STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM *! '77$! #$%!'!()#*++,!) -. /1'! #$%!'!()#*++,!) '. ' * 3/43-33'5 6! +*!7#7517773-!)5 '.
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM * GÉRARD FLEURY -,'' / -! ##7#*++,85 PHILIPPE LACOMME -!'-! #$%#*++,85 CHRISTIAN PRINS -3-!'- 1!7773-5 9 :/ ) /: 5-;!6-,4/ /, 4!:*1$<71*+%1*'$7=$#
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STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM GÉRARD FLEURY -,''/ -! ##7 #*++,85 PHILIPPE LACOMME -!'-! #$% #*++,85 CHRISTIAN PRINS -3-3/4 H3-1!7773-5 3/ '' J/ / /!', 4!, - (4 / /!, '(' /!, /(- / J/@J4/ 51' ' / / / 6 ' - / /'?'' /!, ' 44/'(4/ '3// /@/J1 @J '' -?,64 43/ ' ' J/- 44/ 3/ J 4 ' 4 4 @ / 3 / / '' /!, J// ) /!, 3/!, ' - ; E 4 B% J@ = J/ 4,/ 4'- ' 4 /, 4! - /,-4 /4 / ' > 7 4 4 # 7 )4 / '- // : 7 # $3/!, 4/' 4 /' ///4J/ ' # > 7 -)-/ 3/ ' / / 4 4'/ 3/''!, J 4 ' 4 ' 4: J J'J4 J'4 44 3/ J@' @/ J// 4-4 J@ / / J/ ) / J4 ''' J@ :' / '- / /!, 1/ 5/ / 1/ 4 ' 1/ ' J )' / )- / ' '3/ - /' # > 7 ' -' )''J/4J '4 # > 73/!,?!, -4-/ / '!, 3/ '
J/4 3@J45-$775-$77< 5- $ 77$ ' / - ' ' / J@ /!,, / 4- A- ;,4/ A;, ' '/ AJ/-'' -- 4' '( / 4-' :/- - (?!, / ' 3/'' / '' ' / -!, 4 /4/1-4 / 3/ A-;,4/ A;,/ 4 /A;,'' $77/ ' - / /?!, '4 ' - ' J/ ' 3/ / '' 4( J 5!, ' / - ' /-'/ / 4,4J@' J'/ '('/ ''/ '' 3/ @-' /J@ /'( '/ /44/ - $ 77 / / 5-/ / -/ '' ''/ / /@ 1 STOCHASTIC CARP 1.1 Stochastic CARP definition,!, '?!, ')' /' # /' 3-!, '?!, 'J// / ' - / )' # = 3-4- J K / L '' / 4 ' / M 4 /!, 4 ' / F 77 )' ' J : % / /!, ' /'-// / /4'( 7(!, K L '' )'?!, J/-B?!, 3/M/?!, @*/ J/ O< / + # / 4'( 7 # /4'( 7 # >7/ > 7 ( / ' ( /' /4' / ' / 4 444 ( / ( /4/ / -4 -/ /J/ )' /'N /4 / - ' ' / )'/ -//)/ '-//' ' /J@/' / ' '/'- ' / ' ) ' '- ' -/4 4/ / - '' @ J!4 //-' :/ / 4 /@ - // ' ''/ / -@J4/ 3/- /
@, J/ O77 *' 43/ / * '-* @ +%B @ < @ *<$# J : ' ) / '- / / A / ' / -J/ B % + # J/*' :77 /!'( :( 4 ' -, / @</ *$ / @ $ # < B % + # * $ J/<' :$ / '$ ( < * $ < / :7 / :7 / :$ // @$ ' @</' @/44/ @$' ' 43/ 'J '? / ' / ω = $ J/ = 77,/ ω = < J/(O* 1. Modelization of random quantities in the Stochastic CARP 4 J ; J -' '' / /4 / 4- J ' 4 'J J// / 4 ' /4 / / '' / - -; ) σ J/ # 1.3 Literature on stochastic routing 3/ / / 4 / / 4 ' J/ P / C/ 4 ; $ BB# J ' ) BBB CJM 77 3/J''/ 4/ / '!/! 44!! J/ 4 ' / 44 J/ '- 'J/@J4 / ( / ''J/ 3/ ''/ / 4' / / / / )',4'' J/// C J/ / P' )' $ BB# ' $ 77 -JBB#3/ @J4 ''/ ' //!,!, '' '- : J / 4 - / J@ / '' 3/-!, C A;,/!, J 4 4 B7 ) @ ) 4'/ 3/ C /' ( / : 4 / ' - < / ''- / 4 ' / +7 4 - ' 4 J@ /' /C )' J/' BBB/J@/ 41 / '@1' - ' ; $ %
BB# /)'/C!/4 J BB# - / )' ) '') ' 4 4 / 4 / ' 4 5- $ 77 / / '' '( 3/ ' 4 / / // '(' 3/ ' '/ / J4 3/ '' -/ //'(' / / '' J/ - ' '- 4 4/ / '' / J : 3 ;/ /BB+ /M J/ @ @ BB%' @ / // 3/ @J4/-J' ' /'' //!, 5 5-77 ''!, 5-77* 77<'' / ''/J/ /4 / /!, ' 3/ '' ''/ / )' ( @ / 4 4/ 4 ' J// /' / / ' J 44 3/ A- ;,4/'' - $ 77 / ' ' / / /!, 3/ /J' (4/J@' -- $77/!, SCARP RESOLUTION 5 /J@J'' /) 3/ J@ ' J ' : '(' '* /'(' J// / - /-44/.1 Framework proposal,j@!, ' J ' /.' ( = 6% >'. Second phase: statistics gathered during replications 3/ '/ 4/4 / / /'( '/ ' ' - '' 4 3/ : :/4 ' ω3/ /)' :/4' ' 3/ /)' :/'4 J/)' ' 3/ / '- { } σ > : / / ' 3/ / σ [ ] σ = :/ /' ' 3/ / σ [ ] = 4*: '( ' / B
σ : / - 4 / // 7 /4//- σ -' 3/ ) //- 4 4/ 4/'(' <- / / J// 4 /N / ) @ ( / 3 ;/ / BB+ @ BB% 13 J @ BB% 5 / /4 4// ''/ /4 ' F 77.3 First phase: the optimization phase.3.1 Typical scheme of iterative methods for minimization of a stochastic criterion E / J144 ' (4 ' /): % -% ($ 3/'(% J *+,- +(,-(L 3/ J- / ' '4/- -' 3/ J/ / J/ / ')'-/)' # 3/ / ( 3/ / - J/ 4- - / 5 )' J/. $$ ( - 4 J/ ' '-E/ ) J- '' - )'O / - J/ -/4/ /. //'- { = } / 4 ε / ( 5)'//)' 4 { < } J/ { = } ε { = } > ε J/ / / )' -!'!' *; *!' ** $ *<7 <?'! $ / #' % 6 + AJ'4/4 /' /44' 4 J// /4/- ' / ( / 4 5- BB* 5-BB*/ ' ) /' -' /J///' / / 4/3/ ) ' /'- '4 J ' 4 /, '- '' '4 / /-'/ / ( / ' 4 J/ / '-J E/ ) /4/ - '') /-' / ( / 4- // / - ' 3/ / J ' / /- /4 //!, / J/ 4 4/ '-4 / ( - - 3/ / /' 5-BB* 4 7
.3. DCARPs linked to the SCARP 3/-' J@ J//'/ /!, / /! ''/ 5- $ 77< 3/ ''/ J' 4 //M/ : / 4/!, 4 '- / (4 )' -5-77< 3/ 3/! 4-! ' / / '- -4 ( 5-77< /)' 3/ / 3/ ''/ / ( M '4 / $%!'$ %@ 6 < %@ 6,''/!,''/! P 7 <! < /,''/ /,''/ +! σ /,''/ N 3/!''/ 4/?!, @ /!, 4 / / / '- / 3/ ( -' / 3/ J )' : # +! σ 3 '/''/ /M //''/ 3/''/ /' )' / '- / / H '( H< 3/( : # H $% ':(1 ( ( '- // ( ) 3/J''/ 4/?!, J/ J( 3/ ( ' ( )// '- / ' /(/, :(!!-?!,!''/ # = /4M #,?!, ''/ # =,?!, /''/.3.3 Mathematical analysis Preliminary remarks. 1 :! 4/?!,!, /' ( ) = :!! #!! 3// / H < M # H # = /4M J/ /J =! /!, / =! 4/!!! >! // /4/'4 @ J/ = = A - (J / ' (
1 : % ' ' / / /- σ σ / '- / { > } = { } O { } > { > } + > )1 { > ε} ) ε > 7! =! > 3/ ) -J / ' / J4 / σ - - σ -744/ *1 ( / 4 J @J )' - ' - @J/J4J/- 4-/ ' ' # )' -!# J/)! <1 3/ / 4 ' 5 ' 4 -J / @5-/ / - ' ; (#! ) ) # Mathematical analysis of the trips. 1 %%6 '5- ' /?!, / # /!, / '- ' /' 4 -: = > J/ )' 4; #! / # = 3ϕ! # # J/ ϕ / '- )'+(:. ϕ. = π A ' / ' ;! #! ) #! /J4/ : -/ '/ { } = > = J/ - / ' / { > + } J//,4' = + : = ( ) = )4 = 1 6,4/'-//4/- // -' J/ /4/'- / / ' J//'M / /'5 /'- ' J/ J//4/ '- M / / J4 J - / J4 /-'/ : A 4/' A 54 5$ / '/ /'/'/ ) //-'/ A A ' J/ / '- +3 / '
= J/ / '- = + / /-'/ ' ' /' / / ' : /4 /': = ( ) ( ) 5. ( ) =. + = '.( ' 4 / ' / J4 '' /:.?. =. = /.( =. =,4. = =. + =. = C/ = ( ) SCARP objectives = / J / ' '( J K L / M 4/ JJ K4L 3J@!, : 13 % ' - / ' /- / -/' 13 % '- / 9 σ J/ /'/?!, - σ 9 3 σ /'-// /' { > } { > } /-': ε >7 ε -' J/) = //' 3 σ { > } { } > ) 7 - / -/ /' 3/M 4/ #$% '( ) E/ /''// / ' / 4' - /4/- #$% ' ( ) { } 6 > ε > 7 3/ ' )'/' 44 '- ' 4/- ε 3/ ε / J/ { } 6 > ' - 4 + - ' '/ - + Π = # ϕ > ε! # 4: ( ) > ε = (4 / { + } 6 ) > 7 / / { + } 6 { } 6 > - > M > J/ (4 / { } 6 > M E '4/J J/'-/4 /' - εa/ /' '/'(:/' -@ ' + - ) 7/'-)/'-/ *
(4 / { + } 6 ) > 7 >! M M* ( / - 4/ '4 '(J/ { + } -J@J4/ / )')'/ 4 / J #$% '( ) +! σ! * 3/ M 4/ / M (: 4A A 3/! 4 /J4/ / σ,- / ' 3/ M ' J/ J J ' J/ σ /4/-' / / ' /'A σ '- - σ ) 45)'(4: +! σ M* +! M* +! σ M** /J4 / /' / '(: / ' -@ ' + - : +! M*< +! σ M*$ (/ - / ' // / ' / M J4/4 G--BB<J//'M M 4J4/ / @ / M 3/ ' M /4 - -4 / '4J4// #$%!'( ) σ < ε * * ε > 73/ ε / J/ σ ε' - 4A A ' σ ' - +,) : σ > ε (4 / σ : (4/ σ (4/ σ ε ε ε M< M< M<* 5/ M ' A A / /' - ( ( / - 4/'4 '( J/ { + } #$% +'( ) ε *, * ε > 7 E / / M - J/'-) /'3/ ε / J/, J// ' A A - (4 //-'/ ε- M$ 3/ ) /'( / ' A A - ( / - 4/ '4 '(J/ { + } $ % %@ 6 3/J ' / :/ 4/ 5- $ 77* '4 /?!, / '- / -!$ )!7Q!Q3/ { > } 3/! ''/ '( ' - - / '
4 4 4/,/ ' 4 ' /- - /?!, / ' - /M.3.4 Hybrid Genetic Algorithm for the SCARP 3/ ( / A;,'' - $ 77 ' ) /!, 3/ 4 4/ / // /-'' / K / L: '' / - 4 '/ : / ' 4 4/ ) / ' 4:4// /''/4' / ''4 Chromosomes and Fitness '/4 J/ 3/ ''- / /''/ Recombination of chromosomes / - 4 4I 5J' [ ] 4/ / J J @! J/ # 3/ / - '4 4 + S # R 3 ' J-#T 6/ @- $$5 '' 4 # T 3/ / / -)/44/, / ;,-@' / // 4/ '4' 3/A;, /J@ -4'/ J/J '4-) 5/5 /'' / 46// @J/ ' J/// @'' J '' 3/ J 4 ' - 4 / J/ '- 3/ / '/ / JJ @ J/'/ @ 6/ / - / '/// ' '-/4' 3/ / / 4 Population Structure and Initial Population 3/ '' / 4 ( J/ J /4/1- ' - / /14,414 / ;E 4B% J/ ' - 4, '- ' J ' ' $
U 78 7 7 * * 7- * 75( **! P 7 *< 7/.4 9 74 V { S! R} 7/ 7 *$7 *# V { S! R} + PP' Q SR 7 PP J/'/ 7 7 + PPJ/'/ 7! PP/ /'' *%7 <?'! $ / ' / Local Search as Mutation Operator E/ ) / / ' - / 4 / 4)/4 6/ : ' ' ' J / ' J ' 6/ / 3J@ 1' 4 Replacement Method and Stopping Criteria 5 3/ ' / S!R - J/ / 4 / S!R '- J/ ''S! R '- 4 '/ ' / '/A;,' J//)3/ /@' / SR J ' 4 / ' - 3/ 44/ ' ) ) ' J/J / Summary General Structure 54 $ 4 /4/ 4/ ' / A;, 4 / 4/ / J4 4 ' ): :) ' :/ /'' : :)' / 4/ / / ' 3/ -/ E// '5/ /4/ /!, $77 #
3 COMPUTATIONAL EXPERIMENT 3.1 Numerical experiment 3/ )' / 4 / J1 @J - 4 BB+ 64 BB#?, B% 3/ ' / /C%;A(J/$# 4 EJ 777'4-3/'4/ ' 4?'/#7'@4 3.1.1 Parameters used during the optimisation phase 3/J4 ' / :O7 O7777 O#777 3/ ' ' ' - 5-$77* Chromosome and fitness: objective function 3/ / ' / '(5/J''/J +! σ, ' +! σ 4//- ' / / / / - ' ' J ' 4 / ' +! σ, '' = *7 5)'! = 7/ / /( + 7σ 3/! = 7' ' 4 / σ Stopping criteria of the HGA 5/?!, /4/-J '4 'J ' / / 5/ /!, / / 3/4/ ' / / 7$ / 1@J /?!, Stopping criteria of the local search,// '4 )3/ ' 7 /' '/ )' 3.1. Parameters used during the replication phase 3 /4/ - = 777 ' J/ / / / '(' 3/ J4 ' 4 ' : σ σ 3.1.3 Notations 3/ ' ' / ) /?!, ''/ ** /?!, 4 /!''/*<' 4 J/ ( / 4 - *< J//(//4 / 5 4?, ; 64 64 4 C 3-4 / J4) : : J//''// /'(' 7: J//!''// / '(' / / ''//!''//' ' /5-77</!, : J/ / / ''/ 4 : J/ / / ''/ 4 + 7σ 3. Tight approach 3/ 5-$77< ','')3/ '/J/ //@ / 4' +
J/ ' +7W ' )' '?, B#W 64 /$7W4 * 3/ 4 - / /@ ' / $%.'% = > ; 64 C %7$W **$W $#+W +777W B#%+W $*7#W σ #7% %<7< *%7 σ 7%< #$ 7#% σ '! A *'.9A.'9*A 3/4'J '3/ //'( ' *#/; 4 /4 777 ' ' J// *$ / 3/ 4/$?, 4/ %<764 4/*4 3/ /4/- J/ - $W?, +W 64 *#+W 4 3.3 Slack approach 3/!''/'' -5-$77* / ''/ 3 J// / --// '' / / '- - ' 4 / '( '!'/''//!?!, J//4/' / 3/ /! - 4/ /'-3/ ' 5-$77< (< $% #'% => ; 64 C!' J/''/ 7 <<*W %BW *BW 7 <$7W B$<W **<W 7 1*7W 1<%W 1BBW 7 7 77#W 7$+W 77$W 7 7 7#W *<%W 7#$W σ 7 ** +#*# 7 σ7 77+ 7*< 77< σ 7 7 '#A!' A '.A / / 4 / - 4 / /''/3/ - 7 7 / //@ 3/'4' J/' /4/- +7W7#W?, B#W*<%W64 $*W 7#$W4 /'/ / / ''/ J// 4, / / /4/- )' /BW64 ' / *W / 4/ ''/ 3/ 'J/?!, 3/ 4 /4/-!' 7 ' 4'/ - 7 / J/ / /@ - 4' W /-64 / / '4 / - /! ''/ 5 - /5-$ 77* %
E/ / - / /!''/ / ''/J// ' / '( 3/ ''/ -/?!, 3/) ' -(/4 3.4 Law approach 3.4.1 Minimisation of -/4 / /M J/J J 4 J3/' J/' J/4/- 4 / ''/ J ' J//! ''//@ ( M 3$' / 4/ ( 3/ J/ '','') $% ( ; 64 C!' J/''/ %+W #7*W <W *7+W %B%W %W 1<$7W 1B$W 1*<$W +W +BW 7*BW <B<W #7BW 7*%W σ <7$ **%* *<* σ 7*< 7% 7 σ!'#a.'a '-.A E/- 4/ /J4 : /'-)' /4/- 4 /4/''/+7W$W?, B#W #7W 64 $*W 7W 4 E/ / ' 4' / ' J/ / '' J/ / @ ''/ / - - E - <7W?, $$W J/ / 4/ ''/ *7BW 64 +*#W J/ / 4/ ''/ 7%*W 4 *#+W J/ / 4/ ''/3/ ' 4 4/- ' 4 / / J/ / @ ''/ 7<7W$BW7*7W 4-/ 7/4' J - %+W?, #7*W 64 <W 4 3/ 4 / / @''/:<<*W 4'J 7?, %BW64 *BW 4 J// / 7 3/ 4' J 1<$7W1B$W1*<$W / / / ' '- J/ /' @ 3/ /- / 4 ( ' / '( ' 4- @ / ( / /4/ 4 ' / / / ' 4// ' </ @''/ 3/) ' / (4 / / 4 / 4 3.4. Minimisation of + 7σ 3/ ' #!' / (4 / B
/ / ' - ' 4/' ''/ 5 --J- ' / 77%W?, ' / <7W (4 564 //- 7<%W J// ) / / - '(4 54 / - 4/ /4 7BW - / J // '-/!''/5 / - (4 + 7σ/ 4/!''/ $% 9'% =+ + 7σ > ; 64 C!' J/''/ $$W *<<W <$W $$W *#W <%W 1BW 17*W 1**W 777W 7$W 77W 7<#W +##W $W σ 7 #< 7+ σ 77* 7# 77# σ B-A B#-A B!A - / /(/ / / J/ / /! ''/ / 4 ( ''/ 3/ - 7?, ' / <7$ J/ / ( ** J/ /! ''/ 3/ #<64 J//' / **%/ (+#/! ''/54 / J/(4- // 7J//!''/ 3/ / /' J/(4 + 7σ /J/ 4/!''/ 4-,77+ ' -/ @''/?, 3/ / 7*<J/(4-77* (4 + 7σ 5 64 /! ''/ / / ' J// 7*<E/(4 / /' J/4/ / 7%(4 + 7σ / / ' 7# 5 4 / /' 77<3/ J/ 4 - / 7 (4 + 7σ / / ' / 77#J// - / 4/!''/ E/'4 3/7+ //*<* 3 / / 7 ' /-J4' 4/!''/3/ 77#W?, 7$+W 64 77$W 4 3/ 'J/// ''/J/(4 +W+BW7*BW 3/( + 7σ ' -J :777W?, 7$W64 77W 4 E/ '4 / '// /?!, J/(4 J/ (4 + 7σ 5 7?, <<*W3/ 4' %+WJ/(4 $$W J/ (4 + 7σ - )' J :J/4/ /M(
/4/ 5 // 64 /! ''/ ' 4'%BW#7*WJ/(4 3/ ( + 7σ 4 J/ 4 4' J// / *W 4 3/ /4/4/ / /'/ '/- / J J ''/ 4/!, 4- / M' -4 / ' / 4 / σ 3/ J/ J-( J//''/ '' /!, 3/) 64 ' / / ' / /4/-'/( 3.5 Comparative study of the 3 approaches for Eglese s instances 3 + ' / / '' '4 / ( 5 ' ' J - /M $% *'7/ C! ''/ / ''/ (4 / ''/ (4 +!σ!' J/''/ %BW #7*W *<<W B$<W %B%W *#W 1<%W 1B$W 17*W 7$+W +BW 7$W *<%W #7BW +##W σ +#*# **%* #< σ 7*< 7% 7# σ!' A.'A #-A //4/ /4/ 4 3/ - / / 4 / M-J 3/' J 4!, ' - / ' ' 4/?!, ' $77 3.6 Efficiency of the mathematical expressions for the DeArmon s instances 3 / / ' '4 '/' J/ // 3/ /: / 4 ' ω '-//)' 3/4'J / /''/(4 %// ''/(4 + 7σ /B
$% -' 5 +/ 4 **< ** 17+W 4 *$# *$< 17<#W 4* B B7 17#+W 4< ** ** 777W 4$ <7# <7< 17$<W 4# ** * 17$#W 4+ *< **B 17%$W 4% *#* *# 17%W 4B *7 *7 77W 47 +B +B 17W 4 *B$ *B$ 77W 4 <%7 <+B 177W 4* $<< $<< 777W 4< 77 77 77*W 4$ $% $% 77*W 4# B B 77W 4+ B B 777W 4% #< #< 77W 4B $+ $+ 17**W 47 * * 77W 4 $% $% 77W 4 7 7 777W 4* *# *# 177*W 4 177W / 4/4'J '4 / 4' 77W 4 / B J/ (4 +7σ 3/ 4 4' J 77$W $% ' 5 +/ + 7σ 4 **+ **+ 777W 4 *## *## 777W 4* B# B# 777W 4< ** ** 777W 4$ <7B <7B 777W 4# *< *< 777W 4+ *$ *$ 777W 4% *%% *%% 77*W 4B **B **$ 17<W 47 %* %* 777W 4 <7* <7* 777W 4 $*< $*< 777W 4* $$ $$ 777W 4< 7 7 77<W 4$ $% $% 777W 4# B B 777W 4+ B B 777W 4% #< #< 77W 4B #* #* 777W 47 * * 777W 4 $% $% 77W 4 7 7 777W 4* *B *% 17$W 4 177$W E /4 /4/4// -//)' ' : σ σ σ σ 5 /64 /4 ' 3.7 Computational time 3//4/- ' / J// 4/' / $77J/ 4/?!, 3/ ' /,'') 3 7 ' / ' )'
$%!'(6 / = >,''/ 3 ; 64 C! /' / 3 3 3 3 3 $%7 +%#* *** <77 #+$ #*$ *+ +$< $<* *$ +# <B+ +< #BB# %B$7 3 %7$ $7B B$B 3 +%<B +B7 B+$B +7σ 3 <BB *#% %<* 4 CONCLUDING REMARKS AND RECOMMENDATIONS 3/M -J )'/!, J//'A;,3/ ' / @4 / -4', 4/!, / / -'') E '/- /'4 / '( / '' / '4 / 4 / /A;,'' -$77J '( /!, 3/ / J4'( 3// /@/J1@J?,464 3/ '/-//'4 J/// '' J/ - ' 3/- / ''/ -'4,/ / J: / / '! - ''' 4 J/ /!, / / '4 @-/- / @/ 3/ 6) /!, 4//@$77 REFERENCES =3, @, BB%!)' 9: *<BB%'+#B1%7$ 4 F 6 77*, 4 ' 4/ / ' 4' :*7$'+7$1+%?F /1? BB#, J ; C/ 4 /:,4/ 4 -: <</1,'BB# @FBB%!4 - - 4/ : 6,6 X@ 3 / /J A 4 B%! <B% '4 ' B=% 64 EYBB#, / / 4J/'- A F G- 9; 4 GJ'#**1 #$7!/4 G1 J E BB#,,4/ 4?-J@ J/,!' J/,''?- 5 4:'<<#'B$1B#*?,FB%,!' A /!'!/ H 3/ 3/ --!4@?, 5- ; BB* / / ' '8 1? /?3/ 3/ -!155 >>>>>>>>>! 77< 6-,4/ /, 4! :*1$<71*+%1* 77< '$7=$ >>>>>>>>> >>>>>>>>> >>>>>>>>> 1!/ E 77$'4 4' < : 4 <:('C$#$#1$*%77$ *
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APPENDIX 1. DCARP RESOLUTION: TIGHT APPROACH $%!'?, σ 4 *# $ *$* $% ##7 *+ 4 **B # *%B$7 %7% B<7 %7# σ 7#% 7 4* +$ $ B% $% #<<7 $*< 7+7 4< %+ < *7B* $< +B+7 *$% 4$ *++ # <<*+ %7B B+7 *+#+ 4# B% $ **$77 #$ +B<7 +B% 7%# 7%# 4+ *$ $ *$<#+ $% #$77 $+ 7+7 4% *$7 7 *%$7 BB B*7 B 4B *7* 7 *#B% *$% BB*7 <$% 7B <7 47 +$ < %#B <<* <*77 * 7$7 4 *B$ $ < $#+ $%B7 $#* 7# 4 <$% + $+# %% +%7 *BB* 4* $*# # $%<% %% B+#7 <+ 7%$ 4< 77 $ 7<$ $<+ <7*7 *+< 7#* 4$ $% < $%7# <7* B7 7*< 7+ 4# + $ *<<# ##* %%$7 $* 7B< 4+ B # B # 7 7#* 7* 4% #< $ #+7 $*7 %+7 <B 7<B 4B $$ * #7$7 *#B $B7 $+% 7#< 47 < B<7 $+< B77 $*B 7B$ 4 $# # #<$B +#B B77 $*+ 7B$ 4 77 % 7$% B#< %+B7 *#* 7 4* ** 7 <%+* *+B BB*7 ##B $7 $% ' > σ σ 411, *$<% $ *B##< #% +%<7 B<< 411 <<B% + $B#< %# %#*7 $*$* 411! $$B$ 7 +*%+# *#% BB*7 #<<*% 411, $7% + $%77< %%# B%7 <#<77 411 #*<7 7 +%+<* *< B%B7 #+B%# 411! %<$ < 7+#+ +B# BB$7 +<$# 41*1, $%B% % #+<#%* 7*B B$7 <%7#$ 41*1 +% B+B#+* #$7 BB%7 +B 41*1!7<** + **$*B+ *% 7777 B* 41<1, #<# B +#B$7 $7 B$77 $B#$< 41<1 B7 < +#7< B+ 7777 B77BB 41<1!++B 7 <$*$ $$ BBB7 B<$++ 41 1, $7% + $B7%++ %$* %$<7 #+#< 41 1 #<*$ 7 ++*$$ +$ B#+7 #$+7 41 1! %$% < 7%$ %77 BB7 B7+ 41 1, BBB$ < *7%%< %B BB+7 %##* 41 1*+< 7 +7#$$ %< 7777 *#7 41 1!#+B$ + %$$7 *#B+ 7777 +%7# 41 *1,7B# $ %#<< 77$ BBB7 B7*% 41 *1<7$* +$7< %++ 7777 7++ 41 *1!+B+ B $7%+ *B<+ 7777 +#* 41 <1,<< B <B7%< *+B 7777 B7B 41 <1#$* + 7%%<B+ *#7* 7777 %*7$ 41 <1!7%* *# +$#%$ <%B7 7777 $7<+< 7%# 7 <% 7+ <* $* * $* % # #% %* 7BB B $+ + *B #$ 77 < #% # +# $%.' > σ σ +* +*77 77 777 777 777 +* * B7#7 <B %+7 <7+ 7%< <$ B #<* B++ $%77 +* 7++ + +7 77 77 7$ 77* $B * %*+7 *<B <B<7 $77 7$7 <$+ % $#7< 7$7 B$%7 $7+< * % %< <B <%#7 B 7$7 * %+ * %B%7 *<+ <+7 *<7 7$7 * *% + #B* B$ B*7 $%% B < <77 * <7 * 7 <7 7< < < < <+# << *+$7 +<B 7$+ < <% $ <<+% $BB +*77 $+% 7+# < $< B $B<B# 7+* B77 *BB 77 $ <* * <%%$ **7 B<7 B 7<# $ <<# < <$#B <#+ $%+7 7B% 7#* $ <+< $ <B7*B $+$ #$7 <B$ 7#B $ $% B #+$ 7 B%7 <7%% # # * * B+< *< <7 +B7 7<B # ** < <<+B <#7 $#+7 7B 7$# # *+ 7 *+#< * B%#7 %< + + +B * %*B$ **# *$$7 #+< 7<% + %* $ %<7 $ 77 ** 7* + **< B *#%$B 7%$ %%*7 % % *%# * *%++ *7# #$7 << 7$ % *B$ < *B#*+ <+ ##7 *$7 7<7 % $+ B #*% #B B#%7 <7$$ * B ** * *<*B *$ <+7 **B 7*$ B *# < **$$$ <%+ #$%7 %7 7+# B ** $ ***%+ $ B%7 <7* 7<* B *B 7 <%*+ $< B#7 BB$ < 7 <% * <%%< * 7 *+ 7*< 7 <*# < <<# <<7 *B#7 #B# 7<B 7 <<# $ <$$%# $+B #*#7 %$ 7+7 7 $*7 7 $+*# $ B$#7 $# B $
APPENDIX : DEARMON S INSTANCES $% #'!''/ $% ' $% 9' +!σ σ σ 4 **+ # **+77 #77 777 777 777 4 *$B + *$B77 +77 777 777 777 4* B# # B#77 #77 777 777 777 4< ** $ **77 $77 777 777 777 4$ <7B + <7B77 +77 777 777 777 4# *< # *<77 #77 777 777 777 4+ *$ # *$77 #77 777 777 777 4% *+7 *+#$ 7+ #%7 #*< 7$ 4B ** **B* 7$ <+7 <$% 7 47 %* $ %* $7 7+7 * 77% 4 <7* # <7*77 #77 777 777 777 4 <+% % <%7 %7< <77 * 77 4* $<< + $<<* +7 77 #7 77 4< 77 $ 777$ $77 7$7 7+ 77+ 4$ $% < $%77 <77 77 77# 77* 4# B # B7 #7 7+7 7*7 77% 4+ B # B77 #77 777 777 777 4% #< $ #<7* $77 7<7 7$7 77# 4B #* < #*77 <77 777 777 777 47 * $ *7$ $77 7$7 7+ 77+ 4 $% + $%7$ +7 7 7<< 7 4 7 B 7 B7* +7 7# 7+ 4* *+ *+7* 7 77 7+ 77 σ σ ** $ **#7 $+% ##7 %7* 7+ *<$ # *$<*# #%# ##%7 %7< 7+ +B $ %B$$ $%* ##77 B% 7+7 ** $ **77 $77 777 777 777 *B$ # <7*%7 #+B #<77 +%* 7#% * $ *7 $%< #$7 %7 7+ *$ $ **B7 $%< ###7 **$ 7#B *$% *#B< 777 %<B 7<$ *+ *77% + $+7 +#< 7<7 +$ < +%$% <<< <*<7 <+ 7$7 *B$ $ *B$7# $7 7#7 7B< 77% <+% % <+B* %7* *77 %* 7+ $<< + $<< +7 77 $ 77 77 $ 777* $77 7$7 7< 77+ $% < $%7 <7 7B7 7B 77B B # B7* #7 7+7 7*% 77% B # B77 #77 77 77# 77* #< $ #<7* $77 7*7 7$$ 77$ $$ * $+ *#B $%7 ## 7#$ * $ *7 $77 7$7 7% 77+ $% + $%7 +7 7 7 77 7 B 77B B7< *B7 7<# 7B *$ *$%* *B **+7 *$ 7#7 σ σ **+ # **+77 #77 777 777 777 *## + *##77 +77 777 777 777 B# # B#77 #77 777 777 777 ** $ **77 $77 777 777 777 <7B + <7B77 +77 777 777 777 *< # *<77 #77 777 777 777 *$ # *$77 #77 777 777 777 *%% * *%%7 *77 7<7 $B 77# **$ **$7+ 7 7$7 * 77+ %* $ %*77 $77 777 777 777 <7* # <7*7 #77 77 7+7 77* $*< % $*<77 %7< <7 777 77 $$ % $$77 %77 777 777 777 7 $ 77< $7< <77 7$< 77 $% < $%77 <77 777 777 777 B # B77 #77 777 777 777 B $ B77 $77 777 777 777 #< $ #<7 $77 77 7$ 77* #* < #*77 <77 777 777 777 * $ *77 $77 777 777 777 $% + $%7 +77 77 7*< 77< 7 B 777 B77 77 77B 77< *% *%7 7 7B7 7$ 77B #
APPENDIX: BELENGUER AND BENAVENT S INSTANCES $% *'!''/ $% -' $% ' +!σ σ σ +* +*7 7 77 77 777 +B < +B7 <7 7 7# 77< # 7 # 77 < 7 7 + +7 7 77 77 777 # * #7 *7 77 77 777 <BB B $7% B %% 7$ 7*7 * % %7 7 77 77 777 * %B < %B7 <7 7 7 77< * <# % <+7 % $ <$ 7* < <7# < <7#7 <7 77 77 777 < <% $ <%7 $7 77 77 777 < <<% # <<%7 #7 77 77 777 < $#$ 7 $#$$ 77 7 <B 77 $ << < <<7 <7 77 77 777 $ <## $ <##7 $7 77 77 777 $ <B+ # <B+7 #7 77 77 777 $ #+ 7 #+ 77 7% + 77B # * * *7 *7 77 77 777 # <$ $ <$7 $7 7 7* 77* # **+ **+< 7 < % 7$ + +B < +B7 <7 77 77 777 + %* $ %*7 $7 77 77 777 + *$ 7 *$ 77 7+ * 77% % *B$ < *B$7 <7 77 77 777 % <7B $ <7B7 $7 77 77 777 % $#$ 7 $#$ 77 7+ < 77% B *# < *#7 <7 77 77 777 B ** $ **7 $7 77 77 777 B *<7 # *<77 #7 77 77 777 B <7B <7B 7 7+ < 77% 7 <*# < <*#7 <7 77 77 777 7 <<# $ <<#7 $7 77 77 777 7 <$B # <$B7 #7 77 77 777 7 $$$ $$$7 7 7 7 77* σ σ +* +*77 77 777 777 777 +B < +B7* <77 7<7 7<# 77# <% B $ B% $7 +%# 7$ + +77 77 777 777 777 #7 * #7< *77 7*7 $ 77$ <B B <B<+ B7B %*7 B 7B % %77 77 777 777 777 %+ * %+7* *77 7$7 7< 77+ <# % <+7 %7$ $7 <#+ 7 <77 * <777< *77 7<7 7#% 77# < < <7* <77 7$7 7# 77+ <<< $ <$<< $% #*%7 B$# 7+$ $<B B $#+%% B%B #%7 $77 7+$ <* * <*7< *77 7*7 7%7 77$ <<# < <<#7B <7 7 7BB 7 <+< $ <+#*$ $% $%7 #7+ 7<B #7$ B #7#+# B7 B7 #$B 7* * * *7 *77 77 7$< 77< *$ < *#+$ <** *+7 *$% 7<B ** 7 ***%< 7<< *%77 <%# 7# +B < +B77 <77 777 777 777 %* $ %*7 $77 7<7 7*% 77# *< 7 *<<B 7 7*7 +*B 7<+ *%# * *%#% *7 %7 *# 7* *B$ < *B$$ <7$ $<7 < 7* $$% 7 $$B< 77# #77 $#+ 7$ ** * **77 *77 777 777 777 *# < *#7< <7 7#7 7$+ 77% ** $ **% $7 *7 # 7$ <7B <7B7 77 77 7$ 77* <% * <%7# *7 <7 7<+ 7 <*# < <*#77 <77 777 777 777 <<% $ <<%* $7< *#7 *+ 7B $< 7 $<<+B 7*# *7B7 +7* 7$% σ σ +* +*77 77 777 777 777 +B < +B77 <77 777 777 777 #% 7 #%7* 777 77 7#7 77< + +77 77 777 777 777 #7 * #777 *77 777 777 777 $#% 7 $#%77 777 777 777 777 % %77 77 777 777 777 %+ * %+7 *77 7*7 7*# 77$ # B #7B B77 7<7 *B 77# <77 * <7777 *77 777 777 777 < < <7* <77 7*7 7#* 77$ <$< # <$<7+ #77 7*7 <7 77$ $+< 7 $+#< 7 7*7 %7< 7< <% * <%77 *77 777 777 777 <$7 < <$7< < $7 %< 7< <B$ # <B$77 #77 777 777 777 #* 7 #* 777 7*7 7+ 77$ * * *77 *77 777 777 777 <$ $ <$77 $77 777 777 777 *<+ *<+< 77 7<7 # 77# +B < +B77 <77 777 777 777 %* $ %*77 $77 777 777 777 *$ 7 *$7* 777 7*7 7$$ 77$ *B * *BB ** **7 7<# <7B $ <7B7% $77 7*7 <# 77$ $%* $%*7< 77 77 ** 77* ** * **77 *77 777 777 777 ** $ **77 $77 777 777 777 *<7 # *<777 #77 777 777 777 < <7# 77 7<7 7B 77# <% * <%7 *77 77 7<# 77< <*# < <*#77 <77 777 777 777 <$B # <$B77 #77 777 777 777 $# $#77 77 777 777 777 +
APPENDIX 3: EGLESE S INSTANCES $%!'!''/ $%!!' $%!' +!σ 411, *%$ # *%*** #7 $7 #%*# 7 411 <%7$ % <%+B %7< <<7 %$$ 7 411! ## #B$% 7+7 %#B 7* 411, $<% % $<*7B< %7* #7 %*%* 7# 411 #+B #%7B$ 7< <*7 B77 77 411! B*#B # B<#+7+ # %+7 *B7 7<< 41*1, #*$$ B #*#* B7 *7 $%BB 7* 41*1 %$B7 * %#$*$* *< *+7 #+7 7*+ 41*1! < B <%%# B+ #77 %++ 7<7 41<1, #B%B 7 #BB%*# 77 %7 +7# 7* 41<1 B+B # B%# #$ <7 B# 7*+ 41<1! %#< *7*+#% *$ *777 *7B%7 7#7 41 1, $$7 % $$# %7 <7 +*+ 7$ 41 1 #B* #B*<7 7$ <#7 7+ 7 41 1! B*% # B*$7 #7# $*7 <#+$ 7< 41 1, 7B+ # 7B*<## #7 <7 #$+ 7 41 1 <##7 * <+*%#% * *7 41 1! %*% *7 %$*+ *7$ <B7 *7$B 7** <7## 7#% 41 *1, <B # #B< #7* +7 B7< 7# 41 *1 $<7 < $# <B #B7 41 *1! B7+# * B*77+ *$< <$7 %%<$ 7<* *#B*+ 7+ 41 <1, *< *<*++# 7$ $<7 <7 7* 41 <1 %+ *7 %7*< *77 ++7 41 <1! %+ <7 *7++%* <7$ <7*7 < 7<$ *B 7+ *$#% $ *#BB*B $B ##7 %*7 7% <#$B % <+$<* %*B *<+7 <B< 7$+ #7<* #*#+B # $*7 %<7 7#* $$ + $*$< %# +$7 77< 7B #$< #+B% %* #<7 #% 7+$ %+B< $ B*<*+ $+7 $*77 <7#* 7+% #*%* B #*%*B B77 7*7 *$7 77$ %*$+ * %+##< *$B $*7 *#B+ 7# <% B <% B< *77 +B 7*+ #%## 7 #BB$< 7## $<+7 B* 7#+ B+* $ B%<+B $+% $B77 %+< 7++ ++ *<$<B # %#7 *BB#B 7# $#7 + $**+*< +#$ $77 <+7 7+< #+# 7 #B%# 7BB #$*7 +B7 7B B7<< $ B<7*#7 $++ $B7 <<+ 7++ 7$7# $ 7#<#*B $*< B%7 <*7* 7$+ <7#< <*+$+# #< <B#7 <***+ 7+# ++*# B %<#%+# *7%B %%<7 #+# * 7%+# $ 7$# #<* %%7 $% 77 <%$% * $<<B< <B< B7#7 <#%$ % %$%B * B*<B+ ***B B<+7 $%$< $ *<% 7 *#<$+ 7# <++7 **$B 7+$ +$7< B %+ *7$7 %<#7 #$7 7$ 77 *% **B<%B <7%% B$B7 +%%B7 $% <7*# # <7*#77 #77 777 777 777 <B* % <B*+7 %7 7+7 ## 77% +7B +7*7%% 7 7$7 %#% 77+ $#% % $#B7% %77 7*7 B+< 77$ ++B ++77 77 77 <<% 77< 7$*< % 7$*<$# %77 77 ++# 77* ##$ B ##+ B7 7$7 *7+ 77+ 7# $ 7#<*7 $7 7$7 *+ 77+ 7#7 7 7##*B 77 <7 $<$ 7 ++$< ++$#$< 77 7<7 <$% 77# #< + #%< +7 $7 <<% 7 $<# $ $<+B+ $7 77 % 77 #*7 B #*7$+ B77 77 %7% 77* %7B %*$< *+ *+7 *<*+ 7<B 7B$+ + 7B$+# +77 7$7 B<B 77+ %B $ *B7+% #* %*B7 <# 7%< +*+# $ +<7*% $$* $77 <#$ 7$< < * $7+** *$$ <B+7 #7*< 7#7 7+ + %#7 +7# #7 #BB$ 7# %+7% + %++# +7 7 +<* 7< %7* *# %<+$% *#* B7 *B*+ 7*# <*$$ <<**% B% +#7 +%7 7+% < ** $7*#+ ***% *#77 %B$* 7$* +#% <* +#B$ <*$ <%77 <BB 7$$ %
APPENDIX 4: COMPUTATIONAL TIME $%!.'!'?, +!σ 33 3 33 3 4 #7% %%< <B%< 7$# 4 #** <$B +$** #+* 4* $$$# *<< $++# 4< <<* <7% $7+$ <7$ 4$ #*B *# #B++ $% 4# $<B +7% $B*B 7 4+ $*7% 7%* $<7% + 4% * B7# *7# +<% 4B *+$ <%*+ $B#< $B*# 47 $<# #* $<#+ 7* 4 #$$ B*# <+$ <## 4 $#+$ % #$*B 7<+ 4* #7B <7 ##< <$B 4< <B+ *B+ $7#B B7* 4$ #%7 7 $%$# 7$ 4# #77% #< +*+ #% 4+ ##B+ 7 +* 7** 4% %#< * %#%< 7% 4B *+%% 77B *$ 77 47 <% $* $+7# << 4 +$$ %< B#** <# 4 7%<< $ $ %#<% 4* B% B7$ $*+% $<,4 +< %7$ +%<B <BB B
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