פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום, או לחילופין, העבודה על מסלול סגור תמיד אפס: F dl = 0 עבור כח משמר יכולנו להגדיר אנרגיה פוטנציאלית u בכל נקודה במרחב, וכן הפרש האנרגיה U בין שתי נקודות: B U = u B u A = F dr u ( r) = F dr A כאשר r 0 היא נקודת הייחוס של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית. הכח החשמלי הינו כח משמר ולכן ניתן להגדיר עבורו אנרגיה פוטנציאלית חשמלית. נוכל לבטא את הקשר בין אנרגיה זו לשדה החשמלי: B U = u B u A = B F dr = q E dr A A פוטנציאל חשמלי אם נחלק את המשוואה לעיל בגודל המטען, נקבל את המתח החשמלי V שהוא פשוט הפרשי פוטנציאל חשמלי φ בין שתי נקודות: B V = φ B φ A = E dr E dr A במילים: הפוטנציאל החשמלי בנקודה r הוא העבודה הדרושה כדי להביא מטען בוחן מאינסוף (או מנק' ייחוס כלשהי אחרת) עד לנקודה r. חשוב מאוד: הפוטנציאל החשמלי הוא רציף תמיד!
הקשר בין האנרגיה הפוטנציאלית לכח החשמלי אנלוגי לקשר בין הפוטנציאל החשמלי לשדה החשמלי. מהאמור לעיל, קיים הקשר בין מתח לבין הפרשי האנרגיה החשמלית: U = qv u ( r) = qφ ( r) בדיוק כמו הקשר בין כח לשדה חשמלי F = q E. בחירת נק' ייחוס עבור פוטנציאל חשמלי/אנרגיה חשמלית כזכור מפיסיקה, נקודת הייחוס היא שרירותית ופיסיקלית יש משמעות רק להפרשי אנרגיה/פוטנציאל. לרוב הבחירה של נקודת הייחוס בה הפוטנציאל/אנרגיה פוטנציאלית החשמליים מתאפסים היא האינסוף = 0 r. אולם, זאת בחירה נוחה עבור התפלגות מטען סופית כיוון שככל שאנו מתרחקים מהתפלגות המטען השדה ולכן גם הפוטנציאל קטן. לכן הגיוני שהנקודה המרוחקת ביותר תתבטא בשדה ופוטנציאל המתאפסים. במקרה של התפלגות אינסופית (כגון: תיל אינסופי, מישור אינסופי וכו') המטען נמצא גם באינסוף ולכן זו לא תהיה בחירה פיסיקלית להגיד שהפוטנציאל הוא אפס. במקרה זה, נגדיר באופן שרירותי נקודה כזו r 0 ולאחר שנקבל ביטוי עבור (r ) φ נבחר נקודה כזו שהפוטנציאל עבורו "לא יתפוצץ". דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי ( ) E = שדה חשמלי היה ניתן לחשב באמצעות 2 דרכים: הדרך המפורשת r r r r 2 או חוק גאוס במידה וקיימת סימטריה נוחה. E ds = 4πin באותו אופן קיימות שני דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי, דרך מפורשת: E dr ( ) = r r 2 r r dr השדה החשמלי בהיותו משמר מאפשר לנו בחירת מסלול dr נוחה. נבחר אותו כך שיהיה בכיוון השדה החשמלי (או מאונך לו בחלקים אחרים) כך שנקבל ביטוי פשוט: r r 2 dr = + C r r (כדי לראות שאכן זהו הפתרון בצעו החלפת משתנה r r = r ואז אחרי האינטגרציה החזירו את המשתנה כפי שהיה מקודם). הקבוע C מופיע כיוון שביצענו אינטגרל לא מסויים וגודלו יקבע בהתאם לנקודת הייחוס שנבחר! הביטוי לעיל נכון עבור מטען נקודתי. עבור התפלגות רציפה הביטוי יהיה פשוט: kdq φ ( r) = r r 2
זו הנוסחה המפורשת לחישוב פוטנציאל חשמלי. הדרך השניה היא על ידי חישוב אינטגרל מסלולי של השדה: E dr חישוב פוטנציאל במרחב שניתן לחלקו לתחומים אם יש לפנינו בעיה שניתנת להפרדה לתחומים כאשר בכל תחום השדה הוא שונה חשוב מאוד לשים לב לאופן חישוב הפוטנציאל דרך האינטגרל המסלולי. נניח: E (r) ; r < R E ( r) = E 2 (r) ; r > R דרך אחת נניח (בלא הגבלת הכלליות) ש R r. 0 > עבור חישוב הפוטנציאל בתחום r: > R φ (r > R) = r E dr = E 2 (r) dr r 0 עבור חישוב פוטנציאל בתחום r: < R φ (r < R) = R E dr = r 0 r E 2 (r) dr R E (r) dr כמובן שזה תלוי היכן בחרתם את נק' הייחוס בבעיה והיכן אתם מעוניינים לחשב את הפוטנציאל. דרך שניה ניתן לחשב כל תחום בנפרד ע"י אינטגרל לא מסויים (ללא גבולות אינטגרציה) ואז יופיע קבוע כל פעם: φ (r < R) = E (r) dr = φ (r) + C φ (r > R) = E 2 (r) dr = φ 2 (r) + C 2 כעת עליכם להשתמש ברציפות של הפוטנציאל על הגבול בין התחומים ובנק' הייחוס שנבחרה: r = R φ (R) + C = φ 2 (R) + C 2 r = 0 φ (r 0 ) = φ 2 (r 0 ) + C 2 = 0 3
מוליך בתוך מוליך השדה החשמלי הוא אפס, לכן הפוטנציאל החשמלי הוא קבוע ועלינו למצוא את ערכו מתכונת הרציפות של הפוטנציאל. כאשר אנו מחברים 2 מוליכים, כל אחד עם פוטנציאל קבוע שונה, באמצעות חוט מוליך לאחר זמן (מועט) כלשהו הפוטנציאל על המערכת כולה (2 מוליכים וחוט מוליך) הוא קבוע שעשוי (לרוב) להיות שונה מהפוטנציאל של כל אחד מהמוליכים לפני החיבור. על מנת לאפשר זאת יהיה מעבר מטען ממוליך אחד למשנהו. לסיכום: מגע/חיבור בין 2 מוליכים באמצעות מוליך מוביל לשיוויון פוטנציאלים על המערכת כולה המתנהגת כמוליך אחד. הארקה חיבור בין גוף מוליך כלשהו לבין כדוה"א כך שיש שיוויון פוטנציאלים. לכדוה"א מתייחסים כאל מוליך וכיוון שהרדיוס שלו יחסית מאוד גדול (חשבו פוטנציאל של כדור מוליך) ביחס למטען העודף עליו הפוטנציאל על גביו הוא אפס. מכאן שכאשר מאריקים מוליך, הפוטנציאל עליו משתווה לזה של כדוה"א וגודלו אפס. 4
שאלה 2 4209 קליפה ותיל אינסופי נתונה קליפה כדורית עם מטען כולל Q ורדיוס R. דרך מרכז קליפה עובר תיל אינסופי עם צפיפות מטען אחידה λ. מצאו פוטנציאל בכל המרחב. פתרון נשתמש בעקרון הסופרפוזיציה ונפרק את הבעיה לתיל+קליפה. נחשב את הפוטנציאל בנפרד עבור כל אחד מהם ולאחר מכן פשוט נחבר כדי לקבל את הפוטנציאל הכולל. תיל אינסופי נחשב את הפוטנציאל באמצעות אינטגרל מסלולי על השדה החשמלי. את השדה החשמלי נחשב בעזרת גאוס כאשר נבחר מעטפת גלילית ברדיוס ρ וגובה h עבור מעטפת הגאוס: E ds = Q in = 4π in ɛ 0 E (ρ) ρ ds = E (ρ) 2πρh Q in = E (ρ) 2πρh = λh E (ρ) = dq = λdl = ɛ 0 λ ρ = h 0 λdz = λh k = } = 2kλ 4πɛ 0 ρ כיוון שמדובר בהתפלגות מטען אינסופית, לא נוכל לבחור את האינסוף כנקודת ייחוס לפוטנציאל החשמלי. נגיד לעת עתה נקודת ייחוס r 0 ולאחר מכן נגדיר אותה ממש. E dr = λ ρ ρ dr = λ ρ ρ dρ נסביר את השלב האחרון בחישוב: שימו לב, מכיוון שהשדה החשמלי הוא שדה משמר, הפוטנציאל אינו תלוי במסלול שנבחר. נוכל לבחור מסלול dr בין נקודת הייחוס שלנו ) 0 = (, ϕ 0, z לבין z), r = (ρ, ϕ, כך שבהתחלה הוא לאורך ציר ( dr = dzẑ) z ולאחר מכן אנו נעים במאונך לציר הסימטריה dρρ) ): dr = z ρ ρ dr = z 0 ρ ρ dzẑ + ρ ρ ρ dρρ = 0 + ρ ρ dρ
כשאתם פותרים, אתם לא צריכים להיות מאוד מפורטים בהגדרה של בחירת המסלול ו/או לציין את השורה הנ"ל (כל עוד אתם לא עושים טעויות) אך חשוב להבין שתמיד נוכל לבחור מסלול שיהיה בכיוון השדה תמיד או לחילופין מסלול שבחלקו הוא בכיוון השדה ובחלקו מאונך לו (כפי שבחרנו כעת). φ wire ( r) = λ ( ) ρ ln, ρ > 0 כפי שצפינו, לא נוכל לבחור את להיות אינסוף. בנוסף, גם הבחירה = 0 0 ρ אינה מתאימה כיוון שבשני המקרים הפוטנציאל מתפוצץ (בגלל תכונות הפונקציה הלוגריתמית). אבל כל בחירה אחרת של יתן תוצאה שבה הפוטנציאל מתאפס. שימו לב כי: ρ = נקבל φ ρ) 0 ) = λ כפי שנדרש. נשאיר את כמו שהוא. שימו לב שהפוטנציאל ln = 0 לא מוגדר עבור נקודה שנמצאית על ציר z. קליפה כדורית חישוב השדה של קליפה כדורית מאוד פשוט. יש לפנינו 2 תחומים: עבור r > R מגאוס המקרה דומה למקרה של מטען נקודתי. עבור r < R מגאוס קל לראות שהשדה הוא אפס ולכן: 0 ; r < R E ( r) = r r ; r > R 2 נחשב את הפוטנציאל: E dr A = const = r ; r < R ; r > R הפוטנציאל בתוך הקליפה הוא קבוע ועלינו למצוא אותו. הפוטנציאל ונשווה את הפוטנציאל בין 2 התחומים ב R r: = נשתמש בתכונת הרציפות של ולכן: A = R φ shell ( r) = R ; r < R ; r > R r כל שנותר כעת הוא לסכום את הפוטנציאלים כדי לקבל את הפוטנציאל במרחב, נשים לב שיש 2 תחומים ובנוסף לכך נזכור ש r הוא המרחק מהראשית ו ρ הוא המרחק מציר הסימטריה. אפשר ומומלץ לבטא באותה מערכת קורדינטות: r = ρ 2 + z 2 r = x 2 + y 2 + z 2 ρ = x 2 + y 2 2
φ ( r) = ( λ ln ρ λ ln הפוטנציאל הכולל בקורדינטות גליליות (z,ρ):,ϕ ) + R ; r < R ( ) ρ + ; r > R ρ 2 +z 2 או לחילופין, הפוטנציאל הכולל בקורדינטות קרטזיות (z,x):,y ( ) λ ln ρ + R ; r < R φ ( r) = ( ) λ ln x 2 +y 2 + ; r > R x2 +y 2 +z 2 נזכור כי R ו הם פשוט קבועים, המרחק מהראשית והמרחק מציר הסימטריה בהתאמה. הערה חשובה: כאשר אנחנו עושים סופרפוזיציה עלינו לזכור כי הראשית חייבת (!) להיות משותפת ל 2 הבעיות ואילו בחירת נקודת ייחוס של 2 הבעיות אינה חייבת להיות זהה (בקליפה בחרנו אינסוף, עבור התיל בחרנו נקודה סופית 0 0 ρ). בסופו של דבר, כשנחבר את הפוטנציאלים מתמטית תיווצר נקודה חדשה שבה הפוטנציאל הכולל יהיה אפס. אין צורך להגדיר/למצוא נקודה זו כאשר אתם מחשבים. 3