Εφαρμογή του μετασχηματισμού Huang- Hilbert και του φυσικού χρόνου στην ανάλυση δραστηριοτήτων Προσεισμικών Ηλεκτρικών Σημάτων

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ-ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Εφαρμογή του μετασχηματισμού Huang- Hilbert και του φυσικού χρόνου στην ανάλυση δραστηριοτήτων Προσεισμικών Ηλεκτρικών Σημάτων Ερευνητική εργασία στα πλαίσια του Μ.Δ.Ε. Επιστήμης των Υλικών ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ A.M. 201108 Αθήνα 2013 Τριμελής επιτροπή: Σκορδάς Ευθύμιος, Επίκουρος Καθηγητής (Επιβλέπων) Σαρλής Νικόλαος, Αναπληρωτής Καθηγητής Βαρώτσος Παναγιώτης, Καθηγητής

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε ως ερευνητική εργασία στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης (Μ.Δ.Ε.) στην Επιστήμη των Υλικών. Πραγματοποιήθηκε στον Τομέα Φυσικής Στερεάς Κατάστασης του Τμήματος Φυσικής του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, υπό την επίβλεψη του κ. Ευθύμιου Σκορδά, επίκουρου καθηγητή του ανωτέρω τομέα. Θέλω να ευχαριστήσω τον κ. Σκορδά καθώς και τον κ. Νικόλαο Σαρλή, αναπληρωτή καθηγητή του Τομέα Φυσικής Στερεάς Κατάστασης, για την συνεργασία, τις πολύτιμες συμβουλές τους και τις γνώσεις που μου μετέδωσαν. Τέλος, ένα ιδιαίτερο ευχαριστώ στον καθηγητή κ. Παναγιώτη Βαρώτσο στο έργο του οποίου στηρίχθηκε η παρούσα εργασία. Αθήνα, 5/6/2013 1

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή, γίνεται διαχωρισμός ενός καταγεγραμμένου ηλεκτρικού σήματος μακράς διάρκειας από το μαγνητοτελλουρικό του υπόβαθρο ώστε να αναδειχθεί ένα προσεισμικό ηλεκτρικό σήμα (Seismic Electric Signal, SES). Ο έλεγχος αν πρόκειται για SES ή ανθρωπογενή θόρυβο γίνεται μέσω της ανάλυσης στον φυσικό χρόνο. Με χρήση της μεθόδου αποκλιμακούμενης διακύμανσης (Detrended Fluctuation Analysis, DFA), διαπιστώθηκε ότι τα SES παρουσιάζουν συσχετίσεις μεγάλης εμβέλειας. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Huang-Hilbert εξήχθησαν οι ενδογενείς συνιστώσες συναρτήσεις (Intrinsic Mode Functions, IMF) ενός ηλεκτρικού σήματος και εξετάσθηκαν αθροίσματα αυτών προκειμένου να διαπιστωθεί ποιες IMF αντιπροσωπεύουν καλύτερα το SES. Τέλος, διαπιστώθηκε ότι τα στιγμιαία πλάτη των IMF μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ένα μέτρο προσδιορισμού των παραμέτρων του φυσικού χρόνου (S,S_,κ 1 ) και της κατηγοριοποίησης των σημάτων σε SES ή θόρυβο. Λέξεις κλειδιά: Προσεισμικό ηλεκτρικό σήμα, φυσικός χρόνος, μέθοδος αποκλιμακούμενης διακύμανσης, συσχετίσεις μεγάλης εμβέλειας, μετασχηματισμός Huang-Hilbert 2

ABSTRACT We separate the magnetotelluric background from a precursory electric signal and study the remaining time-series in a new time domain, the natural time. This analysis provides a classification of the signals between artificial noises and Seismic Electric Signals (SES). By employing the Detrended Fluctuation Analysis method (DFA) we show that long-range correlations exist in SES. We then apply the Huang-Hilbert transform to an SES activity in order to decompose it into a number of Intrinsic Mode Functions (IMF) and study which of these functions better represent the SES. Finally, we prove that the instantaneous amplitudes of the IMFs can be used as a way of classification of the signals when combined with the natural time analysis. Keywords: Seismic Electric Signal, natural time, Detrended Fluctuation Analysis, long-range correlations, Huang-Hilbert transform 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έννοια του φυσικού χρόνου (Varotsos, Sarlis and Skordas, 2001) έχει χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση διαφόρων ηλεκτρικών σημάτων. Η εργασία αυτή επικεντρώνεται στα προσεισμικά ηλεκτρικά σήματα (SES) (Varotsos P., Alexopoulos K., 1984 a,b και Varotsos 2005) και την ανάλυσή τους στο φυσικό χρόνο προκειμένου να διαχωριστούν από τους ανθρωπογενείς θορύβους. Οι παράμετροι οι οποίες καθορίζουν το είδος του υπό μελέτη ηλεκτρικού σήματος είναι η διασπορά κ 1, η εντροπία S και η εντροπία S_ όταν αντιστραφεί το βέλος του χρόνου. Στην περίπτωση των SES έχει βρεθεί ότι η τιμή για το κ 1 0.070 ενώ S, S_<S u =0.0966 όπου S u είναι η εντροπία της ομοιόμορφης κατανομής. Για τους θορύβους έχουμε κ 1 >0.083. Θα περιοριστούμε στη μελέτη αυτών των ποσοτήτων, ενώ σημειώνουμε ότι ο διαχωρισμός των SES από τους ανθρωπογενείς θορύβους γίνεται βέλτιστος όταν αυτές συνδυαστούν με την DFA (Detrended Fluctuation Analysis) (Peng et al. 1994, 1995) στον φυσικό χρόνο (Varotsos et al. 2009, Varotsos et al. 2011). Αρχικό βήμα είναι ο διαχωρισμός δυο ηλεκτρικών σημάτων, ενός μεγάλης και ενός μικρής διάρκειας, από το μαγνητοτελλουρικό τους υπόβαθρο και κατόπιν η ανάλυση τους στον φυσικό χρόνο προκειμένου να διαπιστωθεί αν πρόκειται για SES. Στη συνέχεια, μέσω της DFA, διαπιστώνεται ότι τα SES παρουσιάζουν συσχετίσεις μακράς εμβέλειας. Η ανάλυση στον φυσικό χρόνο γίνεται με δυο τρόπους: είτε με την χρήση της στιγμιαίας ισχύος που προκύπτει τετραγωνίζοντας το πλάτος του σήματος, είτε ανάγοντας το σήμα σε δίτιμο. Η αναγωγή σε δίτιμο γίνεται ως εξής: Ορίζουμε μια τιμή κατωφλίου στον κατακόρυφο άξονα y thres =0.5 και διαβάζουμε το σήμα συγκρίνοντας τις τιμές του με εκείνη του κατωφλίου. Αν οι τιμές του σήματος είναι μεγαλύτερες από το κατώφλι τότε σε αυτές τις χρονικές στιγμές θεωρούμε ότι το κανάλι εκπέμπει και αντιστοιχίζουμε την μονάδα ενώ οπουδήποτε αλλού αντιστοιχίζουμε το μηδέν. Προκύπτει επομένως ένα σήμα που αποτελείται από σειρές διαδοχικών μηδενικών και άσσων. Το άθροισμα των διαδοχικών άσσων δίνει τις διάρκειες του εκάστοτε παλμού οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση στον φυσικό χρόνο. Στην συνέχεια εξετάζεται αν ο διαχωρισμός είναι εφικτός μέσω του μετασχηματισμού Huang-Hilbert (Huang et al. 1998, Kschischang 2006 και Barnhart 2011). Εξάγονται οι ενδογενείς συνιστώσες συναρτήσεις (IMF) ενός ηλεκτρικού σήματος και μέσω της ανάλυσης στον φυσικό χρόνο διαπιστώνεται ότι η πρώτη εξ αυτών αποτελεί τον θόρυβο υψηλής συχνότητας, ο οποίος δεν συνεισφέρει σημαντικά στην ενέργεια. Κατόπιν, αναλύονται 4

αθροίσματα IMF στον φυσικό χρόνο και συγκρίνονται οι τιμές των παραμέτρων κ 1, S, S_ με αυτές που προκύπτουν από την αφαίρεση του μαγνητοτελλουρικού υποβάθρου προκειμένου να διαπιστωθεί ποιες από τις IMF αντιπροσωπεύουν καλύτερα το SES. Στην συνέχεια, επαναλαμβάνεται η παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιώντας στιγμιαία πλάτη αθροισμάτων IMF. Προκύπτει ότι τα στιγμιαία πλάτη μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί της στιγμιαίας ισχύος ως ένα μέτρο προσδιορισμού των παραμέτρων του φυσικού χρόνου (S,S_,κ 1 ) και της κατηγοριοποίησης των σημάτων σε SES ή θόρυβο. Η παρούσα εργασία αποτελείται από τα εξής κεφάλαια: Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Γενική περιγραφή και παρουσίαση των θεμάτων της παρούσας εργασίας. Κεφάλαιο 2: Περιγραφή του φυσικού χρόνου, στο οποίο εισάγονται οι ποσότητες κ 1, S, S_ και οι πειραματικές τιμές τους για τα δυο είδη σημάτων (SES, ανθρωπογενείς θόρυβοι). Κεφάλαιο 3: Βασικές αρχές της Detrended Fluctuation Analysis (DFA) και η εφαρμογή της στα SES. Κεφάλαιο 4: Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο της γης. Παρατίθενται οι επιμέρους συνιστώσες που συνεισφέρουν στο ολικό μαγνητικό πεδίο της γης και οι μεταβολές του μαγνητικού πεδίου που σχετίζονται με τα SES. Κεφάλαιο 5: Ανάλυση στον φυσικό χρόνο και DFA δραστηριότητας SES μεγάλης διάρκειας. Γίνεται χρήση της στιγμιαίας ισχύος του σήματος. Περιγράφονται τα προγράμματα που χρησιμοποιήθηκαν για τους υπολογισμούς. Κεφάλαιο 6: Ανάλυση στον φυσικό χρόνο και DFA δραστηριότητας SES μικρής διάρκειας. Περιγράφεται η διαδικασία αναγωγής ενός σήματος σε δίτιμο και τα προγράμματα που χρησιμοποιήθηκαν για τους υπολογισμούς. Κεφάλαιο 7: Περιγραφή του μετασχηματισμού Huang-Hilbert και των βασικών ιδιοτήτων του σύμφωνα με τους Huang et al. 1998, Kschischang 2006 και Barnhart 2011. Κεφάλαιο 8: Εφαρμογή της μεθόδου Huang-Hilbert στην δραστηριότητα SES μικρής διάρκειας του Κεφαλαίου 6. Εξαγωγή IMF και ανάλυση αυτών στον φυσικό χρόνο, καθώς και των στιγμιαίων πλατών των IMF. Περιγραφή των προγραμμάτων που χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων. Τα υπολογιστικά μέρη έγιναν στο προγραμματιστικό περιβάλλον του MATLAB, οι βασικές αρχές και έννοιες του οποίου παρατίθενται στο Παράρτημα Α. Τέλος, στο Παράρτημα Β, δίνονται τα προγράμματα που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΧΡΟΝΟ Για μια χρονοσειρά που αποτελείται από Ν παλμούς, ο φυσικός χρόνος ορίζεται ως (Varotsos et al 2011) [2.1] και συνιστά μια ένδειξη για την ύπαρξη του k-οστού γεγονότος. Στην ανάλυση στον φυσικό χρόνο εξετάζεται η εξέλιξη του ζεύγους (χ k,q k ) όπου Q k μια ποσότητα που μπορεί να θεωρηθεί ανάλογη της ενέργειας του k-οστού γεγονότος. Εναλλακτικά, αντί του Q k μπορεί να θεωρηθεί η ποσότητα [2.2] με =1 [2.3] όπου p k η κανονικοποιημένη ενέργεια που εκλύεται κατά την διάρκεια του k-οστού γεγονότος. Στην περίπτωση των δραστηριοτήτων SES, θεωρούμε το Q k ανάλογο της διάρκειας του κάθε παλμού. Στο Σχήμα 2.1 φαίνεται πως μια χρονοσειρά ηλεκτρικών παλμών διαβάζεται στον συμβατικό και στον φυσικό χρόνο. Σχήμα 2.1: Πως μια δίτιμη χρονοσειρά διαβάζεται στον συμβατικό χρόνο (πάνω) και πως στον φυσικό χρόνο(κάτω). Ε: ηλεκτρικό πεδίο. Πηγή: (Varotsos et al 2011, σελίδα 122) Σε μια χρονοσειρά που αποτελείται από N γεγονότα, αν εφαρμόσουμε τον τελεστή αναστροφής χρόνου πάνω στις διάρκειες Q k τότε προκύπτει (Varotsos et al 2011): [2.4] 6

οπότε ο πρώτος παλμός για k=1 τοποθετείται τελευταίος, ο δεύτερος προτελευταίος κ.ο.κ. Στην ανάλυση στον φυσικό χρόνο εισάγεται η συνάρτηση F(ω) (διαφορετική εκείνης του διάκριτου μετασχηματισμού Fourier) ως εξής: Κανονικοποιώντας την τελευταία σχέση προκύπτει: [2.5] όπου ω=2πφ και φ η συχνότητα στον φυσικό χρόνο. Τότε το κανονικοποιημένο φάσμα ισχύος ορίζεται ως [2.6] και το οποίο δεν αλλάζει κατά την αναστροφή του χρόνου. Καθώς το ω τείνει στο μηδέν η Φ(ω) μπορεί να δώσει κάποιες στατιστικές ιδιότητες όπως η διασπορά κ.α. Θεωρώντας το ανάπτυγμα Taylor της Π(ω) γύρω από το μηδέν προκύπτει (Varotsos et al 2011): Π(ω)=1-κ 1 ω 2 +κ 2 ω 4 +κ 3 ω 6 +κ 4 ω 8 + [2.7] όπου [2.8] η διασπορά του φυσικού χρόνου η οποία επίσης δεν θα αλλάζει κατά την αναστροφή του βέλους του χρόνου. Στο όριο όπου το Ν τείνει στο άπειρο, οι τιμές των πιθανοτήτων p k θα αντικατασταθούν από μια συνεχή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function, PDF) στην περιοχή (0,1], p(χ). Σε αυτή την περιοχή, η p(χ) μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier: [2.9] όπου 7

[2.10] οι συντελεστές Fourier. Το κ 1 μπορεί να γραφτεί συναρτήσει των συντελεστών Fourier ως εξής: [2.11] Στην περίπτωση της ομοιόμορφης κατανομής όπου p(χ)=1 και p k =0, από την Σχέση 2.11 προκύπτει κ 1 =1/12=0.0833. Όπως αποδεικνύεται θεωρητικά στο Varotsos et al. (2001) το κανονικοποιημένο φάσμα ισχύος των SES είναι: [2.12] Αναπτύσσοντας την (2.12) γύρω από το ω=0 παίρνουμε [2.13] το οποίο υποδηλώνει σε συνδυασμό με την Σχέση 2.7 ότι [2.14] Τα πειραματικά αποτελέσματα για τους σεισμούς και τις δραστηριότητες SES, συμπίπτουν με τις παραπάνω θεωρητικές εκτιμήσεις. Έχει παρατηρηθεί (Varotsos et al 2001) ότι το κανονικοποιημένο φάσμα ισχύος Π(ω) που προκύπτει από τις SES-δραστηριότητες, και η αντίστοιχη ποσότητα Π(ω) της σεισμικής δραστηριότητας μετρούμενη μετά την καταγραφή του SES, συμπίπτουν μερικές μέρες πριν τον κύριο σεισμό (Varotsos et al 2001) όταν λάβουμε υπόψη το σύνολο της δραστηριότητας SES. Τα Προσεισμικά Ηλεκτρικά Σήματα (Seismic Electric Signals, SES) (Varotsos and Alexopoulos 1984a,b και Varotsos 2005) είναι μεταβολές του ηλεκτρικού πεδίου της γης, χαμηλής συχνότητας ( 1 Ηz), που έχει βρεθεί ότι προηγούνται των σεισμών σε χρόνους από αρκετές ώρες έως μερικούς μήνες (π.χ Uyeda 1996 και Varotsos and Lazaridou 1991). Από την 8

στιγμή που μια δραστηριότητα SES (SES activity) καταγράφεται, μπορούμε να την διαβάσουμε στον φυσικό χρόνο και να προχωρήσουμε στην ανάλυσή της. Στο Σχήμα 2.2 δίνεται ένα παράδειγμα των τιμών του Π(φ), όπου φ=ω/2π, για τα SES και τους τεχνητούς θορύβους που έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά με τα SES. Δύο είναι τα σημεία στα οποία πρέπει να εστιάσουμε. Πρώτον, ουσιαστικά οι καμπύλες χωρίζονται σε δυο κατηγορίες με την ονομασία «SES activities» και «noises» αντίστοιχα. Δεύτερον, για φυσικές συχνότητες μικρότερες του 0.5 οι αντίστοιχες Π(φ) τιμές των SES διασκορπίζονται γύρω από την στικτή γραμμή, η οποία έχει εκτιμηθεί θεωρητικά (βλ. Σχήμα 2.2). Σχήμα 2.2: Το κανονικοποιημένο φάσμα ισχύος των SES και των θορύβων (διακεκομμένες γραμμές). Η στικτή καμπύλη αντιπροσωπεύει μια θεωρητική εκτίμηση που πηγάζει από την θεωρία των κρίσιμων φαινομένων. Πηγή: P. Varotsos et al. 2001 9

ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΧΡΟΝΟ: Μελετώντας την συνάρτηση, όπως έχει συζητηθεί στo Varotsos et al. (2003), τα σήματα ταξινομούνται στο διάστημα q (1,2]. Η παράγωγος df q /dq όταν το q τείνει στο 1, δηλαδή η ποσότητα, είναι εντροπικό μέτρο (Varotsos et al. 2005) διότι έχει τα χαρακτηριστικά της εντροπίας, δηλαδή κυρτότητα, θετικότητα και σταθερότητα (Lesche 1982 και Lesche 2004). Η χρήση της εντροπίας επίσης διαχωρίζει τα σήματα από τους θορύβους. Η τιμή της είναι μικρότερη από την S u =0.0966 της ομοιόμορφης κατανομής(uniform distribution) στην περίπτωση των SES και μεγαλύτερη στην περίπτωση των τεχνητών θορύβων. Η τιμή του κ 1 (δηλαδή η F q για q=2) είναι, θα μπορούσαμε να πούμε σε αδρές γραμμές, ανάλογη αυτής της εντροπίας στον φυσικό χρόνο. Επίσης ορίζουμε ένα άλλο είδος εντροπίας το οποίο προκύπτει από την ανάλυση στον φυσικό χρόνο μετά την αναστροφή του βέλους του χρόνου Τ, που δρα ως τελεστής πάνω στις διάρκειες d, ως εξής (Σχέση 2.4) 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΟΚΛΙΜΑΚΟΥΜΕΝΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (DETRENDED FLUCTUATION ANALYSIS, DFA) Η μέθοδος αποκλιμακούμενης διακύμανσης (εν συντομία DFA) (Peng et al. 1994 και Peng et al. 1995) είναι μια μέθοδος η οποία έχει αναπτυχθεί προκειμένου να ποσοτικοποιηθούν επακριβώς οι συσχετίσεις μεγάλης εμβέλειας σε μη στάσιμα κυμαινόμενα σήματα όπου μέθοδοι όπως το φάσμα ισχύος και η ανάλυση αυτοσυσχέτισης δεν είναι επαρκείς. Η μαθηματική θεωρία της συσχέτισης μεγάλης εμβέλειας αφορά στη συμπεριφορά της συσχέτισης μιας χρονοσειράς για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα (Gao et al. 2006). Η DFA αποτελείται από τα εξής βήματα (Varotsos et al. 2009): Έχοντας μια χρονοσειρά u(i), όπου i=1,2, N, και Ν το μήκος της χρονοσειράς, αρχικά ολοκληρώνουμε το u(i) και παίρνουμε: [3.1] όπου η μέση τιμή [3.2] Στην συνέχεια διαιρούμε το y(i) σε κουτιά ίσου μήκους n. Σε κάθε κουτί, προσαρμόζουμε την y(i) χρησιμοποιώντας μια πολυωνυμική συνάρτηση y n (i) η οποία αντιπροσωπεύει την τοπική τάση μέσα στο κουτί. Έπειτα αφαιρούμε τις τάσεις από την y(i) ως εξής: [3.3] Τέλος, η διακύμανση δίνεται από: [3.4] 11

Η συμπεριφορά της F(n) σε έναν μεγάλο αριθμό κλιμάκων υπολογίζεται επαναλαμβάνοντας τους παραπάνω υπολογισμούς (σχέσεις 3.1-3.4) για διάφορα μήκη κουτιού n. Για χρονοσειρές που δεν εξαρτώνται από την κλίμακα προκύπτει ότι [3.5] από όπου λογαριθμίζοντας παίρνουμε: [3.6] Από την σχέση 3.6 προκύπτει άμεσα ότι από την κλίση της ευθείας logf(n) συναρτήσει του log(n) παίρνουμε τον εκθέτη κλιμάκωσης α. Αν α=0.5, το σήμα είναι ασυσχέτιστο (λευκός θόρυβος), ενώ για α>0.5 το σήμα παρουσιάζει συσχέτιση. Εφαρμόζοντας την DFA βρέθηκε ότι (Varotsos et al. 2002 και Weron et al. 2005) συσχετίσεις μεγάλης εμβέλειας υπάρχουν στις αρχικές χρονοσειρές των SES. Έχει αποδειχθεί (Varotsos et al. 2003) ότι οι δραστηριότητες SES διαχωρίζονται καλύτερα από τους ανθρωπογενείς θορύβους, αν η DFA εφαρμοστεί στο σήμα αφότου αυτό έχει αναλυθεί στο πεδίο του φυσικού χρόνου. Στο σημείο αυτό να υπενθυμίσουμε ότι στην περίπτωση των SES ισχύει κ 1 =0.07 και S,S - <S u =0.0966 (βλ. Κεφάλαιο 2). 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ Το γεωμαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται συνεχώς και είναι συνδυασμός διαφόρων μαγνητικών πεδίων που υπερτίθενται και αλληλεπιδρούν. Το μεγαλύτερο ποσοστό του μετρούμενου πεδίου παράγεται στο εσωτερικό του πλανήτη και μάλιστα από ηλεκτρικά ρεύματα που ρέουν στον ρευστό εξωτερικό πυρήνα. Ο εξωτερικός πυρήνας αποτελείται από τηγμένο σίδηρο και οι κινήσεις του, οι οποίες δημιουργούν αυτά τα ρεύματα, οφείλονται στην θερμική μεταφορά. Η περιοχή του χώρου γύρω από τη Γη μέσα στην οποία επιδρά το μαγνητικό πεδίο της γης ονομάζεται μαγνητόσφαιρα. Ο Ήλιος εκτινάσσει συνεχώς υλικό που αποτελείται από φορτισμένα σωματίδια (πρωτόνια, ηλεκτρόνια και πυρήνες ηλίου). Το σύνολο αυτού του υλικού απομακρύνεται από τον Ήλιο προς το διάστημα. Το γήινο μαγνητικό πεδίο εκτρέπει τα σωματίδια που εκπέμπονται από τον Ήλιο αναγκάζοντάς τα να ρεύσουν γύρω από τη Γη. Η πρόσπτωση του ηλιακού ανέμου με τα φορτισμένα του σωματίδια στο ανώτερο τμήμα της γήινης ατμόσφαιρας, δημιουργεί ηλεκτρικά ρεύματα τα οποία είναι υπεύθυνα για την δημιουργία ενός άλλου, εξωτερικού μαγνητικού πεδίου που και αυτό συνεισφέρει στο ολικό μαγνητικό πεδίο της Γης. Το εξωτερικό αυτό πεδίο αποτελεί το 1-5% του συνολικού και έχει παρατηρηθεί ότι είναι ισχυρότερο κοντά στον Ισημερινό. Μια ακόμα συνεισφορά στο μαγνητικό πεδίο της Γης προέρχεται από το μαγνητισμό των πετρωμάτων του φλοιού. Το πεδίο αυτό του φλοιού, προκαλείται από επαγωγή από το μαγνητικό πεδίο του πυρήνα. Τόσο θεωρητικοί υπολογισμοί (Varotsos 2005) όσο και πειράματα, έχουν δείξει ότι ισχυρές δραστηριότητες SES (μεγέθους M 6.5) σε επικεντρικές αποστάσεις πρέπει να συνοδεύονται από ανιχνεύσιμες μεταβολές του μαγνητικού πεδίου, για παράδειγμα. Όπως έχει δειχθεί στο Varotsos et al. 2003 οι μεταβολές του ηλεκτρικού πεδίου ενός SES προηγούνται αυτών του μαγνητικού κατά ένα χρονικό διάστημα της τάξεως του 1sec. Το γεγονός αυτό αποδεικνύεται χρήσιμο για τον διαχωρισμό των SES από τους θορύβους και αυτό γιατί για θορύβους που εκπέμπονται από κοντινές ανθρωπογενείς πηγές, οι αφίξεις των μεταβολών των δυο πεδίων είναι ταυτόχρονες στον σταθμό μέσα στα όρια της πειραματικής ακρίβειας. Να σημειωθεί ότι στην περίπτωση των μαγνητοτελλουρικών διαταραχών (MT), οι μεταβολές του μαγνητικού πεδίου προηγούνται αυτών του ηλεκτρικού (Varotsos et al. 2011) Τα μαγνητοτελλουρικά σήματα (ΜΤ) τα οποία δρουν ως υπόβαθρο κατά την ανάλυση των SES προέρχονται από δύο πηγές (Naidu, 2012): 13

1. Στις χαμηλότερες συχνότητες, συνήθως μικρότερες του 1Hz, το ΜΤ σήμα προέρχεται από την αλληλεπίδραση του ηλιακού ανέμου με το μαγνητικό πεδίο της γης. 2. Ένα ΜΤ σήμα υψηλής συχνότητας (μεγαλύτερης του 1Hz) προέρχεται από τις θύελλες παγκοσμίως, συνήθως κοντά στον Ισημερινό. Η ενέργεια που προέρχεται από αυτές τις καταιγίδες ταξιδεύει γύρω από τη γη ως κύμα μεταξύ της επιφάνειας της γης και της ιονόσφαιρας με μέρος αυτής της ενέργειας να διεισδύει στη γη. Αυτές οι δύο πηγές ΜΤ σημάτων δημιουργούν ηλεκτρομαγνητικά κύματα που κυμαίνονται με τον χρόνο. 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ SES ΜΕΓΑΛΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Στην ανάλυση χρησιμοποιείται το σήμα που καταγράφηκε στον σταθμό του Πύργου και διήρκεσε από τις 29/2 έως τις 02/3 του 2008. Το σήμα αυτό απεικονίζεται στο Σχήμα 5.1 και προηγήθηκε του σεισμού της Ανδραβίδας (38.0 o N, 21.5 o E) της 8/6/2008 μεγέθους 6.4R. Σχήμα 5.1: Το ηλεκτρικό σήμα προς ανάλυση όπως καταγράφηκε στον σταθμό του Πύργου. Στον οριζόντιο άξονα εμφανίζεται ο χρόνος σε seconds ενώ στον κατακόρυφο η μεταβολή της τάσης σε mv. Το σήμα του παραπάνω σχήματος παρουσιάζει ένα υπόβαθρο που οφείλεται σε συχνές μικρές μαγνητοτελλουρικές μεταβολές (ΜΤ). Αυτές καταγράφηκαν από όλους τους σταθμούς του δικτύου ΒΑΝ (Σχήμα 5.2) σε αντίθεση με τα SES που καταγράφονται μόνο σε συγκεκριμένους σταθμούς ανάλογα με την επικεντρική περιοχή του επικείμενου σεισμού. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μαγνητοτελλουρικών διαταραχών απεικονίζεται στο Σχήμα 5.3 και καταγράφηκε ταυτόχρονα με το SES του Σχήματος 5.1 σε ένα μετρητικό δίπολο του σταθμού του Πύργου που δεν είναι ευαίσθητο στα Προσεισμικά Ηλεκτρικά Σήματα. 15

Σχήμα 5.2: Χάρτης των σταθμών του δικτύου ΒΑΝ που λειτουργούν σήμερα στην Ελλάδα. Πηγή: Varotsos et al 2011. Σχήμα 5.3: Οι μαγνητοτελλουρικές διαταραχές του υποβάθρου του Σχήματος 5.1. Στον οριζόντιο άξονα εμφανίζεται ο χρόνος σε seconds ενώ στον κατακόρυφο η μεταβολή της τάσης σε mv. Για να γίνει η ανάλυση, πρέπει πρώτα να διαχωρίσουμε το καθαρό σήμα από το υπόβαθρο που δρα ως θόρυβος. Με αυτό το σκοπό εργαζόμαστε ως εξής (Varotsos et al. 2009): Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι 1sample/sec. Έτσι, υπολογίζουμε τις προσαυξήσεις κάθε ένα δευτερόλεπτο των δύο χρονοσειρών των Σχημάτων 5.1 και 5.3, δηλαδή το πόσο διαφέρει κάθε τιμή από την αμέσως προηγούμενη. Οι υπολογισμοί και οι γραφικές απεικονίσεις γίνονται στο προγραμματιστικό περιβάλλον του MATLAB όπως αναφέρθηκε και 16

στο Κεφάλαιο 1. Υποθέτοντας ότι οι προσαυξήσεις του συνολικού σήματος αναπαρίστανται στον οριζόντιο άξονα (dx) ενώ αυτές των ΜΤ διαταραχών στον κατακόρυφο άξονα (dy), ζωγραφίζουμε στο Σχήμα 5.4 την γωνία τους με κουκκίδες. Στο σημείο αυτό να σημειωθεί ότι το Matlab εξάγει τα αποτελέσματα σε rads ενώ για τον απευθείας υπολογισμό των γωνιών θ χρησιμοποιείται η συνάρτηση angle(dx+i*dy) η οποία στην ουσία υπολογίζει φάσεις και δίνει αποτελέσματα στο διάστημα [-π,π]. Η μετατροπή σε μοίρες γίνεται μέσω της γνωστής σχέσης. Όταν υπάρχει SES διαταραχή στο Σχήμα 5.1, η γωνία στο Σχήμα 5.4 πάει απότομα στις ενώ, αντίθετα, όταν έχω ΜΤ διαταραχή η γωνία αλλάζει απότομα σε 0 ο. Σχήμα 5.4: Η μεγάλη πυκνότητα των κουκκίδων στις υποδεικνύει την ύπαρξη SES διαταραχής την συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Στη συνέχεια ζωγραφίζουμε στο Σχήμα 5.6 το υπόλοιπο όπως προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων στο σήμα του Σχήματος 5.1 σε σχέση με την ΜΤ διαταραχή του Σχήματος 5.3. Η διαδικασία έχει ως εξής: Από το αρχικό σήμα (Σχήμα 5.1) αφαιρούμε τις μαγνητοτελλουρικές διαταραχές (Σχήμα 5.3) και κατόπιν εφαρμόζουμε την 17

μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων στην προκύπτουσα χρονοσειρά. Η νέα χρονοσειρά και η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Το υπόλοιπο (Σχήμα 5.6) εξάγεται αν από το σήμα που προκύπτει από την προηγούμενη αφαίρεση, αφαιρέσουμε την ευθεία της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Το πρόγραμμα που δίνει τα παραπάνω αποτελέσματα παρατίθεται στο Παράρτημα Β1. Σχήμα 5.5: Η νέα χρονοσειρά μετά την αφαίρεση των μαγνητοτελλουρικών διαταραχών από το ηλεκτρικό σήμα και η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων (κόκκινη γραμμή). Σχήμα 5.6: Το υπόλοιπο όπως προκύπτει από την αφαίρεση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων. Στον οριζόντιο άξονα εμφανίζεται ο χρόνος σε seconds ενώ στον κατακόρυφο η μεταβολή της τάσης σε mv. Παρατηρούμε στο Σχήμα 5.6 ότι υπάρχουν ακόμα μικρές ΜΤ διαταραχές στο προς ανάλυση σήμα. Προκειμένου αυτές να εξαλειφθούν ακολουθούμε την εξής μεθοδολογία: Αρχικά κάνουμε το ιστόγραμμα του καναλιού, δηλαδή απεικονίζουμε με τι συχνότητα εμφανίζεται η κάθε τιμή του Σχήματος 5.6 χρησιμοποιώντας την έτοιμη εντολή hist του 18

Matlab. Το ιστόγραμμα δίνεται στο Σχήμα 5.7 μαζί με την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτού. Σχήμα 5.7: Το ιστόγραμμα του Σχήματος 5.6. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας απεικονίζεται με την στικτή κόκκινη γραμμή. Στο ιστόγραμμα του Σχήματος 5.7 υπάρχουν κάποια χαρακτηριστικά σημεία, όπως για παράδειγμα τα μέγιστα στα -18mV, 0mV και 38mV όπως και το ελάχιστο στα 20mV. Χρειαζόμαστε να υπολογίσουμε μια στάθμη (level) πάνω από την οποία έχουμε εκπομπή. Με αυτό τον σκοπό κρατάμε την τιμή του ελαχίστου στα 20mV η οποία θα είναι μια στάθμη αναφοράς που θα χωρίζει την ηλεκτρική διαταραχή του Σχήματος 5.6 σε δύο επίπεδα, σε αυτό του σήματος και σε αυτό του υποβάθρου. Το πρόγραμμα που σχεδιάζει το ιστόγραμμα και υπολογίζει το level δίνεται στο Παράρτημα Β2. Οι τιμές που βρίσκονται στο κάτω επίπεδο θεωρούνται ως το ΜΤ υπόβαθρο το οποίο πρέπει να επαναπροσδιοριστεί καθώς κάποιες τιμές απουσιάζουν από την χρονοσειρά που θεωρούμε ως υπόβαθρο όπως επεξηγείται στο Σχήμα 5.8. 19

Σχήμα 5.8: Η στάθμη πάνω από την οποία έχω εκπομπή (level) παρουσιάζεται με την διακεκομμένη κόκκινη γραμμή στα 20 mv. Οι τιμές κάτω από το level (area 2) θεωρούνται ως το MT υπόβαθρο (background points). Τα missing points, δηλαδή τα σημεία του κάτω επιπέδου στα οποία έχω εκπομπή, πρέπει να επαναπροσδιοριστούν με βάση ένα εκθετικό fitting. Οι παλμοί των SES έχουν μια μέση διάρκεια 11-14sec. Στα σημεία που λείπουν (missing points, Σχήμα 5.8) πρέπει να αντιστοιχίσουμε κάποια τιμή σε κάθε χρονική στιγμή δειγματοληψίας. Υποθέτουμε ότι η τιμή αυτή είναι ένας παρελθοντικός μέσος όρος με βάρος e -Δt/20, όμως τίθεται το ερώτημα πόσες προηγούμενες τιμές πρέπει να χρησιμοποιήσουμε. Ένας τρόπος να ζυγίσουμε αυτές τις τιμές είναι με την βοήθεια ενός εκθετικού fitting ξεκινώντας από το παρόν και προχωρώντας προς το παρελθόν. Συγκεκριμένα, έστω ότι η πρώτη τιμή που λείπει είναι η x 4. Μέσω του εκθετικού fitting αυτή θα γίνει: [5.1] 20

Τα ΜΤ σήματα έχουν περίοδο μερικών λεπτών ή το πολύ ένα λεπτό. Σε περίπτωση που κάποια ΜΤ διαταραχή παρεμβάλλεται στο προς ανάλυση σήμα η πάνω μέθοδος την εξουδετερώνει. Εφαρμόζοντας αυτό το εκθετικό fitting σε ολόκληρο το σήμα του Σχήματος 5.6 παίρνουμε στο Σχήμα 5.9 το εναπομένον ΜΤ υπόβαθρο. Σχήμα 5.9: Με μαύρο δίνεται το σήμα μετά την εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων όπως στο Σχήμα 5.6 και με κίτρινο το ΜΤ υπόβαθρο όπως υπολογίστηκε από το εκθετικό fitting. Για να προκύψει το τελικό σήμα το οποίο θα αναλύσουμε στον φυσικό χρόνο, αφαιρούμε απλά το MT υπόβαθρο οπότε παίρνουμε το Σχήμα 5.10. Το πρόγραμμα που εφαρμόζει το εκθετικό fitting και δίνει το τελικό σήμα (Σχήμα 5.10) δίνεται στο Παράρτημα Β3 το οποίο θα δέχεται ως είσοδο το level και το σήμα του Σχήματος 5.6. 21

Σχήμα 5.10: Το τελικό σήμα μετά την αφαίρεση του ΜΤ υποβάθρου. Εφαρμόζοντας τώρα την DFA στο τελικό σήμα του Σχήματος 5.10 παίρνουμε έναν συντελεστή κλιμάκωσης α=0.97, γεγονός που υποδηλώνει ότι το σήμα παρουσιάζει συσχέτιση μακράς εμβέλειας. Να σημειωθεί ότι η τιμή αυτή είναι πολύ κοντά με εκείνη της βιβλιογραφίας για το συγκεκριμένο σήμα α=1.05 (Varotsos et al 2009). Η ευθεία της DFA δίνεται στο Σχήμα 5.11 όπου χρησιμοποιήθηκαν κουτιά μήκους 10 έως 40 δευτερολέπτων. Το πρόγραμμα για την DFA μπορεί να βρεθεί στο file exchange της ιστοσελίδας www.mathworks.com. Το πρόγραμμα έδινε αποτελέσματα μόνο για χρονοσειρές διάρκειας μεγαλύτερης των 2000sec. Τροποποίηση αυτού όπως χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία δίνεται στο Παράρτημα Β4. 22

Σχήμα 5.11: Η DFA του σήματος του Σχήματος 5.10. Προκειμένου να ταξινομήσουμε το σήμα, να εξακριβώσουμε δηλαδή αν πρόκειται για SES ή για ανθρωπογενή θόρυβο, το αναλύουμε στο πεδίο του φυσικού χρόνου. Για να γίνει αυτό πρέπει να ξεχωρίσουμε τους διαφορετικούς παλμούς του Σχήματος 5.10 με τον ακόλουθο τρόπο (Varotsos et al. 2009): Ένας παλμός ξεκινά όταν το πλάτος περάσει κάποια συγκεκριμένη τιμή κατωφλίου και τελειώνει όταν το πλάτος πέσει κάτω από αυτό το κατώφλι. Επειδή το συγκεκριμένο σήμα που εξετάζουμε δεν είναι δίτιμο (δηλαδή δεν αποτελείται από δύο στάθμες που καθορίζουν την εκπομπή ή όχι του καναλιού και στις οποίες αντιστοιχίζονται οι τιμές 1 και 0 αντίστοιχα) ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα τις διάρκειες των παλμών, μπορούμε αντί αυτών να χρησιμοποιήσουμε το άθροισμα της στιγμιαίας ισχύος P κατά την διάρκεια ενός παλμού για να βρούμε τα Q k της ανάλυσης σε φυσικό χρόνο (βλ. Κεφάλαιο 2). Στο Σχήμα 5.12 φαίνεται το ιστόγραμμα της στιγμιαίας ισχύος του σήματος του Σχήματος 5.10. Η στιγμιαία ισχύς P υπολογίζεται τετραγωνίζοντας το πλάτος του σήματος. 23

Σχήμα 5.12: Το ιστόγραμμα της στιγμιαίας ισχύος του Σχήματος 5.8 Στο Σχήμα 5.12 παρατηρούμε δύο κορυφές. Η πρώτη κορυφή για P<500μV 2 Hz καθορίζει την περίοδο όπου το κανάλι του Σχήματος 5.10 είναι κλειστό. Για να βρούμε τις διάρκειες Q k επιλέγουμε μια τιμή κατωφλίου για το P κοντά στην δεύτερη κορυφή του Σχήματος 5.12. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα P thres =1400μV 2 Hz. Το πρόγραμμα που σχεδιάζει το παραπάνω ιστόγραμμα από το οποίο προκύπτει το κατώφλι της στιγμιαίας ισχύος, δίνεται στο Παράρτημα Β5 και δέχεται ως είσοδο το σήμα του Σχήματος 5.10. Η στιγμιαία ισχύς με το κατώφλι της φαίνεται στο Σχήμα 5.13. 24

Σχήμα 5.13: Η στιγμιαία ισχύς P με το κατώφλι της (οριζόντια ευθεία στα 1400μV 2 Hz) Ξεκινώντας από την αρχή του σήματος (Σχήμα 5.10), συγκρίνουμε το P με το P thres και όταν P>P thres αρχίζουμε να αθροίζουμε τα P μέχρι να πέσουν κάτω από την τιμή κατωφλίου για πρώτη φορά οπότε ορίζουμε k=1. Αυτό το άθροισμα θα είναι η διάρκεια Q 1 κ.ο.κ. Τελικά, η αναπαράσταση του σήματος στον φυσικό χρόνο φαίνεται στο Σχήμα 5.14. Σχήμα 5.14: Αναπαράσταση του σήματος του Σχήματος 5.10 στον φυσικό χρόνο. 25

Τέλος, επιλέγοντας τυχαία τιμές για το P thres κοντά στην δεύτερη κορυφή του Σχήματος 5.12 και κάνοντας ανάλυση σε φυσικό χρόνο, έχουμε για τις μέσες τιμές του πλήθους των παλμών N και των παραμέτρων κ 1, S, S_ τα αποτελέσματα του Πίνακα 5.1. Πίνακας 5.1: Τα αποτελέσματα της ανάλυσης σε φυσικό χρόνο του σήματος του Σχήματος 5.10, όπου <Ν> το πλήθος των παλμών για P>P thres. P thres (μv 2 Hz) <N> <κ 1 > <S> <S_> 600-2300 912±430 0.074±0.004 0.089±0.009 0.079±0.006 1200-1700 928±151 0.071±0.001 0.085±0.005 0.077±0.005 Υπενθυμίζουμε ότι για τα SES ισχύει κ 1 =0.07 και S, S - <S u =0.0966. Παρατηρώντας τις τιμές του Πίνακα 5.1 και συγκρίνοντας τες με αυτές της θεωρίας για τα SES βλέπουμε ότι για οποιοδήποτε P thres κι αν επιλέξουμε το σήμα εμπίπτει στην κατηγορία των SES. Το πρόγραμμα που κάνει την ανάλυση στον φυσικό χρόνο παρατίθεται στο Παράρτημα Β6. 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ SES ΜΙΚΡΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Εφαρμόζουμε την μέθοδο του Κεφαλαίου 5 (εκθετικό fitting) σε ένα σήμα μικρής διάρκειας (600sec) προκειμένου να διαχωρίσουμε το ηλεκτρικό σήμα από τον θόρυβο. Το προς ανάλυση σήμα δίνεται στο Σχήμα 6.1, καταγράφηκε στον σταθμό του Βόλου στις 21/11/2012 και προηγήθηκε του σεισμού της 28/4/2013 μεγέθους 4.6R στην περιοχή 38.26 ο Ν, 22.22 ο Ε (βλ. Σχήμα 5.2). Σχήμα 6.1: Το προς ανάλυση, μικρής διάρκειας σήμα Εφαρμόζοντας την μέθοδο του εκθετικού fitting (βλ. σελίδες 17-20) για να προσδιορίσουμε το υπόβαθρο, προκύπτει το ιστόγραμμα του Σχήματος 6.2 από όπου προσδιορίζουμε το level στην τιμή 22. Το πρόγραμμα που σχεδιάζει το ιστόγραμμα και υπολογίζει το level δίνεται στο Παράρτημα Β2. 27

Σχήμα 6.2: Το ιστόγραμμα του Σχήματος 6.1. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας απεικονίζεται με την στικτή κόκκινη γραμμή. Το level θεωρείται στην περιοχή του ελαχίστου, level=21-26. Το σήμα μαζί με το υπόβαθρό του μετά την εφαρμογή του εκθετικού fitting δίνεται στο Σχήμα 6.3, ενώ το τελικό σήμα μετά την αφαίρεση του υποβάθρου απεικονίζεται στο Σχήμα 6.4. Έχει χρησιμοποιηθεί ως παράδειγμα level=22. Σχήμα 6.3: Το σήμα του Σχήματος 6.1 μαζί με το υπόβαθρό του (ροζ γραμμή). 28

Σχήμα 6.4: Το σήμα μετά την αφαίρεση του υποβάθρου. Το πρόγραμμα που εφαρμόζει το εκθετικό fitting και δίνει το τελικό σήμα (Σχήμα 6.4) δίνεται στο Παράρτημα Β3 το οποίο θα δέχεται ως είσοδο το level και το σήμα του Σχήματος 6.1. Το σήμα αυτό (Σχήμα 6.4) δεν εμφανίζει την πολυπλοκότητα εκείνου του Κεφαλαίου 5 (Σχήμα 5.10) και επομένως είναι πιο εύκολο να υπολογιστούν οι διάρκειες του κάθε παλμού για την ανάλυση στον φυσικό χρόνο χωρίς την χρήση της στιγμιαίας ισχύος. Με το σκοπό αυτό εργαζόμαστε ως εξής: Αρχικά αλλάζουμε κλίμακα στο Σχήμα 6.4 ώστε το σήμα να βρίσκεται στο διάστημα [0,1] για καλύτερη απεικόνιση. Αν DATA τα δεδομένα μας, τότε η αλλαγή κλίμακας γίνεται από την σχέση [6.1] όπου min και max η ελάχιστη και μέγιστη τιμή αντίστοιχα. Στη συνέχεια ορίζουμε μια τιμή κατωφλίου στον κατακόρυφο άξονα y thres =0.5 και διαβάζουμε το σήμα συγκρίνοντας τις τιμές του με εκείνη του κατωφλίου. Αν οι τιμές του σήματος είναι μεγαλύτερες από το κατώφλι τότε σε αυτές τις χρονικές στιγμές θεωρούμε ότι το κανάλι εκπέμπει και αντιστοιχίζουμε την μονάδα ενώ οπουδήποτε αλλού αντιστοιχίζουμε το 29

μηδέν. Με αυτή την διαδικασία μετατρέπουμε το σήμα μας σε δίτιμο, δηλαδή σε σήμα που αποτελείται από σειρές μηδενικών και άσσων. Οι διάρκειες του κάθε παλμού θα προκύπτουν ως το άθροισμα των διαδοχικών άσσων. Το σήμα υπό την αλλαγή της κλίμακας μαζί με το δίτιμο σήμα που θα προκύψει απεικονίζονται στο Σχήμα 6.5. Βλέπουμε ότι η έναρξη και το τέλος κάθε παλμού είναι ίδια για καθένα από τα δύο σήματα οπότε δεν έχει γίνει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς. Σχήμα 6.5: Το σήμα απεικονίζεται με κόκκινο και το δίτιμο σήμα με μπλε. Υπάρχει καλή σύμπτωση τις χρονικές στιγμές έναρξης και λήξης του εκάστοτε παλμού. Από τις υπολογιζόμενες διάρκειες μέσω του δίτιμου σήματος (άθροισμα διαδοχικών άσσων) υπολογίζονται οι παράμετροι του φυσικού χρόνου: κ 1 =0.062±0.006 S=0.080±0.007 S_=0.057±0.007 Οι παραπάνω τιμές είναι εντός των ορίων που προκύπτουν από την βιβλιογραφία (Varotsos et al 2011, Chapter 4, Table 4.1) όπου η μικρότερη τιμή κ 1 που έχει μετρηθεί για τα SES είναι 0.063±0.003, άρα προκύπτει ότι το σήμα εμπίπτει στην κατηγορία των SES. Το πρόγραμμα που κάνει την μετατροπή σε δίτιμο σήμα και την ανάλυση στον φυσικό χρόνο δίνεται στο Παράρτημα Β7 και δέχεται ως είσοδο το σήμα του Σχήματος 6.4, δηλαδή την έξοδο του προγράμματος background. 30

Στη συνέχεια, προκειμένου να εκτιμήσουμε το σφάλμα στην ανάγνωση του σήματος και υποθέτοντας ένα σφάλμα ενός δείγματος σε κάθε μέτρηση του χρόνου, προσθέτουμε θόρυβο στις μετρήσεις των διαρκειών παίρνοντας δυο μεταβλητές με την μέθοδο Box-Muller (Box and Muller 1958) ως εξής: Αν u,v προέρχονται από την ομοιόμορφη κατανομή (0,1) θεωρούμε [6.2] οπότε παίρνουμε μια κατανομή Gauss με μέση τιμή μηδέν και τυπική απόκλιση ένα. Ορίζοντας την τυπική απόκλιση π.χ. σ=0.3 samples, προκύπτει μια νέα μεταβλητή g=σ*g 0 την οποία και προσθέτουμε στις αρχικές διάρκειες ώστε Q k =Q k +g. Τέλος, για εκατό επαναλήψεις εισαγωγής "θορύβου" -όπως περιγράφθηκε παραπάνω-, γίνεται η ανάλυση στον φυσικό χρόνο και υπολογίζονται οι ποσότητες κ 1, S, S_. Κατόπιν, υπολογίζονται οι τυπικές αποκλίσεις καθενός από τα ανωτέρω μεγέθη και προκύπτει το σφάλμα τους ως το τριπλάσιο της τυπικής τους απόκλισης. Το πρόγραμμα που υπολογίζει τα σφάλματα δίνεται στο Παράρτημα Β8 και δέχεται ως είσοδο τις διάρκειες των παλμών. Μπορούμε να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα αυτά με εκείνα που προκύπτουν από την ανάλυση στον φυσικό χρόνο χρησιμοποιώντας το άθροισμα της στιγμιαίας ισχύος P κατά την διάρκεια ενός παλμού όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 5 (σελίδες 22-24 της παρούσας εργασίας). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν με την χρήση της στιγμιαίας ισχύος είναι: κ 1 =0.0626±0.0002 S=0.0789±0.0002 S_=0.0593±0.0003 Συγκρίνοντας τις τιμές των παραμέτρων της ανάλυσης στον φυσικό χρόνο όπως υπολογίστηκαν και με τις δυο μεθόδους βλέπουμε ότι συμπίπτουν μέσα στα όρια των σφαλμάτων τους, επομένως οι δύο μέθοδοι είναι συμβατές. Τέλος εφαρμόζεται στο τελικό σήμα του Σχήματος 6.4 η DFA από όπου προκύπτει ο συντελεστής κλιμάκωσης α=0.88, μεγαλύτερος της τιμής 0.50 του τεχνητού θορύβου. Άρα το σήμα παρουσιάζει συσχέτιση μακράς εμβέλειας. Η DFA απεικονίζεται στο Σχήμα 6.6. 31

Σχήμα 6.6: Η DFA του σήματος του Σχήματος 6.4 Το πρόγραμμα για την DFA μπορεί να βρεθεί στο file exchange της ιστοσελίδας www.mathworks.com. Το πρόγραμμα έδινε αποτελέσματα μόνο για χρονοσειρές διάρκειας μεγαλύτερης των 2000sec. Τροποποίηση αυτού όπως χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία δίνεται στο Παράρτημα Β4. 32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ HUANG- HILBERT (HH TRANSFORM) Κατά την ανάλυση δεδομένων που προέρχονται από φυσικές μετρήσεις υπεισέρχονται κάποια προβλήματα όπως η μη γραμμικότητα και η μη στασιμότητα των χρονοσειρών, που η παραδοσιακή ανάλυση Fourier δεν μπορεί να αντιμετωπίσει. Μια χρονοσειρά θεωρείται στάσιμη αν ισχύουν (Huang et al. 1998) για κάθε t: [7.1] [7.2] [7.3] όπου Ε η αναμενόμενη τιμή και C η συνάρτηση συνδιακύμανσης. Μια καινούρια μέθοδος ανάλυσης μη στάσιμων χρονοσειρών εισήχθη από τον Huang η οποία συνδυάζεται με τον μετασχηματισμό Hilbert. Η μέθοδος του Huang είναι γνωστή ως Empirical Mode Decomposition (εν συντομία EMD) η οποία σπάει την αρχική χρονοσειρά σε κάποιες συναρτήσεις που ονομάζονται Intrinsic Mode Functions (εν συντομία IMFs) από τις οποίες μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για την συχνότητα των σημάτων και, σε συνδυασμό με τον μετασχηματισμό Hilbert, να πάρουμε το φάσμα τους. Πιο συγκεκριμένα, η μέθοδος επιχειρεί να αναλύσει μη στάσιμες χρονοσειρές τοπικά υπολογίζοντας στιγμιαίες συχνότητες και πλάτη. Ο μετασχηματισμός Hilbert για μια συνάρτηση x(t) δίνεται από (Barnhart, 2011): [7.4] όπου PV η πρωτεύουσα τιμή του ολοκληρώματος κατά τον Cauchy. Η αρχική χρονοσειρά και ο μετασχηματισμός της κατά Hilbert αποτελούν το πραγματικό και φανταστικό μέρος αντίστοιχα μιας αναλυτικής συνάρτησης ως εξής: [7.5] 33

όπου Α(t)=(x 2 + 1/2 τα στιγμιαία πλάτη και θ(t)=arctan( οι στιγμιαίες φάσεις. Έτσι προκύπτουν οι στιγμιαίες συχνότητες από τον τύπο (Barnhart, 2011): [7.6] Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Hilbert είναι οι εξής (Kschischang, 2006): 1. Ο μετασχηματισμός Hilbert είναι γραμμικός, δηλαδή για σήματα g 1, g 2 ισχύει: [7.7] όπου α 1, α 2 αυθαίρετοι μιγαδικοί αριθμοί. 2. Για ένα σταθερό σήμα ισχύει. 3. H g(t-t 0 ) έχει μετασχηματισμό Hilbert και η g(αt) έχει μετασχηματισμό Hilbert όπου sgn η συνάρτηση προσήμου. Οι ιδιότητες αυτές αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως time-shifting και time-dilation αντίστοιχα (Kschischang, 2006). 4. Για την παράγωγο ενός σήματος ισχύει: [7.8] 7.1. ΕΝΔΟΓΕΝΗΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (INTRINSIC MODE FUNCTION, IMF) Η IMF είναι μια συνάρτηση η οποία πρέπει να ικανοποιεί δύο συνθήκες (Huang et al. 1998). Πρώτον, ο αριθμός των ακροτάτων της και ο αριθμός των σημείων στα οποία η συνάρτηση μηδενίζεται πρέπει να είναι ίδιος ή να διαφέρει το πολύ κατά ένα. Δεύτερον, σε κάθε σημείο η μέση τιμή των περιγραμμάτων που σχηματίζουν τα τοπικά ακρότατα πρέπει να είναι μηδέν και αυτό για να αποφύγουμε τυχόν διακυμάνσεις που προκύπτουν από μη συμμετρικές κυματομορφές. Με αυτό τον ορισμό η ΙMF είναι μια συνάρτηση η οποία μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών θα παρουσιάζει μόνο έναν τρόπο ταλάντωσης. Επίσης, δεν θα περιορίζεται σε ένα στενό εύρος τιμών αλλά θα είναι δυνατό η συχνότητα και το πλάτος της να διαμορφωθούν καταλλήλως, μπορεί δηλαδή να είναι μη στάσιμη. 34

Αν εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Hilbert σε μια IMF τότε προκύπτουν τα στιγμιαία πλάτη και συχνότητες όπως προκύπτουν από τις σχέσεις 7.5-7.6. Να σημειώσουμε ότι ακόμη και μια μονότονη συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως τμήμα κάποιας ταλάντωσης και να έχει μια στιγμιαία συχνότητα. 7.2. ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΕΝΔΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (EMPIRICAL MODE DECOMPOSITION, EMD) Το πρώτο βήμα πριν εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Hilbert είναι να διαχωρίσουμε την αρχική χρονοσειρά στις IMFs της, δηλαδή σε συναρτήσεις οι οποίες στην ίδια κλίμακα χρόνου έχουν διαφορετικό εύρος συχνοτήτων. Η αποσύνθεση αυτή, γνωστή ως Empirical Mode Decomposition (EMD) στηρίζεται στις εξής παραδοχές (Huang et al 1998): 1. Η χρονοσειρά έχει τουλάχιστον δυο ακρότατα-ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο. 2. Η χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου προσδιορίζεται από το πόσος χρόνος πέρασε μεταξύ των ακροτάτων και όχι μεταξύ των διαδοχικών μηδενισμών και αυτό για να μπορεί η μέθοδος να εφαρμοστεί σε δεδομένα που δεν παίρνουν ποτέ την τιμή μηδέν. 3. Αν τα δεδομένα δεν έχουν ακρότατα τότε αυτά μπορούν να προκύψουν με μια ή περισσότερες παραγωγίσεις του αρχικού σήματος. Η διαδικασία διαλογής (sifting) είναι η εξής (Huang et al. 1998): Αρχικά προσδιορίζουμε όλα τα μέγιστα και τα ενώνουμε μεταξύ τους με ένα κυβικό spline οπότε προκύπτει ένας φάκελος (upper envelope). Κάνουμε το ίδιο για όλα τα ελάχιστα οπότε προκύπτει ένας δεύτερος φάκελος (lower envelope). Οι δύο φάκελοι πρέπει να περιέχουν μεταξύ τους όλα τα δεδομένα. Στην συνέχεια προσδιορίζουμε την μέση τιμή m των δύο φακέλων ως εξής: [7.2.1] συνιστώσα h, Αφαιρώντας αυτή την μέση τιμή από το αρχικό σήμα (έστω Χ(t)) προκύπτει μια [7.2.2] 35

Η h(t) που προκύπτει δεν είναι IMF γιατί, ακόμα και αν η διαδικασία ήταν τέλεια, μια μικρή κλίση της καμπύλης θα μπορούσε να μεγεθυνθεί ώστε να φαίνεται ως τοπικό ακρότατο. Τα ακρότατα που προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο μπορούν να δώσουν τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης και, επαναλαμβάνοντας το sifting, να προκύψουν κύματα μικρού πλάτους. Ένα άλλο πρόβλημα που προκύπτει (Huang et al. 1998) είναι ότι η μέση τιμή των φακέλων μπορεί να είναι διαφορετική από την πραγματική τοπική μέση τιμή για μη γραμμικά δεδομένα. Αυτό συνεπάγεται ότι κάποιες μη συμμετρικές κυματομορφές μπορεί ακόμα να υπάρχουν όσες φορές και αν επαναλάβουμε την διαδικασία. Ένα πρακτικό πρόβλημα είναι ότι το κυβικό spline στα άκρα του σήματος μπορεί να παρουσιάζει μεγάλες ταλαντεύσεις οι οποίες μπορεί να διαδοθούν προς το εσωτερικό του σήματος και να το αλλοιώσουν. Ακόμα όμως και με αυτά τα προβλήματα η διαδικασία είναι σε θέση να εξάγει τις βασικές κλίμακες από τα δεδομένα. Η διαδικασία του sifting συνεχίζεται μεταχειρίζοντας την συνιστώσα h ως δεδομένα, οπότε υπολογίζονται ξανά οι φάκελοι και η μέση τιμή τους και εξάγουμε μια h κ.ο.κ. Η διαδικασία θα σταματά όταν μία από τις συνιστώσες h που προκύπτουν ικανοποιεί τον ορισμό της IMF, δηλαδή έχει μηδενική μέση τιμή και το πλήθος των ακροτάτων και το πλήθος των μηδενισμών διαφέρουν το πολύ κατά ένα (Barnhart, 2011). Η πρώτη IMF θα είναι η τελευταία συνιστώσα h που προκύπτει οπότε ορίζουμε c=h [7.2.3] Η πρώτη αυτή IMF θα περιέχει την μικρότερη περίοδο του σήματος. Στη συνέχεια, η IMF αφαιρείται από το αρχικό σήμα και η διαδικασία επαναλαμβάνεται από την αρχή με το υπόλοιπο (res) ως δεδομένα: res=x(t)-c [7.2.4] Το υπόλοιπο θα περιέχει ακόμα πληροφορία για τις συνιστώσες με μεγαλύτερη περίοδο. Να σημειωθεί ότι ακόμα και για δεδομένα με μηδενική μέση τιμή το τελικό υπόλοιπο μπορεί να είναι διάφορο του μηδενός και να αντιπροσωπεύει την τάση (trend) του σήματος. Τέλος το αρχικό σήμα μπορεί να ανασυντεθεί ως εξής: [7.2.5] 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ HUANG-HILBERT ΣΕ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ SES ΜΙΚΡΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Το σήμα που χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση φαίνεται στο Σχήμα 8.1 και καταγράφηκε στον σταθμό του Βόλου στις 21/11/2012. Στο Σχήμα 8.2 έχει απομονωθεί μια μικρή περιοχή του σήματος όπου διακρίνονται οι upper και lower envelopes και η μέση τιμή του σήματος όπως προκύπτει από το ημιάθροισμα αυτών. Τα αποτελέσματα εξάγονται με χρήση του προγραμματιστικού περιβάλλοντος του MATLAB. Σχήμα 8.1: Το προς ανάλυση σήμα για την εξαγωγή των IMF. Οι τιμές στον κατακόρυφο άξονα έχουν τροποποιηθεί ώστε να έχουν μέση τιμή μηδέν και τυπική απόκλιση 1. Σχήμα 8.2: Τμήμα του σήματος (μπλε συνεχόμενη γραμμή) του Σχήματος 8.1. Ο upper envelope απεικονίζεται με την κόκκινη συνεχή γραμμή ενώ ο lower envelope με την ροζ συνεχή γραμμή. Η μέση τιμή δίνεται με την 37

μαύρη στικτή γραμμή. Βλέπουμε ότι οι δυο envelopes δεν αλληλεπικαλύπτονται και ότι περιέχουν ανάμεσά τους όλα τα δεδομένα. Ακολουθεί η διαδικασία της διαλογής (sifting) από όπου εξάγονται οι IMFs του σήματος του Σχήματος 8.1. Το πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε για την εξαγωγή των IMF μπορεί να βρεθεί στο file exchange της ιστοσελίδας www.mathworks.com. Τα αποτελέσματα απεικονίζονται στο Σχήμα 8.3. 38

Σχήμα 8.3: Το σήμα και οι IMF του. Η τελευταία IMF αντιπροσωπεύει την τάση του σήματος (trend). Από το Σχήμα 8.3 βλέπουμε ότι κάθε μία από τις IMF περιέχει περιοδικές μεταβολές του σήματος, παρά το γεγονός ότι το αρχικό σήμα δεν ήταν στάσιμο. Η πρώτη IMF αντιπροσωπεύει την ταλάντωση με τις μεγαλύτερες συχνότητες (μικρότερες περιόδους) και θέλουμε να προσδιορίσουμε αν αποτελεί θόρυβο ή περιέχει πληροφορίες για το σήμα. Αφαιρώντας την από το αρχικό σήμα προκύπτει το Σχήμα 8.4. 39

Σχήμα 8.4: Το αρχικό σήμα (μπλε στικτή γραμμή), η IMF1 (ροζ στικτή γραμμή) και η διαφορά τους (πράσινη συνεχής γραμμή). Ανάγοντας την διαφορά (πράσινη γραμμή του Σχήματος 8.4) σε δίτιμο σήμα με την μέθοδο που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 6 και κάνοντας ανάλυση στον φυσικό χρόνο προκύπτουν: κ 1 =0.061±0.006 S=0.079±0.005 S_=0.056±0.009 Ανάλυση σε φυσικό χρόνο των 600 τελευταίων δευτερολέπτων του ίδιου σήματος έγινε και στο Κεφαλαίο 6 όπου είχαν προκύψει: κ 1 =0.062±0.006 S=0.080±0.007 S_=0.057±0.007 Βλέπουμε ότι υπάρχει πολύ καλή σύμπτωση των τιμών. Άρα αφαιρώντας την συνιστώσα με την υψηλότερη συχνότητα από το σήμα δεν χάθηκαν οι σημαντικοί παλμοί του σήματος που αντιπροσωπεύουν τις εκπομπές. Η IMF1 είναι η συνιστώσα με την υψηλότερη 40

συχνότητα που περιέχεται στο σήμα και αφαιρώντας την παίρνουμε το προσεισμικό ηλεκτρικό σήμα. Στο Σχήμα 8.5 φαίνεται η περαιτέρω ανάλυση της IMF1 όπου υπολογίστηκε το στιγμιαίο πλάτος μέσω του μετασχηματισμού Hilbert. Το πρόγραμμα που υπολογίζει τα στιγμιαία πλάτη των IMF και κάνει τον μετασχηματισμό Hilbert παρατίθεται στο Παράρτημα Β9. Σχήμα 8.5: Ανάλυση της IMF1. Απεικονίζονται με την σειρά: Το σήμα, η IMF1, ο μετασχηματισμός Hilbert, το στιγμιαίο πλάτος. Προκειμένου να ελέγξουμε αν οι IMF που εξήχθησαν αντιπροσωπεύουν όλες τις συνιστώσες που είναι κρυμμένες στο αρχικό σήμα, πρέπει το άθροισμα τους να ανασυνθέτει το σήμα όπως δηλώνει η σχέση [7.2.5]. Η διαδικασία δίνεται σχηματικά στο Σχήμα 8.6, όπου η ανασύνθεση γίνεται σταδιακά προκειμένου να διαπιστωθεί η συνεισφορά στην ενέργεια του ολικού σήματος από τις IMF υψηλότερης συχνότητας. 41

Σχήμα 8.6: Το αρχικό σήμα (μπλε στικτή γραμμή). Με την κόκκινη συνεχή γραμμή αναπαρίσταται το άθροισμα των IMF a)7-9, b)4-9, c)2-9, d)1-9. Η πλήρη σύμπτωση των γραμμών στο Σχήμα d δηλώνει ότι πράγματι οι εξαγόμενες IMF μπορούν να αναπαραστήσουν πλήρως το σήμα. Από το Σχήμα 8.6 βλέπουμε ότι την στιγμή που αθροίζουμε τις IMF μέχρι και την IMF2 (Σχήμα 8.6c) έχουμε ουσιαστικά ανακτήσει τις σημαντικές συνεισφορές στην ενέργεια. Η συνιστώσα με την υψηλότερη συχνότητα (IMF1) προσφέρει ελάχιστα στην ολική ενέργεια. Η πλήρη σύμπτωση των γραμμών στο Σχήμα 8.6d δηλώνει ότι πράγματι οι εξαγόμενες IMF μπορούν να αναπαραστήσουν πλήρως το σήμα. Το πρόγραμμα που κάνει την ανασύνθεση δίνεται στο Παράρτημα Β10. Ένας έλεγχος για το ποιες από τις IMF αντιπροσωπεύουν καλύτερα το σήμα και προσεγγίζουν τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 6, δηλαδή κ 1 =0.062±0.006, S=0.080±0.007, S_=0.057±0.007, είναι να αναλύσουμε στον φυσικό χρόνο αθροίσματα IMF. Η ανάλυση έγινε με την μέθοδο της αναγωγής των σημάτων σε δίτιμα όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 6 και προκύπτει ο Πίνακας 8.1. Να σημειωθεί ότι εξετάζουμε τα τελευταία 600sec των IMF ώστε τα αποτελέσματα να είναι συγκρίσιμα με αυτά του Κεφαλαίου 6. Στο Σχήμα 8.7 φαίνονται τα 42

αθροίσματα των IMF μαζί με τα δίτιμα σήματα από τα οποία υπολογίστηκαν οι διάρκειες της ανάλυσης στον φυσικό χρόνο. Σχήμα 8.7: Τα δίτιμα σήματα (μπλε συνεχής γραμμή) και τα αθροίσματα IMF (κόκκινη στικτή γραμμή): a)1-3, b) 1-5, c) 1-9, d)2-4, e) 2-9, f) 3-9. Πίνακας 8.1: Ανάλυση στον φυσικό χρόνο αθροισμάτων IMF. IMF που κ 1 S S_ αθροίστηκαν 1 0.077±0.008 0.087±0.012 0.086±0.018 1-3 0.074±0.003 0.073±0.005 0.097±0.003 1-5 0.081±0.004 0.104±0.006 0.077±0.005 1-9 0.060±0.012 0.075±0.014 0.052±0.017 2-4 0.080±0.003 0.080±0.005 0.098±0.002 2-9 0.062±0.014 0.078±0.012 0.056±0.016 3-9 0.056±0.006 0.069±0.004 0.050±0.010 43

Από τον Πίνακα 8.1 προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: Αν αναλύσουμε σε φυσικό χρόνο το άθροισμα όλων των IMF (1-9), στην ουσία είναι σαν να αναλύουμε το αρχικό σήμα (Σχήμα 8.1) όπως έχει αποδειχθεί και στο Σχήμα 8.6d. Οι τιμές των παραμέτρων του φυσικού χρόνου αρχίζουν να προσεγγίζουν εκείνες του Κεφαλαίου 6 όμως στα δεδομένα εμπεριέχεται ακόμα θόρυβος. Καλύτερη προσέγγιση των τιμών υπάρχει αναλύοντας μόνο τις IMF 2-9, αφαιρώντας δηλαδή την υψηλότερης συχνότητας συνιστώσα (IMF1). Τέλος, αφαιρώντας από τους υπολογισμούς και την IMF2, παίρνοντας δηλαδή μόνο τις IMF3-9, βλέπουμε ότι οι παράμετροι της ανάλυσης στον φυσικό χρόνο έχουν μειωθεί σημαντικά, άρα έχουμε χάσει πληροφορία για το σήμα. Ζωγραφίζοντας στο ίδιο διάγραμμα τα αθροίσματα των IMF του Πίνακα 8.1 και το αρχικό σήμα προκύπτει το Σχήμα 8.8. Σχήμα 8.8: Τα τελευταία 600sec του αρχικού σήματος (μπλε στικτή γραμμή) και τα αθροίσματα IMF (κόκκινη συνεχής γραμμή): a)1-3, b) 1-5, c) 1-9, d)2-4, e) 2-9, f) 3-9 σε αντιστοιχία με τον Πίνακα 8.1. 44

Από το Σχήμα 8.8, πλήρη σύμπτωση των γραμμών υπάρχει μόνο στο Σχήμα 8.8c όπου αθροίζονται όλες οι IMF. Το αρχικό σήμα (μπλε γραμμή) περιείχε ήδη ένα υπόβαθρο όπως υπολογίστηκε στο Κεφάλαιο 6 (Σχήμα 6.3) άρα και στο άθροισμα όλων των IMF θα περιέχεται κάποιος θόρυβος. Επομένως, η ανάλυσή του στον φυσικό χρόνο δεν θα δίνει τις τιμές των παραμέτρων του καθαρού προσεισμικού ηλεκτρικού σήματος. Καλή σύμπτωση υπάρχει στο Σχήμα 8.8e όσο αφορά στους παλμούς του σήματος, όπου όμως η διαδικασία της διαλογής (sifting) προσδίδει κάποιες λανθασμένες εκτιμήσεις στις τιμές των ακροτάτων με χαρακτηριστικότερη αυτή κοντά στα 750sec. Το πρόβλημα αυτό οφείλεται στο cubic spline και στον υπολογισμό των μέσων τιμών των φακέλων όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7 (σελ. 35 της παρούσας εργασίας) και δεν επηρεάζει τα βασικά χαρακτηριστικά του σήματος. Άρα τόσο σχηματικά (Σχήμα 8.8e) όσο και υπολογιστικά (Πίνακας 8.1) το άθροισμα των IMF 2-9 αντιπροσωπεύει καλύτερα το προσεισμικό ηλεκτρικό σήμα. 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ HILBERT Στο παρόν κεφάλαιο αναλύουμε στον φυσικό χρόνο το τετράγωνο του στιγμιαίου πλάτους της IMF το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ανάλογο της στιγμιαίας ισχύος της κάθε IMF. Τα στιγμιαία πλάτη δίνονται από την σχέση Α(t)=(x 2 + 1/2 και φαίνονται στο Σχήμα 9.1. Όπως έχει ήδη αναφερθεί στην σχέση [7.5], η IMF και ο μετασχηματισμός της κατά Hilbert αποτελούν το πραγματικό και φανταστικό μέρος αντίστοιχα μιας αναλυτικής συνάρτησης. Από αυτήν την σχέση προκύπτει ότι το στιγμιαίο πλάτος μπορεί να δοθεί και ως η απόλυτη τιμή της αναλυτικής συνάρτησης, δηλαδή, εφόσον ισχύει ότι Η στιγμιαία ισχύς της IMF είναι το τετράγωνο του πλάτους της (υπενθυμίζουμε ότι η στιγμιαία ισχύς ενός σήματος υπολογίζεται τετραγωνίζοντας το πλάτος του σήματος), δηλαδή P= =(x(t)) 2 αφού το x αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς. Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει τελικά ότι η στιγμιαία ισχύς σχετίζεται με το στιγμιαίο πλάτος της αναλυτικής συνάρτησης μέσω της σχέσης P= Η μέθοδος είναι η εξής: Αθροίζουμε τις IMF και στην συνέχεια μέσω του μετασχηματισμού Huang-Hilbert βρίσκουμε τα στιγμιαία πλάτη του εκάστοτε αθροίσματος. Κατόπιν υψώνουμε τα στιγμιαία πλάτη στο τετράγωνο και προχωράμε στην ανάλυση στον φυσικό χρόνο. Αρχικά τρέχουμε το πρόγραμμα του Παραρτήματος Β5 με είσοδο τα εκάστοτε στιγμιαία πλάτη. Από εκεί βρίσκουμε το κατώφλι της στιγμιαίας ισχύος P thres. Στη συνέχεια τρέχουμε το πρόγραμμα του Παραρτήματος Β6 με είσοδο το κατώφλι που προέκυψε από το προηγούμενο πρόγραμμα. Δοκιμάζουμε αθροίσματα IMF για να δούμε ποια αντιπροσωπεύουν καλύτερα το σήμα. Προκύπτει ο Πίνακας 9.1. 46

Πίνακας 9.1: Ανάλυση σε φυσικό χρόνο στιγμιαίων πλατών αθροισμάτων IMF IMF που κ 1 S S_ αθροίστηκαν 1 0.078±0.005 0.064±0.008 0.064±0.009 1-3 0.067±0.002 0.068±0.003 0.071±0.004 1-9 0.062±0.006 0.083±0.008 0.060±0.006 2-4 0.0601±0.0009 0.0400±0.0008 0.0418±0.0005 2-9 0.067±0.007 0.081±0.006 0.063±0.007 3-9 0.082±0.005 0.083±0.005 0.083±0.007 Σχήμα 9.1: Τα στιγμιαία πλάτη των IMF Υπενθυμίζουμε ότι στο Κεφάλαιο 6 είχαμε βρει χρησιμοποιώντας την στιγμιαία ισχύ του σήματος αφού είχε αφαιρεθεί το υπόβαθρο κ 1 =0.0626±0.0002, S=0.0789±0.0002, S_=0.0593±0.0003. 47

Συγκρίνοντας τις τιμές αυτές με εκείνες του Πίνακα 9.1 για τα αθροίσματα IMF 1-9 και 2-9 βλέπουμε ότι υπάρχει καλή σύμπτωση των τιμών των παραμέτρων της ανάλυσης στον φυσικό χρόνο μέσα στα όρια του σφάλματός τους. Επομένως τα στιγμιαία πλάτη μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ένα μέτρο προσδιορισμού των παραμέτρων του φυσικού χρόνου και της κατηγοριοποίησης του σήματος σε SES ή θόρυβο. Στο Σχήμα 9.2 ζωγραφίζουμε το αρχικό σήμα σε σχέση με τα πλάτη αθροισμάτων IMF προκειμένου να δούμε και σχηματικά ποιά πλάτη αντιπροσωπεύουν καλύτερα το σήμα. Τέλος, στο Σχήμα 9.3 ζωγραφίζουμε τα ιστογράμματα των τετραγώνων των στιγμιαίων πλατών αθροισμάτων ΙΜF και την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτών από όπου υπολογίστηκε το κατώφλι για την ανάλυση στον φυσικό χρόνο. Σχήμα 9.2: Το αρχικό σήμα (μπλε στικτή γραμμή) και τα στιγμιαία πλάτη αθροισμάτων IMF (κόκκινη συνεχής γραμμή): a)1, b)1-3, c)1-9, d)2-4, e)2-9, f)3-9 48