6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо још нека својства паралелограма: Тврђење 1 Углови на једној страници паралелограма су суплементни. Доказ Користи једнакост углова са паралелним крацима. Тврђење 2 Супротни углови паралелограма су подударни (једнаки). Доказ Доказ је последица тврђења 1. Тврђење 3 Супротне странице паралелограма су једнаке. Доказ Цртамо паралелограм А (сл. 24). Сл. 24 ι c θ ϕ Доказ Дато: c и. Тврђење: = c и =. (УСУ), одакле је: а = c и =. Тврђење 4 Сваки паралелограм је централно-симетрична фигура. Центар симетрије је пресек његових дијагонала. Доказ Користи решење задатка 22 (сл. 20). Тврђење 5 Дијагонале сваког паралелограма се узајамно полове. Доказ Користи задатак 22. Сва ова тврђења о паралелограмима краће се називају заједничке особине паралелограма. Које све врсте паралелограма постоје, каква су им имена, које нове особине имају поред наведених, сазнаћемо ускоро. Пре тога урадимо следеће задатке. 110 математика за 6. разред основне школе
29. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 45. 2) Израчунај остале углове паралелограма. 30. Нацртај паралелограм чији је: 1) угао 75 и страница 6 cm; 2) угао 150 и странице 7 cm и 5 cm. Израчунај остале углове паралелограма. 31. Нацртај паралелограм ако му је један угао прав. 32. Један угао паралелограма износи: 1) 30 ; 2) 100 ; 3) 50 30 ; 4) 91. Израчунај остале углове. 33. Збир два угла паралелограма је 160. Колики су остали углови? 34. Колики су углови паралелограма ако је један већи од другог четири пута? 35.*Да ли постоји четвороугао чији су сви углови једнаки? Образложи. 36.*Четвороугао чије су две странице једнаке и паралелне је паралелограм. Докажи. 37.*Четвороугао, који има два пара једнаких страница, је паралелограм. Докажи. 38.* У паралелограму дијагонала образује са страницом угао 30. Ако је = 120, израчунај углове и. 39. На страницама паралелограма дати су, како је приказано на слици 24, два пара дужи M и Q, P и, тако да је M = P и Q =. Докажи да су тачке M,, P и Q темена новог паралелограма. P Q M Сл. 24 40.* У троуглу тачке, E и F су средишта страница. Докажи да је четвороугао EF паралелограм (сл. 25). F E Сл. 25 41.* Конструиши троугао ако су дате две странице и тежишна дуж која одговара трећој страници. 42.* Ако су у четвороуглу по два наспрамна угла једнака, четвороугао је паралелограм. Докажи. 43.* Ако се у четвороуглу дијагонале узајамно полове, четвороугао је паралелограм. Докажи. Четвороугао 111
44.*1) У паралелограму нормале повучене из темена тупих углова на дијагоналу, секу је у тачкама M и (сл. 26). Докажи да је M =. 2) Да ли је четвороугао M паралелограм? Сл. 26 M 45. Скуп свих паралелограма се може делити на подскупове. Паралелограми Косоугли: То су они паралелограми чији је један угао оштар или туп. Правоугли: То су они паралелограми чији је један угао прав (90 ). c β Сл. 27 Ромбоиди Сл. 28 Правоугаоници Правоугаоник је правоугли паралелограм. 46. Врста паралелограма правоугаоник. Да ли поред наведених заједничких особина свих паралелограма, правоугаоници имају неке нове особине које ромбоиди немају? Упознајмо неке нове, значајне особине правоугаоника: Тврђењe 1 Сви углови правоугаоника су прави. Докажи (сл. 29). Сл. 29 β 112 математика за 6. разред основне школе
Тврђењe 2 Дијагонале правоугаоника су подударне (једнаке) (сл. 30). Сл. 30 Доказ Дијагонале и су хипотенузе троуглова и који су подударни, па су једнаке; = 1, = 2, тј. 1 = 2. Докажи подударност троуглова и. Тврђењe 3 Дијагонале правоугаоника се узајамно полове. Докажи. Тврђењe 4 Постоји кружница која садржи сва темена правоугаоника. То је описана кружница правоугаоника (сл. 31). k Сл. 31 На основу тврђења 2 и 3 пресек дијагонала, тачка, једнако је удаљена од свих темена правоугаоника, па постоји само једна описана кружница правоугаоника. * Центар те кружнице је пресек дијагонала, а пречник је дијагонала. Ако је полупречник кружнице R, онда је 2R =. Уочи правоугли троугао на слици 31. Где се налази центар кружнице описане око правоуглог троугла? Центар описане кружнице правоуглог троугла је средиште његове хипотенузе. Пречник описане кружнице правоуглог троугла је једна његова страница. * Цртали смо и користили правоугаоник, али тек сада знамо да је паралелограм. Четвороугао 113
Тврђењe 5 Правоугаоник има две осе симетрије 1 и 2. Њихов пресек је центар симетрије (сл. 32). Користећи својства симетрале дужи образложи ово тврђење. 1 Сл. 32 2 Неким од ових тврђења се исказују посебне особине правоугаоника. 47. 1) Дијагонала правоугаоника са већом страном образује угао 20. Колики угао образују његове дијагонале? 2) Дијагонале правоугаоника образују угао 60. Колики угао образују страница и дијагонала? 48. Мања страница правоугаоника је 6,5 cm, а дијагонале граде угао 60. Колика је дијагонала и полупречник описане кружнице правоугаоника? 49.* У кружницу чији је полупречник 4 cm уцртај правоугаоник чија је једна страница 5 cm. 50.* Да ли је довољно да дијагонале паралелограма буду једнаке, па да тврдимо да је то правоугаоник? 51.*1) Четвороугао је правоугаоник ако су му дијагонале једнаке и узајамно се полове. Докажи. 2) Ако су дијагонале једнаке, да ли једна полови другу? Не. Нацртај неки четвороугао са једнаким дијагоналама. Једна полови другу, али друга не полови прву. Такав четвороугао није правоугаоник. 52. Врста паралелограма квадрат Уочи паралелограм чији је један угао прав (90 ), а две суседне странице једнаке (сл. 33). = =90º Сл. 33 114 математика за 6. разред основне школе
Овај паралелограм има сва својства правоугаоника: Сви углови су му прави; дијагонале су му једнаке; дијагонале се узајамно полове; симетрале страница су осе симетрије (ѕ 1 и ѕ 2 ) (сл. 34). Постоји само једна описана кружница тог паралелограма, а пречник јој је једнак дијагонали (2R = ). Образложи. R k s 2 = =90º β s 1 Сл. 34 Овом паралелограму тј. правоугаонику, суседне странице су једнаке па га називамо квадрат. Квадрат је паралелограм чији је угао прав, а две суседне странице једнаке. Уочи и ове особине квадрата (сл. 35): R k 2 Сл. 35 Четвороугао 115
Тврђењe 1 Дијагонале квадрата су нормалне (граде угао 90 ). Тврђењe 2 Дијагонале квадрата су осе симетрије. Тврђењe 3 Постоји само једна кружница која додирује све странице квадрата, то је уписана кружница. Центар уписане кружнице је пресек дијагонала. Ако је страница квадрата и полупречник уписане кружнице, следи једнакост 2 =. Нормалност дијагонала следи из дефиниције претходних особина квадрата, као и из особине једнакокраких троуглова ( и ). Заиста, симетрала дијагонале садржи и теме и теме, па је дијагонала оса симетрије. Исту особину има и дијагонала друга оса симетрије. Њихов пресек је једнако удаљен од свих страница квадрата. То растојање је полупречник уписане кружнице. На слици 36 приказан је квадрат. Уочи и наброј све његове особине * R k 1 k 2 s 3 2R = ; 2 =. s 1 s 4 s 2 Сл. 36 53. 1) Нацртај квадрат ако је страница 5 cm. Одреди полупречник уписане кружнице и конструиши је. 2) Нацртај неколико квадрата. За сваки од њих одреди угао који дијагонала гради са страницом. Шта запажаш? Да ли на основу тога можеш да формулишеш неко опште тврђење (теорему) о квадрату? 54. 1) Нацртај квадрат ако је дијагонала 6 cm. 2) Одреди полупречник описане кружнице квадрата и конструиши ту кружницу. 55.* Дат је квадрат. Средишта његових страница су темена четвороугла. Који је то четвороугао? Образложи. 56.* Дат је квадрат (сл. 37). Четири праве p, q, и s се секу и одређују неки четвороугао EFM. Познато је и: p и q ; и s. Којој врсти четвороугла припада четвороугао EFM? Образложи. * Истакнуте су четири осе симетрије квадрата које су у његовој равни. 116 математика за 6. разред основне школе
M q F s p E Сл. 37 57. Врста паралелограма ромб Уочи паралелограм чији је један угао оштар или туп и две суседне странице једнаке (сл. 38). 0 < < 180 и 90 ; =. Сл. 38 Паралелограм чије су две суседне странице једнаке и један угао је оштар или туп, зове се ромб. Ромб има све особине као и ромбоид, па их овде не наводимо. Ромб има и неке особине квадрата: Тврђењe 1 Дијагонале ромба су нормалне. Тврђењe 2 Дијагонале ромба су осе симетрије ромба. Тврђењe 3 Постоји само једна кружница која додирује све странице ромба то је уписана кружница. Центар кружнице је центар симетрије ромба. Пречник те кружнице је растојање супротних страница ромба. Растојање супротних страница ромба зове се висина ромба. Образложење ових особина ромба се врши на исти начин као код квадрата. Докажи! Четвороугао 117
На слици 39 приказан је ромб. Уочи и наброј све његове особине. Сл. 39 k h = ; < 90 M Дуж M је висина ромба M =2 = h. s 1 s 2 Решимо и неке задатке у вези са ромбом. 58. 1) Нацртај ромб ако је страница 5 cm и угао 60. Израчунај остале углове ромба. 2) Нацртај висину ромба и конструиши уписану кружницу. 59. 1) Нацртај ромб ако су дијагонале 1 = 10 cm и 2 = 8 cm. 2) Конструиши уписану кружницу ромба. 60. 1) Од којих двају подударних троуглова можемо саставити ромб? 2) Од која четири подударна троугла се може саставити ромб? 61. Дијагонала ромба и страница граде угао 40. Израчунај углове ромба. 62. 1) Једна страница ромба једнака је дијагонали. Колики су његови углови? 2) Колики угао граде дијагонала и страница? 63.* Дат је правоугаоник (сл. 40). Средишта страница правоугаоника су темена ромба. Докажи. 64.* Дат је квадрат (сл. 41). Дијагонала подељена је тачкама M и на три једнака дела. Четвороугао M је ромб. Докажи. M F M Сл. 40 E Сл. 41 65.* Висина повучена из темена ромба образује с његовом страницом угао 30. Одреди: 1) углове ромба; 2) углове које граде дијагонале са његовим страницама. 118 математика за 6. разред основне школе