* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι Αριθμοί: Κάθε ακέραιος n 2 έχει κάποιο πρώτο παράγοντα, υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Διάλεξη 2 Ενότητα 3. Το Κόσκινο του Ερατοσθένη (ΚΕ): Παράδειγμα, περιγραφή, απόδειξη. Ενότητα 4. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ): Θυμηθήκαμε ότι ο ΜΚΔ διαιρείται από κάθε άλλο Κοινό Διαιρέτη (ΚΔ), και αρχίσαμε να «εξηγούμε αυτό το φαινόμενο»: Είδαμε ότι «ΚΔ και ΓΣ ΜΚΔ» και ότι σε αυτή την περίπτωση (δηλαδή στην περίπτωση «ΚΔ και ΓΣ») ο ΜΚΔ πράγματι διαιρείται από κάθε ΚΔ. Ενότητα 5. Ευκλείδεια Διαίρεση: Αυτή είναι η γνωστή μας «διαίρεση με υπόλοιπο». Εισάγαμε τον συμβολισμό a mod b για το υπόλοιπο της διαίρεσης του a με το b, και είδαμε ορισμένες στοιχειώδεις ιδιότητες. Θα χρησιμοποιούμε τον όρο «κλάση του a modulo b» για τον αριθμό a mod b. Διάλεξη 3 Ενότητα 6. Ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος (ΕΑ): Περιγραφή, παράδειγμα, και απόδειξη του ΕΑ. Είδαμε ότι «ΚΔ και ΓΣ ΜΚΔ». Για a, b, n Z με ab 0 και n > 0, ΜΚΔ(n a, n b) = n ΜΚΔ(a, b). Ενότητα 7. Σχετικά πρώτοι ακέραιοι: Ο ορισμός που δώσαμε για το τι σημαίνει η φράση «οι ακέραιοι a και b είναι σχετικά πρώτοι» ήταν ο εξής: 1 =ΜΚΔ(a, b). Παρατηρήσαμε ότι αυτό είναι ισοδύναμο με το να είναι το 1 ΓΣ των a και b. Διάλεξη 4 Είδαμε άλλους δύο, παρόμοιους, ισοδύναμους τρόπους να πούμε τι σημαίνει η φράση «οι ακέραιοι a και b είναι σχετικά πρώτοι». Ο πρώτος τρόπος ήταν: οι a και b δεν έχουν άλλο θετικό ΚΔ, εκτός τον d = 1. Ο δεύτερος τρόπος ήταν: οι a και b δεν έχουν κοινό Πρώτο Διαιρέτη (ΠΔ). Είδαμε δυό ειδικές περιπτώσεις σχετικά πρώτων a, b. Η πρώτη περίπτωση είναι a και b να είναι δυό διαφορετικοί πρώτοι. Η δεύτερη περίπτωση είναι το a να είναι πρώτος που δεν διαιρεί το b. (Η πρώτη περίπτωση είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης.) Είδαμε πολλές «παραλλαγές» του περίφημου «Λήμματος του Ευκλείδη». Αυτή που είναι η πιο χρήσιμη για μας, είναι: Αν ένας πρώτος αριθμός διαιρεί ένα γινόμενο ακεραίων, τότε διαιρεί κάποιον από τους παράγοντες. Ενότητα 8. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής (ΘΘΑ): Παραδείγματα παραγοντοποίησης του ακεραίου n σε γινόμενα ακεραίων παραγόντων. Είδαμε ότι δεν ισχύει η μοναδικότητα παραγοντοποίησης, ισχύει όμως αν «η παραγοντοποίηση δεν παραγοντοποιείται κι άλλο», αν δηλαδή έχουμε Παραγοντοποίηση σε Πρώτους Παράγοντες (ΠΠΠ). Απόδειξη του ΘΘΑ. Παραδείγματα. Διάλεξη 5 Διάλεξη 6 Ενότητα 9. Ο εκθέτης v p (n) του πρώτου p στον θετικό ακέραιο n. Μέρος Β: Οι Ακέραιοι mod n Ενότητα 10. Αριθμητική mod n: Συμφωνήσαμε ότι από τώρα και στο εξής το n θα είναι ένας (τυχαίος αλλά) σταθερός ακέραιος με n 2, και ότι η συντομογραφία a σημαίνει a mod n. Το σύνολο Z n = {0, 1,..., n 1} των ακεραίων mod n. Η πρόσθεση mod n και με ποιό τρόπο αυτή «αντι-

στοιχεί» στη συνήθη πρόσθεση ακεραίων. Διάλεξη 7 Η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός mod n και με ποιό τρόπο αυτές οι πράξεις «αντιστοιχούν» στην αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Είδαμε πως «καλές» ιδιότητες των πράξεων στους ακεραίους «κληρονομούνται» από τις πράξεις mod n. Για παράδειγμα, μια τέτοια «καλή» ιδιότητα που έχει η πρόσθεση στο Z είναι η προσεταιριστικότητα. Αποδείξαμε ότι η πρόσθεση στο Z n «κληρονομεί» αυτή την ιδιότητα. Διάλεξη 8 Παραδείγματα που δείχνουν πως οι ακέραιοι mod n μας βοηθούν να λύσουμε προβλήματα που, εκ πρώτης όψεως, έχουν να κάνουν μόνο με τους (συνήθεις) ακεραίους. Διάλεξη 9 Σχόλια σχετικά με τους «τέλειους» αριθμούς και τους πρώτους του Mersenne. Ενότητα 11. Ισοτιμία mod n: Για τυχαίους ακεραίους a και b ορίσαμε a b mod n (διάβαζε: «οι a και b είναι ισότιμοι modulo n») να σημαίνει a = b. Αποδείξαμε ότι αυτό ισχύει αν και μόνο αν το n διαιρεί το b a. Ορίσαμε την κλάση ισοτιμίας [a] ως το σύνολο όλων των b με a και b να είναι ισότιμοι modulo n. Παρατηρήσαμε την (αμφιμονοσήμαντη) αντιστοιχία που αντιστοιχεί το [a] στο a. Παρατηρήσαμε ότι, αν a 0, τότε το a είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος b με a = b. Ενότητα 12. Η εξίσωση a y = 0 στο Z n : Θεωρήσαμε ένα τυχαίο ακέραιο a, ονομάσαμε d τον ΜΚΔ(a, n) και ονομάσαμε m το n/d. Αποδείξαμε ότι οι εξισώσεις a y = 0 και d y = 0 είναι ισοδύναμες και ότι έχουν ακριβώς d διαφορετικές λύσεις στο Z n. Οι λύσεις αυτές είναι οι y 0, y 1,..., y d 1, όπου y j = j m. Διάλεξη 10 Συνεχίζουμε με a, d, m να είναι όπως στην προηγούμενη διάλεξη. Ενότητα 13. Προσθετική Τάξη (ΠΤ) στο Z n : Ορίσαμε την ΠΤ του a ως τον ελάχιστο θετικό ακέραιο t τέτοιο ώστε at = 0. Αποδείξαμε ότι η ΠΤ του a ισούται με m. Αποδείξαμε ότι ( y Z) ay = 0 m y. Ορίσαμε το σύνολο < a > των πολλαπλασίων του a στο Z n ως το σύνολο όλων των b που γράφονται ως b = a x. Αποδείξαμε ότι τα πολλαπλάσια του a και του d ταυτίζονται, ότι το πλήθος τους ειναι m, και βρήκαμε ότι αυτά τα πολλαπλάσια είναι τα d 0 = 0 d, d 1 = 1 d, d 2 = 2 d,..., d m 1 = (m 1) d. Ενότητα 14. Η εξίσωση a x = b στο Z n : Διατυπώσαμε το Θεώρημα που λέει το εξής: Η εξίσωση a x = b έχει λύση στο Z n αν και μόνο αν d b. Αποδείξαμε το «ευθύ» του Θεωρήματος. Ολοκληρώσαμε την παραπάνω απόδειξη. Διάλεξη 11 Είδαμε πως βρίσκουμε μια λύση x 0 αυτής της εξίσωσης. Την ονομάσαμε «ειδική λύση». Είδαμε πως «η γενική λύση είναι το άθροισμα της ειδική λύσης και της λύσης του αντίστοιχου ομογενούς προβλήματος». Δηλαδή η τυχαία λύση x j της a x = b είναι x j = x 0 + y j, όπου τις λύσεις y 0, y 1,..., y d 1 της d y = 0 τις βρήκαμε ως y j = j m στην ενότητα 12. Είδαμε πως, ξέροντας τις λύσεις της a x = b στο Z n, εύκολα λύνουμε δυο παρόμοια προβλήματα: Πρώτον, να βρούμε τις ακέραιες λύσεις της ax b mod n, και δεύτερον να βρούμε τις ακέραιες λύσεις της ax + ny = b. Διάλεξη 12 Ενότητα 15. Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων (ΚΘΥ): Διατύπωση, απόδειξη, παράδειγμα, ιστορικό σχόλιο, το «πρόβλημα του Brahmagupta» και η λύση του, συστήματα με τρεις ή παραπάνω εξισώσεις.

Μέρος Γ: Δυνάμεις στους Ακεραίους mod n Ενότητα 16. Υπολογισμός του a 1 : Ορίσαμε το υποσύνολο U n του Z n ως το σύνολο όλων των a Z n που είναι σχετικά πρώτοι με το n. Ορίσαμε την συνάρτηση ϕ του Euler με τον τύπο ϕ(n) = #U n όπου με #S συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου S. Υπολογίσαμε «με ωμή βία» το φ(15). Διάλεξη 13 Η εξίσωση a x = 1 στο Z n έχει λύση αν και μόνο αν a U n, στην οποία περίπτωση η λύση είναι μοναδική. Συμβολίζουμε αυτή τη λύση με a 1. Πως λύνουμε την a x = b όταν γνωρίζουμε το a 1. Ενότητα 17. Η Συνάρτηση ϕ του Euler: Επανάληψη του «Κανόνα του Γινομένου» από τη συνδυαστική. Μια άλλη ερμηνεία του ΚΘΥ: Κάθε c Z mn καθορίζει, και καθορίζεται από, ένα ζεύγος (a, b) με a Z m και b Z n. Η πολλαπλασιαστικότητα της ϕ: Αν ΜΚΔ(m, n) = 1, τότε ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Διάλεξη 14 Επανάληψη του «Κανόνα του Αθροίσματος» από τη συνδυαστική. Αν p είναι πρώτος και m θετικός ακέραιος, τότε ϕ(p m ) = p m p m 1. Παράδειγμα υπολογισμού του ϕ(n). Ενότητα 18. Το Θεώρημα των Fermat και Euler (ΘFE): Διατύπωση του ΘFE: Αν n Z, n 2, N = ϕ(n), b Z, και ΜΚΔ(b, n) = 1, τότε το n διαιρεί το b N 1. Επαναδιατύπωση του ΘFE: Αν n Z, n 2, N = ϕ(n), και a U n, τότε a N = 1. Το U n είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό mod n. Ισχύει ο Νόμος της Διαγραφής για τον πολλαπλασιασμό mod n, αν ο διαγραπτέος παράγοντας είναι στο U n. Απόδειξη του ΘFE. Διάλεξη 15 Σημαντικό πόρισμα στο ΘFE: Αν n Z, n 2, N = ϕ(n), a U n, και s = t mod N τότε a t = a s. Παραδείγματα υπολογισμού δυνάμεων mod n. Ενότητα 19. Γρήγορη ύψωση σε δύναμη: Τα δυαδικά ψηφία (bits) του t, και πως τα χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε «με έξυπνο τρόπο» το a t. Ενότητα 20. Η Κρυπτογραφική Μέθοδος RSA: Διαισθητική εισαγωγή στη μέθοδο RSA. Αποδείξαμε: Αν n = p πρώτος και a Z τότε a p = a. Διάλεξη 16 Γενικότερα, αποδείξαμε: αν n = p πρώτος και a Z και q μη-αρνητικός ακέραιος, τότε a 1+q(p 1) = a. Είπαμε πότε ο n λέγεται «ελεύθερος τετραγώνων» (όταν όλοι οι πρώτοι παράγοντες του είναι διαφορετικοί). Αποδείξαμε το θεώρημα που πάνω του στηρίζεται η μέθοδος RSA: Αν ο n είναι ελεύθερος τετραγώνων, N = ϕ(n), και ts 1 mod N, τότε ( a Z) a ts = a. Γενική περιγραφή της μεθόδου RSA. Αριθμητικό παράδειγμα της μεθόδου RSA. Διάλεξη 17 Άλλο ένα αριθμητικό παράδειγμα της μεθόδου RSA, με αρκετά «μεγάλα νούμερα» ούτως ώστε «να είναι συμφέρουσα η γρήγορη ύψωση σε δύναμη».

Μέρος Δ: Λογάριθμοι στους Ακεραίους mod n Συμφωνήσαμε σε αυτό το μέρος του μαθήματος να χρησιμοποιούμε τον εξής συμβολισμό: Το N θα είναι ακέραιος με N 3 και το n θα είναι ακέραιος με n 2 (συχνά, αλλά όχι πάντα, n = ϕ(n)). Εξακολουθούμε να χρησιμοποιούμε τη συντομογραφία a να σημαίνει a mod n. Επίσης εξακολουθούμε να συμφωνούμε ότι «πράξεις μεταξύ κλάσεων mod n είναι πάντα πράξεις mod n», για παράδειγμα, την έκφραση a + b την ερμηνεύουμε πάντα ως άθροισμα mod n. Τώρα θα χρησιμοποιούμε και «επίσημα» παρόμοιο συμβολισμό για κλάσεις και πράξεις mod N (ανεπίσημα, το κάνουμε στην αίθουσα εδώ και δυο τρεις διαλέξεις). Θα χρησιμοποιούμε τη συντομογραφία γ να σημαίνει γ mod N. Επίσης συμφωνούμε ότι «πράξεις μεταξύ κλάσεων mod N είναι πάντα πράξεις mod N», για παράδειγμα, την έκφραση γ δ την ερμηνεύουμε πάντα ως γινόμενο mod N. Παρατηρούμε ότι οι δύο πιθανές ερμηνείες του γ 2 ισούνται (δηλαδή το γινόμενο γ γ, που, συμφωνήσαμε, σημαίνει γινόμενο ως προς τον πολλαπλασιασμό mod N, ισούται με γ γ). Παρόμοια, για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο a, υπάρχει μοναδική «προφανής» ερμηνεία του γ a. Ενότητα 21. Πολλαπλασιαστική Τάξη: Ορίσαμε, δεδομένου γ U N, το σύνολο (γ) ως το σύνολο όλων των γ a (a = 1, 2,...). Αποδείξαμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος r με γ r = 1. Συνεχίζουμε με γ U N. Διάλεξη 18 Ορίσαμε την πολλαπλασιαστική τάξη του γ (ως προς τον πολλαπλασιασμό mod N). Είναι ένας θετικός ακέραιος, που θα τον συμβολίζω με o γ, και ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός ακέραιος r με γ r = 1. Παρατηρήσαμε ότι o γ = 1 γ = 1. Από τώρα και στο εξής, υποθέτουμε γ 1 (υπάρχει τέτοιο γ, αλλοιώς U N = {1}, όμως υποθέτουμε N 3, άρα ϕ(n) 2, άρα το U N έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία). Από τώρα και έως το τέλος της διάλεξης, θα συμβολίζω το o γ με n. (Άρα, όπως πάντα για μας, n 2.) Ορίσαμε την εκθετική συνάρτηση f : Z (γ). (Ο ορισμός είναι προφανής αν a > 0, δηλαδή f(a) = γ a.) Θα συμβολίζουμε με γ a το f(a) και στις «μη προφανείς» περιπτώσεις (δηλαδή και για a 0). Αποδείξαμε ότι ( a Z) f(a) = f(a). Αποδείξαμε ότι ( a, b Z n ) f(a + b) = γ a γ b. Παρατηρήστε ότι αυτός ο τύπος σχετίζει το a + b, που είναι ένα άθροισμα mod n, με ένα γινόμενο mod N. Παρατηρήσαμε ότι η προηγούμενη σχέση δίνει μια «κομψή» απόδειξη του νόμου των εκθετών f(a + b) = γ a γ b, όπου a + b είναι το σύνηθες άθροισμα ακεραίων (η «άκομψη» απόδειξη διακρίνει περιπτώσεις ανάλογα με τα πρόσημα των a και b). Διάλεξη 19 Ενότητα 22. Ιδιότητες της Πολλαπλασιαστικής Τάξης: Συνεχίζουμε με γ U N και n = o γ. Αποδείξαμε ότι οι ακέραιες λύσεις της γ x = 1 είναι ακριβώς τα πολλαπλάσια του n. Αποδείξαμε ότι ( a, b Z) γ a = γ b a = b Αποδείξαμε ότι το πλήθος όλων των δυνάμεων γ a (με a Z) είναι n. Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός g : Z n (γ) της «προφανούς» εκθετικής συνάρτησης (δηλαδή αυτής με g(x) = γ x ) είναι ένα-προς-ένα και επί. Παράδειγμα των τριών ερμηνειών της τάξης n του γ. Διάλεξη 20 Ενότητα 23. Η Τάξη του γ a : Συνεχίζουμε με γ U N και n = o γ. Οπως στην προηγούμενη ενότητα, g : Z n (γ) θα είναι η «προφανής» εκθετική συνάρτηση (δηλαδή αυτή με g(x) = γ x ). Επίσης G : (γ) Z n θα είναι η αντίστροφη συνάρτηση της g. Παρατηρήστε ότι η G είναι ο «λογάριθμος με βάση το γ» αφού G(γ a ) = a. Σε αυτή την ενότητα θα χρησιμοποιούμε τον εξής συμβολισμό: Θα υποθέτουμε ότι τα a, b, c ανήκουν στο Z n, και ότι τα A, B, C ανήκουν στο (γ). Επειδή οι g και G είναι αντίστροφες, A = g(a) a = G(A).

Από τώρα και πέρα θα υποθέτω ότι A = g(a), B = g(b), C = g(c). Άρα a = G(A), b = G(B), c = G(C). Επίσης A = B a = b. Τέλος, σε αυτή την ενότητα, θα συμβολίζω με την πρόσθεση mod n, και θα συμβολίζω με * τον πολλαπλασιασμό mod N. Αποδείξαμε την εξής «αντιστοιχία μεταξύ κεφαλαίων και μικρών», ότι a b = c A B = C. Εξηγήσαμε γιατί * το ευθύ λέει γ a b = γ a * γb, και το αντίστροφο λέει log(a B) = log A log B. * Αποδείξαμε ότι η τάξη του γ a είναι n/d όπου d = ΜΚΔ(a, n), ως εξής: Παρατηρήσαμε ότι αυτό απλώς λέει «-τάξη του a = -τάξη του A» που ισχύει από την παραπάνω «αντιστοιχία μεταξύ κεφαλαίων και μικρών». * Αποδείξαμε ότι τα γ και γ 1 έχουν ίδια τάξη. Αποδείξαμε ότι το πλήθος των στοιχείων του (γ) που έχουν ίδια τάξη με το γ είναι ϕ(n). Ενότητα 24. Πρωταρχικές Ρίζες: Συνεχίζουμε με γ U N και n = o γ. Αποδείξαμε ότι n ϕ(n). Είπαμε τι εννοούμε όταν λέμε «το γ είναι γεννήτορας του U N» (ισοδύναμη ορολογία, που αυτή θα χρησιμοποιούμε εμείς: «το γ είναι Πρωταρχική Ρίζα (ΠΡ) mod N»). (Εννοούμε: (γ) = U N ). Παρατηρήσαμε ότι αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν n = ϕ(n). Διατυπώσαμε το Θεώρημα Υπαρξης Πρωταρχικών Ριζών (ΘΥΠΡ) του Gauss. Παράδειγμα: Απόδειξη του ΘΥΠΡ για 2 N 8. Διάλεξη 21 Δώσαμε μια περίληψη της απόδειξης του ΘΥΠΡ που παρέλειψε μεν πολλές λεπτομέρειες, αλλά μας είπε με ποιο τρόπο οι περιπτώσεις N = p 3, p 4,... ανάγονται στην περίπτωση N = p 2, και πως αυτή με τη σειρά της ανάγεται στην N = p. Επίσης είδαμε έναν απλό κανόνα για το πως να βρούμε ΠΡ mod 2p s, δεδομένης ΠΡ mod p s. Διάλεξη 22 Ολοκλήρωση της παραπάνω περίληψης: Στοιχεία τάξης δύο, πως αυτά σχετίζονται με τις τετραγωνικές ρίζες του 1 mod N, και με την ύπαρξη ΠΡ mod N. Ειδικότερα, γιατί, αν το γ είναι ΠΡ mod N, τότε το N 1 = 1 ισούται με γ ϕ(n)/2. Παραδείγματα. Ενότητα 25. Εφαρμογές: Συνεχίζουμε με γ U N και n = o γ. Τώρα όμως υποθέτουμε και ότι το γ είναι ΠΡ mod N, άρα n = ϕ(n). Θεωρούμε την αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης g(x) = γ x, που τώρα θα την συμβολίζουμε και «επίσημα» με log, και είναι συνάρτηση της μορφής log : U N Z n. Αυτή η συνάρτηση λέγεται διακριτός λογάριθμος (για το U N ). Θα δούμε εφαρμογές στην επίλυση εξισώσεων. Διάλεξη 23 Παραδείγματα εφαρμογών του διακριτού λογαρίθμου: Εξισώσεις της μορφής x a mod N = b. Εξισώσεις της μορφής δ x mod N = ζ. Μέρος Ε: Τετραγωνικές Ρίζες στους Ακεραίους mod n Διάλεξη 24 Ενότητα 26. Εισαγωγή: Σύντομα σχόλια στην ιστορία του Νόμου της Τετραγωνικής Αντιστροφής. Συμφωνήσαμε ότι, από τώρα και πέρα, p q είναι περιττοί πρώτοι. Το Σύμβολο του Legendre (ΣL). ( Παράδειγμα υπολογισμού «με ωμή βία» όλων των ΣL Ενότητα 27. Το Κριτήριο του Euler (ΚΕ): ( ) a Το ΚΕ: p mod p = (a p 1 2 ) mod p. ( ) Υπολογισμός του αν a = 1. a p a p ) με p = 7.

Διάλεξη 25 Παραδείγματα πάνω στο ΚΕ. Ενότητα 28. Ο Νόμος της Τετραγωνικής Αντιστροφής (ΝΤΑ): Ο ΝΤΑ: Διατύπωση και παραδείγματα. Το Συμπλήρωμα του ΝΤΑ. Η πολλαπλασιαστικότητα του ΣL. Παραδείγματα υπολογισμών του ΣL. Διάλεξη 26