Introduction à l analyse numérique

Σχετικά έγγραφα
COURBES EN POLAIRE. I - Définition

La Déduction naturelle


TD 1 Transformation de Laplace

Jeux d inondation dans les graphes

X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t

ΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες. KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère

Τεχνικές του δράματος και Διδακτική των ζωντανών γλωσσών. Η συμβολή τους στη διαμόρφωση διαπολιτισμικής συνείδησης

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα. Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ

Θέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών

Corrigé exercices série #1 sur la théorie des Portefeuilles, le CAPM et l APT

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Plasticité/viscoplasticité 3D

Montage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX. Mini & Box

ΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Logique Propositionnelle. Cédric Lhoussaine. Janvier 2012

Microscopie photothermique et endommagement laser

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

FRÉDÉRIC GROS ΠΕΡΠΑΤΏΝΤΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΊΑ. Μετάφραση: Ρούλα Τσιτούρη

ΤΕΧΝΙΤΗΣ ΠΕΤΡΑΣ. Ήπειρος (Ελλάδα)

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Βασιλική Σαμπάνη Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας

[ ] ( ) ( ) ( ) Problème 1


Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

MÉTHODES ET EXERCICES

Présidence du gouvernement

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

DOCUMENT DE RECHERCHE EPEE

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

Philologie et dialectologie grecques Philologie et dialectologie grecques Conférences de l année

Planches pour la correction PI

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΓΑΛΛΙΚΑ

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP

HONDA. Έτος κατασκευής

Algorithmique et télécommunications : Coloration et multiflot approchés et applications aux réseaux d infrastructure

Mécanique Analytique et CFAO. Travaux pratiques de mécanique analytique. Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Dramaturgie française contemporaine

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

12J15$ΜΑΪΟΥ$ $MAI$2016$ HELEXPO$ Είσοδος$ελεύθερη$ $Entrée$libre$

Module #8b Transformation des contraintes et des déformations 2D-3D : Cercle de Mohr

Lycée Palissy Agen France Istituto Statale di Istruzione Superiore "Malignani Cervignano Italie

Photoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus

Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Très formel, le destinataire a un titre particulier qui doit être utilisé à la place de son nom

Φλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ

ΥΠΟ-06 Τεχνικές Γραφής Επιστημονικής Εργασίας. YPO-06 Techniques de rédaction du discours scientifique. Ενότητα 0 Introduction au cours

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ

Spectres de diffusion Raman induits par les intéractions pour les bandes v2 et v3 de la molécule CO2 en gaz pur et en mélange avec de l argon

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

Business Order. Order - Placing. Order - Confirming. Formal, tentative

Fourier Analysis of Waves

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves

Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΜΙΑ ΕΥΡΕΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΟΧΥΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΦΟΡΕΙΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ

Επιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη

Votre système de traite vous parle, écoutez-le!

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective

Réseau de diffraction


Από την παρουσία-ση (présence-présentation) στην αναπαράσταση (re-présentation): οι δύο χρόνοι του επίκαιρου στην εισήγηση του Scarfone 1

Geometric Tomography With Topological Guarantees

Zakelijke correspondentie Bestelling

Μεταπτυχιακές σπουδές στη Γαλλία. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1η Δεκεμβρίου 2010


Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτική εφαρμογή Διδασκαλία τραγουδιού της σύγχρονης γαλλικής μουσικής Dernière danse - INDILA

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

= df. f (n) (x) = dn f dx n

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019

Mohamed-Salem Louly. To cite this version: HAL Id: tel

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

QUALITES DE VOL DES AVIONS

LES LIEUX = ΟΙ ΧΩΡΟΙ 1) Une école de coiffure = μια σχολή κομμωτικής 2) Un salon de coiffure = ένα κομμωτήριο

Mission d entreprises Françaises sur le salon ENERGY PHOTOVOLTAIC 2010

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Μετανάστευση Στέγαση. Στέγαση - Ενοικίαση. Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι.

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ


Επιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη

Mesh Parameterization: Theory and Practice

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c


d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

Transcript:

Introduction à l analyse numérique Jacques Rappaz Marco Picasso Presses polytechniques et universitaires romandes

Les auteurs et l éditeur remercient l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage. LA COLLECTION «ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES» EST ÉDITÉE SOUS LA DIRECTION DU PROFESSEUR ROBERT C. DALANG Recherche opérationnelle pour ingénieurs I Dominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche Recherche opérationnelle pour ingénieurs II Jean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra Calcul différentiel et intégral Jacques Douchet et Bruno Zwahlen 1 Fonctions réelles d une variable réelle Fonctions réelles de plusieurs variables réelles 3 Fonctions réelles d une variable réelle Exercices résolus 4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles Exercices résolus Algèbre linéaire Aide-mémoire, exercices et applications Robert C. Dalang et Amel Chaabouni Analyse avancée pour ingénieurs Bernard Dacorogna, Chiara Tanteri Initiation aux probabilités Sheldon M. Ross Cours d Analyse Srishti D. Chatterji 1 Analyse vectorielle Analyse complexe 3 Equations différentielles DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L INGÉNIEUR» Introduction à la statistique Stephan Morgenthaler Aide-mémoire d analyse Heinrich Matzinger Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d autres universités et écoles d ingénieurs francophones. Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier aux Presses polytechniques et universitaires romandes, EPFL Centre Midi, CH-115 Lausanne, par E-Mail à ppur@epfl.ch, par téléphone au ()1 693 41 4, ou par fax au ()1 693 4 7. www.ppur.org ISBN -74-363-X 199,, 4, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH 115 Lausanne Imprimé en Italie Tous droits réservés. Reproduction, même partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l accord écrit de l éditeur.

! # $ ' ( ) +,. ) # $ ' 1 $ 4 5 # $ 9 ' 4, 4 5 # $ + = 4 + +? 4 5 # $ 4 $ $ $! # # 9 ' ) + +? 4 #, +! # ) # $ + ) (? 4 $! # $$ 1 $., # $9 +, # I # $! J ( 5 4 + ) $ I! ( 4 N O ( # $ 4 # # $ ( $ + 4 + ) ), ( 4 5 #! # 9 # $$ 1 $., # $! J( 5 4 + ) $ V J 4! #! J ) +! 4 ) # ) ( 9 # $ $ 4 #! # $ 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # $ + [ + )! 4 # $ # ), ' (, 4 5 # $ ] ' 9 ) #! # 9 # $ ( 5 4 + ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ # b # ( # + 4 ( # 1 # d 4 ) $ 4 # $ ( 5 4 + ) $! # 1 # # 4 4 5 #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! #! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # # $ ( 5 4 + ) $! # 1 # = + 4 5 #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! #! 4 h $ 4 + ) ( O + N 4 O # # # $ ( 5 4 + ) $! # 1 # ' 1 # = + 4 5 #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! # ) $ + V O 4 # $ $ # l ) 4 # m + 9 ' 5 # 1 #! J( 5 4 + ) 4 # I 4 $ #! # ) +, = # $ # $, ( ' +! # $ ), ( 4 5 # $ V! 4 $ + $ 4 4 + ) 9 $ $ ( # $ 9 (? + 4 # $ d 4 ) $ 4 + ) #! #, ( ' +! # $! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! J ( (, # ) $ l ) 4 $! # O +, # $ l ) 4 $! #, ( ' +! # $ $ # 9 # $ # 9 J 4 4 $ 4 + )! # 9 # $, ( ' +! # $ ), ( 4 5 # $ ) ( 9 # $ $ 4 # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 #! J + 4 $! # = $ # # $ 5 # J4 ) # + 4 + ) + 1 ) t, 4 #! ( 4 O 4 + )# J 4 ) (? 4 + ) ), ( N 4 5 #! J ) # [ + ) 9 4 + ) ( $ + 4 + )! #? )! $ $ 1 $., # $ 4 ) ( 4 # $ # ) + ) 4 ) ( 4 # $ J 4 ) (? 4 + )! J ( 5 4 + ) $! 4 h ( # ) 4 # # $ +! 4 ) 4 # $ w # I 4 $ #! # ) +, = # I + O? # $ 9 + ) $ 9 ( $ V J(! #, ' (, 4 5 # # V ( $ + 4 + )), ( 4 5 #! # $ ( 5 4 + ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ ] # 4 O # ) J $ ( # ) 4 + )! J b # )# I + $ ( # I ' $ 4 [ $ # $ z # m 9 + ) # 4 + =! # [ + ) 4 # 9 # # $ ) + 4 + ) $! # = $ # l )! # + O + 4 = +! #! # # $ + =., # $ # 9 + ) # )! # 9 # 4 O # # $ ) # O # $ 4 + ) ( + h ( #! 9 + $ + 1 9 + 4 ( 5 # # # N, 4 # # # ) $ # 4? ) #! # 4 $ $ 4 # $ ) ) ( # $ I (. O # $ 4 )? ( ) 4 # $! #, 4 # 9 1 9 #! # J{ 9 + # m + 1 # 9 ' ) 4 5 # (! ( #! # $ ) ) # # 4 O # # $! 4 O 4 $ ( # ) } 9 ' 4 # $ 9 ' 5 # 9 ' 4 # ( ) 4 N, b, #! 4 O 4 $ ( # ) $ # 9 4 + ) $ # $ #, 4. # $ $ # 9 N 4 + ) $! # 9 ' 5 # 9 ' 4 #9 + ) 4 # ) ) # )? ( ) ( #, # )! # $?, # ) $ $ 4, # $ # $! # ) 4. # $ $ # 9 4 + ) $! ( O # + # )! # $ ) + 4 + ) $ $ 9 +, # I # $ J O ) N! # ) 4. # $ # 9 N 4 + )! # 9 ' 5 # 9 ' 4 # 9 + ) 4 # )! # $ # I # 9 4 9 # $ 9 + 4? ( $! #$ + # 5 # # # 9 # 4 $ $ # z? # $ + ) ) 4 O #! # 9 +, ( ' # ) $ 4 + ) { ) l )! # ) 4. # $ # 9 4 + )! # 9 ' 5 # 9 ' 4 # 9 + ) 4 # )! # $ ) + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # 9 +,, # ) 4 # $! # $ 4 ) ( $ I 4 )? ( N ) 4 # $ 5 4 4 4 $ # ) $ 4, 4 + ) ), ( 4 5 #! ) $ # $ O I! # # 9 ' # 9 ' # # $ } #, 4 # $ 9 ' 4 # $ # I + $ # ) # $ + 4 $! # = $ #! # J ) 1 $ # ), ( 4 5 # ] # $ + 4 $ $ + ) 9 + ) # ) $! ) $! # $ +? 4 9 4 # $! # 9 9 $ 9 4 # ) 4 l 5 #! 4 $ N + ) 4 = # $! ) $ # 9 +,, # 9 # # $! # ) 4 # $ 9 ' 4 # $ $ + ) 9 + ) $ 9 ( $ V J ) 1 $ # ), ( 4 5 #! # $ ( 5 4 + ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ # $ + )! # # 9 # $! 4 ƒ 9 4 # 5 # # $ ( 9 (! # ) $ + # [ + 4 $ J + O? # ( ( 9 + )! # $ + # 5 # # $ #, 4. # $ O

O 4 $ # 9 4 + ) $! # $! # ) 4 # $ 9 ' 4 # $ # $ # ) = +! = # $! # $ (. O # $ 4 )? ( ) 4 # $! # #, 4 # 9 1 9 # ) 4 O # $ 4 4 # # $, ' (, 4 5 # $ 9 + ) # ) # $! ) $ 9 # 4 O # $ + ) # )? )! # 4 # # ) $ # 4? ) ( # $ # $! # I # $ I (! 4 ) $! #, 4 # 9 1 9 #! # $ $ # 9 4 + ) $! #? ( ) 4 # 9 4 N O 4? ( ) 4 #, ( 9 ) 4 5 #, ( 4 I, 4 9 + # 9 ' ) 4 5 # ' 1 $ 4 5 # 4 ) [ +, 4 5 # $ 1 $., # $! # 9 +,, ) 4 9 4 + ) $! # J { 9 + # m + 1 # 9 ' ) 4 5 # (! ( #! # $ ) ) # 9 +, ( ' # ) $ 4 + )! # 9 # $, ' (, 4 5 # $ # 5 4 # ) # = + ) ) # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # ( N = #! 9 9! 4 h ( # ) 4 # # 4 ) (? #! # J?. = # 4 ) ( 4 #, 4. # $? ( ) ( # N, # ) # ) $ # 4? ) ( # $ + $! # #, 4. # ) ) ( #! J (! # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $ ) 4 O # $ 4 4 # $ ) $ ) $ + 9 4! # 9 + ) 9 4 $ 4 + ) 5 # 5 # $ ( $ $ $ + ) ( ) + ) 9 ( $ $ ) $! (, + ) $ N 4 + ) ] # # )! ) # $ # $ $ # $ + ) # h + 9 ( $! #, 4 ) # ) 4 ) # 9 # 4 ) # 4? #, ' (, 4 5 #! ) $ [ +, 4 + )! # 9 # $ ( $ $ # $ # $ 4 # ) ) # ) V #, # 9 4 # + ) $ 4 # # m + [ # $ $ # ] ' # z 4 4 N # 9 #! # 9 + # 9 4 + ), ' (, 4 5 # $! # $ m # $ $ # $ m + 1 # 9 ' ) 4 5 # $ ) 4 O # $ 4 4 # $ +, )! # $ + $ # $ # ) 9 +? #, # ) $ # $ + ) 4 ) ( b V = 4 9 4 + )! # 9 # + N O? # # O 4! #! 9 1 +? ' 4 # ( ( # h # 9 ( O # 9? )! $ + 4 )!, # + $ # 4 J # # + O # 4 9 4 # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # # # $ #, # 9 4 #, # ) $! # $! # I # $

_ /! # % ' +, ' # % } } m + $ 4 4 + )! + =., # } } / $ #! #? )? # } 1 w ) # + 4 + )! #? )? # 1 } w ) # + 4 + )! J ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ) + 1 ) t, # } w ) # + 4 + )! J 3 #, 4 # 4 } 5 w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ 6 } 4 { I # 9 4 9 # $ } / } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } : ; = #?, ' # % % D = # F D G / } ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # #! # + ) 9 # } 4 / / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # #! J + )! 4 $ } 6 / 1 ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # # $ / / / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # $ ( 4 # / 1 / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $ # 4 ) # + 4 + ) / / 5 { I + 4 + )! # 4 9 '! $ + ) / / 4 { I # 9 4 9 # $ / 4 / 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 1 } N O % ' = R, ' # % % D = # F D W X D F D,, ' D N N 1 } ] ( ) ( 4 ( $ 1 1 1 / m + 4! $! J ) # [ +, #! # 5! # 1 4 1 1 +, #! # 9 )? # 1 +, #! # 4, $ + ) } 1 +, # $! # ] $ $ N #? # )! # / 1 5 { I # 9 4 9 # $ 5 1 4 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ ` = D ' # % d ' # %=, # Wf # # %, ' # % h, D W j d ', k % # ' # %% = W j d ' D = ' # %= m } m + $ 4 4 + )! + =., # } / { 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ $ ) # I #, # / 1 d? + 4 ', #! J ( 4, 4 ) 4 + ) 1 9 +, = #! J+ ( 4 + ) $ + J( 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ 4 { 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ O # 9 9 ' )? #, # )! # 4 O + O 4 4

G O 4 4 4 5 1 $., # $, 9 + )! 4 4 + ) ) ( $ 5 4 1 $., # $ $! ( #, 4 ) ( $ ( ' +! #! # $, + 4 )! # $ 9 ( $ 5 { I # 9 4 9 # $ 5 5 6 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 5 4 m ; = k + # ' # % W ; = k + # ' # % d LU } ( 9 +, + $ 4 4 + ) 5 6 LU / 4 4 (! #! ( 9 +, + $ 4 4 + ) 4 / LU 1 ( 9 +, + $ 4 4 + ) LU O # 9 9 ' )? #, # )! # 4 O + 4 4 9 # $ $ 1, ( 4 5 # $! ( l ) 4 # $ + $ 4 4 O # $ ( 9 +, + $ 4 4 + )! # ] ' + # $ 1 4 4 9 # $! # = )! # 4 5 { I # 9 4 9 # $ 4 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 1 ` = D ' # % d ' # % =, # +, = ' # ' =, ' #? # m 5 } ] ( ) ( 4 ( $ ( ' +! # $! # 9 + = 4 # ] $ $ N # 4! # 5 / ) # I #, # 6 5 1 ( ' +! # $! # # I 4 + ), ( ' +! # $ 6 5 ( ' +! # $!?! 4 # ) #!?! 4 # ) 9 + ) z? ( 6 / 5 { I # 9 4 9 # $ 6 5 5 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } / & = ' % D = # F D + D k, k D?, D + +! D%, ' # k d = ' # F D ( m 4 } ] ( ) ( 4 ( $ } 4 / ( ' +! #! # 4 $ $ ) 9 # } 4 4 1 ( ' +! #! # 4 $ $ ) 9 # 4 ) O # $ # } 6 4 ( ' +! #! # 9 + = 4 } } } 4 { I # 9 4 9 # $ } } 4 5 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } } 4 # f F D, ' # % ' d '! = F D, ' # % %% # %=, # } { 5 4 + ) $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ *? ( ) ( 4 ( $ } } 6 / ( ' +! # $! # + 4 ) l I # *? ( ) ( 4 ( $ } / } 1 ( ' +! #! # 9 # - + ) #, ( ' +! #! # 9 +! # } / 1 $., # $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ } / 4 { I # 9 4 9 # $ } 1 5 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } 1 f F D, ' # % # / = % ' # N G 6 } { 5 4 + ) $! 4 h ( # ) 4 # # $! #, 4 # +! # *? ( ) ( 4 ( $ } 1 4 6 / m + =., # $ ), ( 4 5 #, # ), + $ ( $ } 6 1 9 ' (, $! J { # } } 6 ( ' +! # $! # )? # N! J +! # / } 6 ( ' +! #! # )? # N 9 $ $ 4 5 # } 5 6 5 1 $., # $! 4 h ( # ) 4 # $! #, 4 # +! # } 4

4 I 6 4 { 5 4 + ) $! 4 h ( # ) 4 # # $! J+! # $ ( 4 # } 6 { I # 9 4 9 # $ } } 6 6 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } ( ; # / = %k %# ' = = % ' % # + D +, D # # ' D %# # % # %% m m } } ) + =., # I 4, 4 # $ ) 4! 4, # ) $ 4 + ) ) # } } / ( ' +! #! # $! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 5 } 1 ( ' +! #! # ] # 4 ) } 4 } ( ' +! #! J ( (, # ) $ l ) 4 $! #! #? ( } } 5 } } ( ' +! #! J ( (, # ) $ l ) 4 $! #! #? ( / } 5 } 5 d + I 4, 4 + )! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! J ) + =., # I 4, 4 # $ ) + ) 4 ) ( 4 # } 5 4 } 4 { I # 9 4 9 # $ } 5 6 } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ }41 % = '! = = % ' % # + D!, ++ #, ' # % + # +' # F D G m } } } m + =., # $ # 4 4 5 # $ # [ +, 4 + ) O 4 4 + ) ) # # }4 } } / { (, # ) $ l ) 4 $ 4 )? 4 # $! #! #? ( } }46 } } 1 ) # I #, # 4 9 4 # } } } } { $ 4, 4 + ) $! J # # $ #, ( ' +! # $! #! #? ( $ ( 4 # } } } { I # 9 4 9 # $ } 5 } } 5 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } 6 1 : + + #, ' # % + +,, # F D W, k, D m } / } { 5 4 + )! # 9 ' # } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 6 } / / { 5 4 + )! # 9 ' # } # ( (, # ) $ l ) 4 $ } 6 } / 1 m + =., # $ = + 4 5 # $ / # # $ + I 4, 4 + ) $ / / } / ) # I #, # 4 9 4 # / } / { I # 9 4 9 # $ / } / 5 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ / N + + #, ' # % + d + # F D W f F D, ' # % ', % + ' ' = F D, ' # % % : ( } 1 } { 5 4 + )! # ) $ + } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / 6 } 1 / { 5 4 + )! # $ + )! # $ } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / } 1 } 1 1 { 5 4 + ) $! # $ + )! # $ / # ( (, # ) $ l ) 4 $ / } } 1 { 5 4 + )! # ) $ + } ) + ) 4 ) ( 4 # / / } 1 { I # 9 4 9 # $ / / / } 1 5 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ / / 5 _ + + #, ' # % + k %? k ' # % # / D # % :: } } ) + =., #! # 9 + ) O # 9 4 + ) N! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / / 6 } / ) + =., #! # 9 + ) O # 9 4 + ) N! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # # ( (, # ) $ l ) 4 $ / 1

I } 1 m + =., # $ = 4! 4, # ) $ 4 + ) ) # $! # 9 + ) O # 9 4 + ) N! 4 h $ 4 + ) / 1 4 } { I # 9 4 9 # $ / 1 6 } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ /

" $ & ( *+,. + $ + ) $ 5 # J+ ) O # 4 # 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t, # p! #! #? ( n 5 4 +! # $ O # $ t t 1 t... t n! 4 $ 4 ) 9 # $! + ) ) ( # $ # ) ) # # $ O # $ p p 1 p... p n # $ # 9 4 O #, # ) 9 J # $ N V N! 4 # p(t j ) = p j + j n. } } 1 ) #, ) 4. # #,, # ) $ 4, #! # ( $ +! # 9 # + =., # # $! J ( 9 4 # p(t) = a + a 1 t + a t + + a n t n } / 1 + 4 a a 1 a... a n $ + )! # $9 + # ƒ 9 4 # ) $ 5 4! # O + ) b #! ( #, 4 ) ( $ 9 4 #, # ) $ 4 # $ 9 + # ƒ 9 4 # ) $ a j $ + ) 9 + ) ) $ + $ # + 1 ) t, # # $ 9 + ) ) 1 # $ j n p 1 # 4 + ) $ n + 1 } } 1 $ J ( 9 4 O # ) + $ * a + a 1 t j + a t j + a 3t 3 j + + a nt n j = p j, j n. } 1 1 m 4 $ 5 # # $ O # $ t j # p j $ + ) 9 + ) ) # $ # $ # 4 + ) $ j n } 1 1 [ +, # ) ) $ 1 $., #! # ( 5 4 + ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ (n + 1) (n + 1) a a 1 a... a n ) #, ) 4. #! 4 h ( # ) #! J ( 9 4 # } 1 1 # $ $ 4 O ) # + 4, 4 9 #! ( l ) 4 # * T (n + 1) (n + 1) ; = %# ' # % W : < > @ A B : E > H< J ` : A E L > t a t 1a t a...a t nb 1 t t t 3... t n 1 t 1 t 1 t 3 1... t n 1 T = 1 t t t 3... t n 1 t 3 t 3 t 3 3... t n. 3... 1 t n t n t 3 n... t n n T J > L N P R P L B A U J @ J X P E @ JB R : E @ J P > > : UA \ J P < _ }

/ 4 a # p $ + ) # $ (n + 1) N O # 9 # $ 9 + + ) ) # $ $ 4 O ) $ * a = a a 1 a a n, p = ) + $ + O + ) $ ( 9 4 # } 1 1 $ + $ [ +, #, 4 9 4 # #* T a = p. } 1 d 4 ) $ 4 # + =., # 9 + ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # # + 1 ) t, # $ 4 $ [ 4 $ ) p } } 1 # $ # (! # 4 # $ V + ) ( $ 9 + + )! ) # $ # $ 1 $., # 4 ) ( 4 # } 1 9 J# $ N V N! 4 # V! ( #, 4 ) # 4 $ 5 # a T p ( $ +! # ) $ 1 $., # 4 ) ( 4 #! # ( 5 4 + ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ ) J # $ (n + 1) (n + 1) $ ) # 9 ' # 4 O 4 # 9 ' # 5 1, ( ' +! # 5 # ) + $ O # ) + ) $! #! ( 9 4 # + + O # # + 1 ) t, # ) J# $ $ ) # = + ) ) #, ( ' +! # ) $ $ 4 #) + $ p ( $ # ) + ) $ ) #, ( ' +! # $ $ 9 4 # $ # + 9 + ) $ 4 # # + 1 ) t, # p.. &. w # $ [ 9 4 #! # ( $ +! # # + =., # } } 1 + $ 5 # + # $ # $ O # $ p j $ + ) (? # $ V ( + $ [ ) # 5 4# $ l I ( # V } + 4 $ + $ + ) $ 5 # J+ ) 4 # + )# ) 4 #! + ) ) ( # ) # # # k n p k = 1 p j = j k + 4 ϕ k [ + ) 9 4 + )! # t! ( l ) 4 # (t t )(t t 1 ) (t t k 1 )(t t k+1 ) (t t n ) ϕ k (t) = (t k t )(t k t 1 ) (t k t k 1 )(t k t k+1 ) (t k t n ). } 1 ] 4 #, # ) # ), ( #! # ϕ k # $ ) +! 4! # #, # $ n (t t j ) O # 9 # j k # $! + ) 9 ) + 1 ) t, #! #! #? ( # ) #! ( ) +, 4 ) #! # n t ϕ k # $ ) # 9 + ) $ ) # # 4 # $ + $ [ 9 4 #! # O ( 4 l # 5 # (i) ϕ k # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( n, (ii) ϕ k (t j $ 4 ) = j k, j n, (iii) ϕ k (t k ) = 1. d 9 ' 5 # + 4 ) t k ) + $ O + ) $! + ) 9 $ $ + 9 4 ( ) + 1 ) t, # ϕ k! #! #? ( n O ) ) # ) t k # ( + I # $ + 4 ) $ t j j k # $ + 1 ) t, # $ ϕ ϕ 1 ϕ... ϕ n $ + ) 4 ) ( 4 #, # ) 4 )! ( # )! ) $ { ) # h # $ 4 α α 1 + α $ +... α n $ + ) ) +, = # $ ( # $ # $ 5 # (n + 1) n j= α jϕ j (t) = t R t = t k ) + $ + = # ) + ) $ * = n j= α j ϕ j (t k ) }{{} $ 4 j k 1 $ 4 j=k p p 1 p p n, = α k,

1 # 9 + ) $ ( 5 # ) + $ # $ α k $ + ) 4! # ) 4 5 #, # ) ) $ k =, 1,..., n 9 + + ) $, 4 ) # ) ) P n J # $ 9 # O # 9 + 4 # [ +, ( + $ # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 4 ) [ ( 4 # + (? V w # $ = 4 # ) 9 + ) ) 5 # n P n # $ ) # $ 9 # O # 9 + 4 #! #! 4, # ) $ 4 + ) # 5 # $ = $ # 9 ) + ) 4 5 # # $! + ) ) ( # (n + 1) 1, t, t, t 3,..., t # [ 4 5 # n ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n $ + 4 # )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 4 ) ( 4 #, # ) n 4 )! ( # )! ) $, + ) # 5 # 9 # $! # ) 4 # $ [ +, # ) $ $ 4 ) # = $ #! # P n d 4 ) $ 4 ) + $! + # + ) $! ( l ) 4 4 + ) $ 4 O ) # * ; = %# ' # % W : : < > @ A B : E > H < J J > L N P P > J @ J P B P E J@ J P n P > >: UA \ J P < _ ` : A E L > t, t 1, t,..., t nb ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n f + W m # ) + ) $ n = t = 1 t 1 = t = 1 = $ #! #? )? #! # P $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ 1 # 1 # $ [ +, ( # # $ + 1 ) t, # $ ϕ, ϕ 1, ϕ! ( l ) 4 $ ϕ (t) (t t 1)(t t ) (t t 1 )(t t ) = 1 t(t 1) = 1 t 1 t; } 5 1 ϕ 1 (t) (t t )(t t ) (t 1 t )(t 1 t ) = (t + 1)(t 1) = 1 t ; } 4 1 ϕ (t) (t t )(t t 1 ) (t t )(t t 1 ) = 1 (t + 1)t = 1 t + 1 t. } 1 # $? ' # $! # ϕ ϕ 1 ϕ $ J 4 ) # O # [ 1, +1] ) 4 5 #, # ) $ + ) # ( $ # ) ( $! ) $ l? # } } 1..6.4 ϕ 1 ϕ ϕ. -. -1 1 X # R W W $ #! #? )? #! # P $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ 1 # 1. & $ *. &. # O # ) + ) $ + =., # } } 1 9 + ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t, #! #! #? ( p n 5 4 # ) ) #! # $ O # $! + ) ) ( # $ p p 1 p... p n # )! # $ + 4 ) $! 4 $ 4 ) 9 $! + ) ) ( $ t t 1 t... t n

+ 4 ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n = $ #! #? )? #! # P n $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ t t 1 t... t n d + $ # + 1 ) t, # p 9 ' # 9 ' ( # $! ( l ) 4 * p(t) = p ϕ (t) + p 1 ϕ 1 (t) + + p n ϕ n (t) = j= { ) # h # 4 $ 5 # # $ ) # 9 +, = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 #! # + 1 ) t, # $ p (n + 1) ϕ ϕ 1 n p j ϕ j (t). } 6 1 ϕ... ϕ n! #! #? ( n + $ p # $ 4 N, b, # ) + 1 ) t, #! #! #? ( n 9 J# $ N V N! 4 # p P n J # $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ + 4 ( ( $! # $ + 1 ) t, # $ ϕ j ) + $ O + ) $ + k =, 1,,..., n * p(t k ) = n j= p j ϕ j (t k ) }{{} = p k } } 1 $ $ 4 4 j k 1 j=k 5 4 # $ = 4 # ) # 4 + ) } } 1 w # $ 4, + )! # #, 5 # 5 #) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4 # I 4 9 4 #, # ) ) # $ + 4 + )! + =., # } } 1 # 9 # 9 4 + ) J4, + # 5 # # $ O # $! + ) ) ( # $ ] # 9 4, + ) # 5 # # $ 1 $., # p, p 1,..., p n } 1 + z + $ ) # $ + 4 + ) + ) J 4, N a + # 5 # # 4 ) $ 4, 4 9 #! # )! #, + )! # # $ (? 4. # $ + 4 + ) p T } 6 1! + =., # } } 1 # $! + ) 9 ) 4 5 # f + W : + O # ) + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 4 # ) t = 1 O # ) p = t 1 = O # # ) p 1 = 3 t = 1 O p = 6 J. $ 9 #5 4 ( 9.! # ) + $ O + ) $ + 4 p(t) = ϕ (t) + 3ϕ 1 (t) + 6ϕ (t) ϕ ϕ 1 # ϕ $ + )! + ) ) ( $ } 5 1 N } 1 9 + $ + = # ) + ) $! + ) 9 * p(t) = ( 1 t 1 ) t = 4t t + 3. + 3(1 t ) + 6 ( 1 t + 1 ) t. & $ * ". ". $ & " $ *,. + 4 ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # # $ + 4 f : R R t t 1 t... t n (n + 1) + 4 ) $! 4 $ 4 ) 9 $! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $, 4 ) # ) ) V 4 ) # + # ) + 1 ) t, #! #! #? ( f p n I + 4 ) $ t j 9 J# $ N V N! 4 # ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( j n p n # 5 # p(t j ) = f(t j ), j n. } } } 1 4 # $! + ) ) ( # + $ # ) + $ ) # # ) $ 4 f(t) p j = f(t j ) j n O ) 9 # 5 4 # $ [ 4 [! +, ) $ # ) $ # 9 = 4 + $ ) #! } # 1 ) +? $ ) +? = #! # ) # + ) $ p(t) = + 4 # $ n j= p jϕ j (t) ϕ j j n P n $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ t, t 1, t,..., t $ + 4 + )! + =., # n } } } 1 # $! + ) 9! ( l ) 4 # * p(t) = n j= f(t j )ϕ j (t) t R. } } / 1

b ; = %# ' # % W N E@ A B P H< J N J ` : N E R J f @ J @ J B \ n P < _ ` : A E L > t, t 1, t,..., t nb p @ \ E A ` P B J > L NA E L J B ` : N P E L @ J f + W N + 4 f [ + ) 9 4 + )! ( l ) 4 # f(t) = e t + O # J4 ) # + )! # f! #! #? ( I + 4 ) $ 1 # 1 4 ) + $ # # ) + ) $ [ +, # } } / 1 ) + $ O + ) $ p(t) = e 1 ϕ (t) + e ϕ 1 (t) + eϕ (t) + 4 ϕ, ϕ 1, ϕ $ + )! + ) ) ( $ } 5 1 } 4 1 # } 1 d 4 ) $ 4! + ) 9 ) + $ + = # N ) + ) $ p(t) = 1 ( 1 e t 1 ) t ( 1 = e 1 + e ( 1 + (1 t ) + e ) t + ( e 1 e t + 1 ) t ) t + 1. l? # } /, + ) # #? ' #! # [ + ) 9 4 + ) f # $ + ) 4 ) # + )! #! #? ( I + 4 ) $ 1 # 1 3.5 1.5 1.5-1 1 f p X # R W W : w ) # + 4 + )! # [ + ) 9 4 + )! ( l ) 4 # ) + 1 ) t, # f f(t) = e t p! #! #? ( I + 4 ) $ # 1 1 + 4, 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # #! + ) ) ( # $ ) f : [a, b] R 4 ) # O # [ #, ( + 4 ) # ) 4 # + $ 4 4 [ # 9 + ) $ 4! ( + ) $ # 9 $ + 4 # $ + 4 ) $ [a, b] n t j j =, 1,,... $ + ) ( 5 4! 4 $ 4 = ( $! ) $ 9 J # $ N V N! 4 #, n [a, b] t j = a + jh j =, 1,,..., n O # 9 h = (b a)/n + 4 J4 ) # + )! #! #! #? ( I p f n + 4 ) $ t, t 1,..., t n 5 # ) + $ ) + # + ) $ p n + = 4 # ), + ) # 5 J 4! ( # )!! # J # ) 4 # 9 ' + 4 $ 4! ( J. $ n } } / 1 p n # $! ( l ) 4 * + 4 p n (t) = n j= f(t j )ϕ j (t), } } 1 1 ϕ, ϕ 1,..., ϕ n # $ = $ #! #? )? #! # P n $ $ + 9 4 ( # V t, t 1,..., t, + ) # # ( $ $ 4 O ) * n $ ) #

b 5 = W < ` ` : >: E > H < J N A E L JB P N N J : [a, b]b >: A L : A > U : E L A E R J E L @ \ B A P N J > < B f (n + 1) N : B > > A J > L @ \ E A p n ` P B E : < > P : E > max f(t) p 1 n(t) t [a,b] (n + 1) f (n+1) (t) = d n+1 f(t)/dt n+1 b ( b a n ) (n+1) max t [a,b] f (n+1) (t) } } 1 J 4 ) (? 4 ( } } 1# $ ) # # $ 4, 4 + )! J# # # ) # [ + ) 9 4 + ) + ) # $ + ) 4 ) # N f p n! #! #? ( I + 4 ) $ n t, t 1, t,..., t n ( 5 4 ( 4 $! ) $ d 4 + 4 [a, b] ) + $ + 4 + ) $ # ) $ # 5 #9 # # # # 9 + ) O #? # O # $ ( + + $ 5 # # )! n O # $ J4 ) l ) 4 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ lim n 1 (n + 1) ( ) (n+1) b a =. { ) ( 4 ( 9 # # ƒ, 4 + ) # $ $ + O # ) [ $ $ # 9 9 # + #. $ 4! #, # ) max t [a,b] f (n+1) (t) O # 9 ] # ' ( ) +,. ) # # $ 4 $ (! ) $ J# I #, # $ 4 n O ) f + W _ ` D% R + 4 5 # J + ) 9 + ) $ 4!. # $ J 4 ) # N f(t) = 1/(1 + 5t ) O # [ + ) 9 4 + ) # $ 4 ) l ) 4, # )! ( 4 [ 1, +1] f(t) O = # $ J4 ) # O # [ 1, +1] #! # f (n) (1) O 4 # ). $ 4! #, # )? )! + $ 5 # # )! n O # $ J4 ) l ) 4 l? # } 1, + ) # $ + ) 4 ) # + ) p n! #! #? ( I + 4 ) $ n t j = 1 + j/n j = 1... n + n = 5 # n = 1 n 1.5 1 f p 5 p 1.5 -.5-1 -.5.5 1 X # R W W N w ) # + )! #! #! #? ( # } f(t) = 1/(1 + 5t ) O # 9! # $ + 4 ) $ ( 5 4 ( 4 $ 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # O + 4 $ 4 )? #! # $ # I (, 4 ( $! # J 4 ) # O # [ 1, +1] J4 ) # + ) ( $ # ) #! #? )! # $ + $ 9 4 4 + ) $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ), ( 4 5 # $ 1 9 + $ 9 + ) 9 + ) $! + ) 9 5 J4 ) J# $ $4 )! 4 5 (! J 4 ) # + # ) # [ + ) 9 4 + ) ) + 1 ) t, #! #! #? ( ( # n O ( # )! # $ + 4 ) $ t, t 1,..., t n ( 5 4! 4 $ 4 = ( $ m 9 + ) # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ # $ + 4 ) $! 4 $! # 9 ' # = 1 9 ' # h t j = a + (b a) ( 1 + cos ) (j + 1)π, j =, 1,,..., n, (n + 1)

4 + 9 + ) $ 4 # J4 ) # + ) p n! # f + $ J# # max t [a,b] f(t) p n (t) # )! O # $ ( + + $ 5 # n # )! O # $ J4 ) l ) 4 9 +,, # #, + ) # l? # } 1.5 f p 1 1.5 -.5-1 -.5.5 1 X # R W W _ w ) # + )! # f(t) = 1/(1 + 5t )! #! #? ( } O # 9! # $ + 4 ) $! # 9 ' # = 1 9 ' # h. & $ *. &,. # $ + =., # $! J4 ) # + 4 + ) 5 # ) + $ O # ) + ) $! # 9 + ) $ 4! ( # $ + )! # $ " & " ' " ' * 4 $ [ + ) 4 ) # O # ) 4 # $ O # $! # + N 1 ) t, # $ #! # [ + ) 9 4 + ) $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $, 4 $ ) # 4 # ) ) # ) $ 9 +, #! # $! ( 4 O # ( # $! # w # I! 4 ( $ # 4! J # $ + =., # $! J 4 ) # + 4 + ) + # $ 5 # $ # $ O # $! # p(t) O ( #! J4 ) # + 4 + )! J 3 # $ + )! + ) ) ( # $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $ $ ) #! ) $ 9 # 9 $ p, (t) 4 # m + 4 $ # ) + # + + $ ) + $ ( $ # ) + ) $ ) $ # # I #, # 5 4 # $ J 4 ) # + 4 + )! J 3 #, 4 #! # $ 9 = 4 5 # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 1 + 4 t < t 1! # I + 4 ) $! + ) ) ( $ # $ + 4 p, p 1 5 # ) +, = # $ ( # $, p! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 #, 5p # 1 p p(t ) = p, p(t 1 ) = p 1, } } 1 p (t ) = p, p (t 1 ) = p 1, } } 5 1 + 4 # $! ( 4 p (t) O ( #! # + 4 ) p t # $ 9 + )! 4 4 + ) $ } } 1 4, + $ # ) O #! # # ) p t # * t 1 # $ 9 + )! 4 4 + ) $ } } 5 1 4, + $ # ) O #! #! ( 4 O ( #! # # ) p p t # t 1 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 $ J ( 9 4 $ + $ [ +, # p(t) = a + a 1 t + a t + a 3 t 3 ; ) + $ O + ) $! + ) 9l I (! ) $ } } 1 } } 5 1 5 # 9 + )! 4 4 + ) $ +! ( #, 4 ) # 5 # 9 + # ƒ 9 4 # ) $ a a 1 a # a 3 9 + $ + 4 + ) $, # ) # # + =., # V ( $ + 4 + )! J ) $ 1 $., # 4 ) ( 4 #! # ( 5 4 + ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ 4 4 a a 1 a # a 3 4 ) + $, + ) + ) $ 5 # 9 # $ 1 $., # 4 ) ( 4 # + z + $ ) # $ + 4 + ) + ) J 4, + # 5 # # $ O # $ p, p 1 + $ 9 # # $ + 4 + ) # $ ) 4 5 #, p m + 9 + ) $ 4 # ), + p $ 9 +,, # ) + ) $ 9 + ) $ 4 # ) # = $ # 1 p ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ t # t 1

4 1 $ ) 9 + ) $ 4 ϕ # 5 # ϕ $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 # ϕ (t ) = 1, ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = ϕ (t 1) =. $ ) O ( 4 l # 5 # J + ) * ϕ (t) = (t t 1) (t + t 1 3t ) (t t 1 ) 3. } } 4 1 4 4 1 #, b, # + ) 9 + ) $ 4 ϕ 1 # 5 # ϕ 1 $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? (1 # $ ) + = 4 # ) * ϕ 1 (t 1 ) = 1, ϕ 1 (t 1) = ϕ 1 (t ) = ϕ 1 (t ) =. ϕ 1 (t) = (t t ) (t + t 3t 1 ) (t 1 t ) 3. } } 1 4 4 4 1 $ ) 9 + ) $ 4 ψ # 5 # ψ $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? (1 # ψ (t ) = 1, ψ (t ) = ψ (t 1 ) = ψ (t 1 ) =. $ ) O ( 4 l # 5 # J + ) * ψ (t) = (t t 1) (t t ) (t t 1 ). } } 6 1 4 O 1 #, b, # + ) 9 + ) $ 4 ψ 1 # 5 # ψ 1 $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 # $ ) + = 4 # ) * ψ 1(t 1 ) = 1, ψ 1 (t 1 ) = ψ 1 (t ) = ψ 1(t ) =. ψ 1 (t) = (t t ) (t t 1 ) (t 1 t ). } / 1 9 + $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # 9 # $ 5 # + 1 ) t, # $ ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1 $ + ) 4 ) ( 4 #, # ) 4 )! ( # )! ) $ ; = %# ' # % W _ J > H < P L B J ` : N E R J > : B R JE L < E J P >J @ J ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1 E : < > P ` ` JN N J B : E > P >J @ JB R A L J @ J L ` J U< A H < J P > >: UA \ J t JL t 1b P 3 H < J ) $ ) 4 5 l #,? # ) # } ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( ϕ ϕ 1 ψ # ψ 1 $ J 4 ) # O # [t, t 1 ] d 1 ) 9 + ) $ 4 = $ #! J 3 #, 4 # ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ t, t 1 ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 #, # ) 5 # $ 4 # $ # + 1 ) t, #! # p! #? (! ( l ) 4 3 p(t) = pϕ(t) + p1ϕ1(t) + p ψ (t) + p 1 ψ 1(t), } / } 1 + $ $ 4 $ [ 4 # $ # 4 + ) $ p } } 1 } } 5 1 4 ) + $ # ) + ) $, 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + ) ) # [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f ) O = # $ J4 ) # O # # $ 4 ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ # + 1 ) t, #! ( l ) 4 [t, t 1 ] p p(t) = f(t )ϕ (t) + f(t 1 )ϕ 1 (t) + f (t )ψ (t) + f (t 1 )ψ 1 (t), + $ ) + $! 4 + ) $ 5 # p # $ J 4 ) # + )! J 3 #, 4 #! # f! # $ 9 = 4 5 # $ $ [t, t 1 ] 9 + $ O + ) $ ) # #, # ) p(t ) = f(t ), p(t 1 ) = f(t 1 ), p (t ) = f (t ), p (t 1 ) = f (t 1 ).

a 6 1..6.4. -. ϕ ϕ 1 ψ ψ 1 t t 1 X # R W W m $ #! J 3 #, 4 #! # 1 # 9 = 4 5 #. & $ * $ &. & **. J4 ) # + 4 + )! J ) # [ + ) 9 4 + )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( ( # O ( # )! # $ + 4 ) $ ( 5 4! 4 $ 4 = ( $ # # )? # )! #! # $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ), ( 4 5 # $ 9 +,, # ) + $ J O + ) $ O! ) $ $ # 9 4 + ) } # $ J 4 ) # + 4 + )! J ) # [ + ) 9 4 + )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( ( # O ( ) J # $ $ z $ 4 l ( # + $ 5 # [ + ) 9 4 + ) V 4 ) # + # ) J # $ $ (? 4. # ] J # $ 4 $ + ) + 5 # # J4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ # $ $ + O # ) 4 4 $ ( # + 4 ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # $ ) 4 ) # f O # # $ + 4 [a, b] 1 N + 1 + 4 ) $! ) $ J 4 ) # x = a < x 1 < x < x 3 <... < x N = b O # m + [a, b] 9 ' 5 # 4 ) # O # ( 5 4 ( 4 $ ) + ( $ 4 # $ + $ $ 4 = #! # 9 ' + 4 $ 4 [x i, x i+1 ] 1 + 4 ) $ 4 ) ( 4 # $ n 1 x i,1 < x i, < x i,3 <... < x i,n 1. { ) + $ ) t = x i t j = x i,j O # 9 1 j n 1 t n = x i+1 ) + $ + O + ) $ 4 ) # + # I + 4 ) $ f t j ) + 1 ) t, #! #! #? ( 9 +,, # ) + $ j n n J O + ) $ [ 4! ) $ $ # 9 4 + ) } ) $ $ 4 # ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ h = max x i+1 x i, i N 1 # ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ ) # [ + ) 9 4 + ) # # 5 # f h : x [a, b] f h (x) R f # $ # 4 ) # V 9 # 4 ) # O # $ + 4 z $ #, # ) 9 # + 1 ) t, #! J4 ) # + 4 + ) h [x i, x i+1 ]! #! #? ( n ; = %# ' # % W m E @ A B P H< J N P : E UL A : E f b 9 + $! (, + ) + ) $ # ( $ $ 4 O ) * = W : : A L f h J > L N A E L JB ` : N P E L @ J @ J B \ n ` P B A E L J B P N N J > @ J < E J E L A JB n ` : > A L A @ : E E \ >: A L < E J : E U L A : E f : [a, b] R @ : E E \ JL J H< > : JE : A L < > > < ` ` : >: E > : A > U : E L A E R J E L @ \B A P N J > < B N A E L JB P N N J (n + 1) >: E A E L J B [a, b] f h ` : N P E L@ J @ J B \ n ` P B A E L J B P N N J > N : B >A N J _ A > L J< E J U : E > L P E L J b C A E @ \ ` JE @ P E L J @ < Ü : A _ @ J > x ia 1 i N 1 L JN N J H < J max f(x) f h(x) Ch n+1. } / / 1 x [a,b]

} ; = % ', ' # % { ) 4 4 $ ) # ' ( +., #} } $ J4 ) # O # [x i, x i+1 ] # ) 4 # # 9 #! # J 4 ) # N O # [a, b] ) + $ + = # ) + ) $ * max f(t) f 1 h(t) t [x i,x i+1] (n + 1) d 4 ) $ 4 ) + $ O + ) $ ( xi+1 x i ( max f(t) f h(t) C max x j+1 x j t [x i,x i+1] j N 1 + 4 9 + ) $ ) # C # $! + ) ) ( # # + 4 C = 1 max (n + 1)n f (n+1) (t) (n+1) t [a,b] n ) (n+1) max t [x i,x i+1] f (n+1) (t). ) n+1 } / 1 1 i =, 1,,..., N 1 d 4 ) $ 4 } / / 1 # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # 4,, (! 4 #! # } / 1 1 ) # 4 ) # ( 4 + )! ' ( +., # } / # $ $ 4 O ) # 4 + ) $ #! + ) ) # ) # ) 4 # + $ 4 4 [ n # $ 4 + ) # )! N + 4 ) $ x 1, x,..., x N O # 9 N! # $ # ) $? )!! # [ + ) V 9 # 5 # h $ + 4! # $# ) $ # 4 + $ max x [a,b] f(x) f h (x) 9 + ) O #? # O # $ ( + + $ 5 # h # )! O # $ ( + m # I #, # $ 4 + ) + $ # h = (b a)/n # $ 4 x i = a + ih O # 9 i =, 1,,..., N + ) max f(x) f h(x) Ch n+1. x [a,b] { ) 4 5 # + ) # )!? )! # # 4 N n + / + 1 + 1 n = 1 f + W m ] + ) $ 4! ( + ) $ # 9 $ + 4 f(x) = x 1.7 +.1e 3x sin(13x) a = b =. N = 4 + # $ = # $ + 4 ) $! # l? # 1 x = x 1 =. x =.4 x 3 =.6 x 4 =. 4 4 ) J 1 $! # + 4 ) 4 ) ( 4 # I4 ) # n = 1 O # $ J4 ) # + 4 + ) $ 9 ' 5 # 4 ) # # [x i, x i+1 ] O # $ # [ 4! # $ + 1 ) t, # $! #! #? (} l? # } 5, + ) # #? ' #! # J4 ) # + ) 4 ) # O # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + + 4 ) 4 ) ( 4 # V # + 4 ), 4 4 # n = [x i, x i+1 ] x i,1 # J4 ) # + 4 + ) $ 9 ' 5 # 4 ) # = O # $ # [ #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? xi+xi+1 ( / l? # } 4, + ) # #? ' #! # J4 ) # + ) 4 ) # O # $ J 4 ) # + 4 + )! #? )? # 4 ) # O # $, # # ) ( O 4! # ) 9 #! # $ $ $! #! ( 4 O ( # #, 4. # # ) 9 ' 5 # + 4 ) x i l? } 5 # } 4 1 ) #, ) 4. #! # 9 + ) $ 4 # ) 4 ) # + ) 4 ) # O # $ $ 4 $ $ # # $! J 4 4 $ # J 4 ) # + 4 + )! J 3 #, 4 # O # 9! # $ 9 = 4 5 # $ $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [x i, x i+1 ] $ # 9 } 1 ] 4 #, # ) $ 4 # $ f ) # [ + ) 9 4 + ) $ J4 ) # C O # # $ 4 $ 9 ' 5 # 4 ) # 1 [a, b] O # 4 ) # + + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 9 +,, # ) + $ J ) + $ [x i, x i+1 ] f O + ) $! ( z V [ 4! ) $ $ # 9 4 + ) } $ J 4 ) # O # + $ # ) 9 ' 5 # + 4 ) [t, t 1 ] x i [ + ) 9 4 + ) 5 4 4 ) # + # # )! f O # # $! ( 4 f(x i ) O ( # #, 4. # # )! O # J4 ) # + ) 4 ) $ 4 9 + ) $ 4 # $ ) # [ + ) 9 4 + ) $ f (x i ) C 1 [a, b] l? } 1

} } 1. 1..6.4. -. x 1.7 +.1e 3x sin(13x) interpolant -.4..4.6. a = x x 1 x x 3 b = x 4 X # R W W w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( } 1. 1..6.4. -. x 1.7 +.1e 3x sin(13x) interpolant -.4.1..3.4.5.6.7. a = x x,1 x 1 x 1,1 x x,1 x 3 x 3,1 b = x 4 X # R W W G w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( / 1. 1..6.4. -. x 1.7 +.1e 3x sin(13x) interpolant -.4..4.6. a = x x 1 x x 3 b = x 4 X # R W W # w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! J 3 #, 4 # 9 N = 4 5 # $

} /. &. f k # k W $ ) $ + $ # 5 # J + ) 9 + ) ) 4 $ $ # # $ O # $ f(t)! J ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # I O # $! # t # ) 4. # $ $ # #, # ) 9 J # $ N V N! 4 # + )$ + $ # 9 + ) ) # $ # $ O # $ f(k), k =, ±1, ±,... 4 ) + ) # ) 4 # + )! ( l ) 4 ) # + I 4, 4 + )! # # ) 4 ) # + ) t R t p(t) f(t) [ + ) 9 4 + ) + 9 ' # $! # ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 I 5 # + 4 ) $ # ) 4 # $ # $ $ f t { 9 4 # )? + 4 ', # 5 4 +! + ) ) ( [ + ) 4 t p(t) j D ' # % + 4 ) + ) # ) 4 # # $ + 4 4 # # ) 4. #! # m 4 $ 5 # t R t k = E[t] t t ]k, k+1[ 4 $ J? 4! #! ( l ) 4 # + 1 ) t, #! + ) #? ' # $ $ # # $ + 4 ) $ p ( k 1, f(k 1) ), ( k, f(k) ), ( k + 1, f(k + 1) ), ( k +, f(k + ) ).,, D W d? + 4 ', # [ + ) 4 $ $ ) p = p(t) V 4! # t R# ' % ', # ψ (x) := 1 x(x 1)(x ) 6 ψ 1 (x) := 1 (x + 1)(x 1)(x ) ψ (x) := 1 (x + 1)x(x ) ψ 3 (x) := 1 (x + 1)x(x 1) 6 4 # t k := E[t] 4 t = k p := f k ; 4 ) + ) ( l ) 4 4 + )! # $ [ + ) 9 4 + ) $ ψ ψ 1 ψ ψ 3 ] 9! # k 4 # $ # ) 4 # t 4 ) + ) + ) 9 9 # p(t) p := f k 1 ψ (t k) +f k ψ 1 (t k) +f k+1 ψ (t k) +f k+ ψ 3 (t k)

} 1 ] + ) [ +, (, # ) I ( $ $! # $ # 9 4 + ) } p # $ # + 1 ) t, #! ( l ) 4 p(t) =f(k 1)ϕ (t) + f(k)ϕ 1 (t) } / 1 + f(k + 1)ϕ (t) + f(k + )ϕ 3 (t), + 4 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 3 # $ = $ #! #? )? #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ { ) 4 4 $ ) J (? 4 ( k 1 k k + 1 k + } 1 ) 9 9 $ 4, #! + ) ) # * ϕ (t) = 1 (t k)(t k 1)(t k ), 6 ϕ 1 (t) = 1 (t k + 1)(t k 1)(t k ), ϕ (t) = 1 (t k + 1)(t k)(t k ), ϕ 3 (t) = 1 (t k + 1)(t k)(t k 1). 6 { h # 9 # + ) ) + $ $ #! 9 ' ( l ) ) 4? $ # $, + ) # $ ) #! $ # [ + O ) 9 4 4 + = ) $ # m 4 $ 5 # + $ x = t k t ]k, k + 1[ x ], 1[ ψ ψ 1 ψ ψ 3 $ + 4 # ) 9 + # ψ (x) = ϕ (x + k), ψ (x) = ϕ (x + k), ψ 1 (x) = ϕ 1 (x + k), ψ 3 (x) = ϕ 3 (x + k), ψ (x) = 1 x(x 1)(x ), 6 ψ 1 (x) = 1 (x + 1)(x 1)(x ), ψ (x) = 1 (x + 1)x(x ), ψ 3 (x) = 1 (x + 1)x(x 1). 6 J(? 4 ( } / 1 $ J( 9 4, 4 ) # ) ) * p(t) =f(k 1)ψ (t k) + f(k)ψ 1 (t k) + f(k + 1)ψ (t k) + f(k + )ψ 3 (t k). J? + 4 ', # 9 + # $ + )! ) # $ ( $ # ) (! ) $ # = # } } # $,. # $! J# ) ( # $ + ) t R # # $ O # $ f k = f(t k ) #,. #! # $ + 4 # p # $ O # p(t) f k # k W : + 4 t < t 1! # I ) +, = # $ ( # $! 4 $ 4 ) 9 $ # $ + 4 # 5 # ε < ε < t 1 t } { I 4 9 4 # ) + 1 ) t, # p ε! #! #? (1 # 5 # p ε (t ) = p ε (t + ε) = 1, p ε (t 1 ) = p ε (t 1 + ε) =.

} / 4 ϕ(t) # 4 ), + ) # 5 # = $ 4 lim p ε (t) ϕ(t ) = 1 ϕ(t 1 ) = ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = ε # $ ) # [ + ) 9 4 + )! # = $ #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 + ϕ J 4 ) # + 4 + )! J 3 #, 4 # $ # 9 } 1 j D ' # % } + 4 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 3 = $ #! #? )? #! # P 3 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ t t + ε t 1 { ) 4 4 $ ) # ( $ t 1 + ε } 6 1 ) + $ O + ) $ * p ε (t) = ϕ (t) + ϕ 1 (t). J # J (? 4 ( } 1! + ) ) #* ϕ (t) = (t t ε)(t t 1 )(t t 1 ε), ( ε)(t t 1 )(t t 1 ε) ϕ 1 (t) = (t t )(t t 1 )(t t 1 ε). ε(t t 1 + ε)(t t 1 ) { ) (! 4 $ ) # $! # I [ 9 4 + ) $ 9 4 N! # $ $ $ V )! ( ) +, 4 ) # 9 +,, ) ) + $ + = # ) + ) $ * (t t 1 )(t t 1 ε) p ε (t) = ε(t t 1 )(t t 1 ε)(t t 1 + ε) ( ) (t t 1 ε)(t t ) (t t 1 + ε)(t t ε) = (t t 1)(t t 1 ε)(3t t 1 t + ε). (t t 1 )(t t 1 ε)(t t 1 + ε) / m! ( l ) 4 4 + )! # ϕ ) + $ O + ) $ * ϕ(t) = lim p ε (t) = (t t 1) (3t t 1 t) ε (t t 1 ) 3, #! + ) 9 # )! ( 4 O ) ) + $ + = # ) + ) $ * ϕ (t) = (t t 1)(3t t 1 t) (t t 1 ) (t t 1 ) 3 = 6 (t t 1)(t t) (t t 1 ) 3. 9 + $ O + ) $! + ) 9 = 4 # ) ϕ(t ) = 1 ϕ(t 1 ) = ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = 9 # 5 4 + O # 5 # ϕ # $ ) #! # $ 5 # [ + ) 9 4 + ) $! # = $ #! # $ + 1 ) t, # $! J 3 #, 4 #! #! #? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ t # t 1 $ # 9 } 1 f k # k W N + 4 ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( #$ J 4 ) # f O # $ + 4 # + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 4 4 ) # + # # ) # $ + 4 ) $ # [ 1, { I +1] 4, # p f 1,, +1 # ) [ + ) 9 4 + )! # # +1 ( 4 l # 5 # [ +, # 4 ) $ 4 + 1 = # p(t)dt ) # 9 f( 1), f() f(+1) + ) 9 4! # O # 9 [ +, #! # 4, $ + )! # $ # 9 4 + ) 1

} j D ' # % { ) 4 4 $ ) # ( $ } 6 1 # + 1 ) t, # p # $! ( l ) 4 p(t) = f( 1)ϕ (t) + f()ϕ 1 (t) + f(+1)ϕ (t), + 4 ϕ ϕ 1 ϕ # $ = $ #! #? )? #! # P $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ # # $ 1,, +1 # I 4 9 4 ( #! ) $ J # I #, #} } 9 + $ O + ) $! + ) 9 +1 p(t)dt = f( 1) 1 ) 9 9 $ 4, #! + ) ) # +1 1 ϕ (t)dt + f() +1 1 ϕ 1 (t)dt + f(+1) +1 1 ϕ (t)dt. +1 1 # 9 + ) $ ( 5 # ) ϕ (t)dt = 1 +1 3, ϕ 1 (t)dt = 4 +1 3, ϕ (t)dt = 1 3, +1 1 1 p(t)dt = 1 3 1 ( ) f( 1) + 4f() + f(+1). w $ #, = #! + ) 9 ) #! J + 9 ' # +1 1 f(t)dt 5 ) 4 ( J(f)! ( l ) 4 # J(f) = 1 3 ( ) f( 1) + 4f() + f(+1). ) $ #9 ' 4 # 1 ) + $ # # + ) $ 5 ) 4 ( " " J(f) m 9 + ) $ 9 4 + ) [ +, #! # 5! # 4 ).? # # I 9 #, # ) # $ J(f) + 1 ) t, # $! #! #? (! # I $ # ) $ + 4 +1 q(t)dt = J(q) 1 + + + 1 ) t, #! #! #? (! # I ] # # [ +, #! # 5! # $ J # # q [ +, #! # 4, $ + ) $ # 9 1 1. ( (* & $ ".. &., & ". 9 + $ O + ) $ ( $ # ) (! # I # I #, # $! J4 ) # + 4 + ) + 1 ) t, 4 # V $ O + 4 J 4 ) # + 4 + )! #? )? # # J4 ) # + 4 + )! J 3 #, 4 # w # I 4 $ # ) # #, # )! J # $ 1 # $! J 4 ) # + 4 + ) * 4 ) # + 4 + ) 4? + ) +, ( 4 5 # $ 4 ) # $ # 9 d 4 #! J # I #, # 9 + ) $ 4! ( + ) $ J 4 ) # + 4 + )! J ) # [ + ) 9 4 + ) ) # [ + ) 9 4 + ) 5 # ) + $ # # + ) $ $ 4 ) #9 = 4 5 # # 5 # ) + f $ ): + [a, # b] + ) $ R S 4 $ + ) + 4 ) $! + ) ) ( $! ) $ J4 ) # t = a < t 1 <... < t n = b (n + 1) O # + $ 4 # $ + $ $ 4 = #! # + [a, b] O # ) #[! + # )! 9 ( 4 + 4 ) 9 + ) 4 ) # # # 5 # S : [a, b] R S(t ) = f(t )... S(t n ) = f(t n ) O ( # $ #, 4. # # $ # 9 + )! # 9 + ) 4 ) # $ + 1 ) t, 4 #! #! #? ( 1 $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [t j 1, t j ] 1 j n O + 4 # I #, # / / + $! #! ( 4 $ 1

} 5 J # I #, #! # $ # 9 4 + ) }, # ) # ) ( O 4! # ) 9 #! 4 O #? # ) 9 #! # J 4 ) # N + 4 + ) # $ J# I #, #! # )? # ) 4 #, # ), ' (, 4 5 # 9 +, #! # 9 # # I #, # $ # + O #! ) $ } 5 J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ # $ )! # $ 4 )? (! 4 # ) $! #, ( ' +! #! # $ ( ( N, # ) $ l ) 4 $ 9 ' } V } 1 { ) 4 9 4 # # ' ( +., # } / # $ #? # ) #! # ( $ $ ' ( + 4 5 # $ 5 4 #, #! #, + ) # 9 + ) O #? # ) 9 #! #, ( ' +! #! # $ ( (, # ) $ l ) 4 $ 9 + $ # O 4 # )! + ) $ $ 9 # 4 ) $ $ # 9 $! # J 4 ) # + 4 + ) + 1 ) t, 4 #! ) $ # $ 9 ' 4 # $ / # 1 # ) +, = # I +? 4 9 4 # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $? )! = 4 9 # I #, # # T M ' #, 4 9 T M = T M1 = +! # ) # $ + =., # $! J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # N, # )! # $ +? 4 9 4 # $! # ] + ) 9 # 4 + ) d $ $ 4 $ ( # $! 4 ) # $ ] d $ 1 4 4 $ # )! # $, ( ' +! # $ 4 $ $ # $! # ' ( + 4 #! # J 4 ) # + 4 + ) / 5

b a &. ", & ". & &... & &. "&. & "&. + 4 f ) # [ + ) 9 4 + )! # R! ) $ R $ + $ ( # 9 + ) 4 ) # #! # #, 4. #! ( 4 O ( # f 9 + ) 4 ) # 4 x R # $ ) ( #! + ) ) ( ) + $ + O + ) $ ( 9 4 #* f f(x + h) f(x ) (x ) = lim h h f(x ) f(x h) = lim h h f(x + h/) f(x h/) = lim. h h ) # 4! ( # + 9 9 # ), ( 4 5 #, # ) #, 4. #! ( 4 O ( #! # + 4 ) f f x 9 + ) $ 4 $ #! + ) 9 V $ #! + ) ) # ) # O # + $ 4 4 h O # $ $ # # 4 # # V 9 9 # h f(x ) + h f(x ) + δ h f(x ) / / 1 h h h. $ O + 4! ( l ) 4 # $ 5 ) 4 ( $ h f(x ) = f(x + h) f(x ), def / 1 1 / } 1 h f(x ) = def f(x ) f(x h), / 1 δ h f(x ) = f(x + h/) f(x h/). def / 1 + $ 5 # # $! + ) ) ( J + = z #, ' (, 4 5 # h > h # $ ) + ( # * V + # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # 4 [ 4 9 + # $ + )! # ) # # [ + ) 9 4 + ) f : R R 9 + ) 4 ) #! ( l ) 4 # h f h # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $ $ #, N f(x) = f(x + h) f(x) = = # $ $ + ) O = # $ + # $ + ( # $ h # δ h ; = %# ' # % : W : B >H< J J > L @ : E E \ N J > : h > a ` \ B P L J < B > P ` ` J N \ > : ` \B P L J< B@ J @ A \B JE U J ` B JR AB JB J > ` J U L A J R J E L ` B : B J > > A J JL U JE L B \ J } 4 ha h J L >: E L δ B \L B h : B P @ J

b a a } 9 + $ O ( 4 l + ) $, 4 ) # ) ) # ( $ $ 4 O ) * = : W J > : ` \ B P L J< B > @ J @ A \ B JE U J ` B J R A B J E \ P A B J > ha h JL δ h > : E L N A ; = % ', ' # % + ) + ) $ # ( $ + J + ( # h m + 9 # [ 4 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $! # I ) +, = # $ ( # $ 5 # 9 + ) 5 # $ # #! # I [ + ) 9 4 + ) $ 9 + ) 4 ) # $ 5 # 9 + ) 5 # $ α β f, g : R R 9 + $ O ( 4 l + ) $ $ ) $! 4 ƒ 9 ( 5 # h (αf + βg)(x) = αf(x + h) + βg(x + h) αf(x) βg(x) = α h f(x) + β h g(x) x R. #, b, # 4 $ + ) ) #, # ) $ J 4 5 # I + ( # $ h # δ h 4 # $ ) # [ + ) 9 4 + )! # I [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f ) O = # $ + )! ( O # + #, # ) 4, 4 (! # I 4., # +! # O + 4 $ 4 )? #! + 4 ) x $ J( 9 4 * f(x + h) = f(x ) + f (x )h + 1 f (ξ)h, / 5 1 + 4 # $ ) + 4 )! # J 4 ) # ξ O # [x, x # $ # 4 + ) $ + h] / 5 1 # / 1 1 ) + $ + = # ) + ) $ * f (x ) hf(x ) h = 1 f (ξ) h. / 4 1 9 + $ + O + ) $! + ) 9 ( ) + ) 9 # # ( $ $ 4 O ) * = : W : A : A >U : E L A E R JE L @ \B A P N J > A J > L @ J < _ f : R R J > L _ \ JL > A J > L < E E : R h > B J ` : > A L A @ : E E \ H< J ; = % ', ' # % m + $ + ) $ f (x ) hf(x ) h C = 1 A N J _ A > L J < E J U : E > L P E L J x R C L JN N J Ch, h h. / 1 max f (x). x [x,x +h ] # # 4 + ) / 4 1 ) + $+ = # ) + ) $ = 4 # ) J 4 ) (? 4 ( / 1 9 $ 4 h h + $ #! + ) 9 1 ξ [x, x + h ] f (ξ) C 9 + $ + = # ) + ) $! #, b, # [ + ) ) ( $ $ #, = = # $ 4 9 ( # $ #, N h f(x ) h f(x ) m 9 + ) # $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $ f (x ) O # δ h f(x ) ) + $ + = # ) + ) $ ) #, # 4 # # + I 4, 4 + ) { ) # h # $ + $ + ) $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 h f O = # # 9 + ) $ 4! ( + ) $ # $! ( O # + #, # ) $ 4, 4 ( $ *, # )! ( 4 N ) f (x + h/) = f(x ) + f (x ) h + f (x )! f (x h/) = f(x ) f (x ) h + f (x )! ( ) h + f ( (ξ) h 3! ( ) h f ( (η) h 3! ) 3, / 6 1 ) 3, / } 1

b b a a + 4 } 6 # $ ) + 4 )! # J 4 ) # ξ O # # # $ ) + 4 )! # [x, x + h/] η [x h/, x ] { ) $ + $ 1 ) / } 1 V / 6 1 # # ) 4 4 $ ) # 4 + ) / 1 ) + $ O + ) $ * f (x ) δ hf(x ) h = f (ξ) + f (η) 6 f (ξ) + f (η) 4 h # $ ) ) +, = # + $ 4 4 [ l I ( # $ 4 ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ C = 1 max 4 f (x), x [x h /,x +h /] ) + $! (! 4 $ + ) $ V 4! # / } } 1 # ( $ $ 4 O ) * = : W N A h / } } 1 h 4. J > L L B : A > : A > U : E L A E R J E L @ \B A P N J > A f : R R J > L _ \J L > A J > L < E E : R B J h > ` : > A L A @ : E E \ A N J _ A > L J < E JU : E > L P E L J L J N N J C H< J f (x ) δ hf(x ) h x R Ch, h h. / } / 1 # $ ' ( +., # $ / / # / 1 ) + $ $ $ # ) 5 # $ 4 # $ $ $ # f 4 ( $ (? 4. # # $ 5 ) N h f(x ) # δ h f(x ) 9 + ) O #? # ) O # $ + $ 5 # # )! h h f (x ) h O # $ ( + ) $ # #, 4 # 9 $ 9 + ) O #? # ) 9 # # $! J +! # + $ 5 #! ) $ #! # I 4., # 9 $ h 9 + ) O #? # ) 9 # # $! J +! # h ; = %# ' # % : W : E @ A L H < J : B R < N J > @ J @ A JL >: E L @ J > h f(x )/h h f(x )/h \B JE U J > E A J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B P @ J > ` : < B N P ` ` B : _ A R P L A : E @ J @ A \B J E U J > f (x ) hf(x ) h JL f (x ) hf(x ) h f (x )b >: E L P ` ` JN \ J > " N N J > >: E L @ : B @ B J JL : E @ A L H < J N J > h : B R < N J > @ J @ A \ B J E U J > E A J > >: E L U : E > A > L P E L J > N : B @ B J JE 1 J R R J N P : B R < N J @ J@ A \B J E U J > E A J > U J E L B \ J > hb δ h f(x )/h ` : < B N P ` ` B :_ A R P L A : E @ J J > L U : E > A > L P E L J f (x ) N : B @ B J J E U P B N JB B J< B@ JL B : E U P L < B J h f (x ) δ hf(x ) h J > L @ : B @ B J h N N J J > L P A E > A b ` N < > ` B \ UA > J H < J N J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B P @ J > &. ", & ". &&... & &. "& & & J > : B R < N J > @ J @ A \B JE U J > E A J > + 4 c ) ) +, = # ( #! + ) ) ( 1 ) ) # # ( $ # ) 4 + )! ( 9 4, # 4 ) l ) 4 # ) 9 9 # # ) O 4? # + ) # ) # + # # ) 4 5 J )) +, = # l ) 4! # 9 ' 4 h # $

b b > b / +! + ) ) # ) # # ( $ # ) 4 + )! ( 9 4, # l ) 4 #! # 5 # ) + $ ) + # + ) $ d 4 ) $ 4 c c # I #, #! # c = 1/3 O 4 # )! 5 4 # $ = 4 # ) $ ) # + I 4, 4 + ) c =.333333 ), ( 4 5 #! # c ; = %# ' # % : W N : < > @ A B : E > H < < E E : R B J J > L @ : E E \ c P J U Ü A B J > > A E A N U P L A > J E B J ` B \ >JE L P L A : E@ \ UA R P N J > A N J > L @ : E E \ P J U Ü N A B J > U : R ` L \ > ` P B L A B@ < ` B J R A JBU A B J E : E E < N f + : W # $ ) +, = # $ *.333333 =.333333 1 34.456 =.34456 1.34533 =.34533 1 3 3.455 1 1 =.3455 1 19 $ + )! + ) ) ( $ O # 9 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ ; = %# ' # % : W _ : A L < E E : R B JB \ J N JL >: A L >P c c P N J < B P ` ` B : Ü \ J ` P B < E U P N U< N P L J< B JE A B < N J : L L P E L J L B P P A N N P E L P J U Ü N A B J > @ \ U A R P < _ > A E A U P L A P H < P E L A L \ J > L P c c ` ` JN \ J J B B J < B@ P B B : E @ A > > < B cb P H < P E L A L \ J > L P ` ` J N \ J ` B \ UA > A : E B JN P L A J @ < U P N U < N P L J < B η = 1 N ) $ 4, # 9 9 ) + $, + ) # 5 # 9 + # 9 #, # ) # ) +, = # m # I #, # $ 4 #9 9 # + )! 4 c + $ c 5 # 5 c η # 5 # J+ )! 4 $ + $ #! # 5 c c = 1/3 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + $ + 4 $ ) 5 # # J # #! J + )! 4 $ $ $ # c =.333333 c c c = 1 3 1 6 5 c η η = 1 {! 4 + ) $, 4 ) # ) ) ) # I #, # 4 6 $ ) J 4, + ) 9 #! # $ # # $! J + ) N! 4 $ + $ 5 J + ) ( O # + + 9 ' # ), ( 4 5 #, # ) h f(x )/h f (x ) f + : W : ] 9 + ) $ + $ 5 # h f(x + )/h f(x) = x x = 7 h =.6 h =.1 4) + $ O + ) $ )9 9 # 5 4 ) #! 4 $ + $ # 5 #! # 19 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ ) + $ + = # ) + ) $ + # # $ h =.6 h =.1 O # $ $ 4 O ) # $ * h =.6 : hf(x ) h h =.1 : hf(x ) h = (7.6) (7.).6 = (7.1) (7.).1 49. 49. 13.3,.6 49.1 49. 1...1 m 4 $ 5 # ) + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # J # # + = # ) # [ +, # I f (x ) = 14! 4 h ( # ) 9 # $ # $ $? )! # + 5 # + ] # h f(x )/h h =.1 h =.6 ' ( ) +,. ) # # $ 4 ( I # # $! J + )! 4 $ w $ ƒ! # # )! # ) #, 9 ' 4 ) #! 4 $ N + $ )! # 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + + = # ) 4 9 + ) 9 $ 4 + ) 4 ) O # $ # { ) # h # ) + $ + = # ) + ) $! ) $ 9 # 9 $ # $ O # $ $ 4 O ) # $ * h =.6 : hf(x ) h h =.1 : hf(x ) h = (7.6) (7.).6 = (7.1) (7.).1 49.436 49. = = 14.6,.6 49.141 49. = = 14.1..1

/ } ) $ $ 4 # ) + $ ) # [ # + ) $ $ ) # ' ( + 4 # $ # $ # # $! J + )! 4 $ 4 $ + ) $ $ 4, #, # ) 5 # + $ 5 # # $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 η O #! 9 9 # 4 4 $ ( + $ J# # = $ + # + = # ) # $ J ( c c O 4 + )! J ) ) +, = # # $! # c c J +! #! #? )! # ) + $ ) + # + ) $ 1! # c η # ) [ 4 + ) O $ ' 5 # 1 d 4 ) $ 4 $ 4 ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V 9 9 # c c 5 c η h f(x ) h = def f(x + h) f(x ) h O # 9 ) # O # $ + $ ( #! + ) ) ( # $ ) $ # #! J + )! 4 $ h # I #, # * 1 ) + $ + = # ) + ) $ * 1... # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # f(x + h) η f(x + h) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # f(x ) η f(x ) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # h f(x ) ( ) η f(x + h) + f(x ) η f(x ) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # h f(x )/h η f(x ). h h = 1 7 { ) 9 + ) 9 $ 4 + ) J # #! J + )! 4 $ 9 +,, 4 $ # $ J ( O 4 + )! # # $! # h f(x )/h J +! #! # η f(x ) /h, 4 [ $ # $ + )! + ) 9! # $ 4 )! # 4, 9 4 5 + ) + $ )! $ J + +! # # [! + # 4 $? 5 ) #! # # $ 9 9 + = $ = $ + ). $ + I 4 N # 4 ) + $ 9 9 N + ) $ J # # # 4 O # e r! # I # # $! J + )! 4 $ $ J( O 4 + )! # h f(x )/h ) + $ + = # ) + ) $ * e r ηf(x )/h h f(x )/h = η f(x ) f(x + h) f(x ) η f(x ) f (x ) h ; 9 # # # # # 4 O #?, # ) # + $ 5 # h! 4, 4 ) # f + : W N ] + ) $ 4! ( + ) $ V ) + O # # $! + ) ) ( # $! # J # I #, # / / 9 + $ O + ) $ f(x ) = 49 f (x ) = 14 # er 7η h. 4 ) + $! ( $ 4 + ) $ O # 9 + = # ) 4 ) # # # # 4 h =.1 O # 4 ( # I # # $! J + )! 4 $! # $ 1 3 1 e r $ J ( = 1 O 4 + )! # ) + $ 3 h f(x )/h! # O + ) $ O + 4 #! + ) 9 w [! + ) 9 9 ' + 4 $ 4 ) # η 1 5 /7 1 6 N = 6, 9 ' 4 ) # 5 4 9 9 # O # 9, + 4 ) $ 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $! # 9 # # $ # 9 4 + ) # $ # ) 4 ) 9 ' )? ( # $ $ 4 + ) + 9.! # V J( O N 4 + )! # + h f(x )/h δ h f(x )/h

/ / &. ", & ". & &... & &. " & + $ + ) $! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ), # )! ( 4 f : R R O = # # $ + 4 ) ) +, = # + $ 4 4 [ $ $ # # # 4 m + 9 9 # ) # + I 4, 4 + )! # x R ) + h $ f (x ) 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ +? # $ $ 4 O # $ 4 # f (x ) h f(x )/h 9 + $ O + ) $ O 5 # J# #! # + ) 9 # 9 +,, 4 $ # # $ + I 4, 4 O #, # ) (? # V Et h = 1 f (x ) h [ +, # / 4 1 1 m 9 + ) # J # #! J + )! 4 $ # $ + I 4 N, 4 O #, # )! + ) ) ( # + 4 # $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 Ea h = η f(x ) /h η O #! 9 9 # d 4 ) $ 4 $ 4 4 #! # 9 9 # ) + $ 9 9 + ) $ f (x ) h f(x )/h O # 9 ) 9 9 #! # ( 9 4 $ 4 + ) # 4 O # ) + $ + η O + ) $ ) + $ # )! # V ) # # # + # $ +,, #! # $ # # $! J + )! 4 $ #! # + ) 9 # J # # E h = Ea h + E + #! + ) 9 J# I t h # $ $ 4 + ) $ 4 E O ) # * h E h = 1 f (x ) h + η f(x ). / } 1 1 h w # $ + $ $ 4 = #! # 9 9 # ' ( + 4 5 #, # ) 1 # # + $ $ 4 = # { ) # h # $ + 4 [ + ) 9 4 +! # [ + ) V + = # ) 4 $ # 4 # h )! ( l ) 4 # E h g g(x) = ax + b x x R, + 4 a = 1 f (x ) b = η f(x ] 4 #, # ) ) O # + 4, #! # $ #! + ) ) ( # h # ( # 5 4 ( 4 $ # #, 4 ) 4,,! # + m +! ( #, 4 ) # 4 x g(x) x > x $ ƒ! # 9 9 # g (x) = a b x #! # O ( 4 l # 5 # + g ( x) = x = # 9 + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # b/a g ( x) > x # $ J ) 4 5 #, 4 ) 4,,! # + # g(x) x > O #! # 9 + # $ + )! ) V h $ # 4 # O #! # # $! + ) 9 E h η f(x ) h = f (x ). / } 1 w # $ 9 4 5 # # $ 9 9 $9 4 N! # $ $ $ ) J + ) 5 J ) # O # ' ( + 4 5 # # #! # O # 4 5 # w $ 4 )! 4 5 # ) 5 # $ 4 + ) # [ 4 # ) # # $ 4, 4 + )? + $ $ 4. #! # O # p! ( l ) 4 # p = f(x ) f (x ) 9 # 5 4 ) J# $ $ + z + $ # 9 $ 1 # $ 4+ ) O # 9 9 # ) # + I 4, 4 + ) ) N, ( 4 5 #! # # ) 4 4 $ ) [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ f (x ) h f(x )/h O # 9 ) 9 9 # ) #! 4 $ + $ ) 5 #! # 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + ) 4 ) ( b V # )! # N h! # J +! #! #? )! #! # p 1 # $, b, # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $ N/ # $ # ) O = # $ $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $ f (x ) [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ ( +?! # $ 4 # m 9 + ) # $ 4 f (x ) h f(x )/h ) + $ + 9 ' J# + ) # $ [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 4 # f (x + ) # + # I # $ $ 4 + ) f (x ) δ h f(x )/h O + 4 / } } 1 + J # #! # + ) 9 # 1 * E h 1 4 f (x ) h + η f(x ) h

a / 1 5 4 # )! $ + ), 4 ) 4,, + h = ( ) 1/3 3η f(x ) f. (x ) &. ", & ". & &. "$ &. "& # $ + ( # $ I! 4 h ( # ) 9 # $ 4 ) +! 4 $! ) $ $ # 9 4 + ) / } # O # ) b #? ( ) ( 4 $ ( $! # [ + ) $ 4 O ) # + 4 m ) # ) 4 # $? )! 5 # 1 + )! ( l ) 4 ( 9 $ 4 O #, # ) * d 4 ) $ 4 # I #, # m h f = h ( m 1 h f), / } 1 m h f = h ( m 1 h f), / } 5 1 δh m f = δ h (δ m 1 h f). / }4 1 ) δhf(x) =δ h (δ h f(x) = δ h (f(x + h/) f(x h/)) =δ h f(x + h/) δ h f(x h/) =f(x + h/ + h/) f(x + h/ h/) [f(x h/ + h/) f(x h/ h/)] =f(x + h) f(x) + f(x h). / } 1 # [ + )$ 4, 4 4 # V 9 # 5 4 ( ( [ 4! ) $ # 9 $ + 4 ) + $ m = 1 O ( 4 l + ) $ 5 # # $ + ( # $ # $ + ) 4 ) ( 4 # $ m h m h δ w # $ + $ $ 4 = #! #! (, + ) h m # 5 # $ 4 # $ ) # [ + ) 9 4 + ) $ $ # f (? 4. # f! # 9 $ $ # $ 4+ ) # )!! # $! 4 h ( # ) 9 # $ +? # $ $ 4 C O # $ + ( +?! # $ + 9 $ $ #! # m+1 $ 4 + ) # )!! # $! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 1 # $ 4 # $! + ) ) ( f + $ C m+ x R # $ 5 ) 4 ( $ m h f(x ) h m, m h f(x ) h m, δ m h f(x ) h m $ + )! # $ + I 4, 4 + ) $! # m N 4., #! ( 4 O ( # f (m) (x )! # f + 4 ) x! J+! # h h # h # $ # 9 4 O #, # ) + $ 5 # h # )! O # $ ( + 9 + $ + O + ) $ 4 ) $ 4 ( ) + ) 9 # # $ ( $ $ $ 4 O ) $ 5 4? ( ) ( 4 $ # ) # $ ' ( +., # $ / / # / 1 * = : W _ A J > L < E J E L A JB m ` : > A L A > A a J > L : A > f : R R (m + 1) U : E L A E R J E L @ \B A P N J > A JL >: E L @ J > E : R B J > @ : E E \ > P N : B > A N x R h > J _ A > L J< E J U : E > L P E L J L JN N J H< J a C f (m) (x ) m h f(x ) h m f (m) (x ) m h f(x ) h m Ch h h, / } 6 1 Ch h h. / / 1

a / = : W m A J > L < E JE L A JB m ` : > A L A > A a J > L : A > f : R R (m + ) U : E L A E R JE L @ \ B A P N J > A J L >: E L @ J > E : R x R h > B J > @ : E E \ > P N : B > A N J _ A > L J < E JU : E > L P E L J L J N N J H< J a C f (m) (x ) δm h f(x ) Ch h h. / / } 1 h # $ + =., # $! #! 4 h $ 4 + ) $! J# m $. 9 # $! #! ( [ +, 4 + ) $ ( $ 4 5 # $! # + N? 4 + ) $! J+ )! # $! J( 9 + #, # ) $! # 4! # $ # 9 [ + ) 4 ) # O # ) 4! # $! ( 4 O ( # $! # I 4., # + 5 4., # d 4 ) $ 4 # $ [ +, # $ I! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 9 # ) ( # $ + J + I 4, 4 + )! # f (x ) 4 # 1 # m = f IV (x ) 4 # 1 $ + ). $ $ + m = 4 O # ) 4 4 $ ( # $ # $ 4 )? ( ) 4 # $ # $ J ( 9 4 O # ) * f (x ) f(x + h) f(x ) + f(x h) h, / / / 1 f IV (x ) f(x + h) 4f(x + h) + 6f(x ) 4f(x h) + f(x h) h 4. / / 1 1 ] # $ [ +, # $ 9 + )! 4 $ # ) V ) # # #! # + ) 9 #! J +! # $ 4 (? 4. # # $ $ $ # h f ] +,, # ) + $ J O + ) $ O! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 (! # ) # # $ # # $! J + )! 4 $?, # ) # ) + $ 5 #! 4, 4 ) # h 9 + ) 4 #, # ) I # # $! # + ) 9 # 5 4! 4, 4 ) # ) + $ 5 #! 4, 4 ) # 1 m 9 + ) # 4 # $ 4, + )! # #, 5 # 5 # # $ h # # $! J + )! 4 $?, # ) # ) + $ 5 #?, # ) # m &. ", & "... & $ * + ) ) + ) $ N ) + $, 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ) + 4 ) f : R R x R # ) ) +, = # + $ 4 4 [ # 4 ] + ) $ 4! ( + ) $ # $ + 4 ) $ h x j = x + jh O # 9 j =, 1,, 3,... 4 # $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 4 # $ + $ $ 4 = #! # 9 + ) $ 4 # # + 1 ) t, # m $ 4 O ) # ( 1 * p m (x) = f(x ) + hf(x ) (x x ) + h f(x ) h!h (x x )(x x 1 ) + 3 h f(x ) 3!h 3 (x x )(x x 1 )(x x ) + + m h f(x ) m!h m (x x )(x x 1 ) (x x m 1 ). / / 1 9 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 #, # ) 5 # p m # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( # $ 4 ) + $ 9 9 N m + ) $ $ 9 9 # $ $ 4 O #, # ) ) + $ + = # ) + ) $ * p m (x ), p m (x 1 ),... p m (x ) = f(x ), p m (x 1 ) = f(x ) + hf(x ) h p m (x ) = f(x ) + hf(x ) h = f(x ) + h f(x ) + hf(x ) (x 1 x ) = f(x ) + f(x 1) f(x ) h = f(x 1 ), h (x x ) + h f(x ) h (x x )(x x 1 ) = f(x ) + (f(x 1 ) f(x )) + (f(x ) f(x 1 ) + f(x )) = f(x ).

/ { ) [ 4 ) + $ + O + ) $, + ) # 5 # # 4 $ 5 # p m (x j ) = f(x j ) j =, 1,,..., m p m # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( + $ m p m # $ J ) 4 5 # + 1 ) t, #! #! #? ( 5 4 m 4 ) # + #! ) $ # $ + 4 ) $ f (m + 1) x, x 1, x,..., x m 9 ' } 1 w # $ [ 9 4 #! # O + 4 5 # $ 4 ) + $! ( 4 O + ) $ [ + 4 $ # 4 + ) m / / 1 ) + $ + = # ) + ) $ d m dx m p m(x) = m h f(x ) h m. 9 + $ O + ) $ 4 ) $ 4 4 # #, # ), + ) ( # ( $ $ 4 O ) * = : W A J > L N J p m ` : N E R J @ J @ J B \ H < A A E L JB m ` : N J x j = x + jh P J U P N : B > : E P j =, 1,,, ma f @ P E > N J > ` : A E L > (i) p m (x) = f(x ) + hf(x ) (x x ) + h f(x ) h!h m (x x )(x x 1 ) + + m h f(x ) m!h m (x x )(x x 1 ) (x x m 1 ); / / 1 d m (ii) dx m p m(x ) = m h f(x ) h m. / / 5 1 9 + $ #, 4 ) + ) $ 9 # # $ # 9 4 + )! # I #, 5 # $ `, F D : W 4 [ + ) 9 4 + ) # $ [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f (m + 1) ) O = # ) + $ + # O + ) $ 4 4 $ # # ' ( +., # } } + ( = 4 J# $ 4, 4 + )! J# # $ 4 O ) # # ) # * f p m max f(x) p 1 m(x) x [x,x +mh] (m + 1) hm+1 max f (m+1) (x). x [x,x +mh] #, 5 # J ) +? 4 # # ) # # + 1 ) t, #! # 9 # - + ) p m / / 1 # # + 1 ) t, # + = # )! ( O # + #, # )! # 1 +! # +! # f x = x `, F D : W : w # $ + $ $ 4 = #! J( = 4! # $ ( $ $ $ #, = = # $ V 9 # I ( ) + ) 9 ( $! ) $ # ' ( +., # / 5, 4 $ O # 9 # $ + ( # $ # m # I #, # 4 # $ m h δ [ 9 4 #! #, + ) # 5 # $ 4 h m # ) # $ + 4 ) $ q # $ # + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 44 ) # + # [ + ) 9 4 + ) f x h x # + $ x + h d dx q (x ) = δ h f(x ) h = f(x + h) f(x ) + f(x h) h. ) $ l? # / } ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( + ) # [ + ) 9 4 + ) f! + ) ) ( # $ + )? ' # # 9 # 4! # q 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # # $ 9 + = # $! # $? ' # $! # f #! # q + 4 ) (x, f(x )) $ + ) + 9 ' # $ + $ 5 # h # $ # 4 & $ *. & w # $ + $ $ 4 = #! # + O #! # $ [ +, # $! #! ( 4 O 4 + ) ), ( 4 5 # $ ( 9 4 $ # $ 5 #9 # # $ 5 # ) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4! ( ( # $ z $ 5 J V ( $ # ) + $ + ) $ # I #, #

2024 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια