Fig Tipuri de semnale. , (1.3)

Σχετικά έγγραφα
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

GHIDURI DE UNDA. substrat. miez

Supplemental file 3. All 306 mapped IDs collected by IPA program. Supplemental file 6. The functions and main focused genes in each network.

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Το άτομο του Υδρογόνου

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

HONDA. Έτος κατασκευής

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

Jeux d inondation dans les graphes

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * / ) ",. #

s (durata persistenţei imaginii pe retina ochiului este de ordinul 10

PARTS LIST. 1. EXPLODED VIEW 1.1 FINAL ASSEMBLY <M1> The instruction manual to be provided with this product will differ according to the destination.

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

Hydraulic network simulator model

MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector

March 14, ( ) March 14, / 52

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s

Q Q Q 2Q b a a b

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο. Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 = 2

Supplementary Table 1. Primers used for RT-qPCR analysis of striatal and nigral tissue.

Η νέα προσέγγιση στην ταχεία προγεννητική διάγνωση των χρωµοσωµατικών ανωµαλιών του εµβρύου

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής Κατεύθυνσης Βιολογία Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ

! " #$% & '()()*+.,/0.

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

ITU-R P (2009/10)

Ζεύγη βάσεων ΓΕΝΕΤΙΚΗ. Γουανίνη Κυτοσίνη. 4α. Λειτουργία γενετικού υλικού. Φωσφοδιεστερικός δεσμός

!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

J. Dairy Sci. 93: doi: /jds American Dairy Science Association, 2010.

7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE

SERII RADIOACTIVE. CINETICA DEZINTEGRĂRILOR Serie radioactivă- ansamblu de elemente radioactive care derivă unele din altele prin dezintegrări α şi β

Επίσηµη Εφηµερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης

cu f(x), probabilitatea ca acest semnal să aibă o anumită valoare x într-o durată de timp T 0

CD-308MP/FM. Service Manual - CD-308MP/FM



Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté


IJAO ISSN Introduction ORIGINAL ARTICLE

! " #! $ %! & & $ &%!

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Da se podsetimo Algoritam optimizacije. Odrediti vrednosti parametara kola koje će garantovati da odziv F(x, p) ima željenu vrednost F * (x).

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z}

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

ITU-R P (2012/02)

x ax by c y a x b y c

x (s-a neglijat curentul de câmp faţă de cel de difuzie, tranzistor fără câmp intern) * ecuaţiile de continuitate (valabile pentru orice x şi t ):

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS

cele mai ok referate

METODE MODERNE DE PROCESARE A SEMNALELOR RADAR, BAZATE PE REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Συντήρησης Αρχαιοτήτων και Έργων Τέχνης Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής - ΣΑΕΤ

Προγνωστικές μέθοδοι με βάση αλληλουχίες DNA

BẢNG GIÁ HỆ THỐNG ĐÈN CHIẾU SÁNG TỦ BẾP & TỦ ÁO

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

9. UTILIZAREA TRANSFORMATELOR LAPLACE ŞI Z ÎN STUDIUL SEMNALELOR

Απόφαση. Ο κ. I. Κούσκος, Οικονομικός Υπεύθυνος του Ε.Ι.Π., έχοντας υπ όψιν : Αποφασίζει. Ο Οικονομικός Υπεύθυνος του Ε.Ι.Π.

#&' ()* #+#, 2 )' #$+34 4 )!' 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8')* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :&' 2#3+23- ##) :* #-) ''

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =

Transcript:

APTO ONPT D BAĂ ÎN TOA TO T.. SMNA T Sma crc u m bază a or crcuor crc urăoar rg ş formaţ. O caracrcă moraă a uu ma crc mou varaţ a acua î m. Noâ cu x vaoara aa a uu ma vaoara mauu a momu vom fac o cafcar a cor ma uza ma crc î acaţ c î fucţ mou cum varază î m acaă mărm.. Sma cou ma cur couu Sma cou caracrzază r fau că vaoara or rămâ coaă î m fg..a c: x X. u X oa f ozv au gav. Pru a ua f fca cu uşurţă mărm crc caracrc acor ma oază cu r mar: V.. Fucţa raă Vaoara aa a acu ma afac urmăoar raţ: x ru < x X m ru u X m amua r fg..b... muu Fg... Tur ma. Dacă î cazu aror a momu T mau auază acă: x ru < x X m ru T. x ru >T obţ mau mu rrza î fgura.c. X m umş amua muuu ar T - uraa muuu. O cvţă muur ra roc fg.. umş r muur. 7

4. Sma roc ma a căru uccu vaor rrouc î acaş or a fcar T cu umş ma roc cu roaa T. Vaoara mauu afac cuaţa: x x T.4 ru orc ş =.... D acaă cagor fac ar ma uoa fg..a rcaguar fg..b ruguar fg..c ţ frărău fg... Fg... Tur ma roc. Număru ccur ocaţ fcua îr-o cuă umş frcvţă ş măoară î rz [Hz]. Pr fţ c: f..5 T D raţa.5 rzuă că u ma cur couu oa f rv ca u ma roc cu T acă f. Î cazu maor roc fş vaoara m o roaă a mauu: T car ă. X m x.6 T 5. Sma uoa ma cur arav ma roc a căru vaoar m o roaă uă umş ma arav. ma arav a căru xr aa rrză cu auoru fucţ u umş ma uoa au ma cur arav. af ma c fgura.a car arază uoa îr vaor xrm X m ş X m ar vaoara X m umş amu au vaoar vârf vaoara aa maxmă o roaă a u uoa. D uc vr rgc mau caracrzază r mărma umă vaoar fcvă fă r raţa: 7

X X m /..7 ma cur arav rrză ub forma: x X f X.8 m u f umş uaţ a mărm arav ş măoară î ra/. 6. Sma aaogc ş ga ma car varază couu î m îr-o aumă aă fg.. umş ma couu au aaogc. Sm crc car orază î omu grăr au rocăr acor ma formază caa crcuor aaogc. Pr cora ma car o ua uma u ma vaor umc ma cr au ga umrc. Sma cu ouă vaor au X m u ruu muur umc ma bar. Sm crc car orază cu af ma umc crcu ga. Î caru ac ca crcu u ro rmă moraţă î au cacuaoar croc. Fg... Sma aaogc couu. Avaau maor a rrzăr formaţ î formă cră î arcuar bară coă î fau că ma ga u mu ma uşor gra roca ram ş oca câ ma aaogc... MNT D T... Aroxmaţ or crcuor crc cu aramr cocraţ gmur crcuor crc o ua cu auoru cuaţor cu rva arţa a câmuu cromagc cuaţ u Maxw î coţ a. Pr uzara mor crcu cu aramr cocraţ uu crcuor crc mfcă; î ocu cuaţor cu rva arţa rv cuaţ frţa ma mu rzova. Tora crcuor crc cu aramr cocraţ aborază r arcuarzar ora câmuu cromagc î urmăoar coţ aroxmar:. aracru cvaaţoar a rgmuu car ruu gara curuu q aar D D o cu xcţa crcuu coaoaror agurâ af îcra crcuuu. gmu cvaaţoar af caracrza r xţa curuu coucţ î coucoar ş a cu aar î coaoar cu crc rfc zoa.. ocazara rg câmuu magc uma î bob ş a rg câmuu crc uma î coaoar ş D abş câm magc î crcu coaoaror ş câmu magc varab î m bob rouc câm crc aca vor ga.. S am că aa curuu car r-o boră a uu m crcu gaă cu aa curuu car ră r caaă boră. Acaă coţ ruu că ca ma mar r mu a muu crcu mu ma mcă câ ugma uă ca ma mcă car rv î mau crc. Af î crcu crc cu aramr cocraţ curu crc abş aau fcu roagar f gab. orâ u coucor ugm arcur curu 74

x x f m.9 c u x varaba aţaă c vza roagar a u cromagc gaă cu vza um ar f - frcvţa acă f x c acă x cu c f. aa x oa aroxma cu xra: m f. vaabă ru frcvţ oa. Obrvaţ: Pru frcvţ rca au ru crcu x î aţ mar mua comarabă cu ugma uă a mauu roagara rg maf aa u ma oa ga varaba aţaă. Î acaă uaţ î rrzara crcuuu uzază m f mc rarza oaă ugma acua. S aug af a crcu cu aramr rarzaţ rbuţ. 4. aracru fform a coucoaror car ruu ca cţua ravraă cur ă f ufc mcă ru ca aa curuu ă f rarzaă racc uform acaă cţu. Acaă oză mcă gara rarţ uform a curuu varab î m cţua coucoruu fcu cuar. Î ac ora crcuor crc xcuv o or a mor crcu fform. Î rgm varab afacra coţ caracruu fform a coucoaror ruc a vrfcara coţ: a. f u: a mua ară ca ma mcă a cţu ravra a coucoruu acă crcuar raza acua ar aâcma ărur a uor cromagc î mu coucor caracrza r coucvaa ş rmabaa.... Mărm ş raţ fuama ru ora crcuor crc Î ac aragraf vor rza raţ a or câmuu cromagc ru rgmu cvaaţoar uza î ora crcuor crc: - ua crcă u cu form arcuar: ua î ugu fruu u f - câ curba car fac grara uaă î ugu ax uu fr coucor; ua a bor u b - câ curba uaă îr ouă bor acc; ua coaoruu u - câ curba uaă îr armăur r crc. Su rfrţă a u coc cu u muu arc. - ua cromooar cour cu form arcuar:..m. mrmaă - câ ;..m. uă - câ Su rfrţă a..m. coc cu u muu arc. - aa curuu coucţ J A. S Su rfrţă a curuu coc cu u vroruu orma S. - arca crcă q a armăur coaoruu a car orş curba car fă u ; S 75

- fuxu magc a bob cacua o urafaţă ră couru c rc r axu fruu bob ş îc r a u a bor rr-o rgu cu câm magc gab. Su vroruu orma a urafaţa S aoca cu u arcurgr a fruu bob uă rgua burguu r. S - ga ucţ cromagc ; - ga coucţ crc uf ; q - ga corvăr arc crc ; - orma couăţ curuu coucţ ; - orma caacăţ crc q u ; - raţ u Maxw rfroar a ucvăţ ; - orma rg crc W qu ; - orma rg magc Wm ; - ga raformăr rg cromagc î rocu coucţ P u.... afcara mor crcu m crcu u mo aza r cara uma a ua r rorăţ or crc au magc coraă ţaă ş gara cora rc f cu auoru cărora um rrza moa ozv crc ş croc car u obc fzc ra. Dacă oăm cu x vaoara aa a mauu rar aca muu crcu ş cu y vaoara aa a mauu şr raţa r c ouă mărm car î cazu c ma gra oa cr ub forma y yx. umş cuaţ caracrcă a muu crcu. Duă u cuaţ. m crcu cafcă î: m ar varab î m: y Kx.4 u K o coaă. m ar varab î m aramrc: y K x..5 m ar varab î m: f x y..6 m ar varab î m: g x y..7 m crcu caracrza rr-o raţ îr curu ş ua a bor a. aura rc mărm x y ua u ş aa curuu u uvoc rma a bor muu crcu ş rouu or: u.8 umş ur aa ar graa î raor cu mu a ur aa rvau umş rg crcă J f 76

W..9 D ucu vr a vaoror ur aa m crcu o f cafca î ouă cagor: m crcu av ru car î orc uc a caracrc fucţoar ca c îamă că mu crcu rmş ur a bor; m crcu acv au ur ru car c uţ îr-u uc a caracrc fucţoar < ca c îamă că mu crcu cază ur a bor...4. m crcu av..4.. zoru u m crcu a căru cuaţ fucţoar forma. ş umş caracrcă u-cur au forma. ş umş caracrcă curu: u = u. au = u.. cuaţa caracrcă a rzoruu rmă câ a ora câmuu cromagc î urmăoar oz car cază roraa ţaă: rzoru u fr coucor car f arcur u cur crc coucţ gaă căură aoră fcuu crocaorc u rouc câm magc u acumuază arcă crcă q ş u coţ ur câm crc mrma Fg..4. coucor fform ugm fă.. Acâ ga ucţ cromagc curba fg..4 ş ga coucţ crc ţâ ama oz auma obţ uccv: S u f ub. car rzuă u ş f u. b uf uf..4 D cuaţ. ş.4 rzuă că u u..5 b a zoru ar varab î m. Ac m crcu rrza mboc î fgura.5a ar cuaţa caracrcă umă ş cuaţ couvă au u.6 Gu.7 77

u rzţa muu măuraă î om ş G coucaţa acua măuraă î m S. Fg..5. Smbour rzoaror. cuaţ.5 ş.6 rrză î au u o raă c rc r org fg..6a; ca urmar ua ş curu au acaş formă varaţ î m. Îmuţ cuaţa.5 cu au.6 cu u obţ ura aa rmă a bor rzor: u Gu..8 fr u rfrţă a u au curuu ş coru fcuu crocaorc raformar rvrbă a rg crc î căură. Dacă = G cuaţa.6 v: u.9 ş mu umş curcrcu fg..6b. Dacă G = cuaţa.7 v:. ş mu umş crcu c au aură î go fg..6c. Fg..6. aracrc u a rzoaror ar. b zoru ar varab î m aramrc ar cuaţa caracrcă u. u umş rzţă aramrcă. Smbou u rrza î fgura.5b. xmu af m crcu oţomru. aracrc. rrză î au u o fam r c rc r org fg..7 c forma varaţ î m a u fră ca a curuu. Ac m oa f foo a moara uu coacor ra fg..8 cu auoru uu coacor a ş a ouă rzoar ar ş varab î m vaoar foar mar ş vaoar foar mcă. c zoru ar cuaţa caracrcă a rzoruu ar varab î m : f u. 78

ar a cu varab î m g u. mbou f rza î fgura.5c. Fg..7. aracrca u a rzoruu aramrc. Fg..8. Mou coacoruu ra. Duă forma cuaţ caracrc ac m o f mrc au mrc î raor cu orga. D uc vr a mărm car fxază uvoc ozţa ucuu fucţoar curba caracrcă rzoar ar cafcă î: rzoar ar coroa î u avâ cuaţa caracrcă fg..9a forma u au ˆ u ;.4 rzoar ar coroa î cur avâ cuaţa caracrcă fg..9b forma u u au u uˆ..5 rzor ar caracrza fau că ru orc u u aă cur a curu ua u uc cfca cfcaă umş rzor ar coroa î u cur. a b Fg..9. aracrc rzoaror ar: a zoru ar coroa î u c.u.; b zoru ar coroa î cur c... D cagora rzoaror ar mrc fac ar: ubu cu fr cac ş rmoru a căror rzţă varază cu mraura varoru a căru caracrcă coroaă î u ş oa cu gaz avâ caracrca coroaă î cur. Doa cu ocţu oa r ş oa u u rzoar ar mrc cu caracrcă coroaă î u. a xmu arcu crc î cur couu ş î cur arav car oa f moa rr-u rzor ar varab î m...4.. Boba 79

Boba cuaă magc ar cuaţa fucţoar forma.6 umă caracrcă fux-cur. cuaţa caracrcă xcă obţ baza raţor ora câmuu cromagc ş a urmăoaror oz car cază roraa ţaă: boba razaă r-u fr coucor car f arcur u cur crc rouc câm magc ar î u raformă rg r fc crocaorc u Fg... Smbou bob ar. acumuază arcă crcă q ş u ar ur câm crc mrma. Acâ ga ucţ cromagc ş ga coucţ crc muu rrza î fgura. î oz uţa obţ: u f ub.7 rcv uf uf..8 D cuaţ.6 ş.7 rzuă ub u.9 umă cuaţa vouţ a bob car r grar rvau obţ u ; u ;.4 Fg... rcuu cva a bob ar ra. aţa.4 umă ş cuaţ ra a bob araă că fuxu magc a momu vaor aroar a u c boba u m cu mmor. D ama rzuă că î rvau fuxu magc î bobă o fucţ abou couă î m. S u că fuxu ar u caracr corvav. Dacă rzţa bob uă cuaţa.8 ru boba raă fg.. caăă forma: ub uf u u.4 u u umş căr u rzvă ar u - căr u ucvă. Fg... Smbour bobor. 8

a Boba ară varabă î m ş cuaă magc cu mbou fgura.a ar cuaţa caracrcă.4 u ucvaa măuraă î ry [H] coaă ru o aumă bobă. Î au caracrca.4 o raă c rc r org fg..; î cocţă fuxu magc ş curu au acaş formă varaţ î m. Ţâ ama cuaţa.4.9 obţ cuaţa caracrcă : Fg... aracrca a bob ar. u ; u.4 car r grar rvau rzuă u..44 grâ cuaţa.4 rvau ş căzâ ao mmbru cu mmbru cuaţa.44 obţ: u..45 Dacă ua mărgă u î rvau T auc graa.45 căr zro câ ş c auază ş mmbru âg a ac cuaţ. Af u î ac crcumaţ curu r bobă uform couu î rvau T. u oa ava u a bruc a o vaoar fă a o aă vaoar fă. Boba ară varabă î m ş cuaă magc com caracrzaă ucvaa ror ş aa curuu î momu ţa. Prorăţ coua a fuxuu magc ş curuu crc r bobă vor f uza î uu rgmuu razoru. Îmuţ cuaţa.4 cu ş grâ rvau î coţa obţ rga W m acumuaă î câmu magc a bob: W a căr vaoar ozvă. m u.46 b Boba ară varabă î m aramrcă ş cuaă magc ar mbou fgura.b ş cuaţa caracrcă.47 u umş ucva aramrcă. Ţâ ama cuaţa.47 cuaţa.9 couc a u..48 Prmu rm mmbru r umş căr u ucvă r uaţ ar a oa - căr u ucvă aramrcă. Î au cuaţa.48 rrză o fam r c rc r org; ca urmar fuxu magc ş curu au form fr varaţ. xmu ucor aramrc î cou u oo î roru cărua mzu magc aază arav. 8

c Boba ară o bobă cu mz fromagc c ră î comoţa ror cromagţor raformaoaror ş maşor crc. aracrca fux-cur umă caracrcă magzar forma: g..49 Î fucţ marau fromagc car cofcţoa mzu bob caracrca magzar oa ava forma fgura.4a coruzăoar maraor magc mo au fgura.4b coruzăoar maraor magc ur. a Fg..4. aracrc a bobor ar: a Mara magc mo; b Mara magc ur. P orţua - a caracrc fgura.4a boba oa f coraă ară ar fuxu magc ş curu au acaş formă varaţ î m r obr orţua - car ară ş coru uor form fr varaţ î m a fuxuu magc ş curuu. P ucu fuxu rămâ racc coa ar boba v auraă magc. aracrca fgura.4b umş curbă rz. Bob cu mz fr o f moa ca m crcu aroxmâ coruzăor forma caracrc xmu r gm raă. Bob cua magc S u că o bobă arcură curu cuaă magc cu a - bob acă fuxu magc fucţ ş ăţ curţor c arcurg ac bob cuaţa caracrcă a bob f........5 Dacă bob u ar ş varab î m ţâ ama raţ u Maxw ru ucvăţ cuaţa caracrcă.5 v b.5 î car mărma >.5 umş ucva ror ar mărma.5 uâ f ozvă au gavă umş ucva muuaă. Pru a ab c m a î coraţ î cacu ora crcuor ru ucvaa muuaă î cm crc vţază cu * bor oarza a 8

bobor cua magc. Dacă ur rfrţă a curţor ş faţă bor oarza u c amb ră au ac bor ucvaa muuaă ozvă. Î caz corar gavă. Tua u a bor bob cua magc cacuază îocu raţa.5 î.9. S obţ af u.54 u rmu rm mmbru r umş căr u ucvă ror ar a oa - căr u ucvă muuaă. Îmuţ cuaţa.54 cu ş grâ rvau î oza = obţ xra rg magc îmagaza î boba : W m u..55 Prmu rm mmbru r umş rg magcă ror ş rc ozv ar a oa umş rg magcă muuaă ş oa f ozv au gav. rga magcă oaă a muu bob cua magc ar xra W m..56 Î cazu arcuar a ouă bob cua magc obţ Wm.57 u rmu ş a oa rm rrză rga magcă îmagazaă î rma rcv a oua bobă ar umu rm rrză rga magcă racţu...4.. oaoru Ar cuaţa caracrcă arcă-u au u-arcă q qu.58 rcv u uq..59 a f ca ş î cazu cor ouă m crcu rza ma u coaoru a oa f ua cu auoru gor câmuu cromagc ş a ozor azar orv cărora coaoru u m coucoar car f arcur u cur crc coucţ oa acumua arcă crcă q ar u gaă căură u rouc câm magc ş u coţ ur câm crc mrma. Acâ ga ucţ cromagc curba fg..5 î oz auma obţ uf u ub.6 ar ga coucţ crc acaă coucoaror fr ş armăur couc a Fg..5. Sma rcu a uu coaor. uf uf..6 D raţ.6 ş.6 rzuă u u..6 b 8

orâ crcu coaoruu rfc zoa ga corvăr arc crc couc a ş cum q q obţ raţa r aa curuu crc coucţ ş arca crcă ub forma cuaţ vouţ q..6 graă rvau cuaţa.6 couc a q q ; q..64 aţa.64 umă cuaţa ra a coaoruu araă că arca crcă a momu vaor aroar a curuu; r urmar coaoru u m cu mmor. zuă ama că î rvau arca crcă o fucţ abou couă î m; af u arca crcă u varază couu ar caracr corvav. Fg..6. Smbour coaoaror. a oaoru ar varab î m a căru mbo rrza î fgura.6a ar cuaţa caracrcă couvă q u.65 au u Sq.66 u > umş caaca ş măoară î faraz [F] ar S = / umş aaţă ş măoară î [F] -. Fg..7. aracrca qu a uu coaor ar. u u ; Î au q u cuaţa.65 rrză o raă c rc r org fg..7 c arca crcă ş ua au acaş formă varaţ î m. Ţâ ama.65 cuaţa.6 v u.67 car r grar rvau couc a u =..68 oaoru ar ş varab î m com rma caacaa ş ua ţaă u. Îmuţ cuaţa.67 cu u ş grâ rvau î oza u = obţ rga acumuaă î câmu crc a coaoruu î ac rva u W u uu u q q u.69 a căr vaoar ozvă. 84

Prr-o moraţ mară c ru curu r bobă oa arăa că acă aa curuu r coaor mărgă < î rvau [T] auc ua crcă a bor coaoruu varază couu î rvau T. Af u ua a bor uu coaor ar varab î m u oa vara bruc a o vaoar fă a o aă vaoar fă. Proraa coua a arc crc ş a u a bor coaoruu va f fooă î uu rgmuu razoru. b oaoru ar varab î m aramrc ar cuaţa caracrcă q u.7 u umş caaca aramrcă. Smbou grafc a acu m crcu rza î fgura.6b. D raţa.6 ţâ ama.7 obţ u..7 u Prmu rm mmbru r umş comoă uaţ a curuu ar a oa - comoă aramrcă. Î au q u cuaţa.69 fş o fam r c rc r org c curb varaţ a u ş arc crc u fr. xmu coaor ar varab î m coaoru cu armăură vbraă. c oaoru ar Fg..8. aracrca qu a uu coaor ar. oaoar ra au caracrca qu ară î gra varabă î m forma q u f.7 rrzaă rr-o curbă rz fg..8. a ş a boba cu mz fromagc coaoru ar oa f moa ca m crcu aroxmâ caracrca arcă-u r gm raă...5. m crcu acv..5.. Sur Sur u m crcu car moază graoar ma. umc ru că mărma car caracrzază..m. au aa curuu crc ă mărm crc ru crcuuu. Î couar vom rouc c ouă ur ur ora crcuor crc: ura ă u ş ura ă cur.. Sura aă ă u u m acv avâ mbou fgura.9a ş urmăoara cuaţ caracrcă cră ru ur rfrţă aoa: u..7 cuaţa.7 oa f uă baza or câmuu cromagc. Af î oz azar ura aă u u m car f arcur u cur crc coucţ raformă rga cromagcă î a form câ rg crcă 85

Fg..9. Smbou ş caracrca u a u ur a u. au magcă u gaă căură u rouc câm magc ş u acumuază arcă crcă q. Acâ raţa fţ a..m. cour Fg.. obţ: u f ub..74 um ga coucţ crc î ac caz couc a uf.75 îocu î raţa.7 obţ: ub u.76 acă raţa.7. Î au u caracrca fucţoar o raă araă cu axa curuu Fg..9b. D cuaţa.7 rzuă că ura ă u u caz arcuar rzor ar coroa î cur caracrzaă fau că ru orc cur a ua uc cfcaă. Dacă caracrca.7 a forma.9 ş ura aă ă u v u curcrcu rora moraă î caru or crcuor crc fooă ru avzara acor ur. Smfcaţa fzcă a fţ ur a u că crcuu coca a bor ur u fuţază forma Fg... Scma rcu a u ur uă a u c uma curu car u. crcuă r ură. u ur rfrţă fgura.9a ura caă ură crcuuu xr : u..77 Dacă mu crcu gaă căură r fc crocaorc r rrzara u ca fgura.a ar cuaţa fucţoar : Fg... Smbou ş caracrca u a u ur ra u. u r..78 86

af m umş ură raă u. aracrca fucţoar.78 o raă car u rc r org fg..b. Îmuţ raţa.78 cu obţ ura crcă caă a bor ură u r..79 aţa.7 araă că u um coca î ara îr acaş bor ur a u cu vaor fr a uor cromooar.. Sura aă ă cur O ură rg cromagcă avâ roraa a ba u cur rţaua cocaă a bor umş graor a cur. Smfcaţa fzcă a fţ ur a cur că aa acaa rcră curba varaţ a curuu ur. a u fuţaă ua a bor rmaă crcuu xr af îcâ cuaţa caracrcă a muu : u.8 ar mbou c fgura.a. Î au u caracrca o raă araă cu axa u fg..b. Sura ă cur u caz arcuar rzor ar coroa î u oarc coform cuaţ caracrc ru orc u Fg... Smbou ş caracrca u a u ur curu uc cfca. a cur. Dacă caracrca rrză axa u ş ura aă ă cur v o aură că rora ama moraă î caru or crcuor crc gaă avzara acor ur. Pru ur rfrţă aoa î fgura.a ura caă ură crcuuu xr u u..8 Scma cvaă a u ur ra cur rzaă î fgura.a ar cuaţa fucţoar : gu..8 Fg... Smbou ş caracrca u a u ur ra cur. aracrca fucţoar o raă car u rc r org Fg..b. Îmuţ raţa.8 cu u obţ ura crcă caă a bor ură: u u gu..8 87

aţa.8 araă că u um coca î r acaş aură ur cur cu vaor fr a curţor caţ...5.. Sur comaa Sr obr ur rza ma u car u foo ca mărm rar xcaţ a uu crcu ur comaa u uza ru moara uor ozv crc ur au croc r racc ob. O ură comaaă u m crcu cou ouă aur: o aură comaă car î cma moar f u curcrcu f o aură că ş o aură comaaă c c car f o ură u f o ură cur. Forma u u au cur a ur comaaă curu au ua comaă. xă aru ur ur comaa car o cafca î ouă cagor: - ur omog: Sura u comaaă î cur c ; Sura cur comaaă î u J c. - ur omog: Sura u comaaă î u c ; Sura cur comaaă î cur J c. Fcar ură comaaă caracrzaă cu ouă cuaţ coruzăoar cor ouă aur. Î fgura.4 u rza cm cva a cor aru ur ur comaa c.c. Sura u comaaă î cur c Sura u comaaă î u c c c c c c c A c c Sura cur comaaă î cur J c Sura cur comaaă î u J c J c B c c Fg..4. Sur comaa. J c c c 88

Toa ac ur ur comaa o f raza fzc cu o buă aroxmaţ cu auoru amfcaoaror oraţoa. Smfcaţa mărmor cuaţ comaă : c rrză rzţa rafr; G c coucaţa rafr; A c facoru amfcar amfcara î u; B c facoru amfcar amfcara î cur; O ură comaaă u oa gra a îăş cur ş u îr-u crcu ru acaa f cară o ură ă car ă crz mau comaă car va rma aarţa mauu comaa. Obrvaţ: Aaza crcuor cu ur comaa uzază acaş mo ca ş a cor cu ur frţa coâ î fau că î ac caz a cuaţ coruzăoar mo aază aca aaugă cuaţ comaă xrma î raor cu varab mo.. ASFAA TO T rcu au rţ crc u aambur m crcu coca î vr mour r uraura boror acora. S obţ af o rucură cu u umăr bor o au rma acc. Fcar boră caracrzază r curu ş oţau v ar frţa oţaor a ouă bor umş u a bor. Fg..5. rcu -o. Fg..6. rcu o bo. crcu cu bor acc umş muo crc au -o crc Fg..5. Î arcuar acă crcuu umş o acă - ro ş acă 4 - cuaro crc. Îâă ş î rrzara mor crcu av rucura o bo a crcuor crc Fg..6 caracrzază r aa curuu aborb rr-o boră ş r ua îr c ouă bor. aţa u f au g u umş caracrca ouu. Pru ur rfrţă a curuu ş u a bor fgură rrzâ covţa a rcoar ura aborbă a bor o u ar ou umş rcor. Pru u vr a u a borcovţa a graoar ura a bor ouu u ar ou umş graor. Pr fţ crcu a - o afac urmăoar coţ: - î fcar mom uma agbrcă a ăţor curţor boror acc uă; - î fcar mom ura cromagcă oaă rmă xror crcuu - o xrmă coform orm ur cromagc r raţa: 89

v..84 Aocra a ouă bor a căror curţ u ga î vaoar abouă ş ouş ca m cou o oară. muo a căru bor u grua af îcâ ă cou orţ umş muor au - or Fg..7. caracrzază r u orţor ş r ăţ curţor acora. uarou avâ bor grua î ouă orţ u or Fg..8. Fg..7. rcu -or. Fg..8. rcu or cuaro..4. GM D FNŢONA A TO T Duă aura fucţor car xrmă varaţa î m a ăţor curţor ş uor rgmur fucţoar a crcuor crc cafcă î: a rgm cur couu - î car mărm xcaţ ăţ curţor u ş oţa crc u coa î m; b rgm varab - î car mărm xcaţ ăţ curţor u ş oţa crc u fucţ oarcar m; c rgm roc - î car mărm xcaţ ăţ curţor u ş oţa crc u fucţ roc m. rgm roc arcuar foar mora î raccă rgmu uoa. gmur varab r car fac rcra a u rgmur cur couu au rgmur roc a a rgmur cur couu au roc umc rgmur razor. zovara mor cuaţ c cru fucţoara crcuor crc î uu rgmur ma u rză arcuarăţ cfc fcăru rgm ca c rmă aborara c aază cfc. Aca gruază î r mar cagor:. Aaza rgmuror cur couu curzâ mo aază c couc a rzovara uu m cuaţ agbrc car cru fucţoara crcuuu. foru cacu rma xcuv umăru cuaţ a muu. ma uza mo mamac î ac caz u agbra marcaă ş mo umrc rzovar a mor cuaţ agbrc;. Aaza rgmuror uoa cu auoru mo mboc a rrzăr î comx. Pr rmu ac c umă ş moa mbocă mu cuaţ frţa c cru fucţoara crcuuu î rgm uoa raformă îr-u m cuaţ agbrc afăcu vaor comx a cuocuor a căru rzovar mu ma mă. Aaza îc r rvra omu comx î omu ra 9

obţâu- af vaor aa a mărmor crc cacua - curţ u oţa crc;. Aaza rgmuror varab oarcar r moa oraţoaă. Tca ca ma uzaă aază fooă î ac caz bazază raformaa aac ş rm raformara cuaţor frţa a crcuuu î cuaţ agbrc afăcu raforma aac a cuocuor. Moa mară c mboc foo î aaza rgmuror uoa. Duă obţra ouţor ub forma raformaor aac um fucţ mag acă raformaa aac vră ru a obţ vaor aa a cuocuor um fucţ orga. Pru rzovara acor rgmur xă îă ş a mo car bazază uzara aor raforma au a rc. v moa oraţoaă u acă a crcu ar..5. TOM GNA A TO TO T.5.. Torm u Krcoff a Î rgm cvaaţoar ga corvăr arc crc ru o urafaă îcă car îcooară u o oarcar a crcuuu rcază oa coucoar auror ş u rc r crc coaoaror Fg..9 couc a raţa q..85 Dacă arbu mu + curţor car ou au u rfrţă acaş cu a orma ş mu - cor car ră î o raţa.85 couc a Fg..9. O bucă crcu...86 A aţa.86 rrză rma ormă a u Krcoff car uţă af: uma agbrcă a ăţor curţor aur c î ou a uu crcu uă. b Acâ ga ucţ cromagc couru î oza ocazăr câmuu magc uma î bob avâ o vaoar uă î afara mor crcu obţ S..87 Dcomuâ curba îcă îr-o umă curb c c urmărc uor a bor auror c formază buca b a crcuuu raţa.87 couc a A u.88 b raţ c rrză orma a oua a u Krcoff: uma agbrcă a uor a bor auror aarţâ buc b a uu crcu uă. D mou ucr a cuaţ.88 rzuă că mu + arbu uor a bor a căror rfrţă coc cu c a curb ş mu - cora. 9

Obrvaţ Torm u Krcoff obţu ub form.86 ş.88 u aura mor crcu ş mou varaţ î m a uor ş curţor. u cocţ a rucur ooogc rvâ mou rcoxu a mor crcu a rţ..5. Torma u Tg Acaa o ormă graă rrzâ o cocţă rcă a ormor u Krcoff. F a ouă rgmur oarcar fucţoar a uu crcu crc oa cu rcv curţ ş u coruzăoar car vrfcă c ouă orm a u Krcoff afac urmăoar raţ: ş u.89 u u.9 u u vcoru uor auror orţor crcuuu ar vcoru ăţor curţor auror orţor crcuuu. Dmorara cor ouă raţ bazază roraa orogoaa a marcor cţă aur-cţu ş aur-buc ca c cofră vaaba aâ ru rgmur fr rou xcaţ au coţ ţa fr îr-u acaş crcu câ ş ru rgmur fr a uor crcu fr ar avâ acaş rucură ooogcă acaş graf..5.. Torma corvăr uror Pru cazu arcuar câ c ouă rgmur cofuă orma u Tg couc a urmăoara raţ îr u ş curţ orţor coruzăoar uu rgm oarcar a uu crcu: u..9 aţa.9 rrză orma corvăr uror aa. Dacă umăru oa a orţor mor crcuuu raţa.9 oa f xrmaă î forma: u u.9 u u rrză ura aa rmă r oara a muu crcuuu câ ur curuu ş u a bor orţ u aoca uă covţa a rcoar. D.9 ş.9 rzuă xra u.9 cu uţu: uma agbrcă a uror aa rm a orţ bor mor uu crcu î fcar mom uă..5.4. Torma uror a cu acţu uă Vacy a Torma uror a u cu acţu uă: acă rouc î r cu fcar m coca îr-u o a uu crcu ur a u avâ acaş 9

..m. ş ora a f faţă o fg.. u ş curţ r m crcuuu u mofcă. Dmoraţa orm vă căc roucra uror u u cmbă cuaţ u Krcoff: rma u mofcă ar î a oua rm o car aar auază rcroc. Acaţ a orm: avzara u aur m crcu auara u ţa a uu coaor cvaă cu o ură..m. auara fuxuu magc ţa rcv a curuu ţa a u bob coţa ţaă uă f rrzaă rr-o ură cvaă u. Fg... fror a orma uror a u cu acţu uă. Fg... fror a orma uror a cur cu acţu uă. b Torma uror a cur cu acţu uă: acă î ara cu fcar m aură crcu c formază u cour îc buca b cocază câ o ură aă cur oraă î u buc ş avâ acaş a fg.. u ş curţ r m crcuuu u mofcă. Vaaa orm vă căc roucra uror cur u cmbă cuaţ Krcoff: î rma rm o car aar auază rcroc ar a oua u mofcă. Acaţ a orm: avzara u aur m crcu auara arc crc ţa rcv a u ţa a uu coaor coţa ţaă uă f rrzaă rr-o ură cvaă cur auara curuu ţa a u bob cva cu o ură cur. 9

APTO ANAA ASSTATĂ D AATO A TO T.. NOŢN D TOPOOGA TO T Tu ş curţ auror orcăru crcu crc cu aramr cocraţ afac î rca r raţ bază: rma ormă a u Krcoff a oua ormă a u Krcoff ş raţa caracrcă couvă a fcăru m crcu. Torm u Krcoff u raţ agbrc ar îr u au curţ auror caracrc mor crcu car î xcuva mou rcocar a auror. Aaza ooogcă a crcuor crc au cur oooga crcuor ocuă cu ac rorăţ a crcuor crc ar au ar cu aramr cocraţ car uma rcoxua auror. Maoraa crcuor crc cu aramr cocraţ ar au ar o f moa rr-o rcocar m oar cu caracrc cfca. O crr comă a uu mo crcu rbu ă coţă urmăoar formaţ: a mou î car u coca aur; b ur rfrţă a curţor ş uor auror; c caracrc auror. mo mu ş aura a obţ rm ouă formaţ mţoa ma u aca r car crcuuu aaza aocază u graf ora G um ş graf coxu a crcuuu uă urmăoara rguă: fcar m oar crcu îocuş rr-u arc curbă ora î acaş cu u ăţ curuu r aură. Î c c urmază vom ruu că ur rfrţă a uor auror crcuuu coc cu c a ăţor curţor rgua aocr a uror rfrţă a rcoar. D xmu î fgura.b rrză grafu ora G aoca crcuuu crc fgura.a. Fg.. Î rrzara grafuu muţma ouror crcuuu o muţm uc ar muţma auror o muţm arc curbă. Pr cocara arcor a our că raţa bară a grafuu. Dfţa... S umş graf ora ru G N N f î car fucţa f : N N fac ca fcăru m muţma N ă- coruă o rc ş 94

uma ua muţma rcor oroa N N m a u muţm N N N. Muţma N umş muţma ouror auror grafuu G. m muţm N umc our aur a grafuu. Dfţa... Orc r G = N f cu ş f f umş ubgraf a grafuu G = N f. Dfţa... Puc rma a u aur umc our rma a aur rcv. Dfţa..4. Orc o a uu graf car u o rma ru c o aură a grafuu umş o zoa a grafuu ou 5 fg... Dfţa..5. O aură car ar ca o rma u o umş aură că a ou. aura fg.. că a our ş 4. Dfţa..6. Număru aur c a u o umş grau ouu rcv. D xmu ou fg.. ar grau. o gra umş o ua 6 ar aura car ar u o rma oară um aură uaă 7. Dfţa..7. Tru S S N N f umş ubgraf a grafuu G acă muţma auror a S coţuă î muţma a grafuu G. Fg.. Orc graf G roru ău ubgraf. Î fgura. u rza r xm ubgrafur S S S car u ubgrafur a grafuu fgura.. Fg.. ubgraf S a uu graf G oa coţ uma o ar our grafuu G; af u u ubgraf S a uu graf G rămâ ubgraf a u G ş uă c mă our a zoa. Dfţa..8. Două ubgrafur S S a acuaş graf G umc commar uu aua acă: a u au c o aură comuă; b îmruă coţ oa aur ş oa our grafuu G. Subgrafur S ş S fgura. u ubgrafur commar î grafu G fgura.. Dfţa..9. Subgrafu car coţ ouă our grau îâ ar ca our a a au oa grau a oa umş ca. Nour grau îâ umc our 95

rma a că. Î cazu câ oa aur că au acaş î ugu că caa umş ca oraă. Trbu rmarca fau că o ca o curbă că u arc curbă car uş our rma fără ă racă ma mu or r acaş o a că. Dfţa... graf G car coţ c uţ o ca îr orcar ouă our a a umş graf cox. graf cox coţ ma mu ubgrafur ara car u au c aur ş c our comu. D xmu grafu rrza î fgura.b u graf cox. Grafu fgura.4 u graf cox cu ouă ubgrafur ara. Fg..4 Dfţa... ubgraf cox car ar oa our grau a oa umş bucă. D xmu î grafu fgura. ubgrafu 4 formază o bucă cu r aur. Î cazu î car oa aur u buc au acaş î ugu buc acaa umş bucă oraă ubgrafu fg.. formază o bucă oraă. O bucă car coţ o gură aură oară um bucă ror. Î fgura. aura 6 formază o bucă ror. Fg..5 Trbu rmarca fau că o bucă o curbă îcă acăuă aur a grafuu car ar roraa că oa f arcură rcâ o gură aă r fcar o a. Dfţa... graf cox c u coţ c o bucă umş arbor. graf ar ma muţ arbor. Î fgura.5 u rzaţ r arbor A A ş A. Arbor A u arbor raa ar arbor A o ca. aur uu arbor umc ramur. Dfţa... arbor A umş arbor a uu graf G arbor acorr a grafuu G acă coţ oa our grafuu G. Î cazu uu graf cox fş câ u arbor ru fcar ubgraf cox ar ruua acora umă ăur caracrzază grafu cox. S o mora mu urmăoar orm: Torma... Orc arbor a uu graf G cu our ar aur. Torma... graf G cu our arbor acă ş uma acă afăcuă ua c şa coţ cva ma o: a G cox ş u coţ c o bucă; b G ar aur ş u coţ c o bucă; c G cox ş coţ aur; G cox ş mâ o aură a a u ma cox; 96

Îr orcar rc our grafu G coţ o ca ş uma ua; f G u coţ c o bucă ş aăugâ o aură a G grază o bucă ş uma ua. Dfţa..4. ubgraf commar a uu arbor A a uu graf G umş coarbor a grafuu G. aur uu coarbor umc coar. A a grafuu G fgura.b ar coarbor D xmu arbor. 4 5 6 Noâ cu r umăru aur a uu arbor ş cu c umăru aur a coarboru ău ţâ ama orma.. ş fţa..8 rzuă raţa: î car c r c. r. c.. u umăru aur a grafuu. Dfţa..5. F u graf G ş u arbor A a acua. Surafaţa cţu car rcază ramura r a arboru ş î r uma coar umş cţua ramur r ş oază au. Su cţu a u ramur. r Dfţa..6. Smu cţu... r r r r coruzăoar ramuror r r... r a uu arbor r-u graf umş m fuama cţu aaşa arboru A. Dfţa..7. F u graf G ş u arbor A a acua. Buca formaă r-o coară c a coarboru commar ş î r uma ramur umş buca coar c ş oază b c au b.. Su buc a u coar. Dfţa..8. Smu buc bc bc... bc c coruzăoar coaror c c... c c a uu coarbor r-u graf umş m fuama buc aaşa coarboru. Î formuara cacuaor a cuaţor coruzăoar aumor rgmur fucţoar a crcuor crc u ro mora î ar cara uu arbor î grafu ora G aoca crcuuu ua car ă coţă aum ur m crcu um arbor orma AN au rfrţă A ăur ormaă PN au rfrţă P ru crcu cox... MAT D NDNŢĂ ASOAT GAFO ONTAT... Marca cţă aur-our graf cox ora ş fără buc ror oa f com caracrza r marca A a a căr m u cofcţ cţă a cţă aur-our c ; auror a our car r fţ au urmăoar vaor: a acă ou acă ou acă ou ou rma u o a aur ou ţa rar a aur r a aur..4 Proraa... ofcţ orcăr coruzăoar ouu a u marc cţă aur-our o f uş cofcţ cora a marc oarc r 97

a a.5 u - umăru our a grafuu cox. Acaă rora rzuă fau că î grafur cox ş fără buc ror fcar aură oraă cocaă a ouă our cu u cofc cţă + ş au. Î cocţă uma cofcţor cţă fcar cooaă coruzăoar u aur oarcar uă: a..6 Î coforma cu roraa.. a marc cţă aur-our caracrzara comă a rucur uu graf cox ora ş fără buc ror oa f obţuă r marca ruă cţă aur-our A car r fţ obţ marca cţă aur-our A c mâ a coruzăoar ouu. Marc A c ş A a grafuu cox ora ş fără buc ror G fgura.b au urmăoar rucur: A c 4 4 5 6 A 4 5 6.7 Proraa... Număru arbor a ga cu umăru coarbor c a uu graf cox G a raţa A A..8 a c Obrvaţa... Număru arboror a ga cu umăru coarbor c r-u graf cox G oa rma ş cu raţa u marca.9 a ar m agoa ga cu umăru auror c coca a ou ş c agoa ga cu umăru auror coca îr aur ş ru. S oa arăa uşor că A A. Torma... Pru u graf cox G oa marc ru cţă aurour A u ar. oroaru... cuaţ rzua acara rm orm a u Krcoff î our uu crcu cox o f xrma î urmăoara formă marcaă: A. u rrză vcoru curţor auror crcuuu.... Marca cţă aur-cţu F u graf cox ş ora G u arbor A a acua ş u m urafţ cţu îc fg..6 fcar avâ u ramur căra î aaşaă. Marca cţă aur-cţu oază 98

99 Q q =. ş ar ca m cofcţ cţă a auror a cţu cu vaor ar aca cu a ca aura aca cu a u ca aura aca ar vr cu a ca aura aca q a xmu rză marca cţă aur-cţu a grafuu cox fgura.6 î car aur arboru ramur -au a cu îgroşaă: Fg..6 7 5 4 8 7 6 5 4 Q Trbu rmarca fau că acă aur grafuu umroază î ora ramur coar auc rma ar a marc acăuă rm r cooa coruzăoar ramuror o marc ua. Dc uzâ acaă covţ oar orc marc cţă aurcţu oa f auă a forma ormaă D Q rr. u rma ar rr marca ua mua r r ara ţaă a marc Q ar a oua ar ţaă umă marca cţor ţa coar-ramur marca cţă a coaror a urafţ cţu aaşa ramuror oază cu D. Pru grafu ora fgura.6 avm: amur 7 5 4 oar 8 6 oar 8 6 7 5 4 Q ; 7 5 4 D.. Proraa..5. Număru arbor a ga cu umăru coarbor c r-u graf cox G a raţa Q Q c a..4 Obrvaţa... Număru arboror a ga cu umăru coarbor c r-u graf cox G oa rma ş cu raţa

H a.5 u marca H ar m agoa ga cu umăru auror c rcază urafaţa cţu ş m agoa ga cu umăru auror c Fg..7 comu cor ouă urafţ c ru ar cofcţ c au vaor coform fgur.7. S oa arăa că Q Q H. oroaru... cuaţ rzua acara rm orm a u Krcoff grazaă u cţu a grafuu coxu G aoca uu crcu crc cox oarcar o xrma î urmăoara formă marcaă. Q.6... Marca cţă aur-buc Marca cţă aur-buc a uu graf cox G oază b b b B.7 ş ar ca m cofcţ cţă a auror grafuu a buc uu m fuama buc a grafuu. ofcţ cţă a auror a buc oază b b ş au vaor: + uă cum aura aarţ buc b ş ar u rfrţă ou uu rfrţă a buc; u aarţ buc b ; rcv aarţ buc b ş ar u rfrţă ora î u rfrţă a buc. D xmu î fgura.8 rză u graf cox G u arbor 6 coarbor commar a acua 4 5 7 8 ş buc aaşa coaror b b 4 b 5 b 7 b 8. Fg..8 Marca cţă aur-buc coruzăoar muu fuama buc aaşa coarboru 8 7 5 4 8 7 6 5 4 b b b b b B

Pr arţoara auror grafuu î ora coar - ramur rma ar a marc cţă aur-buc marca ua ara ţaă a marc B ar a oua ar ca ţaă raua cu m cmba a marc cţor ţa. a xmu fooş grafu fgura.6 a căru m buc aaşa coaror rza î fgura.9. S obţ urmăoara marc aur buc: b b B b b 6 8 6 8 - - 4 5-7 Fg..9 Dacă comară ara ţaă a marc B cu marca D raţa. rzuă că: B D cc...8 Proraa..7. Număru coarbor c ga cu umăru arbor a r-u graf cox G a raţa c B B..9 a Obrvaţa... Număru coarboror c ga cu umăru arbor a r-u graf cox G oa rma ş cu raţa c F. a u marca F f b b b ar m b b b agoa f bb ga cu umăru auror c formază buca b cb b b b ş m agoa ga cu umăru auror comu bucor b ş b f b b f bb c ru. b b b b b b ofcţ c b b au vaor - coform fgur Fg.... S oa arăa că F B B. cuaţ obţu cu orma a oua a u Krcoff acaă u fuama buc grafu coxu G a uu crcu crc oarcar o cr î urmăoara formă comacă: B.. u.. AŢ ÎNT MAT D NDNŢĂ Proraa... Proraa bază a marcor cţă aur-buc ş aurcţu a uu graf cox G a aca că ac marc afac raţ: B Q.

B Q.. Proraa.. umă ş roraa fuamaă a marcor cţă aurbuc ş aur-cţu vaabă fr mu cţu fuama ş orcar ar f mu fuama buc a uu graf cox. Proraa... Marc cţă aur-our ş aur-buc a uu graf cox G a afac raţ: B A.4 A B..5 Marc car afac raţ.. rcv.4 ş.5 umc marc orogoa ar roraa rcvă - roraa orogoaa..4. FOMAA MATAĂ A AŢO T.4.. Moa curţor coaror ş moa uor ramuror Torm u Krcoff mu rrcţ aura curţor ş uor auror uu crcu crc cu aramr cocraţ. Daoră acor rrcţ umăru curţor ţ a auror crcuuu ş umăru uor a auror crcuuu u ma mc. Î c c urmază vor rza câva raţ bază îr varab aură. F u crcu crc cox cu our ş aur. S cază u arbor A ş coarbor ău commar ş oroază aur crcuuu î ora: ramur - coar. D rma ormă a u Krcoff rzuă: r Q rr D r Dc r Dc.6 c ca c araă că îr curţ ramuror ş c a coaror xă o ţă ară. Dacă aur crcuuu arţoază î ora coar ramur a oua ormă a u Krcoff couc a raţa: uc cc D uc D ur uc D ur Bu u.7 r acă u coaror o xrma rr-o ţă ară î fucţ u ramuror. Obrvaţ:. Noâ cu b vcoru b a curţor bucă aocaţ cor b buc b = + curţ auror crcuuu o xrma î fucţ curţ buc cu raţa B b.8. Dacă ag oţau crc a ouu ca oţa rfrţă v ş v v... v v auror o xrma î fucţ ac oţa cu raţa: cora our arbu î or oţa auc u u A v..9

.4.. Moa ormor u Krcoff Pru crcu rcroc fără ur comaa uâ î corar rucura aur aar rzaă î fgura. formuara marcaă a ormor u Krcoff ş a cuaţor caracrc couv a auror couc a cuaţ Fg.. au A. B. u u. G u.. cuaţ.. ş. au. rmă î mo uvoc curţ ş u auror crcuuu acă au vaor rzţor auror a..m. a uror u ş a ăţor curţor uror cur. Îocu raţa. î. ş cuâ ao cu. obţ forma marcaă a cuaţor crcuuu î curţ auror: A.4 B B B u A B marca - b cţă ruă aur - our aur - buc u vcoru a curţor uor auror crcuuu marca agoaă a rzţor auror crcuuu ar vcoru a..m. curţor uror u cur. Smu cuaţ.4 rzovă î raor cu vcoru curţor auror ao cu cuaţ. rmă u a bor auror..4.. Moa curţor bucă Moa rouc ca varab curţ buc î umăr +. Ac varab u rou î coţa afacr rm orm a u Krcoff ş u cacua cu auoru c -a oua orm. Pru aura rrzaă î fgura. câ a. foo. ş ao.8 rzuă: au cu ş Bu b b b B B b B B B.5.6 b B B.7 b B.8 u marca b mu bb marca rzţor ror a bucor ar b mu b vcoru..m. a bucor.

zovâ cuaţa marcaă a curţor bucă.6 obţ vcoru cuocuor curţ buc cu auoru cărora acâ raţa.8 rmă curţ aur crcuuu. Pru o aură fără ură cur cuaţa marcaă caăă forma B B b B.9 u B b..4 zâ ao raţa. oa cacua vcoru cuocuor u a bor auror crcuuu..4.4. Moa oţaor ouror Pru formuara marcaă a mo oţaor ouror î cazu crcuor rcroc foo aura aar fgura. ag u o rfrţă cu oţa zro ar cora our arbu oţa cuocu V V...V -. Aca u o varab a mo. rouc af îcâ ă afacă orma a oua a u Krcoff ş cacuază acâ rma ormă. Pru aura rrzaă î fgura. câ a. foo. ş ao.9 rzuă: au u A AG u A AG A v A G v.4 G.4 G AG A.4 marca amaţor oa or G ăraă a coucaţor auror ruu guarăş - rrză marca A G.44 vcoru curţor caţ î our ur aur c î ac our. zovâ cuaţa marcaă a oţaor ouror.4 obţ vcoru cuocuor oţa a ouror cu auoru cărora acâ raţa.9 rmă u auror crcuuu. Vcoru curţor auror o rma ao raţa.. Sub forma rzaă ma u moa u rm rzovara marcaă a crcuor cu aur acău ur a u ru car = c rouu G rrzâ curu curcrcu a ur f. m mo u ăş î acaă uaţ moa oaă mofcaă. 4

.. NTOD APTO T T D NT ONTN rcu cur couu c.c. u crcu car coţ rzoar o muo - o rzoar muor -or ş ur u ş cur coa î m. Î cagora rzoaror muo ş muor u cu m a crcu rcum gyraoar ur comaa razoar ş amfcaoar oraţoa moa r crcu c.c. crcu c.c. ar acă uă avzara uror coţ uma rzoar o muo ş/au muor ar avâ raţa îr u ş curţ boror au orţor xrmaă r cuaţ ar ş ar acă uă avzara uror coţ c uţ u rzor ar. Î ora crcuor crc crcu c.c. au u ro fuama oarc: - u uza î moara muor robm grş; - aaza crcuor rzv - varab au varab î m aramrc - î rgm amc ruc uă ubura uuror bobor ş coaoaror cu mo cr crcu aoca uu agorm mc grar a aaza a fcar a m a uu şr crcu rzv ar au ar aoca agormuu a. Obrvaţ. crcu rzv î car ur o f varab î m oa f com rzova avâ ouţ ucă acă orm u Krcoff ş cuaţ couv a auror u mua afăcu u uc u a bor auror u... u ş u uc curţ aur... ru orc cu coţa ca crcuu ă u coţă buc forma uma ur a u ş/au cţu acău uma ur a cur umă coţa xţă ş uca a ouţ uu crcu crc.. rcu crc rzv o f ua aâ î rgm cur couu câ ş î rgmur varab cazu arcuar uoa. crcu car coţ oa ur m crcu av ar a căru mărm xcaţ ur u ş/au ur cur u varab î m u crcu rzv oarc bob ş coaoar î cur couu u rv r aramr or caracrc avâ u comoram arcuar: - acă curu c arcurg boba couu coa ru cuaţa caracrcă a bob v u / c boba comoră î cur couu ca u curcrcu ; - acă ua a bor coaoruu couă coaă u ru cuaţa caracrcă a coaoruu v u / c coaoru comoră ca o aură că.. Î rgm cur couu boba ş coaoru acumuază îă rg: - cuaţa c. rzuă că boba arcură curu acumuază rga magcă coaă î m W / ; m - cuaţa u c. rzuă că ub u coaă a bor coaoru acumuază rg crcă coaă î m W /. 5

.. AŢ D BAĂ A TO T STV NA O cagor moraă crcu crc u crcu rzv ar car fucţoază î rgm cur couu. u mora aâ ru acaţ c î car rv câ ş ru facăţ car ofră roucr moor aază a or crcuor crc. Suu crcuor rzv ar î cur couu ofră obaa roucr cocor cvaţă ş moar car vor f ao uza ru mfcara aaz crcuor comx. Î couar u rza c ma mora raţ ş orm a crcuor cur couu.... ga u Om grazaă Forma graă a g coucţ crc ru o orţu ramfcaă coucor a căr rrzar cu aramr cocraţ aă î fgura. Fg... u ua a bor aur curu car o arcurg rzţa crcă a aur ar -..m. a ur u aură. Duă cum obrvă ur rfrţă a u a bor ş curuu u aoca uă covţa a rcoar. aţa. oa f cră ub forma:. au G G. cuocu ub um cuaţ caracrc rcv a aur.... Torm u Krcoff zovara crcuor crc cur couu coă î rmara vaoror ăţor curţor aur ş a uor a bor acora câ cuoc rzţ auror..m. a uror u au ăţ uror cur ş aramr uror comaa. um îr ua ş curu u aur xă raţa. - xcţ fac aur cu ură cur - rzovara acor crcu rv î umă aţă a rzovara uu m cuaţ ru rmara curţor aur crcuuu aş ca cuocu fuama. Pru u crcu cu aur coţâ uma rzoar ur u ş ur u comaa amb ur uâ f a au u c u crcu u c umăru cuocu curţ aur ga cu. Pru crcu coţî î u faţă m ma u ur ş comaa cur car mu curu î aură c î cazu gra ru crcu u c J J c umăru mm cuocu rrzâ curţ aur J Jc u J ş Jc rrză umăru auror cu ur rcv comaa cur. Prma ormă a u Krcoff. ga corvăr arc crc î cur couu caăă forma 6

A = -..4 Pru u crcu cu u umăr oa our o cr cuaţ forma raţ.4 î o aâa our. A oua ormă a u Krcoff ar forma =.5 A b b umă forma î u a orm a oua a u Krcoff. Acaă raţ oa f acaă î b = + buc a crcuuu. u auoru cuaţ caracrc a aur ub forma. cuaţa.5 oa f cră ca b.6 A A b b umă forma î curţ a orm a oua a u Krcoff ş avâ uţu: Suma agbrcă a căror u aur aarţâ buc b a uu crcu gaă cu uma agbrcă a..m. aur buc. S coră ozv rm ş î cazu câ u curuu rcv a..m. coc cu u covţoa arcurgr a buc. aţ.4 ş.6 couc a u m cuaţ î cuocu curţ aur. Prucrâ raţa.4 î fucţ raţa. obţ forma î u a rm orm a u Krcoff G G..7 A A Trm ozv um agbrc coru uor rcv uror c ou. aţ.5 îmruă cu raţ.7 formază u m cuaţ î car cuocu u u a bor auror. Dacă crcuu coţ ş ur u comaa raţa.6 v A A A b b.8 c b b b ar..m. a uror comaa c xrmă r cuaţ comaă rucra î fucţ cuocu curţ aur. Î cazu crcuor car coţ ş ur cur ş/au comaa umăru cuocu curţ aur J. Aca obţ r rzovara uu m cuaţ obţu r acara rm orm a u Krcoff î our ş a c -a oua cuaţ îr-u umăr buc ru a b r = + J + Jc u J rrză umăru aur cu ur cur ar Jc rrză umăru aur cu ur cur comaa. Acu m aaugă cuaţ comaă a uror comaa rucra î fucţ cuocu curţ aur. Obrvaţ. Pru a obţ umăru buc b r c ru a obţ u umăr ru cuaţ a muu cară o agr coruzăoar a bucor af îcâ c ua ă u racă r aur cu ur ş/au comaa cur. Î caz corar umăru cuocu a muu va f Jc car J vor f 7

cuocu curţ aur ar ru J Jc vor f cuocu u a bor uror ş/au comaa cur cuaţa graă coruzăoar c -a oua orm a u Krcoff f xrmaă cu raţa: b A + A A A + A = b..9 b J b J c b b. v că agra uu umăr ru buc b r rză avaau obţr uu m ru cuaţ c a rucr foruu cacu; aă ar raţa.9 rm crra macă a muu cuaţ;. Oaă cacuaţ curţ aur u a bor auror o rma î mou urmăor: - ru aur fără ur cur acă cuaţa caracrcă. au orma a oua a u Krcoff; - ru aur forma ur au comaa cur uma cu auoru orm a oua a u Krcoff; 4. Dacă crcuu coţ ş ur cur auc cuaţa.7 v: A G. u J J A A A G J J c c A curu curcrcu ca î ou. c. Agormu acar a mo ormor u Krcoff Pau. S rmă umăru ouror ş a auror crcuuu; Pau. S ag ur rfrţă ş aaşază mbour ru ăţ curţor aur; Pau. S cacuază umăru ru buc a crcuuu ş ag ac buc abu- u arcurgr ru fcar; Pau 4. S cru cuaţ coruzăoar rm orm a u Krcoff î our b ş cuaţ coruzăoar c -a oua orm c buc ; Pau 5. S rzovă mu cuaţ obţu r comara cu a au 4 cu cuaţ comaă a uror cur ş u comaa rucra î fucţ curţ auror rmâu- ăţ curţor aur; Pau 6. S vaază rzuau cu auoru baţuu uror.... Moa curţor bucă Pru crcu mar mu mu cuaţ obţu r acara ormor u Krcoff f î varaa bră cu cuocu f î varaa cu umăr ru a J cuocu oa f mu ra mar. Aar c caa uzăr uor mo arav aază a crcuor crc car ă rucă umăru cuaţor c cru fucţoara crcuuu rcv umăru varabor. a ac mo moa curţor bucă car aocază crcuuu u ou cuocu - curţ buc b î umăr + rou af îcâ ă vrfc rma ormă a u Krcoff. Pr urmar curţ auror xrmă ca umă agbrcă a r J Jc 8

curţor bucă c rc r aura rcvă Fg..: A bg bg.. Fg.. No cuocu rmă cu auoru orm a oua a u Krcoff ub forma obţuă r rucrara raţ.6 î fucţ.. S obţ forma comacă a cuaţor crcuuu î cuocu curţ buc: b g A b ş b. g bg b u: - rrză rzţa ror a buc gaă cu uma rzţor a b auror c comu buca > ; - rrză rzţa muuaă r buca î car cr orma a g b b g oua a u Krcoff ş buca g gaă cu uma agbrcă a rzţor auror comu cor ouă buc; a ozvă au gavă uă cum ur cor ouă buc coc au u r aur comu; - b A rrză..m. a buc b gaă cu uma agbrcă a..m. a uror b ş/au comaa u aur buc ar mu + acă u coc cu c a buc b. Dacă î crcu xă ur u ş/au cur comaa mu cuaţ. comază cu cuaţ comaă xrma î fucţ cuocu mo bg. Număru varab rou moa curţor bucă b = +. Pru crcu fără ur cur ac cuocu rmă r rzovara muu.. Î cazu câ crcuu coţ ur cur ş/au comaa uor varab o arbu vaor curţor acor ur. Pru acaa aocra varabor b cu c + buc a crcuuu fac af îcâ r fcar aură cu ură cur J au J c ă racă u gur cur bucă ş uma uu; vom um ac buc buc cur. oform raţ. ac cur bucă va ava vaoara curuu ur: b J = J ş/au b Jc = Jc..4 Pru ru varabor î umăr J Jc acă raţa. îr-u umăr ru buc c b r. Smuu obţu cuaţ. ş.4 aaugă cuaţ comaă a uror comaa xrma î fucţ cuocu mo bg. 9

Obrvaţ Pru crcu car coţ ur cur J ş/au comaa J c moa curţor bucă rm o rucr a umăruu cuaţ a muu. cu umăru oa a acor ur cur î coţ agr coruzăoar a bucor cur. Agormu acar a mo curţor bucă Pau. S rmă umăru our umăru aur ş umăru uror cur ; Pau. S rmă umăru varabor rou moă: +; Pau. S ag J + Jc buc cur car ă coţă câ o gură ură cur ă au comaaă ş aaşază câ u cur bucă a căru va f acaş cu a ur cur; curţ acor buc vor f xrmaţ cu raţ.4; Pau 4. Pru ru buc î umăr ru a br J Jc arbu o aâa varab curţ bucă cu ur oarcar fcar rrzâ ş u arcurgr a buc rcv; Pau 5. S acă orma a oua a u Krcoff î ac buc ţâ ama că î mmbru âg a cuaţ. o aar căr u rma varab xrma cu raţ.4; Pau 6. S aaşază muu obţu cu cuaţ. ş.4 cuaţ comaă a uror comaa xrma î fucţ varab mo; Pau 7. S rzovă mu af obţu î varab curţ bucă; Pau 8. S rmă curţ auror cu cuaţa.; Pau 9. Tu a bor auror rmă cu cuaţa caracrcă. Pau. S vrfcă baţu uror...4. Moa oţaor ouror Acaă moă aocază crcuuu u cuocu oţa a ouror V - î umăr rou af îcâ ă afacă a oua ormă a u Krcoff. Pr urmar u auror xrmă ca umă agbrcă a oţaor aac aur rcv fg.. : A V..5 u c our a crcuuu a ca o rfrţă avâ oţau u. No cuocu rmă cu auoru Fg.. rm orm a u Krcoff ub forma obţuă r ubura raţ.5 î.7 rrzâ forma comacă a cuaţor crcuuu î varab oţa a our: G V J.6 u: - G G rrză coucaţa ror a ouu î car cr rma ormă a u Krcoff gaă cu uma coucaţor auror c î ac o G > ;

- G G rrză coucaţa muuaă r our ş gaă cu uma cu m cmba a coucaţor auror coca î ara îr c ouă ourg < ; - J A Jc rrză curu curcrcu ca î ou ga cu uma agbrcă a curţor curcrcu a uror aur c î ac o: ru ur u J c = G ar ru ur cur J c = J. Î uma agbrcă au cu mu + curţ J c a uror c o ş cu a cor c ră. Dacă crcuu coţ ur u ş/au cur comaa mu cuaţ.6 comază cu cuaţ comaă xrma î fucţ cuocu mo V. Număru varab rou acaă moă. Pru crcu fără ur a u au comaa rcv c cuocu oţa a our rmă rzovâ mu.6 forma cuaţ. Î cazu crcuor car coţ ur a u oţa ouror ş a car cocaă o af aură Fg..4a ş.4b xrmă cu raţa.7 rcv.8 aur comab cu moa oaă. u: c Fg..4 V V.7 V V.8 V V.9 V c V.. zuă c că ru cuocu o formua cuaţ u V c V ; V c V.. c Pru ru cuocuor ar rbu ă ac cuaţ.6 îr-u umăr ru our r = c r. Obrvaţ c. cuaţa.6 u oa aca îr-u o î car că o aură cu ură aă u oarc curu curcrcu a ac ur f rzţa ră zro. Î ac caz oa rcurg a urmăoara că: ag o urafaţă îcă car ă cură î ror aura c coţ ura aă u au acă cazu oa aur coca î ara îr our ş car cr ao rma

ormă a u Krcoff. S acă ao mu.6 î r = our ş urafţ acă ru r.. zuă că ru crcu car coţ ur a u ş/au comaa ş/au c moa oţaor ouror rm o rucr a umăruu cuaţ forma.6 cu umăru oa a acor ur u. Agormu acar a mo oţaor ouror Pau. S rmă umăru our a crcuuu; Pau. S ag u o rfrţă a căru oţa coră u V = ; Pau. S cru cuaţ u. ru oţa ouror aac c uror a u; Pau 4. S acă raţ.6 î r = our ş urafţ acă ru r ţâ ama fau că î rm ara âgă a raţor o rv ş oţa ru car -au cr cuaţ a au ; Pau 5. Smuu obţu cu raţ.6 ş. aaugă cuaţ comaă a uror comaa xrma î fucţ varab mo; Pau 6. S rzovă mu a au 5 ş obţ vaor cor varab oţa a ouror; Pau 7. u raţa.5 cacuază ao u a bor auror crcuuu; Pau 8. S rmă curţ aur crcuuu cu cuaţa caracrcă a aur ru aur car coţ rzţ ş vua ur u îra cu aca au cu rma ormă a u Krcoff ru c forma ur a u; Pau 9. S vrfcă baţu uror. O aă varaă acar a mo coă î roucra ca cuocu î mu cuaţ a curţor r aur cu ur a u. Dş ar u umăr ma mar cuaţ acaă moă cu cuocu br umă moa oaă mofcaă rm crra macă a muu cuaţ...5. Torma corvăr uror Torma u Tg ru crcu c.c. ar forma.. Foo cuaţa caracrcă a aur. raţa.8 v c. umă cuaţa baţ a uror. Smfcaţa raţ. urmăoara: Suma uror cromagc gra ur u gaă cu uma uror couma î rzoar crcuuu r fc Jou-z. Dacă crcuu coţ ş ur comaa acă u c J J c cuaţa baţuu ur : + J J..4 c J J c c c

xmu.: Să rzov crcuu fgura.5 foo: a orm u Krcoff b moa curţor bucă c moa oţaor ouror S cuoc urmăoar vaor: = 4 = 4 = 5 = 5 6 = 4 = 5 V = 5 V 4 = V 5 = V J = A. Fg..5 a Număru cuocuor curţ aur - J = 5. Pru a obţ u m cu 5 cuaţ î ac cuocu acă rma ormă a u Krcoff î -= our ş orma a oua î - J -+ = buc. S obţ af urmăoar cuaţ Krcoff î curţ: : 5 ; : 4 J ; : ; 4 5 6 b : 4 4 5 5 4 5 ; b : 4 4 6 6 4. Subu vaor aramror ş ao rzovî mu cuaţ af obţu rzuă: A A 4 5A 5 A 6 4A. Tu auror rmă cu raţ: 4 4 4 V 4 V 5 5 5 V 5 5V 6 6 4V 6 6V. Tua -a cacua foo orma a oua a u Krcoff buca b. Smu cuaţ Krcoff î u ar forma: : G G G 5 5 G G G 5 5 ; : G G4 4 G J G44 ; : G4 4 G5 5 G6 6 G44 G55 ; b ; : 4 5 b. : 4 6 Duă îocura vaoror umrc a aramror rzovă mu agbrc af rzua ş obţ vaor cuocuor 4 5 ş 6 : V V 4 V 5 5V ş 6 6V. Tua cacuază cu orma a oua a u Krcoff: = + = = 4V au = 4 6 = 6 = 4V.

Pur gra rcv couma î crcu u: P P g c 4 4 4 4 5 5 55 J 6 6 5 7W 4 4 5 5 64 7W. b Pr moa curţor bucă umăru varab -+ = ar umăru mm cuocu - J -+ =. Aca cacuază acâ orma a oua a u Krcoff î buc ru b ş b. S obţ J b b b 4 5 b 4 b 4 5 b b 4 6 b 4 b 4 zovâ ac m cuaţ obţ: A; 8 7; 5 b b cu ouţ: b A ş b 4A. Vaor curţor aur crcuuu u: b A; A; J A; b b b b b 5A; A; 4A. 4 b b 5 b 6 b c Smu cuaţ obţu r moa oţaor ouror acă ag ou 4 ca o rfrţă : V 4 V G G G V G V G G G G 5 5 5 5 V G G VG V G G J G b 4 4 4 4 V G G G VG V G G G. 4 5 6 5 4 4 4 5 5 Îocu umrc ş rzovâ mu obţ vaor oţaor ouror V V V 4V V 6V. Tu a bor auror cacuază î fucţ ac oţa af: 4 V V V V 4 6 V V V 4 V 5 V V b V 6 5V ar curţ auror cacuază ga u Om cu raţ: 4V 6 V G 5 A G 5 A 4 6V 4 G4 4 4 5A 5 G5 5 5 5 A 5 6 G6 6 6 4A. 4 4

..6. Torma urozţ Îr-u crcu crc ar cu ur car ur u ş J ur cur aa curuu crc orc aură uma agbrcă a ăţor curţor car -ar ab î aca aură fcar r ur acă -ar afa gură î rţa ca ur f avza. Dmoraţa orm bazază caracru ar a cuaţor obţu r acara ormor u Krcoff. F marc cţă a auror a our A ş a auror a buc B obţu grafu uu crcu avâ ş J ur u rcv cur. urţ ş u a bor auror crcuuu afac cuaţ u Krcoff: A B..5 Pruuâ că î crcu acţoază o gură ură u ca ur f avza - c u acă u a r curcrcuar ş acă u ra r ubura cu rzţa or ră ar c cur acă u a r cocar ş acă u ra r îocura cu coucaţa or ră - cuaţ u Krcoff au forma: A B..6 Dacă crcuu coţ o gură ură cur oa ca ur f avza obţ cuaţ: A B..7 J J Dacă crcuu coţ oa c ur vcor curţor aur ş a uor a bor acora u J J J..8 Acş vcor afac orm u Krcoff. Ţâ ama cuaţ.6.8 obţ J J A A J A J A.9 J J B B J B J B. cuaţ.5 ş.9 f c rzuă ş. O moraţ aravă acă a c ouă orm a u Krcoff cr ub forma.4 rcv.6. zovâ mu cuaţ obţu r rgua u ramr rzuă ru curu aura o xr forma: G... G... G G. u G umş coucaţă rafr a aura a aura ş ru crcu rcroc afac coţa: G G. ar ; cu. rrză curu aura câ oa..m. a uror u crcu u u î afară. J 5

..7. Torma rcrocăţ uru r-o aură a uu crcu ar av rou o ură aă ă u aaă î aura ga cu curu car -ar ab î aura acaş ură cocaă î aura. F crcuu ar av fgura.6 a car u î vţă aur ş. orăm ouă rgmur c ş caracrza r rzţa ur u î rmu rgm î aura ş î a oa rgm î aura acă: rcv. Fg..6 Dmoraţa bazază orma u Tg coform căra oa cr: rcv..4 u ; ;..5 Ţâ ama raţ.5. ş.4 rzuă..6 O moraţ aravă bazază raţ. ş.. Noâ cu G coucaţa rafr îr aur ş oarc G G.7 îmuţ amb mmbr cu obţ coform raţ.:..8 Dacă î ocu ur a u fooş o ură aă ă cur Fg..7 oa mora mar că.9 acă Tua a bor u aur a uu crcu ar av aoraă u ur cur aaă î ara cu aura gaă cu ua a bor aur acă acaş ură cur aaă î ara cu aura. Fg..7 6

crcu car afac rorăţ xrma r raţ.6 ş.9 umş crcu rcroc. af crcu u oa coţ ur comaa ş/au gyraoar...8. Torma comaţ Îocura uu rzor avâ ua a bor rr-o ură aă u cu..m. coruzăoar acaş u a bor u mofcă ăţ curţor crcu. Dmoraţa orm urmărş cvaţa mor cuaţ a cor ouă crcu. urţ crcuuu fgura.8a afac cuaţ u Krcoff: Fg..8.4 b.4 A A b b ar curţ crcuuu fgura.8b afac acaş cuaţ î car rmu rc mmbru âg a cuaţ.4 î mmbru r cu m cmba coruzăor ur a u. Pru ca ura ă comz fcu rzoruu c car ca.4 acă u ur ă f c fgura.8b ou uu rfrţă a curuu. O aă varaă a orm coă î îocura rzoruu rr-o ură aă cur J fg..8c car afac raţa J.4 ş mc u mofcă u ş v c curţ crcu. Dmoraţa vă curu r aura f acaş cu c r rzor î m c ua muă crcuu xr aur acă ur cur fără c o rrcţ...9. Torm rafgurar a crcuor crc..9.. cvaţa crcuor Î aaza moor mor fzc cocu cvaţă oacă u ro foar mora rmâ mofcăr ooogc a mouu aură ă rucă grau comxa a acua. m com raţ îr curţ ş u au oţa boror acc a uu muo umş m cuaţ a muouu crcuuu. Do muo crş m cva cuaţ umc muo cvaţ au crcu crc cva. Î arcuar o o car ub acaş u a bor 7

aborb au cază acaş cur umc o cvaţ. Pru ca ouă m cuaţ ă f cva car ca ă coţă acaş varab cuocu r urmar o coţ cară ru cvaţa muoor crcuor ă ab acaş umăr bor. Subura uu muo crcu a rr-u muo crcu cva umş rafgurar crcă. Trafgurara crcă corvă raţ r curţ ş u boror acc ş r urmar curţ ş u î crcuu xror cu rafgura u mofcă...9.. cvaţa uror ra O ură raă rg crcă am ouă cm cva: ua ca ură u ş aa ca ură cur Fg..9. Fg..9 aracrca a aur cu ură u : G G..44 aţa.44 oa f cră ub forma J.45 G u G G ş J G ş coru cm rvaţ cu ură cur. ouă cm u c cva acă u afăcu raţ J ş G..46 aura grazaă crcu fg..a am ouă cm cva: ua cu ură u b ş aa cu ură cur c. Fg.. ouă rafgurăr obţ baza urmăoaror raţ rzua r rucrara cuaţor caracrc a auror: rcv J J J.47 J G G J..48 8

9..9.. Trafgurara r F aur acv coca î r af îcâ ă f arcur acaş cur rrza î fgura.a. Fg.. cuaţ fucţoar a crcuuu r u:.......49........5 Foo cuaţa caracrcă a aur ru a xrma ua obţ:..5 cuaţa.5 oa xrma ub forma:.5 car coru crcuuu cva fgura.b. Dc crcu fgur.a ş b u cva acă u afăcu raţ: ş..5 Dacă aur fgura.a u rrza r cm cva cu ură cur obţ cma coxu r fgura.a. Fg.. P baza cuaţ.5 obţ:. G G J G G J G G J G.54 aţa.54 coru cm cva fgura.b. oţ cvaţă a cor ouă cm u coform raţ.54:

G G ş. G G J G J G J.55..9.4. Trafgurara ara â aur acv cocază îr acaş ouă our af îcâ ă abă acaş u a bor obţ o coxu ara Fg..a. Fg.. cuaţ fucţoar a crcuuu u:.......56........57 Foo cuaţa caracrcă a aur ru a xrma curu obţ:. G G G G.58 cuaţa.58 oa u ub forma: G G.59 car coru crcuuu cva fgura.b. oţ cvaţă a cor ouă crcu u: G G rcv ş. G G G G.6 Dacă aur fgura.a u rrza r cm cu ur cur Fg..4a raţa.58 obţ:. G J G J G J.6 aţa.6 coru cm cva fgura.4b. oţ cvaţă a cor ouă cm rzuă uma cuaţ: J J ş G G..6

Fg..4..9.5. Trafgurara a-ogo com ocara a aur îr-u o comu fg..5a formază u crcu î a. Nou umş uc uru. uru car ră î bora acc a crcuuu a oa f xrma cu ga u Om: G G =..6 xrmâ ua ca frţă oţa obţ: G V G V G..64 Acâ rma ormă a u Krcoff î ou rzuă: G V V G G.65 car rmă oţau ucuu uru: V G V G G..66 Fg..5 Subu raţa.66 î.64 ş mofcâ oaţa cu î raor cu car fac îumara obţ:

G V G G V G G G G G G G G G G V G G G V =..67 S oa gă oaua u crcu î ogo com Fg..5b cva uu crcu î a a. uru aura rmă cu auoru g u Om: G G.68 ar curu car ră î bora acc rmă cu auoru rm orm a u Krcoff î fucţ curţ auror ogouu: G omarâ raţ.67 ş.69 obţ G G G G G G..69 ru ş.7 G G G ru ş..7 Doarc ru crcu rcroc G G.7 G..7 Ac cuaţ rm cacuu uuror coucaţor ogouu com. Număru cuaţ u.7 umăru raţor forma..7 Fg..6

um î cazu gra umăru ur u ga cu c a coucaţor ş cum G rzuă că mu cuaţ.7 rma. aţ.7 u afăcu acă ru..74 Î cocţă raţ rafgurar a uu crcu cu coxu a îr-u crcu cu coxu ogo com u.7 ş.74. Î gra rafgurara vră ogo com î a u obă oarc umăru a coucaţor cuocu G ma mc câ umăru cuaţor.7 cu xcţa cazuu =. aţ ru rafgurara î amb ur Fg.. 6 u a ma o. - rafgurara a-rug: ; ; ; ; ;.75 - rafgurara rug-a: G G G G G ; ; G G G G G ; ; G G G G G ;..76 D ucu vr a aaz crcuor crc rafgurara a-ogo com rză o mar moraţă oarc mara ucuu uru ruc cu o ua umăru ouror crcuuu. Pr rafgurăr uccv o ma oa our roar a uu muo. xmu.: Să cacuz curu 5 crcuu rrza î fgura.7a. = = = 4 = 5 = 6 = 5 = 5 V = 5 V = 85 V; 4 = 75 V. Fg..7a S rafgurază crcuu ca î fgura.5b obţâu-:

Fg..7b G G 85 4 4 75 4 5V; G G4 uru 5 cacuază cu raţa: 5 4 5 4 6 G G G G 5 5 55V; 5 G G 4 G 55 5 5 5 55 5 A. 5. G 4... Torm vzoaror u ş cur Torma vzoruu u abş mou î car rbu ua Fg..8 acaă u coxu r rzoar Fg..8. F a vaor rzţor ş vaoara u aca cr ua. Acâ ga u Om ş ţâ ama raţ.5 ru aur av obţ:..77 Torma vzoruu cur abş mou î car rbu curu î Fg..9 rzoar u coxu ara Fg..9. S cuoc vaor rzţor ş vaoara curuu oa ş cr curu. Acâ ga u Om ş ţâ ama raţ.6 ru aur av obţ:..78 4

... Torm graoaror cva Torma graoruu cva u orma u Tév Orc o ar acv Fg..a am î raor cu orcar ouă bor acc A ş B o cmă cvaă r Fg..b formaă r-o ură aă ă u cu..m. gaă cu ua a bor crcuuu î rgm mr î go Fg..a ş o rzţă gaă cu rzţa cvaă a crcuuu avza î raor cu bor acc Fg..b. Fg.. Fg.. Scma cvaă fgura.b car oa f obţuă r orcar mo rafgurar a crcuor crc rm cacuu curuu aura AB cu raţa: AB AB AB AB AB.79 obţuă r acara orm a oua a u Krcoff. Torma graoruu cva cur orma u Noro Orc o ar acv Fg..a am î raor cu orcar ouă bor acc A ş B o cmă cvaă rvaţ Fg..b formaă r-o ură aă ă cur J a căr cur ga cu aa curuu ba crcu î rgm curcrcu a bor A ş B Fg.. ş o coucaţă G gaă cu coucaţa cvaă a crcuuu avza î raor cu bor acc gaă cu vru u AB. Fg.. 5

Scma cvaă fgura.b car oa f obţuă r mo rafgurar rm cacuu u a bor aur AB. Pru acaa acă rma ormă a u Krcoff ş obţ: Fg.. J G AB JAB GAB AB.8 car rzuă: AB G ABc AB J G AB AB..8... Torma rafruu maxm ur F u crcu oar ar acv. Să rm coţ car rbu ă afacă mu crcu car coca îr bor A ş B ă rmă u rafr maxm ur a ac bor. S o ua r uaţ: a a bor ouu cocază u rzor rzţă AB Fg..4. Pura baă o a bor AB gaă cu ca aborbă rzor : Fg..4 c AB AB AB AB AB P P G..8 c AB AB AB AB AB AB rzâ ou cu cma cvaă r Fg..b xrmă curu cu raţa AB AB AB AB ş îocu î.8 obţ:.8 AB..84 Dacă rrză ou cu cma cvaă ara Fg..b xrmă ua cu raţa ABc AB.85 G G AB ş îocu î.8 obţ AB c AB AB AB P G G ABc G G..86 AB AB aţ.84 ş.86 u cva. D coţa maxm a fucţ P P / rzuă c AB c AB AB AB.87 AB rrzâ vaoara rzţ rzoruu car coca îr bor A ş B rm u rafr maxm ur a ac bor. Î cazu aoăr cm cva r ura oaă baă ură 6

P g AB AB AB AB AB AB AB AB..88 Î fgura.5a u rrza fucţ P c AB ş P g AB coruzăoar raţor.84 ş rcv.88. aamu rafruu ur Pc P g AB AB AB.89 cu vaoara = 5 a rafr maxm ur Fg..6a. acuâ ura oaă graă ură î cazu cm ara obţ P J g AB AB AB ABc ABc AB GAB ABc G G G..9 rzâ fucţ P c AB ş P g AB coruzăoar raţor.86 ş rcv.9 obţ caracrc fgura.5b. Fg..5 Fg..6 aamu rafruu ur î ac caz Pc P G g GAB G AB AB AB AB cu vaoara = 5 a rafr maxm ur Fg..6b. AB.9 7

b a bor ouu cocază o ură aă ă u Fg..7a. Fg..7 Pura baă o gaă cu ca aborbă ura : Pc AB AB AB..9 uâ î corar cma cvaă r xrmă curu cu raţa AB AB AB ş îocu î.9 obţ:.9 P AB c AB..94 AB Acâ coţa maxm fucţ P c rzuă: AB /..95 Dc ru ca a bor A B a acu crcu ă ab oc u rafr maxm ur car ca ura ă u ă ab vaoara..m. aă raţa.95 ş u fgură. rzara fucţ P c aă î fgura.7b. c a bor ouu cocază o ură aă cur Fg..8a. Pura baă o gaă cu ca aborbă ura cur : P J..96 c AB AB AB orâ cma cvaă ara Fg..b xrmâ ua a bor cu raţa ABc J AB.97 G AB ş îocu î.96 obţ: P J J ABc J c AB..98 G AB Maxmu fucţ P c J obţ ru J ABc /..99 8

Fg..8 Pru a ava c rafr maxm ur a bor crcuuu fgura.8a car ca ura aă ă cur ă ab vaoara curuu aă raţa.99 ş u fgură. Varaţa fucţ P c J rrzaă î fgura.8b. Pura maxmă rafraă o a bor oa f xrmaă cu ua xr: P max AB ABc AB ABc. 4 4G 4 AB AB îr mărm. xâ raţ G ABc AB AB. /.. AB AB O arcă car afac coţa rafr maxm ur umş arcă aaaă. xmu.: Pru crcuu fgura.9a î car cuoc: S cr: = = = 6 = 6 V = 6 V a graoar cva Tév ş Noro a bor A B; Fg..9a b vaoara..m. ş u u ur u car cocaă îr bor A ş B ar aborb ura maxmă baă o. a S rafgurază crcuu ca î fgur.9bc î car: 6 G 4V ş G G 6 6 G 6 G 9

ao: ş î fa: rcv Fg..9bc 4 6 4V; AB G G G AB 4 6 4 6 6. G G 4 V v aramr crcuuu cva Noro au vaor: AB G GAB S; J ABc A. AB AB b Pura baă o xrmă cu raţa: P - g AB AB. oţa rafr maxm ur a bor AB P couc a raţa - = u obţ vaoara..m. a ur u car afac acaă coţ: AB = = = 5V. Su ur c fgură.

4.. NTOD APTO 4 T T ÎN GM SNSODA Î rgm amc crcu crc ar u cr cuaţ gro-frţa. Tu ş curţ auror oţa ouror u cromooar ş curţ uror u î gra fucţ m o caă argă. Dfcuăţ rzovar a cuaţor gro-frţa crc oaă cu oru muu ş mou varaţ î m a mărmor xcaţ. Souţ cuaţor crcuor crc î rgm amc coţ ouă como: ua aoraă mărmor xcaţ comoa rmaă au forţaă ş caaă aoraă ăr ţa comoa razor au bră. Duă rcra uu rva m como br o ga ş abş rgmu rma. Dacă u ş curţ u varază î m rgmu rma aţoar um ş cur couu ş ua î aou ar acă mărm u varab î m rgmu rma varab. Pru umroa acaţ c rză moraţă rgmu roc î car u ş curţ r m crcu varază roc î raor cu mu. Î rvau m rcr a u rgm rma a a rgm rma u ş curţ auror crcuuu coţ ş como razor. Î aambu ac rgm fucţoar a crcuuu umş razoru. O caă mă fucţ m mar moraţă î uu rgmuror crcuor crc o cou fucţ u ş cou um grc fucţ uoa armoc. Dacă mărm xcaţ..m. ş curţ uror u ş rcv cur ş u a bor rţor amar varază uoa î m auc curţ ş u auror crcuuu ar u acaş formă ş frcvţă. gmu rma uoa rrză o moraţă obă orcă ş raccă ş rv aâ î roucra rama ş uzara rg crc câ ş î comucaţ mazăr ş auomazăr. Sma urăoar formaţ u uraur ma uoa ar rama a aţă a rg cromagc fac arcur curţ arav var roc cu vaor m u. Î ac cao rză rgmu uoa um ş rgm rma armoc a crcuor crc ar car ma umc ş crcu crc cur arav. 4.. MĂM SNSODA O fucţ f : A f B rocă acă xă u T A af îcâ f T A ru. 4. a ma mcă vaoara a u T ru car vaabă raţa 4. umş roaă rcaă. Af u roaa rcaă a u fucţ m rvau mm uă car fucţa îş ră vaor î acaş varaţ fg. 4. a ş b. O mărm rocă y com caracrzaă auc câ cuoaş varaţa a î m uraa u roa. Ac ucru oa raza f r xra aacă a fucţ y f r rrzara grafcă f r abara umrcă. O mărm rocă caracrzază r: - vaoara vârf amua ˆ max car vaoara maxmă car o oa ua mărma rocă î curu u roa fg. 4. a ş b; - vaoara m m ma o roaă a vaoror aa

T m y T 4. momu uâ f oarcar. O mărm rocă vaoar m uă umş mărm aravă; - vaoara fcvă au fcac oaă cu ra mar a mbouu cov ru mărma rcvă car răăca ăraă a vaor m o roaă a ărauu fucţ o T T y. 4. Î cazu î car mărma y u cur uoa vaoara a fcvă oa f rraă ca f vaoara curuu couu car rouc acaş fc Jou-z u umăr îrg roa. D caa fucţor roc arav î gra crcă u r ob î rrză fucţ mărm uoa. Pr fţ o mărm uoaă mărma a căr varaţ î m ar xra: y max 4.4 u max vaoar îoaua ozvă rrză amua mărm y - uaţa au frcvţa uguară + - rrză faza ugu fază a u mom oarcar ş - faza ţaă a = a mărm Fg. 4.. Îr uaţa frcvţa ş roaa mărm xă raţa: f T. 4.5 a Fg. 4. b a cmbara org muu u mofcă c vaoara c faza mărm: y 4.6 max c uma faza a ţaă car v. Acaa araă că agra org muu u rrză c o moraţă raccă ru aaza fomor m î oza că oa mărm car cru ac fom u varab î m uoa cu acaş uaţ ω ca c coază f frţ fază r ac mărm.

Fg. 4. Pru mărm varab î m uoa avm T max max y T. 4.7 Î crorgcă mărm varab î m uoa cru ub forma: y. 4.8 Dacă coră ouă mărm uoa acaş uaţ y ş y 4.9 fş fazau mărm y î urma mărm y ca frţa fazor cor ouă mărm îr-o or aă 4. ga cu frţa fazor ţa a mărmor î acaş or f af m. Dacă y fazaă îaa u y ar acă mărma y fazaă î urma mărm y. Mărm y y u î fază câ. Dacă auc mărm y y u î oozţ fază î afază. Mărm y y cu u faza ga cu / u că u î cuaraură. mâ rocaa muă π a fucţor uoa cov ca î gra ă cor. O mărm uoaă com rmaă vaoara fcvă frcvţă ş faza ţaă. Î rgm rma uoa frcvţa uor ş curţor auror crcuor crc ar frcvţa uror amar ş î ac caz mărm uoa u caracrza uma vaoara fcvă ş faza ţaă. Oraţ cu mărm uoa. Oraţ cu mărm uoa acaş frcvţă car rv î aaza crcuor crc u: mucara cu caar auara rvara grara î raor cu mu ş rouu. Mucara cu u caar a mărm uoa y mărma uoaă y 4. car ar vaoara fcvă or ma mar ş ar faza ţaă că cu a u y câ > ş acă <. Mărm y ş y u fazc î oozţ fază ru > <. y ş y o Auara mărmor uoa mărm uoaă y forma: y y y 4. avâ acaş frcvţă cu vaoara fcvă ş faza ţaă a raţ

co ; arcg co co Drvaa î raor cu mu a mărm uoa y. 4. mărma uoaă acaş frcvţă vaoara fcvă ω or ma mar ş fazaă cu π/ î cuaraură îa y. 4.4 graa î raor cu mu a mărm uoa y mărma uoaă acaş frcvţă vaoara fcvă ω or ma mcă ş fazaă cu π/ î cuaraură î urmă y. 4.5 Suma a ouă mărm uoa y ş y avâ frcvţ fr u o mărm uoaă y y y. 4.6 Î cazu î car ş uaţ u uţ fr auc mărma umă y y y co 4.7 oa f coraă uoaă uaţ cu amua co varabă î m Fg. 4. câ f 55 Hz f 5 Hz ş /. Obrvaţ Fg. 4. y y = co co Mărm forma 4.7 umc uoa cu îfăşurăoar uoaă ş cru fom băa a ocaţor. Ocaţ ac f rv a cocara î ara a ouă graoar. Prouu a ouă mărm uoa y ş y acaş frcvţă :. 4.8 a fcuara uor oraţ ar cu mărm uoa cu acaş frcvţă rzua u ma u mărm uoa. 4

4.. BA MTOD SMBO D PNTA ÎN OMPX A MĂMO SNSODA Mărm xcaţ uoa acaş frcvţă rmă îr-u crcu crc ar cu aramr cocraţ u rgm rma uoa. acuu curţor ac rgm coru rmăr ouţ arcuar a muu cuaţ gro-frţa obţu cu auoru ormor u Krcoff ş a cuaţor caracrc a auror. Î cazu uu crcu crc comx moa ubuţ v oroaă. acuu rgmuu rma uoa oa mfca ubaţa câ mărm uoa cu car ucrază u acaş frcvţă acă uzază moa mbocă a rrzăr î comx a mărmor uoa. Acaă moă coă î abra u rgu car aocază fcăr mărm uoa u mbo au o mag car ă afacă urmăoar coţ: - rrzara rbu ă f buvocă fcăr mărm uoa ă- coruă o gură mag ş fcăr mag ă- coruă o gură mărm uoaă; - oraţor mucar cu caar ş auar a mărmor uoa ă coruă mucara cu caar ş auara magor; - oraţor rvar ş grar a mărmor uoa ă coruă oraţ m cu mag; - raformara rcă a mărma uoaă a mag ş raformara vră a mag a mărma uoaă ă f mă uşor fcua. F F aţu fucţor uoa acaş frcvţă ş coru umror comx. Oraoru comx f af :F. 4.9 Pr fţ comxu u mărm uoa xrmaă ub forma y 4. u umăr comx oa yau car ar ca mou vaoara fcvă a mărm uoa ş ca argum faza ţaă a ac mărm 4. y u -a oa:. aţa 4. fş î au comx u vcor caracrza r mouu ş r faza. Pr urmar rrzara î comx couc a agram vcora car o coru r agra arbrară a org fază acă a mărm comx cu faza ţaă uă. Scmbara org fază coru ror agram vcora au comx. Dagram vcora ma umc ş agram fazora ar vcor rcvfazor. Doarc coroţa 4. buvocă oaă cuocu comxu a mărm uoa vaoara aa a mărm y obţ cu raţa Fg. 4.4 y m. 4. 5

xmu 4.. O u uoaă u V ar o rrzar 4 comxă 4 co. 4 4 xmu 4.. Ş că uu cur uoa frcvţă 5 Hz î coru comxu 4 A uc vaoara aa a curuu 4 arcg 4 m 5 5 arcg A m 4... Torma combaţor ar. omxu u combaţ ar mărm uoa avâ acaş frcvţă obţ r ubura mărmor uoa cu rrzăr or î comx u ru y 4. u mărm coa ra ar fucţ uoa y 4.4 au oa acaş uaţ. Dmoraţ. Doarc y m cr ub forma: Noâ: y mmbru âg a raţ 4. oa m m. 4.5 4.6 ş 4.7 raţa 4.5 rzuă: ş r urmar: y m 4.8 y y. 4.9 aţa 4.9 araă că o combaţ ară mărm uoa acaş frcvţă o o mărm uoaă cu acaş frcvţă. aţ 4.6 4.7 ş 4.5 couc a raţa y y = 4. ca c morază orma 4... Î cazu arcuar ru obţ orma um y =. 4.. 6

Drmara vcoruu umă ru = rzaă î fgura 4.5. Fg. 4.5 Fg. 4.6 xmu 4.: Suma uor uoa u V ş u V o u uoaă acaş frcvţă f = 5 Hz avâ comxu Fg. 4.6 4. Vaoara aa a u umă u 44 V. 4 4 4... Torma rva. omxu rva oru î raor cu mu a u mărm uoa ga cu comxu mărm uoa mucaă cu y. 4. Dmoraţ. F y y co. omxu rva oru îâ. 4. D raţa 4. rzuă că rva î raor cu mu a u mărm uoa î coru î omu rrzăror î comx îmuţra cu ca c rv maorăr argumuu cu / ş crşr mouuu or. Î au comx rvăr î coru c rora cu / î ozv u rgoomrc ş mucara vcoruu Fg. 4.7 or Fg. 4.7. Acâ raţa 4. or uccv obţ orma 4... 4... Torma gra. omxu gra f î raor cu mu aca rmvă a gra car o mărm uoaă a u mărm uoa ga cu comxu mărm uoa îmărţ a : 7

y. 4.4 Dmoraţ. oform cu fţa rrzăr î comx rzuă: y co. 4.5 Fg. 4.8 D raţa 4.5 rzuă că grăr î raor cu mu a u mărm uoa î coru î omu rrzăr î comx îmărţra cu ca c cva cu mcşorara argumuu cu / ş îmărţra mouuu cu. Î au comx grăr î raor cu mu î coru rora vcoruu cu / î gav orar ş rucra vcoruu or Fg. 4.8. zâ orm ma u araă că moa mbocă ruc robma rmăr ouţ arcuar uoa a u cuaţ frţa ar a car rmu br varază î m uoa a rzovara u cuaţ agbrc. D xmu o cuaţ frţaă ară forma x a y 4.6 u y ar ca ouţ arcuară o fucţ uoaă forma: x X. 4.7 Drmara ac ouţ arcuar car afac cuaţa x a 4.8 oa fcua obrvâ că rrzara î comx X a ouţ arcuar afac urmăoara cuaţ agbrcă: a X î car u rzuă comxu ouţ arcuar căua X a 4.9. 4.4 Pobaa rucr robm rmăr ouţor arcuar uoa a rzovara uor cuaţ agbrc oa x a m cuaţ frţa ar. 8

4.4. AŢ KHHOFF ÎN FOMĂ SMBOĂ Pru crcu crc ar forma xcuv rzoar bob coaoar ş ur a u cuaţ u Krcoff î vaor aa au xr: A ; 4.4 ş A ; b ; b 4.4 b A b ş cou u m com cuaţ. Ţâ ama orm 4.. 4.. ş 4.. obţ form î comx a acor cuaţ: A ; 4.4 A ; ; A b b b b 4.44 î car ş u rrzăr î comx a..m. rcv curţor auror. Dacă crcuu crc ar aaza coţ ş ur a cur ş ur comaa auc cuaţ 4.4 ş 4.44 v: u J A A J ; 4.45 A A b b A A A ; b; b 4.46 c b b c c c b ş u rrzăr î comx a curţor uor ş..m. a uror cur a uror cur comaa ş rcv a uror u comaa. Pru a obţ u m com cuaţ a cuaţ 4.45 ş 4.46 rbu aăuga cuaţ fţ a uror comaa. Prma ormă a u Krcoff î formă comxă ar uţu: uma agbrcă a rrzăror î comx a curţor auror coca îr-u o gaă cu zro. A oua ormă a u Krcoff î formă comxă ar uţu: uma agbrcă a ucv rrzăror î comx a căror u rzv caacv a bor uror a cur ş c a bor uror cur comaa c gaă -a ugu fcăr buc b cu uma agbrcă a rrzăror î comx a..m. a uror u ş a..m. c a uror u comaa. 9

4 ăr u rzv ucv ş caacv rrză î comx ub forma comuă î car maţa comxă ar ru fr m crcu xr: m ş ; ; 4.47 uă cum mu crcu rcv coru uu rzor rzţă u bob a ucva uu cua magc cu ucva muuaă au uu coaor caaca. ucvaa muuaă ozvă gavă uă cum curţ au ur c corar faţă bor oarza a cor ouă bob cua magc. u acaă covţ a oua ormă a u Krcoff xrmă î forma: b A b A b ; 4.48 ru crcu fără ur comaa ş b A A c A A b A b b c b b ; 4.49 ru c cu ur comaa u 4.5 rrză maţa comxă a aur. Aaoga formaă îr cuaţ crcuor cur couu ş cuaţ î comx rm xra moor aază ş a ormor crcuor î cur couu ş ru crcu î rgm uoa. Mărm coro u: J J ; ; ; ;. 4.5 obr aar a crcu crc cu cua magc aoră maţor comx m coruzăoar ucvăţor muua. 4.5. TOMA JOBT GA OHM N OMPX Pru o aură crcu cu rucura fgura 4.9a cuaţa u a bor î vaor aa : u. 4.5 Î comx acaă raţ v m 4.5 ş rrză ga u Om î comx orma u Joubr cu cm cva comx fgur 4.9b ş 4.9c.

Dacă crcuu u ar cua magc cuaţa 4.5 caăă forma m 4.54 căra î coru cma cvaă fgura 4.9. a b c Fg. 4.9 4.6. AGOTM D APA A AŢO KHHOFF Agormu acar a cuaţor u Krcoff a aaza crcuor crc ar î rgm uoa comoră urmăor aş: P. S xrmă mărm xcaţ î comx ş cacuază maţ comx a auror crcuuu. P. S coruş cma cvaă î comx a crcuuu. S fcă our ş buc a crcuuu ş ag ru fcar aură u curuu. Obrvaţa 4.. Dacă crcuu aaza coţ ur au comaa cur c b buc a crcuuu ag î aşa f îcâ r fcar ură cur ă racă o gură bucă ş u buc ă cocă cu u curuu ur rcv. P. S cru orm u Krcoff î c - our ş c b buc. P4. Dacă crcuu ua coţ ur comaa cru cuaţ fţ î comx a acor ur xrmâ cu auoru g coucţ crc î comx orma u Joubr au cu auoru ormor u Krcoff mărm comaă î fucţ curţ auror. P5. S rzovă cuaţ crcuuu î raor cu comx mărmor cuocu curţ u ş c ş..m. c. P6. S rmă vaor aa coruzăoar comxor cacua a au rc. 4

xmu 4.4: F crcuu c.a. fgura 4.a. S cuoc aramr: = = = ; ; V ş 4 co A. S cr vaor comx ş aa a curţor auror u u 4 ş..m.. rzăr î comx a mărmor xcaţ au xr: ş J ar maţ comx a auror u: 4 ş. Î fgura 4.b rrză cma cvaă î comx a crcuuu fgura 4.a. Prma ormă a u Krcoff î formă comxă î ou ar xra J 4. Pru buc b b ş b a oua ormă a u Krcoff î formă comxă foo ur arcur ca î fgura 4.b b a b Fg. 4. b b. 4 Îocu umrc rzuă: ; - b ; b ;. zovâ ac m cuaţ agbrc ar obţ: b. 4 4

4 ; ; 4 ; 4 ş. Vaor aa a curţor u u 4 ş..m. u: = A; A; = 4 4 4 A;u4 V ş V. 4 Î fgura 4. u rrza agram vcora a curţor cuaţa ş a uor cuaţa b. Fg. 4. 4.7. AATAA T DPOA PASV ÎN OMPX F u o ar av afa î rgm uoa Fg. 4.. Tua ş curu a bor crcuuu aoca uă rgua a rcoar u mărm uoa acaş frcvţă xrma cu raţ u u. 4.55 Î comx c ouă mărm au xr: u ş. 4.56 Fg. 4. rcuu oar ar av ş fără cua magc cu xroru caracrzază î comx r maţa comxă fă r raţa 4.57 car oa f rucraă uccv î urmăoar form 4

u co X. 4.58 Î raţa 4.58 -a oa cu fazau curuu î urma u u f cu raţa u 4.59 um argumu maţ comx arg ş cu mouu vaoara maţ. 4.6 Dagrama vcoraă a mărmor comx rrzaă î fgura 4.. aţa 4.6 oa cr ş ub forma: 4.6 aaogă forma cu ga u Om = vaabă ru crcu cur couu. aţa 4.6 umă aoră ac aaog forma ga u Om î comx. Părţ raă ş magară a maţ comx fc ca f rzţa ş rcv racaţa ouu Fg. 4. co X m 4.6 mărm car î cazu gra oţ aramr crcuuu M rcum ş uaţ. Pr urmar fţa rzţ î ac caz ţa fră ca rzuaă î caru g coucţ crc. Dacă cuoc ş X o cacua mouu ş argumu maţ comx X X g. 4.6 maţa rzţa ş racaţa măoară î om []. Vaoara vră a maţ comx umş amaţă comxă ş fş cu ua raţ: co G B 4.64 u = / = / mouu vaoara amaţ ar argumu ga cu c a maţ comx cu m cmba. Părţ raă ş magară cu m cmba a amaţ comx fc ca f coucaţa ş rcv ucaţa ouu cora G co B m. 4.65 Amaţa coucaţa ş ucaţa măoară î m [S]. 44

4.8. AŢ ÎNT PAAMT DPO obţ obţ Pcâ a raţa: 4.66 G G B G B X fca rzua G B G B B X G B. 4.67 Pcâ a raţa: 4.68 G B X X X G fca rzua B Scr raţa r c ouă mărm comx ub forma: X X X X G B G BX GX B. 4.69 4.7 ş fcâ ărţ ra ş c magar c o mmbr rzuă raţ: G B G BX ş. 4.7 X Î arcuar m a crcu: rzoru Fg. 4.4a boba Fg. 4.4b ş coaoru Fg. 4.4c u crcu oar. Î fgura 4.4 -a cora u o oarcar maţă comxă. 4.9. MNT DA D T ÎN OMPX aţ caracrc î vaor aa a cor r m av crcu u: u u u 4.7 Acâ oraoru comx 4. ş ţâ ama orma combaţor ar a rva ş rcv gra ac cuaţ v:. 4.7 omarâ ac raţ cu raţa 4.6 rzuă că maţ comx a mor crcu au xr: 4.74 ar amaţ or comx u:. 4.75 zţ racaţ coucaţ ş ucaţ coruzăoar u: 45

X G B X G B ; 4.76 Xco X G Bco B. Î fgura 4.4 u rrza agram vcora a uor ş curţor a bor rzoruu a a bob a b coaoruu a c ş a uu crcu ucv crcu gra ura. Î cooaa a ra fgura 4.4 u rrza grafc varaţ î m a vaoror aa a curţor ş uor a bor acor m. a b c Fg. 4.4 D raţ 4.74 rzuă argum maţor comx ga cu faza coruzăoar acă aa curuu r rzoru a î fază cu ua a bor; acă î cazu bob a aa curuu fazaă cu î urma u a bor ca c coru uu faza î m T/4; acă a coaoru a aa curuu fazaă cu îaa u a bor rcv cu î urma u a bor. 46

Ac faza u vzb î agram vcora ş î agram vaoror aa ca î fgura 4.4. azu gra a rţor crc moa rr-u crcu ar av maţă comxă rrză ca î fgura.4. Obrvaţ: Dagram vcora rrzâ vaor fcv a cor ouă mărm crc ş fazau u mu ma ugv câ agram vaoror aa. 4.. PT ÎN GM SNSODA 4... Pura aa crcu oar ar av au acv î rgm uoa Fg. 4.5 rmş a bor coform g raformăr rg cromagc î rocu coucţ crc ura aa u. 4.77 Subu rouu cor ouă uur xra v: u Fg. 4.5 co co 4.78 î car fazau u. Î fgura 4.6 rrzaă varaţa î m a ur aa ru fr vaor a fazauu. S obrvă că ura aa cmbă mu î fcar roaă f gavă îr-u rva m coruzăor uguu fază ga cu. u Vaoara m o roaă a ur aa a ş aţ fazau f uă ru = ş maxmă ru =. Î rva m î car ura aa gavă rga rmă o gavă. Dc î ac rva m ou cază rg crcă ş u rmş. Af î rgm uoa ramra rg a u fac îr-u gur. crcu r fţ u crcu rcor acă î m o roaă rmş ma muă rg câ cază. rcuu graor r fţ c car î m o roaă cază rg. a b c Fg. 4.6 47