Προβλήµατα δοκών ελαστικά εδραζοµένων και φορτιζόµενων µε οριζόντια φορτία

Προβλήµατα δοκών ελαστικά εδραζοµένων και φορτιζόµενων µε οριζόντια φορτία Β. Καρατζά, Ε. Καρατζά, Ι. Καρατζάς Πολιτικοί Μηχανικοί Λέξεις κλειδιά: Ελατηριακές σταθερές, δοκός, παραµορφώσεις, µορφή αντιµετρικού λυγισµού καµπύλης λυγισµού, συνεχής µορφή λυγισµού ΠΕΡΙΛΨ: Ο υπολογισµός των δοκών µίας κατασκευής όπως προβλέπεται από τους διάφορους κανονισµούς DIN κ.λ.π., γίνεται µε την προϋπόθεση, ότι οι εδράσεις των δοκών είναι σταθερές. Όµως, στην πραγµατικότητα τα υποστυλώµατα των κατωτέρω ορόφων όπου εδράζονται οι δοκοί, παραµορφώνονται σύµφωνα µε τις λεγόµενες φυσικές ελατηριακές σταθερές. Άρα, κατά τον υπολογισµό των δοκών θα πρέπει να λαµβάνονται υπ όψιν οι επιµήκεις παραµορφώσεις των υποστυλωµάτων στηρίξεως τους. Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι να διαπιστωθεί πως αυτές οι ελατηριακές σταθερές επηρεάζουν την συµπεριφορά των δοκών σε συνδυασµό µε την ύπαρξη οριζοντίων θλιπτικών σεισµικών δυνάµεων. ηλαδή, θα διερευνηθεί πότε η παραµόρφωση είναι µορφής αντιµετρικού λυγισµού (περίπτωση Ι) και πότε η παραµόρφωση είναι µορφής συνεχούς λυγισµού (περίπτωση ΙΙ) σε συνδυασµό µε τις ελατηριακές σταθερές C c (βλέπε σχήµα 1). Αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό στην διερεύνηση της συµπεριφοράς των κατασκευών από οπλισµένο σκυρόδεµα, διότι είναι απαραίτητο να γνωρίζει κανείς την εφελκυόµενη και την θλιβόµενη περιοχή του φορέα. 1 ΕΙΣΑΓΩΓ Για να προσδιορίσει κανείς την συµπεριφορά ενός φορέα κατά την φόρτιση του διερευνά και τις παραµορφώσεις του. Ανάλογα δε µε ποιες από τις παραµορφώσεις λαµβάνει υπ όψιν κατά την σύνταξη των στατικών υπολογισµών διακρίνονται και οι αντίστοιχες θεωρίες υπολογισµού 1 ου, ου, και ου βαθµού. Θεωρία 1 ου βαθµού έχουµε στην περίπτωση που στις εσωτερικές ροπές κάµψεως ενός φορέα δεν συµπεριλαµβάνονται οι παραµορφώσεις (απλά προβλήµατα κάµψεως). Θεωρία ου βαθµού έχουµε όταν οι κάθετες παραµορφώσεις του φορέα λαµβάνονται υπ όψιν στον στατικό υπολογισµό π.χ. προβλήµατα λυγισµού (τύποι Euler) κ.λ.π. Θεωρία ου βαθµού έχουµε όταν ληφθούν στον στατικό υπολογισµό και οι κατακόρυφες και οι οριζόντιες µετατοπίσεις - βυθίσεις ενός σηµείου π.χ. προβλήµατα αναρτηµένων γεφυρών. H Περίπτωση Ι αντιµετρική µορφή λυγισµού C c Περίπτωση ΙΙ συνεχής µορφή λυγισµού C c Σχήµα 1: Μορφές λυγισµού 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 1

Στην πραγµατικότητα οι εδράσεις των δοκών στις κατασκευές από οπλισµένο σκυρόδεµα δεν είναι σταθερές, αλλά ελαστικές. Αυτό οφείλεται στις κατά µήκος παραµορφώσεις των υποστυλωµάτων στηρίξεως και είναι ανάλογες των σταθερών: C = E A h (1) c c c / P = C h () n όπου C c = αξονική ελατηριακή σταθερά, P= αξονικό φορτίο υποστυλώµατος, A c = επιφάνεια υποστυλώµατος, h= ύψος υποστυλώµατος και E c =µέτρον ελαστικότητας σκυροδέµατος. Αν υποθέσει κανείς ότι υπάρχει ένας φορέας εδραζόµενος όπως φαίνεται στο σχήµα παρακάτω, τότε προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις κατά την θεωρία ου βαθµού. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ H v P H A x B Σχήµα. Παραµορφωµένος φορέας M = Ax + Hv = M o + Hv () Ισχύει όµως και η γνωστή σχέση v' ' = M / EJ = M o / EJ Hv / EJ H v M ή v' '+ = o (4) EI EI ή οποία είναι η διαφορική εξίσωση υπολογισµού παραµορφώσεων µε βάση την θεωρία ου βαθµού. Αν οριστεί a = H / EJ = Hπ / H l (5) E ακολουθεί ότι H E = EJπ / l (6) και / 1/ EJ = π H l (7) E 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006

όπου θέτοντας τελικάε = π Hl / EI = π H / Hε ως ο αριθµός ε που ονοµάζεται αριθµός αναγνωρίσεως ράβδου (Stabkennzahl). διαφορική αυτή εξίσωση επιλύεται σχετικά εύκολα. Για περίπλοκες περιπτώσεις προβληµάτων όµως υπάρχουν επεξεργασµένες λύσεις σε µορφή πινάκων που βοηθούν στην επίλυση των διαφόρων σχετικών προβληµάτων. Συνεπώς, το πρόβληµα µιας ελαστικά εδραζόµενης ράβδου σε θλίψη που θα διερευνηθεί αποτελεί ένα πρόβληµα θεωρίας ου βαθµού. C c C c Σχήµα : Φορέας δύο ανοιγµάτων (Petersen, 198) Από το παραπάνω σχήµα προκύπτουν οι σχέσεις ισορροπίας του κόµβου c. Κάνοντας µία ιδεατή τοµή γύρω γύρω από την ελαστική έδραση προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις. M M = 0 (8) ca + cb T T + c = 0 (9) ca + cb c ψ I ψ = (10) ac 1 = cbi Από πίνακες (Petersen, 198) βρίσκει κανείς τις θεµελιώδεις ροπές και διατέµνουσες δυνάµεις των Μ ca, και Τ ca κ.λ.π. εσωτερικών δυνάµεων που ισχύουν για την µέθοδο των παραµορφώσεων ως λύση για την επίλυση υπερστατικών φορέων. Στην πραγµατικότητα είναι ένα σύστηµα δύο αγνώστων, δύο εξισώσεων και από αυτό µπορεί κανείς να υπολογίσει τις τιµές των αγνώστων. τιµή του critical είναι αυτή που ενδιαφέρει η οποία ορίζει σε ποία θλιπτική δύναµη υπάρχουν απροσδιόριστες παραµορφώσεις του στατικού συστήµατος. Αυτό θα προκύψει από το µηδενισµό του µητρώου των συντελεστών των αγνώστων του συστήµατος. Ως άγνωστοι θεωρούνται η γωνία φ c και η ελατηριακή υποχώρηση της εδράσεως του φορέα. Αν σχηµατιστεί το µητρώο των αγνώστων τότε: φ c C 1 +C 0 0 -(/l 1 +/l ) +C c + C 1 /l 1 +C /l ) όπου D=H. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006

Για την περίπτωση που C 1 =C =C και l 1 =l =l, το µητρώο µετατρέπεται σε: C 0 H 0 l + C c + C l (11) Αν ονοµαστεί το C c = δej / l όπου το αδιάστατο µέγεθος δ παριστά τον λόγο της ελατηριακής σταθεράς προς την ακαµψία του οριζόντιου φορέα τότε: ε EJ / l = D = H (1) και ακολουθεί ότι το ανάπτυγµα του µητρώου δίνει: / C( H / l + C / l + Cc ) C l =0 (1) Αντικαθιστώντας τις τιµές των H, και C c προκύπτει: ( ε sin ε (sin ε ε cosε ) ε + δ = 0) ( δ sin ε ε cosε ( δ ε ) = 0 sin ε (14) sin ε (15) δηλαδή, ( ε ) Det ( ε ) 0 Απλοποιώντας: ( ε ) 0 1 = Det (16) 1 = Det (17) sin ε = 0 (18) εκτός από την ευνόητη λύση ε=0 η επόµενη ελάχιστη λύση είναι min(ε)=π (19) Οπότε, = π l Pcritical / EJ (0) η παραπάνω εξίσωση είναι ο τύπος του Euler γνωστός από την αντοχή των υλικών. Αυτή η εξίσωση δίνει την γνωστή µορφή λυγισµού για µία καµπύλη για κάθε άνοιγµα. Αν αναγάγουµε στο σύνολο του φορέα την καµπύλη τότε προκύπτει και µία αντιµετρική µορφή καµπύλης λυγισµού όπου οι ελατηριακές σταθερές των υποστυλωµάτων δεν φορτίζονται µε επιπρόσθετα φορτία = Αν () e = 0 = δ sin ε ε cosε ( δ ε ) 0 Det (1) και ε=π τότε, ( sin ε ε cosε )/ l 0 sin ε = () και δ=π εποµένως, από την σχέση ορισµού της ελατηριακής σταθεράς προκύπτει 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 4

C = π EJ / l () Όταν ισχύει η ανωτέρω σχέση είναι πιθανόν να σχηµατιστούν και οι δύο µορφές καµπύλης λυγισµού. Στην περίπτωση που η ελάχιστη ακαµψία του ελατηρίου είναι µεγαλύτερη από την τιµή C* = π EJ / l τότε έχουµε αντιµετρική µορφή παραµορφώσεων. Οι µορφές λυγισµού απεικονίζονται στα σχήµατα 4 και 5 που ακολουθούν. Σχήµα 4: Μορφές λυγισµού σε συνάρτηση δ και ε (Petersen, 198) H C c C* l l C c C* Σχήµα 5: Μορφές λυγισµού σε συνάρτηση των C c και C* (Petersen, 198) Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για την περίπτωση που στα άκρα οι δοκοί είναι πακτωµένοι. C* =,6π EJ / l (Petersen, 198) (4) Από την παραπάνω ανάλυση και µε την θεωρία ου βαθµού διαπιστώνουµε πότε οι οριζόντιοι φορείς µπορούν να παραµορφωθούν µε τον ένα ή µε τον άλλο τρόπο. Από την µέχρι τώρα διερεύνηση προκύπτουν δύο πιθανά critical. Το µέγεθος της ελατηριακής σταθεράς επηρεάζει την µορφή του λυγισµού. Από το µέγεθος του προκύπτει και η µορφή του λυγισµού των οριζοντίων φορέων. Το µέγεθος των ελατηριακών σταθερών υπολογίζεται από την σχέση: 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 5

C = A E h (5) c c / Αν συγκριθεί µε την ελάχιστη τιµή ακαµψίας του ελατηρίου που ορίζεται από το C * µπορεί κανείς να αξιολογήσει ποια µορφή λυγισµού θα αντιµετωπίσει το έργο σε ένα σεισµό. Αυτό σηµαίνει ότι αν υπάρχουν υποστυλώµατα µε µικρή διατοµή µεταξύ δύο τοιχωµάτων η µορφή λυγισµού της δοκού θα είναι µονοσήµαντη συνεχής καµπύλη και το υποστύλωµα θα παραλάβει επιπρόσθετα κατακόρυφα φορτία. δοκός δε λόγω της υποχωρήσεως της οφείλει να οπλιστεί καταλλήλως. Επίσης, αν έχουµε ισχυρό µεσαίο υποστύλωµα θα έχουµε αντιµετρική καµπύλη παραµορφώσεως και όχι πρόσθετα φορτία στο µεσαίο υποστύλωµα. Επίσης, πρέπει να ληφθεί αυτό υπ όψιν στην όπλιση της δοκού. ελατηριακή σταθερά υποστυλώµατος όπως αναφέρθηκε ανωτέρω προκύπτει από την εξίσωση 5. Ενώ για την ελάχιστη ακαµψία του ελατηρίου της σταθεράς που ορίζεται από το C * = πej/l παρατηρείται από τους προηγούµενους τύπους ότι η σχέση (E/l ) τείνει ταχύτερα στο άπειρο απ ότι η (E/h). Αυτό σηµαίνει ότι όσο µεγαλώνει το άνοιγµα των οριζοντίων φορέων τόσο πιθανότερο είναι να ισχύει η ανισότητα C c C c * παρά η ανισότητα C c <C *. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Αν υπολογιστεί η ελατηριακή σταθερά των κυριοτέρων διατοµών υποστυλωµάτων που συναντά κανείς στην πράξη από 5 5 έως 60 60 και για ένα ύψος ορόφου.0µ, η ελάχιστη ακαµψία των ελατηριακών σταθερών C c για δοκούς ανοίγµατος 4, 5, 6, 7 µέτρων µε συνεργαζόµενα πλάτη κατά τον Ευροκώδικα 1.45, 1.75,.05,.5 µ και αν δεχτεί κανείς ύψος δοκού 0.70 µ πάχος πλάκας 0.15 µ. τότε ισχύουν τα κατωτέρω και διαµορφώνεται ο αντίστοιχος πίνακας όπως παρουσιάζεται κάτωθι. ( E h) = 0. AE C c = AC 15 (6) και C * = π EJ l = 19.719 EJ l (7) Πίνακας 1: Ροπές αδρανείας 5 5 0 0 5 5 40 40 50 50 60 60 Υπάρχουσα C c /E 0.0195 0.081 0.08 0.050 0.0781 0.115<J Ροπή αδρανείας δοκών l 1 =l =4.0 0.06<J 0.0910<J 0.140<J 0.160<J 0.59<J 0.644<J 0.09 l 1 =l =5.0 0.140<J 0.1780<J 0.400<J 0.180<J 0.4950<J 0.71<J 0.068 l 1 =l =6.0 0.10<J 0.078<J 0.4196<J 0.5475<J 0.8550<J 1.6<J 0.108 l 1 =l =7.0 0.0<J 0.4864<J 0.669<J 0.8660<J 1.50<J 1.947<J 0.16 Από τον πίνακα 1 προκύπτει ότι οι υπάρχουσες ροπές αδρανείας των δοκών διαφόρων ανοιγµάτων µε στοιχεία ως περιγράφηκαν ανωτέρω είναι στην πλειοψηφία τους µικρότερες της απαιτουµένης ροπής αδρανείας για να ισχύει η ανισότητα που επισηµαίνεται στον πίνακα. Συνεπώς, υπερισχύει η περίπτωση της αντιµετρικής παραµορφώσεως των οριζοντίων φορέων και µόνο στο υποστύλωµα 5 5 και για ανοίγµατα κάτω των 5 µ η καµπύλη είναι µη αντιµετρική αλλά συνεχόµενης µορφής. Όλα τα ανωτέρω προϋποθέτουν l 1 =l =l. Στην περίπτωση που 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 6

K = l l 1 (8) όπου 0 < K 1, τότε από την συνθήκη λυγισµού ισχύει ότι ( 1 + 1 K ) δ = ε (9) Επειδή, το Κ είναι µικρότερο από την µονάδα, το δ γίνεται µεγαλύτερο άρα, ο λόγος της ελατηριακής σταθεράς προς την ακαµψία των οριζοντίων φορέων µεγαλώνει. Όµως, οι ελατηριακές σταθερές των υποστυλωµάτων που εξετάστηκαν στο παράδειγµα είναι σταθερές και έτσι, για να µεγαλώσει το δ θα πρέπει η ακαµψία των δοκών να µικρύνει. Άρα, δοκοί µε µικρότερη ακαµψία µπορούν να πληρούν τη σχέση C c <C*. Αυτό σηµαίνει ότι, όσο ο λόγος Κ τείνει στον µηδέν τότε η µορφή της καµπύλης λυγισµού τείνει σε συνεχή καµπύλη, δηλαδή στην µορφή λυγισµού κατά Euler. 4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την ανωτέρω ανάλυση και εφαρµόζοντας θεωρία ου βαθµού στην επίλυση προβληµάτων ελαστικά εδραζοµένων δοκών φορτιζοµένων µε οριζόντιες δυνάµεις ορίσθηκε ένας αδιάστατος αριθµός δ που παριστά τον λόγο των ελατηριακών σταθερών των υποστυλωµάτων προς την ακαµψία των οριζοντίων φορέων. Προκύπτουν δε τα ακόλουθα συµπεράσµατα. Όταν οι ελατηριακές σταθερές των υποστυλωµάτων C c που στηρίζουν συνεχείς δοκούς είναι µικρότερες της ελάχιστης ακαµψίας του ελατηρίου που ορίζεται από το C * δηλαδή ισχύει C c <C *, τότε έχουµε καµπύλη λυγισµού συνεχή προς µία κατεύθυνση και παρουσιάζονται και πρόσθετα κατακόρυφα φορτία στα υποστυλώµατα. Πρακτικά αυτό συµβαίνει, αν η ελατηριακή σταθερά είναι µικρότερη από την ακαµψία των οριζοντίων φορέων. Αντιθέτως, αν ισχύει η ανισότητα C c C * τότε έχουµε αντιµετρική καµπύλη λυγισµού και δεν έχουµε πρόσθετα κατακόρυφα φορτία. Από την αριθµητική διερεύνηση τυπικών συνήθων διατοµών υποστυλωµάτων και δοκών διαπιστώνεται ότι σε πολύ λίγα υποστυλώµατα ισχύει η σχέση C c <C *. Αυτό συµβαίνει κυρίως σε υποστυλώµατα πολύ µικρής διατοµής που συνήθως µπορεί να είναι φυτευτά υποστυλώµατα και γι αυτό χρειάζεται περισσότερη προσοχή στην διαστασιολόγηση λόγω των προσθέτων κατάκορφων φορτίων που µπορούν να αναπτυχθούν σε αυτά. κυριότερη και συνηθέστερη µορφή λυγισµού που παρουσιάζεται στα συνήθη οικοδοµικά έργα είναι η αντιµετρική η οποία σε συνδυασµό µε την σχέση των καµπτικών ελατηριακών σταθερών (Καρατζά, 00, 006) µπορεί να δηµιουργήσει τις αστοχίες που παρατηρούνται στις κορυφές και στους πόδες των υποστυλωµάτων. Επιπλέον, πολλές από τις αστοχίες, ρηγµατώσεις, που παρατηρούνται στις οροφές µαλακών ορόφων λόγω της κυµατοειδούς εναλλασσόµενης αντιµετρικής συµπεριφοράς των πλακών αυτών µπορεί να εξηγηθεί εξ αυτού του λόγου C>= C *. Για διαφορετικές περιπτώσεις οριζοντίων φορέων και διατάξεων αυτών παρουσιάστηκαν επαρκή διαγράµµατα και βιβλιογραφικά στοιχεία, ώστε να µπορεί κανείς να επιλύσει το ειδικότερο πρόβληµα που του παρουσιάζεται. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Dr. Petersen. C., 198, Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden, σελ. 47, 474, 86. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 7

. Stahlbau Ein Handbuch für Studium und Praxis, Band 1, Stahlbau - Verlags - Gmbh Köln, 1961.. Karatzas. V., Karatzas E., Behaviour of Soft Storey Structures under Seismic Loads, Fib Symposium, May 00, Athens, σελ. 6. 4. Karatzas V., Karatzas E., Investigation of the Seismic Behaviour of Structures Based on a Multi Member Model Elastically Connected with Spring Constants, Fib Congress, Naples, Ιούνιος 006. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 006 8