ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα οποία επιτυγχάνεται: Η παροχή καλής δηµόσιας υγείας Η παροχή επαρκών τροφίµων Η παροχή µέσων επικοινωνίας και συγκοινωνίας Η επάρκεια ηλεκτρικής, θερµαντικής και οιασδήποτε άλλης µορφής ενέργειας χρήσιµης στον άνθρωπο Κύριες πηγές πόρων που διατίθενται στον άνθρωπο: Έδαφος Αέρας Νερό III1

Η ανάγκη για βέλτιστη διευθέτηση των πόρων: - Είναι φανερή η ανάγκη της τεχνικά καλύτερης και οικονοµικότερης, της βέλτιστης δηλαδή διευθέτησης αυτών των πόρων στο χώρο και στο χρόνο Για την βέλτιστη διευθέτηση των υδατικών πόρων χρησιµοποιείται: Η θεωρία ανάλυσης συστήµατος Οι µέθοδοι βελτιστοποίησης που βασίζονται σ αυτή III2

Ορίζεται το συγκεκριµένο πρόβληµα για τη διευθέτηση των υδατικών πόρων Καθορίζεται το υδατικό σύστηµα (τεχνικό έργο αξιοποίησης) και συλλέγονται οι σχετικές µε αυτό πληροφορίες (υδρολογικές, τεχνικές κ.λ.π.). Ορίζονται οι ειδικοί αντικειµενικοί σκοποί της διευθέτησης π.χ. βελτιστοποίηση διανοµής αρδευτικού νερού παράλληλα µε παραγωγή υδροηλεκτρικής ενέργειας, καιοιπεριορισµοί που υπάρχουν π.χ. περιορισµένη ποσότητα διαθέσιµου νερού. Καθορίζονται ποσοτικά µέτρα για την αξιολόγηση του πόσο καλά µία εναλλακτική τεχνική λύση στο πρόβληµα ικανοποιεί τους αντικειµενικούς σκοπούς. Σχηµατοποιούνται αρκετές τεχνικά εφικτές εναλλακτικές λύσεις στο πρόβληµα που ικανοποιούν όχι µόνο τις τεχνικές αλλά και τις κοινωνικές, πολιτικές, οικονοµικές και ηθικές περιοριστικές διατάξεις που υπάρχουν στο υδατικό σύστηµα και στο περιβάλλον του. Γίνεται η αξιολόγηση και επιλογή της βέλτιστης από τις προτεινόµενες εναλλακτικές λύσεις, αυτής, που ικανοποιεί δηλαδή περισσότερο από τις άλλες τον αντικειµενικό σκοπό και είναι σύµφωνη µε τις περιοριστικές διατάξεις. Γίνεται έλεγχος επαλήθευση για το αν η βέλτιστη λύση πράγµατι ικανοποιεί το σκοπό µε βάση και νέες πιθανόν πληροφορίες. III3 Ανάλυση συστηµάτων Η ανάλυση συστήµατος είναι µια ορθολογική προσέγγιση των αποφάσεων για τη διευθέτηση των πόρων, βασισµένη στη συστηµατική οργάνωση και ανάλυση των σχετικών µε τοπρόβληµα αλλά και το σύστηµα πληροφοριών. Τα βήµατα που ακολουθεί η διαδικασία ανάλυσης είναι τα εξής:

Οµοιώµατα ανάλυσης συστήµατος Το γενικό οµοίωµα ανάλυσης συστήµατος Ειδικά οµοιώµατα ανάλυσης συστήµατος III4

Το γενικό οµοίωµα ανάλυσηςσυστήµατος Για την αναπαράσταση του συστήµατος και της λειτουργίας του χρησιµοποιούνται µαθηµατικά οµοιώµατα. Το γενικό οµοίωµα ανάλυσηςσυστήµατος αποτελείται από επιµέρους οµοιώµατα, που αντιστοιχούν σε κάθε ένα από τα βήµατα της διαδικασίας ανάλυσης συστήµατος. Αυτά είναι: Οµοίωµα για τον αντικειµενικό σκοπό. Εκφράζει την κεντρική επιδίωξη στο συγκεκριµένο πρόβληµα διευθέτησης του υδατικού πόρου και ονοµάζεται αντικειµενική συνάρτηση (objective function). Σύνολο οµοιωµάτων που χαρακτηρίζουν την κατάσταση (state) του συστήµατος π.χ. οµοιώµατα των υδρολογικών εισόδων, εξόδων, περιοριστικών διατάξεων κ.λ.π. Οµοίωµα ανάδρασης(feedback) µεταξύ εισόδων και εξόδων του συστήµατος, που εκφράζει τη σχέση αλληλεπίδρασής τους. Οµοίωµα σχηµατοποίησης των τεχνικά εφικτών εναλλακτικών λύσεων. Οµοίωµα για την πρόβλεψη των αντιδράσεων του συστήµατος στις διάφορες τεχνικές λύσεις. Οµοίωµα για τη γρήγορη αξιολόγηση και σύγκριση των αποτελεσµάτων και των συνεπειών της κάθε εναλλακτικής λύσης και επιλογή της βέλτιστης. III5

Ειδικά οµοιώµατα ανάλυσης συστήµατος Οµοίωµα αντικειµενικού σκοπού Οι αντικειµενικοί σκοποί διακρίνονται σε: Γενικούς Ειδικούς Υποκατάστατους - Για να επιτευχθεί ο γενικός σκοπός χρειάζεται να στοχεύουµε σε µια σειρά από ειδικότερους σκοπούς. - Ένα υποκατάστατο του αρχικού γενικού σκοπού είναι ένα σύνολο από ειδικότερους στόχους που µπορούν να αποτελέσουν αντικειµενικό σκοπό σε µια βελτιστοποίηση. III6

Οµοίωµα κατάστασης συστήµατος Τα οµοιώµατα για την κατάσταση του συστήµατος αναφέρονται στις (µεταβλητές κατάστασης): Εισόδους - Ελεγχόµενες είσοδοι (µεταβλητές απόφασης) - Μη ελεγχόµενες είσοδοι Εξόδους - Επιθυµητές έξοδοι - Μη επιθυµητές έξοδοι Περιοριστικές διατάξεις Εξισώσεις της κατάστασης του συστήµατος (State equations): - Κάθε σύστηµα χωρίζεται από το περιβάλλον του µε ταόριατου, που πρέπει κάθε φορά να καθορίζονται, όπως επίσης και η δυναµική σχέση συστήµατος και περιβάλλοντος. Αυτό γίνεται µε τις εξισώσεις της κατάστασης του συστήµατος όπου παίρνουν µέρος οι µεταβλητές της κατάστασής του. - Επίσης µπαίνουν και διάφορες περιοριστικές διατάξεις (σε µορφή ανισοεξισώσεων), οικονοµικές, πολιτικές, φυσικές, ηθικές κ.λ.π. Άλλες απ αυτές ποσοτικοποιούνται και άλλες όχι. III7

Οµοίωµα για την αξιολόγηση των εναλλακτικών λύσεων Ογραµµικός προγραµµατισµός Οδυναµικός προγραµµατισµός Ο διαφορικός λογισµός κ.α. III8

Ογραµµικός προγραµµατισµός - Απαιτεί γραµµικές µορφές εξισώσεων και κυρτό χώρο πολιτικής. Χώρος πολιτικής είναι ο χώρος µεταξύ των περιοριστικών διατάξεων. Στο σχήµα που ακολουθεί δίνεται ο χώρος πολιτικής για ένα γραµµικό πρόβληµα βελτιστοποίησης. Αντικειµενική συνάρτηση a x 1 + a 2 x 2 1 = z x + x 2 1 α Χώρος πολιτικής Αντικ. συνάρτηση β x 1 + β 2 x 2 1 x, x 2 1 0 γ Περιοριστικές διατάξεις III9

Ο υναµικός προγραµµατισµός - Είναι απαλλαγµένος από όλα αυτά και λύνει δυναµικά προβλήµατα δενδριτικού τύπου (λήψη απόφασης κατά στάδια) Παράδειγµα: 1 2 3 4 Αγροτικές περιοχές + 1 + 2 Βρίσκεται ο βέλτιστος συνδυασµός των δύο Απόφαση Α Α Β + 3 Βρίσκεται ο βέλτιστος συνδυασµός των δύο Απόφαση Β + 4 Βρίσκεται ο βέλτιστος συνδυασµός των δύο Απόφαση - Η απόφαση C είναι η βέλτιστη III10

Βελτιστοποίηση - Οι µέθοδοι βελτιστοποίησης είναι ποσοτικές µέθοδοι που µε τη χρήση κάποιων αλγορίθµων κάνουν αξιολόγηση εναλλακτικών λύσεων και αποσκοπούν στην εύρεση µιας βέλτιστης ή σειράς βέλτιστων λύσεων - Το οµοίωµα βελτιστοποίησης συνδυάζει ένα ποσοτικό οµοίωµα συµπεριφοράς του συστήµατος (οµοίωµα προσοµοίωσης) µαζί µε ένα οµοίωµα της αντικειµενικής συνάρτησης του συστήµατος. - Οι συνιστώσες του οµοιώµατος συµπεριφοράς του συστήµατος λέγονται περιοριστικές διατάξεις και µαζί µε την αντικειµενική συνάρτηση του συστήµατος συνιστούν την µαθηµατικήέκφρασητουόλουπροβλήµατος. III11

III12 Έννοια βελτιστοποίησης: Σχεδόν κάθε πρόβληµα διαχείρισης υδατικών πόρων µπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε τηχρήσηµιαςσειράςεξίσωσηςκαιανισώσεων. Η επίλυσητων εξισώσεων και ανισώσεων αυτών αποσκοπεί στην εύρεση ενός βέλτιστου ή µιας σειράς βέλτιστων πολιτικών διαχείρισης. Η όλη διαδικασία καλείται βελτιστοποίηση. Έστω µια συνάρτηση F, που περιγράφει το κόστος ή το όφελος της διαχείρισης, η οποία εξαρτάται από n παραµέτρους. Η συνάρτηση αυτή θα πρέπει να µεγιστοποιηθεί, αν αναφέρεται στο όφελος ή να ελαχιστοποιηθεί αν αναφέρεται στο κόστος: Max F(x 1, x 2,, x n ) Η συνάρτηση F καλείται αντικειµενική συνάρτηση και οι µεταβλητές x 1, x 2,, x n µεταβλητές απόφασης. Οι µεταβλητές απόφασης σχεδόν ποτέ δεν µπορούν να λαµβάνουν οποιεσδήποτε τιµές. Συνήθως είναι φραγµένες συναρτήσεις λόγω περιορισµών στους διαθέσιµους πόρους. Οι περιορισµοί αυτοί είναι ανισότητες της µορφής: G i (x 1, x 2,, x n ) 0 Όπου το i κείται µεταξύ 1 και m. Οι περιορισµοί στη γενικότερή τους µορφή είναι ανισότητες αλλά µπορείναείναικαιισότητες. εν περιλαµβάνουν κατ ανάγκη όλες τις µεταβλητές απόφασης.

ΆΣΚΗΣΗ I ύο είδη καλλιεργειών Α και Β καλλιεργούνται σε µια αρδευόµενη έκταση κάθε χρόνο. Κάθε µονάδα της καλλιέργειας Λ πουλιέται P A απαιτεί W A µονάδες νερού, L A µονάδες γης, F A µονάδες λιπασµάτων και Η Α µονάδες εργασίας. Παρόµοια για το είδος της καλλιέργειας Β πουλιέται P H απαιτεί W B µονάδες νερού, L B µονάδες γης, F B µονάδες λιπασµάτων και H B µονάδες εργασίας. Εάν οι διαθέσιµες ποσότητες νερού, γης, λιπασµάτων και εργασίας είναι γνωστές και ίσες µε W, L, F, και Η αντίστοιχα τότε: Α) Να καταρτιστεί η δοµή ενόςµοντέλου γραµµικού προγραµµατισµού για την εκτίµηση των ποσοτήτων των δύο ειδών έτσι ώστε να επιτευχθεί η µεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους. Β) Να λυθεί το πρόβληµα γραφικάχρησιµοποιώντας τα δεδοµένα του πίνακα Απαιτήσεις ανά µονάδα Πόροι Καλλιέργεια Α Καλλιέργεια Β Μέγιστοι διαθέσιµοι πόροι Νερό 2 3 60 Γη 5 2 80 Λιπάσµατα 3 2 60 Εργασία 1 2 40 Τιµή µονάδας 30 25 Γ) Να λυθεί το πρόβληµα µε χρήση υπολογιστικού πακέτου και να συζητηθεί η σηµασία όλων των µεταβλητών εξόδου. ) Με την παραδοχή ότι µπορούσε να αγοραστεί επιπλέον ποσότητα νερού, γης, λιπασµάτων και εργασίας µε κεφάλαιο που θα προέκυπτε από δανεισµό µε ετήσιο επιτόκιο r, πώς η ευκαιρία θα τροποποιούσε το µοντέλο του γραµµικού προγραµµατισµού. Ε) Με την παραδοχή ότι η τιµή µονάδας P j της καλλιέργειας j ήταν µια γραµµική φθίνουσα συνάρτηση (P jo -b j X j ) της παραγόµενης ποσότητας, πώς το µοντέλο του γραµµικού προγραµµατισµού µετατρέπεται για τον προσδιορισµό όχιµόνο της ποσότητας κάθε καλλιέργειας αλλά και τη µονάδα πώλησης κάθε καλλιέργειας για τη µεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους. III13

Ανάλυση Κόστους - Οφέλους - Για την οικονοµοτεχνική µελέτη ενός έργου, είναι απαραίτητη η χρονική κατανοµή οφέλους - κόστους. Η πλέον συνήθης περίπτωση συνίσταται από µια µεγάλη αρχική επένδυση και διαδοχικές αποσβέσεις (κέρδη ή ωφέλειες). Κάτι τέτοιο περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: III14

- Καθαρό κέρδος / κόστος του έργου Για να συγκριθούν τα οφέλη και τα κόστη, θα πρέπει να αναχθούν σε µια ποσότητα που µπορεί εύκολα να περιγράψει το καθαρό κέρδος (ή κόστος) του έργου. Αυτό µπορεί να γίνει µε δυο τρόπους: Παρούσα αξία: Τα χρονικά εξαρτώµενα κόστη και κέρδη µετατρέπονται στις αντίστοιχες παρούσες αξίες τους. Συνήθως υιοθετείται σταθερό επιτόκιο για τη µετατροπή αυτή. Τοκοχρεολύσιο: Τα αρχικά κόστη και κέρδη µοιράζονται εξίσου σε προκαθορισµένα χρονικά βήµατα (πχ. ετήσιο βήµα) µε τηχρήση(συνήθως) σταθερού επιτοκίου. III15

Η µέθοδος της Παρούσας αξίας Η µέθοδος της παρούσας αξίας στηρίζεται στην αρχή ότι ένα αρχικό ποσό P το οποίο επενδύεται για n χρόνια µε ένα σταθερό ετήσιο επιτόκιο r θα έχει µετά την πάροδο των n ετών, αξία: C n = 1 + n ( r ) P και ανάλογα, ένα κέρδος το οποίο λαµβάνεται στο µέλλον, θα έχει αξία µε τρέχουσες τιµές ίση προς: 1 B n = P n 1 + r ( ) Εάν τα κέρδη συσσωρεύονται ανά τακτά χρονικά διαστήµατα (π.χ. Έτη), τότε η αξία τους Σε τρέχουσες τιµές θα δίδεται από τη σχέση: B PN = n ( 1 + r) i= 1 i B i Οµοίως, η τρέχουσααξίαµιας σειράς δαπανών δίδεται από τη σχέση: C PN = n ( 1 + r ) i = 1 i C i III16

Το τοκοχρεολύσιο Με το τοκοχρεολύσιο, µια αρχική δαπάνη C PN εξοφλείται σε n ίσες δόσεις C. Από την τελευταία σχέση, αν τεθεί C i =C=σταθερό, έχουµε: C PN = C n ( 1 + r ) i= 1 i III17

III18 ΑΣΚΗΣΗ II Ένας µηχανικός καλείται να επιλέξει µεταξύ δυο εναλλακτικών λύσεων για την ύδρευση µικρού οικισµού. Η πρώτη λύση περιλαµβάνει µια δεξαµενή, ολικού κόστους κατασκευής 100000 και µια αντλία, η οποία κάθε δυο χρόνια, απαιτεί συντήρηση αξίας 20000. Η δεύτερη λύση είναι ένας υδατόπυργος µε κόστος κατασκευής 200000. Κατά τη διάρκεια λειτουργίας του κάθε έργου το ετήσιο κέρδος και για την πρώτη λύση είναι 25000, ενώ για τη δεύτερη λύση 35000. Υποθέτοντας ότι το ετήσιο επιτόκιο είναι σταθερό και ίσο µε 10% και η διάρκεια ζωής και των δυο λύσεων είναι 10 έτη, να υπολογιστούν τα παρακάτω: 1. Ποια η παρούσα αξία κάθε έργου; (τη χρονική στιγµή t=10cm) 2. Αν το επιτόκιο ήταν 5% τι θα άλλαζε στην προτεινόµενη λύση; 3. Αν η διάρκεια ζωής των έργων αντί για 10 έτη ήταν 20 έτη, θα άλλαζε η προτεινόµενη λύση;