ìå áõôü åßíáé Ýíá ðëþñåò ìïíï ñùìáôéêü (ìùâ) ãñüöçìá ìå m êïñõöýò. ÔÝñìá! Á, êáé üìïéá ãéá ôçí Üëëç ðåñßðôùóç üðïõ Ý ïõìå ðáñáðüíù áðü n 2 1 êüêêéíåò áêìýò ðïõ êáôáëþãïõí óôçí u. Ó Þìá 1 Ç ðáñáðüíù áðüäåéîç åýêïëá åöáñìüæåôáé óå äéüöïñåò ãåíéêåýóåéò. Èåþñçìá 2.2 óôù N ôï óýíïëï ôùí öõóéêþí áñéèìþí êáé Ýóôù ðùò ñçóéìïðïéïýìå Ýíáí ðåðåñáóìýíï áñéèìü ñùìüôùí ãéá íá ñùìáôßóïõìå üëá ôá äéóýíïëá ðïõ áðïôåëïýíôáé áðü óôïé åßá ôïõ N 3. Ôüôå õðüñ åé Ýíá Üðåéñï õðïóýíïëï S ôïõ N ôýôïéï þóôå üëá ôá äéóýíïëá ôïõ íá Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá. 3 Ìåñéêïß èá Ýëåãáí üôé Ý ïõìå ìéá áðåéêüíéóç áðü ôï óýíïëï ôùí äéóõíüëùí ìå óôïé åßá ôïõ N óå Ýíá ðåðåñáóìýíï óýíïëï ìå r óôïé åßá. ÁöÞóôå ôïõò íá ëýíå... 3

Áðüäåéîç. óôù Í 0 = N êáé n 0 N. Ôüôå ôï óýíïëï {{n 0 ; n} : n N \ {n 0 }} åßíáé Üðåéñï. Åö' üóïí ï áñéèìüò ôùí ñùìüôùí åßíáé ðåðåñáóìýíïò õðüñ åé Üðåéñï óýíïëï Í 1 N þóôå ôá äéóýíïëá {{n 0 ; n} : n N 1 } Ý ïõí üëá ôï ßäéï ñþìá. óôù n 1 N 1. Ôï óýíïëï {{n 1 ; n} : n N 1 \ {n 1 }}} åßíáé Üðåéñï. ñá õðüñ åé Üðåéñï óýíïëï Í 2 Í 1 þóôå ôá äéóýíïëá {{n 1 ; n} : n N 2 } Ý ïõí üëá ôï ßäéï ñþìá. ¼ìïéá ïñßæïõìå ôá óýíïëá: êáé óôïé åßá ôïõò: N = N 0 N 1 N 2 : : : n 0 N 0 ; n 1 N 1 ; : : : þóôå ãéá êüèå n i ôá äéóýíïëá {{n i ; n} : n N i+1 } íá åßíáé ìïíï ñùìáôéêü. Ðñïóï Þ áõôü äå óçìáßíåé üôé Ý ïõí üëá ôï ßäéï ñþìá! Óõíåðþò Ý ïõìå: {{n 0 ; n} : n N 1 } íá Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá ð.. ìùâ {{n 1 ; n} : n N 2 } íá Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá ð.. êüêêéíï {{n 2 ; n} : n N 3 } íá Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá ð.. ðñüóéíï. Áöïý õðüñ åé ðåðåñáóìýíïò áñéèìüò ñùìüôùí Ýíá ñþìá,ãéá ðáñüäåéãìá ôï ñïæ, èá åìöáíßæåôáé Üðåéñåò öïñýò. ¹ôïé õðüñ åé áêïëïõèßá {i ë } ë ôùí öõóéêþí þóôå: {{n i1 ; n} : n N i1 +1} íá Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá (åäþ ñïæ) {{n i2 ; n} : n N i2 +1} íá Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá (åäþ ñïæ). Áí S = {n i1 ; n i2 ; : : :} ôüôå, ôï S åßíáé Üðåéñï êáé êüèå äéóýíïëï ðïõ áðïôåëåßôáé áðü óôïé åßá ôïõ åßíáé ñïæ. Ôï ôåëåõôáßï ãéáôß áí {n ij ; n ik } åßíáé Ýíá ôýôïéï äéóýíïëï ìå n ij < n ik Ý ïõìå: n ik N ik N ij 1 : : : N ij +1 êáé óõíåðþò ôï {n ij ; n ik } åßíáé óôïé åßï ôïõ { {n ij ; n} : n N ij +1} ôïõ ïðïßïõ åê êáôáóêåõþò ôá äéóýíïëá åßíáé ñïæ. 4

Áí äå ôïýìå üôé ôï ðáñáðüíù èåþñçìá éó ýåé ü é ìüíï ãéá äéóýíïëá áëëü ãéá óýíïëá ìå ê-óôïé åßá 4 ôüôå, ìðïñïýìå íá äåßîïõìå ôçí ýðáñîç ôïõ R(k; : : : ; k }{{} ): r öïñåò Èåþñçìá 2.3 óôù r; k N ôüôå, õðüñ åé ï R(k; : : : ; k }{{} ): m öïñåò Áðüäåéîç. óôù üôé äåí õðüñ åé áõôüò ï áñéèìüò Ramsey. Ôüôå õðüñ åé Ýíá äýíäñï Ô ìå Üðåéñåò êïñõöýò ðïõ üëåò ôïõò Ý ïõí ðåðåñáóìýíï âáèìü. Ïé êïñõöýò ôïõ áíþêïõí óå äéüöïñá åðßðåäá. Óôï n-ïóôï åðßðåäï õðüñ ïõí êïñõöýò ðïõ áíôéóôïé ïýí óå óõíáñôþóåéò f : [n] k {1; : : : ; r} üðïõ ìå [n] 2 óõìâïëßæïõìå ôá äéóýíïëá áðü ôï {1; : : : ; n} êáé ïé ïðïßåò äåí åßíáé óôáèåñýò óå êáíýíá õðïóýíïëï ôïõ {1; : : : ; n} ðïõ áðïôåëåßôáé áðü k óôïé åßá. Áõôü õðüñ åé åî áéôßáò ôçò õðüèåóçò ìáò 5. Ìéá êïñõöþ åíþíåôáé ìå ìéá Üëëç áí ç óõíüñôçóç ðïõ áíôéóôïé åß óôç ìéá åßíáé åðýêôáóç ôçò Üëëçò. Áðü ôï ëþììá ôïõ Konig ôï äýíäñï áõôü Ý åé Ýíá Üðåéñï ìïíïðüôé. Ç Ýíùóç üëùí ôùí óõíáñôþóåùí ôùí êïñõöþí ôïõ ìáò äßíåé ìéá óõíüñôçóç f : k {1; : : : ; r} ç ïðïßá äåí åßíáé óôáèåñþ óå êáíýíá õðïóýíïëï ôïõ N ðïõ áðïôåëåßôáé áðü k óôïé åßá. Èåþñçìá 2.4 Ãéá êüèå m; r 2 éó ýåé: (m 1)() + 1 R(m; r) ( r + m 2 ) Áðüäåéîç. Ç äåîéü áíßóùóç Ý åé áðïäåé ôåß êáôü ôç äéüñêåéá ôçò áðüäåéîçò ðñïçãïýìåíïõ èåùñþìáôïò (2.1). Ãéá ôçí áñéóôåñþ áíßóùóç áñêýé íá êáôáóêåõüóïõìå Ýíá ðëþñåò ãñüöçìá ìá (m 1)() êïñõöýò êáé íá ôï ñùìáôßóïõìå êáôüëëçëá þóôå íá ìçí Ý åé ìùâ ðëþñåò õðïãñüöçìá K m êáé íá ìçí Ý åé êüêêéíï ðëþñåò õðïãñüöçìá K r. Áõôü öáßíåôáé ðéï êüôù. Áðïôåëåßôáé áðü ãñáììýò ðïõ ç êüèå ìéá Ý åé m 1 êïñõöýò. Ôéò áêìýò ðïõ óõíäýïõí êïñõöýò ôçò ßäéáò ãñáììþò ôéò Ý ïõìå ñùìáôßóåé ìùâ. Ôéò áêìýò ðïõ óõíäýïõí êïñõöýò äéáöïñåôéêþí ãñáììþí ôéò Ý ïõìå ñùìáôßóåé êüêêéíåò. 4 ËïãéêÜ ç áðüäåéîç ðüåé üìïéá áëëü áí èýëåôå äåßôå êáé ôï [7] 5 ÏõóéáóôéêÜ ïé óõíáñôþóåéò áõôýò áðïôåëïýí ñùìáôéóìïýò ôïõ ðëþñïõò ãñáöþìáôïò K n ìå r ñþìáôá! Óôï åðßðåäï 0 Ý ïõìå ôçí êåíþ óõíüñôçóç 5

Ó Þìá 2 ÊÜèå ðëþñåò õðïãñüöçìá ôïõ K m áíáãêáóôéêü èá ðåñéý åé 2 ôïõëü éóôïí êïñõöýò áðü äéáöïñåôéêýò ãñáììýò (áöïý êüèå ãñáììþ Ý åé ìüíï m-1 êïñõöýò) Üñá ôï K m èá ðåñéý åé êáé ôçí áêìþ ðïõ ôéò óõíäýåé ç ïðïßá üìùò Ý åé ñþìá êüêêéíï. ¼ìïéá áðïäåéêíýåôáé üôé êáíýíá ðëþñåò õðïãñüöçìá ôïõ K r äåí åßíáé êüêêéíï. Ôé óõìâáßíåé ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ R(m; r); Èá ìéëþóïõìå ðéï êüôù óôç ðáñüãñáöï 4. Ðñïò ôï ðáñüí ìåñéêýò áóêçóïýëåò. óêçóç 2.1 Íá äåé ôåß üôé R(m; 2) = m ãéá êüèå m 2. óêçóç 2.2 Íá äåé ôåß üôé R(3; 3) = 6. 6 And a proof from the book! Ìéá áðüäåéîç ôïõ Paul Erdos.[2, óåë. 205] Ýíá Ýîï ï ðáñüäåéãìá ìéáò probabilistic proof áðü ôïí Üíèñùðï ðïõ ôçí åðéíüçóå! Èåþñçìá 2.5 Ãéá êüèå k 2 éó ýåé R(k; k) 2 k 2. Áðüäåéîç. Áðü ôá ðñïçãïýìåíá Ý ïõìå üôé R(2; 2) = 2 êáé R(3; 3) = 6. óôù ëïéðüí k 4 êáé N < 2 k 2. ñùìáôßæïõìå êüèå áêìþ ôïõ Ê Í êüêêéíç Þ ìùâ ôõ áßá ìå ðéèáíüôçôá 1 2. ñá êüèå ñùìáôéóìüò Ý åé ðéèáíüôçôá íá óõìâåß: 0 @ N 1 A 2 2 : 6 Õðüäåéîç: ôï üôé R(3; 3) 6 ðñïêýðôåé áðü ôï èåþñçìá. Ãéá ôï üôé 5 êïñõöýò äåí áñêïýí ðüñôå ôï êáíïíéêü ðåíôüãùíï. ñùìáôéóôý ôéò ðëåõñýò ôïõ ìùâ êáé ôéò äéáãþíéåò ôïõ êüêêéíåò. Áõôü åßíáé ôï áíôéðáñüäåéãìá ðïõ êáíïíéêü èá ðñýðåé íá øü íåôå. 6

óôù Á Ýíá óýíïëï ìå k êïñõöýò. Ç ðéèáíüôçôá ôïõ åíäå ïìýíïõ Á r íá åßíáé üëåò ïé áêìýò ôïõ êüêêéíåò åßíáé: 0 @ k 1 A 2 2 : ñá ãéá ôçí ðéèáíüôçôá P r íá åßíáé êüðïéï k-óýíïëï êüêêéíï Ý ïõìå: P r = P = A =k ( N k A =k A r P (A r ) ) 2 0 @ k 2 1 A Åßíáé ( N k ) = N(N 1) : : : (N k + 1) k! N k k! N k 2 k 1 Üñá áöïý N < 2 k 2 éó ýåé: ( N k ) 2 0 @ k 2 1 A < 2 N k 2 k 1 2 k 2 2 0 @ k 2 = 2 k 2 +1 0 @ k 2 1 A 1 A k+1 1 2 ñá P r < 1 2 êáé üìïéá P m < 1 2. Óõíåðþò P r + P m < 1 Üñá õðüñ åé ìç ìïíï ñùìáôéêü k-óýíïëï. 7

2.2 ÁðëÜ ðáñáäåßãìáôá. Áêïëïõèïýí ìåñéêü "áðëïúêü" ðáñáäåßãìáôá óôá ïðïßá åöáñìüæåôáé ôï èåþñçìá ôïõ Ramsey êáé ôá äýï åßíáé áðü ôï [4]. ÐáñÜäåéãìá 2.1 Íá äåé ôåß üôé áí ïé áñéèìïß 1; 2; 3; 4; 5 ñùìáôéóôïýí ìùâ Þ êüêêéíïé ôüôå, õðüñ ïõí áñéèìïß x,y,z (ü é êáô' áíüãêç äéáöïñåôéêïß) ôïõ éäßïõ ñþìáôïò þóôå x + y = z. ÐñÜãìáôé, áí Ê 6 Ýéíáé ôï ðëþñåò ãñüöçìá ìå êïñõöýò áõôïýò ôïõò áñéèìïýò ôüôå, óå êüèå áêìþ äßíïõìå Ýíáí áñéèìü ùò åîþò:áí óõíäýåé ôéò êïñõöýò i; j ðáßñíåé ôïí áñéèìü i j. Óõíåðþò êüèå áêìþ Ý åé Ýíáí (öõóéêü) áñéèìü áðü 1 åùò 5. Óå êüèå Ýíáí áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò äßíïõìå Ýíá áðü ôá äýï ñþìáôá êáé ìå âüóç áõôü ñùìáôßæïõìå ôéò áêìýò. Ð.. áí óôïí áñéèìü 2 äþóïõìå ôï ìùâ ñþìá ôüôå êüèå áêìþ ìå áñéèìü 2 âüöåôáé ìùâ. Áöïý R(3; 3) = 6 ôï ãñüöçìá ìáò Ý åé Ýíá õðïãñüöçìá Ê 3 ôï ïðïßï åßíáé ìïíï ñùìáôéêü. óôù üôé i; j; k åßíáé ôï óýíïëï ôùí êïñõöþí ôïõ ìå i < j < k. ñá ïé áêìýò ìå áñéèìïýò k j; j i; k i Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá. ÅðïìÝíùò ïé áñéèìïß x = k j; y = j i êáé z = k i Ý ïõí ôï ßäéï ñþìá êáé ðáñáôçñïýìå üôé x + y = z. ìåóç ãåíßêåõóç ôïõ ðñïçãïýìåíïõ åßíáé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá ðïõ áðýäåéîå ï Schur ôï 1916 [8, óåë. 69] êáé [4, óåë. 212]. Èåþñçìá 2.6 Áí ñùìáôßóïõìå ôï óýíïëï ôùí öõóéêþí áñéèìþí ìå ðåðåñáóìýíá m ôï ðëþèïò ñþìáôá ôüôå, õðüñ ïõí öõóéêïß áñéèìïß x; y; z ôïõ éäßïõ ñþìáôïò þóôå x + y = z. Áðüäåéîç. ìåóç! ÊáëÜ- êáëü ïñßóôå êáé Ýíáò "ïäéêüò Üñôçò". Áñêåß: íá ðáñáôçñþóïõìå üôé äåí ñåéüæåôáé íá áó ïëçèïýìå ìå Üðåéñá óýíïëá. Áñêåß íá âñïýìå Ýíáí áñéèìü M N þóôå ãéá x; y; z {1; 2; : : : ; M 1} íá éó ýåé ôï æçôïýìåíï. íá äå ôïýìå ôçí ýðáñîç ôïõ R(3; : : : ; 3 }{{} ): m öïñåò 8

íá êüíïõìå üôé êüíáìå êáé ðñéí óôçí ðåñßðôùóç ôùí äýï ñùìüôùí. Ïé áóêçóïýëåò ìáò! óêçóç 2.3 Íá äåé ôåß üôé áí Ý ïõìå ðýíôå óçìåßá ôïõ åðéðýäïõ áíü ôñßá ìç óõíåõèåéáêü ôüôå, ôýóóåñá áðü áõôü áðïôåëïýí ôéò êïñõöýò êõñôïý ôåôñáðëåýñïõ. óêçóç 2.4 Íá äåé ôåß üôé áí r (r 4) óçìåßá ôïõ åðéðýäïõ äåí áðïôåëïýí ôéò ðëåõñýò êõñôïý ðïëõãþíïõ ôüôå, õðüñ ïõí ôýóóåñá áðü áõôü ôá ïðïßá äå ó çìáôßæïõí êõñôü ôåôñüðëåõñï. 7 ÐáñÜäåéãìá 2.2 óôù r N. Ôüôå õðüñ åé Ýíáò öõóéêüò áñéèìüò R þóôå êüèå R óçìåßá óôï åðßðåäï ôá ïðïßá åßíáé áíü ôñßá ìç óõíåõèåéáêü ðåñéý ïõí ôéò êïñõöýò åíüò êõñôïý r-ãþíïõ. ÐñÜãìáôé, ç ðñüôáóç éó ýåé ìå ôåôñéììýíï ôñüðï áí r 3. Áí r 4 ôüôå, èýôïõìå R = R 4 (r; 5) êáé ðáßñíïõìå R ôï ðëþèïò óçìåßá ôïõ åðéðýäïõ ðïõ åßíáé áíü ôñßá ìç óõíåõèåéáêü. ñùìáôßæïõìå êüèå ôåôñüäá ôùí óçìåßùí ìáò ìå: êüêêéíï áí áõôü ôá ôýóóåñá ó çìáôßæïõí êõñôü ôåôñüðëåõñï ìùâ áí áõôü ôá ôýóóåñá äå ó çìáôßæïõí êõñôü ôåôñüðëåõñï Áðü ôçí åðéëïãþ ôïõ R èá õðüñ ïõí r óçìåßá ðïõ êüèå ôåôñüäá áðü áõôü èá ó çìáôßæåé êõñôü ôåôñüðëåõñï Þ ðýíôå óçìåßá ðïõ êáìßá ôåôñüäá áðü áõôü äå ó çìáôßæåé êõñôü ôåôñüðëåõñï. ¼ìùò óýìöùíá ìå ðñïçãïýìåíç Üóêçóç (2.3) ôï ôåëåõôáßï äåí ìðïñåß íá éó ýåé. Óõíåðþò õðüñ ïõí r óçìåßá ðïõ êüèå ôåôñüäá áðü áõôü èá ó çìáôßæåé êõñôü ôåôñüðëåõñï. ÐÜëé áðü ðñïçãïýìåíç Üóêçóç (2.4) áõôü óõíåðüãåôáé üôé áõôü ó çìáôßæïõí êõñôü ðïëýãùíï (ãéáôß áí áõôü äå óõíýâáéíå ôüôå 4 áðü áõôü äå èá ó çìüôéæáí êõñôü ôåôñüðëåõñï Üñá ç áíôßóôïé ç ôåôñüäá äå èá åß å êüêêéíï ñþìá). 7 Õðïäåßîåéò: êüíôå ôá ó Þìáôá! ÅéäéêÜ ãéá ôç äåýôåñç ðáñáôçñþóôå üôé áí ïé r êïñõöýò äå ó çìáôßæïõí êõñôü ðïëýãùíï ôüôå, ìéá áðü áõôýò èá âñßóêåôáé ìýóá óå Ýíá êõñôü ðïëýãùíï ðïõ ó çìáôßæïõí êüðïéåò Üëëåò. Óå áõôü ãéá äïêéìüóôå íá öýñåôå êüðïéåò áðü ôéò äéáãþíéåò ôïõ þóôå ç êïñõöþ ãéá ôçí ïðïßá ìéëüìå íá âñåèåß ìýóá óå Ýíá ôñßãùíï êáé ðáñáôçñþóôå üôé áõôü ôåëåéþíåé ôçí ëýóç! 9

3 ËïãéêÞ êáé åõáéóèçóßá. ¼ðùò áíáöýñèçêå óôç åéóáãùãþ áñ éêü ôï èåþñçìá ôïõ Ramsey áöïñïýóå Ýíá ðñüâëçìá ôçò ëïãéêþò. Äå èá ðñýðåé íá îáöíéáæüìáóôå ëïéðüí ðïõ ç èåùñßá Ramsey åìöáíßæåôáé íá óõíäýåôáé ìå ôç ëïãéêþ. Ôï ðñüâëçìá ôï ïðïßï Ýëõóå ï Ramsey óôï áñ éêü Üñèñï [10] áöïñïýóå êáèïëéêýò ðñïôüóåéò ó Ýóåùí (universal relational sentences -u.r.s óôï åîþò). ÁõôÝò åßíáé ðñùôïâüèìéåò ðñïôüóåéò ðïõ äåí ðåñéý ïõí óôáèåñýò Þ óõíáñôçóéáêü óýìâïëá êáé ïé ïðïßåò îåêéíïýí ìå Ýíáí Þ êáé ðåñéóóüôåñïõò êáèïëéêïýò ðïóïäåßêôåò áêïëïõèïýìåíïõò áðü Ýíá êïììüôé ùñßò ðïóïäåßêôåò êáé ôï ïðïßï åßíáé Ýíáò Boolean óõíäõáóìüò êïììáôéþí ôçò ìïñöþò R(x 1 ; : : : ; x k ) Þ z = w üðïõ x 1 ; : : : ; x k ; z; w åßíáé ìåôáâëçôýò.[7] Ôï åñþôçìá ðïõ áðáó ïëïýóå ôï Ramsey Þôáí ðüôå õðüñ åé Üðåéñï ìïíôýëï ðïõ íá éêáíïðïéåß ìç äïóìýíç u.r.s. Óå áõôþ ôçí êáôåýèõíóç Ýäåéîå ôï åîþò èåþñçìá: Èåþñçìá 3.1 óôù ö ìéá u.r.s. Ôá áêüëïõèá åßíáé éóïäýíáìá: 1. ç ö Ý åé Ýíá Üðåéñï ìïíôýëï, 2. ç ö Ý åé Ýíá ìïíôýëï üðïõ õðüñ åé ìéá áêïëïõèßá {b ë } (ðåðåñáóìýíç Þ Üðåéñç) üðïõ ãéá êüèå ó Ýóç R íá éó ýåé R(b i1 ; : : : ; b ik ) R(b j1 ; : : : ; b jk ): 8 Ãéá íá êüíïõìå êáé ìéá handwaving proof áò áíáöýñïõìå êáé ôï ðáñáêüôù áðïôýëåóìá ôïõ Je Paris 9. Èåþñçìá 3.2 Ç ðñüôáóç "ãéá êüèå öõóéêïýò áñéèìïýò e; r; k õðüñ åé Ì öõóéêüò þóôå íá éó ýåé: M (k) e r åßíáé áëçèþò êáé ìç áðïäåßîéìç óôá ðëáßóéá ôçò áñéèìéôéêþò Peano (PA). Åäþ M (k) e r óçìáßíåé ðùò ãéá êüèå ñùìáôéóìü ôùí e-üäùí áðü óôïé åßá ôïõ M N ìå r ñþìáôá õðüñ åé Ýíá ìïíï ñùìáôéêü õðïóýíïëï ôïõ H M ìå ðëçèüñéèìï ôïõëü éóôïí k ãéá ôï ïðïßï éó ýåé card(h) minh. 10 8 Ç êüôé ôýôïéï ãéá ðåñéóóüôåñá óôç âéâëéïãñáößá åìåßò äåí Ý ïõìå éäýá!!!! 9 Ôïí åß å öýñåé ôï ÌÐËÁ åäþ ôï 1999. 10 Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ éó ýåé ôï ôåëåõôáßï ëýìå üôé ôï Ç åßíáé ó åôéêü ìåãüëï (relatively large). 10

ÓêéáãñÜöçóç ôçò áðüäåéîçò. Åßíáé áðëü![3, óåë.1133 ê.å.] Ðñþôá ñçóéìïðïéïýìå ôï èåþñçìá ôïõ Ramsey ãéá ôçí Üðåéñç ðåñßðôùóç ãéá íá äåßîïõìå üôé ç ðáñáðüíù ðñüôáóç åßíáé áëçèþò. ÏõóéáóôéêÜ ñçóéìïðïéïýìå ôï ßäéï åðé åßñçìá üðùò óôçí áðüäåéîç ãéá ôçí ðåðåñáóìýíç ðåñßðôùóç 2.3 ìüíï ðïõ åäþ áíôß ãéá ôõ áßá óýíïëá óôá ïðïßá äåí éó ýåé ôï èåþñçìá èåùñïýìå ó åôéêü ìåãüëá óýíïëá üðùò óôçí ðñüôáóç. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé áëçèþò! Ãéá íá äåßîïõìå üôé åßíáé ìç áðïäåßîéìç óôçí áñéèìéôéêþ Peano (åäþ îåêéíü ôï handwaving) ïñßæïõìå ìéá èåùñßá Ô êáé äåß íïõìå üôé ç ðñüôáóç Con(T ) Con(P A) åßíáé áðïäåßîéìç óôï PA. ÔÝëïò äåß íïõìå üôé ç ðñüôáóç ìáò áõôþ óõíåðüãåôáé ôçí Con(T). ñá äåí ìðïñåß íá åßíáé áðïäåßîéìç óôç ÑÁ ãéáôß áí Þôáí êáé ç Con(ÑÁ) èá Þôáí áðïäåßîéìç óôç ÑÁ ðñüãìá ðïõ áíôéâáßíåé óôï èåþñçìá ôïõ Godel. 4 Õðïëïãéóìüò ôùí áñéèìþí ôïõ Ramsey. Ç åñþôçóç åßíáé ãéá ôï áí ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôïõò äéüöïñïõò áñéèìïýò Ramsey áêñéâþò. Ëïéðüí èåùñçôéêü ôï ðñüâëçìá ôïõ íá õðïëïãéóôåß Ýíáò óõãêåêñéìýíïò áñéèìüò ëýíåôáé. ÁðëÜ îåêéíüìå êáé åëýã ïõìå ãéá êüèå áñéèìü n N ôï ðëþñåò ãñüöçìá K n. Ï ðñþôïò öõóéêüò áñéèìüò ãéá ôïí ïðïßï áí åëýãîïõìå üëïõò ôïõò ñùìáôéóìïýò ôïõ êáé ãéá êüèå Ýíáí áðü áõôïýò ìðïñïýìå íá âñïýìå Ýíá áðü ôá æçôïýìåíá õðïãñáöþìáôá åßíáé ï æçôïýìåíïò áñéèìüò Ramsey 11. Íá áíáöýñïõìå åäþ üôé óôïí Erdos áðïäßäåôáé[12] ç åîþò öñüóç: "Áí ðáíßó õñïé åîùãþéíïé áðåéëïýóáí íá êáôáóôñýøïõí ôç Ãç óå ðåñßðôùóç ðïõ äåí ôïõ ëýãáìå ìå ôé éóïýôáé ï R(5; 5) ôüôå, èá Ýðñåðå íá âüëïõìå üëïõò ôïõò ìáèçìáôéêïýò êáé üëïõò ôïõò õðïëïãéóôýò ìáò ãéá íá âñïýìå ôçí áðüíôçóç. Áí üìùò ñùôüãáí ãéá ôï R(6; 6) ôüôå, êáëýôåñá íá ðñïóðáèïýóáìå íá ôïõò åîïíôþóïõìå!" Ãéá íá ðüñåôå ìéá éäýá Ý ïõìå ôá áêüëïõèá.[9, óåë.46 ê.å.] Èåþñçìá 4.1 Ôï åñþôçìá áí Ýíá ãñüöçìá G ôïõ ïðïßïõ Ý ïõìå ñùìáôßóåé ôéò áêìýò ìùâ Þ êüêêéíåò Ý åé Ýíá ìùâ G 1 Þ Ýíá êüêêéíï G 2 åßíáé NPcomplete. ÐáñáôÞñçóç 4.1 Åäþ êáíýíá áðü ôá G; G 1 ; G 2 äåí åßíáé êáô' áíüãêç ðëþñç. 11 Windows service pack. Âåëôéþíïõìå ôï ëåéôïõñãéêü-áëãüñéèìï áí ëüâïõìå õð' üøçí ìáò êáé ôá åëü éóôá öñüãìáôá ðïõ Ý ïõìå õðïëïãßóåé èåùñçôéêü üðùò ð.. óôï 2.4. Ãéá update ðëçñþóôå 500 åõñþ! 11

5 Ðïéüò åßíáé ï ôßôëïò áõôþò ôçò ðáñáãñüöïõ; Èåþñçìá 5.1 (Èåþñçìá Ramsey): Ãéá êüèå l; r; k õðüñ åé öõóéêüò áñéèìüò n ôýôïéïò þóôå áí ôï [n] k åßíáé r ñùìáôéóìýíï õðüñ åé [l] k ìïíï ñùìáôéêü. (Èåþñçìá Van der Waerden): Ãéá êüèå l; r õðüñ åé öõóéêüò áñéèìüò n þóôå áí ôï [n] åßíáé r ñùìáôéóìýíï, ôüôå íá õðüñ åé ìïíï ñùìáôéêþ áñéèìçôéêþ ðñüïäïò óôï [n]. (Èåþñçìá Schur): Ãéá êüèå r õðüñ åé öõóéêüò áñéèìüò n ôýôïéïò þóôå, áí ôï [n] åßíáé r ñùìáôéóìýíï íá õðüñ åé ìïíï ñùìáôéêü x; y; z [n] ôýôïéï þóôå x + y = z. (Èåþñçìá Rado): Ç ïìïãåíþò ãñáììéêþ åîßóùóç ìå áêåñáßïõò óõíôåëåóôýò åßíáé öõóéïëïãéêþ (regular), áíí õðüñ åé ìç êåíü õðïóýíïëï ôùí óõíôåëåóôþí ìå ìçäåíéêü Üèñïéóìá. (Èåþñçìá Hales-Jewett): Ãéá êüèå r; k õðüñ åé öõóéêüò áñéèìüò n þóôå ãéá êüèå r ñùìáôéóìü ôïõ Ck n íá ðåñéý åé ìïíï ñùìáôéêþ ãñáììþ. (Èåþñçìá Graham-Leeb-Rothschild): óôù F Ýíá ðåðåñáóìýíï óþìá. Ôüôå ãéá êüèå k; l; r õðüñ åé öõóéêüò áñéèìüò n þóôå ãéá êüèå r ñùìáôéóìü ôùí k-äéüóôáôùí õðï þñùí ôïõ F n íá õðüñ åé l-äéüóôáôïò õðü ùñïò ôïõ, þóôå üëïé ïé k-äéüóôáôïé õðü ùñïé ôïõ íá ìçí åßíáé åìðñéìý. (Èåþñçìá Hindman) óôù G ìç êåíþ ïéêïãýíåéá ìç êåíþí õðïóõíüëùí ôïõ (áí ãñüøù ìç êåíïý èá åßíáé õðåñâïëþ; (ìþðùò ðáñáâïëþ; (ôïõ áóþôïõ Þ Üëëç (ü é Üëëåò ðáñåíèýóåéò ( óêçóç: Ýêëåéóáí óùóôü; (ïé ðáñåíèýóåéò åííïéåßôáé) ) ) ) ) ) óõíüëïõ X. ÔÐÅÉ: 1. Áí ôï X åßíáé ðåðåñáóìýíá ñùìáôéóìýíï ôüôå Ý åé ìïíï ñùìáôéêü G G 2. ÕðÜñ åé õðåñößëôñï A þóôå ãéá êüèå A A íá õðüñ åé G G þóôå G A References [1] N.Alon, J.Spencer The probabilistic method, Wiley-Interscience 2000. [2] Martin Aigner,Gunter M.Ziegler, Proofs from the BOOK, Springer, second edition. 12

[3] Jon Barwise (ed.), Handbook of mathematical logic, North-Holland. [4] Victor Bryant, Aspects of combinatirics, Cambridge University Press. [5] P.Erdos, G.Szekeres A combinatorial problem in geometry, Compositio Math., 2, (1935), 464-470. [6] Paul Erdos Some remarks on the theory of graphs, Bull. Amer. Math. Soc., 53, (1947), 292-294. [7] Harvey M.Frieadman, Ramsey theory and enormous lower bounds, www.math.ohio-state.edu/ friedman/. [8] Ronald L.Graham, Bruce L.Rothschild, Joel H.Spencer Ramsey Theory,Wiley-Interscience Series. [9] Jaroslav Nesetrl, Vojtech Rodl (eds.) Mathematics of Ramsey theory, Springer. [10] F.P.Ramsey, On a problem of formal logic, Proc. London Math. Soc. 30 (1930), 264-286 [11] Vera Rosta Ramsey theory Applications, The electronic journal of combinatorics, Dec 2004, DS13. [12] Yu Jia Yuan Computationally intractible problems in communication, ðáñïõ óéáóç Powerpoint áðü ôï internet. 13