ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï

ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï Óôï ìüèçìá áõôü èá áó ïëçèïýìå ìå ôñßá áíôéêåßìåíá. Ðñþôïí, èá ðáñïõóéüóïõìå åðß ôñï Üäçí ìåñéêü âáóéêü ìáèçìáôéêü åñãáëåßá ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá êáôü ôçí áíüëõóç ôùí áëãïñßèìùí. ÐïëëÝò áðü áõôýò èá ñçóéìïðïéçèïýí óôç óõíý åéá êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ìáèþìáôïò. Äåýôåñïí, èá åéóáãüãïõìå ìå ôõðéêü ôñüðï ôéò Ýííïéåò ôçò ðïëõðëïêüôçôáò êáé ôùí óõìâïëéóìþí Ï, Ù, È, ï êáé ù, ðïõ áíáöýñáìå áêñïèéãþò óôï ðñïçãïýìåíï ìüèçìá. Ôñßôïí, èá åðé åéñþóïõìå ìßá ðñþôç ñþóç ôùí ìáèçìáôéêþí åñãáëåßùí êáé ôùí óõìâïëéóìþí óôçí ðñüîç ãéá ôçí ìåèïäéêüôåñç áíüëõóç ìåñéêþí áëãïñßèìùí. ÌáèçìáôéêÜ Åñãáëåßá ÓõíÜñôçóç ÐÜôùìá êáé óõíüñôçóç ÏñïöÞ. ÄåäïìÝíïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý x, ôï x éóïýôáé ìå ôï áêýñáéï ìýñïò ôïõ x, åíþ ôï x éóïýôáé ìå ôïí ìåãáëýôåñï (Þ ßóï) áêýñáéï áñéèìü ôïõ x. Ãéá ôéò óõíáñôþóåéò áõôýò éó ýïõí ïé åîþò éäéüôçôåò (üðïõ ôá n, a, b áêýñáéïé). x x x x x + n/2 + n/2 n n/a /b n/ab n/a /b n/ab ÅêèåôéêÜ êáé ÄõíÜìåéò. Ãéá ôïõò a 0, m, n ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò éó ýïõí ïé åîþò âáóéêýò éäéüôçôåò: a 0 a a a /a (a m ) n a mn (a n ) m a m a n a m+n Ãéá ðñáãìáôéêýò óôáèåñýò a > 0, b éó ýåé: Ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x éó ýåé: n b lm n a n 0 e x + x + x2 2! + x3 3! +... x! + x Ãéá x éó ýåé: + x e x + x + x 2 8

ÔÝëïò éó ýåé: lm ( + x n n ) ex ËïãÜñéèìïé. Ãéá êüðïéï ðñáãìáôéêü/öõóéêü áñéèìü x, ïé ëïãüñéèìïé óõìâïëßæïíôáé ìå log b x, üðïõ b åßíáé ç âüóç ôïõ ëïãüñéèìïõ. ÓõíÞèùò ïé ñçóéìïðïéïýìåíïé ëïãüñéèìïé áíáöýñïíôáé óå äõáäéêþ âüóç êáé èá äçëþíïíôáé ìå lg x, åíþ ïé öõóéêïß/íåðýñéïé ëïãüñéèìïé èá äçëþíïíôáé ìå ln x. Ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò a > 0, b > 0, c > 0, n éó ýïõí ïé åîþò âáóéêýò éäéüôçôåò: a b log b a log c (ab) log c a+log c b log b a n n log b a log b a log c a log c b log b (/a) log b a log b a log a b a log b n n log b a Óå üôé áöïñü óôéò åêöñüóåéò ìå ôç âïþèåéá ôùí óõìâïëéóìþí Ï, È êëð. äåí Ý åé óçìáóßá áí ï ëïãüñéèìïò åßíáé äõáäéêüò, íåðýñéïò Þ ïðïéïóäþðïôå Üëëïò êáé ãéá ôï ëüãï áõôü èá ñçóéìïðïéåßôáé ç Ýêöñáóç lg. ÓçìáíôéêÝò ó Ýóåéò åßíáé ïé åðüìåíåò. Ãéá x < éó ýåé: ln( + x) x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5... åíþ ãéá x > éó ýåé: x ln( + x) x + x ÐáñáãïíôéêÜ. Åßíáé ãíùóôü üôé n! 2 3 n. Ðïëý óõ íü ñçóéìïðïéïýìåíïò åßíáé ï ôýðïò ôïõ Strlng: n! ( n ) ( n 2πn + e 2n + ) 288n 2 +... Áí áðáëåßøïõìå ôçí ðáñýíèåóç, ôüôå ïäçãïýìáóôå óå ìßá ðïëý êáëþ ðñïóýããéóç ãéá n 0 (åðß ðáñáäåßãìáôé, ç ó åôéêþ áðüêëéóç åßíáé ìéêñüôåñç ôçò ôüîçò ôïõ 0 4 êáé ìüëéóôá öèßíïõóá ãéá áõîáíüìåíá n). ôóé åî Üëëïõ áðü ôïí ôýðï ôïõ Strlng êáé ìå áðëþ Üëãåâñá ðñïêýðôåé üôé: n! n n Áñéèìïß Fbonacc. Ç áêïëïõèßá áñéèìþí Fbonacc äåýôåñçò ôüîçò ïñßæïíôáé ùò åîþò: F F + F 2 åíþ ãéá ôéò áñ éêýò óõíèþêåò éó ýåé F 0 0 êáé F. ñá ìå âüóç ôïí ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé ç óåéñü ôùí áñéèìþí Fbonacc åßíáé: 0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55,... 9

ÄåäïìÝíçò ôçò ñõóþò ôïìþò (golden rato), φ, êáé ôçò óõæõãïýò ôéìþò, ˆφ, ðïõ éóïýíôáé áíôßóôïé á ìå: φ + 5 2.6803 ˆφ 5 2 ìðïñåß íá áðïäåé èåß åðáãùãéêü ç ôáõôüôçôá De Movre: F φ ˆφ 5 0.6803 Êáèþò ˆφ < óõíåðüãåôáé üôé ˆφ / 5 < /2. ñá, ï -ïóôüò áñéèìüò Fbonacc éóïýôáé ìå φ / 5 óôñïããõëåìýíï óôïí áìýóùò ìåãáëýôåñï áêýñáéï. Áèñïßóìáôá. ÌåñéêÝò áðü åðüìåíåò ó Ýóåéò åßíáé Þäç ãíùóôýò áëëü ôéò åðáíáëáìâüíïõìå ãéá ëüãïõò ðëçñüôçôáò. + 2 + 3 +... + n n(n + ) 2 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 n(n + )(2n + ) 6 Áí x < ôüôå éó ýåé: x + x + x 2 +... + x n xn+ x x x Ðáñáãùãßæïíôáò ôá äýï óêýëç ôçò ó Ýóçò áõôþò êáé ðïëëáðëáóéüæïíôáò åðß x ðñïêýðôåé: x x ( x) 2 H n Ãéá ôïí áñìïíéêü áñéèìü H n éó ýåé: + 2 + 3 +... + n ln n + γ + 2n 2n 2 + 20n 4... üðïõ γ 0.577 åßíáé ç óôáèåñü ôïõ Euler. Åðßóçò, ãéá êüèå áêïëïõèßá a, a 2,..., a n éó ýïõí ïé ó Ýóåéò (ôçëåóêïðéêü áèñïßóìáôá): n (a a ) a n a 0 (a a + ) a 0 a n 20

Êáé ìßá ôåëåõôáßá ñþóéìç éäéüôçôá ìå ãéíüìåíá: ( n ) lg a lg a ÄéáôÜîåéò, Óõíäõáóìïß êáé Äõùíõìéêïß ÓõíôåëåóôÝò. Ôá n óôïé åßá åíüò óõíüëïõ ìðïñïýí íá ðáñüîïõí n! äéáöïñåôéêýò äéáôüîåéò. Ôï ðëþèïò ôùí äõíáôþí äéáôüîåùí åðéëýãïíôáò áðü n åßíáé: n (n )... (n ( )) n! (n )! Óõíäõáóìüò ôùí áíôéêåéìýíùí áðü n áíôéêåßìåíá åßíáé ôï ðëþèïò ôùí ôñüðùí ðïõ ìðïñïýí íá åðéëå èïýí äéáêñéôü áíôéêåßìåíá áðü n áíôéêåßìåíá. Éó ýåé: ( ) ( ) n n! n!(n )! n ( ) ( ) ( ) n n n + n ( ) ( ) n + Åðßóçò éó ýåé: (x + y) n Áí x y, ôüôå ðñïêýðôåé üôé 2 n 0 0 ( n ( ) n ) x y n Óõ íü áðáéôïýíôáé åðüíù êáé êüôù üñéá. ôóé Ý ïõìå: ( ) n n(n )... (n + ) n n ( )...... n + ( ) n n(n )... (n + ) ( n en ) ( )...! ÔÝëïò, Ýíáò êáôáëáíéêüò áñéèìüò éóïýôáé ìå: ( ) ( 2n 4n 9 n + n πn 3 8n + 45 ) 28n 2... ( n ) Ðéèáíüôçôåò. Áðü ôï ìüèçìá ôùí ÐéáèáíïôÞôùí/ÓôáôéóôéêÞò åßíáé ãíùóôýò ïé åðüìåíåò Ýííïéåò áëëü ôéò åðáíáëáìâüíïõìå ãéá ëüãïõò ðëçñüôçôáò. Áò õðïèýóïõìå üôé ìßá äéáêñéôþ 2

ôõ áßá ìåôáâëçôþ X ëáìâüíåé áñéèìçôéêýò ôéìýò: X, X 2, X 3,.... Ç ðéèáíüôçôá íá ðñïêýøåé ç ôéìþ X óõìâïëßæåôáé ìå P (X ) Þ ìå P (X X ) êáé éó ýïõí ïé ó Ýóåéò: 0 P (X ) P (X ) Ç ìýóç (Þ ðñïóäïêçôþ) ôéìþ ìßáò äéáêñéôþò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò X éóïýôáé ìå: E(X) X P (X ) P (X X ) Ç áðüêëéóç ìßáò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò X äßíåôáé áðü ôïí ôýðï: Var[X] E[(X E[X]) 2 ]... E[X 2 ] E 2 [X] E[X 2 ] Var[X] E 2 [X] Ç ìýóç ôéìþ ôïõ áèñïßóìáôïò äýï äéáêñéôþí ôõ áßùí ìåôáâëçôþí éóïýôáé ìå: E(X + Y ) E(X) + E(Y ) Ãéá äýï ãåãïíüôá áíåîüñôçôá ìåôáîý ôïõò éó ýåé: E(X + Y ) E(X) E(Y ) Ç ðéèáíüôçôá õðü óõíèþêç íá óõìâåß Ýíá ãåãïíüò A äåäïìýíïõ åíüò ãåãïíüôïò B åßíáé: p(a B) p(a B) p(b) ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé p(b) 0. ôóé ðñïêýðôåé ôï Èåþñçìá ôïõ Bayes: p(a B) Óõìâïëéóìïß Ðïëõðëïêüôçôáò p(a) p(b A) p(b) Êáô áñ Þí ðáñáèýôïõìå ôïõò ïñéóìïýò ôñéþí óõìâïëéóìþí ðïëõðëïêüôçôáò (Ï, Ù êáé È), åíþ óôç óõíý åéá èá ðáñáèýóïõìå Üëëïõò äýï óõìâïëéóìïýò ðïëõðëïêüôçôáò (ï êáé ù). Óõìâïëéóìüò Ï. Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò O(g(n)), êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(n) O(g(n)) Þ ìå f(n) O(g(n)), áí õðüñ åé ìßá èåôéêþ óôáèåñü c êáé ìßá ôéìþ n 0 Ýôóé þóôå ãéá êüèå n > n 0 íá éó ýåé ç ó Ýóç f(n) < cg(n). Óõìâïëéóìüò Ù. Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò Ù(g(n)), êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(n) Ω(g(n)) Þ ìå f(n) Ω(g(n)), áí õðüñ åé ìßá èåôéêþ óôáèåñü 22

c êáé ìßá ôéìþ n 0 Ýôóé þóôå ãéá êüèå n > n 0 íá éó ýåé ç ó Ýóç f(n) > cg(n). Óõìâïëéóìüò È. Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò È(g(n)), êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(n) Θ(g(n)) Þ ìå f(n) Θ(g(n)), áí õðüñ ïõí äýï èåôéêýò óôáèåñýò c, c 2 êáé ìßá ôéìþ n 0 Ýôóé þóôå êüèå ãéá n > n 0 íá éó ýåé ç ó Ýóç c 2 g(n) < f(n) < c g(n). Áò åîåôüóïõìå Ýíá áðëü ðáñüäåéãìá ãéá íá êáôáëüâïõìå ôç ñþóç ôïõ óõìâïëéóìïý È. óôù, ëïéðüí, üôé ðñýðåé íá áðïäåßîïõìå ôç ó Ýóç: n 2 2 n 2 Θ(n2 ) ÉêáíÞ êáé áíáãêáßá óõíèþêç ãéá íá éó ýåé ç áíùôýñù ó Ýóç, åßíáé íá éó ýåé ç åðüìåíç: c n 2 n2 2 n 2 c 2n 2 c 2 2n c 2 üðïõ õðåíèõìßæïõìå üôé ôá c, c 2 ðñýðåé íá åßíáé èåôéêïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, åíþ ôï n ðñýðåé íá åßíáé èåôéêüò áêýñáéïò. Åýêïëá âëýðïõìå üôé ãéá c 2 /2 êáé ãéá n éó ýåé ôï äåîéü óêýëïò. Ãéá ôï áñéóôåñü óêýëïò áñêåß íá éó ýåé c /4 êáé n 2. Óõíåðþò, ãéá c /4, c 2 /2 êáé n 2 éó ýåé ç áíùôýñù ó Ýóç. Áðïäåßîåéò ðïõ áöïñïýí óôïõò Üëëïõò äýï óõìâïëéóìïýò (Ï êáé Ù) ìðïñïýí íá äéåêðåñáéùèïýí ìå áíôßóôïé ï ôñüðï. Ìå áðëü ëüãéá, ñçóéìïðïéïýìå ôï óõìâïëéóìü Ï êáé ôï óõìâïëéóìü Ù ãéá íá äçëþóïõìå üôé ç åðßäïóç åíüò áëãïñßèìïõ åßíáé áóõìðôùôéêü öñáãìýíç áðü åðüíù êáé áðü êüôù, áíôßóôïé á. Ìå ôï óõìâïëéóìü È äçëþíïõìå üôé ç åðßäïóç åíüò áëãïñßèìïõ åßíáé áóõìðôùôéêü öñáãìýíç áðü åðüíù êáé áðü êüôù ôáõôü ñïíá. Ïé óõìâïëéóìïß Ï, Ù êáé È ìðïñåß íá åßíáé ðåñéóóüôåñï Þ ëéãüôåñï ðåñéïñéóôéêïß Þ óöéêôïß (tght). Ãéá ðáñüäåéãìá, åßíáé åõíüçôï üôé éó ýåé ôüóï 2n 2 O(n 2 ) üóï êáé 2n O(n 2 ), üðïõ üìùò ç äåýôåñç Ýêöñáóç åßíáé ëéãüôåñç ðåñéïñéóôéêþ. ñåéáæüìáóôå, ëïéðüí, ðåñéóóüôåñï óöéêôïýò óõìâïëéóìïýò. Óõìâïëéóìüò ï. Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò ï(g(n)), êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(n) o(g(n)) Þ ìå f(n) o(g(n)), áí ãéá êüèå èåôéêþ óôáèåñü c > 0 õðüñ åé ìßá ôéìþ n 0 Ýôóé þóôå ãéá êüèå n > n 0 íá éó ýåé ç ó Ýóç f(n) < cg(n). Óõìâïëéóìüò ï. (åíáëëáêôéêü) Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò ï(g(n)), êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(n) o(g(n)), áí éó ýåé: lm n f(n) g(n) 0. Óõìâïëéóìüò ù. Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò ù(g(n)), êáé óõì- 23

âïëßæåôáé ìå f(n) ω(g(n)) Þ ìå f(n) ω(g(n)), áí ãéá êüèå èåôéêþ óôáèåñü c > 0 õðüñ åé ìßá ôéìþ n 0 Ýôóé þóôå ãéá êüèå n > n 0 íá éó ýåé ç ó Ýóç f(n) > cg(n). Óõìâïëéóìüò ù. (åíáëëáêôéêü) Ìßá óõíüñôçóç f(n) ëýãåôáé üôé Ý åé ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò ù(g(n)), êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(n) ω(g(n)) áí éó ýåé: lm n f(n) g(n). Ïé óõìâïëéóìïß ï êáé è, ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé ëéãüôåñá óõ íü óôç âéâëéïãñáößá, åêöñüæïõí åðßóçò ôçí áóõìðôùôéêþ óõìðåñéöïñü áëãïñßèìùí. Ùóôüóï, óå áíôßèåóç ìå ôïõò óõìâïëéóìïýò Ï, Ù êáé È, ïé óõìâïëéóìïß ï êáé ù ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá íá åêöñüóïõí ëéãüôåñï ðåñéïñéóôéêýò êáôáóôüóåéò áóõìðôùôéêü. ôóé éó ýåé 2n o(n 2 ) áëëü 2n 2 o(n 2 ). Áò åîåôüóïõìå Ýíá áêüìç áðëü ðáñüäåéãìá óå ó Ýóç ìå ôï óõìâïëéóìü ï. óôù, ëïéðüí, üôé ãéá a èåôéêü áêýñáéï ðñýðåé íá áðïäåßîïõìå ôç ó Ýóç: n a o(2 n ) ËáìâÜíïõìå ôï üñéï ôï ëüãïõ ôùí äýï óõíáñôþóåùí êáé åöáñìüæïõìå ôïí êáíüíá ôïõ L Hoptal äéáäï éêü: n a lm n 2 n lm n n a lm en ln 2 n an a... lm ln 2 en ln 2 n a! (ln 2) a e n ln 2 0 Ãéá íá ãßíïõí óõãêñéôéêü áíôéëçðôïß ïé ðñïçãïýìåíïé óõìâïëéóìïß áò èåùñþóïõìå ôç ó Ýóç f(n) 4n 3 + 3. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éó ýåé: f(n) Θ(n 3 ) f(n) O(n 3 ) O(n 4 )... f(n) Ω(n 3 ) Ω(n 2 )) Ω(n) Ω() f(n) o(n 4 ) o(n 5 )... f(n) ω(n 2 ) ω(n) ω() Êïéíüò ôüðïò óå üëïõò ôïõò óõìâïëéóìïýò, ëïéðüí, åßíáé ç ëýîç "áóõìðôùôéêü". Ç Ýííïéá áõôþ åßíáé äüíåéï áðü ôá êáèáñü ìáèçìáôéêü (èåùñßá áñéèìþí) êáé åìðåäþèçêå óôçí ÐëçñïöïñéêÞ áðü ôïí Knuth. Ãéá ôïõò óõìâïëéóìïýò áõôïýò éó ýïõí ðïëëýò áðü ôéò éäéüôçôåò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá. (transtvty) f(n)ï(g(n)) êáé g(n)o(h(n)) f(n)ï(h(n)) f(n)ù(g(n)) êáé g(n)ù(h(n)) f(n)ù(h(n)) f(n)è(g(n)) êáé g(n)è(h(n)) f(n)è(h(n)) f(n)ï(g(n)) êáé g(n)ï(h(n)) f(n)ï(h(n)) f(n)ù(g(n)) êáé g(n)ù(h(n)) f(n)ù(h(n)) ÁíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá. (reflexvty) f(n) Ï(f(n)) f(n) Ù(f(n)) 24

f(n) È(f(n)) ÓõììåôñéêÞ éäéüôçôá. (symmetry) f(n) È(g(n)) áí êáé ìüíï áí g(n) È(f(n)) ÁíÜóôñïöç ÓõììåôñéêÞ éäéüôçôá. (transpose symmetry) f(n) Ï(g(n)) áí êáé ìüíï áí g(n) Ù(f(n)) f(n) ï(g(n)) áí êáé ìüíï áí g(n) ù(f(n)) ÓõíäÝïíôáò ìå ôï ðñïçãïýìåíï ìüèçìá, ëïéðüí, óêïðüò ìáò åßíáé áñ éêü ç åýñåóç ôïõ ñïíéêïý êüóôïõò åíüò áëãïñßèìïõ ìå ôç âïþèåéá ìßáò óõíüñôçóçò f(n), åíþ óôç óõíý åéá ðñýðåé íá âñïýìå êüðïéá óõíüñôçóç g(n) ìå ôïí áíôßóôïé ï óõìâïëéóìü. Áõôü ðïõ ãßíåôáé óõ íüôåñá óôçí ðñüîç, üðïõ ðñïêýðôïõí åêèåôéêýò Þ ðïëõùíõìéêýò óõíáñôþóåéò, åßíáé íá áðïìïíþóïõìå ôïí üñï ìå ôï ìåãáëýôåñï åéäéêü âüñïò áãíïþíôáò ôïõò Üëëïõò üñïõò êáèþò êáé ôïõò óôáèåñïýò óõíôåëåóôýò. ñþóç Óõìâïëéóìþí óôçí ÁíÜëõóç Áò èõìçèïýìå áðü ôï ðñïçãïýìåíï ìüèçìá ôéò åêöñüóåéò ðïõ Ý ïõí ðñïêýøåé ó åôéêü ìå ôçí åðßäïóç ôùí áëãïñßèìùí ôáîéíüìçóçò ìå åðéëïãþ êáé ìå åéóáãùãþ. Ðéï óõãêåêñéìýíá, êáôü ôçí åðáêñéâþ áíüëõóç ãéá ôçí ôáîéíüìçóç ìå åðéëïãþ åß áìå êáôáëþîåé óôéò åêöñüóåéò: T (n) (c 3 /2 + c 4 /2)n 2 + (c + c 2 + c 3 /2 c 4 /2 + c 5 + c 6 + c 7 )n + c an 2 + bn + c Åðßóçò, åß áìå äéáðéóôþóåé üôé ç ôáîéíüìçóç ìå åðéëïãþ Ý åé ôçí ßäéá åðßäïóç ãéá ôçí êáëýôåñç, ôç ìýóç êáé ôç åéñüôåñç ðåñßðôùóç áíåîáñôþôùò ôùí äåäïìýíùí åéóüäïõ êáé óõíåðþò ï áëãüñéèìïò áõôüò èåùñåßôáé óôáèåñüò (robust). Ãéá ôï óõãêåêñéìýíï áëãüñéèìï êáé ôç óõãêåêñéìýíç áíüëõóç åýêïëá óõìðåñáßíåôáé üôé T (n) g(o(n 2 )) áëëü êáé T (n) g(ω(n 2 )), êáé åðïìýíùò ôåëéêü ðñïêýðôåé T (n) g(θ(n 2 )). ôóé, ôåëéêü êáôáëþãïõìå óå ìßá ôõðéêþ Ýêöñáóç (äçëáäþ, ôï Θ(n 2 )) ãéá íá åêöñüóïõìå ìå óõìðõêíùìýíï ôñüðï ôçí ðïëõðëïêüôçôá ôïõ áëãïñßèìïõ. Ôþñá èá åîåôüóïõìå ìå ðåñéóóüôåñç ëåðôïìýñåéá êáé ðüëé ôçí ôáîéíüìçóç ìå åéóáãùãþ. ¼ðùò Ý ïõìå áíáöýñåé ðñïçãïõìýíùò, ãéá ìßá ïëüêëçñç áëãïñßèìùí ôáîéíüìçóçò, ùò âáñüìåôñï åðéëýãåôáé ç ðñüîç ôçò óýãêñéóçò. Óôç óõãêåêñéìýíç ðåñßðôùóç, ùò âáñüìåôñï åðéëýãåôáé ç óýãêñéóç A[]>ey óôçí åíôïëþ 4 (áãíïþíôáò ôéò åóùôåñéêýò óõãêñßóåéò ôçò åíôïëþò ôïõ âñü ïõ for óôçí åíôïëþ, êáèþò êáé ôç óýãêñéóç >0 óôçí åíôïëþ 4). Åýêïëá ðñïêýðôåé üôé óôç åéñüôåñç ðåñßðôùóç, ãéá óõãêåêñéìýíï, ôï ey åßíáé ìéêñüôåñï áðü êüèå A[], üðïõ ôï êõìáßíåôáé áðü ìý ñé n-, ïðüôå äéáäï éêü ôï ey èá óõãêñéèåß ìå ôá A[-], A[-2],..., A[] ðñéí åîýëèïõìå áðü ôï âñü ï åðåéäþ éó ýåé ç óõíèþêç. Áðü áõôþ ôç âáóéêþ óêýøç óõíåðüãåôáé üôé êáèþò ôï j ìåôáâüëëåôáé áðü 2 ìý ñé n, óôç åéñüôåñç ðåñßðôùóç ï óõíïëéêüò áñéèìüò ôùí 25

óõãêñßóåùí åßíáé: (j ) n(n )/2 Θ(n 2 ) j2 Óôç óõíý åéá èá åîåôüóïõìå ëåðôïìåñýóôåñá ôç ìýóç ðåñßðôùóç. Áò õðïèýóïõìå üôé ôá óôïé åßá ôïõ ðßíáêá åßíáé äéáêñéôü (äçëáäþ, äéáöïñåôéêü ìåôáîý ôïõò) êáé üôé åßíáé éóïðßèáíï íá åìöáíéóèåß ìßá ïðïéáäþðïôå äéüôáîç ôùí n óôïé åßùí. ñá, üôáí èåùñïýìå ôçí ôéìþ eya[j] (åíôïëþ 2), ðïõ ðñýðåé íá ðáñåìâëçèåß ìåôáîý óôïé åßùí A[], A[2],..., A[j-], äå üìáóôå üôé ôï ey ìðïñåß ìå ßäéá ðéèáíüôçôá íá åßíáé ôï -ïóôü ìåãáëýôåñï, ãéá j. Áí, ëïéðüí, ôï ey åßíáé ôï ìåãáëýôåñï, áõôü èá ãßíåé áíôéëçðôü ìå óýãêñéóç ìå ôï óôïé åßï A[j-], áí åßíáé ôï äåýôåñï ìåãáëýôåñï, áõôü èá ãßíåé áíôéëçðôü ìå 2 óõãêñßóåéò, êïê, áí åßíáé ôï (j )-ïóôü ìåãáëýôåñï, áõôü èá ãßíåé áíôéëçðôü ìå j óõãêñßóåéò, åíþ ôýëïò, áí åßíáé ôï j-ïóôü ìåãáëýôåñï (äçëáäþ ôï ìéêñüôåñï), áõôü èá ãßíåé áíôéëçðôü êáé ðüëé ìå j óõãêñßóåéò. Óõíåðþò, ç ìýóç ôéìþ ôùí óõãêñßóåùí ãéá ìßá äåäïìýíç ôéìþ ôïõ j åßíáé: c j ( + 2 + 3 +... + (j ) + (j )) j ( j ) (j )(j + 2) j + j 2j 2 Èåùñþíôáò üôé ôï j ìåôáâüëëåôáé áðü 2 ìý ñé n, Ý ïõìå: c j j2 ( j + ) 2 j j2 n2 + 3n 4 j H n Θ(n 2 ) Óôï ôåëåõôáßï óôüäéï ôçò áíùôýñù ó Ýóçò éó ýåé üôé H n Θ(lg n) êáé åðïìýíùò áãíïåßôáé ùò ðñïò ôï n 2 /4. ÔåëéêÜ, ëïéðüí, ðñïêýðôåé êáé ôõðéêü üôé ôüóï óôç åéñüôåñç ðåñßðôùóç, üóï êáé óôç ìýóç ðåñßðôùóç ç ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôáîéíüìçóçò ìå åéóáãùãþ åßíáé Θ(n 2 ). Ùóôüóï, åýêïëá äéáðéóôþíåôáé üôé óôçí êáëýôåñç ðåñßðôùóç éó ýåé È(n). åéñéóìüò ÁèñïéóìÜôùí ÅðáãùãÞ. Ôç ìýèïäï áõôþ ãíùñßæïõìå áðü ôï ìüèçìá ôùí Äéáêñéôþí Ìáèçìáôéêþí, áëëü åäþ áðëþò èá áíáðôýîïõìå Ýíá ðáñüäåéãìá ùò ìßá åíáëëáêôéêþ áðüäåéîç óå ó Ýóç ìå ôçí áíüëõóç ôùí ðáëéíäñüìùí ðïõ áíáöýñáìå óôï ðñþôï ìüèçìá. Ìå ëßãá ëüãéá, äïèåßóçò ìßáò ó Ýóçò ðñïò áðüäåéîç, êáôü ôçí åðáãùãþ áðïäåéêíýïõìå üôé ç ó Ýóç éó ýåé ãéá ìéêñü n, õðïèýôïõìå üôé éó ýåé ãéá ôõ üí êáé ôýëïò áðïäåéêíýïõìå üôé éó ýåé ãéá +. Ãéá ðáñüäåéãìá, èá áðïäåßîïõìå åðáãùãéêü üôé ãéá Üñôéá n éó ýåé: n/2 n/2 + 2+ 2 n/2 26

Åýêïëá öáßíåôáé üôé ãéá n 2, ôüôå áñéóôåñü êáé äåîéü ìýëïò éóïýíôáé ìå 0. Äå üìáóôå üôé éó ýåé ç ó Ýóç ãéá ôõ üí Üñôéï : /2 /2 + 2+ 2 /2 êáé èá áðïäåßîïõìå üôé éó ýåé ãéá + 2: /2 /2 + 2 2+ 2 /2+ ËáìâÜíïõìå ôï áñéóôåñü óêýëïò êáé äéáäï éêü Ý ïõìå: /2 2 + /2 /2 + /2 + + /2 2+ 2 /2+ 2 /2 2 /2+ + 2 /2 + 2/2+ 2 /2+ /2 + 2 2 /2+ Ðåñéïñéóìüò üñùí. ÄåäïìÝíïõ åíüò áèñïßóìáôïò, áíôéêáèéóôïýìå êüèå üñï ôïõ áèñïßóìáôïò ìå ìßá ìåãáëýôåñç ðïóüôçôá, ðïõ ìðïñïýìå åõêïëüôåñá íá åéñéóèïýìå. Åðß ðáñáäåßãìáôé, áí èåùñþóïõìå ùò ãåíéêü ðñüôõðï ôç ó Ýóç n a na max, ôüôå ãéá ôï ãíùóôü ìáò Üèñïéóìá ìðïñåß åíáëëáêôéêü íá ðñïêýøåé: n n 2 O(n 2 ) ÄåäïìÝíïõ åíüò áèñïßóìáôïò n a, áò õðïèýóïõìå üôé a + /a r, üðïõ 0, åíþ éó ýåé ãéá ôç óôáèåñü r <. ôóé, ëïéðüí, éó ýåé: a a 0 r a 0 r a o r Èá ðñïóåããßóïõìå ôï Üèñïéóìá (/3 ) ìå âüóç ôç ìýèïäï áõôþ êáé ëáìâüíïõìå ôï ëüãï: a + a ( + )/3+ /3 + 3 ÄçëáäÞ, ãéá êüèå éó ýåé r 2/3, ïðüôå: 2 3 (/3 ) 3 (2 3 ) 3 2/3 27

ÄéÜóðáóç áèñïéóìüôùí. ÄåäïìÝíïõ åíüò áèñïßóìáôïò, ôï åðéìåñßæïõìå óå ìéêñüôåñá ðïõ ìðïñïýí íá åðéëõèïýí åõêïëüôåñá. Åðß ðáñáäåßãìáôé, ãéá ôï ãíùóôü Üèñïéóìá éó ýåé: n/2 + n/2 0 + n/2+ n/2+ (n/2) (n/2) 2 Ω(n 2 ) Ôþñá èá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí ðáñïýóá ôå íéêþ ìáæß ìå ôçí ðñïçãïýìåíç ôå íéêþ (ðåñéïñéóìüò üñùí) ãéá ôï Üèñïéóìá 2 /2. ËáìâÜíïíôáò ôï ëüãï äýï äéáäï éêþí üñùí Ý ïõìå: a + a ( + )2 /2 + 2 /2 ( + )2 2 2 8 9 ãéá êüèå 3. ÅðïìÝíùò, èá åðéìåñßóïõìå áíáëüãùò ôï Üèñïéóìá: 2 2 /2 2 /2 + 2 /2 O() + 9 8 3 3 ( ) 8 O() 9 êáèþò ôï äåýôåñï Üèñïéóìá åßíáé öèßíïõóá ãåùìåôñéêþ ðñüïäïò. ñþóç ïëïêëçñùìüôùí. íá Üèñïéóìá ìå ìßá áýîïõóá óõíüñôçóç f() ìðïñåß íá ðåñéïñéóèåß áðü ïëïêëçñþìáôá ìå âüóç ôï ãåíéêü ôýðï: n n+ f(x)dx f() f(x)dx m m èåùñþíôáò üôé óå ìßá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ç êáìðýëç ôçò óõíüñôçóçò f() ðñïóåããßæåôáé áðü åðüíù êáé êüôù áðü ìåãáëýôåñá êáé ìéêñüôåñá ïñèïãþíéá. Áíôßóôïé á, ìßá öèßíïõóá óõíüñôçóç f() ìðïñåß íá ðåñéïñéóèåß ìå âüóç ôï ãåíéêü ôýðï: n+ n f(x)dx f() f(x)dx êáé m Ãéá ôïí áñìïíéêü áñéèìü H n éó ýåé: n+ 2 n m dx x m m ln(n + ) n dx x ln n ln n + 28