ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙ ΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 017 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 3 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 017 ΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 3h00 (1:00-15:00) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΩΤ. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ 1.1 10 μ 1. 10 μ 1.3 10 μ 1.4 10 μ.1 15 μ. 15 μ 3.1 15 μ 3. 15 μ Σύνολο 100 μ
ΑΣΚΗΣΗ 1η ΑΣΚΗΣΗ 1 η (10%+10%+10%+10%) Στο Σχήμα 1 παρουσιάζεται η μέση τομή πετρελαιοφόρου πλοίου και στον Πίνακα 1 οι κύριες διαστάσεις και τα στοιχεία για τον υπολογισμό της ροπής αντίστασης της μέσης τομής του. Ως φαίνεται και στο Σχήμα 1 τα στοιχεία του πλοίου είναι από χάλυβα υψηλής αντοχής, επιτρεπόμενης τάσης 65 MPa σε περιοχή που εκτείνεται από το κατάστρωμα έως απόσταση 3 m από αυτό (περιοχή D) και από χάλυβα υψηλής αντοχής, επιτρεπόμενης τάσης 35 MPa σε περιοχή που εκτείνεται από τον πυθμένα έως απόσταση,5 m από αυτόν (περιοχή B). Τα υπόλοιπα κατασκευαστικά στοιχεία είναι από κοινό ναυπηγικό χάλυβα, επιτρεπόμενης τάσης 190 MPa (περιοχή M). Σχήμα 1 1.1. Ποια είναι η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή που μπορεί να φέρει η μέση τομή και ποιά είναι η κατανομή των τάσεων που τις προκαλεί; Να σχολιάσετε την απάντηση σας. 1. Ποιες είναι οι μέγιστες επιτρεπόμενες καμπτικές ροπές σε ήρεμο νερό που μπορεί να φέρει η διατομή; σελ από 17
1.3 Να επαναλάβετε τα ερωτήματα 1.1 και 1. αν οι δύο διαμήκεις φρακτές που βρίσκονται σε απόσταση 17 m αντικατασταθούν από μία φρακτή στο επίπεδο συμμετρίας του πλοίου, που έχει πάχος 48 mm και είναι κατασκευασμένη από χάλυβα υψηλής αντοχής, επιτρεπόμενης τάσης 35 MPa. Να σχολιάσετε την απάντηση σας. 1.4 Αν το πάχος του ελάσματος του πυθμένα αυξηθεί κατά 4 χιλιοστά σε πλάτος 0 m και το πάχος του ελάσματος του καταστρώματος αυξηθεί κατά 5 χιλιοστά σε πλάτος 38 m, να υπολογίσετε τη διαφορά της τάσης στο κατάστρωμα και τη διαφορά της τάσης στο πυθμένα σε σχέση με την κατάσταση που περιγράφεται στο ερώτημα 1. (η συμμετρία της μέσης τομής διατηρείται και μετά τη μετασκευή). ΑΣΚΗΣΗ η (15%+15%) Η φορτηγίδα, που φαίνεται στο Σχήμα είναι σταθερής ορθογωνικής διατομής έχει μήκος 10 m, πλάτος 0 m και κοίλο 10 m. Η φορτηγίδα είναι χωρισμένη σε πέντε ισομήκη κύτη, μήκους 4 m έκαστο και τα βάρη στην περιοχή κάθε κύτους είναι ως στο Σχήμα. Το συνολικό βάρος στην περιοχή κάθε κύτους είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο..1 Να προσδιορίσετε και να σχεδιάσετε την κατανομή α) της φόρτισης, β) διατμητικών δυνάμεων και γ) καμπτικών ροπών στο μεσαίο κύτος (κύτος Νο 3, στο Σχήμα ). Σχήμα σελ 3 από 17
. Μετά από ατύχημα, καταστρέφεται ο εξωτερικός πυθμένας και όλα τα ελάσματα μεταξύ αυτού και του εσωτερικού πυθμένα στην περιοχή των κυτών 1 και (τα καταστραμμένα ελάσματα φαίνονται με διαγράμμιση στο Σχήμα σημ.: ο εσωτερικός πυθμένας παραμένει άθικτος). Θεωρώντας ότι τα βάρη δεν μεταβάλλονται σε σχέση με την άθικτη κατάσταση να προσδιορίσετε τις τιμές α) διατμητικών δυνάμεων και β) καμπτικών ροπών στη θέση της πρωραίας και πρυμναίας φρακτής του μεσαίου κύτους (κύτος Νο 3 στο Σχήμα 1). ΑΣΚΗΣΗ 3 η (15%+15%) Μία ένωση κατασκευαστικών στοιχείων υπόκειται σε εναλλασόμενη φόρτιση, με εύρος Δσ. Κάτα το πρώτο έτος λειτουργίας το εύρος της φόρτισης για κάθε 1000 εναλλαγές ακολουθεί την κατανομή που φαίνεται στη στήλη Α του παρακάτω Πίνακα. ΠΙΝΑΚΑΣ Αριθμός εναλλαγών Επεξηγήσεις: Εύρος τάσης Στήλη Α: Στήλη Β: Στήλη Α: Λειτουργία 1 ου έτους 0 MPa σ 0 MPa 00 00 Στήλη Β: Λειτουργία μετά το 1 ο έτος 0 MPa < σ 40 MPa 500 500 40 MPa < σ 60 MPa 150 00 60 MPa < σ 80 MPa 100 100 80 MPa < σ 100 MPa 50 - Η συχνότητα της φόρτισης είναι 7 κύκλοι το λεπτό και στο πρώτο χρόνο λειτουργίας η κατασκευή βρισκόταν εκτός λειτουργίας για δύο μήνες. Η αντοχή σε κόπωση της ένωσης παρουσιάζεται με τη μορφή καμπύλης σ-ν στο Σχήμα 3 (δίνονται οι συντεταγμένες τριών σημείων της καμπύλης). σελ 4 από 17
Σχήμα 3 3.1 Ποιός είναι ο συντελεστής σωρευμένης βλάβης λόγω κόπωσης μετά το πρώτο έτος λειτουργίας; Μετά το πρώτο έτος λειτουργίας η κατασκευή εξακολουθεί να υπόκειται δέκα μήνες το έτος σε εναλλασόμενη φόρτιση, με εύρος Δσ, που ακολουθεί για κάθε 1000 εναλλαγές την κατανομή της στήλης Β του παραπάνω Πίνακα. 3. Σε πόσα έτη θα εξαντλήσει η κατασκευή την αντοχή της σε κόπωση; σελ 5 από 17
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1.1 Ποια είναι η μέγιστη ροπή που μπορεί να φέρει η μέση τομή και ποια είναι η κατανομή των τάσεων που προκαλεί; Να σχολιάσετε την απάντηση σας. Στον παρακάτω Πίνακα παρουσιάζεται ο υπολογισμός της θέσης του ουδέτερου άξονα, της ροπής αδράνειας και της ροπής αντίστασης της διατομής. Υπολογίζονται οι ροπές που προκαλούν τις μέγιστες επιτρεπόμενες τάσεις σε κάθε περιοχή. Η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή, που μπορεί να φέρει η διατομή είναι η ελάχιστη αυτών: 751,0 751,0 751,0 MH min 65,190,35 MN m 4,3 9, 445 4,3 9, 445 3 9, 445 min 65 50,57, 190 63,37, 35 79,53 MN m min 13400375, 1039509, 18691475 kn m 1039MN m 43 m 37m 17 m D: σ ALL=65 MPa 38 MPa 190 MPa M: σ ALL=190 MPa 18,8 m Ουδέτερος άξονας 4,3 m 9,445 m B: σ ALL=45 MPa,5 m 151 MPa Παρατηρείται, ότι η σχεδίαση δεν εκμεταλλεύεται την υψηλή αντοχή της περιοχής D, αφού, η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή καθορίζεται από την επιτρεπόμενη τάση της περιοχής M. σελ 6 από 17
1. Ποιες είναι οι μέγιστες καμπτικές ροπές λόγω κάμψης σε ήρεμο νερό που μπορεί να φέρει η διατομή; Σύμφωνα με τους κανονισμούς οι ροπές σχεδίασης λόγω κυματισμού ισούνται με: 3 WH 1 b M [kn m] 190 C L [m] B[m] c 10 3 WS 1 b M [kn m] 110 C L [m] B[m] c 0, 7 10, όπου M WH, M WS οι ροπές σχεδίασης σε κυματισμό σε κατάσταση hogging και sagging αντίστοιχα, L, B το μήκος και πλάτος αντίστοιχα, c b ο συντελεστής γάστρας, και 1,5 300 70 C1 10,75 10,59 100 Άρα 3 M 190 10,59 70 43 0,86 10 kn m 544093kN m WH 3 M 110 10,59 70 43 0,7 0,86 10 kn m 5696193kN m SH και οι επιτρεπόμενες ροπές σε ήρεμο νερό hogging και sagging είναι: M (1039509 544093)kN m 6616964kN m SWH M (1039509 5694193)kN m 6344864kN m SWS 1.3 Να επαναλάβετε τα ερωτήματα 1.1 και 1. αν οι δύο διαμήκεις φρακτές που βρίσκονται σε απόσταση 17 m αντικατασταθούν από μία φρακτή στο επίπεδο συμμετρίας του πλοίου, που έχει πάχος 45 mm και είναι κατασκευασμένη από χάλυβα υψηλής αντοχής μέγιστης επιτρεπόμενης τάσης 35 MPa. Στην περίπτωση αυτή ο ουδέτερος άξονας μετατοπίζεται κατά (+ προς κατάτρωμα, - προς πυθμένα): 4,3 (- 5 + 48) (4,3 / - 9,67) / (9,103 + 4,3 (- 5 + 48)) m = - 0,015 m. σελ 7 από 17
Η νέα θέση του ουδέτερου άξονα της διατομής απέχει 9,430 m από τον πυθμένα 14,870 m και από το κατάστρωμα. Η νέα ροπή αδράνειας της διατομής ισούται με 748 m 4 και η μέγιστη ροπή που μπορεί να φέρει η διατομή με: 748 748 748 MH min 35,190,35 MN m 4,3 9, 430 4,3 9, 430 3 9, 430 min 1181116,11973041,... MN m 1181MN m και οι επιτρεπόμενες ροπές σε ήρεμο νερό hogging και sagging είναι: M (1181116 544093)kN m 639703kN m SWH M (11181116 5694193)kN m 548793kN m SWS Η επιτρεπόμενη τάση της διαμήκους φρακτής καθορίζει την επιτρεπόμενη τάση στην περιοχή D, άρα και στην περίπτωη αυτή η σχεδίαση δεν εκμεταλλεύεται την επιτρεπόμενη τάση των 65 MPa, που έχουν τα κατασκευαστικά στοιχεία στην περιοχή του καταστώματος. 1.4 Αν το πάχος του ελάσματος του πυθμένα αυξηθεί κατά 4 χιλιοστά σε πλάτος 0 m και το πάχος του ελάσματος του καταστρώματος αυξηθεί κατά 5 χιλιοστά σε πλάτος 38 m, να υπολογίσετε τις μέγιστες καμπτικές ροπές λόγω κάμψης σε ήρεμο νερό που μπορεί να φέρει η διατομή. Οι μεταβολές γίνονται σε σχέση με την κατάσταση που περιγράφεται στο ερώτημα (). Η ποσοστιαία μεταβολή της τάσης λόγω αλλαγής της ροπής αντίστασης είναι ίση με (αν δεν υπάρχει μεταβολή της καμπτικής ροπής): 100 SM SM' SM όπου SM η ροπή αντίστασης πριν τη μετασκευή και SM μετά τη μετασκευή. σελ 8 από 17
Ακολουθούν τα γεωμετρικά στοιχεία της διατομής και η διαφορά στις τάσεις πριν και μετά τη μετασκευή Πριν τη μετασκευή Μετά τη μετασκευή Επιφάνεια [m ] 8,833 9,103 Απόσταση ΟΑ από πυθμένα [m] 9,445 9,67 Ροπή αδράνειας διατομής [m 4 ] 751,0 799,799 Ελάχιστη ροπή αντίστασης (κατ.) [m 3 ] 50,567 54,674 Ελάχιστη ροπή αντίστασης (πυθ.) [m 3 ] 79,538 8,696 μεταβολή τάσης στο κατάστρωμα -8,1% μεταβολή τάσης στον πυθμένα -4,0% Προσεγγιστικά η διαφορά μπορεί να υπολογιστεί από τις σχέσεις Μεταβολή στο κατάστρωμα λόγω μετασκευής στο κατάστρωμα και τον πυθμένα,,,, DD 4 39 445 4 39 445 3 19010 7, 73% 4, 39, 4458, 833 751, 0, DB 9445, 9 445 3 8010 0, 37% 4, 39, 4458, 833 751, 0 αντίστοιχα. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η μείωση της τάσης στο κατάστρωμα ισούται με 8%. Μεταβολή στον πυθμένα λόγω μετασκευής στο κατάστρωμα και τον πυθμένα 4, 39, 445 4, 39, 445 BD 3 19010, 0% 9, 4458, 833 751, 0, BB 9, 445 9 445 3 8010 1, 86% 9, 4458, 833 751, 0 αντίστοιχα. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η μείωση της τάσης στο κατάστρωμα ισούται με 4%. σελ 9 από 17
Σημείωση: Στις λύσεις των ερωτημάτων.1 και. ακολουθείται η σύμβαση προσήμων των σημειώσεων του μαθήματος εκτός αν άλλως αναφέρεται..1 Να προσδιορίσετε και να σχεδιάσετε την κατανομή α) της φόρτισης, β) διατμητικών δυνάμεων και γ) καμπτικών ροπών στο μεσαίο κύτος (κύτος Νο 3, στο Σχήμα ). Το συνολικό βάρος της φορτηγίδας είναι 1375 t και το κέντρο εφαρμόζεται σε απόσταση 61,88 m από το AE. Η καμπύλη άντωσης b(x), όπου x η απόσταση σε m από το AE δίνεται σε t/m από τη σχέση (για τον υπολογισμό της τιμής της καμπύλης άντωσης στα AE και FE χρησιμοποιούνται οι σχέσεις, που δίνονται στο τυπολόγιο): b(x) = 103,8+ 0,180 x και η άντωση στη θέση x=48 m ισούται με b(48 m)=11,44 t/m. Η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή στη φρακτή μεταξύ των κυτών και 3 ισούται αντίστοιχα με: 103,80 11,44 Q48 m 808 t 304 t 48 t 808 t 304 t 5189,76 t 64, t και η καμπτική ροπή με 48 103,80 11, 44 M48 m 80836 t m 3041 t m 5189,76 48 t m 3 103,80 11,44 80836 t m 3041 t m 5189,763,68 t m 1448 t m Στο διάστημα 48 m x 7 m οι τιμές της φόρτισης p(x) σε t/m, διατμητικής δύναμης Q(x) σε t και καμπτικής ροπής M(x) σε t m δίνονται από τις σχέσεις: p x 75 103,80 0,18 x 8,80 0,18 x x x Q x Q 48 m p x dx 64, 8,80 0,18 x dx 31,96 8,80 x 0,09 x 48m 48m σελ 10 από 17
x x M x M 48 m Q x dx 1448 31,96 8,80 x 0,09 x dx 48m 48m 3 56157 31,96 x 14,40 x 0,03 x αντίστοιχα. Από τις παραπάνω σχέσεις, η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή στη φρακτή μεταξύ των κυτών 3 και 4 ισούται αντίστοιχα με -308 t και 18697 tm αντίστοιχα. Στο παρακάτω Σχήμα φαίνονται οι κατανομές φόρτισης, διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής στην περιοχή του κύτους Νο.3, σελ 11 από 17
. Μετά από ατύχημα, καταστρέφεται ο εξωτερικός πυθμένας και όλα τα ελάσματα μεταξύ αυτού και του εσωτερικού πυθμένα στην περιοχή των κυτών 1 και ( τα καταστραμμένα ελάσματα φαίνονται με διαγράμμιση στο Σχήμα σημ.: ο εσωτερικός πυθμένας παραμένει άθικτος). Θεωρώντας ότι τα βάρη δεν μεταβάλλονται σε σχέση με την άθικτη κατάσταση να προσδιορίσετε τις τιμές α) διατμητικών δυνάμεων και β) καμπτικών ροπών στη θέση της πρωραίας και πρυμναίας φρακτής του μεσαίου κύτους (κύτος Νο 3 στο Σχήμα 1). (το διπύθμενο είναι σε απόσταση 1,5 m από τον πυθμένα) Το συνολικό βάρος και το κέντρο του δεν μεταβάλλεται. Η κατανομή της άντωσης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου η διαγραμμισμένη επιφάνεια αναπαριστά τη χαμένη άντωση λόγω της καταστροφής του χώρου του διπύθμενου στην περιοχή των κυτών 1 και. Ο υπολογισμός της φόρτισης μπορεί να γίνει είτε θεωρώντας ότι από την τραπεζοειδή κατανομή άντωσης αφαιρείται η άντωση που χάνεται λόγω της καταστροφής του διπύθμενου (βλέπετε στο Σχήμα διαγραμμισμένη επιφάνεια) ή θεωρώντας αύξηση του βάρους ίση με τη χαμένη άντωση. Σημείωση: Οι δυνάμεις 644 t και 947 t αντιστοιχούν στην τραπεζοειδή κατανομή άντωσης από το AΕ έως τη φρακτή μεταξύ των κυτών και 3 και την φρακτή μεταξύ των σελ 1 από 17
κυτών 3 και 4 αντίστοιχα,που δεν λαμβάνει όμως υπ όψη τη μείωση της άντωσης λόγω της καταστροφής του διπύθμενου, δηλ. τη διαγραμμισμένη επιφάνεια του Σχήματος. Προσδιορισμός των τιμών c και d (βλέπετε παραπάνω Σχήμα): cd cd L A 1375 L 1375 1476 158 C L L L L L d c d A 137561,88 d C c d 137561,88 1476 4 158 58,1 6 5 6 158 58,1 t c 3 53,88 0,545 138,36 10 10 m 158 58,1 t d 3 1 10 10 53,880,455 115,51 m Η ευθεία b in(x), με τιμές c και d σις θέσεις AE και FE αντίστοιχα, σε t/m δίνεται από την παρακάτω σχέση, όπου x η απόσταση σε m από το AE: 115,51138,36 b x in 138,36 x 138,36 0,189 x 10 1476 138,36 0,189 x 0 x 48 m bx 48 138,36 0,189 x 48 m x 10m 107,61 0,189 x 0 x 48 m bx 138,36 0,189 x 48 m x 10m Η άντωση στη θέση x=48 m παρουσιάζει ασυνέχεια στην τιμή και ισούται με τιμές 98,54 t/m και 19,8 t/m. Η άντωση στη θέση x=7 m ισούται με με 14,75 t/m. Η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή στη φρακτή μεταξύ των κυτών και 3 ισούται αντίστοιχα με (Σημείωση: η τιμή υπολογίζεται με δύο τρόπους): σελ 13 από 17
107,61 98,49 Q48 m 808 t 304 t 48 t 808 t 304 t 4946,4 t 885,6 t 138,36 19,9 Q48 m 808 t 304 t 48 t 1476 t 808 t 304 t 644 t 1476 t 884 t και η καμπτική ροπή με (Σημείωση: η τιμή υπολογίζεται με δύο τρόπους): 48 107,61 98,54 M48 m 80836 t m 3041 t m 4946,4 48 t m 3 107,61 98,54 80836 t m 3041 t m 4946,4 4,35 t m 16931t m 48 138,36 19,9 M48 m 80836 t m 3041 t m 644 48 t m 14764 t m 3 138,36 19,9 80836 t m 3041 t m 6444,7 t m 14764 t m 16890 t m Η άντωση στη θέση x=7 m ισούται με b(7 m)=116,76 t/m. Η διατμητική δύναμη στη φρακτή μεταξύ των κυτών 3 και 4 ισούται αντίστοιχα με: 138,36 14,75 Q7m 808 t 304 t 1800 t 7 t 1476 t 7634 t 947 t 1476 t 364 t και η καμπτική ροπή με 7 138,36 14,75 M7m 80860 30436 18001 9477 147648t m 3 138,36 14,75 80860 t m 30436 t m 18001 t m 94736,6 t m 1476 48 t m 1448 t m 98944 t m 346865 t m 70848 t m 97 t m σελ 14 από 17
Παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών στα ερωτήματα.1 και., για να μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σας (δεν ζητήθηκαν στο διαγώνισμα). σελ 15 από 17
3.1 Ποιός είναι ο συντελεστής σωρευμένης βλάβης λόγω κόπωσης μετά το πρώτο έτος λειτουργίας; Προσδιορίζονται οι συντελεστές m και C των καμπυλών σ-n από τις παρακάτω σχέσεις, όπου N a και N b είναι ο μέγιστος αριθμός εναλλαγών, που αντιστοιχούν σε εύρος τάσης σ a και σ b αντίστοιχα: m m a a b b C N C N log N N m C N N log b a m m a a b b a b Οι τιμές για τις καμπύλες του Σχήματος παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Οι εναλλαγές στη φόρτιση, που δέχεται το δοκάρι σε ένα έτος είναι: 3,70 10 6. σελ 16 από 17
Η καταπόνηση σε κάθε διάστημα εύρους 0 MPa υπολογίζεται στον Πίνακα που ακολουθεί: 3. Σε πόσα έτη θα εξαντλήσει το δοκάρι την αντοχή του σε κόπωση; Μετά το πρώτο έτος η καταπόνηση ανά έτος υπολογίζεται ακολουθώντας την ίδια διαδικασία από τον Πίνακα: Άρα η συνολική ζωή της κατασκευής είναι 1 έτος + (1-0,099)/0,056 έτη = 17 έτη και 3 ημέρες. ----- σελ 17 από 17