Ένα ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγωγής L συνδέεται σε σειρά µε πυκνωτή χωρητικότητας C καί το σύστηµα τροφοδοτείται µέσω διακόπτη Δ µε τους πόλους µιάς γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, που έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση καί ηλεκτρεγερτική δύναµη E. Nα δείξετε ότι, όταν κλείσει ο διακόπ της το κύκλωµα διαρρέεται από ρεύµα που η ένταση του i µετα βάλλεται µε το χρό νο t, σύµφωνα µε τη σχέση: i E C L µ " t % $ ' # LC& ΛΥΣΗ: Εάν q είναι το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή ύστερα από χρόνο t αφότου έκλεισε ο διακόπτης Δ και i η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα, τότε ο δεύτερος κανόνας του Kirchoff µας επιτρέπει να γράψουµε τη σχέση: E - q C - L di () όπου di/ o ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος τη χρονική στιγµή t. Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τη σχέση: - dq C - L d i L d i + i C
d i + i LC d i + µε LC () Η () αποτελεί µια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και δέχεται λύση της µορφής: i I µ ("t + #) (3) όπου Ι, φ σταθερές ποσότητες που απαιτούν προσδιορισµό. Όµως για t έχουµε i, οπότε η (3) δίνει: I µ" µ" Εξάλλου η σχέση () γράφεται: E - q C - L di (I µ"t) E - q C - LI "#$t t E - C - LI I E L I E LC L E L C (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3), (4) και (5) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: i E C L µ " t % $ ' # LC& Στο κύκλωµα του σχήµατος το πηνίο είναι ιδανικό, η δε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. i) Eάν κλείσει ο διακόπτης να δείξετε ότι, η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο θα προκύψει ως λύση της διαφορικής εξίσωσης: LC d i L d t + R di L L + i E L R όπου L ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου, C η χωρητικότητα του πυκνωτή και R η ωµική αντίσταση του κυκλώµατος. ii) Nα δείξετε ότι τελικώς το πηνίο διαρέεται από ρεύµα σταθερής έντασης, ίσης µε E/R.
iii) Όταν αποκατασταθεί σταθερό ρεύµα στο πηνίο ανοίγουµε το διακόπτη Δ. Nα βρείτε τη συνάρτηση που δίνει το φορτίο του πυκ νωτή µε το χρόνο, θεωρώντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή που ανοίγει ο διακόπτης. ΛΥΣΗ: i) Εάν i, i L, i C, είναι οι εντάσεις των ρευµάτων στους κλάδους R, L, C αντιστοίχως, ύστερα από χρόνο t µετά το κλείσιµο του διακόπτη, θα ισχύει σύµφωνα µε τον πρώτο κανόνα του Kirchoff στον κόµβο α, η σχέση: i i C + i L () Εξάλλου, εάν q είναι το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και U C η τάση του κατά τη στιγµή t, θα ισχύει: q CU C dq CdU C dq C du C i C C du C () όπου dq, du C οι µεταβολές των q και U C µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+, Eφαρµόζοντας τη στιγµή t το δεύτερο κανόνα του Kirchoff στον βρόχο του πηνίου και του πυκνωτή, παίρνουµε τη σχέση: U C - L di L du C - L d i L du C L d i L (3) όπου di L / ο ρυθµός µεταβολής της έντασης i L τη χρονική στιγµή t. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: i C LC d i L (4) Aκόµα, ο δεύτερος κανόνας του Kirchoff στον βρόχο του πηνίου της αντίστα σης R και της γεννήτριας δίνει τη χρονική στιγµή t, τη σχέση: E - L di L ir i E R - L di L R (5) H σχέση () λόγω των (4) και (5) γράφεται: E R - L di L R LC d i L + i LC d i L L d t + R di L L + i L E R (6)
ii) Η (6) αποτελεί µια µη οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύ τερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής i (t)e/r. H λύση της αντίστοιχης οµογενούς αντιπροσωπεύει ή µια φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση ή µια απεριοδίκη ηλεκτρική ταλάντωση ή µια ηλεκτρική ταλάντωση µε κρίσιµη απόσβεση, που ση µαίνει ότι αργά η γρήγορα η λύση αυτή θα µηδενιστεί. Έτσι η τελική λύση της (6), θα έχει τη µορφή: i L E/R (7) Aπό την όλη παρουσίαση προκύπτει ότι στην µόνιµη κατάσταση του κυκλώµατος το πηνίο θα συµπεριφέρεται ως βραχυκύκλωµα που διαρ ρέτεται µε ρεύµα έντασης Ε/R, ενώ ο πυκνωτής θα είναι αφόρτιστος. iii) Όταν ανοίξει ο διακόπτης Δ, τότε στο κύκλωµα που αποµένει θα παράγονται αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και το φορτίο του πυκ νωτή θα µεταβάλλεται µε το χρόνο t, σύµφωνα µε τη σχέση: q q µ ("t + #) µε / LC (8) όπου q, ω σταθερές ποσότητες, που θα προσδιορίστουν από τις συνθή κες στις οποίες βρίσκεται το κύκλωµα την στιγµή t που ανοίγει ο διακόπτης. Η σχέση (8) για t δίνει: q µ" µ" Εξάλλου η ένταση i του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι: i d (q µ"t) q "#$%"t (9) H (9) για t- δινει: E R q q E R E LC R Έτσι η σχέση (8) τελικώς παίρνει τη µορφή: q E LC R µ " t % $ ' # LC& Σε µη ιδανικό κύκλωµα παραγωγής ηλεκτρο µαγνητικών ταλαντώσεων, το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή µεταβάλλεται µε το χρόνο t σύµφωνα µε τη σχέση:
q q e -Rt/ L "#$t µε /LC - (R/L) Eάν το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή υποδιπλασιάζεται στη διάρκεια των πρώτων k περιόδων της φθίνουσας ηλεκτρικής ταλάν τωσης, µε k>>, να δείξετε την προσεγγιστική σχέση: - " $ ln ' k & ) % # ( όπου ω η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος. ΛΥΣΗ: Εάν q είναι η µέγιστη τιµή του φορτίου q κατά την εγγύτερη προς την αρχή των χρόνων χρονική στιγµή t και q k η µέγιστη τιµή του q κατά τη χρονική στιγµη t +kt, όπου Τ η ψευδοπερίοδος της φθίνουσας ταλάντω σης, θα έχουµε τις σχέσεις: q q e -Rt/L "#$t % & q k q e -R(t +kt)/l "#$(t + kt) ' q q e -Rt/L "#$t & ' q k q e -R(t +kt)/l "#($t + k%) ( q q e-rt/l "#$t % & q k q e -R(t +kt)/l "#$t ' (:) q q k e -Rt /L e -R(t +kt)/l ektr/l ln ktr/l ln kr "L R L ln " k R $ # & " L% Όµως ισχύει και η σχέση: ' ln $ k # & " ( % () LC - " R % $ ' # L& " R % - $ ' # L& () - # ln & k % ( $ " ' ) + # ln & + k % ( $ " ' * +,. -. ) + # ln & + k % ( $ " ' * +,. -. / () Επειδή k>> θα είναι και k >>, οπότε θα έχουµε: k << " ln % k $ ' # & << (3) Εάν αναπτύξουµε κατά Maclaurin το δεύτερο µέλος της () και λάβουµε υπό ψη µας και την (3), καταλήγουµε στην προσεγγιστική σχέση:
( + " ln % * k $ ' # & ) * + -, - / Έτσι η σχέση () γράφεται:. + " ln % k $ ' # & $ ln ' " + k & ) % # ( - " $ ln ' k & ) % # ( δηλαδή φθάσαµε στην αποδεικτέα σχέση. Tα στοιχεία R, L, C του κυκλώµατος (α) συνδέονται µε τη σχέση L/RRC τα δε ρευµατα στους κλάδους του έχουν αποκατασταθεί στις τελικές τους τιµές. Η γεννήτρια συ νεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε και αµελητέα εσω τερική αντίσταση και κάποια στιγµή ανοίγουµε τον διακόπτη Δ. i) Nα βρεθεί η θερµότητα Joule που θα ελευθερώσει ο αντιστάτης. ii) Εάν κατά την εξέλιξη της φθίνουσας ηλεκτρικής ταλάντωσης που συµβαίνει στο κύλωµα, το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή µετα βάλλεται µε το χρόνο t σύµφωνα µε τη σχέση: q Qe -Rt/L "#($t + %) µε LC - " R % $ ' # L& (α) να υπολογίσετε τις σταθερές ποσότητες Q και φ. ΛΥΣΗ: i) Tη χρονική στιγµή t που ανοίγει ο διακόπτης Δ ο πυκντωτής φέρει ηλεκτρικό φορτίο q CE, το δε πηνίο διαρρέεται µε ρεύµα έντασης i - E/R, που σηµαίνει ότι τη στιγµή αυτή η ενέργεια W που είναι αποθηκευµέ νη στο πηνίο και τον πυκνωτή είναι: W q C + Li C E C + LE R CE E C + L $ # " R & () % Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος εξασφαλίζουν ότι CL/R, οπότε η () παίρνει τη µορφή: W E L R + L $ # " R & % 3LE R () Κατά την εξέλιξη της ηλεκτρικής ταλάντωσης η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου ελαττώνεται µε
Κύκλωµα (α) Κύκλωµα (β) τατρεπόµενη σε θερµότητα Joule που ελευθερώνεται από τον αντιστάτη του κυκλώµατος (β) και τελικά η ενέργεια W θα µετατραπεί σε θερµότητα Joule Q J, δηλαδή θα ισχύει: () Q J W Q J 3LE R (3) ii) Παραγωγίζοντας τη σχέση (α) ως προς το χρόνο t παίρνουµε την ένταση i του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά την τυχαία χρονική στιγµή t µετά το άνοιγµα του διακόπτη, δηλαδή θα έχουµε: i dq d [ Qe-Rt/L "#($t + %)] i - QR L e-rt/l "#($t + %) - Q$e -Rt/L &µ ($t + %) (4) Για t οι σχέσεις (α) και (4) δίνουν: CE Q"#$ και - E R - QR "#$ - Q%&µ$ (5) L Οι σχέσεις (5) συνδυαζόµενες µεταξύ τους δίνουν: Q"µ# E R - ERC L E $ R - RC ' $ & ) E % L( R - RL ' & % LR ) ( µ" οπότε η πρώτη εκ των (5) δίνει Q CE Mε βάση τους πιο πάνω υπολογισµούς το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή µετά το άνοιγµα του διακόπτη Δ θα µεταβάλλεται µε το χρόνο t, σύµφωνα µε τη σχέση: q CEe -Rt/L "#$t µε LC - " R % $ ' # L& LC - LC LC
Σ ένα κύκλωµα παραγωγής ηλεκτρικών ταλαν τώσεων το πηνίο παρουσιάζει ωµική αντίσταση R, µε αποτέλεσµα το πλάτος των ταλαντώσεων να µειώνεται µε το χρόνο. Xρησιµοποι ώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας να δείξετε ότι, κάθε στιγµή στο κύκλωµα αυτό ισχύει η σχέση: L di + q + ir () C όπου di/ η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος, i η ένταση του ρεύµατος και q το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή. Ποιά είναι η αντίστοιχη σχέση που αναφέρεται στον µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή µε απόσβεση; ΛYΣH: Έστω i η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και q το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή. Eάν di είναι η µεταβολή της έντασης του ρεύµατος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+, τότε η µεταβολή de L της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου στο χρόνο θα είναι: de L L(i + di) - Li L ( i + di + idi - i ) de L Ldi ( i + idi) Lidi () διότι di, οπότε i+di i. Eξάλλου, εάν dq είναι η µεταβολή του ηλεκτρι κού φορτίου του πυκνωτή στον χρόνο, τότε η αντίστοιχη µεταβολή de C της ηλεκτρικής ενέργειας του πυκνωτή θα είναι: de C (q + dq) C - q C ( C q + dq + qdq - q ) de C dq C ( q + dq) qdq C () διότι dq, οπότε dq+q q. Λόγω όµως της ωµικής αντίστασης R που παρουσιάζει το πηνίο, στο χρόνο ελευθερώνεται θερµότητα joule ίση µε ι R, οπότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας πρέπει να ισχύ ει η σχέση: () de L + de C - i R () Lidi + qdq C -i R Li di + q dq C + i R (3)
Όµως ισχύει idq/, οπότε η (3) γράφεται: Li di + qi C + i R L di + q + ir (4) C Aς θεωρήσουµε τώρα ένα µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή, ο οποίος στη διάρκεια της ταλάντωσής του δέχεται δύναµη τριβής T, της µορφής T-bv, όπου v η στιγµιαία ταχύτητα του και b η σταθερά απόσβεσης του ταλαν τωτή. Eφαρµόζοντας για τον ταλαντωτή τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που η αποµάκρυνσή του είναι x και η ταχύτητά του v (αλγεβρικές τιµές), παίρνουµε τη σχέση: m dv -Dx - bv m dv + Dx + bv (5) όπου m η µάζα του αρµονικού ταλαντωτή, D η σταθερά ταλάντωσής του και dv/ ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητάς του τη χρονική στιγµή t που τον εξετάζουµε. Παρατηρούµε ότι, οι σχέσεις (4) και (5) είναι της ίδιας µορφής, γεγονός που µας επιτρέπει να αντιστοιχίσουµε στη φθίνουσα ταλάντωση ενός αρµονικού ταλαντωτή, την φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση ενός κυκλώµατος L-C, του οποίου το πηνίο παρουσιάζει ωµική αντίσταση R. Σε κύκλωµα σειράς R-L-C συµβαίνει φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση µε µικρή απόσβεση, κατά την εξέλιξη της οποίας το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή µεταβάλλεται µε το χρό νο t σύµφωνα µε τη σχέση: q q e Rt /L "#$t (α) όπου q, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Nα δείξετε ότι η ένταση i του ρεύµατος στο κύκλωµα µεταβάλλε ται σε συνάρτηση µε το χρόνο t σύµφωνα µε τη σχέση: i - q e - Rt/L "µ(t + #) (β) όπου η γωνία φ ικανοποιεί τη σχέση εφφ R/Lω. ii) Eάν ισχύει R L/C, να βρεθεί η ένταση του ρεύµατος κατά την έναρξη της ηλεκτρικής ταλάντωσης. ΛYΣH: i) H στιγµιαία ένταση i του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι η παράγω γος του φορτίου q ως πρός το χρόνο, δηλαδή ισχύει η σχέση: i dq ( ) i q (-R/L)e - Rt/L "#$t - $q e - Rt/L %µ$t
R"#$t i - q e - Rt/L # " L - $%µ$t $ R"#$t & -q $e - Rt/L # % " L$ -%µ$t $ & () % Θέτουµε εφφr/lω, οπότε η σχέση () γράφεται: i - q e - Rt/L ("## $%&t - 'µt) µ"#$%&t - µ&t#$%" $ i - q e - Rt/L # & " #$%" % i - q e - Rt/L "µ(t + #) $%&# () Όµως ισχύει: "#$ + %$ $ + (R/L&) διότι ο όρος (R/Lω) είναι ασήµαντος σε σχέση µε τη µονάδα, λόγω της µικ ρής απόσβεσης της φθίνουσας ηλεκτρικής ταλάντωσης, οπότε η σχέση () µε καλή προσέγγιση παίρνει τη µορφή: i - q e - Rt/L "µ(t + #) µε εφφ R/Lω (3) ii) Eάν ισχύει R L/C τότε θα έχουµε: "" L/C L LC - L/C 4L L/C 4L C - L C δηλαδή φπ/4, οπότε η σχέση (3) γράφεται: i - q e - Rt/L "µ(t +#/4) (4) H (4) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t δίνει: i - q "µ(#/4) - q / i - q LC - R 4L i - q LC - L/C - q 4L LC - q LC
Σε κύκλωµα παραγωγής ηλεκτρικών ταλαντώ σεων µε απόσβεση το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή µεταβάλλε ται µε το χρόνο t σύµφωνα µε τη σχέση: q q e - t "#$%t µε - " και R/L (α) όπου R η ωµική αντίσταση του κυκλώµατος, L ο συντελεστής αυτε παγωγής του πηνίου και ω η κυκλική ιδιοσύχνότητα του κυκλώµα τος. Eάν η σταθερά απόσβεσης λ του κυκλώµατος είναι πολύ µικρη σε σχέση µε την ω (λ<<ω ), να δείξετε ότι η ολική ενέργεια E ol του συστήµατος δίνεται κάθε χρονική στιγµή t από τη σχέση: E o " E e -t όπου E η ολική ενέργεια του συστήµατος κατά τη στιγµή της έναρ ξης των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. ΛYΣH: Eάν i είναι η ένταση του ρέυµατος στο κύκλωµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα ισχύει η σχέση: i dq d (q e - t "#$%t) -q e - t "#$%t - q %e - t &µ%t () H ολική ενέργεια Ε ολ του κυκλώµατος κατά τη στιγµή t δίνεται από τη σχέ ση: E o Li / + q /C () E o Lq e - t ("#$%t +%&µ%t ) + q C e - t "#$ %t E o q e - t (L "#$ %t+l% &µ %t+ +L"#µ"t$%&"t+$%& "t/c ) E o q e - t C " " #$% "t+ " " &µ "t+ " % $ " &µ"t#$%"t+#$% "t' () # & Τη χρονική στιγµή t (στιγµή έναρξη των ηλεκτρικών ταλαντώσεων) το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή συµφωνα µε τη σχέση (α) είναι q, ενώ η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο και τον αντιστάτη, σύµφωνα µε τη σχέση () είναι q λ. Άρα τη στιγµή t η ολική ενέργεια του κυκλώµατος είναι: E q C + Lq q " C + L % $ # ' &
( ) q E q C + LC # C + & % ( ) q $ " ' C διότι εκ του προβήµατος είναι λ /ω <<. Έτσι η σχέση () γράφεται: ( ) E o E e - t #$% "t+" &µ "t+"&µ"t#$%"t+" #$% "t " E o E e - t #$% "t+" &µ "t - &µ "t+ " ( "&µ"t#$%"t + ( ) + "#$ t) E e - t #$% "t+" - &µ "t +"&µ"t#$%"t " Όµως στην παραπάνω σχέση οι όροι "#$ %t, "µ #t και "#µ"t$%&"t είναι ασήµαντοι σε σχέση µε τον όρο, οπότε η σχέση αυτή µε καλή προ σέγγιση µπορεί να πάρει τη µορφή: E o " E e - "t E e - "t Στην συνδεσµολογία του σχήµατος το πρωτεύον και το δετερεύον κύκλωµα είναι συντονισµένα στην κυκλική συχνότητα ω της γεννήτριας που τροφοδοτεί το πρωτεύον και παρουσιάζουν αντίστοιχες ωµικές αντιστάσεις R και R. i) Nα βρείτε την τιµή του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων, ώστε το πλάτος της έντασης του ρεύµατος στο δευτερεύον κύκλωµα να λάβει την ανώτατη µέγιστη τιµή του (maximun maxi morum). ii) Ποιά είναι τότε η αντίστοιχη τιµή του πλάτους της έντασης του ρεύµατος στο πρωτεύον κύκλωµα; Δίνεται το πλάτος V της τάσεως τροφοδοσίας του συστήµατος. ΛYΣH: Eάν i, i είναι οι µιγαδικές εντάσεις των ρευµάτων στο πρωτεύον και το δευτερεύον κύκλωµα αντιστοίχως κατά µιά τυχαία χρονική στιγµή t, τότε εφαρµόζοντας στο πρωτεύον και στο δευτερεύον κύκλωµα το δεύτερο κανόνα του Kirchoff, θα έχουµε τις σχέσεις: U i R - ji /C + ji L + V "µ () " i R - ji /C + ji L + V "µ () #
U i [R + j(l - /C )] + ji M " i [R + j(l - /C )] + ji M # U i Z + ji M i Z + ji M " # () όπου U η µιγαδική τάση τριφοδοσίας του πρωτεόντος πηνίου, M ο συντελε στής αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων L, L οι συντελεστές αυτεπαγω γής τους, C, C οι χωρητικότητες των πυκνωτών και Z R +j(l -/C ), Z R +j(l -/C ). Aπαλοίφοντας µεταξύ των σχέσεων () την i παίρνου µε: U i (Z + M /Z ) i U () Z + M /Z Eπειδή τα δύο κυκλώµατα είναι συντονισµένα στην κυκλική συχνότητα ω της πηγής που τροφοδοτεί το πρωτεύον κύκλωµα, θα έχουµε Z R και Z R οπότε η () δίνει: i U R + M /R (3) Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή το ρεύµα στο πρωτεύον κύκλωµα είναι συµφασικό της τάσεως τροφοδοσίας του και το πλάτος του είναι: I () V R + M /R (4) Eξάλλου, σύµφωνα µε τη δεύτερη από τις σχέσεις () έχουµε: i - jmi (3) R i - jmu (R + M /R )R - ju R R /M +M (5) η οποία δηλώνει ότι, το ρεύµα στο δευτερεύον κύκλωµα υστερεί φασικά της τάσεως U κατά π/, το δε πλάτος του είναι: I () V R R /M +M (6) Eπειδή το γινόµενο (R R /ωm)ωm είναι σταθερό, ο παρονοµαστής του δεύτε ρου µέλους της (6) γίνεται ελάχιστος, όταν R R /ωmωm, οπότε το πλάτος I () παίρνει τη µεγαλύτερη τιµή του, η οποία είναι:
I (max) V M Yπάρχει εποµένως µια τιµή του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων, η οποία καθιστά το πλάτος I () µέγιστο, υπολογίζεται δε από τη σχέ ση: R R /M M M R R / (7) ii) Συνδυάζοντας τις (4) και (7) παίρνουµε τη σχέση: I () Παρατήρηση: V R + R R / R V R Για την πληρέστερη κατανόηση της λύσεως καλό είναι να µελετηθεί η αντί στοιχη θεωρία της εξαναγκασµένης ηλεκτρικής ταλάντωσης σε συζευγµένα κυκλώµατα. (Βλέπε ανάρτηση µε τον τίτλο ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙ ΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ σελίδα 7)