Κεφ αλαιο2. Λογισµ ο τωνμετα ολ ων. 2.1 Π οτε ενασυναρτησοειδ ε καθ ισταται στ ασιµο

Κεφ αλαιο2 Λογισµ ο τωνμετα ολ ων Σεπ εντελεπτ αθαπε ιτε οτι ολα ηταντ οσοαπ ιστευτααπλ α Sherlock Holmes 2.1 Π οτε ενασυναρτησοειδ ε καθ ισταται στ ασιµο Στοπροηγο υµενοκεφ αλαιοδιατυπ ωσαµεµιαν εααρχ η,τηναρχ ητου Αναλογ ια Χ αµιλτον,ηοπο ια εχειδιαφορετικ ηµαθηµατικ ηµορφ ηαπ οεκε ινητων στασιµ οτητα ν οµωντουνε υτωνα. Πιοσυγκεκριµ ενα,ηαρχ ητου X αµιλτονσχετ ιζεταιµαθηµατικ απερισσ οτεροµετοπρ ο ληµαε υρεση ακροτ ατουµια συν αρτηση.αυτ οπουκαθιστ ατοσυγκεκριµ ενοπρ ο ληµαπιοπερ ιπλοκο ε ιναιτογεγον ο οτιηποσ οτηταπουεπιδι ωκουµενακαταστ ησουµεστ ασιµηδενε ιναιµ ιασυν ηθη συν αρτησηαλλ α ενασυναρτησοειδ ε,δηλαδ η µ ιασυν αρτησητο ορισµατη οπο ια ε ιναιµ ια αλλησυν αρτηση. Συγκεκριµ ενα,ηδρ αση Sε ιναι ενασυναρτησοειδ ε πουεξαρτ αταιαπ οτηδιαδροµ η x(t)πουεπιλ εγεικανε ι γιαναεν ωσειτοαρχικ οµετοτελικ οση- µε ιοστοχ ωροµ εσαστονοπο ιοεξελ ισσεταιµετηνπ αροδοτουχρ ονουη θ εσητουµηχανικο υσυστ ηµατο,ε ιτεπρ οκειταιγια εναµ ονοσωµατ ιδιο ε ιτεγια εναολ οκληροπλ ηθο σωµατιδ ιωνπουσυνδ εονταιµεταξ υτου καιταυτ οχρονααλληλεπιδρο υν.θαδο υµε οτιηστασιµοπο ιησηεν ο συναρτησοειδο υ ε ιναιακρι ω αν αλογηµετηνε υρεσηακροτ ατουµια συν αρτηση καιοιεξισ ωσει κ ινηση στι οπο ιε θακαταλ ηξουµεκαιοιοπο ιε εχουντηνιδι οτητανακαθιστο υντοσυναρτησοειδ ε στ ασιµοε ιναι τοαν αλογοτουµηδενισµο υτη παραγ ωγουστηνπερ ιπτωσητωνσυναρτησοειδ ων. συναρτησοειδο υ και ακροτ ατου συν αρτηση Σεγενικ ε γραµµ ε ησυνταγ ηπουακολουθ ησαµε, οταν,ξεκιν ωντα Τισηµα ινειστ ασιµο; απ οτηµορφ ητη δρ αση γιαταµηχανικ ασυστ ηµατα,καταλ ηξαµεστο θεµελι ωδην οµοτη δυναµικ η,ε ιναιαυτ ηπουθαακολουθ ησουµεκαιγια τηνε υρεσητη συνθ ηκη πουκαθιστ α ενασυναρτησοειδ ε στ ασιµο.α θεωρ ησουµε ενασυναρτησοειδ ε τη µορφ η S = tb t A Ldt, 21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ οπουηlθαυποθ εσουµε οτιε ιναισυν αρτησηκ αποιων αλλωνσυναρτ ησεωντου t των x i (t)καιτωνπαραγ ωγωντωνσυναρτ ησεωναυτ ωνω προ t, ẋ i (t), ẍ i (t),...γιαευκολ ιαθαυποθ εσουµε οτιησυν αρτηση L,την οπο ιαθαονοµ αζουµελαγκρανζιαν η (Lagrangian) οτανπρ οκειταιναπεριγρ αψουµε εναφυσικ οσ υστηµα,ε ιναισυν αρτησηµ ονοτωνσυναρτ ησεων x i (t)καιτωνπρ ωτωνπαραγ ωγωντου ẋ i (t)καθ ω επ ιση και,ενγ ενει,του ιδιουτου t.μιατ ετοιαυπ οθεσηε ιναιδικαιολογηµ ενη, οτανπρ οκειταιγιαµηχανικ ασυστ ηµατα,αφο υοδε υτερο ν οµο τουνε υτωναε ιναιδιαφορικ ο ν οµο δε υτερη τ αξη καιεποµ ενω απαιτε ιταιηγν ωση καιτη αρχικ η θ εση καιτη ταχ υτητα εν ο σ ωµατο γιατονπροσδιορισµ οτη τροχι α του. 1 Ηαπα ιτησηναλαµ ανειηsακρ οτατητιµ ηγια κ αποιε συγκεκριµ ενε συναρτ ησει x i (t)σηµα ινει, οπω εξηγ ησαµεστο προηγο υµενοκεφ αλαιο, οτι,ανπαραλλ αξουµεελαφρ ω τι συναρτ ησει αυτ ε,ητιµ ητη Sδενµετα αλλεται.γιατηνακρ ι ειαητιµ ητη µετα- αλλεταισεδε υτερητ αξησυγκριτικ αµετηµετα ολ ητωνσυναρτ ησεων, οπω καιτοακρ οτατοµια συν αρτηση ε ιναιεκε ινοτοσηµε ιοκοντ αστο οπο ιοηµετα ολ ητη τιµ η τη συν αρτηση ε ιναιδε υτερη τ αξη συγκριτικ αµετηµετακ ινησηαπ οτοενλ ογωσηµε ιο.φορµαλιστικ α,πρ επει S S = tb t A L( x i (t), x i (t), t)dt tb t A L(x i (t), ẋ i (t), t)dt = O(ǫ 2 ),(2.1) Κατασκευ ηελαφρ ω παραλλαγµ ενων συναρτ ησεων οπου x i (t)ε ιναι ολε οιπαραλλαγµ ενε συναρτ ησει απ οτι οπο ιε εξαρτ αταιησυν αρτηση Lκαι ǫε ιναιµιαπολ υµικρ ηπαρ αµετρο πουκαθορ ιζειτοπ οσοκοντ αε ιναιοιπαραλλαγµ ενε συναρτ ησει σεεκε ινε τι συναρτ ησει x i (t) 2 πουκαθιστο υντην Sακρ οτατο x i (t) = x i (t) + ǫξ i (t). Οισυναρτ ησει ξ i (t)ε ιναιτυχα ιε,οµαλ ασυµπεριφερ οµενε και οχικατ αν αγκηνεπιλεγµ ενε ωστεναπα ιρνουνµικρ ε τιµ ε.ηαπα ιτησητη µικρ η παρ εκκλιση εξασφαλ ιζεταιαπ οτηνπαρ αµετρο ǫπουπολλαπλασι αζειαυτ ε τι συναρτ ησει.οισυναρτ ησει ξ i (t)καθορ ιζουνµεποιον ακρι ω τρ οποοιπαραλλαγµ ενε συναρτ ησει διαφοροποιο υνταιαπ οτι συναρτ ησει λ υσει τουπρο λ ηµατ ο µα. Ηµ ονηαπα ιτησηγιααυτ ε τι συναρτ ησει,σ υµφωναµετηναρχ ηελ αχιστη δρ αση,ε ιναιναισχ υει ξ i (t A ) = ξ i (t B ) = 0, Αν αλυσητη δρ αση που αντιστοιχε ιστην παραλλαγµ ενη διαδροµ η δηλαδ ηοιπαραλλαγµ ενε συναρτ ησει να εχουντην ιδιατιµ ηµετι συναρτ ησει λ υσει στα ακρατη ολοκλ ηρωση.αναπτ υσσοντα τ ωρατη συν αρτηση Lτη οπο ια µετα λητ ε ε ιναιοιπαραλλαγµ ενε συναρτ ησει 1 Ησ υνδεσητη τ αξη τωνπαραγ ωγωνπουεµφαν ιζονταιστην Lκαιτη τ αξη του διαφορικο υν οµουτουνε υτωναθααναλυθε ιεκτεν εστερααργ οτερα.βλ επεπρ ο ληµα 5. 2 Τα x i (t) δεν ε ιναι κατ αν αγκην οι συνιστ ωσε κ αποιου διαν υσµατο θ εση σωµατιδ ιου πρ οκειταιαπλ ω για ενασυνοπτικ οτρ οπογραφ η εν ο συν ολουανεξαρτ ητωνµεταξ υτου συναρτ ησεων.

2.1. ΠΟΤΕ ΕΝΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ ΕΣ ΚΑΘΙΣΤΑΤΑΙ ΣΤΑΣΙΜΟ 23 σε ορου µηδενικ η,πρ ωτη κ.ο.κ.τ αξη ω προ τηµικρ ηπαρ αµετρο ǫ βρ ισκουµε οτι ( L L(( x i (t), x i (t), t) = L(x i (t),ẋ i (t), t) + ǫ ξ i + L ) ξi + O(ǫ 2 ), (2.2) x i ẋ i οπουµετοσυµ ολισµ ο εννοο υµε i L x i ξ i, L x i ξ i, ακολουθ ωντα τηναθροιστικ ησ υµ ασητουα νστ αινγιατου επαναλαµ- αν οµενου δε ικτε (βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα). Oµο ιω ισχ υεικαιγια τον αλλοαντ ιστοιχο οροτη σχ εση (2.2).Αντικαθιστ ωντα αυτ ητην εκφρασητουαναπτ υγµατο τη L,ηδιαφορ ατωνδ υο Sπουαντιστοιχο υν στι παραπλ ησιε διαδροµ ε δ ινεταιαπ οτηνακ ολουθη εκφραση: tb ( L S S = ǫ ξ i + L ) ξi dt + O(ǫ 2 ). (2.3) x i ẋ i t A Προκειµ ενου,λοιπ ον,ηsνακαθ ισταταιστ ασιµη,πρ επειο ορο πρ ωτη τ αξη ω προ ǫναε ιναιµηδενικ ο καιµ αλισταγιαοποιαδ ηποτεεπιλογ η τωνσυναρτ ησεων ξ i.ανµ αλισταεπαναλ α ουµετοτ εχνασµαµετηνπαραγοντικ ηολοκλ ηρωσηπουχρησιµοποι ησαµεκαιστηνπρ ωτηµα απ οπειραε υρεση τουακροτ ατουτη δρ αση (βλ.κεφ αλαιο1),καταλ ηγουµε στηνακ ολουθη εκφραση: tb [ ( )] L L tb ( ) d L 0 = ξ i dt + dt = t A tb t A d x i dt ẋ i [ L d ( L x i dt ẋ i )] ξ i dt + t A dt [ L ξ i ẋ i ] tb ẋ i ξ i t A. (2.4) Οµω,οτελευτα ιο ορο ε ιναιµηδενικ ο,αφο υητιµ ητωνσυναρτ ησεων Ικαν ηκαιαναγκα ια ξ i στα ακρα εχειληφθε ιµηδενικ η. Ηαπα ιτηση,λοιπ ον,τοολοκλ ηρωµα συνθ ηκηγιαναε ιναι πουαποµ ενειναε ιναιταυτοτικ αµηδ ενµα θυµ ιζειτηµαθηµατικ ηπρ οτασηπουσυναντ ησαµεστοπροηγο υµενοκεφ αλαιο,µεµιαµικρ η οµω στ ασιµηηδρ αση διαφορ α:στηνπαρο υσαπερ ιπτωσηηποσ οτηταπουµηδεν ιζεταιδενε ιναι ενααπλ οολοκλ ηρωµα,αλλ α ενα αθροισµαολοκληρωµ ατων. (Θυµηθε ιτετηναθροιστικ ησ υµ αση!)μπορε ι,β ε αια,κανε ι µεµιαµικρ ητροποπο ιησητη προηγο υµενη απ οδειξη ναδε ιξει οτικαισεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηποσ οτητα L d ( ) L x i dt ẋ i πρ επειναε ιναιµηδενικ ηγιακ αθετιµ ητουδε ικτη i. Απ οδειξη: (i)α υποθ εσουµε οτιοισυναρτ ησει εντ ο τωντετρ αγωνων αγκυλ ωνκαιπιοσυγκεκριµ εναηπρ ωτηαπ οαυτ ε (για i = 1)δενε ιναι µηδενικ ε L d ( ) L 0. (2.5) x 1 dt ẋ 1

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (ii)επιλ εγουµεω ξ i (t)τοσ υνολοτωνσυναρτ ησεων (ξ 1 (t), ξ 2 (t) = 0, ξ 3 (t) = 0,...), οπουηξ 1 (t) εχειεπιλεγε ι ωστεναµηδεν ιζεταιοπουδ ηποτε αλλο υεκτ ο απ οµιαµικρ ηπεριοχ ηστηνοπο ιαησυν αρτησητη εκφραση (2.5) εχεισταθερ οπρ οσηµοκαιδενµηδεν ιζεται.σεαυτ ητηνπεριοχ η θεωρο υµε οτιηξ 1 (t) εχειεπ ιση σταθερ οπρ οσηµο. (iii)τ οτετοαποτ ελεσµατουολοκληρ ωµατο (2.4)δενθαε ιναιµηδενικ ο. (iv)συνεπ ω,ηπαρ ασταση (2.5)πρ επειναε ιναιταυτοτικ αµηδ εν. (v)επαναλαµ ανουµε ολαταπροηγο υµεναβ ηµαταµετηδε υτερη,τρ ιτηκ.ο.κ.συνιστ ωσατη συν αρτηση L d ( ) L, x i dt ẋ i φροντ ιζοντα π ανταναµηδεν ιζουµε ολε τι αλλε συναρτ ησει ξ i (t)εκτ ο απ οαυτ ηπου εχει ιδιοδε ικτηµετησυν αρτησηπουθ ελουµεναδε ιξουµε οτιε ιναιταυτοτικ αµηδ εν.συν αγουµε,λοιπ ον, οτι L x i d dt ( ) L = 0, (2.6) ẋ i Παραδε ιγµατα προ ληµ ατωνπου µπορο υνναεπιλυθο υν µετολογισµ οτων µετα ολ ων γιακ αθετιµ ητου i. Οιπαραπ ανωεξισ ωσει ονοµ αζονταιεξισ ωσει Euler -Lagrangeκαι, υπ οµ ια εννοια,µπορο υνναθεωρηθο υνω οιπαρ αγωγοιτουσυναρτησοειδο υ Sω προ τηνκ αθεσυν αρτηση x i (t). Αυτ ε οιεξισ ωσει µ α οδηγο υνστηλ υσητουευρ υτερουπρο λ ηµατ ο µα. Ε ιναιδηλαδ ηδιαφορικ ε εξισ ωσει δε υτερη τ αξη,οιλ υσει τωνοπο ιωνκαθιστο υντοσυναρτησοειδ ε Sστ ασιµo. Πιοσυγκεκριµ ενα οσοναφορ ασταµηχανικ α συστ ηµαταοιεξισ ωσει Euler - Lagrange ε ιναιοιδιαφορικ ε εξισ ωσει απ οτι οπο ιε πηγ αζουνοιεξισ ωσει κ ινηση αυτ ωντωνσυστηµ ατων. Α εξετ ασουµεστησυν εχειαµερικ απαραδε ιγµαταπουµπορο υµενα επιλ υσουµεχρησιµοποι ωντα τολογισµ οτωνµετα ολ ωνπουαναπτ υξαµε στι προηγο υµενε παραγρ αφου. Γεωµετρικ οπρ ο ληµα. Ποιαεπ ιπεδηκαµπ υληπουσυνδ εειδ υοδεδο- µ ενασηµε ιαε ιναιησυντοµ οτερη; Λ ογωτουπυθαγορε ιουθεωρ ηµατο ενααπειροστ οτµ ηµαµια επ ιπεδη καµπ υλη θα εχειµ ηκο ds 2 = dx 2 + dy 2 (βλ.σχ ηµα 2.1). Ετσι,το συνολικ οµ ηκο τη τυχα ια καµπ υλη πουσυνδ εειτοσηµε ιοαµετοση- µε ιοβθαε ιναι B A ds = B A (dx)2 + (dy) 2 = B Ησυν αρτηση Lαυτο υτουπρο λ ηµατο ε ιναιη A dx 1 + (y ) 2. (2.7) L(y, y, x) = 1 + (y ) 2, ηοπο ιαεξαρτ αταιµ ονοαπ οτην y (x) dy/dx.ησυντοµ οτερηκαµπ υλη θαπεριγρ αφεταιαπ οεκε ινητησυν αρτηση y(x)ηοπο ιααποτελε ιλ υσητη διαφορικ η εξ ισωση Euler-Lagrange: d dx ( ) L y L y = 0. (2.8)

2.1. ΠΟΤΕ ΕΝΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ ΕΣ ΚΑΘΙΣΤΑΤΑΙ ΣΤΑΣΙΜΟ 25 Σχ ηµα 2.1:Ηε υρεσητουµ ηκου µια επ ιπεδη καµπ υλη πουσυνδ εειδ υοσηµε ιατου επιπ εδου. Αφο υηlγιατοδεδοµ ενοπρ ο ληµαδενεξαρτ αταιαπ οτηµετα λητ η y(x)ηεξ ισωσηeuler-lagrangeοδηγε ιστησταθερ οτητατη L/ y,δηλαδ η, d dx δηλαδ ηστησυν αρτηση yγιατηνοπο ια ( ) L = d y y dx 1 + (y ) = 0, (2.9) 2 y =σταθερ α. (2.10) Ησυντοµ οτερηεπ ιπεδη καµπ υλη,λοιπ ον,πουσυνδ εειδ υοσηµε ια εχει σταθερ ηκλ ιση,δηλαδ ηε ιναιηευθε ια y = y 0 +c(x x 0 ).Οπροσδιορισµ ο τωνσταθερ ωνπαραµ ετρωνµπορε ιναεπιτευχθε ιαπ οτηναπα ιτησηηευθε ιααυτ ηναδι ερχεταιαπ οταδεδοµ ενασηµε ιαα,β.παρατηρο υµε οτι ηλ υσητη εξ ισωση Euler-Lagrangeδενκαθορ ιζειπαρ αµ ονοτηµορφ η τη ζητο υµενη συν αρτηση και οχιτηνακρι ητη εκφραση ηακρι η τιµ ητωνελε υθερωνπαραµ ετρων,εδ ωτων x 0, y 0, c,καθορ ιζεταιαπ οτι συνοριακ ε συνθ ηκε τουεκ αστοτεπρο λ ηµατο. Toπρ ο ληµατουβραχυστ οχρονου. 3 Τισχ ηµαπρ επεινα εχειµιατσουλ ηθρα,ηοπο ιαεν ωνειδ υοσηµε ιαπουβρ ισκονταιστο ιδιοοριζ οντιοεπ ιπεδο, ωστε ενασ ωµαολισθα ινοντα ελε υθεραεπ ανωσεαυτ η,χωρ ι αρχικ ηταχ υτητα,ναφτ ασειαπ οτο ενα ακροστο αλλοστοσυντοµ οτεροδυνατ οχρ ονο; Α θεωρ ησουµε ενααπειροστ οτµ ηµα dsτη ζητο υµενη καµπ υλη µε οριζ οντιακαικατακ ορυφησυνιστ ωσα dxκαι dyαντ ιστοιχα (βλ.σχ ηµα 3 Toπρ ο ληµααυτ οτ εθηκετηνπρωτοχρονι ατου 1697απ οτονjohannbernoulliω πρ οκλησηπρο του καλ υτερου µαθηµατικο υ ολουτουκ οσµου.μηλαµ ανοντα απ αντησηαπ οτου γ αλλου καιολλανδο υ µαθηµατικο υ,οbernoulliαπ εστειλετοπρ ο- ληµαστηνroyalsociety,ηοπο ιαστησυν εχειατοδια ι ασεστονε υτωνα.ονε υτων ελυσετοπρ ο ληµατην ιδιακι ολα ηµ ερακαι εστειλετησ υντοµηαλλ αδυσν οητηλ υση τουανων υµω στονbernoulli,οοπο ιο αναγν ωρισεαπ οτοντρ οποεπ ιλυση τουπρο- λ ηµατο τοσυγγραφ εατη λ υση,αναφων ωντα τοπερ ιφηµο εξ ονυχο τονλ εοντα.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 2.2). Αν uε ιναιηστιγµια ιαταχ υτηταµετηνοπο ιατοκινητ οδιασχ ιζει τοενλ ογωδι αστηµα,τοχρονικ οδι αστηµαπουχρει αζεταιτοολισθα ινον σ ωµαναδιατρ εξειτο dsθαε ιναι ισοµε ds/u.εποµ ενω,ηποσ οτηταπου πρ επειναελαχιστοποι ησουµεε ιναιη B B ds B 1 + dt = u = (y ) dx 2. u A A Παρ αλληλαγνωρ ιζουµε οτιηταχ υτητα u,λ ογωδιατ ηρηση τη εν εργεια, ε ιναισυν αρτησηµ ονοτου υψου yκαιπιοσυγκεκριµ ενα A u(y) = 2gy. Στοπρ ο ληµατο υτοησυν αρτηση Lε ιναιπιοπολ υπλοκηαπ ο,τιστοπροηγο υµενογεωµετρικ οπρ ο ληµακαιεξαρτ αταιτ οσοαπ οτην y οσοκαι απ οτην y. Υστερααπ οµερικ ε πρ αξει ηεξ ισωσηeuler-lagrangeκαταλ ηγειστηδιαφορικ ηεξ ισωση 1 + (y ) 2 + 2yy = 0. (2.11) Ανπολλαπλασι ασουµετην(2.11)µε y ηπαραπ ανωεξ ισωσηγρ αφεταιαπλο υστεραω εξ η : d dx [y(1 + (y ) 2 )] = 0. Συµπερα ινουµε,λοιπ ον, οτι y(1 + (y ) 2 ) =σταθ. Ητελευτα ιααυτ ησχ εσηεπαληθε υεταιαπ οτηνεξ ισωσητη κυκλοειδο υ καµπ υλη (βλ.σχ ηµα 2.2)µεπαραµετρικ ηµορφ η x(θ) = A(θ sin θ), (2.12) y(θ) = A( 1 + cos θ), (2.13) οπου θε ιναιµιαπαρ αµετρο πουλαµ ανειτιµ ε απ ο 0 εω 2π.Κυκλοειδ η καµπ υληε ιναιηκαµπ υληπουδιαγρ αφει ενασηµε ιοτη περιφ ερεια εν ο κ υκλου,οοπο ιο κυλ ιεταιεπ ανωσε εναεπ ιπεδοχωρ ι ναολισθα ινει. Οπω καιστοπροηγο υµενοπαρ αδειγµα,ητιµ ητη παραµ ετρου Aπρ επειναεπιλεγε ι ετσι ωστεηκυκλοειδ η καµπ υληναπροσαρµ οζεταιστα δεδοµ εναακρα ιασηµε ια.πιοσυγκεκριµ εναθαπρ επει A = L 2π, οπου Lηοριζ οντιααπ οστασηµεταξ υτωνδ υοακρα ιωνσηµε ιων. Πρ ο ληµαµηχανικ η :Ναβρεθο υνοιεξισ ωσει κ ινηση εν ο σωµατιδ ιουµ αζα mπουκινε ιταιµ εσαστοοµογεν ε βαρυτικ οπεδ ιοτη Γη. Μ αθαµε ηδηναγρ αφουµετηδρ ασηγιαταµηχανικ ασυστ ηµαταω το ολοκλ ηρωµατη διαφορ α µεταξ υτη κινητικ η καιτη δυναµικ η εν εργεια.εποµ ενω,ηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηγιατοπρ ο ληµααυτ οε ιναι η L = 1 2 m x 2 + m g x = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) mgz.

2.1. ΠΟΤΕ ΕΝΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ ΕΣ ΚΑΘΙΣΤΑΤΑΙ ΣΤΑΣΙΜΟ 27 Σχ ηµα 2.2:Ηκυκλοειδ η καµπ υληαποτελε ιτηλ υσηστοπρ ο ληµατουβραχυστ οχρονου. y d dt L z d dt ẏ ) ( L ż = 0, mẍ = 0, mÿ = 0, m z + mg = 0. Ηλ υσηαυτ ωντωνεξισ ωσεωνδ ινειτηγνωστ ηµα παρα ολικ ηκ ινηση x(t) = x 0 + u x t, y(t) = y 0 + u y t, z(t) = z 0 + u z t 1 2 gt2. Σ υµφωναµετηναρχ ητη ελ αχιστη δρ αση ηφυσικ ηδιαδροµ ηπρ επεινα ε ιναιτ ετοια ωστεηδρ ασηνακαθ ισταταιστ ασιµηκαισυνεπ ω ναικανοποιε ιτι εξισ ωσει Euler-Lagrange.Στοπρ ο ληµαπουεξετ αζουµεηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηε ιναισυν αρτησητωντρι ωνκαρτεσιαν ωνσυντεταγµ ενωντη θ εση τουσωµατιδ ιουκαιτωνπαραγ ωγωντου. Εποµ ενω,υπ αρχουντρει εξισ ωσει Euler-Lagrange L x d ( ) L = 0, dt ẋ ( ) L L = 0, οιοπο ιε υστερααπ οαπλ ε παραγωγ ισει λαµ ανουντηνακ ολουθηµορφ η: Οπω αναφ εραµεπαραπ ανω,οιεξισ ωσει Euler-Lagrangeδενεµπερι εχουνκαµ ιαπληροφορ ιασχετικ αµεταακρα ιασηµε ιατη διαδροµ η. Στηνπραγµατικ οτηταοιεξισ ωσει Euler-Lagrangeαποτελο υνγιαταµηχανικ ασυστ ηµαταµιαεναλλακτικ ηπαρουσ ιασητουδε υτερουν οµουτου Νε υτωνα ε ιναι,δηλαδ η,διαφορικ ε εξισ ωσει που υπαγορε υουν στο

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Οιεξισ ωσει Euler- Lagrange, σε αντιδιαστολ ηµε τι εξισ ωσει του Νε υτωνα,µ ενουν αναλλο ιωτε σε διαφορετικ α συστ ηµατα συντεταγµ ενων F = m x. Γρ αφοντα αυτ ητησχ εσησεκαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε µεκ εντροτου συστ ηµατο τοκ εντροτουπεδ ιουδυν αµεων εχουµε F x = F(r) x r = mẍ, (2.14) F y = F(r) y r = mÿ, (2.15) µηχανικ οσ υστηµαµεποιοτρ οπονα κινηθε ι σεκ αθεχρονικ ηστιγµ η.τα ακρα ιασηµε ιααπλ ω καθορ ιζουντι παραµ ετρου τη φυσικ η διαδρο- µ η τουσυστ ηµατο ωστεηδιαδροµ ηναδι ερχεταιαπ οαυτ ατασηµε ια. Μ ιαακ οµηπιοσηµαντικ ηπαρατ ηρησηε ιναι οτι,εν ωοδε υτερο ν οµο τουνε υτωνασεδιαφορετικ ασυστ ηµατασυντεταγµ ενωνλαµ ανειδιαφορετικ ηµορφ η,οιεξισ ωσει Euler-Lagrangeµ ενουναπαρ αλλαχτε.αυτ ο πουκ αθεφορ ααλλ αζειε ιναιαπλ ω ηµορφ ητη Λαγκρανζιαν η.α εξετ ασουµε,γιαπαρ αδειγµα, εναπρ ο ληµακ ινηση σωµατιδ ιουσεκεντρικ ο πεδ ιοδυν αµεωνκαιµετι δ υοµεθοδολογ ιε. Νευτ ωνειαµεθοδολογ ια: Ηκ ινησητουσωµατιδ ιου,πουγιαλ ογου απλο υστευση θαθεωρ ησουµεω δεδοµ ενο οτιπραγµατοποιε ιταισε ενα επ ιπεδο,δι επεταιαπ οτοδιανυσµατικ ον οµο εν ωσεπολικ ε συντεταγµ ενε (βλ.σχ ηµα2.3), υστερααπ οκ αποιε,σχε- Σχ ηµα 2.3:Συσχ ετισηκαρτεσιαν ωνκαιπολικ ωνσυνιστωσ ωνµια κεντρικ η δ υναµη. τικ αεπ ιπονε,πρ αξει διανυσµατικ η αν αλυση,λαµ ανουµε F r = F(r) = m( r r θ 2 ), (2.16) F θ = 0 = m d r dt (r2 θ). (2.17) Αναλυτικ ηµεθοδολογ ια: ΗΛαγκρανζιαν ηστι καρτεσιαν ε συντεταγµ ενε πα ιρνειτηµορφ η L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) V ( x 2 + y 2 ), εν ωστι πολικ ε συντεταγµ ενε τηµορφ η L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) V (r),

2.2. ΣΗΜΕΙΑΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 29 οπου V (r) = F(r )dr. Οιεξισ ωσει Euler -Lagrange πουθαχρησιµοποι ησουµεγιαναεξαγ αγουµετι εξισ ωσει κ ινηση ε ιναιαυτ ε που ηδηγρ αψαµεκαιδενχρει αζεταιναδιαφοροποιηθο υνκαθ ολουεξαιτ ια τη αλλαγ η τουσυστ ηµατο αναφορ α.οιεξισ ωσει κ ινηση θακαταλ ηξουνστι νευτ ωνειε εξισ ωσει πουγρ αψαµεπαραπ ανωαν αλογαµε τηνεπιλογ ητουσυστ ηµατο αναφορ α (βλ. Ασκηση2.1).Ησ υγκρισηµεταξ υτη νευτ ωνεια καιτη αναλυτικ η θε ωρηση ε ιναιοφθαλµοφαν η. Οιεξισ ωσει Euler-Lagrangeε ιναιγενικ οτερη εφαρµογ η καιαυτ οµα διευκολ υνειαφο υδενχρει αζεταινααποµνηµονε υουµεπολλ ε διαφορετικ ε εκφρ ασει. Ασκηση2.1.Χρησιµοποι ωντα τι εξισ ωσει Euler-Lagrange,δε ιξτε οτιοιδ υοπα- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ραπ ανωλαγκρανζιαν ε οδηγο υνστι αντ ιστοιχε νευτ ωνειε εξισ ωσει κ ινηση. 2.2 Σηµειακο ιµετασχηµατισµο ι Εω τ ωραδε ιξαµε οτιηαρχ ητουχ αµιλτονε ιναιισοδ υναµηµετο δε υτερον οµοτουνε υτωνα,ανγρ αψουµετηλαγκρανζιαν ηεν ο µηχανικο υσυστ ηµατο ω τηδιαφορ αµεταξ υτη κινητικ η καιτη δυναµικ η εν εργεια τουσυστ ηµατο µετι θ εσει καιτι ταχ υτητε οπω αυτ ε µετρ ωνταιαπ ο ενααδρανειακ οκαρτεσιαν οσ υστηµααναφορ α.τιθασυν ε αινε οµω αναντ ιτωνκαρτεσιαν ωνσυντεταγµ ενωνεπιλ εγαµεκ αποιε αλλε γενικ οτερε συντεταγµ ενε ;Σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηισοδυναµ ια τωνεξισ ωσεωνeuler -Lagrange µετι εξισ ωσει τουνε υτωναδενε ιναι προφαν η. Εστω εναφυσικ οσ υστηµα,τοοπο ιοδι επεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η συν αρτηση L(x, ẋ, t) οπουτο x,καιαντ ιστοιχατο ẋ,µπορε ινασυµ ολ ιζει εναολ οκληροπλ ηθο απ οσυντεταγµ ενε πουαπαιτο υνταιγιατονκαθορισµ οτη θ εση καιαντ ιστοιχατη ταχ υτητα τωνµερ ωντουσυστ ηµατο.θεωρο υµετ ωραν εε συντεταγµ ενε q,τ οσε οσε καιοι x,οιοπο ιε Τιε ιναισηµειακ ο συνδ εονταιµετι αρχικ ε καρτεσιαν ε συντεταγµ ενε µ εσωτωνσχ εσεων µετασχηµατισµ ο ; q i = q i (x, t). Οιν εε συντεταγµ ενε προκ υπτουναπ οτι αρχικ ε µε ενασηµειακ οµετασχηµατισµ ο,δηλαδ η εναµετασχηµατισµ οσηµε ιοπρο σηµε ιο.θεωρο υµε οτιοµετασχηµατισµ ο αυτ ο ε ιναιαντιστρ εψιµο,δηλαδ ηκ αθεσηµε ιο στι καινο υργιε συντεταγµ ενε αντιστοιχε ισε εναµοναδικ οσηµε ιοστι αρχικ ε συντεταγµ ενε. Μπορο υµε,εποµ ενω,ναγρ αψουµετι αρχικ ε καρτεσιαν ε συντεταγµ ενε συναρτ ησειτωνν εωνσυντεταγµ ενων qω x i = x i (q, t). Εχουµε ηδηχρησιµοποι ησεισηµειακο υ µετασχηµατισµο υ.γιαπαρ αδειγµα,στηνπερ ιπτωσητη κ ινηση εν ο σ ωµατο σεκεντρικ οπεδ ιο

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ γνωρ ιζουµε οτιε ιναιπροτιµ οτεροναεπιλ εξουµεπολικ ε συντεταγµ ενε γιατηνπεριγραφ ητη κ ινηση. Σεαυτ ητηνπερ ιπτωση εχουµετοχρονοανεξ αρτητοσηµειακ οµετασχηµατισµ οαπ οτι συν ηθει καρτεσιαν ε συντεταγµ ενε (x, y)στι πολικ ε (r, θ) r = x 2 + y 2, tan θ = y x. Αλλοπαρ αδειγµαχρονοεξαρτ ωµενου,αυτ ητηφορ α,σηµειακο υµετασχηµατισµο υε ιναιηµετ α ασηαπ ο ενααδρανειακ οκαρτεσιαν οσ υστηµα αναφορ α σε αλλοµηαδρανειακ οκαρτεσιαν οσ υστηµαπουκινε ιταιµε µετα αλλ οµενησχετικ ηταχ υτητα V (t)ω προ τοαρχικ ο. Σεαυτ ητην περ ιπτωσηοισυντεταγµ ενε µετασχηµατ ιζονταιω εξ η x = x t 0 V (τ)dτ, οπου xɴοιν εε συντεταγµ ενε και xοιαρχικ ε συντεταγµ ενε. Στοπροηγο υµενοεδ αφιοε ιδαµε οτιµιατ ετοιααλλαγ ησυντεταγµ ενων διαφοροποιε ιτηµορφ ητωννευτ ωνειωνεξισ ωσεων οχι οµω καιτωνεξισ ωσεωνeuler -Lagrange. Εχει αραγετογεγον ο αυτ ογενικ ηισχ υ;ε ιναι,δηλαδ η,οιεξισ ωσει Euler -Lagrange αναλλο ιωτε σεοποιοδ ηποτε σηµειακ οµετασχηµατισµ ο; Απ οτηστιγµ ηπου εχουµεκαταλ ηξειστοσυµπ ερασµα οτιηφυσικ ηκ ινησηαντιστοιχε ισεεκε ινητηδιαδροµ ηγιατηνοπο ιαηδρ ασηκαθ ισταται στ ασιµηκαισυνεπ ω ηδιαδροµ ηε ιναιεκε ινηπουικανοποιε ιτι εξισ ωσει Euler-Lagrange,ε ιναιπροφαν ε οτι,ανηδρ αση S = tb t A L(x, ẋ, t)dt Ηαρχ ητουχ αµιλτον δενενδιαφ ερεταιγια τι συντεταγµ ενε στι οπο ιε γρ αφεται ηδιαδροµ ητου συστ ηµατο καθ ισταταιστ ασιµηγιατηδιαδροµ η x(t),θακαθ ισταταιστ ασιµηκαιγια την ιδιαδιαδροµ ηεκπεφρασµ ενηστι συντεταγµ ενε q,δηλαδ ηγιατηδιαδροµ η q(x(t), t).επειδ η ẋ = x(q, t) q q + x(q, t) t, θαισχ υουνταυτοτικ αοιισ οτητε S = = tb t A tb L ( x(q, t) x(q, t), q + q t A L (q, q, t)dt, ) x(q, t), t dt t οπουορ ισαµεω L τηλαγκρανζιαν ηστι ν εε συντεταγµ ενε ( ) L x(q, t) x(q, t) (q, q, t) L x(q, t), q +, t. (2.18) q t

2.2. ΣΗΜΕΙΑΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 31 Συνεπ ω,επειδ ηηx(t)ικανοποιε ιτι εξισ ωσει Euler-Lagrange ( ) d L L dt ẋ x = 0, τ οτεκαιηq(x(t), t),επειδ ηκαιαυτ ηηδιαδροµ ηκαθιστ ατηδρ ασηακρ οτατη,πρ επειναικανοποιε ιτι αντ ιστοιχε εξισ ωσει Euler-Lagrange d dt ( L q ) L q = 0, οπουηλαγκρανζιαν η L (q, q, t)πουδι επειτηδυναµικ ητουσυστ ηµατο στι ν εε συντεταγµ ενε ε ιναι, οπω αναφ εραµε,ηαρχικ ηλαγκρανζιαν η L(x, ẋ, t),εκπεφρασµ ενηστι ν εε συντεταγµ ενε q.αποδε ιξαµε,λοιπ ον, οτιοιεξισ ωσει Euler -Lagrange,σεαντ ιθεσηµετι εξισ ωσει τουνε υτωνα,ε ιναιαναλλο ιωτε στου σηµειακο υ µετασχηµατισµο υ και εχουν την ιδιαµορφ ησε ολατασυστ ηµατααναφορ α ακ οµηκαιε αναυτ αδεν ε ιναιαδρανειακ α. 4 Ηπαραπ ανωπρ οτασηµπορε ινααποδειχθε ι,αρκετ α πιοεπ ιποναβ ε αια,ανεκτελ εσουµεσυστηµατικ ατι παραγωγ ισει των εξισ ωσεωνeuler-lagrangeστηνν εαλαγκρανζιαν η L (βλ.πρ ο ληµα4). Ασκηση2.2. Γρ αψτετι εξισ ωσει Euler - Lagrange ελε υθερουσωµατιδ ιουστι ΑΣΚΗΣΕΙΣ συντεταγµ ενε xɴ, οπου t x = x V (τ)dτ. 0 Οιεξισ ωσει Euler-Lagrangeθαπεριγρ αφουντ οτετι εξισ ωσει κ ινηση τουελε υθερου σωµατιδ ιουσε εναεπιταχυν οµενοσ υστηµααναφορ α. Αν,λοιπ ον,τοµηχανικ οσ υστηµαπεριγρ αφεταισε ενακαρτεσιαν οαδρανειακ οσ υστηµααπ οτηλαγκρανζιαν η L = E κιν E δυν, οπου E κιν η κινητικ ηκαι E δυν ηδυναµικ ηεν εργειατουσυστ ηµατο,τ οτεσεοποιεσδ ηποτε αλλε συντεταγµ ενε ηδυναµικ ητουσυστ ηµατο θαπεριγρ αφεται καιπ αλιαπ οτηλαγκρανζιαν η L = E κιν E δυν, οπουηκινητικ ηκαιηδυναµικ ηεν εργειαθαε ιναιτ ωραεκπεφρασµ ενε στι ν εε συντεταγµ ενε. Φορµαλιστικ αηλαγκρανζιαν ηθαε ιναιµιαν εασυν αρτηση L τωνν εων συντεταγµ ενων. Γιαπαρ αδειγµα, εναελε υθεροσωµατ ιδιοπουκινε ιται στοχ ωροθαπεριγρ αφεταιαπ οτηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ), ανχρησιµοποιηθο υνκαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε.αν, οµω,ε ιχαµεεπιλ εξειω συντεταγµ ενε γιατηνπεριγραφ ητη κ ινηση τι κυλινδρο-πολικ ε 4 Ποιαε ιναιτ οτεησηµασ ιατουπρ ωτουν οµουτουνε υτωνα;σεεπ οµενοκεφ αλαιο θαδο υµε οτιοπρ ωτο ν οµο τουνε υτωνα εχεικρ ισιµησηµασ ιαγιατηνκατασκευ ητη λαγκρανζιαν η συν αρτηση.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ συντεταγµ ενε (ρ, θ, z),τ οτεεπειδ η θα ηταν x = ρ cosθ, y = ρ sin θ, ẋ = ρ cosθ ρ θ sin θ, ẏ = ρ sin θ + ρ θ cosθ. Συνεπ ω,ηκινητικ ηεν εργειακαιεποµ ενω ηλαγκρανζιαν ηπουδι επει τηδυναµικ ητουσωµατιδ ιουθαδ ινεταιαπ οτην εκφραση L = 1 2 m( ρ2 + ρ 2 θ2 + ż 2 ). Ηκ ινησητουσωµατιδ ιουσεκυλινδρo-πολικ ε συντεταγµ ενε µπορε ινα εξαχθε ιαπ οτι εξισ ωσει Euler-Lagrange ( ) d L L dt ρ ρ = 0 η m( ρ ρ θ 2 ) = 0, ( ) d L dt θ L θ = 0 η d dt (mρ2 θ) = 0, ( ) d L L = 0 η m z = 0. dt ż z Τοτ εχνασµατου Landau για την κινητικ ηεν εργεια σεδι αφορα συστ ηµατα συντεταγµ ενων Σεαυτ οτοσηµε ιοθα ητανχρ ησιµονααναφ ερουµετοτ εχνασµατου Landauγιατονυπολογισµ οτη κινητικ η εν εργεια σεοποιοδ ηποτεσ υστηµασυντεταγµ ενων.επειδ ηηκινητικ ηεν εργειαε ιναι E κιν = 1 2 mu2, οπου uτοµ ετροτη ταχ υτητα,καιισχ υει οτι u 2 = (ds)2 (dt) 2, οπουτο dsε ιναιηδιαφορικ ηαπ οστασηµεταξ υδ υοσηµε ιων,γιαναυπολογ ισουµετηνκινητικ ηεν εργειασεοποιοδ ηποτεσ υστηµασυντεταγµ ενων,αρκε ιναγρ αψουµετοτετρ αγωνοτη διαφορικ η απ οσταση µεταξ υ δ υοσηµε ιωνστοσυγκεκριµ ενοσ υστηµασυντεταγµ ενων. Ετσι,γιαπαρ αδειγµα,σε ενακαρτεσιαν οσ υστηµασυντεταγµ ενωντοτετρ αγωνοτη διαφορικ η απ οσταση µεταξ υτωνσηµε ιων (x, y, z)και (x + dx, y + dy, z + dz),β ασειτουπυθαγορε ιουθεωρ ηµατο,ε ιναι (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2. Εποµ ενω,τοτετρ αγωνοτη ταχ υτητα ε ιναι ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx dy dz u 2 = + + = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2, dt dt dt

2.3. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 33 Σχ ηµα 2.4:Οισφαιρικ ε συντεταγµ ενε καιηαν αλυσητουαπειροστο υµ ηκου ω συν αρτησητωντρι ωνκ αθετωνµετα ολ ων dr, rdθ, r sin θdφ. οπ οτεηκινητικ ηεν εργειαλαµ ανειτηγν ωριµηµορφ η.σεσφαιρικ ε συντεταγµ ενε ε ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσεικανε ι (βλ.σχ ηµα2.4) οτιηδιαφορικ ηαπ οστασηµεταξ υτωνσηµε ιων (r, θ, φ)και (r +dr, θ +dθ, φ+dφ) ε ιναι (ds) 2 = (dr) 2 + r 2 (dθ) 2 + r 2 sin 2 θ(dφ) 2, οπ οτετοτετρ αγωνοτη ταχ υτητα ε ιναι ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dr dθ dφ u 2 = + r 2 + r 2 sin 2 θ = ṙ 2 + r 2 dt dt dt θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2. Αφο υ εχουµευπολογ ισειτηλαγκρανζιαν ησυν αρτησησεσφαιρικ ε συντεταγµ ενε,ε ιναιε υκολοστησυν εχειααπ οτι εξισ ωσει Euler-Lagrange ναγρ αψουµετι εξισ ωσει κ ινηση σεσφαιρικ ε συντεταγµ ενε. Ετσι, δενχρει αζεταινααποµνηµονε υουµεκ αθεφορ ατοντρ οποµετονοπο ιο αναλ υεταιηεπιτ αχυνσηστι δι αφορε συντεταγµ ενε κατ ατηνεφαρµογ η τουδε υτερουν οµουτουνε υτωνα. 2.3 Ηγεν ικευσητη εννοια τη ορµ η καιτη εν εργεια Απ οταπρ ωταστ αδιατη µαθηµατικ η µα εκπα ιδευση ερχ οµαστε σεεπαφ ηµετηδιαδικασ ιατη γεν ικευση.αρχικ αµαθα ινουµεναεκτελο υµεπρ αξει µεφυσικο υ αριθµο υ,αλλ ασ υντοµαγενικε υουµετην εννοιατουαριθµο υκαιαρχ ιζουµεναχειριζ οµαστετου ακερα ιου,του

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ρητο υ,του πραγµατικο υ,του µιγαδικο υ αριθµο υ.οµο ιω,αρχικ α γνωρ ιζουµετην εννοιατη δ υναµη εν ο φυσικο υαριθµο υ,αλλ ασ υντοµα τηγενικε υουµεκαιορ ιζουµεσυναρτ ησει τη µορφ η z w, οπου zκαι wµιγαδικο ιαριθµο ι. Η ιδιαδιαδικασ ιαγεν ικευση ακολουθε ιταικαιστηφυσικ η.οδυνα- µικ ο ν οµο τουνε υτωνα m a = F, µετηνεφαρµογ ητη αρχ η τουχ αµιλτονγενικε υεται, οπω ε ιδαµε,στι εξισ ωσει Euler-Lagrange ( ) d L L = 0, (2.19) dt q i q i οπου q i ε ιναιοιοποιεσδ ηποτεσυντεταγµ ενε περιγρ αφουντοµηχανικ ο σ υστηµακαιl(q, q, t)ε ιναιηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουµηχανικο υσυστ ηµατο πουεξαρτ αται οχιµ ονοαπ οτι θ εσει q i,αλλ ακαιαπ οτι γενικευµ ενε πλ εονταχ υτητε q i.ον εο δυναµικ ο ν οµο (2.19)µετατρ επεταιστοδε υτερον οµοτουνε υτωνα,ανπεριγρ αψουµετηθ εσητουσωµατιδ ιουµεκαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε καιορ ισουµετηνορµ η p i πουαντιστοιχε ιστησυντεταγµ ενη x i (µε x 1 = x, x 2 = yκαι x 3 = z)ω τηνποσ οτητα L ẋ i = mẋ i καιτηναντ ιστοιχησυνιστ ωσατη δ υναµη ω L x i. Τ οτε,ον οµο τουνε υτωνακαιοιεξισ ωσει Euler-Lagrangeε ιναι ιδιοι dp i dt = F i. (2.20) Σεαντ ιθεση, οµω,µετοδε υτερον οµοτουνε υτωνα,ησχ εση (2.20) µετι γενικευµ ενε εννοιε τη ορµ η καιτη δ υναµη ισχ υεισεκ αθεσ υστηµασυντεταγµ ενωνκαισεκ αθεσ υστηµααναφορ α,ακ οµηκαι οταν τοσ υστηµααναφορ α δενε ιναικαρτεσιαν ο,ο υτεκαναδρανειακ ο.υπ ο αυτ ητην εννοιαγενικε υουµετην εννοιατη ορµ η καιορ ιζουµεγιακ αθε συντεταγµ ενη q i τουφυσικο υσυστ ηµατο τηναντ ιστοιχησεαυτ ηγενικευ- µ ενηορµ η,ηοπο ιαλ εγεταικαιγενικευµ ενηορµ ησυζυγ η τη συντεταγ- µ ενη q i,ω ακολο υθω : p i = L q i. Επ ιση ορ ιζουµετηνποσ οτητα F i = L q i ω γενικευµ ενηδ υναµη.μεαυτ οτοντρ οποδενγενικε υεταιµ ονοοδε υτερο ν οµο τουνε υτωνα,πουαποκτ απλ εονισχ υσεκ αθεσ υστηµασυντεταγµ ενων,αλλ αγενικε υονταικαιταφυσικ αµεγ εθητου,δηλαδ ηηορµ η καιηδ υναµη.

2.3. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 35 Ω παρ αδειγµα,α θεωρ ησουµε ενασωµατ ιδιοπουκινε ιταιστοχ ωρο υπ οτηνεπ ιδρασηεν ο γενικο υδυναµικο υ V (x, y, z).ητρ ιτησυνιστ ωσα τη στροφορµ η τουσωµατιδ ιου,η zσυνιστ ωσααυτ η,ω προ τηναρχ η τωναξ ονωνορ ιζεταιω ( L z = m x x ) = m(xẏ yẋ), (2.21) z καιητρ ιτησυνιστ ωσατη ροπ η πουασκε ιταιστοσωµατ ιδιο(αφο υηδ υναµηε ιναι F = V)ω ( τ z = x V ) ( = x V ) z y y V. (2.22) x Ανπεριγρ αψουµετηθ εσητουσωµατιδ ιουσεκυλινδροπολικ ε συντεταγ- µ ενε (r, θ, z),τ οτεε ιναι x = r cosθ, (2.23) y = r sin θ. (2.24) Yπολογ ιζοντα στησυν εχειατι ẋκαι ẏ,συµπερα ινουµε οτιητρ ιτησυνιστ ωσατη στροφορµ η σεκυλινδροπολικ ε συντεταγµ ενε λαµ ανειτην απλ ηµορφ η Οµο ιω,επειδ η V θ = V x = r ηροπ η τ z λαµ ανειτηµορφ η L z = mr 2 θ. (2.25) x θ + V y ( sin θ V x = x V y y V x, y θ + cos θ V y τ z = V θ. (2.26) Σεκυλινδροπολικ ε συντεταγµ ενε ηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηεν ο σω- µατιδ ιουε ιναι L = m ) (ṙ 2 + r 2 2 θ2 + ż 2 V, καιηγενικευµ ενηορµ η,συζυγ η τη συντεταγµ ενη θ, p θ = L θ = mr2 θ, (2.27) δενε ιναι αλληαπ οτηντρ ιτησυνιστ ωσατη στροφορµ η (2.21).Ηγενικευµ ενηδ υναµη F θ = L θ = V θ, (2.28) )

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ε ιναιητρ ιτησυνιστ ωσατη ροπ η καιηεξ ισωσηeuler -Lagrange οσον αφορ αστη θσυντεταγµ ενη dp θ dt = F θ, ε ιναιηγνωστ ηεξ ισωσηµετα ολ η τη στροφορµ η τουσωµατιδ ιου.πα- ρατηρο υµε,λοιπ ον, οτιοδυναµικ ο ν οµο εξ ελιξη τωνγενικευµ ενωνορ- µ ωνκαιδυν αµεωνπεριλαµ ανει αµεσακαιδυναµικο υ ν οµου,οιοπο ιοι προκ υπτουνω εµµεσησυν επειατουδε υτερουν οµουτουνε υτωνα. Σχ ηµα2.5: υοφυσικ ε διαδροµ ε µεελαφρ ω µετατοπισµ ενα ακρα,οιοπο ιε αντιστοιχο υνσεδρ ασει S 1, S 2.Ε ανοιδρ ασει ε ιναι ιδιε γιακ αποιονµετασχηµατισµ οτωνσυντεταγµ ενων,ανεξαρτ ητω τη επιλογ η τη αρχικ η καιτη τελικ η χρονικ η στιγµ η, τ οτεδιατηρε ιταισταθερ οτογιν οµενοτη ορµ η επ ιτοµετασχηµατισµ οτωνσυντεταγ- µ ενων. ιε υρυνσητη ισχ υο τη αρχ η διατ ηρηση τη ορµ η Ηγεν ικευσητη εννοια τη ορµ η εχειιδια ιτερησηµασ ια.γνωρ ιζου- µε οτιοιαλληλεπιδρ ασει πουικανοποιο υντοντρ ιτον οµοτουνε υτωνα οδηγο υνστηδιατ ηρησητη συνολικ η ορµ η εν ο αποµονωµ ενουσυστ η- µατο.ηδιατ ηρησητη ορµ η, οµω,ε ιναιβαθ υτερηαρχ ηκαιαποτελε ι απ ορροια, οπω θαδο υµεσεεπ οµενοκεφ αλαιο,τη οµογ ενεια τουχ ωρου. Ηαρχ ηαυτ ηισχ υειακ οµηκαισεφυσικ ασυστ ηµαταγιαταοπο ια δενισχ υειοτρ ιτο ν οµο τουνε υτωνα, οπω γιαπαρ αδειγµαηαλληλεπ ιδρασηδ υοφορτισµ ενωνσωµατιδ ιων,ταοπο ιακινο υνταισεµηπαρ αλληλε κατευθ υνσει.ηδιατηρο υµενη, οπω θαδο υµε,ποσ οτηταε ιναιη γενικευµ ενηκαι οχιηνευτ ωνειαορµ ητουσυστ ηµατο. Την εννοιατη ορµ η µπορο υµε,ωστ οσο,νατηγενικε υσουµεακολουθ ωντα διαφορετικ οδρ οµοκαισυγκεκριµ εναµελετ ωντα τι µετα ολ ε τη δρ αση πουαντιστοιχο υνσεφυσικ ε τροχι ε.επειδ ηηφυσικ ητροχι α q φ (t)πουσυνδ εειτασηµε ια (t A, q A )και (t B, q B )ε ιναιδεδοµ ενη,ηδρ αση πουαντιστοιχε ισεαυτ ητηντροχι α S(q A, t A, q B, t B ) = tb t A L(q φ, q φ, t)dt, δενε ιναιπλ εον ενασυναρτησοειδ ε αλλ αµιασυν αρτησητωναρχικ ωνκαι τελικ ωνθ εσεωνκαιχρ ονων.α θεωρ ησουµε,τ ωρα,δ υοπαραπλ ησιε φυ-

2.3. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 37 σικ ε διαδροµ ε τηµ ιαµεαφετηρ ιαστοχρ ονο t A τηθ εση q φ (t A )καιτελικ οσηµε ιοστοχρ ονο t B τηθ εση q φ (t B )καιτην αλληµεαντ ιστοιχοαρχικ ο καιτελικ οσηµε ιοστου ιδιου π αλιχρ ονου q φ (t A ) + δq(t A )και q φ (t B ) + δq(t B ) (βλ.σχ ηµα 2.5).Ηπαραπλ ησιαστην (1)φυσικ ητροχι α (2)µπορε ι ναγραφε ιω q φ (t) = q φ(t) + ǫξ(t), οπου ǫε ιναι ενα αρκο υντω µικρ ο αριθµ ο,τ ετοιο ωστε ǫξ(t A ) = δq(t A ), ǫξ(t B ) = δq(t B ). Υπολογ ιζουµετ ωρατηµετα ολ ητη συν αρτηση -δρ αση σεπρ ωτητ αξη ω προ ǫ.εφαρµ οζοντα τηναθροιστικ ησ υµ ασηβρ ισκουµε οτι tb ( S([q φ ]) S([q φ]) = L(q φ + ǫξ, q φ + ǫ ξ, ) t) L(q φ, q φ, t) dt t A tb ( L = ǫ ξ i + L ) ξi dt t A q i q i L t B tb = ǫξ i q i + ǫ t A t A ( L q i d dt ( L q i )) ξ i dt. (2.29) Ταβ ηµαταπουακολουθ ησαµεστι παραπ ανωσχ εσει ε ιναιτα ιδιαµε εκε ιναπουµα οδ ηγησανναπροσδιορ ισουµετησυνθ ηκηπουικανοποιε ιταιαπ οτηντροχι α,ηοπο ιακαθιστ ατηδρ ασηακρ οτατη.ηµ ονηδιαφορ αστονπαραπ ανωυπολογισµ οε ιναι οτιοισυναρτ ησει ξ i (t)δενε ιναι τυχα ιε,δι οτιπαριστ ανουντηδιαφορ αµεταξ υτωνδ υογειτονικ ωνφυσικ ωντροχι ωντουσυστ ηµατο.επιπλ εον,επειδ ηηq φ (t)ε ιναιφυσικ ητροχι α,κ αθεσυνιστ ωσατη q φ (t)ικανοποιε ιτι εξισ ωσει Euler-Lagrange L q i d dt ( ) L = 0. q i Απ οτηστιγµ η,λοιπ ον,πουσυγκρ ινουµετηδρ ασηδ υοφυσικ ωντροχι ων, εφαρµ οζοντα καιπ αλιτηναθροιστικ ησ υµ αση,βρ ισκουµε οτιηδιαφορ ατωνδρ ασεων (2.29)ε ιναι οπου δs = p i (t B ) δq i (t B ) p i (t A ) δq i (t A ), (2.30) p i = L q i, ε ιναιηγενικευµ ενηορµ η,εν ω δq i (t A ) = ǫξ i (t A )και δq i (t B ) = ǫξ i (t B )ε ιναι ηαπ οστασηµεταξ υτωναρχικ ωνκαιτελικ ωνθ εσεωντωνδ υοφυσικ ων διαδροµ ων.επειδ ηκαιοτελικ ο χρ ονο καιοιτελικ ε θ εσει τουσυστ η- µατο εχουνληφθε ιαυθα ιρετα,ηγενικευµ ενηορµ ηµπορε ιναορισθε ικαι ω p i = S q i, (2.31) t

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ οπου Sε ιναιηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστηφυσικ ητροχι ατουσυστ ηµατο πουσυνδ εεικ αποιοτυχα ιοαρχικ οσηµε ιοµετοσηµε ιο q 1, q 2,...τηχρονικ ηστιγµ η t. Στηµερικ ηπαραγ ωγισηητιµ ητουχρ ονου tδιατηρε ιται σταθερ η, οπω επ ιση καιηαρχικ ηθ εσηκαιοαρχικ ο χρ ονο τη τροχι α τουσωµατιδ ιου,ταοπο ιαυπεισ ερχονταιστησυν αρτηση-δρ αση. Μολον οτιπρακτικ αοπροσδιορισµ ο τη ορµ η µεαυτ οτοντρ οποε ιναιεπ ιπονο,αφο υαπαιτε ιταιναπροσδιοριστε ιπρ ωταηφυσικ ητροχι α τουσυστ ηµατο,ηγεν ικευσητουορισµο υτη ορµ η µ εσωτη σχ εση (2.31)καταδεικν υει οτιηορµ ητουσυστ ηµατο προκ υπτειαπ οτηδρ αση µεχωρικ ηµετ αθεσητη τελικ η θ εση τουσυστ ηµατο. Οορισµ ο αυτ ο µ α οδηγε ι, οπω θαδο υµεσεεπ οµενοκεφ αλαιο,σεβαθ υτερηκαταν οησητουν οµουδιατ ηρηση τη ορµ η καιθαχρησιµοποιηθε ιγιατον προσδιορισµ οτη ορµ η πιοαφηρηµ ενωνφυσικ ωνοντοτ ητων, οπω για παρ αδειγµατωνπεδ ιων ητωνκυµ ατων. 5 Στοσηµε ιοαυτ οπ αντω µπορο υµεναπ αρουµεµιαπρ ωτηγε υσητη συσχ ετιση µεταξ υτη διατ ηρηση τη ορµ η καιτη αναλλοι οτητα τη δρ αση σεκ αποιου µετασχηµατισµο υ. Εστω οτιανακαλ υπτουµε,γιαπαρ αδειγµα, οτι,ανταακρα ια σηµε ιαµια φυσικ η τροχι α µετατεθο υνκατ α δq (A) i = K i (q(t A ), t A ), δq (B) i = K i (q(t B ), t B ), ηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστην εαφυσικ ητροχι απουσυνδ εειταδ υον εα ακρα ιασηµε ιαε ιναι ισηµετηναρχικ ηδρ αση (βλ.σχ ηµα 2.5).Τ οτεσ υµφωναµετην(2.30)ηµηδενικ ηδιαφορ ατη δρ αση µεταξ υτωνδ υοφυσικ ωντροχι ων,οιοπο ιε εχουνµετατεθε ιηµ ιααπ οτην αλληκατ α K i (q, t) θασηµα ινει οτι δηλαδ η p i (t B )δq (B) i = p i (t A )δq (A) i, p i (t B )K i (q(t B ), t B ) = p i (t A ) K i (q(t A ), t A ). Επειδ η, οµω,οιχρ ονοι t A και t B ε ιναιαυθα ιρετοι,τογιν οµενοτωνγενικευµ ενωνορµ ων p i επ ιτι µετατοπ ισει K i θαδιατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση,δηλαδ ηθαε ιναι d dt p i K i (q, t) = 0. i Οιµεταθ εσει K i πουδεναλλοι ωνουντηδρ ασηονοµ αζονταισυµµετρ ιε, καιθασυζητηθο υνδιεξοδικ αστοκεφ αλαιο 5. Ω παρ αδειγµατ ετοια συµµετρ ια α θεωρ ησουµετηδρ ασηπουπροκ υπτειαπ οτηφυσικ ηκ ινησηεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιουσεµ ιαδι ασταση, S = m 2 (x 2 x 1 ) 2 t 2 t 1. 5 Ισω αναρωτηθε ιτετιφυσικ οµ εγεθο προσδιορ ιζειη S/ t, οπουκαιπ αλιηsε ιναιησυν αρτηση-δρ ασηπουαντιστοιχε ισεµιαφυσικ ητροχι απουσυνδ εεικ αποιοαρχικ οσηµε ιοµετοσηµε ιο q 1, q 2,...στονχρ ονο t.θαδε ιξουµεσεεπ οµενοκεφ αλαιο οτι E = S/ t p, οπου Eε ιναιηγενικευµ ενηεν εργειατουσυστ ηµατο.μιαειδικ ηπερ ιπτωσητη σχ εση αυτ η µεταξ υδρ αση καιεν εργεια συναντ ησαµεστοπρ ο ληµα 5 τουκεφαλα ιου1.

2.4. Η ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΡΑΣΗΣ 39 Φα ινεταιαµ εσω οτιµιαµετ αθεσητη τροχι α x = x + 1δενµετα αλλει τηδρ αση(ε ιναισυµµετρ ια).συνεπ ω,ηορµ ητουσωµατιδ ιουδιατηρε ιται κατ ατηνκ ινηση. Στησυν εχειαθαγενικε υσουµετην εννοιατη εν εργεια.θαδε ιξουµε κατ αρχ α οτι, οτανηλαγκρανζιαν ηδεν εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτο χρ ονοκαιε ιναιµ ονοσυν αρτησητωνθ εσεωνκαιτωνγενικευµ ενωνταχυτ ητων, L(q, q),κατ ατηφυσικ ηκ ινησηδιατηρε ιταιηποσ οτητα E = q i L q i L(q, q). (2.32) Ηποσ οτητααυτ ηονοµ αζεταιολοκλ ηρωµατουjacobiκαιαποτελε ιτηγεν ικευσητη εννοια τη εν εργεια. Οταν,λοιπ ον,ηλαγκρανζιαν ηδεν εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονο,ηγενικευµ ενηεν εργεια (2.32)διατηρε ιταικατ ατηφυσικ ηκ ινηση. Απ οδειξη:υπολογ ιζουµετηχρονικ ηµετα ολ ητη ποσ οτητα E οταντα qεξελ ισσονταισ υµφωναµετι εξισ ωσει Euler-Lagrange d dt ( ) L q i = L q i. Πρ αγµατι,ηποσ οτητα Eδιατηρε ιται (ε ιναι, οπω λ εγεται,ολοκλ ηρωµα τη κ ινηση )δι οτι ( ) de dt = q L d L i + q i L q i L q i = 0. q i dt q i q i q i Ε ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσουµε οτιγια ενασωµατ ιδιοπουκινε ιταιυπ ο τηνεπ ιδρασηεν ο δυναµικο υ V (x, y, z)ηγενικευµ ενηεν εργειαδ ινειτη γνωστ η εκφρασητη εν εργεια.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηλαγκρανζιαν η τουσωµατιδ ιουσεκαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε ε ιναι L = m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2) V (x, y, z). 2 Επειδ ηηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηδεν εχει αµεσηχρονικ ηεξ αρτηση,διατηρε ιταικατ ατηνκ ινησηηποσ οτητατη εκφραση (2.32) E = ẋ L ẋ + ẏ L ẏ + ż L ż L = m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2) + V (x, y, z), 2 ηοπο ιαδενε ιναι αλληαπ οτηγνωστ ηµα εκφρασηγιατηνεν εργειατου σωµατιδ ιου. 2.4 Ηδε υτερη τ αξη µετα ολ ητη δρ αση Εω αυτ οτοσηµε ιοτη µελ ετη µα εχουµεπροσδιορ ισειτησυνθ ηκη πουπρ επειναικανοποιε ιταιγιανακαθ ισταταιηδρ ασηστ ασιµη. εν εχουµεπροσδιορ ισει, οµω,ανηφυσικ ηδιαδροµ ηκαθιστ ατηδρ ασηελ αχιστη,µ εγιστη ητ ιποτεαπ οταδ υο.γιανααπαντ ησουµεσετο υτοτοερ ωτηµα,πρ επειναθεωρ ησουµετηµετα ολ ητη δρ αση σεπροσ εγγισηδε υτερη τ αξη ω προ τηµετα ολ η, οπω γιαπαρ αδειγµα,ανθ ελουµενα

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Αν απτυξητη δρ αση σεδε υτερητ αξηω προ τηνπαρ εκκλιση δs = ǫ2 2 t2 t 1 ( L q q η 2 + 2L qq η η + L qq η 2) dt + O(ǫ 3 ). (2.33) µ αθουµετοε ιδο τουακροτ ατουµια συν αρτηση,πρ επειναυπολογ ισουµετηντιµ ητη δε υτερη παραγ ωγουτη συν αρτηση στηθ εσητου ακροτ ατου.ε αν qε ιναιηφυσικ ητροχι απουικανοποιε ιτηνεξ ισωσηeuler -Lagrange,τ οτεηµετα ολ ητη δρ αση δsπουαντιστοιχε ισεµετα ολ η τη τροχι α ǫη(t)θαε ιναι Ηµετα ολ ητη διαδροµ η που εχουµεθεωρ ησειε ιναικαιπ αλιτ ετοια ωστενααφ ηνειτι αρχικ ε καιτελικ ε θ εσει αµετ α λητε (η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0). Στηνπαραπ ανωσχ εσηχρησιµοποι ησαµετονακ ολουθοσυµ ολισµ ο γιατι παραγ ωγου τη Λαγκρανζιαν η L q q = 2 L q 2, L qq = 2 L q q, L qq = 2 L q 2. Ησχ εση (2.33)προκ υπτειαπ οτοαν απτυγµαtaylorτη Λαγκρανζιαν η L(q + ǫη, q + ǫ η, t)σεδε υτερητ αξηω προ ǫ.ο ορο πρ ωτη τ αξη ε ιναιφυσικ αµηδ εν,αφο υυποθ εσαµε οτιηqε ιναιηφυσικ ητροχι α.μεµια ολοκλ ηρωσηκατ αµ ερητουµικτο υ ορου η ησυµπερα ινουµε οτιηµετα- ολ ητη δρ αση µπορε ιναγραφε ιγενικ αω δs = ǫ2 2 t2 t 1 ( P η 2 Qη 2) dt + O(ǫ 3 ), (2.34) οπουοισυναρτ ησει P(t)και Q(t) εχουντηνακ ολουθηµορφ η: P(t) = L q q, Q(t) = L qq + d dt L qq. (2.35) Οι P(t)και Q(t)ε ιναιαµιγ ω χρονικ ε συναρτ ησει,δι οτι εχουνυπολογιστε ιστηφυσικ ητροχι α q(t)πουικανοποιε ιτηνεξ ισωσηeuler-lagrange. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση2.3.Αποδε ιξτε οτιπρ αγµατιηδε υτερηµετα ολ ητη δρ αση δ ινεταιαπ ο την (2.34)µ εσωτωνσυναρτ ησεων P(t)και Q(t)τη (2.35). Τοκριτ ηριογιαναε ιναι ηφυσικ ητροχι ατοπικ ο ελ αχιστο Τ ωρα,πλ εον,ε ιµαστεσεθ εσηναπροσδιορ ισουµετοε ιδο τουακροτ ατουτη δρ αση.ηφυσικ ητροχι ααποτελε ιτοπικ οελ αχιστοτη δρ αση ανγια ολε τι επιτρεπτ ε µετα ολ ε ηπουικανοποιο υντι συνοριακ ε συνθ ηκε η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0ε ιναι t2 t 1 ( P η 2 Qη 2) dt > 0. (2.36) Αντοολοκλ ηρωµααυτ οε ιναιπ αντοτεαρνητικ ο,τ οτεηφυσικ ητροχι α καθιστ ατηδρ ασηµ εγιστη,εν ω,αντοπρ οσηµοτουολοκληρ ωµατο εξαρτ αταιαπ οτηνεπιλογ ητη συν αρτηση η,ηφυσικ ητροχι ααποτελε ισαγ- µατικ ησυν αρτηση,δηλαδ ηγια αλλουτ υπουπαρεκκλ ισει απ οτηφυσικ η τροχι αηδρ ασηµεγαλ ωνειεν ωγια αλλε µικρα ινει.

2.4. Η ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΡΑΣΗΣ 41 Τοκατ απ οσο,λοιπ ον,ητροχι ααποτελε ιελ αχιστοτη δρ αση σχετ ιζεται αµεσαµετοπρ οσηµοτη (2.36).Ηµελ ετηαυτ ηε ιναιγενικ αδ υσκολη καιεξαρτ αται, οπω θαδο υµε,απ οτοχρονικ οδι αστηµα t = t 2 t 1. Ωστ οσο,οµαθηµατικ ο Κωνσταντ ινο Καραθεοδωρ η [1873-1950]απ εδειξε οτιγιααρκο υντω µικρ αχρονικ αδιαστ ηµαταηφυσικ ητροχι αε ιναιελ αχιστη.αυτ οε ιναιαναµεν οµενο,αφο υγιαφυσικ απρο λ ηµαταη P, οντα ηγενικευµ ενηµ αζα,ε ιναιπ αντοτεθετικ η.αφο υησυν αρτηση η οφε ιλειναε ιναιµηδ ενστα ακρατουχρονικο υδιαστ ηµατο,η η 2 γ ινεται ολο ενακαιµεγαλ υτερηαπ οτην η 2 οσοτο tµικρα ινει,οπ οτεοπρ ωτο ορο τη ολοκληρωτ εα ποσ οτητα στην (2.36)γιααρκο υντω µικρ ο t θαυπερισχ υσεικαιηποσ οτητα (2.36)θαγ ινειθετικ η. Τοθε ωρηµακαραθεοδωρ ηµπορε ινααποδειχθε ιπιοαυστηρ αµ εσωτη ανισ οτητα του Jules Henri Poincarɴe [1854-1912] t2 t 1 η 2 dt > π 2 t2 η 2 dt, (2.37) (t 2 t 1 ) 2 t 1 πουσυνδ εειτι τιµ ε τη παραγ ωγουµια συν αρτηση πουµηδεν ιζεται στα ακραεν ο διαστ ηµατο µετι τιµ ε τη συν αρτηση στοδι αστηµααυτ ο. Τηνανισ οτητααυτ ητηναποδεικν υουµεµετηµ εθοδοτουπηλ ικου RayleighστοΜαθηµατικ οπαρ αρτηµα. Ασκηση2.4. Αποδε ιξτε,χρησιµοποι ωντα τηνανισ οτητατου Poincarɴe (2.37),το ΑΣΚΗΣΕΙΣ θε ωρηµακαραθεοδωρ η,δηλαδ η, οτι,αν P(t) > 0,ηφυσικ ητροχι ακαθιστ ατηδρ αση ελ αχιστηγιααρκο υντω µικρ α t 2 t 1. [Υπ οδειξη:αναπτ υξτετο Pσεσειρ αtaylorγ υρω απ οτοµ εσοτουχρονικο υδιαστ ηµατο καιδε ιξτε οτιγια t 0ηανισ οτητα (2.36) ικανοποιε ιται.] ΣτοΜαθηµατικ οπαρ αρτηµατουβι λ ιουπαρουσι αζεταιεπ ιση οτρ οπο προσδιορισµο υτωνσυνθηκ ωνπουκαθιστο υντηδρ ασηελ αχιστη.εδ ωεµε ι θααρκεστο υµενααναφ ερουµε οτιηαναγκα ιασυνθ ηκηγιανα ε ιναιηφυσικ ητροχι αελ αχιστηε ιναι P(t) > 0σεκ αθεσηµε ιοτουδιαστ ηµατο [t 1, t 2 ]. ι οτι,ανηp(t)λ αµ ανεαρνητικ ε τιµ ε σεκ αποιαπεριοχ η D = [t 1, t 2 ],θααρκο υσεησυν αρτηση η(t)ναε ιναιµηµηδενικ ησε εναµικρ οµ ονοδι αστηµα D 1 Dτη περιοχ η αυτ η,πλ ατου δt,για νακαταστε ιηδε υτερηµετα ολ ητη δρ αση αρνητικ η. Επιλ εγοντα το δtαρκο υντω µικρ οµπορο υµενακαταστ ησουµε,β ασειτη ανισ οτητα τουpoincarɴe,τονπρ ωτο οροτη (2.34)κυρ ιαρχοκαιµ αλιστααρνητικ ο. Ηαναγκα ιασυνθ ηκη P(t) > 0γιαναε ιναιητροχι αελ αχιστηλ εγεται P(t) > 0αναγκα ια συνθ ηκηlegendreκαιικανοποιε ιταιπ αντοτεσταµηχανικ απρο λ ηµατα, αφο υηpε ιναιηγενικευµ ενηµ αζαπουεισ ερχεταιστην εκφρασητη κινητικ η εν εργεια,ηοπο ιαµετησειρ ατη ε ιναιπ αντοτεθετικ ηποσ οτητα. Ωστ οσο,ησυνθ ηκηαυτ ηδενε ιναιικαν ηνακαταστ ησειτηφυσικ ητροχι α ελ αχιστη.το υτοθαφανε ιστοπαρ αδειγµατουαρµονικο υταλαντωτ ηπου αλλ α οχιικαν η συνθ ηκηγιανα ε ιναιηδρ αση ελ αχιστη

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Οαρµονικ ο ταλαντωτ η ω παρ αδειγµαµελ ετη τουπροσ ηµουτη δε υτερη µετα ολ η συναρτησοειδο υ θααναλ υσουµεστησυν εχεια,προκειµ ενουναδε ιξουµετι δυσκολ ιε που αντιµετωπ ιζεικανε ι στηνπροσπ αθει ατουναπροσδιορ ισειτοπρ οσηµο τη ποσ οτητα (2.36). Οαρµονικ ο ταλαντωτ η σεµιαδι αστασηδι επεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η L = m 2 (ẋ2 ω 2 x 2 ). Α θεωρ ησουµετηφυσικ ητροχι ατουταλαντωτ ηαπ οτο t 1 = 0στο t 2 = T.Τοε ιδο τουακροτ ατουτη δρ αση κρ ινεταιαπ οτοπρ οσηµοτη (2.36), ηοπο ιαστηνπερ ιπτωσητουαρµονικο υταλαντωτ ηε ιναι T ( η 2 ω 2 η 2) dt. (2.38) 0 Απ οτηνανισ οτηταpοincarɴeπαρατηρο υµε οτιοπρ ωτο ορο τη (2.38) ικανοποιε ιτηνανισ οτητα T 0 0 T η 2 dt π2 η 2 dt, T 2 0 καισυνεπ ω ισχ υει οτι T ( η 2 ω 2 η 2) ( ) π 2 T dt T 2 ω2 η 2 dt. Επειδ ητοτελευτα ιοολοκλ ηρωµαε ιναιµιαθετικ ηποσ οτητα,ηδε υτερη µετα ολ ητη δρ αση θαε ιναιπ αντοτεθετικ ηεφ οσον T < π ω. Αυτ οσηµα ινει οτι,εφ οσοντοχρονικ οδι αστηµα Tστοοπο ιοπραγµατοποιε ιταιηκ ινησηε ιναιµικρ οτεροαπ οµ ιαηµιπερ ιοδο,ηφυσικ ητροχι α ελαχιστοποιε ιτηδρ αση. Τισυµ α ινει, οµω, οταντοδι αστηµα Tε ιναι µεγαλ υτεροαπ οµ ιαηµιπερ ιοδο;θαδε ιξουµεαµ εσω παρακ ατω οτισε αυτ ητηνπερ ιπτωσηηφυσικ ητροχι αδενελαχιστοποιε ιτηδρ αση.αρκε ι ναβρο υµεκ αποιαµετα ολ η,ηοπο ιαικανοποιε ιτι συνοριακ ε συνθ ηκε η(0) = η(t) = 0καισυγχρ ονω καθιστ ατηδε υτερηµετα ολ ηαρνητικ η. Επιλ εγουµετηµετα ολ η ( ) πt η = sin, T ηοπο ιαικανοποιε ιτι συνοριακ ε συνθ ηκε.η(2.38),τ οτε,λαµ ανειτην τιµ η T ( η 2 ω 2 η 2) ( ) π 2 T dt = T 2 ω2 2, 0 ηοπο ιαε ιναιαρνητικ ηδεδοµ ενου οτι T > π/ω.συνεπ ω,ηφυσικ ητροχι α, οταναντιστοιχε ισεδι αστηµακ ινηση µεγαλ υτεροαπ οµ ιαηµιπερ ιοδο,δενκαθιστ ατηδρ ασηελ αχιστη. Μ ηπω, οµω,σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηδρ ασηε ιναιµ εγιστη;ανθεωρ ησουµετηµετα ολ η ( ) nπt η = sin, T 0

2.5. ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΜΙΑΣ ΣΑΠΟΥΝΟΦΟΥΣΚΑΣ 43 ο οτητα (2.38) λαµ1 ανει την τιµ η που n ακ εραιο, η ποσ Z T T n2 π 2 2 2 2 η ω η dt = ω2. 2 T 2 0 Για n > ωt /π η παραπ ανω ποσ οτητα ε ιναι θετικ η. Συµπερα ινουµε, λοιπ ον, ο α δεν καθιστ α τη δρ αση ο υτε µ εγι τι για τ ετοιε τιµ ε του T η τροχι στη ο υτε ελ αχιστη ε ιναι απλ ω σαγµατικ ο σηµε ιο τη δρ αση. 2.5 Το σχ ηµα εν ο υµεν ιου σαπωνοδιαλ υµατο που συνδ εει δ υο δακτυλ ιου Σχ ηµα 2.6 : Το σχ ηµα που πα ιρνει ενα υµ ενιο σαπωνοδιαλ υµατο ο ο εν ωνει δ υο ταν αυτ παρ αλληλου κυκλικο υ δακτυλ ιου ιδια ακτ ινα. Σχηµατ ιζουµε µια σαπουν οφουσκα µεταξ υ των κυκλικ ων α κρων δ υο σωλ ηνων ακτ ινα r, οι οπο ιοι βρ ισκονται σε απ οσταση l ο ενα απ ο τον α οφουσκα ε ιναι ενα υµ ενιο διαλ υµατο σαπουνιο υ µικρο λλο. Η σαπουν σκοπικο υ π αχου,6 τη τ αξη των 0.0001 cm, που συµπεριφ ερεται ω µια µεµ1ρ ανη υπ ο σταθερ η τ αση. Καθ ω µεγαλ ωνει η επιφ ανεια τη σαπουν οφουσκα, καταναλ ωνεται εργο µε αποτ ελεσµα η επιφανειακ η εν εργεια τη σαπουν οφουσκα να ε ιναι E = σs, ο η τ αση (για µια σαπουν οφου που σ ε ιναι ο συντελεστ η τη επιφανειακ 2 2 σκα ε ιναι σ 7.4 10 J/m ). Φανταστε ιτε ο ασσουµε στην επι τι χαρ φ ανεια τη σαπουν οφουσκα µια νοητ η κλειστ η καµπ υλη γ. Εξαιτ ια τη 6 Πρ οκειται για ενα απ ο τα µικρ οτερα αντικε ιµενα που µπορο υµε να διακρ ινουµε µε γυµν ο µ ατι.

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ επιφανειακ η τ αση θαασκηθε ιστηνεπιφ ανειατη σαπουν οφουσκα µ ια δ υναµηεφαπτοµενικ η,µεκατε υθυνσηαυτ ητη καθ ετουστηνκαµπ υλη. Ηδ υναµηαυτ η εχειτηντ ασηνασυρρικν ωσειτηνεπιφ ανειαπουπερι- κλε ιεταιαπ οτηνκαµπ υλη,εν ωητιµ ητη αν αµον αδαµ ηκου τη περι- αλλουσα καµπ υλη ταποδεικν υεται οτιε ιναιακρι ω οσυντελεστ η τη επιφανειακ η τ αση σ (τ ωρασεµον αδε Nt/m).Αυτ οµπορο υµενα τοδιαπιστ ωσουµευπολογ ιζοντα τηδιαφορικ ηµετα ολ ητη επιφ ανεια πουπερικλε ιεταιαπ οτηνκαµπ υλη. Ε ανηεπιφ ανειατεντωθε ικατ α δn στηνκατε υθυνσητη καθ ετουσεκ αθεσηµε ιοτη καµπ υλη,ηµετα ολ η τη επιφανειακ η εν εργεια θαε ιναι δe = δw = τdsδn, οπου Wτο εργοτωνασκουµ ενωνσεαυτ ηνδυν αµεων,και,επειδ ηητ αση ε ιναισταθερ ησεκ αθεσηµε ιοτη καµπ υλη και γ dsδnισο υταιµετηµετα ολ ητη επιφ ανεια δs,συµπερα ινουµε οτιηµετα ολ ητη επιφανειακ η εν εργεια ε ιναι δe = τδs οπ οτεηεπιφανειακ ητ αση τ (ηδ υναµηαν αµον αδαµ ηκου )ε ιναι ισηµε τοσυντελεστ ηεπιφανειακ η τ αση σ. Γιαναπροσδιορ ισουµετοσχ ηµατη σαπουν οφουσκα στηνκατ αστασηισορροπ ια,απαιτο υµετοσυνολικ ο αθροισµατωνασκο υµενωνσεαυτ ηνδυν αµεωνναµηδεν ιζεται. Ηβαρ υτηταε ιναιαµελητ εασεαυτ ητην περ ιπτωση (ε ιναιπερ ιτι τ εσσερι τ αξει µεγ εθου µικρ οτερη),οπ οτεσε κ αθεδιαφορικ οτµ ηµατη σαπουν οφουσκα ησυνισταµ ενητωντ ασεων F n πουασκο υνταικ αθεταστηνεπιφ ανειατη σαπουν οφουσκα πρ επει ναεξισορροπε ιταιαπ οτηδ υναµηπουασκε ιταιαν αµον αδαεπιφ ανεια εξαιτ ια τη διαφορ α τη ατµοσφαιρικ η π ιεση pµεταξ υτωνδ υοπλευρ ωντη σαπουν οφουσκα. ηλαδ η,γιαµ ιαεπιφ ανειαδιαφορικο υεµ αδο υ daισχ υει F n da = p. Α υπολογ ισουµεστησυν εχειατησυνισταµ ενητωντ ασεων F n πουασκο υνταισεµιαδιαφορικ ηεπιφ ανεια da = ds 1 ds 2,οιπλευρ ε ds 1, ds 2 τη οπο ια ε ιναιαπειροστ ατ οξακατ αµ ηκο τωνκ αθετωνµεταξ υτου κ υριωνκ υκλωνκαµπυλ οτητα τη επιφ ανεια (βλ.σχ ηµα2.7).τατ οξααυτ αε ιναι ds 1 = R 1 dφ 1 και ds 2 = R 2 dφ 2, οπου R 1, R 2 ε ιναιοιακτ ινε των αντ ιστοιχωνκ υκλων. Α θεωρ ησουµετι δ υοπλευρ ε πουεχουνµ ηκο ds 2.Ηεπιφανειακ ητ ασηε ιναικ αθετησεαυτ ε τι πλευρ ε συνεπ ω ε ιναιεφαπτ οµενηστονκ υκλοκαµπυλ οτητα µεακτ ινα R 1 και εχειµ ετρο σds 2.Μεαπλ ηγεωµετρικ ηαν αλυσηυπολογ ιζουµετησυνισταµ ενηαυτ ων τωνδυν αµεωνστηνκατε υθυνσητη καθ ετουστηνεπιφ ανεια. F (ds dφ 2) 1 n = 2σds 2 2 = σds ds 1 2. R 1 Οµο ιω,ησυνισταµ ενητωντ ασεωνπουασκο υνταιστι πλευρ ε µ ηκου γ

2.5. ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΜΙΑΣ ΣΑΠΟΥΝΟΦΟΥΣΚΑΣ 45 Σχ ηµα 2.7: Οιδυν αµει πουασκο υνταιλ ογωεπιφανειακ η τ αση σε εναστοιχει ωδε παραλληλ ογραµµοτουυµεν ιου. Ταδ υοτ οξατωνκ υριωνκ υκλωνπουδιαγρ αφουντο παραλληλ ογραµµοε ιναικ αθετατο εναστο αλλο.ησυνολικ ηδ υναµη F n πουασκε ιται κ αθεταστηνεπιφ ανειαε ιναιτο αθροισµατωντεσσ αρωνδυν αµεων. ds 1 ε ιναι F (ds dφ 1) 2 n = 2σds 1 2 = σds ds 2 1, R 2 καιησυνολικ ηκ αθετηστηνεπιφ ανειαδ υναµηαν αµον αδαεπιφ ανεια ε ιναι ( F n 1 δa = σ + 1 ). R 1 R 2 Υστερααπ οαυτ ητηναν αλυσησυν αγουµε οτιηεπιφ ανειαστηνκατ αστασηισορροπ ια πρ επειναικανοποιε ιτησχ εσητουpierresimonlaplace [1749-1827] ( Μιασαπουν οφουσκα 1 σεισορροπ ια p = σ + 1 ), (2.39) R 1 R 2 οπου pε ιναιηδιαφορ απ ιεση µεταξ υτωνδ υοπλευρ ωντη σαπουν οφουσκα. Στηνπαραπ ανω εκφρασηοικ υριε ακτ ινε καµπυλ οτητα µπορε ινα εχουνθετικ ο ηαρνητικ οπρ οσηµο αντ ιθεταπρ οσηµα εχουν οτανοικ υριοικ υκλοικαµπυλ οτητα βρ ισκονταιεκατ ερωθεντη επιφ ανεια. Στοπρ ο ληµατη σαπουν οφουσκα πουσχηµατ ιζεταιµεταξ υδ υοανοικτ ωνδακτυλ ιωνδενυπ αρχειδιαφορ απ ιεση αν αµεσαστι δ υοπλευρ ε τη επιφ ανεια τη σαπουν οφουσκα καισυνεπ ω ηεπιφ ανειαπου αναζητο υµε εχειτηνεξ η ιδι οτητα: οικ υριε ακτ ινε καµπυλ οτητα σε κ αθεσηµε ιοτη ικανοποιο υντησχ εση R 1 = R 2. Αυτ ηε ιναιησυνθ ηκηισορροπ ια πουπρ επειναικανοποιε ιησαπουν οφουσκα.

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Μιασαπουν οφουσκα εχειτοµικρ οτερο δυνατ οεµ αδ ον Υπ αρχει ενα αλλο, οµω,ισοδ υναµο χαρακτηρισµ ο τη συνθ ηκη ισορροπ ια τη σαπουν οφουσκα,οοπο ιο σχετ ιζεται αµεσαµετοπρ ο- ληµαστασιµοπο ιηση εν ο συναρτησοειδο υ πουεξετ αζουµεστοπαρ ον κεφ αλαιο.ησαπουν οφουσκαισορροπε ι οτανηεπιφανειακ ηεν εργει ατη καθ ισταταιστ ασιµηκαι αρα οταντοεµ αδ οντη επιφ ανει α τη καθ ισταταιστ ασιµο.ηκατ αστασηισορροπ ια τη σαπουν οφουσκα ε ιναιευσταθ η οταντοεµ αδ οντη επιφ ανεια τη σαπουν οφουσκα ε ιναιτοπικ οελ αχιστο.αυτ ο οχαρακτηρισµ ο τουσχ ηµατο ισορροπ ια τη σαπουν οφουσκα οδηγε ιστοακ ολουθοπρ ο ληµαµετα ολ ων:ζητο υµενα προσδιορ ισουµετηνεπιφ ανειαεκε ινηµεταξ υδ υοδακτυλ ιων,ηοπο ια εχει τοελ αχιστοδυνατ οεµ αδ ον. Μπορο υµενααπλοποι ησουµετονπαραπ ανωυπολογισµ οπαρατηρ ωντα οτιηελ αχιστηεπιφ ανειαπρ επεινα εχεικυλινδρικ ησυµµετρ ιαω προ τον αξονα xπουσυνδ εειτακ εντρατωνδακτυλ ιων,οπ οτεηεπιφ ανειαµπορε ιναπροσδιοριστε ιµ ονοαπ οµ ιασυν αρτησηµια µετα λητ η, την y(x), οπου yηακτ ινατη επιφ ανεια σεαπ οσταση xαπ οτοµ εσοµεταξ υτωνκ εντρωντωνδ υοδακτυλ ιων.ανσυµ ολ ισουµεµε dsτοδιαφορικ οµ ηκο τ οξουεπ ιτη y(x),τ οτεηδιαφορικ ηεπιφ ανειαεκπεριστροφ η πουσχηµατ ιζεταιαπ οαυτ οτοµ ηκο τ οξουε ιναι ds = 2πyds = 2πy (dx) 2 + (dy) 2 = 2πy 1 + (y ) 2 dx, οπουµε y εχουµεσυµ ολ ισειτηνπαρ αγωγο dy/dx.θ ελουµεναπροσδι- Σχ ηµα2.8:τοµ ηµια σαπουν οφουσκα πουσχηµατ ιζεταιµεταξ υδ υοανοικτ ωνδακτυλ ιωνακτ ινα rπουβρ ισκονταισεαπ οσταση 2lο ενα απ οτον αλλο.ηελ αχιστηαπ οστασηµεταξ υτωνεπιφανει ωνε ιναι 2b. ορ ισουµετηνκαµπ υλη y(x)µεσυνοριακ ε συνθ ηκε y(±l) = rπουκαθιστ ατηνποσ οτητα l S = 2π y 1 + (y ) 2 dx, l

2.5. ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΜΙΑΣ ΣΑΠΟΥΝΟΦΟΥΣΚΑΣ 47 ελ αχιστη. Αυτ οε ιναι εναπρ ο ληµαλογισµο υµετα ολ ωνµε Λαγκρανζιαν η την L(y, y ) = y 1 + (y ) 2. Ηεξ ισωσηeuler -Lagrange πουπρ επειναικανοποιε ιταιαπ οτησυν αρτηση y(x),ηοπο ιαπαρ αγειτηστ ασιµηαυτ ηκαµπ υληε ιναιη πουοδηγε ιστηδιαφορικ ηεξ ισωση d L = L dx y y, Ηεξ ισωσηαυτ ηµπορε ιναγραφε ιστηµορφ η y yy = 1 + (y ) 2. (2.40) [1 + (y ) 2 ] + 1 3/2 y[1 + (y ) 2 ] = 0 1/2 καινααναγνωριστε ιω ησυνθ ηκηισορροπ ια πουπροκ υπτειαπ οτησχ εσητουlaplace(2.39),αφο υηεπιφ ανειαεκπεριστροφ η y(x) εχειω µ ια κ υριαακτ ινακαµπυλ οτητα την R 1 = y[1 + (y ) 2 ] 1/2, πουαντιστοιχε ισεκ υκλοπουδιαγρ αφεταιστοεπ ιπεδοτοκ αθετοστην εφαπτοµ ενητη καµπ υλη y(x)καιω δε υτερηακτ ινακαµπυλ οτητα την R 2 = [1 + (y ) 2 ] 3/2 y, πουε ιναιηακτ ινακαµπυλ οτητα τη καµπ υλη y(x)καιλαµ ανεταιω αρνητικ η,δι οτικε ιταιστην αλληπλευρ ατη επιφ ανεια εφ οσονηy(x)ε ιναικυρτ η. Ξαναγρ αφοντα τηδιαφορικ ηεξ ισωση(2.40)ω y 1 + (y ) 2 = 1 + (y ) 2 µαντε υουµεσχετικ αε υκολα οτιηλ υσητη θαε ιναιτη µορφ η y(x) = b cosh(x/b + c). y, Επιπλ εον,λ ογωτη συµµετρικ η συνθ ηκη y(±l) = r,θαπρ επει c = 0 καισυνεπ ω ηλ υσητη (2.40)θα εχειτησυµµετρικ ηµορφ η y(x) = b cosh(x/b). (2.41) Τοσχ ηµατουυµεν ιου πουεν ωνειδ υο δακτυλ ιου Ησταθερ α bπουδ ινειτηνακτ ινατη επιφ ανεια στο x = 0προσδιορ ιζεταιαπ οτησυνθ ηκη r/b = cosh(l/b). (2.42)

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Ανορ ισουµετι αδι αστατε ποσ οτητε a = l/rκαι ξ = r/b,η(2.42)γρ αφεται ξ = cosh(aξ). (2.43) ΣτοΣχ ηµα2.9 εχουνσχεδιαστε ιταδ υοσκ ελητη εξ ισωση (2.43)απ οπου προκ υπτει εναιδι οµορφοαποτ ελεσµα. Παρατηρο υµε οτιγιαµικρ α a = l/r,µικρ ε,δηλαδ η,σχετικ ε αποστ ασει τωνδακτυλ ιων,υπ αρχουνδ υο ρ ιζε τη (2.43) δηλαδ η,υπ αρχουνδ υοεπιφ ανειε που εχουνακρ οτατο εµ αδ ον.αντ ιθετα,γιαµεγ αλα a = l/rδενυπ αρχειλ υσητη (2.43) δηλαδ η,δενυπ αρχειεπιφ ανειατη οπο ια τοεµ αδ οννακαθ ισταταιακρ οτατο. Οιδ υογραφικ ε παραστ ασει εφ απτονται οτανπ εραντη (2.43) ικανοποιε ιταικαιη 1 = a 0 sinh(a 0 ξ 0 ), (2.44) οπου ξ 0 ητιµ ητη ξστοσηµε ιοεπαφ η και a 0 ηειδικ ητιµ ητη παρα- Σχ ηµα2.9:γραφικ ηεπ ιλυσητη εξ ισωση (2.43). Οταν a = l/r < 0.66,ηεξ ισωση εχει δ υολ υσει,εν ω, οταν a > 0.66,ηεξ ισωσηδεν εχεικαµ ιαπραγµατικ ηλ υση. µ ετρουπουοδηγε ιστηνεφαπτοµενικ ηεπαφ η. ιαιρ ωντα τι (2.43)και (2.44)στηνειδικ ηαυτ ηπερ ιπτωση,λαµ ανουµε a 0 ξ 0 tanh(a 0 ξ 0 ) = 1. Ηυπερ ατικ ηαυτ ηεξ ισωσηικανοποιε ιταιγια a 0 ξ 0 = 1.12. Συµπερα ινουµε,λοιπ ον, οτιηµ εγιστητιµ ητη παραµ ετρου aγιατηνοπο ιαυπ αρχει λ υσηστοπρ ο ληµ αµα ε ιναιη a 0 = 0.66, ηοπο ιαοδηγε ιστηντιµ η ξ 0 = 1.81. Οπω ηδηαναφ εραµε,αν a < a 0, εχουµεδ υοεπιφ ανειε µεακρ οτατοεµ αδ ον.οιεπιφ ανειε αυτ ε παρουσι αζονταιστοσχ ηµα 2.10.

2.5. ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΜΙΑΣ ΣΑΠΟΥΝΟΦΟΥΣΚΑΣ 49 Σχ ηµα 2.10 : Στο σχ ηµα παριστ ανονται οι µορφ ε των δ υο στ ασιµων λ υσεων για l/r = 0.4. Η αριστερ η αντιστοιχε ι σε τιµ η b/r = 0.16 ( εντονα κυρτωµ ενη), εν ω η δεξι α σε b/r = 0.91 (ελαφρ ω κυρτωµ ενη). Η αριστερ η µορφ η δεν δηµιουργε ιται στην παργαµατικ οτητα λ ογω τη αστ αθει α τη. Το εµ1αδ ον τη επιφ ανεια τη σαπουν οφουσκα S υπολογ ιζεται ο τι ε ιναι Z l p Z l 2 S = 2π y 1 + y dx = 2πb cosh2 (x/b)dx l l sinh(2l/b) = 2πbl 1 +, (2.45) (2l/b) και απεικον ιζεται στο Σχ ηµα 2.11 ω συν αρτηση τη αδι αστατη ποσ οτητα a = l/r. Η λ υση µε το µεγαλ υτερο b (µικρ οτερο ξ), που αντιστοιχε ι στην καµπ υλη (α) (την δεξι α καµπ υλη του σχ ηµατο 2.10), εχει π αντοτε µικρ οτερη επιφ ανεια απ ο την α οτερο b (την αριστερ η λλη λ υση µε το µικρ επιφ ανεια του σχ ηµατο 2.10) που αντιστοιχε ι στην καµπ υλη (β). Θυµ ιζουµε ο αµετρο b ε ιναι η ακτ ινα του στεν οτερου σηµε ιου του λαι τι η παρ µο υ που σχηµατ ιζει το υµ ενιο. Καθ ω η απ οσταση µεταξ υ των δακτυλ ιων µικρα ινει (a 0), η στ ασιµη λ υση µε το µικρ οτερο εµ1αδ ον προσεγγ ιζει µια κυλινδρικ η επιφ ανεια µε εµ1αδ ον 2πrl (βλ. Σχ ηµα 2.12). Η α λλη λ υση µε το µεγαλ υτερο εµ1αδ ον (καµπ υλη (β)) προσεγγ ιζει για a 0 την τιµ η 2πr 2 που αντιστοιχε ι στο εµ1αδ ον δ υο ξεχωριστ ων κυκλικ ων υµεν ιων επ ανω στον κ αθε δακτ υλιο (βλ. Σχ ηµα 2.13). Στο Σχ ηµα 2.11 εχει σχεδιαστε ι και το εµ1αδ ον τη τοπολογικ α διαφορετικ η αυτ η λ υση, η οπο ια, µολον οτι δεν προκ υπτει ω λ υση τη Euler - Lagrange, ο η, ντα µη συνεχ ε χει µικρ οτερη επιφ ανεια απ ο τη στ ασιµη λ υση µε το µικρ οτερο εµ1αδ ον για a > 0.53. Αυτ η η τοπολογικ α µη συνεκτικ η λ υση αποτελε ι µια πιθαν η κατ αληξη τη σαπουν οφουσκα ο η γ ινει ασταθ η, πρ αγµα ταν αυτ το οπο ιο συµ1α ινει ο οσταση µεταξ υ των δακτυλ ιων ξεπερ ασει ταν η απ το ra0. Κ ανουµε λ ογο για πιθαν η κατ αληξη τη σαπουν οφουσκα, δι οτι υπ αρχει και α η λ υση µε µηδενικ ο εµ1αδ ον λλη µια διαφορετικ η τοπολογικ

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Σχ ηµα 2.11:Τοεµ αδ οντη επιφ ανεια τωνστ ασιµωνλ υσεωνσυναρτ ησειτουλ ογου a = l/r.γιατιµ ε τουλ ογου a > a 0 = 0.66δενυπ αρχεισυνεχ η λ υσητη εξ ισωση Euler-Lagrange.Ηκαµπ υλη(γ)αντιστοιχε ιστοεµ αδ ον 2πr 2 δ υοξεχωριστ ωνκυκλικ ων υµεν ιωνακτ ινα rεπ ανωστονκ αθεδακτ υλιο. Περ ιτη ευστ αθεια τουυµεν ιου κατ ατηνοπο ιατουγρ οτη σαπουν οφουσκα εξαπλ ωνεταιστηνπεριφ ερειατωνδακτυλ ιωνχωρ ι νασχηµατ ιζεταιυµ ενιο. Α ελ εγξουµετ ωρατηνευστ αθειααυτ ωντωνεπιφανει ων.ανκ αποια επιφ ανειααποτελε ιελ αχιστοµεταξ υτωνπαραπλ ησιωνεπιφανει ων,οποιαδ ηποτεδιαταραχ ητη σαπουν οφουσκα, οπω γιαπαρ αδειγµα ενατρ ανταγµα,θααυξ ησειτηνεπιφ ανει ατη.ησαπουν οφουσκατ οτε,στηνπροσπ αθει ατη ναµει ωσειτηνεπιφανειακ ητη εν εργεια,θαεπαν ελθειστην αρχικ ητη αδιατ αραχτηκατ ασταση. Στηνπρ αξηθαεκτελ εσεικ αποιε ταλαντ ωσει γ υρωαπ οτηνεπιφ ανειαισορροπ ια τη εκπ εµποντα την εν εργειατουτραντ αγµατο στοπερι αλλονυπ οµορφ ηθερµ οτητα.αν, οµω,τοσχ ηµατη σαπουν οφουσκα καθιστ ατηνεπιφ ανειαστ ασιµηαλλ α οχιτοπικ οελ αχιστο,τ οτετοπαραµικρ οτρ ανταγµαθαπροκαλ εσειστη σαπουν οφουσκαµιαπαραµ ορφωση,ηοπο ιαθα εχειτηντ ασηναµεγαλ ωσεικαθ ω ησαπουν οφουσκαθαπροσπαθε ιναµικρ υνειτηνεπιφ ανει α τη. Αν,λοιπ ον,υπ αρχειλ υσηµεµικρ οτερηεπιφ ανειαησαπουν οφουσκαθακαταλ ηξειτελικ ασεαυτ ην. Προκειµ ενουναελ εγξουµετοε ιδο τουακροτ ατουτωνλ υσεωνπουκατασκευ ασαµεστηνπροηγο υµενηπαρ αγραφο,θαπρ επειναεξετ ασουµετοπρ οσηµοτη δε υτερη µετα ολ η τη επιφ ανεια.ανπαραγωγ ισουµετοολοκλ ηρωµατη επιφ ανεια δ υο φορ ε ω προ µικρ ε διαταραχ ε τη λ υση (2.41) ( x ) y(x) = b cosh + ǫη(x), b θα εχουµε δs = ǫ2 2 aξ aξ [ (dη ) ] 2 1 dz cosh 2 η 2. (2.46) z dz

2.5. ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΜΙΑΣ ΣΑΠΟΥΝΟΦΟΥΣΚΑΣ 51 Σχ ηµα 2.12: Οτανηαπ οστασηµεταξ υτωνδακτυλ ιωνε ιναιµικρ η,ηµ ιαλ υσηπροσεγγ ιζειτηνπαρ απλευρηεπιφ ανειαεν ο κυλ ινδρου. Τηνπαραπ ανω εκφρασητηνκατασκευ ασαµεακολουθ ωντα τι γενικ ε εκφρ ασει πουγρ αψαµεστηναρχ ητουπροηγο υµενουεδαφ ιου οσοναφορ αστηµελ ετητουπροσ ηµουτη δε υτερη µετα ολ η εν ο συναρτησοειδο υ. Ασκηση2.5.Χρησιµοποι ωντα τησχ εση(2.35)γιατι συναρτ ησει P, Q,κατασκευ α- ΑΣΚΗΣΕΙΣ στετηδε υτερηπαρ αγωγοτη επιφ ανεια τη σαπουν οφουσκα γ υρωαπ οτηλ υση(2.41) πουστασιµοποιε ιτηνεπιφ ανειααυτ η.αλλ αζοντα,τ ελο,τηµετα λητ ητη ολοκλ ηρωση απ ο xσε z = x/l,δε ιξτε οτιηδε υτερηµετα ολ ητη επιφ ανεια δ ινεταισυνοπτικ α απ οτοολοκλ ηρωµατη σχ εση (2.46). Ανηδιαφορ αµεταξ υτωνδ υοολοκληρωµ ατων,τουεν ο µετον ορο η 2 καιτου αλλουµετον ορο η 2,ε ιναιθετικ ηγιαοποιαδ ηποτεσυν αρτηση η,τ οτεηµετα ολ ητη επιφ ανεια απ οτηνακρ οτατητιµ ητη ε ιναιθε- τικ ηκαιεποµ ενω ηεπιφ ανειαε ιναιελ αχιστη.σ υµφωναµετηνπροηγο υ- µενηαν αλυσ ηµα (θε ωρηµακαραθεοδωρ η)αυτ οθαισχ υεισ ιγουραγια πολ υµικρ οδι αστηµαολοκλ ηρωση. Μικρ ο,σχεδ ονµηδενικ οδι αστηµα ολοκλ ηρωση [ aξ, aξ]µπορο υµενα εχουµεστηµ ιαµ ονοαπ οτι δ υολ υσει τη (2.43),σεαυτ ηµετηµικρ οτερηρ ιζα ξ,δηλαδ ητηνπιο ρηχ η καµπ υλη.η αλληλ υσηθααντιστοιχε ισετιµ ητου aξµεγαλ υτερητη a 0 ξ 0, αφο υ, οπω φα ινεταικαιαπ οτηγραφικ ηπαρ αστασηστοσχ ηµα 2.11 ισχ υει οτι cosh(a 2 ξ 2 ) cosh(a 0 ξ 0 ). Θαδε ιξουµε οτιηακρα ιαλ υσητου προ λ ηµατ ο µα µε a = a 0 και ξ = ξ 0 εχειδε υτερηµετα ολ ητη επιφ ανεια θετικ η ηµηδ εν.με αλλαλ ογιαθαδε ιξουµε οτιγιαοποιαδ ηποτε