ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ) r, r, r r r r, I είναι μία διανυσματική, τότε το r έχει σταθερή διεύθυνση για d dr d dr r (α) r r r, I r r r r r d dr dr dr d dr d r (β) r r r, I (γ) d r d r dx, dy, dz r 0 r x, yz, dx dy dz x, y, zxce, yce, zce rr x, y, ze c, c, ce c, δηλαδή το διάνυσμα r έχει σταθερή διεύθυνση d (δ) r, r, r dr d d, r, r r, r, r r, r, r r, r, r r, r, r r, r, r r, r, r r r r, I Αν f,g,h : I είναι παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις μεταβλητής, να αποδείξετε ότι: d f g h f g h f g h f g h

2 Σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης του εξωτερικού γινομένου δύο συναρτήσεων τριών μεταβλητών έχουμε: d d d f g h f g h f g h d d f g h f g h f g h f g h f g h f g h Έστω r r cos a sin b, I όπου a,b σταθερά διανύσματα Να αποδείξετε ότι: dr d r (α) r ab (β) r 0 (α) Επειδή οι συναρτήσεις a, b είναι σταθερές, έχουμε rr cos asin b, r sinacos b, I, οπότε λαμβάνουμε: dr r cos sin sin cos a b a b cos sin ab ab (β) Έχουμε r cos a sin b r, I 4 Έστω η φυσική παραμετρική καμπύλη : r r s, s0,, όπου το μήκος της καμπύλης, C τάξης Χρησιμοποιώντας το τρίεδρο και τους τύπους του Frene, να αποδείξετε ότι: r s k Tk s Nk B, (α) r sr sk Tk r s, r s, r s (γ) r s (β) B, (τύπος υπολογισμού στρέψης) (α) Παραγωγίζουμε ως προς s και τα δύο μέλη της σχέσης dt r s ksn, ds οπότε λαμβάνουμε: dn r sk snks k snkskst sb ds k s Tk s Nk s s B (β) Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της ερώτησης (α) λαμβάνουμε

3 r s r s k s N k s Tk s Nk s s B k Tk B (γ) Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της ερώτησης (β) λαμβάνουμε r s, r s, r s r s r s r s T k s s Tk s B k s s r s s, από την οποία προκύπτει ο τύπος υπολογισμού της στρέψης: r s, r s, r s r s r r, C τάξης Να αποδείξετε ότι: ds ds (α) ds r T (β) r Tk N, ds r r (γ) r r k B, (δ) B r r, r r r, r, r (ε) k k, (στ) r r r ( Τύποι υπολογισμού καμπυλότητας και στρέψης για την : r r,, ) 5 Έστω η παραμετρική καμπύλη :,, dr ds ds (α) r T ds C τάξης καμπύλη d ds d s ds d d s ds d ds d s ds (β) T T r T T T Tk N ds ds d s ds ds (γ) r r T k k T N B (δ) Από την ερώτηση (γ) θεωρώντας τα μέτρα των δύο μελών λαμβάνουμε ds r r r r k, οπότε λαμβάνουμε B r r (ε) Από τον ορισμό του μήκους τόξου ή από την ερώτηση (α) λαμβάνουμε ds ds r, οπότε από την ισότητα r r k προκύπτει ότι rr k k r (στ) Έχουμε

4 4 d d s ds r Tk N ds dsdt dsds dsds ds dn T k s N Nk ds dsdsdt dsds dsds ds dn T k s Nk Nk ds ds ds dsds ds ds kk s Nk kt B T d d s ds d s ds ds ds k k k T s Nk B Έτσι έχουμε r, r, r r r r k Br 6 ds ds k k r r από την οποία έπεται ότι: ds ds d s ds d s ds ds ds k B k k k T s Nk B,,, r r r r r 6 (α) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής, ανά μονάδα μήκους, της συνάρτησης f x, y, z x y 4, 0,, ως προς την κατεύθυνση z, στο σημείο u,, (β) Ομοίως για τη συνάρτηση xy, αν xy, 0,0 f x, y x y 0, αν xy, 0,0 στο σημείο 0,0, ως προς την κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα u u, u, u f f f f x, y, z,, x, 4 y, 4, οπότε θα είναι x y z (α) Έχουμε

5 5,0,, 4, 4,0, 4 f x y 4 4 Επιπλέον, παρατηρούμε ότι u, οπότε έχουμε: Du f, 0, f, 0, u, 0, 4,, r 0,0 u, u u, u, και τη (β) Θεωρούμε τη καμπύλη,0, συνάρτηση uu uu, αν 0, αν 0 F f r u u u u 0, αν 0 0, αν 0 της οποίας προσδιορίζουμε τη παράγωγο για 0 Επειδή είναι F F0 uu uu lim lim, 0 0 u u u u uu έχουμε ότι: u 0,0 F 0 u u D f 7 Να βρείτε τις κατευθύνσεις u, u ως προς τις οποίες ορίζεται η παράγωγος xy, αν xy, 0, 0 Dg u 0,0, αν είναι gx, y x y 0, αν xy, 0,0 r 0,0 u, u u, u, και τη συνάρτηση Θεωρούμε τη καμπύλη uu uu, αν 0, αν 0 F gr u u u u 0, αν 0 0, αν 0 της οποίας προσδιορίζουμε τη παράγωγο για 0 Επειδή είναι F F0 uu 0, u 0 ή u 0 lim lim 0 0 u δεν υπάρχει, αν uu u 0, οπότε η παράγωγος Dg0,0 u ορίζεται μόνον όταν είναι u (, 0) ή u (0,), cos,,, f f (α) Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι:, στο Α x y (β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f, ανά μονάδα y 8 Δίνεται η συνάρτηση f x y x x y μήκους, ως προς την κατεύθυνση u u, u, u, στα σημεία των αξόνων x x και yy που ανήκουν στο Α, ισούται με 0

6 6 y (α) Έχουμε y, cos ln cos x f x y x e, x, y,, οπότε: f y ln cos x y sin x y sin x e f x, y, x, y, x cos x cos x f y ln cos x e ylncosxyln(cos xf ) xy,, xy,, y (β) Θεωρούμε σημείο ab, με a 0, b ή b 0, a,, οπότε θα b είναι cos a 0 και f a b ln cos a, e, αφού είναι a 0, b ή b 0, a, Άρα έχουμε y sin x Du f a, bf a, bu f x, y,yln(cos x) f x, y u cos x ab, 9 Δίνεται η cos a b sin a f a b b a f a b u u,, ln(cos ),, 0,0 u, u 0, αν a0, b 0,0 u, u0, αν b0, a, C τάξης συνάρτηση,, f xyz με x cos, y sin, z z, όπου 0, 0,, z (κυλινδρικές συντεταγμένες) Να αποδείξετε ότι: f f f f f f f x y z z (Λαπλασιανή της f σε κυλινδρικές συντεταγμένες) Λόγω των δεδομένων συναρτήσεων x cos, y sin, z zυπολογίζουμε πρώτα τις μερικές παραγώγους f f x f y f f cos sin () x y x y f f x f y f f sin cos () x y x y cos sin Επειδή είναι 0 sin cos, από τις () και () προκύπτουν f f f sin sin cos cos f () x f f f cos cos sin sin f (4) y

7 7 Με χρήση των () και (4) λαμβάνουμε f f sin f f sin f cos cos x xx x x x f sin f sin f sin f cos cos cos f cossin f cossin f cos sincos f sin f sin f sincos f f f cos f f cos f sin sin y y y y x y f cos f cos f cos f sin sin sin f cossin f cossin f sin sincos f cos f cos f sincos f Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε f f f f f f f x y z z 0 Δίνεται η C τάξης συνάρτηση f,, xyz με x cossin, y sinsin, z cos με 0, 0,, 0, (σφαιρικές συντεταγμένες) Να αποδείξετε ότι: f f f f f sin f x y z sin sin (Λαπλασιανή της f σε σφαιρικές συντεταγμένες Εργαζόμενοι όπως στην άσκηση 8 βρίσκουμε: f f f sin f coscos cossin x sin sin coscos cos sin f () sin f f f cos f sincos sinsin y sin cos sincos sin sin f (4) sin

8 8 f f f sin sin sinsin sinsin f (5) z Στη συνέχεια μέσω των σχέσεων (), (4) και (5) υπολογίζουμε τις δεύτερες μερικές f f f παραγώγους,, από τις οποίες τελικά μετά τις σχετικές πράξεις x y z προκύπτει η ζητούμενη σχέση Η συνάρτηση f xy, είναι C τάξης στο δηλαδή, για κάθε xy, και με, f x, y m f x, y Να αποδείξετε ότι: f f (α) x y mf x y f f f x xy y m m f x xy y (β) και ομογενής βαθμού m, x y ισχύει m (α) Παραγωγίζουμε ως προς και τα δύο μέλη της σχέσης f x, y f x, y, οπότε λαμβάνουμε f x f y, m m f x y f x, y m f x, y x y f f x y m x y m f x y Όμως έχουμε ακόμη ότι f f x f f f y f και, () x ( x) x ( x) y ( y) y ( y) οπότε, από τις () και () προκύπτει ότι: f f m f f m x y m f x, y x y m f x, y, x y x y για κάθε με,, από την οποία, για σχέση x y προκύπτει η ζητούμενη (β) Γράφουμε τη σχέση () στη μορφή f f f m x y m f x, y, x y και με παραγώγιση ως προς των δύο μελών αυτής λαμβάνουμε f f f m x y m f x, y x y f f f f m x x y y x y mm f x, y x x y y x y, ()

9 9 m mm f x, y, x f xy f y f x x y για κάθε με Από την τελευταία σχέση για x, y προκύπτει f f f x xy y m m f x, y x x y Δίνεται η συνάρτηση f xy guxy vxy,,,,, όπου g διαφορίσιμη συνάρτηση C τάξης και uuxy, x yv, vxy, x y f f (α) Να εκφράσετε τις μερικές παραγώγους, συναρτήσει των μερικών x y g g παραγώγων, u v f f f (β) Πως μετασχηματίζεται η εξίσωση: 6 x y, x xy y ως προς τις μεταβλητές uv, ; (α) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας λαμβάνουμε: f g u g v g g, f g u g v g g x u x v x u v y u y v y u v (β) Με παραγώγιση των παραπάνω σχέσεων λαμβάνουμε f g g g f g g g, x u uv v y 9 u uv 4 v, f g g g x y u 6 u v v Επομένως η δεδομένη εξίσωση γίνεται: g g g g g g 6 g g g v 4 u uv v u 6uv v 9 u uv 4 v g 4 v uv 5 Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης x, y x y, xy σημείο x, y 0 0, F στο Η συνάρτηση F x y x y, xy, έχει πολυωνυμικές συνιστώσες, οπότε C είναι διαφορίσιμη και ορίζεται η παράγωγος αυτής που είναι ο πίνακας είναι τάξης στο Επομένως σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της

10 0 Άρα είναι x y xy x x x y F xy, y xy x y xy y y F, 4