Ελλθνικι Δθμοκρατία Σεχνολογικό Εκπαιδευτικό Κδρυμα Ηπείρου Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ Ενότθτα 9 : Σαχφσ Μεταςχθματιςμόσ Fourier (FFT) Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ 1
Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου Σμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ Σ.Ε. Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ Ενότητα 9: Σαχφσ Μεταςχθματιςμόσ Fourier Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ Κακθγθτισ Άρτα, 2015 2
Άδειεσ Χρήςησ Σο παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χριςθσ, θ άδεια χριςθσ αναφζρεται ρθτώσ. 3
Σκοποί ενότητασ Παρουςίαςθ ενόσ ςφντομου τρόπου υπολογιςμοφ του διακριτοφ Μεταςχθματιςμοφ Fourier. 4
Περιεχόμενα ενότητασ Σαχφσ μεταςχθματιςμόσ Fourier (FFT) Αλγόρικμοι FFT FFT με αποδεκάτιςθ ςτο χρόνο 5
Ταχφσ μεταςχηματιςμόσ Fourier (FFT) Γρήγορος κεηαζτεκαηηζκός Fourier (Fast Fourier Transform FFT) ολοκάδεηαη ηο ζύλοιο ηωλ αιγορίζκωλ γηα ηο γρήγορο σποιογηζκό ηοσ δηαθρηηού κεηαζτεκαηηζκού Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) 6
Αλγόριθμοι FFT Τσπηθοί αιγόρηζκοη FFT είλαη οη αθόιοσζοη: FFT κε βάζε 2 (radix-2 FFT) - δηαίρεζες ζηο τρόλο (Decimation In Time FFT - DIT-FFT) - δηαίρεζες ζηε ζστλόηεηα (Decimation In Frequency FFT - DIF-FFT) FFT ζύλζεηωλ βάζεωλ FFT πρώηωλ παραγόληωλ 7
FFT με αποδεκάτιςη ςτο χρόνο FFT κε αποδεθάηηζε ζηο τρόλο (Decimation In Time FFT DIT FFT) N 1 N /2 1 N /2 1 nk 2 nk (2n 1) k N N N n 0 n 0 n 0 X ( k) x( n) W x(2 n) W x(2 n 1) W N/2 1 N/2 1 2 nk (2n 1) k x1( n) WN x2( n) WN n 0 n 0 X(k) = X 1 (k) + W N k X 2 (k), k = 0,1,..., N 2 1 8
FFT με αποδεκάτιςη ςτο χρόνο N 1 N /2 1 N 1 nk nk nk N N N n 0 n 0 n /2 X ( k) x( n) W x( n) W x( n) W N /2 1 n 0 k /2 1 N 2 x ( n) W x ( n) W nk N 9
θμείωμα Αναφοράσ Copyright Σεχνολογικό Κδρυμα Ηπείρου. Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ. Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ. Ζκδοςθ: 1.0 Άρτα, 2015. Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: http://eclass.teiep.gr/courses/comp102/ Ειςαγωγή, Ταχφσ Μεταςχηματιςμόσ Ενότθτα 2, Σμιμα Fourier Μθχανικών Ενότθτα Πλθροφορικισ 9, Σμιμα Μθχανικών Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ Πλθροφορικισ - Ανοιχτά Σ.Ε., Ακαδημαϊκά ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου ςτο ΤΕΙ Ηπείρου 10
θμείωμα Αδειοδότθςθσ Σο παρόν υλικό διατίκεται με τουσ όρουσ τθσ άδειασ χριςθσ Creative Commons Αναφορά Δθμιουργοφ-Μθ Εμπορικι Χριςθ-Όχι Παράγωγα Ζργα 4.0 Διεκνζσ [1] ι μεταγενζςτερθ. Εξαιροφνται τα αυτοτελι ζργα τρίτων π.χ. φωτογραφίεσ, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριζχονται ςε αυτό και τα οποία αναφζρονται μαηί με τουσ όρουσ χριςθσ τουσ ςτο «θμείωμα Χριςθσ Ζργων Σρίτων». Ο δικαιοφχοσ μπορεί να παρζχει ςτον αδειοδόχο ξεχωριςτι άδεια να χρθςιμοποιεί το ζργο για εμπορικι χριςθ, εφόςον αυτό του ηθτθκεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.el 11
Τζλοσ Ενότητασ Επεξεργαςία: Κολοβοφ Ξανθή Άρτα, 2015 12
Διατιρθςθ θμειωμάτων Οποιαδιποτε αναπαραγωγι ι διαςκευι του υλικοφ κα πρζπει να ςυμπεριλαμβάνει: το θμείωμα Αναφοράσ το θμείωμα Αδειοδότθςθσ τθ Διλωςθ Διατιρθςθσ θμειωμάτων το θμείωμα Χριςθσ Ζργων Σρίτων (εφόςον υπάρχει) μαηί με τουσ ςυνοδευόμενουσ υπερςυνδζςμουσ. Ταχφσ Μεταςχηματιςμόσ Fourier- Ενότθτα 9, Σμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου 13
Σζλοσ Ενότθτασ Θόρυβοσ Κβαντιςμοφ-Κωδικοποίθςθ 14