4 Ομάδες Σημείου. - Ευχέρεια στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής.

4 Ομάδες Σημείου Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου. - Να διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου. - Να διακρίνετε τις βασικές ομάδες σημείου κάθε κατηγορίας. - Να βρίσκετε την ομάδα σημείου ενός μορίου. Προαπαιτούμενες γνώσεις - Κατανόηση και ευχέρεια στον εντοπισμό των στοιχείων συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής. - Ευχέρεια στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής. - Ευχέρεια στην εύρεση των διεργασιών, οι οποίες προκύπτουν από τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των παραπάνω διεργασιών. 4.1. Εύρεση του Συνόλου των Διεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο η περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου στα πλαίσια της μοριακής συμμετρίας συνίσταται στην εύρεση και καταγραφή του συνόλου των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας τα οποία απαντώνται στο μόριο. Το σύνολο αυτό πρέπει να είναι πλήρες, δηλαδή να περιέχει όλες τις απλές διεργασίες συμμετρίας καθώς και αυτές οι οποίες προκύπτουν από τους συνδυασμούς τους ή τις δυνάμεις τους. Η διαδικασία εύρεσης των στοιχείων και των διεργασιών συμμετρίας συνίσταται κατ' αρχή στην κατανόηση της γεωμετρίας του μορίου και στον εντοπισμό ενός όσο το δυνατό μεγαλύτερου αριθμού στοιχείων συμμετρίας. Στη συνέχεια, με βάση τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των διεργασιών τα οποία έχουν εντοπισθεί, προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας και τα αντίστοιχα στοιχεία συμμετρίας. Σχήμα 4.1α Στοιχεία συμμετρίας C, C και σ h στο μόριο PF. Στο Σχήμα 4.1α δίνονται τρία προφανή στοιχεία συμμετρίας του τριγωνικού διπυραμιδικού μορίου PF. Τα στοιχεία αυτά είναι ο άξονας C, ο οποίος ταυτίζεται με την ομάδα F(α)-P-F(β), ο άξονας C, ο 8

οποίος ταυτίζεται με την ομάδα P-F(γ), και το επίπεδο σ h, το οποιο ταυτίζεται με το ισημερινό επίπεδο του μορίου PF(γ)F(δ)F(ε). Oι αντίστοιχες διεργασίες είναι οι C, C και σ h. Με βάση αυτές μόνο τις διεργασίες θα δούμε στη συνέχεια ότι προκύπτει το πλήρες σύνολο των στοιχείων και των διεργασιών συμμετρίας του μορίου. Από τις δυνάμεις της διεργασίας C προκύπτουν οι νέες διεργασίες C και Ε = C. Από το συνδυασμό σ h C προκύπτει η διεργασία S = σ h C, ενώ από τις δυνάμεις της διεργασίας S προκύπτει η νέα διεργασία S. Έτσι προκύπτει ένα σύνολο διεργασιών συμμετρίας [Ε, C, C, C, σ h, S, S ]. Oι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας του μορίου, εάν υπάρχουν, μπορούν να προκύψουν από τους συνδυασμούς των παραπάνω διεργασιών. Παρατηρώντας τους παρακάτω συνδυασμούς των γνωστών μέχρι τώρα διεργασιών προκύπτει ότι κάποιοι συνδυασμοί ισοδυναμούν με μια ήδη γνωστή διεργασία. Κάποιοι άλλοι συνδυασμοί όμως, οι οποίοι επισημαίνονται με το σύμβολο "_", δεν ισοδυναμούν με καμιά από τις ήδη γνωστές διεργασίες και συνεπώς θα ισοδυναμούν με νέες άγνωστες διεργασίες. ΕC = C ΕC = C ΕC = C Εσ h = σ h ΕS = S ΕS = S CΕ = C C Ε = C C C = Ε C C = Ε C C = _ C C =_ C σ h = S C σ h = S C S = S C S = σ h C S = σh C S = S CΕ = C C C = _ C C = _ C σ h = _ C S = _ C S = _ σhε = σ h σ h C = S σ h C = S σ h C = _ σ h S = C σ h S = C SΕ = S S C = S S C = σ h S C = _ S σ h = C S S = Ε S Ε = S S C = σ h S C = S S C = _ S σ h = C S S = Ε Πράγματι, οι συνδυασμοί αυτοί ισοδυναμούν με τις νέες διεργασίας συμμετρίας C ', C, σ v, σ v ' και σ v, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα 4.1β και προκύπτουν από τους παρακάτω συνδυασμούς. C C = C ' C C = C " σ h C = σ v C S = σ v ' S C = σ v " C C = C ' C C = C " C σ h = σ v S C = σ v ' C S = σ v " Έτσι, στα αρχικά ευρεθέντα στοιχεία συμμετρίας του μορίου προστίθενται οι δύο άξονες C ' και C ", οι οποίοι συμπίπτουν με τους άξονες P-F(δ) και P-F(ε) αντιστοίχως, και τα επίπεδα κατοπτρισμού σ v, σ v ' και σ v ", τα οποία περιέχουν τους άξονες C, C ' και C " και συμπίπτουν με τα επίπεδα PF(α)F(β)F(γ), PF(α)F(β)F(δ) και PF(α)F(β)F(ε) αντιστοίχως. Οι άξονες C και S αποτελούν την τομή των επιπέδων σ v, σ v ' και σ v " και οι άξονες C, C ' και C " την τομή του επιπέδου σ h με καθένα από τα επίπεδα σ v, σ v ' και σ v " αντιστοίχως. Τελικά, το πλήρες σύνολο διεργασιών συμμετρίας του μορίου PF διαμορφώνεται ως: [Ε, C, C, C, C ', C ", σ h, S, S, σ v, σ v ', σ v "]. Σχήμα 4.1β Τα στοιχεία συμμετρίας του μορίου PF. Από τη μελέτη των συνδυασμών των διεργασιών συμμετρίας προκύπτουν οι παρακάτω γενικοί κανόνες με βάση τους οποίους μετά τον εντοπισμό ορισμένων στοιχείων συμμετρίας μπορεί να προβλεφθεί η ύπαρξη νέων. 9

1. Ο συνδυασμός δύο διεργασιών περιστροφής ισοδυναμεί πάντα με διεργασία περιστροφής.. Ο συνδυασμός των διεργασιών κατοπτρισμού σε δύο επίπεδα σ και σ', τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ ισοδυναμεί με διεργασία περιστροφής κατά φ, C n (όπου n = π/φ) περί άξονα ο οποίος ταυτίζεται με την τομή των δύο επιπέδων. Αυτό σημαίνει ότι η ύπαρξη των επιπέδων κατοπτρισμού σ και σ' προϋποθέτει την ύπαρξη του άξονα Cn.. Η ύπαρξη άξονα Cn και επιπέδου συμμετρίας σ το οποίο τον περιέχει προϋποθέτει την ύπαρξη n τέτοιων επιπέδων, τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ = π/n και η τομή τους συμπίπτει με τον άξονα. 4. Ο συνδυασμός δύο διεργασιών περιστροφής C και C ', περί δύο άξονες οι οποίοι σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ ισοδυναμεί με διεργασία περιστροφής περί άξονα, C n κατά φ (όπου n = π/φ). Ο άξονας C n είναι κάθετος στο επίπεδο, το οποίο ορίζουν οι δύο άξονες. Με βάση αυτόν τον κανόνα αποδεικνύεται εύκολα ότι η ύπαρξη άξονα C κάθετου σε άξονα C n προϋποθέτει την ύπαρξη συνολικά n αξόνων C.. Η ύπαρξη άξονα περιστροφής Cn και ενός επιπέδου κατοπτρισμού σ κάθετου σε αυτόν προϋποθέτει την ύπαρξη άξονα στροφοκατοπτρισμού S n. 6. Η ύπαρξη διεργασίας περιστροφής Cn n με άρτια τάξη και ενός κατοπτρισμού σ σε επίπεδο κάθετο στον άξονα προϋποθέτει την ύπαρξη κέντρου συμμετρίας i, αφού C n n σ = σc n n = σc = S = i. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η εφαρμογή των κανόνων αυτών στο παραπάνω παράδειγμα του μορίου PF και μάλιστα στην περίπτωση όπου έχουν εντοπιστεί μόνο τα στοιχεία συμμετρίας [C, C, σ h ]. Κατ' αρχήν η ύπαρξη των C και σ h οδηγεί στον εντοπισμό του S (κανόνας ). Η ύπαρξη των C και C προϋποθέτει την ύπαρξη τριών αξόνων δεύτερης τάξης C, C ' και C ", οι οποίοι σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 10 (κανόνας 4). Έτσι προκύπτει εύκολα το σύνολο [Ε, C, C, C ', C ", σ h, S ]. Στη συνέχεια από τους συνδυασμούς των διεργασιών αυτών προκύπτουν οι διεργασίες κατοπτρισμού, οι οποίες αντιστοιχούν στα στοιχεία συμμετρίας σ v, σ v ', σ v ". Στις επόμενες ενότητες θα δούμε ότι η εύρεση όλων των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου θα απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο. 4.. Ορισμός των Ομάδων Σημείου Το πλήρες σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου περιγράφει επακριβώς τη συμμετρία ενός μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου. Ο όρος «σημείο» χρησιμοποιείται γιατί, όπως είναι προφανές από τα παραπάνω παραδείγματα, όλα τα στοιχεία συμμετρίας ενός μορίου διέρχονται από ένα κοινό σημείο, το οποίο αποτελεί και το κέντρο μάζας του μορίου. Το σημείο αυτό μπορεί να συμπίπτει ή όχι με τη θέση ενός ατόμου του μορίου και παραμένει ανεπηρέαστο κατά την εφαρμογή οποιασδήποτε διεργασίας συμμετρίας στο μόριο. Ο κανόνας αυτός δεν ισχύει στην περίπτωση μη κεντροσυμετρικών μορίων, όπου τα στοιχεία συμμετρίας τους μπορεί να τέμνονται σε μία γραμμή. Ο όρος «ομάδα» χρησιμοποιείται διότι, όπως θα δειχθεί στη συνέχεια, το σύνολο αυτό των διεργασιών αποτελεί μια μαθηματική ομάδα. Η έννοια των όρων «ομάδα» και «σημείο» καθώς και η στενή σχέση της μοριακής συμμετρίας με τη μαθηματική θεωρία των ομάδων θα διευκρινισθεί στο επόμενο κεφάλαιο. Κάθε δυνατή ομάδα σημείου συνίσταται σε μια σειρά από συγκεκριμένες γενεσιουργές και παράγωγες διεργασίες συμμετρίας. Σε κάθε ομάδα σημείου ανήκουν πολλά και διαφορετικά μόρια και έτσι τα μόρια ταξινομούνται με βάση την ομάδα σημείου στην οποίαν ανήκουν. Η ταξινόμηση αυτή έχει εξαιρετική σημασία καθώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια, μας επιτρέπει να μελετήσουμε πολλές από τις ιδιότητές των μορίων τα οποία ανήκουν σε μια ομάδα σημείου με μια ενιαία μεθοδολογία. 4.. Περιγραφή των Ομάδων Σημείου Οι ομάδες σημείου ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες, τις μη περιστροφικές ομάδες, τις περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα, τις διεδρικές και τις κυβικές ομάδες. Σε αυτές προστίθεται η σφαιρική ομάδα, η οποία αποτελεί μια ιδιαίτερη περίπτωση. Σε κάθε κατηγορία εντάσσεται μια σειρά από οικογένειες ομάδων σημείου, οι οποίες έχουν ως μέλη μια σειρά από συγκεκριμένες ομάδες σημείου. Για παράδειγμα στην κατηγορία περιστροφικών ομάδων μοναδικού άξονα εντάσσεται η οικογένεια ομάδων σημείου C nv, η οποία 40

έχει ως μέλη τις ομάδες σημείου C v, C v, C 4v, C v και C 6v. Οι κατηγορίες ομάδων σημείου, οι οικογένειες και τα μέλη τους δίνονται στον Πίνακα 4.α. Ο συμβολισμός των ομάδων σημείου στη μοριακή συμμετρία είναι αυτός του Schoenflies, σύμφωνα με τον οποίον το σύμβολο κάθε ομάδας είναι δηλωτικό των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας τα οποία περιέχει. Στα σύμβολα των ομάδων μοναδικού άξονα και των διεδρικών ομάδων ο δείκτης "n" συμβολίζει την τάξη του κύριου άξονα της ομάδας και λαμβάνει τιμές n =,,...,. Για να μη συγχέονται οι συμβολισμοί των ομάδων σημείου με εκείνους των διεργασιών συμμετρίας, στα σύμβολα των ομάδων σημείου θα χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι χαρακτήρεςτόσο για το σύμβολο όσο και για τους δείκτες (π.χ. C v ), σε αντίθεση με τα σύμβολα των διεργασιών συμμετρίας όπου χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι χαρακτήρες μόνο για το σύμβολο της διεργασίας και κανονικοί χαρακτήρες για τους δείκτες (π.χ. C, σ v ). Υπενθυμίζεται ότι για τα στοιχεία συμμετρίας χρησιμοποιούνται πλάγιοι χαρακτήρες για το στοιχείο, X και κανονικοί χαρακτήρες για τους δείκτες (π.χ. C, σ v ). Πίνακας 4.α Κατηγορίες ομάδων σημείου. Συμβολισμός Διεργασίες συμμετρίας Μέλη Μη περιστροφικές ομάδες Ε C1 C1 Ε, σh Cs Cs Ε, i Ci Ci Περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα n-1 Cn Ε, Cn,..., C n C C C 4 C C 6 C 7 C Cnv Ε, Cn,..., C n-1 n, nσv,d Cv C v C 4v Cv C6v Cnh Ε, Cn,..., C n-1 n, nσh Ch C h C 4h C h C6h n-1 Sn Ε, Sn,..., S n S4 S 6 S8 C v Ε, C, σv C v Διεδρικές ομάδες Dn Ε, Cn,..., C n-1 n, nc (C C n ) D D D 4 D D6 Dnd Ε, Cn,..., C n-1 n, nc, nσ d (C C n ) Dd D d D 4d D d D6d Dnh Ε, Cn,..., C n-1 Dh D n, nc, nσ v,d, σ h (C C n ) h D 4h D h D 6h D8h D h Ε, C, S, C, σ h, σ v, i (C C ) D h Κυβικές ομάδες T Ε, 4C, 4C, C T Td Ε, 8C, C, 6S 4, 6σd Td Th Ε, 4C, 4C, C, i, 4S 6, 4S 6, σh Th O Ε, 8C, C, 6C 4, 6C (C =C 4 ) O Oh Ε, 8C, 6C, 6C 4, C, i, 6S 4, 8S 6, σ h, 6σ d (C =C 4 ) Oh I Ε, 1C, 1C, 0C, 1C I Ε, 1C I, 1C, 0C, 1C, i, 1S 10, 1S 10, 0S 6, h I h 1σ Σφαιρική ομάδα Κ h Ε, C, S, i Κh 8 Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν όλες οι οικογένειες ομάδων σημείου οι οποίες απαντώνται στη μοριακή συμμετρία ανά κατηγορία. Για κάθε οικογένεια δίνονται οι ομάδες σημείου μέλη της και μια σειρά από αντιπροσωπευτικά μόρια τα οποία ανήκουν σε αυτές. Για κάθε ομάδα σημείου μέλος μιας οικογένειας περιγράφονται οι γενεσιουργές και παράγωγες διεργασίες συμμετρίας και παρατίθενται όλες οι διεργασίες συμμετρίας της. 41

4..1. Μη περιστροφικές ομάδες σημείου: C 1, C s, C i Οι μη περιστροφικές ομάδες χαρακτηρίζονται από την απουσία αξόνων περιστροφής. Τα μόρια τα οποία ανήκουν σε αυτές είναι μόρια χαμηλής συμμετρίας. Οι τρεις ομάδες σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. Ομάδα σημείου C 1. Διεργασίες συμμετρίας: Ε Η ομάδα σημείου C 1 δεν έχει κανένα στοιχείο συμμετρίας εκτός της ταυτότητας, Ε. Τα μόρια τα οποία ανήκουν σ' αυτήν καλούνται ασύμμετρα μόρια. Μερικά τέτοια μόρια δίνονται στο Σχήμα 4..1α. Μεταξύ αυτών, κλασικά παραδείγματα αποτελούν οργανικές ενώσεις οι οποίες περιέχουν έναν τετραεδρικό άνθρακα με τέσσερεις διαφορετικούς υποκαταστάτες, όπως το φθοροχλωροβρωμομεθάνιο. Σχήμα 4..1α Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου C 1. Ομάδα σημείου C s. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, σ h Στην ομάδα σημείου C s ανήκουν αμφίπλευρα αντικείμενα και μόρια τα οποία έχουν, εκτός της ταυτότητας, Ε, ένα επίπεδο κατοπτρισμού, σ h και κανένα άλλο στοιχείο συμμετρίας. Το επίπεδο αυτό διχοτομεί τα τρισδιάστατα μόρια, ενώ στα επίπεδα ταυτίζεται με το επίπεδο του μορίου. Μερικά παραδείγματα τέτοιων μορίων δίνονται στο Σχήμα 4..1β. Σχήμα 4..1β Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου C s. Ομάδα σημείου C i. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, i Τα αντικείμενα και τα μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου C i, εκτός από την ταυτότητα, Ε, έχουν κέντρο αναστροφής, i και κανένα άλλο στοιχείο συμμετρίας. Στην ομάδα C i κατατάσσεται πολύ μικρός αριθμός μορίων, διότι τα περισσότερα κεντροσυμμετρικά μόρια έχουν συνήθως περισσότερα από τα δύο παραπάνω στοιχεία συμμετρίας και συνεπώς υψηλότερη συμμετρία. Μερικά παραδείγματα τέτοιων μορίων δίνονται στο Σχήμα 4..1γ. 4

Σχήμα 4..1γ Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου C i. Τέλος, στη Διαδραστική εφαρμογή 4..1α δίνονται μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν σε μη περιστροφικές ομάδες σημείου. 4... Περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα: C n, C nv, C nh, S n, C v Κοινό χαρακτηριστικό αυτής της κατηγορίας ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός μοναδικού άξονα περιστροφής C n ή στροφοκατοπτρισμού S n. Οι οικογένειες των ομάδων σημείου της κατηγορίας αυτής αναλύονται στη συνέχεια. Ομάδες σημείου C n. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C n,..., C n n-1 Οι ομάδες σημείου C n περιέχουν ως γενεσιουργό διεργασία την κατάλληλη περιστροφή, C n (n > 1). Επίσης περιέχουν την ταυτότητα, Ε, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής, οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις της διεργασίας C n m. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου μελών της οικογένειας δίνονται στον Πίνακας 4..α. Πίνακας 4..α Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου C n. Οικογένεια ομάδων Cn Γενεσιουργός διεργασία Παράγωγες διεργασίες Μέλη C C C 4 C C6 C7 C8 C C C4 C C6 C 7 C8 Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε C C (C 4 ) C C (C 6 ) C7 C4 (C 8 ) C 4 C C (C 6 ) C7 C8 4 C C 4 4 (C 6 ) C7 C (C 4 8 ) C 6 C7 C8 6 C 7 C4 (C 6 8 ) C 8 7 Τα μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες C, C, C 4 και C 6 είναι ελάχιστα, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες C 4, C 7 και C 8. Μερικά παραδείγματα δίνονται στο Σχήμα 4..α. 4

Σχήμα 4..α Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου C n. Ομάδες σημείου C nv. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C n,..., C n n-1, nσ v,d Οι ομάδες σημείου C nv περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n > 1), και n διεργασίες κατοπτρισμού σ v ή σ d. Για την ακρίβεια η γενεσιουργός διεργασία κατοπτρισμού είναι μία, ενώ οι υπόλοιπες n-1 προκύπτουν από τον συνδυασμό των διεργασιών C m n σ v. Οι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας των ομάδων αυτών είναι η ταυτότητα, Ε, και όλες οι παράγωγες διεργασίες περιστροφής οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Τα επίπεδα σ v ή σ d σχηματίζουν διαδοχικά μεταξύ τους γωνία π/n και η τομή τους συμπίπτει με τον άξονα C n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου μελών της οικογένειας δίνονται στον Πίνακα 4..β. Πίνακας 4..β Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου C nv. Οικογένεια ομάδων C Γενεσιουργός διεργασία Παράγωγες διεργασίες nv Μέλη Cv Cv C 4v Cv C6v C C C 4 C C 6 σv σv σv σv σv σ d σd Ε Ε Ε Ε Ε C C (C 4 ) C C (C 6 ) C 4 C C (C 6 ) 4 C C (C 4 6 ) C 6 44

Στις ομάδες σημείου C nv με άξονα περιττής τάξης και στην C v όλα τα επίπεδα συμβολίζονται ως σ v, ενώ στις ομάδες με άξονα άρτιας τάξης με n 4 υπάρχουν n/ επίπεδα κατοπτρισμού σ v και n/ επίπεδα σ d. Υπενθυμίζεται ότι τα επίπεδα σ v είναι αυτά τα οποία διέρχονται από περισσότερα άτομα. Μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν στις ομάδες Cv, C v και C 4v δίνονται στο Σχήμα 4..β, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες C v και C 6v. Σχήμα 4..β Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου C nv. Ομάδες σημείου C nh. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C n,..., C n n-1, σ h Οι ομάδες σημείου C nh περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή περί άξονα C n (n > 1)και μια διεργασία κατοπτρισμού σ h ως προς επίπεδο σ h κάθετο σε αυτόν. Επειδή σ h C n = S n περιέχουν και την παράγωγη διεργασία στροφοκατοπτρισμού S n. Επίσης περιέχουν την ταυτότητα, Ε, και όλες τις παράγωγες κατάλληλες και ακατάλληλες διεργασίες, οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις C n m και S n m και από τυχόν συνδυασμούς διεργασιών. Οι ομάδες σημείου με άξονα άρτιας τάξης C h, C 4h και C 6h περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία της αναστροφής, i, αφού σ h C =S =i. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον Πίνακα 4..γ. Πίνακας 4..γ Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου C nh. Οικογένεια ομάδων C Γενεσιουργός διεργασία Παράγωγες διεργασίες nh Μέλη Ch Ch C4h C h C6h C C C4 C C6 σh σh σh σh σh Ε Ε Ε Ε Ε i (S = σ h C ) C C (C 4 ) C C (C 6 ) C S 4 C C (C 6 ) (σ h C ) S S4 (σ h C 4 ) 4 C C (C 4 6 ) i (S = σ h C ) S C6 (σ h C ) S 4 S S6 (σ h C 6 ) 7 S S (σ h C ) 9 S i (S = σ h C ) S S 6 4

Μερικά παραδείγματα μορίων, τα οποία ανήκουν στις ομάδες C h και C h δίνονται στο Σχήμα 4..γ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες C 4h, C h και C 6h. Σχήμα 4..γ Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου C nh Ομάδες σημείου S n. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, S n,..., S n n. Οι ομάδες σημείου S n έχουν ως γενεσιουργό διεργασία την ακατάλληλη περιστροφή άρτιας τάξης, S n (n > ). Επίσης περιέχουν την ταυτότητα, Ε, και όλες τις παράγωγες κατάλληλες και ακατάλληλες διεργασίες, τα οποία προκύπτουν από τις δυνάμεις S n m. H ομάδα σημείου S 6 περιέχει επιπλέον και τη διεργασία της αναστροφής, i επειδή S 6 = S = i. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω (Πίνακα 4..δ). Πίνακας 4..δ Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου S n. Μέλη Οικογένεια ομάδων Sn S4 S 6 S8 Γενεσιουργός διεργασία S4 S6 S8 Παράγωγες διεργασίες Ε Ε Ε C (S 4 ) C (S 6 ) C4 (C 8 ) S 4 i (S = S 6 ) S8 C 4 (S 6 ) C (S 4 8 ) S 6 S8 C 4 (S 6 8 ) 7 S 8 46

Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι υποθετικές ομάδες σημείου S 1, S και S n+1 ισοδυναμούν με τις C s, C i και C (n+1)h αντιστοίχως. Μερικά παραδείγματα μορίων, τα οποία ανήκουν στις ομάδες S 4 και S 6 δίνονται στο Σχήμα 4..δ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα S 8. Σχήμα 4..δ Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου S n. Ομάδες σημείου C v. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C φ, σ v Η ομάδα σημείου C v περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή απειροστής τάξης, C φ και άπειρο αριθμό διεργασιών κατοπτρισμού σ v. Η τομή των επιπέδων σ v συμπίπτει με τον άξονα C φ. Οι παράγωγες διεργασίες είναι οι C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και η ταυτότητα Ε. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω (Πίνακα 4..ε). Πίνακας 4..ε Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου C v. Οικογένεια ομάδων C Γενεσιουργός διεργασία Παράγωγες διεργασίες v Μέλη C v C φ, σv C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... Στην ομάδα C v ανήκουν τα μη κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, μερικά παραδείγματα εκ των οποίων δίνονται στο Σχήμα 4..ε. Ο άξονας C φ συμπίπτει με την ευθεία στην οποία κείται το μόριο και αποτελεί την τομή των επιπέδων σ v. Σχήμα 4..ε Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου C v. Τέλος, στη Διαδραστική εφαρμογή 4..α δίνονται μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν σε περιστροφικές ομάδες σημείου μοναδικού άξονα. 4... Διεδρικές ομάδες: D n, D nd, D nh, D h Κοινό χαρακτηριστικό των διεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός κύριου άξονα περιστροφής C n και n αξόνων C κάθετων στον κύριο άξονα. Οι οικογένειες των ομάδων σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. 47

Ομάδες σημείου D n. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C n,..., C n n-1, nc Οι ομάδες σημείου D n περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n > 1) και n διεργασίες περιστροφής C περί άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n. Επίσης περιέχουν την ταυτότητα, Ε, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής, οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις C n m. Οι κάθετοι στον κύριο άξονα C n άξονες C σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω (Πίνακα 4..α). Πίνακας 4..α Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου D n. Μέλη Οικογένεια ομάδων Dn D D D 4 D D6 Γενεσιουργός διεργασία C C C4 C C6 C C C, C C C, C Παράγωγες διεργασίες Ε Ε Ε Ε Ε C C (C 4 ) C C (C 6 ) C 4 C C (C 6 ) 4 C C (C 4 6 ) C 6 Στις ομάδες σημείου D n με άρτιο n (n > ) οι n/ άξονες C συμβολίζονται ως C και οι υπόλοιποι n/, οι οποίοι διχοτομούν τις γωνίες των C, ως C. Οι άξονες C είναι αυτοί οι οποίοι διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Έτσι, ο άξονας C, ο οποίος ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z, θεωρείται ως ο κύριος άξονας και συμβολίζεται ως C (z), ενώ οι άλλοι δύο ως C (x) και C (y). Μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν στις ομάδες D και D δίνονται στο Σχήμα 4..α, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες D 4, D και D 6. Σχήμα 4..α Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου D και D. Ομάδες σημείου D nd. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C n,..., C n n-1, nc, nσ d Οι ομάδες σημείου D nd περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n > 1), n διεργασίες περιστροφής C περί n άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n και n κατοπτρισμούς σ d ως προς n επίπεδα σ d. Επίσης οι ομάδες σημείου D nd περιέχουν την ταυτότητα, Ε, τον στροφοκατοπτρισμό S n, ο οποίος προκύπτει από συνδυασμούς C σ d και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις C n m και S n m. 48

Οι ομάδες σημείου D nd με περιττό n περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία αναστροφής, i, αφού S n n = S = i. Οι κάθετοι στον κύριο άξονα Cn άξονες C σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Τα επίπεδα σ d σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n, περιέχουν τους άξονες C και η τομή τους συμπίπτει με τον κύριο άξονα. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακα 4..β). Πίνακας 4..β Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου D nd. Μέλη Οικογένεια ομάδων Dnd Dd D d D 4d D d D6d Γενεσιουργός διεργασία C C C4 C C6 C ' C 4C' C 6C' σd σd 4σd σd 6σd Παράγωγες διεργασίες Ε Ε Ε Ε Ε S4 C C (C 4 ) C C (C 6 ) (C σ d ) S6 (C σ d ) C4 C C (C 6 ) 4 S 4 i (S = S 6 ) S8 (C σ d ) C C (C 4 6 ) S 6 S8 S10(C σ d ) C6 S 8 S10 S1(C σ d ) 7 S 8 i (S = S 10 ) S4 (S 1 ) 7 S 10 S1 9 S 10 S1 S 4 (S 9 1 ) 11 S 1 Στις περιπτώσεις των ομάδων D nd με άρτιο n (n > ) προκύπτει και ένας επιπλέον άξονας C. Ο άξονας αυτός αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας της παράγωγης διεργασίας περιστροφής C = C n/ n, συμπίπτει με τον κύριο άξονα C n και συμβολίζεται απλά ως C. Οι υπόλοιποι άξονες δεύτερης τάξης συμβολίζονται ως C '. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D d οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Ωστόσο, ο άξονας ο οποίος ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z συμβολίζεται ως C και οι άλλοι δύο ως C '. Μερικά παραδείγματα μορίων, τα οποία ανήκουν στις ομάδες Dd, D d, D 4d και D d δίνονται στο Σχήμα 4..β, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα D 6d. Σχήμα 4..β Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου D nd. 49

Ομάδες σημείου D nh. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C n,..., C n n-1, nc, nσ v,d, σ h (C C n ) Οι ομάδες σημείου D nh περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n > 1), τις n διεργασίες περιστροφής C περί n άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n, τους n κατοπτρισμούς σ v,d ως προς n επίπεδα σ v,d και τον κατοπτρισμό σ h ως προς επίπεδο σ h. Επίσης οι ομάδες σημείου D nh περιέχουν την ταυτότητα Ε, τον στροφοκατοπτρισμό S n, ο οποίος προκύπτει από το συνδυασμό σ h C n, και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n. Οι ομάδες με άρτιο n περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία αναστροφής, i, αφού S n/ n = σ h C n/ n = σ h C = S = i. Οι άξονες C οι οποίοι είναι κάθετοι στον κύριο άξονα C n σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Τα επίπεδα σ v,d σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n, περιέχουν τους άξονες C και η τομή τους συμπίπτει με τον κύριο άξονα. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω (Πίνακα 4..γ). Πίνακας 4..γ Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου D nh. Οικογένεια ομάδων D Γενεσιουργός διεργασία nh Μέλη Dh Dh D4h Dh C (z) C C4 C C(x), C (y) C C', C C σ(xz), σ(yz), σ σ(xy) σ v σ h σ v σ d σ v h σ h D6h C6 C', C σ σ v d σ h D8h C8 4C', C 4σ 4σ v d σ h Παράγωγες διεργασίες Ε Ε Ε Ε Ε Ε i C C (C 4 ) C C (C 6 ) C4 (C 8 ) S (C σ h ) C4 C C (C 6 ) C8 4 S S4 (C 4 σ h ) C C C (C 4 8 ) S 4 S (C σ h ) (C6 4 ) C8 i (S =σ h C ) S C6 C4 (C 6 8 ) 7 S 10 S (C σ h ) C8 7 9 S 10 S S4 (C 4 σ h ) S 6 (C 6 σ h ) S4 S 6 S8 (C 8 σ h ) i (S = σ h C ) S8 S 8 7 S 8 i (S = σ h C ) Στις ομάδες D nh με άξονα περιττής τάξης όλα τα κατακόρυφα επίπεδα συμβολίζονται ως σ v, ενώ στις ομάδες με άξονα άρτιας τάξης (n > ) υπάρχουν n/ επίπεδα κατοπτρισμού σ v και n/ επίπεδα σ d. Τα επίπεδα σ v είναι αυτά τα οποία διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Στις περιπτώσεις των ομάδων Dnh με άρτιο n (n>) προκύπτει και ένας επιπλέον άξονας C. Ο άξονας αυτός αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας της παράγωγης διεργασίας περιστροφής C = C n/ n, συμπίπτει με τον κύριο άξονα C n και συμβολίζεται απλά ως C. Από τους n, κάθετους στον κύριο άξονα C n, άξονες C οι n/ άξονες C, οι οποίοι διέρχονται από τα περισσότερα άτομα συμβολίζονται ως C ', και οι υπόλοιποι n/ ως C. Τα n/ επίπεδα σ v περιέχουν τον C n και έναν C ', ενώ τα n/ επίπεδα σ d περιέχουν τον C n και έναν C. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου Dh οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Έτσι, ο (.Ο) άξονας ο οποίος ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z συμβολίζεται ως C (z) και οι άλλοι δύο ως C (x) και C (y). Τα δύο κατακόρυφα επίπεδα σ v συμβολίζονται ως σ(xz) και σ(yz) και το οριζόντιο επίπεδο σ h ως σ(xy). 0

Μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν στις ομάδες D h, D h, D 4h, D h και D 6h δίνονται στο Σχήμα 4..γ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα D 8h. Σχήμα 4..γ Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου D nh. Ομάδα σημείου D h. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C φ, C, σ v, σ h Η ομάδα σημείου D h περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή απειροστής τάξης, C φ, τις διεργασίες περιστροφής C περί άπειρους άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C φ, τους κατοπτρισμούς σ v ως προς άπειρα επίπεδα σ v και τον κατοπτρισμό σ h ως προς επίπεδο σ h. Επίσης περιέχει την ταυτότητα Ε, το στροφοκατοπτρισμό απειροστής τάξης S φ, ο οποίος προκύπτει από το συνδυασμό σ h C φ, όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής, οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις των αξόνων, δηλαδή C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... και κέντρο συμμετρίας i. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω (Πίνακα 4..δ). Πίνακας 4..δ Διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου D h. Οικογένεια ομάδων D Γενεσιουργός διεργασία Παράγωγες διεργασίες h Μέλη D h C φ, S φ, C, σv E C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... i Σχήμα 4..δ Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου D h. 1

Στην ομάδα D h ανήκουν τα κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια μερικά παραδείγματα εκ των οποίων δίνονται στο Σχήμα 4..δ. Οι άξονες C φ φ και S συμπίπτουν με την ευθεία στην οποία κείται το μόριο και αποτελεί την τομή των επιπέδων σ v. Το κέντρο αναστροφής, i, ταυτίζεται με το μέσον του μορίου και το σ h φ διέρχεται από το κέντρο αναστροφής, i και είναι κάθετο στον C. Τέλος, στη Διαδραστική εφαρμογή 4..α δίνονται μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν σε διεδρικές ομάδες σημείου. 4..4. Κυβικές ομάδες: Τ, Τ h, Τ d, O, O h Κοινό χαρακτηριστικό των κυβικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη πολλαπλών αξόνων περιστροφής C n υψηλής τάξης (n > ). Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος και οκτάεδρο, τα οποία φαίνονται στο Σχήμα 4..4.α. Οι έδρες των στερεών αυτών είναι κανονικά πολύγωνα (τρίγωνα και τετράγωνα) και όλες οι κορυφές, ακμές και έδρες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Τα μόρια ή τα γεωμετρικά σχήματα τα οποία ανήκουν σε αυτές τις ομάδες έχουν άμεση σχέση με τα στερεά αυτά. Σχήμα 4..4α Τα πλατωνικά στερεά πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος και οκτάεδρο. Ομάδα σημείου Τ d. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, 4C, 4C, C, S 4, S 4, 6σ d Στην ομάδα σημείου Τ d ανήκει ένα από τα πλατωνικά στερεά, το τετράεδρο. Για την ευκολότερη αναγνώριση των στοιχείων και των διεργασιών συμμετρίας της είναι χρήσιμη η σχέση του τετραέδρου με τον κύβο. Συγκεκριμένα, το τετράεδρο είναι το στερεό με τέσσερις κορυφές οι οποίες ταυτίζονται με ισάριθμες κορυφές του κύβου όπως φαίνεται στο Σχήμα 4..4β-1. Σχήμα 4..4β-1 Ορισμός του τετραέδρου με βάση τον κύβο και στοιχεία συμμετρίας, άξονες περιστροφής και στροφοκατοπτρισμού, της ομάδας σημείου Τ d.

Σχήμα 4..4β- Ορισμός του τετραέδρου με βάση τον κύβο και στοιχεία συμμετρίας, επίπεδα κατοπτρισμού, της ομάδας σημείου Τ d. Η ομάδα σημείου Τ d περιέχει εκτός της ταυτότητας τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: Τέσσερις άξονες περιστροφής C οι οποίοι συμπίπτουν με τις διαγώνιες του κύβου, σχηματίζουν ανά δύο γωνία ~109. και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4C και 4C (Σχήμα 4..4β-1). Τρεις κάθετους μεταξύ τους άξονες περιστροφής C, οι οποίοι συνδέουν τα κέντρα των απέναντι ακμών του τετραέδρου ή τα κέντρα των απέναντι πλευρών του κύβου και αντιστοιχούν στις διεργασίες C (Σχήμα 4..4β-1). Τρεις κάθετους μεταξύ τους άξονες στροφοκατοπτρισμού S4, τα οποίασυμπίπτουν με τους άξονες C και αντιστοιχούν στις διεργασίες S 4 και S 4 (Σχήμα 4..4β-1). Έξι επίπεδα κατοπτρισμού σd, τα οποία καθορίζονται από τα ζεύγη των διαγωνίως απέναντι ακμών του κύβου και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6σ d (Σχήμα 4..4β-). Ομάδα σημείου Τ. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, 4C, 4C, C, S 4, S 4 Η ομάδα σημείου Τ περιέχει μόνο τις κατάλληλες και τις ακατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Τ d. Ομάδα σημείου Τ h. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, 4C, 4C, C, i, 4S 6, 4S 6, σ h H προσθήκη στην ομάδα σημείου Τ τριών επιπέδων κατοπτρισμού σ h οδηγεί στην ομάδα σημείου Τ h. Τα επίπεδα αυτά καθορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων C. Ο συνδυασμός των διεργασιών σ h με τις άλλες διεργασίες της ομάδας έχει σαν αποτέλεσμα τέσσερις επιπλέον διεργασίες S 6 (Σχήμα 4..4β-6), από τις οποίες προκύπτουν ισάριθμες διεργασίες S 6, καθώς και η διεργασία i αφού σ h C = S = i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Τ h είναι: Στην ομάδα σημείου Τ d ανήκουν πολλά μόρια, ενώ ελάχιστα είναι αυτά τα οποία ανήκουν στις Τ και Τ h. Μερικά παραδείγματα δίνονται στο Σχήμα 4..4.γ.

Σχήμα 4..4γ Μόρια τα οποία ανήκουν στις ομάδες σημείου Τ d, Τ και Τ h. Ομάδες σημείου: O, O h Στην ομάδα σημείου O h ανήκουν τα πλατωνικά στερεά του κύβου και του οκταέδρου. Εκτός της ταυτότητας περιέχει τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: Τρεις άξονες περιστροφής C 4 κάθετους μεταξύ τους, οι οποίοι διέρχονται από τα κέντρα απέναντι εδρών στον κύβο ή των απέναντι κορυφών στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες C 4 και C 4 (Σχήμα 4..4δ-1). Τέσσερις άξονες περιστροφής C, οι οποίοι διέρχονται από τα μέσα απέναντι κορυφών στον κύβο ή εδρών στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4C και 4C (Σχήμα 4..4δ-1). Τρεις άξονες περιστροφής C, οι οποίοι συμπίπτουν με τους άξονες C 4 και αντιστοιχούν στις διεργασίες C (Σχήμα4..4δ-1). έξι άξονες περιστροφής C' κάθετους μεταξύ τους, οι οποίοι διέρχονται από τα μέσα απέναντι ακμών, τόσο στον κύβο όσο και στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6C ' (Σχήμα 4..4δ-1). Τέσσερις άξονες στροφοκατοπτρισμού S6, οι οποίοι συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4S 6 και 4S 6 (Σχήμα 4..4δ-1). Τρεις άξονες στροφοκατοπτρισμού S4 κάθετους μεταξύ τους, οι οποίοι συμπίπτουν με τους άξονες C 4 και αντιστοιχούν στις διεργασίες S 4, S 4 και C (S 4 )(Σχήμα 4..4δ-1). Τρία επίπεδα κατοπτρισμού σh, τα οποία καθορίζονται από τα μέσα τεσσάρων ακμών στον κύβο ή τεσσάρων κορυφών του οκταέδρου και αντιστοιχούν στις διεργασίες σ h (Σχήμα 4..4δ-). Σχήμα 4..4δ-1 Άξονες περιστροφής και άξονες στροφοκατοπτρισμού, της ομάδας σημείου O h στον κύβο και στο οκτάεδρο. 4

Έξι επίπεδα κατοπτρισμού σ d, τα οποία καθορίζονται από δύο απέναντι ακμές στον κύβο ή διέρχονται από δύο απέναντι κορυφές και διχοτομούν δύο απέναντι ακμές στο οκτάεδρο. Αυτά τα επίπεδα κατοπτρισμού σ d αντιστοιχούν στις διεργασίες 6σ d. (Σχήμα 4..4δ-). Το κέντρο συμμετρίας i, το οποίο συμπίπτει με το κέντρο μάζας του κύβου και του οκταέδρου, αποτελεί το σημείο τομής όλων των παραπάνω στοιχείων συμμετρίας και αντιστοιχεί στη διεργασία i. Σχήμα 4..4δ- Επίπεδα κατοπτρισμού σ h, της ομάδας σημείου O h στον κύβο και στο οκτάεδρο. Σχήμα 4..4δ- Επίπεδα κατοπτρισμού σ d, της ομάδας σημείου O h στον κύβο και στο οκτάεδρο.

Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου O h είναι: Ομάδα σημείου Oh. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C 4, C 4, 4C, 4C, 6C ', C, i, S 4, S 4, 4S 6, 4S 6, σ h, 6σd Η ομάδα σημείου O περιέχει μόνο τις κατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Oh, δηλαδή Ομάδα σημείου O. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, C4, C 4, 4C, 4C, 6C ', C Σχήμα 4..4ε Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου O h. Στην ομάδα σημείου O h ανήκουν μόρια, όπως το κουβάνιο και αρκετά οκταεδρικά μόρια ενώσεων συναρμογής μεταβατικών στοιχείων (Σχήμα 4..4.ε), ενώ μόρια τα οποία ανήκουν στην Ο είναι εξαιρετικά σπάνια. Τέλος, στη Διαδραστική εφαρμογή 4..4α δίνονται μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν σε κυβικές ομάδες σημείου. 4... Εικοσαεδρικές ομάδες: Ι, Ι h Κοινό χαρακτηριστικό των εικοσαεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη έξι ισότιμων κυρίων αξόνων περιστροφής πέμπτης τάξης, C. Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πλατωνικά στερεά δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο, τα οποία φαίνονται στο Σχήμα 4..α. Οι έδρες των στερεών αυτών είναι κανονικά πολύγωνα (τρίγωνα, πεντάγωνα και εξάγωνα) και όλες οι κορυφές, ακμές και έδρες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Τα μόρια ή τα γεωμετρικά σχήματα τα οποία ανήκουν σε αυτές τις ομάδες έχουν άμεση σχέση με τα στερεά αυτά. Σχήμα 4..4α Τα πλατωνικά στερεά πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος και οκτάεδρο. Ομάδες σημείου: Ι, Ι h Στην ομάδα σημείου Ι h ανήκουν τα πλατωνικά στερεά του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου. 6

Σχήμα 4..β Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου Ι h στο δωδεκάεδρο. Η ομάδα σημείου Ι h, περιέχει εκτός της ταυτότητας, τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: Έξι άξονες περιστροφής πέμπτης τάξης, C, οι οποίοι διέρχονται από τα κέντρα απέναντι εδρών στο δωδεκάεδρο (Σχήμα 4..β) ή απέναντι κορυφών στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6C, 6C, 6C 4 και 6C Δέκα άξονες περιστροφής C, οι οποίοι διέρχονται από τα μέσα απέναντι κορυφών στο δωδεκάεδρο ή εδρών στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 10C και 10C Δεκαπέντε άξονες περιστροφής C, οι οποίοι διχοτομούν τις απέναντι ακμές, τόσο στο δωδεκάεδρο όσο και στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 1C Έξι άξονες στροφοκατοπτρισμού S10, οι οποίοι συμπίπτουν με τους άξονες πέμπτης τάξης, C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6S 10, 6S 10, 6S 7 9 10 και 6S 10 Δέκα άξονες στροφοκατοπτρισμού S6, οι οποίοι συμπίπτουν με τους άξονες τρίτης τάξης, C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 10S 6 και 10S 6. Δεκαπέντε επίπεδα κατοπτρισμού σ τα οποία αντιστοιχούν στις διεργασίες 1σ Το κέντρο συμμετρίας i, το οποίο συμπίπτει με το κέντρο μάζας του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου, αποτελεί το σημείο τομής όλων των παραπάνω στοιχείων συμμετρίας και αντιστοιχεί στη διεργασία i Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Ι h είναι: Ομάδα σημείου Ιh. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, 6C, 6C, 6C, 6C 4, 10C, 10C, 1C, i, 6S 10, 6S 10, 6S 7 9 10, 6S 10, 1σ. Η ομάδα σημείου Ι περιέχει μόνο τις κατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Ιh, δηλαδή: Ομάδα σημείου Ιh. Διεργασίες συμμετρίας: Ε, 6C, 6C, 6C, 6C 4, 10C, 10C, 1C Σχήμα 4..4ζ Μόρια τα οποία ανήκουν στην ομάδα σημείου Ι h. Στην ομάδα σημείου Ι h ανήκουν λίγα μόρια μεταξύ των οποίων το φουλερένιο C 60 (Σχήμα 4..γ), ενώ μόρια τα οποία ανήκουν στην Ι δεν υπάρχουν. Στη Διαδραστική εφαρμογή 4..α δίνονται μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν σε εικοσαεδρικές ομάδες σημείου. 7

4..6. Σφαιρική ομάδα: Κ h Η ομάδα σημείου K h περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες τις κατάλληλες περιστροφές, C φ, περί άπειρους άξονες απειροστής τάξης, C φ και τις ακατάλληλες διεργασίες περιστροφής S φ περί άπειρους άξονες στροφοκατοπτρισμού απειροστής τάξης, S φ. Παράγωγες διεργασίες είναι η ταυτότητα Ε, οι δυνάμεις των αξόνων C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ, οι κατοπτρισμοί σ ως προς άπειρα επίπεδα σ και η αναστροφή i. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 4..6α). Πίνακας 4..6α Διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου Κ h. Οικογένεια ομάδων Κh Γενεσιουργός διεργασία Παράγωγες διεργασίες Μέλη Κh C φ φ, S, σ E C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... i Στην ομάδα σημείου K h ανήκει η σφαίρα και όλα τα άτομα. Το πλήθος των αξόνων απειροστής τάξης είναι άπειρο διότι οποιοσδήποτε άξονας με τυχαία κατεύθυνση στο χώρο και οποιαδήποτε τάξη αποτελεί άξονα συμμετρίας της σφαίρας, αρκεί βέβαια να διέρχεται από το κέντρο της, το οποίο αποτελεί και το κέντρο αναστροφής i. Επίσης είναι προφανές ότι υπάρχουν άπειρα επίπεδα σ, τα οποία διέρχονται από το κέντρο φ αναστροφής και είναι κάθετα σε έναν από τους άξονες απειροστής τάξης, C. Τέλος, στη Διαδραστική εφαρμογή 4..6α δίνονται μερικά παραδείγματα μορίων τα οποία ανήκουν σε εικοσαεδρικές ομάδες σημείου. 4.4. Συστηματική Μέθοδος Εύρεσης της Ομάδας Σημείου ενός Μορίου Σε κάθε εφαρμογή της μοριακής συμμετρίας η εύρεση της ομάδας σημείου στην οποία ανήκει το υπό μελέτη μόριο είναι το πρώτο και απαραίτητο βήμα. Ο εντοπισμός όμως όλων των στοιχείων συμμετρίας του μορίου πολλές φορές είναι δύσκολος, αφού υπάρχουν ομάδες σημείου οι οποίες έχουν πάνω από 100 διεργασίες συμμετρίας. Παρόλα αυτά σε κάθε ομάδα σημείου υπάρχουν ένα ή περισσότερα στοιχεία συμμετρίας «κλειδιά» τα οποία είναι χαρακτηριστικά για τη συγκεκριμένη ομάδα και αντιστοιχούν στις γενεσιουργές διεργασίες από τις οποίες προκύπτουν όλες οι άλλες. Για παράδειγμα η ύπαρξη σε ένα μόριο ενός κύριου άξονα τρίτης τάξης C και τριών αξόνων δεύτερης τάξης C κάθετων σ' αυτόν σημαίνει ότι θα ανήκει σε μια από τις διεδρικές ομάδες σημείου (D, D h, D d ). Αν το μόριο έχει επιπλέον ένα επίπεδο κατοπτρισμού σ h, τότε ανήκει στην ομάδα σημείου D h. Στην αντίθετη περίπτωση, αν έχει επίπεδα κατοπτρισμού σ v ανήκει στην D d, ενώ αν δεν έχει επίπεδα σ v ανήκει στην D. Με βάση τις παραπάνω διαπιστώσεις και μετά από συστηματική μελέτη των στοιχείων συμμετρίας των ομάδων σημείου ο Zeldin πρότεινε μια απλή μέθοδο εύρεσης της ομάδας σημείου ενός μορίου σύμφωνα με την οποίαν, η σταδιακή αναγνώριση κάποιων χαρακτηριστικών στοιχείων συμμετρίας οδηγεί στον εντοπισμό της ομάδας σημείου του μορίου. Σύμφωνα με τη μέθοδο Zeldin ακολουθώντας μια σειρά από λογικά βήματα αναζητούνται κάποια χαρακτηριστικά στοιχεία συμμετρίας στο υπό μελέτη μόριο και η ύπαρξη ή μη αυτών οδηγεί στην εύρεση της ομάδας σημείου του μορίου. Το λογικό διάγραμμα της μεθόδου δίνεται στο Σχήμα 4.4α, ενώ τα ερωτήματα τα οποία τίθενται σε κάθε λογικό βήμα και οι συνέπειές τους αναλύονται παρακάτω. 8

Σχήμα 4.4α Λογικό διάγραμμα της μεθόδου Zeldin. Πορεία εύρεσης της ομάδας σημείου ενός μορίου σύμφωνα με τη μέθοδο Zeldin Είναι το μόριο γραμμικό; Αν το μόριο είναι γραμμικό αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου D h, ενώ αν δεν έχει ανήκει στην ομάδα σημείου C v. Αν το μόριο δεν είναι γραμμικό αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής C. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής πέμπτης τάξης, C; Αν το μόριο έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C και έχει επίσης κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου I h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ανήκει στην ομάδα σημείου Ι. Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες C 4. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής τέταρτης τάξης, C4; Αν το μόριο έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C4 και έχει επίσης κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου Ο h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ανήκει στην ομάδα σημείου Ο. Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C4 αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες C. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής τρίτης τάξης, C; Αν το μόριο έχει περισσότερους από δύο άξονες περιστροφής C αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού, σ. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ; Αν το μόριο δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ, ανήκει στην ομάδα σημείου T, ενώ αν δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. 9

Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου T h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου T d. Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C αναζητείται ένας τουλάχιστον άξονας περιστροφής. Υπάρχει ένας τουλάχιστον άξονας περιστροφής, Cn; Αν το μόριο δεν έχει άξονες περιστροφής αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού, σ. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ; Αν το μόριο έχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ, ανήκει στην ομάδα σημείου C s, ενώ αν δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου C i ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου C 1. Αν το μόριο έχει έναν τουλάχιστον άξονα περιστροφής επιλέγεται ο άξονας με τη μεγαλύτερη τάξη (κύριος άξονας), Cn, και αναζητούνται n άξονες περιστροφής δεύτερης τάξης, C, κάθετοι σε αυτόν. Υπάρχουν n άξονες περιστροφής δεύτερης τάξης, C, κάθετοι στον C n ; Αν το μόριο έχει n άξονες περιστροφής, C, κάθετους στον κύριο άξονα, C n, αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σh ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σh το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου D nh, ενώ αν δεν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ d. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σd ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σd το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου D nd, ενώ αν δεν υπάρχει ανήκει στην ομάδα σημείου D n. Αν το μόριο δεν έχει n άξονες περιστροφής, C, κάθετους στον κύριο άξονα, C n, αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σh ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σh το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου C nh, ενώ αν δεν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητούνται n επίπεδα κατοπτρισμού σ v. Υπάρχουν n επίπεδα κατοπτρισμού σv ; Αν υπάρχουν n επίπεδα κατοπτρισμού σv το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου C nv, ενώ αν δεν υπάρχουν αναζητείται άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού, Sn; Αν υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού Sn, το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου S n, ενώ αν δεν υπάρχει ανήκει στην ομάδα σημείου C n. Σύνοψη 1. H περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου συνίσταται στην εύρεση και στην καταγραφή του συνόλου των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας οι οποίες απαντώνται στο μόριο. Συνήθως εντοπίζεται ένας αριθμός στοιχείων συμμετρίας και στη συνέχεια με βάση τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των διεργασιών οι οποίες έχουν εντοπισθεί προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες και τα στοιχεία συμμετρίας.. Το πλήρες σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου περιγράφει σαφώς τη συμμετρία ενός μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου του μορίου.. Οι ομάδες σημείου ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες: τις μη περιστροφικές, τις περιστροφικές μοναδικού άξονα, τις διεδρικές και τις κυβικές. 4. Οι μη περιστροφικές ομάδες χαρακτηρίζονται από την απουσία αξόνων περιστροφής και την παρουσία επιπέδου κατοπτρισμού (ομάδα C s ), κέντρου αναστροφής (ομάδα C i ) ή την απουσία στοιχείων συμμετρίας (ομάδα C 1 ).. Κοινό χαρακτηριστικό των περιστροφικών ομάδων σημείου μοναδικού άξονα είναι η ύπαρξη ενός μοναδικού άξονα περιστροφής Cn ή στροφοκατοπτρισμού S n. Στις ομάδες σημείου C n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του C n. Στις ομάδες σημείου C nv υπάρχουν και n κατακόρυφα επίπεδα 60

κατοπτρισμού σ v,d. Στις ομάδες σημείου C nh υπάρχει επιπλέον και επίπεδο κατοπτρισμού σ h και συνεπώς S n, ενώ για n άρτιο υπάρχει επιπλέον το κέντρο αναστροφής i. Στις ομάδες σημείου S n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του S n. Από τις δυνάμεις της διεργασίας S n προκύπτουν και άξονες περιστροφής μικρότερης τάξης, ενώ για n = 6 προκύπτει και κέντρο αναστροφής i. Η ομάδα σημείου C h, στην οποία ανήκουν τα μη κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, περιέχει άξονα περιστροφής C φ και άπειρα επίπεδα σ v. 6. Κοινό χαρακτηριστικό των διεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός κύριου άξονα περιστροφής Cn και n αξόνων C κάθετων στον κύριο άξονα. Στις ομάδες σημείου D n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του C n και των n αξόνων C. Στις ομάδες σημείου D nd υπάρχουν επιπλέον n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σd, καθώς και άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Στις ομάδες σημείου D nh υπάρχουν επιπλέον n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ v,d και ένα επίπεδο κατοπτρισμού σ h και συνεπώς άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Όταν το n είναι άρτιο υπάρχει και κέντρο αναστροφής i. Η ομάδα σημείου D h, στην οποία ανήκουν τα κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, περιέχει άξονα περιστροφής C φ, άπειρους άξονες περιστροφής C κάθετους στον κύριο άξονα C φ, άξονα στροφοκατοπτρισμού S φ, άπειρα επίπεδα κατοπτρισμού σ v και κέντρο αναστροφής i. 7. Κοινό χαρακτηριστικό των κυβικών και των εικοσαεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη πολλαπλών αξόνων περιστροφής Cn υψηλής τάξης (n>). Περιέχουν επίσης πλήθος άλλων στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας. Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πέντε πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. 8. Η σφαιρική ομάδα σημείου Κh περιέχει ως γενεσιουργές διαδικασίες άπειρες κατάλληλες περιστροφές απειροστής τάξης, C φ φ, άπειρες ακατάλληλες περιστροφές απειροστής τάξης, S, άπειρα επίπεδα κατοπτρισμού σ και την αναστροφή i. 9. Όλες οι ομάδες σημείου εκτός των παραπάνω γενεσιουργών διεργασιών συμμετρίας περιέχουν την ταυτότητα, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες, οι οποίες προκύπτουν από τις δυνάμεις και τους συνδυασμούς των γενεσιουργών διεργασιών. 10. Η εύρεση της ομάδας σημείου ενός μορίου διευκολύνεται σημαντικά από τη συστηματική μέθοδο Zeldin. Σύμφωνα με αυτήν ακολουθώντας μια σειρά από λογικά βήματα αναζητούνται κάποια χαρακτηριστικά στοιχεία συμμετρίας στο υπό μελέτη μόριο και η ύπαρξη ή μη αυτών οδηγεί στην εύρεση της ομάδας σημείου του μορίου. Βιβλιογραφία Βιβλία Bishop, D., Group Theory and Chemistry, Clarendon Press, Oxford, 197. Carter, R. L., Molecular Symmetry and Group Theory, Wiley, New York, 1998. Cotton, F., Chemical Applications of Group Theory, rd Ed., Wiley, New York, 1989. Dmitriev, I. S., Symmetry in the World of Molecules, Mir Publishers, Moscow, 1979. Dorain, P., Symmetry in Inorganic Chemistry, Addison-Wesley, New York, 196. Hollas, J., Symmetry in Molecules, Chapman and Hall, 197. Jaffé, H. H. and Orchin, M., Symmetry in Chemistry, Wiley, New York, 196. Kettle, S. F. K., Symmetry and Structure, nd Ed., Wiley, New York, 199. Lesk, A.M., Introduction to Symmetry and Group Theory for Chemists, Kluwer, New York, 004. Odgen, J. S., Introduction to Molecular Symmetry, Oxford University Press, Oxford, 001. Vincent, A., Molecular Symmetry and Group Theory, nd Edn, Wiley, New York, 001. 61

Worrall, I. J., Molecular Symmetry, Royal Institute of Chemistry Lecture Series, no., 1967. Διευθύνσεις στο Διαδίκτυο Point Group Symmetry: http://www.staff.ncl.ac.uk/j.p.goss/symmetry/index.html Symmetry and Point Groups: http://csi.chemie.tu-darmstadt.de/ak/immel/tutorials/symmetry/index.html Εκπαιδευτικό Λογισμικό DMolSym: http://www.molwave.com/software/dmolsym/dmolsym.htm http://www.chem.auth.gr/chemsoft/dmolsym/index.htm Symmetry Resources at Otterbein College: http://symmetry.otterbein.edu 6