Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

48 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Καμπσλότητα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 48

49 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 49

Κεφάλαιο 6 Καμπυλότητα Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η εύρεση ε- νός φυσικού και αποτελεσματικού τρόπου προκειμένου να μετρηθεί η κύρτωση μη επίπεδων αντικειμένων (καμπύλες, επιφάνειες αλλά και άλλων). Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τρόποι προκειμένου να οριστεί η καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Εδώ θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία μέσω της απεικόνισης Gauss, δηλαδή ουσιαστικά μιας απεικόνισης που σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας αντιστοιχεί ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στον αντίστοιχο εφαπτόμενο χώρο. Η προσέγγιση αυτή δεν είναι ο ιστορικός ορισμός που είχε δοθεί από τον Gauss, ο οποίος είναι λίγο πιο περίπλοκος. Οπως και να έχει, η καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας θα οριστεί ως ένα μέγεθος η μέτρηση του οποίου απαιτεί να βλέπουμε την επιφάνεια ως υποσύνολο του R 3. Το Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium) του Gauss που θα δούμε όμως στη συνέχεια, αναφέρει ότι η καμπυλότητα είναι ένα μέγεθος το οποίο μπορεί να μετρηθεί (ή να αναγνωριστεί) από έναν παρατηρητή ο οποίος βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια και όχι εκτός αυτής. Είναι δηλαδή ένα εσωτερικό μέγεθος της επιφάνειας. Με πιο απλοϊκό τρόπο ο καπετάνιος ενός πλοίου που ταξιδεύει σε μεγάλη απόσταση είναι δυνατόν να διαπιστώσει με δικές του μετρήσεις ότι η γη είναι σφαιρική και δεν χρειάζεται να επικοινωνήσει με πιλότο αεροπλάνου για το σκοπό αυτό! Ορισμός 6.1. Εστω M κανονική επιφάνεια. Μια λεία απεικόνιση N : M S 2 ονομάζεται απεικόνιση Gauss της M εάν για κάθε p M η εικόνα N(p) είναι κάθετη στο εφαπτόμενο επίπεδο T p M. Εάν μια τέτοια απεικόνιση υπάρχει, τότε η επιφάνεια M ονομάζεται προσανατολίσιμη (orientable). Η επιφάνεια M εφοδιασμένη με μια τέτοια απεικόνιση Gauss ονομάζεται προσανατολισμένη (oriented) επιφάνεια. 50

51 Παραδείγματα 1. Εστω M = {(x, y, 0) R 3 : x, y R} το επίπεδο xy. Τότε μια απεικόνιση Gauss είναι η N(x, y, 0) = (0, 0, 1). 2. Εστω M = S 2. Τότε N = Id S 2, όπου Id : M M, Id(x) = x η ταυτοτική απεικόνιση της M 3. Εστω M = S 1 R ο ορθός μοναδιαίος κύλινδρος. Τότε N(x, y, z) = (x, y, 0) είναι μια απεικόνιση Gauss. 4. Η ταινία του Möbius (αναζητήστε τοπική παραμέτρηση και περιγραφή στην βιβλιογραφια) δεν επιδέχεται απεικόνιση Gauss, δηλαδή είναι μια μη προσανατολίσιμη επιφάνεια. 51

52 Παρατηρήσεις 1. Κάθε κανονική επιφάνεια είναι τοπικά προσανατολισμένη. Πράγματι, αν X : U X(U) M είναι μια τοπική παραμέτρηση της M με X( 0 ) = p, τότε για κάθε q = X(u, v) X(U) η απεικόνιση N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v) είναι μια (τοπική) απεικόνιση Gauss της M. 2. Αν N : M S 2 είναι μια απεικόνιση Gauss της M, τότε το διάνυσμα N(p) είναι κάθετο ταυτόχρονα στα εφαπτόμενα επίπεδα T p M και T N(p) S 2. Συνεπώς, μπορούμε να ταυτίσουμε T p M = T N(p) S 2 (ισομορφισμός διανυσματικών χώρων). Ορισμός 6.2. Εστω M μια κανονική προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M. Ο τελεστής σχήματος (shape operator) της M στο p είναι η γραμμική απεικόνιση S p : T p M T p M, S p (Z) = dn p (Z), για κάθε Z T p M. Ο όρος τελεστής σχήματος δικαιολογείται από το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 6.1. Εστω M μια συνεκτική, προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Τότε ο τελεστής σχήματος S p : T p M T p M είναι ο μηδενικός τελεστής για κάθε p M, εάν και μόνο εάν η M είναι τμήμα ενός επιπέδου. Παραδείγματα 1. Εστω M = S 2, N(p) = p. Τότε S p = Id : T p S 2 T p S 2. 2. Εστω M το επίπεδο xy, N(x, y, z) = (0, 0, 1). Τότε N = σταθερή, άρα S p = 0 για κάθε p M. 3. Εστω M = S 1 R ο ορθός μοναδιαίος κύλινδρος, N(x, y, z) = (x, y, 0). Θα υπολογίσουμε τον τελεστή σχήματος S p της M στο τυχαίο p = (x, y, z) M, βρίσκοντας τον αντίστοιχο πίνακα [S p ] της γραμμικής απεικόνισης S p (ως προς κατάλληλη επιλογή της βάσης του T p M). Παρατηρούμε κατ αρχήν ότι T p M = span{( y, x, 0), (0, 0, 1)}. Τότε S p (0, 0, 1) = dn p (0, 0, 1) = d dt N(x, y, z + t) t=0 = d dt (x, y, 0) t=0 = (0, 0, 0). 52

53 Θα υπολογίσουμε τώρα την τιμή S p ( y, x, 0). Εστω γ(t) = ( cos(t + t 0 ), sin(t + t 0 ), z ), όπου t 0 R είναι τέτοιο ώστε (cos t 0, sin t 0 ) = (x, y). Τότε για την καμπύλη αυτή ισχύουν ότι γ(0) = (cos t 0, sin t 0, z) = (x, y, z) = p γ (0) = ( sin t 0, cos t 0, 0) = ( y, x, 0). Άρα S p ( y, x, 0) = dn p ( y, x, 0) = d dt N( cos(t + t 0 ), sin(t + t 0 ), z ) t=0 = dt( d cos(t + t0 ), sin(t + t 0 ), 0 ) t=0 = (sin t 0, cos t 0, 0) = ( y, x, 0). Συνεπώς, ο πίνακας του τελεστή σχήματος ως προς τη βάση {( y, x, 0), (0, 0, 1)} είναι ( ) 1 0 [S p ] =. 0 0 Πρόταση 6.1. Εστω M μια κανονική, προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και p M. Τότε ο τελεστής σχήματος είναι αυτοσυζυγής τελεστής ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή, δηλαδή ισχύει S p (Z), W = Z, S p (W ), για κάθε Z, W T p M. Σημείωση. Επειδή ο T p M είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος ο τελεστής S p ονομάζεται και συμμετρικός. Από τη γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι αν T : V V είναι συμμετρικός τελεστής επί ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου, τότε ο V περιέχει μια βάση από ιδιοδιανύσματα, άρα ο T είναι διαγωνιοποιήσιμος και μάλιστα με πραγματικές ιδιοτιμές. Συνεπώς έχουμε το εξής: Πόρισμα 6.1. Εστω M κανονική και προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M. Τότε υπάρχει ορθοκανονική βάση {Z 1, Z 2 } του εφαπτόμενου χώρου T p M τέτοια ώστε S p (Z 1 ) = λ 1 Z 1, S p (Z 2 ) = λ 2 Z 2 για κάποιους πραγματικούς αριθμούς λ 1, λ 2. Ορισμός 6.3. Εστω M κανονική και προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : S 2, p M. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της M στο p είναι η συμμετρική, διγραμμική απεικόνιση II p : T p M T p M R, II p (Z, W ) = S p (Z), W. 53

54 Οπως και στην περίπτωση της πρώτης θεμελιώδους μορφής, μας ενδιαφέρει να βρούμε τοπική έκφραση της δεύτερης θεμελιώδους μορφής (δηλαδή έκφραση αυτής χρησιμοποιώντας μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας). Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : S 2. Εστω X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της M τέτοια ώστε X( 0 ) = p M (είναι πάντα δυνατό να επιλέγουμε την απεικόνιση X με την ιδιότητα αυτή). Ως γνωστόν, ο εφαπτόμενος χώρος T p M = T N(p) S 2 παράγεται από τα διανύσματα X u, X v. Εστω ( ) a 11 a 12 A = M 2 2 (R) a 21 a 22 ο πίνακας του γραμμικού τελεστή S p : T p M T p M ως προς τη βάση {X u, X v } (γνωστός και ως πίνακας του Weingarten). Τότε ισχύει S p (X u ) = a 11 X u + a 21 X v S p (X v ) = a 12 X u + a 22 X v. (6.1) Επίσης, από τον ορισμό του τελεστή σχήματος είναι S p = dn p, όπου dn p : T p M T N(p) S 2. Τότε ισχυριζόμαστε ότι ισχύει dn p (X u ) = N u, dn p (X v ) = N v. (6.2) (Πράγματι, έστω α : I U η καμπύλη α = (t, 0) (δηλαδή ο άξονας x) του U R 2 με α(0) = (0, 0) και α (0) = (1, 0) e 1. Τότε η α = X α : I M είναι μια καμπύλη στην επιφάνεια M, η οποία ικανοποιεί α(0) = X ( α(0) ) = X(0, 0) = p και α (0) = X ( α(0) ) α (0) = X(0, 0)e 1 = X u. Συνεπώς, από τον ορισμό του διαφορικού απεικόνισης μεταξύ επιφανειών έχουμε ότι dn p (X u ) = d ( ) N α t=0 = d ( ) N X α t=0 dt dt = D(N X)(0, 0)α (0) = u (N X) (0,0) = N u. Παρόμοια προκύπτει και η άλλη ισότητα). Συνεπώς από τις (6.1) και (6.2) προκύπτει το σύστημα a 11 X u + a 21 X v = N u a 12 X u + a 22 X v = N v, το οποίο σε μορφή πινάκων εκφράζεται ως A[dX] = [dn] 54

55 όπου [dx] = (X u, X v ) t, [dn] = (N u, N v ) t. Ορίζουμε τώρα τις συναρτήσεις e, f, g : U R από την ισότητα πινάκων ( ) ( ) e f = [dn][dx] t = A[dX][dX] t E F = A. (6.3) f g F G Ορισμός 6.4. Οι παραπάνω συναρτήσεις e, f, g : U R ονομάζονται θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης. Παραδοσιακά η δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται και II = edu 2 + 2fdudv + gdv 2 αλλά δεν δίνουμε περισσότερες εξηγήσεις για την έκφραση αυτή. Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα (6.3) και το γεγονός ότι N span{x u, X v } προκύπτουν οι χρήσιμες σχέσεις: e = N u, X u = N, X uu f = N u, X v = N, X vu g = N v, X v = N, X vv.. Ενα από τα θεμελιώδη ερωτήματα της διαφορικής γεωμετρίας είναι με ποιόν τρόπο μπορούμε να μετρήσουμε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι η καμπυλότητα μιας επιφάνειας (με όποιον τρόπο και αν αυτή οριστεί) δεν είναι σταθερή προς όλες τις διευθύνσεις. Για παράδειγμα, ο κυκλικός κύλινδρος ακτίνας r δεν καμπυλώνεται κατά τη διεύθυνση ενός γεννήτορα, αλλά καμπυλώνεται κατά τη διεύθυνση των εφαπτομένων στις παράλληλες τομές του. Συνεπώς, είναι λογικό να πούμε ότι η καμπυλότητα του κυλίνδρου είναι μηδέν κατά τη διεύθυνση των γενητόρων του, ενώ στη διεύθυνση των παραλλήλων τομών η καμπυλότητα ισούται με αυτή των ίδιων των τομών, δηλαδή 1/r. 55

56 Άρα λοιπόν, ένας τρόπος μέτρησης της καμπυλότητας μιας επιφάνειας, είναι μελετώντας κατάλληλες καμπύλες επί της επιφάνειας. Θα προσπαθήσουμε να κάνουμε την παραπάνω ιδέα πιο συγκεκριμένη. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω γ : I M μια καμπύλη με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου τέτοια ώστε γ(0) = p, γ (0) = Z. Αναλύουμε τη δεύτερη παράγωγο γ(0) στο p ως εξής γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, όπου γ(0) tan T p M είναι η εφαπτομενική συνιστώσα και γ(0) norm ( T p M ) η κάθετη συνιστώσα. Το κάθετο διάνυσμα N(γ(s)) κατά μήκος της καμπύλης γ είναι κάθετο στην εφαπτομένη γ(s), συνεπώς για την κάθετη συνιστώσα του διανύσματος γ(0) ισχύει 56

57 ότι γ(0) norm = γ(0), N(p) N(p) = γ(0), dn(p) γ(0) N(p) = Z, dn(p)z N(p), το οποίο σημαίνει ότι η κάθετη συνοστώσα γ(0) norm του διανύσματος γ(0) καθορίζεται πλήρως από την τιμή γ(0) και τις τιμές της απεικόνισης Gauss κατά μήκος οποιασδήποτε καμπύλης που διέρχεται από το σημείο p και με εφαπτόμενο διάνυσμα γ(0) = Z T p M. Άρα ο ορισμός που δίνουμε στη συνέχεια είναι καλός. Ορισμός 6.5. Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M και Z T p M. Η κάθετη καμπυλότητα (normal curvature) κ p (Z) της M στο p στη διεύθυνση του διανύσματος Z είναι ο αριθμός κ p (Z) = γ(0), N(p), όπου γ : I M οποιδήποτε λεία καμπύλη με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου με γ(0) = p, γ (0) = Z. Προκειμένου να δώσουμε μια γεωμετρική περιγραφή της κάθετης καμπυλότητας εργαζόμαστε ως εξής: Ως καμπύλη στον R 3 η γ έχει καμπυλότητα κ(s) και κάθετο γ(s) διάνυσμα Ñ(s) =, συνεπώς γ(0) = κ(0)ñ(0). Το διάνυσμα Ñ(0) αναλύεται ως κ(s) Ñ(0) = Ñ(0)tan + Ñ(0)norm = Ñ(0)tan + Ñ(0), N(p) N(p), άρα γ(0) = κ(0)ñ(0) = κ(0)ñ(0)tan + κ(0) Ñ(0), N(p) N(p). Ο πρώτος όρος στο παραπάνω δεξί μέλος σχετίζεται με την γεωδαισιακή καμπυλότητα της καμπύλης γ, ενώ για τον δεύτερο όρο ισχύει κ p (Z) = γ(0), N(p) = κ(0) Ñ(0), N(p). (Αν κ(0) = 0, τότε κ p (Z) = 0). Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων N(p) και Ñ(0) τότε κ p (Z) = κ(0) cos θ. 57

58 Επιπλέον, ισχύει κ p (Z) κ(0). Είναι λοιπόν σαφές ότι η κάθετη καμπυλότητα καθορίζει την κύρτωση της επιφάνειας, οπότε αναμένεται να σχετίζεται με τον τελεστή σχήματος όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση: Πρόταση 6.2. (Θεώρημα Meusnier) Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M και Z T p M. Τότε η κάθετη καμπυλότητα της M στο p στη διεύθυνση του διανύσματος Z ικανοποιεί τη σχέση κ p (Z) = S p (Z), Z = II p (Z, Z). Θεωρούμε τώρα μια κανονική, προσανατολισμένη επιφάνεια M με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω Tp 1 M = { Z T p M : Z = 1 } ο μοναδιαίος κύκλος στον εφαπτόμενο χώρο T p M. συμπαγής η συνεχής συνάρτηση Επειδή ο κύκλος T 1 p M είναι κ p : Tp 1 M R, κ p (Z) = κ p (Z) παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Άρα υπάρχουν δύο διευθύνσεις Z 1, Z 2 Tp 1 M τέτοιες ώστε κ 1 (p) κ p (Z 1 ) = max Z T 1 p M κ p (Z) κ p (Z 2 ) = min Z T 1 p M κ p (Z). Οι διευθύνσεις Z 1, Z 2 ονομάζονται κύριες διευθύνσεις (principal directions) στο p και οι τιμές κ 1 (p), κ 2 (p) κύριες καμπυλότητες (principal curvatures) της M στο p. Εάν κ 1 (p) = κ 2 (p) το σημείο p ονομάζεται ομφαλικό (umbilic). Το παρακάτω θεώρημα δίνει έναν ιδιαιτέρως χρήσιμο αλγεβρικό χαρακτηρισμό των κύριων διευθύνσεων. 58

59 Θεώρημα 6.2. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω p M. Τότε το διάνυσμα Z Tp 1 M είναι μια κύρια διεύθυνση στο p εάν και μόνο εάν το Z είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M. Απόδειξη. (Σκιαγράφηση) Εστω {Z 1, Z 2 } μια ορθοκανονική βάση του T p M από ιδιοδιανύσματα του S p, δηλαδή S p (Z 1 ) = λ 1 Z 1, S p (Z 2 ) = λ 2 Z 2, (λ 1, λ 2 R). Κάθε μοναδιαίο διάνυσμα Z Tp 1 M γράφεται ως Z(θ) = (cos θ)z 1 + (sin θ)z 2 και από υπολογισμό προκύπτει ότι ( ) κ p Z(θ) = Sp (Z), Z = λ 1 cos 2 θ + λ 2 sin 2 θ. Από την παραπάνω έκφραση φαίνεται ότι οι αριθμοί λ 1, λ 2 αποτελούν τη μέγιστη και ( ) ( ) την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κ p Z(θ) = IIp Z(θ), Z(θ). Συνεπώς θα είναι λ 1 = κ 1, λ 2 = κ 2, άρα τελικά κ p (Z) = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ, όπου κ 1, κ 2 οι κύριες καμπυλότητες της M στο p. Από την παραπάνω σχέση, γνωστή και ως τύπος του Euler προκύπτει ουσιαστικά το αποτέλεσμα. Οι κύριες καμπυλότητες λοιπόν κ 1, κ 2 της M στο p είναι οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M, άρα ο επόμενος σημαντικός ορισμός προκύπτει φυσιολογικά από τα προηγούμενα. Ορισμός 6.6. Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια του R 3 με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Η καμπυλότητα Gauss (Gauss curvature) και η μέση καμπυλότητα (mean curvature) της M είναι οι συναρτήσεις K : M R, H : M R K(p) = dets p, H(p) = 1 2 trs p. Μια επιφάνεια M ονομάζεται επίπεδη (flat) εάν K(p) = 0 για κάθε p M και ελαχιστική (ή ελάχιστης έκτασης) (minimal) εάν H(p) = 0 για κάθε p M. (Υπάρχει εξήγηση για το όρο ελάχιστης έκτασης αλλά δεν θα μας απασχολήσει σε αυτή την παρουσίαση). Η καμπυλότητα Gauss, η πιο σημαντική έννοια του παρόντος μαθήματος, δεν είχε οριστεί ιστορικά από τον Gauss με τον τρόπο που δώσαμε (ο οποίος είναι ιδιαιτέρως λειτουργικός). Η πραγματική γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας από τον Gauss περιγράφεται από την παρακάτω πρόταση: 59

60 Πρόταση 6.3. Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια του R 3 με καμπυλότητα Gauss K(p) 0 σε ένα σημείο της p M. Εστω V η συνεκτική περιοχή του σημείου p όπου η καμπυλότητα K δεν αλλάζει πρόσημο. Τότε K(p) = lim A 0 A όπου A είναι το εμβαδόν μιας περιοχής B V με p B, και A το εμβαδόν της εικόνας της B μέσω της απεικόνισης Gauss N : M S 2. Το όριο λαμβάνεται για μια ακολουθία περιοχών {B n } η οποία συγκλίνει στο p υπό την έννοια ότι για μεγάλο n κάθε σφαίρα με κέντρο το p περιέχει όλα τα B n. Θα εκφράσουμε τώρα την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα συναρτήσει των θεμελιωδών ποσών πρώτης και δεύτερης τάξης, δηλαδή χρησιμοποιώντας μια τοπική παραμέτρηση X : U M της επιφάνειας M. Θυμίζουμε ότι τα παραπάνω συνδέονται με τη σχέση ( ) ( ) e f E F = A f g F G όπου A είναι ο πίνακας του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M ως προς τη βάση {X u, X v }. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι A = ( e f f g ) ( E F F G ) 1 = A ( 1 EG F 2 e f f g ) ( Επειδή η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα ισούνται με την ορίζουσα και το ίχνος αντίστοιχα του πίνακα A προκύπτουν οι εκφράσεις: K = eg f 2 EG F 2, eg 2fF + ge H =. EG F 2 Επιπλέον, οι κύριες καμπυλότητες κ 1, κ 2 προκύπτουν ως οι ρίζες της εξίσωσης det(a κi) = 0. Παράδειγμα 6.1. Εστω γ = (r, 0, z) : I R 3 μια λεία καμπύλη (με παράμετρο το μήκος τόξου) στο επίπεδο xz με r(s) > 0 και ṙ(s) 2 + ż(s) 2 = 1 για κάθε s I. Τότε η απεικόνιση X : I R R 3 με cos v sin v 0 r(u) X(u, v) = sin v cos v 0 0 0 0 1 z(u) = G F r(u) cos v r(u) sin v z(u) F E ). 60

61 είναι μια παραμέτρηση μιας κανονικής επιφάνειας εκ περιστροφής (surface of revolution) M (περί τον άξονα z). Τα γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα ṙ(u) cos v r(u) sin v X u = ṙ(u) sin v, X v = r(u) cos v ż(u) 0 καθορίζουν μια (τοπική) απεικόνιση Gauss cos v sin v 0 N(u, v) = sin v cos v 0 0 0 1 ż(u) 0 ṙ(u) = ż(u) cos v ż(u) sin v ṙ(u). Ελέξτε ότι X u, N = X v, N = 0. Επιπλέον, έχουμε ότι ( [dx] = (X u, X v ) t ṙ(u) cos v ṙ(u) sin v ż(u) = r(u) sin v r(u) cos v 0 ), άρα ( E F F G ) = [dx][dx] t = ( 1 0 0 r(u) 2 ) και ότι ( e f f g ) = [dn][dx] t = ( r(u)ż(u) + z(u)ṙ(u) 0 0 ż(u)r(u) ). Επειδή η καμπύλη γ = (r, 0, z) έχει παραμέτρηση κατά μήκος τόξου λαμβάνουμε ότι (μετά από προσεκτικές πράξεις) K = eg f 2 EG F 2 = r(u) r(u). ( ) Θα κάνουμε μια διερεύνηση της παραπάνω έκφρασης της καμπυλότητας. Ας πάρουμε την περίπτωση όπου η επιφάνεια M είναι η μοναδιαία σφαίρα S 2, άρα r(u) = cos u, z(u) = sin u και έστω ότι π/2 < u < π/2. Τότε E = 1, F = 0, G = cos 2 u και e = 1, f = 0, g = cos 2 u, άρα K = cos2 u cos 2 u = 1 = κ 1κ 2, H = 1 cos 2 u + cos 2 u = 1 = 1 ( ) κ1 + κ 2 cos 2 2 u 2 άρα για τις κύριες καμπυλότητες ισχύει κ 1 = κ 2 = 1. Αν η επιφάνεια είναι ο μοναδιαίος κύλινδρος r(u) = 1, z(u) = u, τότε E = 1, F = 0G = 1 και e = f = 0, g = 1, συνεπώς K = 0 και H = 1 2. 61

62 Ερχόμαστε πάλι στην γενική εξίσωση ( ) και την γράφουμε ισοδύναμα ως τη διαφορική εξίσωση r(s) + K(s)r(s) = 0. Λύνοντας την εξίσωση αυτή για K = 1 (σταθερά αρνητική καμπυλότητα Gauss) προκύπτει η γενική λύση r(s) = αe s + be s, (α, b R). Για α = 0, b = 1 παίρνουμε r(s) = e s και z(s) = s 0 1 e 2t dt. Για τις επιλογες αυτές των συναρτήσεων r, z : R + R παίρνουμε την παραμέτρηση X : R + R M της ψευδοσφαίρας (είναι μια συμπαγής επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα Gauss K = 1). Η αντίστοιχη πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι ( ) ( Ẽ F F G = [d X][d X] t = 1 0 0 e 2s ). Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή u > 0 μέσω της s(u) = ln u οπότε λαμβάνουμε μια νέα παραμέτρηση X : R + R M της ψευδοσφαίρας όπου X(u, v) = X ( s(u), v ). Από τον κανόνα αλυσίδας είναι X u = s u Xs = 1 X u s, οπότε παίρνουμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή της παραμέτρησης X ( ) ( ) E F = [dx][dx] t = 1u2 1 0. F G 0 1 Με τον τρόπο αυτό επάγεται η μετρική (τοπική ισομετρία) ds 2 = 1 ( dv 2 + du 2) u 2 στο άνω ημιεπίπεδο H 2 = {(v, u) R 2 : u > 0}. Το ζεύγος (H 2, ds 2 ) ονομάζεται υπερβολικός χώρος (hyperbolic space) και η μετρική ds 2 υπερβολική μετρική. Ο 62

63 υπερβολικός χώρος αποτελεί ένα μοντέλο μη Ευκλείδειας γεωμετρίας (δηλαδή μιας γεωμετρίας όπου δεν ισχύει το 5o αίτημα του Ευκλείδη). Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με δύο ενδιαφέροντα αποτελέσματα ὁλικού χαρακτήρα για μια επιφάνεια M. Θεώρημα 6.3. Εστω M μια συνεκτική προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Εάν κάθε σημείο p M είναι ομφαλικό, τότε η M είναι τμήμα είτε ενός επιπέδου είτε μιας σφαίρας. Θεώρημα 6.4. Εστω M συμπαγής κανονική επιφάνεια. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο p M με θετική καμπυλότητα Gauss K(p). 6.1 Ασκήσεις 1. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της επιφάνειας X(u, v) = (u + v, u v, uv) στο σημείο (2, 0, 1.) 2. Εστω U ανοικτό υποσύνολο του R 3 και q R μια κανονική τιμή της διαφορίσιμης συνάρτησης f : U R. Αποδείξτε ότι η κανονική επιφάνεια M = f 1 ({q}) του R 3 είναι προσανατολίσιμη. 3. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της σφαίρας Sr 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 }. 4. Δίνεται η επιφάνεια του Enneper με παραμέτρηση X : R R + R 3 Υπολογίστε: X(u, v) = (u u3 3 + uv2, v v3 3 + vu2, u 2 v 2 ). (α) την πρώτη θεμελιώδη μορφή (β) την δεύτερη θεμελιώδη μορφή (γ) τις κύριες καμπυλότητες (δ) την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα. 63

64 Σχήμα 6.1: Επιφάνεια του Enneper 5. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και την μέση καμπυλότητα της αλυσοειδούς επιφάνειας (catenoid) M με παραμέτρηση X : R R + R 3 ( 1 + r 2 X(θ, r) = cos θ, 1 + ) r2 sin θ, log r. 2r 2r Βρείτε μια εξίσωση της μορφής f(x, y, z) = 0 που να περιγράφει την M. Σχήμα 6.2: Αλυσοειδής επιφάνεια 6. Εστω X, Y : R 2 R 3 με X(u, v) = (cosh u cos v, cosh u sin v, u) Y (u, v) = (sinh u cos v, sinh u sin v, v) οι παραμετρήσεις της αλυσοειδούς και ελικοειδούς επιφάνειας αντίστοιχα. Υπολογίστε τις κύριες καμπυλότητες κ 1, κ 2 των X, Y. 7. Αποδείξτε ότι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας κανονικής επιφάνειας M του R 3 παραμένει αναλλοίωτη κάτω από στερεές κινήσεις. 8. Εστω M μια συμπαγής κανονική επιφάνεια του R 3. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο p M τέτοιο ώστε η καμπυλότητα Gauss K(p) να είναι θετική. 9. Εστω γ : R R 3 μια κανονική καμπύλη με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου και με καμπυλότητα μη μηδενική. Εστω n, b τα διανύσματα της καθέτου και της δεύτερης καθέτου της γ αντίστοιχα. Για r > 0 υποθέτουμε ότι ο σωλήνας (tube) M ακτίνας r περί την γ με παραμέτριση X : R 2 R 3, X(s, θ) = γ(s)+r cos θ n(s) + sin θ ( ) b(s) 64

65 είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss K της ε- πιφάνειας M ως προς s, θ, r, k(s) και τ(s). 10. Εστω X : U R 3 παραμέτρηση μιας επιφάνειας M του R 3 με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και με κύριες καμπυλότητες k 1 = 1 r 1, k 2 = 1 r 2. Εστω r R τέτοιο ώστε η X r : U R 3 με X r (u, v) = X(u, v) + rn(u, v) να είναι παραμέτρηση μιας επιφάνειας του R 3. Αποδείξτε ότι οι κύριες καμπυλότητες της X r ικανοποιούν k 1 (r) = 1 r 1 r και k 2(r) = 1 r 2 r. 11. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας με παραμέτρηση X : R R M, X a (r, θ) = ( r sin a cos( θ θ ), r sin a sin( ), r cos a). sin a sin a 12. Εφοδιάζουμε τους R 2 και R 4 με τα κανονικά εσωτερικά γινόμενα. Αποδείξτε ότι η παραμέτριση X : R 2 R 4 με X(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v) του συμπαγούς δακτυλίου (torus) M στον R 4 είναι ισομετρική. Τί μας λέει αυτό για την καμπυλότητα Gauss του M; 13. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3 και X : U M μια ορθογώνια παραμέτρηση, δηλαδή F = 0. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss ικανοποιεί τη σχέση K = 1 (( ) ( ) ) 2 Ev Gu +. EG EG v EG u 14. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3 και X : U M μια ισοθερμική παραμέτρηση, δηλαδή F = 0 και E = G. ικανοποιεί τη σχέση ή όπου ϕ = 2 ϕ u 2 + 2 ϕ v 2 K = 1 2E ((log E) uu + (log E) vv ) K = 1 (log E), 2E Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss ο τελεστής Laplace. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss K για τις περιπτώσεις E = 4 (1+u 2 +v 2 ) 2, E = 4 (1 u 2 v 2 ) 2 και E = 1 u 2. 6.2 Βιβλιογραφία M. Abate - F. Torena: Curves and Surfaces, Springer 2012. C. Bär: Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010. Δ. Δεριζιώτης, Δ. Βάρσος, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας Α. Μελάς Ο. Ταλέλλη Μια Εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα, Εκδ. Σοφία, 2012 M. P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surface, Prentice-Hall 1976. 65

66 J. Oprea: Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007. Β. Ι. Παπαντωνίου: Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013. A. Pressley: Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012. 66