ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ :

2 Σελίδα από

3 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. α) Εστω Α ένα υποσυνολο του.ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. To y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f ( x ) ΣΧΟΛΙΚΟ ΣΕΛ 5 β) i. Μια συνάρτηση f :AR αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι. ii.η αντίστροφη συνάρτηση της f που συμβολίζεται με ΣΧΟΛΙΚΟ ΣΕΛ A. f (x) y f (y) x f ορίζεται από τη σχέση : Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( x ) A3. Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f ( x). Σελίδα 3 από

4 Έστω x, x Δ με x x. Θα δείξουμε ότι f ( x) f ( x ). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x, x ) τέτοιο, ώστε ( f ( x ) f ( x ) f ( ξ), οπότε έχουμε f ( x ) f ( x) f ( ξ)( x x) x x Επειδή f ( ξ) και x x, έχουμε f x ) f ( x ), οπότε f x ) f ( ). A4. α) ΛΑΘΟΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ, x f ( x), x o ( ( x Παρατηρούμε ότι αν και f (x) = για κάθε x,, εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο x,, β) ΛΑΘΟΣ ισχύει αν και μόνο αν η f συνεχής στο x lim f ( x) f ( x ) xx Α5. γ) ΘΕΜΑ Β Β. Αφού η Cf έχει ορίζοντια ασύμπτωτη στο την y= Θα έχουμε ότι x lim f ( x) y lim e x Αφού Β. x x lim e lim x x x e Θεωρούμε συνάρτηση g( x) f ( x) x, x,3 x g( x) e x Η g συνεχής στο,3 ως πράξεις συνεχών και g g () e 3 (3) e Σελίδα 4 από

5 Αρα g() g(3) από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλαχιστον ένα x (,3) τέτοιο ώστε g( x ) Είναι η g παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με x x x g( x) e x e e, x,3 Αρα η g γνησίως φθίνουσα άρα - έπεται x μοναδική ρίζα στο (,3) Β3. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με x x f ( x) e e για κάθε x Άρα η f γνησίως φθίνουσα στο άρα - άρα υπάρχει η f ( x) Είναι f ( D ) f lim f ( x), lim f ( x), f f x Θέτουμε y f ( x), x, y, x x x y e e y x ln( y ) x ln( y ) Είναι f ( y) ln( y ) άρα f ( x) ln( x ), x Β4. Για την κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f εξετάζουμε στο x lim f ( x ) lim ln( x ) x x Θέτουμε u x καθώς x, u Άρα η x κατακόρυφη ασύμπτωτη της C επομένως x x u f lim ln( ) lim ln u Σελίδα 5 από

6 y x y, x f x e, x f x ln x Η γραφική παράσταση της f με f x e x προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της x x καμπύλης της φ με συμμετρική της e κατά δύο μονάδες προς τα πάνω, όπου η καμπύλη της φ είναι η x e ως προς τον άξονα y y. Η γραφική παράσταση της καμπύλης της h με h x ln f με f ln x συμμετρική της ln x ως προς τον άξονα x x. προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της x κατά δύο μονάδες προς τα δεξιά, όπου η καμπύλη της h είναι η ΘΕΜΑ Γ f x x x e x, x, x Γ. Αφού η f είναι παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής. Άρα η f θα είναι συνεχής και στο x =. Οπότε lim f ( x ) lim f ( x ) f () x x x x lim f ( x) lim x f lim ( ) lim e x x x x Άρα Επίσης η f θα είναι παραγωγίσιμη και στο x = Σελίδα 6 από

7 Άρα f ( x) f () f ( x) f () lim lim R x x x x x () x x f ( x) f () e x e x e x lim lim lim lim x x x x x x x DLH x x e lim x x x f ( x) f () x lim lim lim lim x x x x x x x x Άρα: και έτσι a Γ. f x x x e x, x, x x Αν x < τότε f x e, για κάθε x< Αν x > τότε f x x για κάθε x> Η f συνεχής στο Αf = R άρα f γνησίως αύξουσα στο Αf = R f(a) = lim f ( x), lim f ( x) x x lim f ( x) lim ( e x) x x αφού lim e x x lim f ( x) lim ( x ) x x Οπότε f(a) = R Γ3. f γνησίως αύξουσα στο, και συνεχής f, lim f ( x), f (), x e Σελίδα 7 από

8 Το, e άρα υπάρχει Οπότε η f είναι ΙΙ) Όπως αποδείξαμε f x με x x τέτοιο ώστε Η εξίσωση (E) f x και είναι μοναδικό αφού f < στο Αf. f x x f x f x f x x Θα δείξουμε ότι η (E) είναι αδύνατη στο x Αφού f x και f < στο R άρα για κάθε x x f x f x άρα f x x, f x f x x f x x, για κάθε x x Άρα η (E) f x f x x είναι αδύνατη στο x, Γ4. x f x x Αν (OKM) = (OK)(KM) = = Αφού χ(t) > και y(t) > Θεωρούμε την συνάρτηση Ε(t) = με χ(t) E (t) = Για t = t όπου χ (t) = και χ(t) = 3 έχουμε E ( ) = = = 8 τμ/sec ΘΕΜΑ Δ Δ. Σελίδα 8 από

9 f () a x f '( x) ln x x a x f '() a a a Δ. x f ( x) ( x )ln x x x, x R ( x ) f '( x) ln x x, x R x x E f ( x) ( x ) dx f ( x) x dx, ί : f x x x x x x x ά x. ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ln Ά x x x dx έ u x x du x, ( ) u, u. ό : ln ( )'ln ln (ln ) ' udu u udu u u u u du ln du ln ln Δ3. (i) f '( x), x R ( x ) ( x ) ln x x ln x x x x x x ύ ά x R, ί : ( x ) ( x ) ln x x ln x, x R. x x ( x ) (ii) Σελίδα 9 από

10 3 f ( ) ( )( ), R 3 f ( ) f ( ), R f ( ) f ( ), R f ( ) f ( ). ά R,. H f είναι συνεχής στο διάστημα [λ, λ+ ], παραγωγίσιμη στο διάστημα (λ, λ+ ), Από Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ξ (λ, λ+ ), τέτοιο ώστε: f '( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Από Δ3(i) έχουμε ότι : f '( x) για κάθε xr άρα θα είναι και f '( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Δ4. Έστω Κ(α,f(α)) τυχαίο σημείο της Cf και Λ(β,g(β)) τυχαίο σημείο της Cg g '( x) 3x, x R έ ( a ) f '( ) g '( ) ln( a a ) 3 a a ( a ) ln( a a ) 3 έ () a a ή ( a ) ln( a a ) 3, a a () ύ ό ό ό έ C y ( x ) y x ί ( ) : y f ( ) f '( )( x ) έ C ί : y g ( ) g '( )( x ) y g () g '()( x ) y x g f Άρα η y=-x+ είναι η μοναδική κοινή εφαπτομένη των Cf και Cg. Σελίδα από

11 Συμπληρωματικοί τρόποι επίλυσης Θέμα Γ Γ4. (β τρόπος) Εξ υποθέσεως ισχύει Ζητάμε το Ε = (ΟΚ)(ΚΜ) = αφού χ Άρα Άρα = 3x + = = 8 τμ/sec Θέμα Δ Δ4. (β τρόπος) Δείξαμε ότι f (χ) για κάθε χ g(x) = x 3 x +, χ g (χ) = 3χ, χ άρα g (χ) για κάθε χ Έστω Μ(x, f(x)), M(x, g(x)) τα σημεία επαφής της ζητούμενης κοινής εφαπτομένης τότε θα ισχύει f (x) = g (x) Αλλά f (x) και g (x) Άρα η ισότητα θα ισχύει αν και μόνο αν f (x) = και g (x) = f (χ) > για κάθε χ Σελίδα από

12 g (χ) < για κάθε χ Άρα x = και x = (Άρα x x) Για x = έχουμε ε : y f() = f ()(x ) y = (x ) y = x + Αντίστοιχα για x = ε : y g() = g ()(χ ) y = x y = x + Άρα ε ε Σελίδα από