תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 8 בספטמבר 009 מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של פרופ בוריס שפירא. המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות. אין הטכניון או מי מטעמו ובפרט, הפקולטה לפיזיקה, על מרציה ומתרגליה, אחראים לתוכנו של מסמך זה. הערות והארות, אתם מוזמנים לשלוח ל ronen@tx.tehcnion.ac.il. הגרסה העדכנית תפורסם ב http://www.technion.ac.il/~ronen תוכן עניינים 3 אלקטרוסטטיקה I 3................................ אלקטרוסטטיקה מושגים ויחידות 4................................ השדה החשמלי.0. 4............................... פוטנציאל חשמלי.0. 4................................ משוואת פואסון.0.3 5......................................... אלקטרוסטטיקה 5....................... בעיות באלקטרוסטטיקה, שיטות ודוגמאות. 5........................... פילוג מטען בכל המרחב.. 6 כאשר המטען לא ידוע בכל המרחב........................ 7...................... פונקציית גרין עבור בעיית דריכלה..3 7 פתרון פורמלי בעזרת פונקציית גרין........................4 8 דוגמה: חישוב פונקציית גרין של בעיית דריכלה עבור חצי מרחב............. 8............................. חישוב פונקציית גרין.. 8..................... פתרון בעיה באמצעות פונקציית גרין.. 9 חישוב התפלגות המטען..............................3 9 פונקצית גרין עבור גאומטריה כדורית...........................3..................................... פיתוח בפונקציות עצמיות 3 דוגמה חד ממדית.................................... 3. נטפל בבעיה אחרת:.............................. 3.. הפונקציות הללו מהוות בסיס......................... 3.. 3................................ פונקצית גרין עבור מלבן 3. 6 הפרדת משתנים.......................................... 4 7........................ הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות 4. 9 נפתור בעיה פיזיקלית:............................. 4.. 9 הפרדת משתנים בקואורדינטות גליליות.................... 4.......................................... פיתוח במולטיפולים 5.................................... דוגמאות פשוטות 5. 3............... המקרה הכללי עבור קונפיגורציה שרירותית של מטענים 5. 3 הקדמה מתמטית פיתוח של ) r f (r לטור טיילור ב r סביר. r.... 5.. 4..................................... פיתוח 5.. 5............................. פיתוח פורמלי בסדרים גבוהים 5.3 8 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה................................. 6 8......................... אנרגיה של מטענים בשדה חיצוני נתון 6. 9 דוגמאות......................................... 6.
תוכן עניינים תוכן עניינים 9............................... אנרגיה של דיפול 6.. 30........................... אנרגיה של אוסף מטענים 6.. 3.............................. הכללה לפילוג רציף 6..3 33............................ אלקטרוסטטיקה של חומרים דיאלקטריים 7 33.................................. חומרים דיאלקטריים 7. 35 התאוריה המקרוסקופית............................ 7.. 37 תנאי שפה................................... 7.. 38..................................... סיכום 7..3 39.......................................... בעיות 7. 39 דוגמה בעלת סימטריה גלילית......................... 7.. 40........................ מטען בין חומרים דיאלקטריים 7.. 4..................... כדור דיאלקטרי בשדה חיצוני אחיד 7..3 43............................. בחזרה לתמונה המיקרוסקופית 7.3 44 הערות על חומרים דיאלקטריים............................. 7.4 45 מגנטוסטטיקה II 46..................................... יסודות המגניטוסטטיקה 8 46...................................... חוק ביו סבר 8. 47................................. צפיפות זרם 8.. 48 משוואות המגניטוסטטיקה בצורה דיפרנציאלית..................... 8. 50 הפוטנציאל הוקטורי................................... 8.3 5 חישוב שדה במרחק רק מהזרמים............................ 8.4 53 כח הפועל על כריכה עם זרם בשדה מגנטי חיצוני.................... 8.5 54 שדות מגנטיים בחומר....................................... 9 56 תנאי שפה........................................ 9. 56........................... דוגמאות של בעיות עם תנאי שפה 9. 57............................. זרם בצפיפות אחידה 9.. 58.................................. עוד דוגמה 9.. 59.................. ההסבר המיקרוסקופי של תכונות מגנטיות של חומר 9.3 59...................... השפעת שדה מגנטי על אטום בודד 9.3. 6................................... חוק פארדיי ואנרגיה מגנטית 0 6.................. דוגמה: האנרגיה המגנטית של לולאת זרם 0.0. 6........................ הכלל לפילוג כלשהו של זרמים 0.0.3 63 משוואות מקסוול III 63......................................... משוואות מקסוול 64................................. הפוטנציל וחופש הכיול. 65.................................. חופש הכיול.. 66............................................ חוקי שימור 66 שימור מטען........................................ 66 שימור אנרגיה, משפט.Poynting............................. 68....................................... שימור תנע.3 70.................................... גלים אלקטרומגנטיים בריק 3 7 גל מישורי מונוכרומטי.................................. 3. 7..................... אנרגיה ותנע בגל מישורי מונוכרומתי 3.. 7 סופרפוזיציה של גלים מישוריים........................ 3.. 73........................... אמפליטודה קומפלקסית 3..3 73 השוואה עם משוואת שרדינגר......................... 3..4 74............................. קיטוב מעגלי ואליפטי 3..5 75..................................... משוואות מקסוול בחומר 4 77....................................... מודל לורנץ 4. 78 גלים מישוריים ומונוכורמתיים בחומר.......................... 4.
אלקטרוסטטיקה מושגים ויחידות 79................... דוגמה: מתכת בתדירות נמוכה: ω γ 4.. 80 דוגמה: מתכת אידיאלית (פלסמה אלקטרונית)................ 4.. 80 מהירות הפאזה ומהירות החבורה............................ 4.3 8....................... החזרה ושבירה של גלים אלקטרומגניטיים 4.4 83 מחקר עדכני. Negative refraction.................... 4.4. 84 אלקטרודינמיקה.......................................... 5 84................................. תורת היחסות: סקירה 5. 84 מרחב זמן................................... 5.. 84 שתי טענות יסוד................................ 5.. 84 טרנספורציות לורנץ.............................. 5..3 85.......................... אלגברה של 4 וקטורים ו 4 טנזורים 5. 86.................................... מרחב מינקובסקי 5.3 87................. טרנספורמציה של 4 וקטור קונטרה וריאנטי 5.3. 88................................. דוגמה פשוטה 5.3. 88.............................. חזרה ל 4 וקטורים 5.3.3 88 4 טנזורים................................... 5.3.4 89..................................... שדות 5.3.5 89......................... ניסוח קו וריאנטי של אלקטרודינמיקה 5.4 9................................ טרנספורמציה של שדות 5.5 חלק I אלקטרוסטטיקה אלקטרוסטטיקה מושגים ויחידות ביחידות SI F = 4πε 0 q q r r 3 (.) [F ] = N (.) [r] = m (.3) [q] = C (.4) ε 0 = 8.86 0 C N m (.5) כאשר הכוח, F, נמדד בניוטונים, המיקום r, נמדד במטרים והמטען, C בקולון ביחידות גאוסיות CGS) (Gaussian, F = q q r r 3 (.6) [F ] = dyne = g cm sec (.7) [r] = cm (.8) [q] = [ F r ] / = g / cm 3/ sec (.9) 3
אלקטרוסטטיקה מושגים ויחידות יש לנו חופש לבחירת היחידות ולכן בחרנו מערכת יחידות שבהן = לדוגמה, אם נכריז על = c, אזי l, = ct כלומר למרחק ולזמן יהיו אותם יחידות ושניית אור תהיה. sec = 3 0 0 cm העובדה שיש בטבע חוק יסודי חוק קולון מאפשרת לנו לבטא יחידות מטען באמצעות יחידות מכניות (גרם, סנטימטר, שנייה). 4πε 0.0. השדה החשמלי בהינתן מטען, q נסתכל על נקודה בחלל, במרחק, r אזי השדה החשמלי יהיה (ב SI ) E (r) = 4πε 0 q r r 3 (.0) באלקטרוסטטיקה ניתן לומר שהשדה קיים רק כאשר נמצא בנקודה בחלל מטען נוסף שמגיב לשדה. באלקטרודינמיקה אין זה כך. נכליל את השדה למספר מטענים נקודתיים..., 3 q, q, q הנמצאים ב..., 3 r, r, r מהראשית, בהתאמה. מה השדה בחשמלי בנקודה נוספת, r? E (r) = 4πε 0 N i= q i r r i r r i 3 (.) בהכללה לרצף (r) ρ היא צפיפות המטען, כלומר, ρ (r) d 3 r הוא המטען באלמנט d, 3 r סביב r, אזי השדה יהיה: E (r) = d 3 r r r ρ (r) 4πε r r 3 (.).0. פוטנציאל חשמלי r r = r r r r 3 (.3) E (r) = 4πε 0 d 3 r ρ (r) r r = Φ (.4) Φ (r) = 4πε אז הפוטנציאל החשמלי הוא שדה וקטורי d 3 r ρ (r) (.5) r r E = Φ = 4πε 0 d 3 r ρ (r ) r r.0.3 משוואת פואסון (.6) נשתמש בנוסחת עזר: r = 4πδ (r) (.7) הוכחה: (של נוסחה (.7) ( 4
אלקטרוסטטיקה r = r = r (.8) r 3 = ( ) r 3 r r (.9) r 3 = r 3 3 + 3 (r ˆr) = 0 (.0) ישנה סינגולריות ב 0 = r r4 d 3 r r = (.) V ( = s r = = s s לפי משפט גאוס, Ad 3 r = A nda V s ) nda (.) r nda r 3 (.3) נכתב זאת באמצעות זווית מרחבית, dω dω r3 = 4π (.4) r3 E = 4πε 0 נשים לב ש δ (r) = δ (x) δ (y) δ (z) (.5) וקיבלנו, לבסוף ש d 3 r ρ (r ) ( 4π) δ (r r ) (.6) = ε 0 ρ (r) (.7) וקיבלנו את משוואת פואסון E = ε 0 ρ (r) (.8) שדה חשמלי נגזר מפוטנציאל, ולכן E = 0 (.9) E = Φ (.30) φ = ρ (r) ε 0 (.3) אלקטרוסטטיקה. בעיות באלקטרוסטטיקה, שיטות ודוגמאות.. פילוג מטען בכל המרחב נתון פילוג מטען בכל המרחב, (r) (ρ ρ. יכול להיות מטען נקודתי, פונקציית δ). בוחרים את ראשית הצירים בנקודה O, ומסתכלים בנקודת התצפית r. צריך למצוא את הפוטנציאל, (r) E ואת השדה, (r) φ, בכל מקום. הרצאה שנייה בווידאו 5
אלקטרוסטטיקה. בעיות באלקטרוסטטיקה, שיטות ודוגמאות הפתרון הוא מיידי: φ(r) = ρ (r ) d 3 r 4πε 0 r r (.) E (r) = φ (.) זהו פתרון הבעיה, למרות שלאו דווקא קל לפתור את האינטגרל (בהינתן (r) ρמורכב יחסית) = ) r,g (r, זוהי פונקציית גרין עבור המרחב האינסופי. פונקציית גרין, r r הפוטנציאל בנקודה r, שיוצר מטען יחידה נקודתי בנקודה r. 4πε 0 אזי ) r G (r, אזי הפוטנציאל על כל המרחב הוא φ (r) = 4πε 0 ρ (r ) G (r, r ) dr 3 (.3) זוהי לא פונקציית גרין כללית, אלא פונקציית גרין עבור הבעיה הספציפית הזו. פונקציית גרין מקיימת את משוואת פואסון עבור מטען נקודתי שנמצא בנקודה r: G (r, r ) = 4πδ (r r ) (.4) תכונה נוספת של פונקציית גרין היא סימטריה: r).reciprocity G (r, r ) = G (r, פונקציית שלנו, אבל היא תכונה כללית של כל פונקצית גרין שהיא. הסימטרי ברורה עבור.. כאשר המטען לא ידוע בכל המרחב בדרך כלל מטען בכל המרחב לא ידוע. בעיה טיפוסית באלקטרוסטטיקה: קופסה מתכתית, ובפנים חלל. בתוך החלל יש פילוג מסויים של מטען. המטען בפנים נתון:( r ) ρ בתוך תחום V, בתוך הקופסה. אנחנו לא יודעים את המטענים בחוץ או את המטענים על הקופסה. נתון שהמטען על דפנות הקופסה הוא Φ. 0 הקופסה מוליכה, ולכן הפוטנציאל שווה על כל הדפנות. מהנתונים הללו אפשר למצוא את הפוטנציאל (r) Φ בתוך V. אנחנו נטפל בבעיות מסוג זה. ניתן להכליל את תנאי השפה. עבור נקודות r s על השפה S φ (r = r s ) = f (r s ) (.5) כשר f פונקציה ידועה כלשהי. עבור מתכת אחידה, הפוטנציאל שווה בכל מקום על המעטפת, אבל ניתן לחשוב על שני מוליכים מופרדים. למשל, ניתן לעשות קופסה משני חצאי כדור מתכתיים, המופרדים בשכבת מבודד. כאן, כאן, כל אחד מהם יהיה בפוטנציאל שונה. הבעיה המתמטית היא מהסוג הבא: יש לפתור את משוואת פואסון: Φ = ε 0 ρ (r) (.6) בתוך התחום V. לא מעניין אותנו מה שיש מחוץ לתחום V רק ערך הפוטנציאל על המעטפת תנאי השפה φ (r s ) = f (r s ) (.7) כאשר f פונקציה נתונה. זוהי בעיית דריכלה. לבעיה זו יש פתרון אחד ויחיד. השיטה הראשונה שנלמד כדי לפתור שיטות מסוג זה היא שיטת פונקציות גרין. ההוכחה בקורס במד ח או בג קסון 6
אלקטרוסטטיקה. בעיות באלקטרוסטטיקה, שיטות ודוגמאות..3 פונקציית גרין עבור בעיית דריכלה נגדיר את פונקציית גרין, ) r G,,r) מקיימת את המשוואה G (r, r ) = 4πδ (r r ) (.8) אנחנו צריכים לפתור את המשוואה בתוך תחום V עם תנאי שפה G (r, r ) r=rs = 0 (.9) כלומר, צריכים למצוא פונקציה המקיימת את המשוואה, ומתאפסת על תנאי השפה. כאן יש לנו מטען נקודה ב r, ופוטנציאל 0 על השפה (כלומר, השפה מוארקת). זה יעזור לנו לפתור את הבעיה המורכבת יותר שראינו קודם. 4πε 0 G (r, r ) (.0) הוא הפוטנציאל בנקודה r שיוצר מטען יחידה נקודתי הנמצא בנקודה r. בהוכחה נשתמש בסימטריות של פונקציית גרין, אך לא נוכיח את הכלליות של הסימטריה...4 פתרון פורמלי בעזרת פונקציית גרין נסכם את המשוואות: φ (r ) = ε 0 ρ (r ), φ (r s) = f (r s) (.) ) גוזר לפי הארגומנט (r G (r, r ) = 4πδ (r r ), G (r, r ) r =r s (.) (תוך שימוש בסימטריה). נכפיל את משוואה (.) ב ( r G,,r) ואת (.) ב ( r) Φ ונחסר. נקבל: G (r, r ) Φ (r ) Φ (r ) G (r, r ) = ε 0 G (r, r ) ρ (r ) + 4πΦ (r ) δ (r r ) (.3) את הביטוי בצד שמאל נכתוב כ: [ G (r, r ) Φ (r ) Φ (r ) ] G (r, r ) (.4) V Ad 3 r = V נבצע אינטגרל על r d 3 ונשתמש במשפט גאוס: A ds (.5) ונקבל את משוואה (.3) בצורה: ds G (r, r ) ϕ (r ) Φ (r ) G (r, r ) = d 3 r G (r, r ) ρ (r ) + 4πΦ (r) (.6) }{{} ε 0 =f(r s ) אבל מצד ימין יש אינטגרל על השפה, שבו פונקציית גרין שווה לאפס בכל נקודה φ (r) = d 3 r G (r, r ) ρ (r ) ds G (r, r) ρ (r ) (.7) 4πε 0 V 4π }{{}}{{} (A) (B) כאשר (A) היא התרומה מהנפח ו ( B ) הוא התרומה מהשפה. אלמנט שטח,dS = nds כשהנורמל מכוון החוצה מהשפה. החלק הקשה יהיה למצוא פונקציית גרין. בצורה מדויקת אנליטית, נוכל למצוא אותה רק עבור בעיות עם הרבה סימטריה. אבל היא מאפשרת לנו לכתוב את הפוטנציאל של בעיה כלשהי, על פילוג שרירותי של פוטנציאל על השפה ופילוג שרירותי של צפיפות מטען באמצעות פונקציית גרין. 7
אלקטרוסטטיקה. דוגמה: חישוב פונקציית גרין של בעיית דריכלה עבור חצי מרחב. דוגמה: חישוב פונקציית גרין של בעיית דריכלה עבור חצי מרחב 3 במערכת הצירים z = 0, x, y, z הוא מישור אינסופי. נפתור בעיות במרחב > 0.z.. חישוב פונקציית גרין לכל בעיה באלקטרוסטטיקה, פונקציית גרין מקיימת את המשוואה G (r, r ) 4πδ (r r ) z > 0 (.8) על השפה, הפוטנציאל מתאפס: G ((x, y, z = 0), r ) = 0 (.9) הפוטנציאל ב r עקב מטען יחידה בנקודה r. במקרה הפשוט הזה, ניתן להשתמש בשיטת 4πε 0 כאשר ) r G (r, הדמויות (מפיזיקה מ ) כדי לפתור את הבעיה. בשיטת הדמויות: G (r, r ) = r r r r (.0) כאשר הנקודה r היא נקודת המראה של,r סימטרית למישור (כלומר, ) z,r = (x, y, אז z (z =. נחשב את G (r, r ) = 4πδ (r r ) 0 (.) נבדוק את תנאי השפה. עבור נקודה על המישור: G ((x, y, z = 0), r ) = 0 (.) ואכן, פונקציית הגרין שמצאנו מקיימת את הדרישות ובגלל יחידות הפתרון, זה הפתרון. נכתוב אותה בצורה מדויקת: G (x, y, z, x, y, z ) = (x x ) + (y y ) + (z z ) (x x ) + (y y ) + (z + z ) (.3) נשים לב ש ) z (x, y, z), (x, y, הם בחצי המישור > 0.z כאשר יש פונקציית גרין, ניתן לפתור כל מני בעיות באלקטרוסטטיקה על הגאומטריה הזו של המרחב. φ (x, y, z = 0) = { V, ρ < a 0, ρ > a.. פתרון בעיה באמצעות פונקציית גרין נתון פוטנציאל על המישור = 0 z: (.4) כאשר a הוא רדיוס דיסקה סביב ראשית הצירים, ו ρ = x + y הרדיוס בקואורדינטות גליליות. נחפש את הפוטנציאל בכל המרחב (עבור > 0 z). זוהי בדיוק סוג הבעיה שבה נעזר בפונקציית גרין. נסתכל רק על איבר (B) במשוואה (.3) משום שבתוך הנפח אין מטענים. G z = z =0 φ (x, y, z) = 4π dx dy Φ (x, y, z = 0) [ z G (x, y, z, x, y, z ) z =0 ] (.5) ẑ. מגיע מכיוון הנורמל הנורמל החיצוני, לכיוון z כאשר סימן ה ל ( [ (x x ) + (y y ) + (z 0) ] 3 / + [(x x ) + (y y ) + z ] /) 3 z = z [(x x ) + (y y ) + z ] 3 / (.6) (.7) 3 הרצאה שלישית בווידאו 8
אלקטרוסטטיקה.3 פונקצית גרין עבור גאומטריה כדורית φ (x, y, z) = 4π dx dy Φ (x, y, z = 0) z [(x x ) + (y y ) + z ] 3 / (.8) זהי ביטוי הנכון לכל תנאי שפה. חישוב הפוטנציאל בכל (חצי) המרחב היא בעיה קשה (מבחינת האינטגרל). נחשב רק את הפוטנציאל על ציר z, ונעבור לקואורדינטות גליליות: φ (0, 0, z) = z π V = u=ρ π 0 dϕ a z π V π 0 a 0 ρ dρ (ρ + z ) 3 / du (u + z ) 3 / = V z u + z a 0 (.9) (.30) = V z z + a + V (.3) φ (0, 0, z) = V ( ) z x + a (.3) φ (0, 0, z) = V נבדוק מקרים גבוליים: φ (0, 0, z) z V (.33) + a z עבור z, a נפתח את Φ לטור: V a z (.34) כלומר, במרחק גדול, הדסקה נראית כמו דיפול...3 חישוב התפלגות המטען 4 לאחר שפתרנו את הבעיה, ואנחנו יודעים את הפוטנציאל בכל המרחב שמעל המישור, ניתן לקבל את השדה, וממנו את צפיפות המטען על המשטח. בוריס ניסה לחשב את צפיפות המטען, אבל לא הצליח לקבל ביטוי פשוט שיבהיר מה זה הדיפול הזה. התמונה צריכה להראות שיש מטען על הדסקה, ומטען מחוץ לדסקה, בסימן הפוך, שהולך ודועך לאפס במרחקים גדולים..3 פונקצית גרין עבור גאומטריה כדורית רוצים למצוא פונקצית גרין בתוך כדור. כלומר, מה הפוטנציאל המשרה מטען שנמצא בתוך הכדור, שרדיוסו a, כאשר תנאי השפה הפוטנציאל על הכדור, הוא אפס. בנקודה R נמצא מטען בגודל q, ורוצים לדעת מה המטען בנקודה כלשהי r. פונקצית גרין תהיה הפוטנציאל הנדון עבור המטען.q = 4πε 0 נפתור את משוואת פואסון עם מטען נקודתי, עם תנאי שפה על שפת הכדור: φ = q ε 0 δ (r R) φ (r s ) = 0 (.35) נפתור את הבעיה באמצעות מטען דמות Q, הנמצא בנקודה R מחוץ לכדור (Q,q והראשית חלים על אותו ישר) R = R ˆR (.36) 4 הרצאה רביעית 9
אלקטרוסטטיקה.3 פונקצית גרין עבור גאומטריה כדורית נכתוב את הפוטנציאל ששני המטענים יוצרים: ( ) φ (r) = q 4πε 0 r R + Q r R (.37) = q Q 4πε 0 r ˆr R ˆR + r R ˆR r (.38) R ˆr נדרוש ש 0 = (a φ. r) = אם, באמצעות בחירה של R, Q נוכל לקיים את התנאי, אז זהו הפתרון. נשתמש בזהות: ˆr γ ˆR = ˆR γˆr (.39) ˆr γ ˆR = γ ( ˆr ˆR ) + γ = φ (r) = q 4πε 0 r ˆr R ˆR + r φ (r = a) = q 4πε 0 a ˆr R ˆR + a ˆR γˆr Q R ˆr r R Q R ˆr a R כי (.40) נשתמש בזה כדי לכתוב את ˆR (.4) על השפה, ˆR = 0 (.4) אז, ברור שחייב להתקיים R, R a = a אזי המכנה יהיה זהה עד כדי R. R = a R (.43) ו q a = Q R = Q a R (.44) Q = q a R (.45) תנאי השפה מתקיים, וכמובן המשוואה הדיפרנציאלית עצמה מתקיימת, ולכן זהו הפתרון: φ (r) = q 4πε 0 [r R] qa R r a ˆR (.46) R [ ] = q 4πε 0 [r R] a R r a R R (.47) G (r, r ) == כדי לכתוב את פונקצית גרין, נציב r = R,q = 4πε 0 r r a r r a r r (.48) צפיפות המטען על המעטפת, נתונה באמצעות השדה המגנטי בסביבת המעטפת: σ = ε 0 E n (.49) E n E r = φ r (.50) 0
3 פיתוח בפונקציות עצמיות בעיות אחרות באמצעות פונקציות גרין שמצאנו ניתן לפתור בעיות דריכלה שונות בעלות גאומטריה כדורית למשל, למצוא φ בתוך נפח כדור, כאשר φ (r s ) = f (θ, ϕ) (.5) כאשר f פונקציה ידועה ואין מטענים מחוץ לנפח: φ = 0 (.5) את הבעיה הזו ניתן לפתור באופן ישיר באמצעות משוואה (.3). בעיה חיצונית אנחנו טיפלנו בבעיית דריכלה פנימית. באותה צורה, ניתן לדון בבעיה חיצונית. למשל, כדור ברדיוס a שעל מעטפתו פוטנציאל (ϕ φ, r) =,0,θ ובהעדר מטענים מחוץ לכדור r > a, φ = 0 (.53) הביטוי עבור פונקצית גרין הוא אותו הביטוי. ההבדל היחיד הוא שמטען הדמות יהיה בתוך הכדור ( a R > (R < a תנאי שפה שונים נניח ורוצים לפתור את משוואת לפלס בתוך תחום סגור V, φ = 0 (.54) עם תנאי שפה, לפי הנגזרת לפי הנורמל, nˆ, על השפה: φ ˆn = f (r s ) (.55) r=rs כאשר f פונקציה ידועה. זוהי בעיית נוימן. המשמעות הפיזיקלית שלה: הנגזרת הנורמלית היא פילוג המטען על שטח השפה. אנחנו לא נעסוק בבעיה הזו. 3 פיתוח בפונקציות עצמיות 5 3. דוגמה חד ממדית כאשר התחום הוא בין 0 ל a, הלפלסיאן בממד אחד, הוא נגזרת שני לפי x, אזי, פונקציית גרין מקיימת: d dx G (x, x ) = 4πδ (x x ) G (0, x ) = G (a, x ) = 0 (3.) למרות שהעולם הוא תלת ממדי, הבעיה מתארת באופן מדויק גם שני לוחות אינסופיים מקבילים עם התפלגות פוטנציאל אחידה. אין שום רכיב שתלוי ב z,y, ולכן היא שקולה לבעיה החד ממדית הנתונה נפתור זאת בכמה שלבים: 3.. נטפל בבעיה אחרת: נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית: 0 x a d ψ dx + k ψ = 0, ψ (x = 0) = ψ (x = a) = 0 (3.) זוהי משוואה המתארת, למשל, תנודות של מיתר עם קצוות ב a,0, או המשוואה הדיפרנציאלית ממכניקה קוונטית של חלקיק בקופסה (בבור פוטנציאל אינסופי). אנחנו יודעים לפתור כאלו משוואות ואנחנו יודעים שהפתרונות קיימים רק עבור ערכים מסיימים של k, ערכים עצמיים והפתרונות הן פונקציות עצמיות 5 הרצאה חמישית
3 פיתוח בפונקציות עצמיות 3. דוגמה חד ממדית הפתרון הכלי של המשוואה הוא ψ (x) = A sin kx + B cos kx (3.3) ψ (0) = 0 B = 0 (3.4) ψ (a) = 0 sin ka = 0 (3.5) k = π n, n =,,... (3.6) a ψ n (x) = k n = אזי, נבחר את המקדם באופן שרירותי ונכתוב: a sin k nx (3.7).( a אלו הן פונקציות עצמיות מנורמלות. (כך ש = ψ 0 ( π ) n (3.8) a הם הערכים העצמיים. 3.. הפונקציות הללו מהוות בסיס (x) ψ n מהוות מערכת פונקציות שלמה ואורתונורמלית, על הקטע [a,0], עם תנאי שפה אפס. אורתונורמליות: a 0 ψ nψ m dx = δ nm (3.9) כל הפונקציות בפיסיקה. יש הגבלות, מתמטיקאים אפילו יודעים לנסח אותם, אבל בשביל פיזיקאים כל הפונקציות לכן, כל פונקציה המוגדרת על הקטע (אם אותם תנאי שפה), ניתנות לפיתוח כסכום של הפונקציות אז נרשום את פונקצית גרין G (x, x ) = A n (x ) ψ n (x) (3.0) n= נציב למשוואה (.) A n (x ) ( kn) ψn (x) = 4πδ (x x ) (3.) n a kna n (x ) ψm(x)ψ n (x) dx n 0 } {{ } δ nm = 4π נכפיל ב ( x ) ψ m ונבצע אינטגרציה על x: dxψ m (x) δ (x x ) (3.) אזי מקדמי הפיתוח יהיו A m (x ) = 4π km ψm (x ) (3.3) G (x, x ) = n אזי 4π kn ψn (x ) ψ n (x) (3.4) זוהי תוצאה כללית. הגענו אליה באמצעות דוגמה, אבל לא השתמשנו באופן מפורש בתוצאה של המד ח. תמיד ניתן לכתוב את פונקצית גרין בתור פיתוח של פונקציות עצמיות.
3 פיתוח בפונקציות עצמיות 3. פונקצית גרין עבור מלבן נציב את הביטוי המפורש של הפונקציות ונקבל = 4π a n= ( a ) ( πn ( πn ) sin πn a x ) sin a x (3.5) זוהי שיטה כללית אם יודעים את הפונקציות העצמיות עבור גאומטריה נתונה ניתן לכתוב את פונקצית גרין בתור סכומן. הבעיה עם השיטה הזו היא שהיא נותנת לנו טור, שלא תמיד ניתן לחשב את סכומו בקלות. במקרה הזה, זהו פיתוח של פונקצית גרין בטור פוריה. אנחנו רק נכתוב את התשובה ונבדוק אותה: { G (x, x ) = 4π x (x x ), x < x (3.6) a x (a x), x > x מיד רואים שהיא מקיימת את כל תנאי השפה, ומהצבה : עבור x x d G dx = 0 (3.7) יש לראות שעבור x x, = יש סינגולריות, פונקצית דלתא, במיקום הנכון: d dx G (x, x ) = 4πδ (x x ) (3.8) רואים שלנגזרת הראשונה של הפונקציה יש קפיצה. נבצע אינטגרל על x באזור קטן סביב x, אזי נקבל d dx G (x, x ) x=x +0 x=x 0 = 4π (3.9) נגזור את G, ונוודא שגם התנאי הזה מתקיים: d dx G (x.x ) = x 4π (3.0) x +0 a d dx G (x.x ) = 4π x 0 a (a x ) (3.) נחסר את שני הביטויים ונקבל שההפרש הוא אכן 4π. ולכן זוהי אכן פונקצית גרין עבור הבעיה שהגדרנו 3. פונקצית גרין עבור מלבן נדבר על בעיה שמוגדרת במישור בתור מלבן, שהיקפו הוא עקום C, שצלעו a בכיוון x ו b בכיוון y, והמעטפת מוארקת. נמקם מטען נקודתי בנקודה ) y x),, ונחפש את הפוטנציאל בנקודה (y,x), גם היא בתוך המלבן. (כדי להקביל זו מבעיה אמתית זהו צינור אינסופי עם חתך מלבני, ולכן הכל סימטרי בציר z, והמטען הנקודתי הוא חוט מטען אינסופי). פונקציית גרין מקיימת את המשוואה ( ) d dx + d dy G (x, y; x, y ) = 4πδ (x x ) δ (y y ) (3.) עם תנאי השפה G (x, y; x, y ) x,y C = 0 (3.3) 3
3 פיתוח בפונקציות עצמיות 3. פונקצית גרין עבור מלבן. בעיית פונקציות עצמיות: משוואת הערכים העצמיים: ( ) d dx + d dy ψ + k ψ = 0 (3.4) זו אינה משוואת לפלס ואינה משוואת פואסון, כי אם בעיית פונקציות עצמיות. נפתור אותה עם תנאי שפה ψ (x, y = 0) = ψ (x, y = a) = ψ (x = 0, y) = ψ (x = a, y) = 0 (3.5) ψ nm (x, y) = הפתרון הוא ברור מהדוגמה החד ממדית: a b sin (p nx) sin (q m y) (3.6) אלו הפונקציות העצמיות המתאימות לגאומטריה. הערכים העצמיים הם: k nm = p n + q m (3.7) p n = π a n, q n = π m (n, m =,, 3...) (3.8) b a a dx b 0 ואלו הן פונקציות אורתונורמליות: dyψ sl (x, y) ψ nm (x, y) = δ sn δ rm (3.9). נכתוב את פונקצית גרין G (x, y; x, y ) = n,m A nm (x, y ) ψ nm (x, y) (3.30) נציב במשוואה (.) המגדירה את פונקצית גרין, ונגזור פעמיים: A nm (x, y ) ( p n qm) ψnm (x, y) = 4πδ (x x ) δ (y yi) (3.3) n,m כפל ב ( y ψ sr,x) ואינטגרל על,x y נותנים את מקדמי הפיתוח (בהתבסס על האורתונורמליות של הפונקציות העצמיות) A sr (x, y ) ( p s + q r) = 4πψ sr (x, y ) (3.3) ולכן פונקצית גרין תהיה G (x, y; x, y ) = 4π p n= n + qm ψnm (x, y ) ψ nm (x, y) (3.33) = 4π 4 sin (p n x ) sin (p n x) sin (q m y ) sin (q m y) ab p n + qm (3.34) n,m= p n = πn a, q m = πm b כאשר, (n, m =,..., ) (3.35) במראה הזה, אפשר לעשות סכום על m, ולהישאר עם סכום אחד. אנחנו לא נתעסק עם זה כרגע. נשתמש בפונקציה הזו כדי לפתור בעיה באלקטרוסטטיקה. 4
3 פיתוח בפונקציות עצמיות 3. פונקצית גרין עבור מלבן 6 3. בעזרת פונקצית גרין, נפתור בעיה אחרת באלקטרוסטטיקה: במלבן שאורך צלעותיו,a b (המעטפת היא עקם C). נתון = 0 φ על השפה, פרט לבסיס התחתון (צלע שאורכה a שנמצע על ציר ( x ובו הפוטנציאל.φ (x, y = 0) = V אין מטענים בתוך התחום. רוצים למצוא את y) φ (x, בתוך המלבן. שוב, באמצעות נוסחה G y y =0 זו בעיה אחרת באלקטרוסטטיקה, בעלת גאומטריה דומה לבעיה שכבר פתרנו. :(.3) φ (r) = φ (r c ) G 4π C y dl (3.36) φ (x, y) = V a ( dx G ) y (3.37) 4π 0 y =0 הכיוון של הנורמל ה ŷ, ולכן הסימן, הוא מינוס. נחשב את הנגזרת של פונקצית גרין: = 6π ab m,n= φ (x, y) = V 4π 6π ab a 0 p n + qm sin (p n x ) sin (p n x) q m q m p n + qm sin (p n x) sin (q m y) n,m dx sin p n x = cos p n x p n a 0 sin(y=0) {}}{ sin q m y (3.38) נציב במשוואה לפוטנציאל ונקבל: a 0 sin (p n x ) dx (3.39) נחשב את האינטגרל: { = /p n, n =,, 3,... 0, n =, 3,... (3.40) כאשר ההפרדה לזוגי/אי זוגי היא לצורך הצבה במחזורים של.cos לבסוף, נקבל φ (x, y) = 8 V av n=,3,... sin (p n x) p n q m p n + qm sin (q m y) (3.4) קיבלנו טור, ולא ביטוי סגור (ניתן לחשב אותו עבור m), ואנחנו נסתפק בפתרון מדויק של מקר פרטי. 4. ניקח b, כלומר, גובה הקופסה, בכיוון y, הוא אינסופי. לקירות פוטנציאל אפס, ובבסיס נקבע פוטנציאל V. נגדיר m q = q m+ q m = π b (3.4) עבור b, q הוא מספר אינפינטיסימלי F (q m ) = m F (q m ) q (3.43) q m= = b π b= 0 את הסכום ניתן להחליף באינטגרל, כי 0 q, q dq p sin (qy) (3.44) n + q קבענו את הגבול התחתון באפס כי הגבול התחתון הוא 0 q, = b π π e pny (3.45) 6 הרצאה שישית 5
4 הפרדת משתנים φ (x, y) = 8V a = 4V π n=,3,... n=,3,... sin (p n x) p n e pny (3.46) n e πny/a sin πnx a p. n = πn a נבדוק שהפוטנציאל מקיים את תנאי השפה: φ (x, y = 0) = 4V π n=,3,... sin (πnx/a) n (3.47) כאשר בשלב האחרון הצבנו את (3.48) 4π 4 ולכן זה טור פוריה משויים, שישנם בו רק מקדמים אי זוגיים, והסכום שווה ל φ (x, y = 0) = V (3.49) זוהי דרך לחשב סכומים בהינתן למשל, שהסכום על הבסיס ידוע. φ (x, y) 4V π e πy/a sin πx a עבור,y a (3.50) כלומר, כמתרחקים מהבסיס, הפוטנציאל נופל אקספוננציאלית. 4 הפרדת משתנים ננסה לפתור, את משוואת לפלס עבור הבעיה שכרגע פתרנו, בשיטת הפרדת משתנים: מלבן שבסיסו a, ועל בסיסו פוטנציאל V, גובהו אינסופי ועל קירותיו הפוטנציאל מתאפס, ובתוך המלבן אין מטענים. נפתור את משוואת לפלס עבור הבעיה: ( ) d dx + d dy φ (x, y) = 0 0 y <, 0 x a (4.) φ (x, y = 0) = V, φ (x = 0, y) = φ (x = a, y) = 0 (4.). נתעלם לרגע מתנאי שפה, ונסכל שלמשוואת לפלס ישנם פתרונות מהצורה φ (x, y) = X (x) Y (y) (4.3) כאשר,X Y פונקציות כלשהן. אכן, עם נציב את הניחוש למשוואת לפלס, נגזור ונקבל Y d X dx + X dy dx = 0 d X X dx + Y d Y dy = 0 (4.4). Y במקום משוואת לפלס, קיבלנו משוואה d Y dy = α d, X קבוע כלשהו ו X dx וזה נכון רק אם α = דיפרנציאלית רגילה, בממדה אחד (פעמיים..): אז הפתרון הוא מכפלה של הפתרון עבור X ופתרון עבור Y φ α (x, y) = (A sin αx + B cos αx) ( Ce αy + De αy) (4.5) כלומר, משוואת לפלס מקיימת הפרדת משתנים במערכת צירים קרטזית. קיימות עוד מערכות צירים בהם משוואת לפלס מקיימת הפרדת משתנים (למעשה, יש מערכות צירים כאלו). על ידי בחירה של הקבועים ניתן לקיים חלק מתנאי השפה: 6
4 הפרדת משתנים 4. הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות אנחנו רוצים שהביטוי יתאפס ב 0 = X, לכן = 0 B. אנחנו רוצים לאפס את הפוטנציאל ב a X, = אז התנאי השני ידרוש = 0 αa sin או, α n = π n,... n =,,... (4.6) a עבור y, אנחנו לא רוצים שהביטוי יתבדר, והסופיות דורשת = 0 C. ( πn ) φ (x, y) = A n D sin }{{} a x e πn /ay C n (4.7) פונקציות אלו מקיימות את תנאי השפה על הקירות הם מתאפסים שם, אבל הן אינן מקיימות את תנאי השפה פוטנציאל V על הבסיס. φ n (x, y) = 7 3. נחפש פתרון המהווה צרוף לינארי של הפונקציות העצמיות n= c n e πny/a sin πn a x (4.8) צריך להראות שניתן לבחור את המקדמים כך שהביטוי ייתן את הפוטנציאל הדרוש על הבסיס. הצרוף מקיים את המשוואה (כי כל איבר מקיים את המשוואה), ונשאר רק לדאוג לתנאי על הבסיס. מה שנקבל הוא פיתוח כטור פוריה: φ (x, y = 0) = V = n= C n sin πnx a (4.9) V sin πmx a :x ונבצע אינטגרציה על,sin πm a dx = a C n n= 0 sin πnx a נכפיל את שני החלקים בפונקציה πmx sin dx (4.0) a באגף הימני יש לנו פונקציות אורתוגונליות, לכן האינטגרל משמאל הוא, a δ nm אזי C n = a V a 0 φ (x, y) = 4 π V { sin πmx d dx = a a V πm, m =, 3,... 0, m =, 4,... n=,3,... n e πny/a sin πnx a (4.) וקיבלנו (4.) וקיבלנו את אותו פתרון כמו באמצעות פונקצית גרין. ארקטנגנסים, סינוסים וסינוסים היפרבוליים. גם כאן, ניתן להגיע לביטוי סגור באמצעות 4. הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות ניתן להפריד משתנים במשוואות לפלס גם בקואורדינטות כדוריות. כלומר, הביטוי הבא: φ lm (r, θ, ϕ) = R l (r) P (m) l (cos θ) Q m (ϕ) (4.3) מקיים את משוואת לפלס: φ = 0 (4.4) 7 הרצאה שביעית 7
4 הפרדת משתנים 4. הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות כאשר P l הם פולינומי לג נדר. בדרך מופיעים שני קבועים,l, m בפיתוח הקודם הופיע רק קבוע, α, אבל כאן יש שלוש משוואות, ולכן יש שני קבועים. לא נעשה את הפיתוח שוב. הביטוי מקיים את משוואת לפלאס אם הפונקציה Q מקיימת: sin θ ( d sin θ dθ Q m d Q m dϕ = m Q m e imϕ (4.5) הפונקציה P מקיימת משוואה יותר מסובכת: ) (m) ] dp l + [l (l + ) m dθ sin P (m) l = 0 (4.6) θ כלומר, פולינומי לג נדר הם פתרון של המשוואה הדיפרנציאליות מסדר שני הנדונה. [(m) הוא האינדקס m]. הפונקציה R מקיימת את המשוואה הרדיאלית: ( d r dr ) l = l (l + ) R l (r) = Ar l + Br l (4.7) dr dr R l אנחנו רוצים שכל הפונקציות הללו יהיו חד ערכיות וסופיות של הפונקציות התלויות ב θ ו ϕ, מכתיבות ערכים של l: l = 0,,,..., m = l, l +,..., l, l (4.8) Y l,m = פונקציה כדורית הם מערכת מנורמלת התלויה בפולינומי לג נדר l + (l m)!? (l + m)! P (m) l (cos θ) e imϕ (4.9) אבל אנחנו לא נשתמש בפונקציות כדוריות, כי נסתכל רק על המצב שבו = 0 m. π 0 עבור = 0 m φ l0 (r, θ) = φ l (r, θ) = R l (r) P l (cos θ) (4.0) כאשר P l הם פולינומי לג נדר. הם אורתונורמליים: sin θdθp l (cos θ) P l (cos θ) = l + δ ll (4.) כל פונקציה של θ ניתן לפתח בפולינומי לג נדר, (θ P. l (cos כלומר, f (θ) = A l P l (cos θ) (4.) l=0 כאשר את מקדמי הפיתוח ניתן למצוא מתנאי האורתוגונליות: f (θ) P l (cos θ) sin θdθ = A l P l (cos θ) P l (cos θ) dθ = A l l + l=0 }{{} l+ δ ll (4.3) אזי A l = l + π 0 f (θ) P l (cos θ) sin θdθ (4.4) 8
4 הפרדת משתנים 4. הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות 4.. נפתור בעיה פיזיקלית: נתון כדור בעל רדיוס a, הפוטנציאל על פני הכדור φ (r = a, θ) = V (θ) (4.5) זה אינו המקרה הכי כללי אפשר לעשות פוטנציאל שתלוי בשתי הזוויות,,θ. ϕ מקרה זה, שבו הפוטנציאל תלוי רק ב θ, נקרא סימטריה אזימוטלית. נגדיר בעיית דריכלה: צריך למצוא את הפוטנציאל, (θ φ,,r) בתוך הכדור. יש לפתור את משוואת לפלס עם תנאי השפה הנ ל: φ = 0, φ (a, θ) = V (θ) (4.6) אנחנו יודעים שהפוטנציאל יהיה תלוי ב θ,r, אבל לא ב ϕ, ולכן הסט המתאים הוא הסט עבור = 0 m. φ l (r, θ) = R l (r) P l (cos θ) = ( A l r l + B l r l ) P l (cos θ) (4.7) ביטוי זה מקיים את משוואת לפלס. כדי לקיים את תנאי השפה, נדרוש = 0 l B, אחרת תהיה לנו התבדרות של פוטנציאל במרכז. נחפש את הפתרון כסכום על l: φ (r, θ) = A l r l P l (cos θ) (4.8) l=0 ואת המקדמים נמצא באמצעות תנאי השפה על פני הכדור: r = a, V (θ) = l A l a l P l (cos θ) (4.9) מקדמי פיתוח נתונים במשוואה (4.4). A l = l + a l π 0 V (θ) P l (cos θ) sin θdθ (4.30) פתרנו בעיית דריכלה עם תנאי שפה שרירותי על פני הכדור (בתנאי שהפוטנציאל תלוי ב θ ולא ב ϕ ) זה אינו ביטוי סגור, אבל עבור פונקציה שרירותית (θ) V ניתן לכתוב פתרון של הבעיה כסכום של פולינומי לג נדר עם המקדמים הנתונים. בעיה זו אנחנו יודעים לפתור גם באמצעות פונקציות גרין כי אנחנו יודעים את פונקצית גרין עבור כדור. בשיטות שונות מגיעים לביטויים שונים באמצעות פונקצית גרין, קיבלנו ביטוי עד כדי אינטגרל וכאן קיבלנו עד כדי סכום. באופן כללי לא נוכל לבצע את האינטגרל, אולי נוכל לפתח אותו כסכום, אבל כאן קיבלנו את התשובה כסכום ולא כאינטגרל אבל התוצאה הסופית צריכה לצאת אותו הדבר. כך ניתן ללמוד דברים שונים על הבעיה גם כשלא ניתן לפתור אף אחד מהם באופן מדויק. בדיוק באותה צורה, ניתן לטפל בבעיית דריכלה חיצונית. בפונקציה הרדיאלית נצטרך לשמור את הקבוע B במקום את A, כדי שהפונקציה לא תתבדר באינסוף. כדי למצוא פוטנציאל בין שני קליפות כדוריות, נצטרך לשמור את שני האיברים בפונקציה הרדיאלית. 4.. הפרדת משתנים בקואורדינטות גליליות 8 נבצע בצורה מפורטת יותר הפרדת משתנים בקואורדינטות גליליות. נקודה מאופיינת על ידי שלוש קואורדינטות z, הזווית מציר x (מהיטל על מישור (xy ϕ, והרדיוס במישור,.ρ φ = φ ρ + φ ρ ρ + φ ρ ϕ + φ z = 0 (4.3) 07.04.009, 8 מופיע בתור רשימות של בוריס באתר הקורס עם יותר פרטים 9
4 הפרדת משתנים 4. הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות d נכתוב φ (ρ, ϕ, z) = R (ρ) Q (ϕ) Z (z) (4.3) כדי להשתכנע שזה נכון, נציב, נגזור, ונחלק ב RQZ. R dρ + dr ρr dρ + d Q ρ Q dϕ + d Z Z dz = 0 (4.33) d, Z וכל שאר המשוואה Z dz האיבר האחרון תלוי רק ב z, ולכן, כדי שכל הביטוי יהיה שווה לאפס, נדרוש = k שווה ל k d Z Z dz = k Z (z) = Ce kz + De kz (4.34) d R R dρ + dr ρr dρ + d Q ρ Q dϕ = k (4.35) ρ אזי נכתוב את זה בצורה קצת אחרת: d R R dρ + ρ dr R dρ + k ρ + d Q Q dϕ }{{} = 0 (4.36) }{{} m m d Q Q dϕ שלושת האיברים האחרונים תלויים רק ב ρ והאיבר האחרון רק ב ϕ. אזי האיבר האחרון הוא קבוע = m Q (ϕ) = C sin (mϕ) + D cos (mϕ) (4.37) d R dρ + dr ρ dρ + (k + m ρ ) R = 0 (4.38) זוהי משוואת בסל, משוואה לינארית מסדר שני. הקושי כאן הוא שהמקדם תלוי ב ρ. למשוואה לינארית מסדר שני תמיד יש שני פתרונות בלתי תלויים הם מכונים פונקציות בסל (או פונקצית בסל ופונקציית נוימן) הפתרון הכללי: Bessel Neumann {}}{{}}{ R (ρ) = AJ m (kρ) + BN m (kρ) (4.39) פונקציות בסל מופיעות בכל בעיה עם סימטריה גלילית. באופן כללי, φ km (ρ, ϕ, z) = [AJ m (kρ) + BN m (kρ)] [C sin (mϕ) + D cos (mϕ)] [Ce kz + De kz] (4.40) וביטוי זה מקיים את משוואת לפלס. פונקציות בסל נגדיר d R (x) dx x = kρ (4.4) וממשוואה (4.38), נקבל את + ) dr (x) + ( m x dx x R (x) = 0 (4.4) הפתרונות יהיו (x) J, m,(x) N m שני פתרונות בלתי תלויים. נחקור את תכונות הפונקציות הללו. 0
4 הפרדת משתנים 4. הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות J m (x) m! עבור x, ניתן לפתח את J m לטור טיילור, ( x ) m (4.43) כלומר, פונקצית בסל (של כל סדר m, מלבד J, 0 מתאפסת בראשית. = (0) 0 J) לעומת זאת, { (m )! N m = π, m =,,... π ln ( ) (4.44) x, m = 0 אפשר לפתח גם פיתוחים אסימפטוטיים לפונקציות הללו, הצורה שלהם עבור x (ואולי אפילו x) m, J m (x) (x πx cos πm π ) 4 N m (x) (x πx sin πm π ) 4 (4.45) (4.46) פיתוח של פונקצית בסל לטור פורייה: ל ( x ) J m ישנם אינסוף אפסים. נסמן ב x ms אפס מספר s עבור הפונקציה (x).(s =,,...) J m בציר ρ, נתבונן בקטע מ 0 עד a. אם נדרוש שפונקציית בסל תתאפס בקצה, J m (ka) = 0 (4.47) נקבל את הערכים הבאים של k: ka = x ms k ms = a x ms (4.48) {( ( {. זהו סט של פונקציות ממסופרות על ידי אינדקס s. הפונקציות הללו, ρ J m xms a עבור m מסוים, s=,,... עבור כל m, מהוות סט שלם ואורתוגונלי על קטע ρ a 0. תנאי האורתוגונליות: a 0 ( ρ ) ( ρj m x ms J m a x ms ρ ) dρ = a a J m+ (x ms ) δ ss (4.49) כל פונקציה (ρ) f (כל פונקציה שמתארת מציאות פיזיקלית שמעניינת אותנו) ניתן לפתח בסט הזה. f (ρ) = ( ρ ) A ms J m x ms a s= (4.50) a 0 טור זה נקרה טור פוריה בסל. ρ ) f (ρ) ρj m (x ms dρ = a A ms a J m+ (x ms ) δ ss s (4.5) a = A ms J (x ms ) (4.5) A ms = a J m+ (x ms) a 0 ואלו הם מקדמי הפיתוח. ( ρ ) f (ρ) J ms x ms dρ (4.53) a
5 פיתוח במולטיפולים דוגמה גליל בגובה L וברדיוס a. נקבע פוטנציאל על כל הגליל על הבסיס העליון 0 V φ, = ובמעטפת ובבסיס התחתון, הפוטנציאל יהיה אפס, = 0 φ. צריך למצוא (z φ,ρ) בתוך הגליל. היות ואין תלות ב ϕ, מספק לעבוד עם פונקציות מהצורה: φ k (ρ, z) = R k0 (ρ) Z k (z) (4.54) עקב התנאי = 0 0) = z,φ (ρ, Z k = Ce kz + De kz (4.55) sinh (kz) (4.56) (כי רק אז הביטוי יתאפס עבור = 0 z). סופיות ב 0 ρ, דורשת ש R k0 (ρ) J 0 (kρ) (4.57) φ k0 (ρ, z) = J 0 (kρ) sinh (kz) (4.58) עוד לא השתמשנו בתנאי ש 0 = φ על המעטפת. זה ידרוש: J 0 (k, a) = 0 k 0s = a x 0s (4.59) ( J x0s 0 a (ρ sinh ( x 0s מקיים את משוואת לפלס ואת תנאי השפה על המעטפת, ועל הבסיס התחתון. אזי הביטוי (ρ a הוא אינו מקיים את התנאי על הבסיס העליון. φ (ρ, z) = s= ( x0s ) ( C s J 0 a ρ x0s ) sinh a z (4.60) ניקח את התנאי Z = L ונקבל V = s= ( x0 s ) ( C s J 0 a ρ x0s ) sinh a L (4.6) C s = הפתרון המפורט נמצא ברשימות של בוריס. התשובה הסופית: V x 0s J (x 0 s) sinh ( x 0s a L ) (4.6) 5 פיתוח במולטיפולים 9 5. דוגמאות פשוטות מטען נקודתי (מונופול). בנקודה r הוא יוצר פוטנציאל φ (r) = 4πε 0 q r (5.) דיפול שני מטענים, האחד q±, על ציר z, במרחק d מהראשית. עבור קונפיגורציה כזו של מטענים φ (r) = q 4πε 0 ( ) r + r (5.) 9.04.009 9
5. המקרה הכללי עבור קונפיגורציה שרירותית של מטענים 5 פיתוח במולטיפולים (כאשר + r, r הם המרחקים מכל אחד מהמטענים). מטריגונומטריה, r ± = r + ( ) d rd cos θ (5.3) (כאשר d המרחק בין המטענים ו θ היא הזווית בין ציר z לווקטור r) במרחק גדול מהדיפול, עבור r, d נזניח את האיבר הריבועי ב d, r rd cos θ (5.4) ניתן להגדיר דיפול נקודתי, כאשר 0 d ו q, אבל לא נתעסק עם זה בינתיים. r ± = r rd cos θ r ( dr ) cos θ (5.5) [ ] = r + r r d r cos θ + d r cos θ ולכן, (5.6) φ (r) = d cos θ (5.7) r לכן, פוטנציאל של דיפול במרחקים גדולים q d cos θ 4πε 0 r (r d) (5.8) ניתן לכתוב את הביטוי גם בצורה φ (r) = 4πε 0 p ˆr r = 4πε 0 p r r 3 (5.9) כאשר [ ( d p = ẑ q + d ) ] ( q) = qdẑ (5.0) הדיפול מתואר על ידי וקטור p, בכיוון החיובי של ציר z, (מהמטען השלילי למטען החיובי)., d על ציר z, נמקם שני מטענים שגודלם. q זהו קוואדרופול בראשי נמקם מטען q, במרחק קוואדרופול לינארי. מומנט הדיפול ומומנט המונופול של הקונפיגורציה הזו של מטענים הוא אפס. (המטען (p = ẑ ( d q + ( ) ) הכולל הוא אפס, ו 0 = q d במרחק גדול מקונפיגורציית המטענים φ (r) r 3 (5.) אפשר לחשב זו ישירות, אבל לא נטרח, כי עוד מעט נחשב זאת עבור קונפיגורציה כללית של מולטיפול קוואדרופול מישורי, ארבעה מטענים, נמצאים על צלעות ריבוע, כאשר בקדקודים מנוגדים יש מטענים שווי סימן. גם כאן, במרחקים גדולים, הפוטנציאל ידעך כמו r 3 5. המקרה הכללי עבור קונפיגורציה שרירותית של מטענים 5.. הקדמה מתמטית פיתוח של ) r f (r לטור טיילור ב r סביר r נסמן (x, x, x 3 ) = r (5.) (x, x, x 3) = r (5.3) 3
5 פיתוח במולטיפולים 5. המקרה הכללי עבור קונפיגורציה שרירותית של מטענים 3 f (x x, x x, x 3 x f 3) = f (x, x, x 3 ) + ( x x α) + α= α }{{} r f 3 α,β= f x α x β x α x β (5.4) אבל עדיף לא להשתמש בקיצורים עם. 5.. פיתוח נתון פילוג צפיפות מטען שרירותי ) r) ρ בתוך תחום מיסויים. נבחר את ראשית הצירים בנקודה O, בתוך התחום. נסתכל על השפעת המטענים על הנקודה r, הרחק מחוץ לתחום שבו יש מטען. φ (r) = d 3 r ρ (r ) (5.5) 4πε 0 r r = d 3 r 3 ( ) 4πε 0 r + x α + 3 x x α r αx ( ) β +... (5.6) x α x β r α= α,β= האיבר הראשון של הפיתוח (מונופול) תורם לפוטנציאל תרומה φ 0 φ 0 = q 4πε 0 r, q = d 3 r ρ (r ) (5.7) אם המטען הכולל אינו אפס, זו התרומה העיקרית לפוטנציאל. φ = 4πε 0 α p α x α ( ), p α = r האיבר השני דיפול d 3 r ρ (r ) x α (5.8) ל p יש שלושה רכיבים, והוא מגדיר וקטור. אנחנו מפתחים כרגע ברצף, אבל ניתן לעשות זאת עבור מטענים נקודתיים ) r) ρ הוא סכום של פונקציות דלתא. r = x + x + x 3 (5.9) x α r = r r = x α x α r r (5.0) אזי ניתן לכתוב את φ (r) = ( ) 4πε 0 r 3 p α x α (5.) α קיבלנו בחישוב ישיר את אותו הביטוי כמו בחישוב ישיר עבור מטענים = 4πε 0 p r r 3 (5.) φ (r) = 4πε 0 6 3 α,β= D αβ x α x β ( ) r D αβ = 3 קוואדרופול d 3 r ρ (r ) x αx β (5.3) כאשר D הוא טנזור, שניתן לכתוב גם באמצעות מטריצה. 4
5 פיתוח במולטיפולים 5.3 פיתוח פורמלי בסדרים גבוהים Q αβ = D αβ δ αβ מקובל להגדיר טנזור קצת אחר d 3 r r ρ (r ) (5.4) לטנזור Q נקרא טנזור המומנט הקואדרופולי. Q αβ = d 3 r ρ (r ) ( 3x α x β r δ αβ ) (5.5) 3 traceq = Q αα = α= העקבה של Q, d 3 r ρ (r ) ( 3x + 3x + 3x 3 3r ) = 0 (5.6) α,β אזי התרומה הקוואדרופולית לפוטנציאל היא φ (r) = ( ) Q (5.7) 4πε 0 6 x α x β r α,β אם כן, למה מותר לפנו להחליף את D ב Q? צריך להראות שהאיבר שמבדיל בין Q ל D שאינו תורם לביטוי ( ) ( ) δ αβ = α=β = = 0 r 0 (5.8) x α x β r x α r x α x β ( ) = r x α φ (r) = 4πε 0 6 α = x β x α 4 = x β r 4 נותר לנו לחשב איבר אחד את הנגזרות המעורבות: ( ) = ( xβ ) (5.9) x β r x α r 3 ( ) r 3 x β (5.30) r 3 x α r x α r 3 δ αβ (5.3) = 3x αxβ r 5 r 3 δ αβ (5.3) α,β Q αβ ( 3xα x β r 5 r 3 δ αβ ) נחזור לביטוי עבור φ (5.33) אבל האיבר השני אינו טורם, משום ש 0 = traceq αβ δ αβ = α Q αα = φ (r) = 4πε 0 α,β Q αβ x α x β r 5 (5.34) ניתן להמשיך בפיתוח הנ ל לאוקטפול וכן הלאה. 5.3 פיתוח פורמלי בסדרים גבוהים 0 אם רוצים להמשיך לסדרים גבוהים יותר, זה מתחיל להיות מאוד כבד. נפתח סדרים גבוהים יותר באמצעות תכונות של פונקציות כדוריות. 9.04.009, 0 שעה שנייה 5
5 פיתוח במולטיפולים 5.3 פיתוח פורמלי בסדרים גבוהים תזכורת עבור בעיה בעלת סימטריה אזימותלית, פתרון של משוואת לפלאס: (r, θ) = R l (r) P l (cos θ) (5.35) l=0 φ (r, θ = 0) = אם נסתכל על ציר (θ = 0) z : R l (r) (5.36) l=0 אם (0,r) φ, הפוטנציאל על ציר z, ידוע, אז ניתן לשחזר את הפוטנציאל בכל המרחב. נפתח את הפוטנציאל במרחב נתבונן בבעיה פשוטה של מטען נקודתי על ציר z, במרחק r מהראשית. נסתכל על פוטנציאל בנקודה r, בזווית θ מציר ẑ. הפוטנציאל בנקודה, r φ (r, θ) = 4πε 0 r r (5.37) עבור = 0,θ ו r r > φ (r, θ = 0) = 4πε 0 r r = 4πε 0 r ( 4πε 0 r + r r + r r ( ) r +...) הוא פיתוח של סדרה הנדסית שזה וסכומה r r r (5.38) (5.39) כאשר הפיתוח של = 4πε 0 r ( ) r l (5.40) l r φ (r, θ) = 4πε 0 r r = 4πε 0 r r r = r אזי, לפי הנאמר בתזכורת, ( ) r l P l (cos θ) (5.4) l=0 r בפולינומי לג נדר, P: l r r קיבלנו פיתוח של ( ) r l P l (cos θ) r > r (5.4) l=0 r נקודות שרירותיות נאפיין את r,r על ידי r r = r r = (r, θ, ϕ) (5.43) r = (r, θ, ϕ ) (5.44) כאשר הזווית בין r,r היא γ אזי ( ) r l P l (cos γ) (5.45) l=0 r 6
5 פיתוח במולטיפולים 5.3 פיתוח פורמלי בסדרים גבוהים נרצה לבטא את γ באמצעות הזוויות של הבעיה cos γ = cos θ cos θ + sin θ sin θ cos (ϕ ϕ ) (5.46) P l (cos γ) = P l (θ, ϕ; θ, ϕ ) (5.47) אזי קבענו את ϕ, θ, ונסתכל על הפולינום לג נדר הזה כפונקציה של,θ, ϕ ונפתח אותו בפונקציות כדוריות, (ϕ Y. l,m,θ) זוהי מערכת שלמה, ולכן ניתן לפתח ביטוי כזה. r r = P l (cos γ) = l l=0 m= l 4π l + l m= l Y lm (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) (5.48) זהו משפט ידוע בפונקציות ספריות Theorem).(Addition באמצעות הפיתוח הזה, ניתן לקבל פיתוח במולטיפולים לכל סדר. 4π l + r l+ Y lm (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) r > r (5.49) r l באמצעות הפיתוח הזה, נמצא את (r) φ עבור פילוג כלשהו של מטען (במרחק גדול) φ (r) = 4πε 0 r r ρ (r ) d 3 r (5.50) = [ ] d 3 r Ylm (θ, ϕ ) r l ρ (r Ylm (θ, ϕ) ) (5.5) ε 0 l + r l+ l,m q ml = נגדיר את המומנטים המולטיפולים q ml d 3 r Y lm (θ, ϕ ) r l ρ (r ) (5.5) φ (r) = ε 0 l l=0 m= l ובאמצעותם נרשום את הפוטנציאל l + q Y lm (θ, ϕ) lm (5.53) r l+ q 00 = d 3 r ρ (r ) = q 4π φ (r) = q ε 4π 4π r = q 4πε 0 r :(Y 00 = 4π למשל, עבור = 0,l זהו מונופול ) (5.54) (5.55) ואכן, זו התוצאה המוכרת. 7
6 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה q = עבור =,l דיפול, כבר יהיו שלושה מספרים, : q, q 0, q Y { }}{ d 3 3 r sin θe iϕ rρ (r) (5.56) 8π 3 = d 3 r (sin θ cos ϕ i sin θ sin ϕ) rρ (r) (5.57) 8π 3 4 = d 3 r (x iy) ρ (r) = 8π 8π (p x ip y ) (5.58) q, = q, (5.59) Y 0 {}}{ q,0 = d 3 3 r 4π cos θ rρ (r) (5.60) = 3 4π P z (5.6) אפשר להציב את הגדלים הללו לפוטנציאל φ ולהראות שמתקבל אותו הביטוי. 6 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה זה מושג לא מסובך במיוחד, אבל די עדין. בספרות יש הגדרות שונות לאנרגיה, שלעיטים נראים כמו סתירה. במבט עמוק יותר, רואים שאין סתירה, אלא פשוט ביטויים שונים המתייחסים למצבים שונים. 6. אנרגיה של מטענים בשדה חיצוני נתון (r) E (r), φ הם פוטנציאל ושדה חיצוני. האנרגיה של מטען נקודתי q בנקודה r: 0 W = qφ (r 0 ) (6.) כאשר נניח שעבור r, הפוטנציאל 0 φ. גודל זה הוא העבודה הדרושה להבאת מטען q מאינסוף ל.r 0 אנרגיה של דיפול בשדה חיצוני: הנקודה r 0 היא מרכז הדיפול, כאשר המרחק בין המטענים q± למרכז הדיפול הוא.± d ( W = qφ r 0 + d ) ( qφ r 0 d ) (6.) נניח שהדיפול קטן, כלומר, בכיוון d אין שינויים גדולים בכיוון או בגודל [ ] φ q d = E (r 0 ) p (6.3) r 0 כאשר p, = qd מומנט הדיפול. 6.04.009 8
6 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה 6. דוגמאות הכללה לפילוג (r) ρ של מטען: נבחר נקודה 0 בתוך הפילוג (r) ρ, שהמרחקים ימדדו ביחס אליה. לכן, φ (r) = φ (0) + 3 φ x α x α + φ xα=0 x α x β α= = φ (0) r E (0) = φ 0 r E (0) 6 α,β α,β α,β xβ =0 x α=0 +... (6.4) x α x β E α x β (0) +... (6.5) ( 3xα x β r δ αβ ) E α x β +... (6.6) αβ δ αβ Eα. ההתאפסות של הדיברגנץ על x β = α מותר לנו להוסיף איבר כזה כי = 0 E = השדה קוראת כי מדברים רק על השדה החיצוני. הדיברגנץ של פילוג המטען עצמו אינו מתאפס בתחום. E α x α W = ρ (r) φ (r) d 3 r = φ (0) ρ (r) d 3 r E (0) d 3 rρ (r) r (6.7) E α (0) d 3 rρ (r) ( 3x α x β r ) δ αβ +... (6.8) 6 x β α,β = qφ (0) p E (0) 6 α,β Q αβ E α x β (0) + (6.9) כאשר,q,p Q מאפיינים את פילוג המטען, והאפיון של השדה החיצוני נמצא בפוטנציאל בנקודה ובנגזרות שלו. 6. דוגמאות 6.. אנרגיה של דיפול. דיפול בעל מומנט p (כיוון,θ) ϕ נמצא בראשית הצירים. איזה שדה דיפול זה משרה בנקודה r? φ (r) = 4πε 0 p r = 4πε 0 = r 3 = E (r) [ 3 r 4 ˆr (p r) + r 3 p ( p r ) 4πε 0 r ] 3 (6.0) (6.) 4πε 0 r 3 [3ˆr (p ˆr) p ] (6.) מה היא אנרגיית p, שכיוונו מוגדר על ידי הזוויות ) ϕ)., θ. בנקודה (z,0,0), נמקם דיפול נוסף, האינטראקציה בין שני הדיפולים? הדוגמה היא עדין כללית, כי בהינתן כיוון שרירותי של הדיפולים, תמיד ניתן להגדיר את מערכת הצירים כך שהדיפול יהיה על ציר ẑ. E (z) = W = p E (z) = 4πε 0 z 3 (3ẑp z p ) (6.3) אזי אנרגיית האינטראקציה 4πε 0 z 3 ( 3p zp z + p p ) (6.4) 9
6 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה 6. דוגמאות 3. מה הכוח הפועל, בכיוון ציר z, בין הדיפולים: F z = W z = 3 4πε 0 z 4 ( 3p p z + p p ) (6.5) כיוון הוכח, משיכה או דחייה, תלוי באוריינטציה בין הדיפולים (המכפלות בין המומנטים). כוח דוחה הוא עבור סימן חיובי. F z = p i = p i (sin θ i cos ϕ i, sin θ i sin ϕ i, cos θ i ) i =, (6.6) 4 4πε 0 z 4 p p [ 4 cos θ cos θ + sin θ sin θ (cos ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ ) + cos θ cos θ ] אזי (6.7) = 3p p 4πε 0 z 4 [ cos θ cos θ + sin θ sin θ cos (ϕ ϕ )] (6.8) כאשר שני הדיפולים הם מקבילים (במישור,(x y אזי = 0 ϕ = ϕ ו,θ = θ = π אזי נשאר רק האיבר sin θ sin θ ו F יהיה חיובי, כוח דחייה. 6.. אנרגיה של אוסף מטענים ישנו מטען q ב r. מביאים מאינסוף מטען q לנקודה r. העבודה הדרושה היא W = 4πε 0 q q r r = 4πε 0 q q r (6.9) האנרגיה הזו יכולה להיות חיובית או שלילית, כתלות בסימני המטען. נכליל את הביטוי לאוסף מטענים כלשהו, אך נתחיל בשלב ביניים נוסף. נביא שוב מאינסוף מטען שלישי, q 3 לנקודה. r 3 העבודה הדרושה: W 3 + W 3 = 4πε 0 ( q 3 q r 3 + q 3 q r 3 ) (6.0) סך הכל, העבודה שדרושה כדי להרכיב את קונפיגורציית שלושת המטענים היא סכום של שלושה איברים היא W = W + W 3 + W 3 (6.) נכליל ל N מטענים q i הוא מטען מס i ו r, i מיקומו (N r). =,... האנרגיה פוטנציאלית הכללית של אוסף המטענים W תהיה: W = W + W 3 +... + W N (6.) + W 3 + W 4 +... W N +... (6.3) N N = W ij (6.4) i= = 4πε 0 j= j>i N i= N j= j>i q i q j r i r j (6.5) 6.04.009, שעה שיניה 30
6 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה 6. דוגמאות נוריד את האילוץ עבור j, > i ונסכם על,i j בלתי תלויים, ונוסיף פקטור חצי כדי לפצות על האיברים הכפולים = 4πε 0 N i,j= i j q i q j r i r j (6.6) נגדיר את הפוטנציאל בנקודה r, i עקב כל המטענים מלבד q i הוא: φ (r i ) = N j= (j i) 4πε 0 q j r i r j (6.7) אזי W = N q i φ (r i ) (6.8) i= 6..3 הכללה לפילוג רציף W = d 3 r ρ (r) φ (r) (6.9) הערה 6. נשווה לביטוי (r) W, = d 3 r ρ (r) φ בשדה חיצוני: כאן הפוטנציאל הוא פוטנציאל חיצוני, נתון, של מטענים אחרים. חשוב להיות מודע להבדלים הללו, ולזכור באיזה מצב אנחנו מטפלים כאן. הקשר בין (r) ρ ל ( r ) φ, במקרה זה, נתון על ידי משוואת פואסון: φ = ε 0 ρ (r) = E = ε 0 ρ (r) (6.30) אזי W = ε 0 φ (r) E (r) d 3 r (6.3) V = [ ] ε 0 (E φ) d 3 r E φd 3 r (6.3) V V = נסתכל בנפרד על החישובים השונים של היטוי: (Eϕ) (6.33) V ולפי משפט גאוס, φe n ds (6.34) נראה שכאשר V, אז הביטוי שואף לאפס. לכאורה זה לא נראה כך, כי גם השפה, V שואפת לאינסוף, אבל φ (R) R, E (r) R (6.35) S אבל שטח המעטפת של, S = V R,V ולכן φe n ds V,S 0 (6.36) 3
6 עבודה ואנרגיה באלקטרוסטטיקה 6. דוגמאות נשאר רק האיבר השני: כאן האינטגרל הוא על כל המרחב, כי בניגוד למטען, השדה קיים בכל מקום במרחב. בתוך ענן הצפיפות ומחוץ לו W = E φ d 3 r (6.37) }{{} all space E = ε E (r) d 3 r (6.38) all space סיכום: עבור אוסף מטענים נקודתי, W = q i q j 4πε 0 r i,j i r j = i j N q i φ (r i ) (6.39) i= כאשר מכלילים את הביטוי לרצף, W = ρ (r) d 3 rρ (r ) d 3 r 4πε 0 V r r = d 3 rρ (r) φ (r) (6.40) V ואחרי כמה פעולות מתמטיות, השתמשנו בקשר בין ρ ו ϕ וקיבלנו את הביטוי, שוב, עבור רצף, W = ε 0 E (r) d 3 r (6.4) allspace כאשר נוסחה (6.4) שקולה לנוסחה (6.40). אבל בביטוי (6.40) הביטוי נראה כמו אנרגיה פוטנציאלית בין מטענים. להבדיל, בנוסחה (6.4), לא מופיעים כלל המטענים, אלא מופיע שדה, והאנרגיה היא בכל המרחב. הפרוש של נוסחה (6.4) היא האמירה שאנרגיה אלקטרוסטטית אצורה בתוך השדה: איפה שיש שדה, יש אנרגיה. לכן, ניתן להגדיר את הביטוי (r) ε 0E כצפיפות האנרגיה בנקודה r. במסגרת אלקטרוסטטיקה, אין משמעות ל היכן ממוקמת האנרגיה. גם המושג עצמו של שדה חשמלי הוא רק עזר מתמטי, בשלב זה. בנוסחה (6.4), 3 השדה מופיע בריבוע כלומר, האנרגיה היא חיובית ממש. לעומת זאת, בנוסחה (6.39), האנרגיה הכללית יכולה להיות שלילית. נוסחה (6.39) היא הגיונית: אם המטענים מנוגדים, צריך להשקיע אנרגיה כדי להפריד אותם לאינסוף, להוריד את האנרגיה לאפס, ולכן האנרגיה היא שלילית. במעבר מ ( 6.39 ) ל ( 6.40 ) לא מאפשרים מטען נקודתי: עבור מטען נקודתי, ρ הוא אינסופי. לכן, עבור מטען נקודתי, לפי נוסחה (6.39), האנרגיה תהיה אפס (לא תהיה אינטראקציה). לעומת זאת, עבור מטען עם צפיפות δ, נוסחה (6.40) תיתן: ρ (r) = qδ (r) = q d 3 δ (r) (6.4) 4πε 0 r והאינטגרל אינו מוגדר: הפונקציה באפס שואפת לאינסוף. עבור מטען נקודתי, E (r) = q 4πε 0 r (6.43) ושוב, אם ננסה לחשב את האנרגיה, נעשה אינטגרל על כל המרחב, נקבל התבדרות: W 0 r dr r 4 (6.44) כלומר, את נוסחאות (6.40) ו ( 6.4 ) לא ניתן ליישם למטען נקודתי. 3.05.009 3 3
7 אלקטרוסטטיקה של חומרים דיאלקטריים נתבונן בכדור טעון, ברדיוס a, בצפיפות אחידה סופית, ρ. = const המטען הכולל, q = 4π 3 a3 ρ (6.45) 4 האנרגיה של פילוג המטען: נחשב זאת באמצעות נוסחה (6.4) { E r = q /r, r > a (6.46) 4πε 0 r/a 3, r < a W = ε 0 allspace d 3 re r (r) = q 6 8πε 0 5a (6.47) כל זמן שהכדור סופי, הביטוי הזה תקף. אבל בגבול של מטען נקודתי: צמצום הכדור לנקודה תוך שמירה על המטען הכולל, ישנה התבדרות של הביטוי. מושג של מטען נקודתי באלקטרודינמיקה אינו חי בכפיפה אחת עם מושג השדה. אבל קשה לוותר על ההשקפה הזו: לפי השקפה מודרנית, האלקטרון, כחלקיק אלמנטרי, הוא מטען נקודתי. לו לאלקטרון היו ממדים, והוא לא היה מטען נקודתי, היה אפשר לדון במבנה הפנימי שלו, דבר שנמנעים ממנו עבור חלקיקים אלמנטריים. כדי ליישב את הבעיה, פיינמן, במהלך הדוקטורט שלו, ניסה להשמיט את השדה, ולדבר רק על אינטראקציה בין מטענים, גם עבור מטענים נעים. כמו כן, את התאוריה הזו היה קשה לקוונטת. 7 אלקטרוסטטיקה של חומרים דיאלקטריים רוב התופעות בפיזיקה, קשורות לנושא הזה, של אינטראקציה שבין שדה אלקטרומגנטי לחומר. לדוגמה, גל אלקטרומגנטי מוחזר, או הצבא הכחול של השמים, מוסברים על ידי אינטראקציה של גלים אלקטרומגנטיים לחומר. הרבה נושאים בפיזיקה עוסקים בנושא זה, אבל אנחנו נגע כאן רק בקצה הקרחון. 7. חומרים דיאלקטריים בצורה גסה, ניתן לחלק את כלל החומרים למתכות ולחומרים דיאלקטריים. במתכות, האלקטרונים חופשיים: בהשפעת שדה חשמלי, תהיה תנועה של אלקטרונים עד לסיכוך של השדה החשמלי: כך שבתוך המתכת השדה יהיה אפס. בחומרים דיאלקטריים אין תנועה חופשית של מטענים. נדון על ההשפעה על חומרים דיאלקטריים כאשר פועל עליהם שדה חשמלי חיצוני. תחת השפעה של שדה, חומר דיאלקטרי מקבל קיטוב, עקב המבנה הפנימי שלו (אטומים, מולקולות), והשדה החיצוני, למרות שהאטומים הם ניטרליים וקשורים, האטומים יכולים לפתח מומנט דיפול, והחומר נעשה מקוטב. איך שדה חיצוני פועל על אטום? בקוונטים, דיברנו על אפקט סטארק: כיצד משתנה האנרגיה ומומנט הדיפול של אטום בשדה חשמלי. כאן נדון במודל קלסי של אטום: גרעין, במטען חיובי q+, וסביבו מרוח ענן של מטען אלקטרונים, שמטענו הכולל q. (קוונטית, פילוג המטען נקבע על ידי הסיכוי למצוא את המטען בכל מקום במרחב, ולא אוסף של פונקציות דלתא ). מסימטריה, בהעדר שדה חיצוני, שום כוח לא פועל על הגרעין: מטען מרוח בצורה אחידה על הכדור לא יוצר שדה במרכז. כאשר נפעיל שדה חיצוני, E, הוא ישאף להזיז את הגרעין, וגם את הענן. כאשר נפעיל שדה, הוא ידחה את הגרעין לכיוון אחד וימשוך את ענן האלקטרונים לכיוון השני. במצב שיווי משקל חדש, הגרעין יהיה מוזז במרחק d מהמרכז. E e השדה שיוצר ענן האלקטרונים בנקודה שבו נמצא הגרעין (לא נסמן את E כווקטור משום שבחישוב זה, כל השדות פועלים על הציר של השדה החיצוני E) E e = 4πε 0 q d a 3 (7.) 4 לניוטון יש פיתוח ממש יפה לזה ב פרינציפיה. אומנם עבור כבידה, אבל זה אותו הדבר. 33
7 אלקטרוסטטיקה של חומרים דיאלקטריים 7. חומרים דיאלקטריים כאשר a רדיוס הכדור. אנחנו מנסים כרגע לקבל הערכה גסה של מומנט הדיפול, ולכן לא נדבר על ה עיוות שנגרם לענן עקב התזוזה של הגרעין. החישוב המדויק בכל מקרה צריך להיות קוונטי. בנוסף ל E, e פועל על הגרעין גם השדה החיצוני E בכיוון ההפוך. והתנאי לשיווי משקל הוא כאשר E e = E (7.) q d 4πε 0 a 3 = E = d = 4πε 0 a 3 E (7.3) q ולכן, מומנט הדיפול של האטום בהשפעת שדה מגנטי חיצוני E: נבחר את ראשית הצירים במרכז הכדור, p = ρ (r) r (7.4) V כאשר (r) ρ מורכב מענן האלקטרונים, ρ, e ומהגרעין, שמטענו q, שנמצא במרחק d מראשית הצירים: ρ (r) = ρ e (r) + qδ (r d) (7.5) אם נבחר את ראשית הצירים במרכז, ענן האלקטרונים אינו טורם למומנט הדיפול, בגלל הסימטריה הכדורית: = 0 r ρ e (r) rd 3, כך שנשארה תרומת הגרעין: p atom = qd = 4πε 0 a 3 E αe (7.6) כלומר, אטום, בהשפעת שדה חיצוני, מפתח מומנט דיפול הפרופורציוני לעוצמת השדה. המקדם α מכונה,Polarizabiliy של אטום. α = 4πε 0 a 3 (7.7) עבור מולקולה, לא נכון לומר שהאובייקט המקורי הוא כדורי, אבל גם עבור מולקולות, מומנט הדיפול יהיה תלוי בשדה החשמלי ובאיזשהו מקדם, מאותו סדר גודל. הגדרה 7. קיטוב של חומר, P: זהו מומנט דיפול, ליחידת נפח, P = np atom = 4πε 0 na 3 E ε 0 χe (7.8) כאשר n הוא מספר האטומים ליחידת נפח, ו χ הוא הסספטביליות החשמלית, electric susceptibility χ = 4πna 3 (7.9) (הגודל הזה מתאים לגזים, תחת ההנחה שאטומים לא משפיעים על אטומים אחרים. במוצק, זה לא ככה) גדלים שונים של סוספטביליות: גז מימן: = 0.0006 χ אוויר: = 0.00054 χ אם ניקח 0 9.7 =,n מספר המולקולות בסמ ק אחד של גז,,a = 0 8 cm ובהצבה, נקבל χ 4π.7 0 9 0 4 3 0 4 (7.0) ואכן, זהו אותו סדר גודל שנמדד ניסיונית. 34
7 אלקטרוסטטיקה של חומרים דיאלקטריים 7. חומרים דיאלקטריים 7.. התאוריה המקרוסקופית 5 כשמדברים על תיאוריה מקרוסקופית, מתעלמים מהמבנה האטומי. מדברים על החומר כרצף, וצפיפות החומר היא מסה ליחידת נפח. בתוך סריג, נסתכל על נקודה במרחק r מראשית הצירים: נרצה לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו, בתוך החומר, (r) φ. micro זו שאלה אקדמית: לא ניתן למדוד את הפוטנציאל בתוך החומר. ובפרט, זוהי פונקציה פראית של מקום, התלויה במרחק של כל נקודה ונקודה מהאטום. מה שאפשר למדוד הוא מיצוע על מרחקים הרבה יותר גדולים, ולכן נגדיר גדלים מקרוסקופיים: בהינתן נקודה r, נגדיר סביבה נפח, V, שגודלו גדול בהרבה מהמרחקים בין אטומים. נפח זה אינו גדול מדי: הוא נבחר כך שהפנים שלו יהיה אחיד, בסקלה מיקרוסקופית, ונמצע את הגדלים על כל הנפח. φ macro (r) φ (r) = V V φ micro (r + ξ) d 3 ξ (7.) כאשר המרחק ξהוא המיקום של נקודה בתוך הנפח, יחסית לנקודה r. נחשב גם את השדה המקרוסקופי: E macro E (r) = E micro (r + ξ) d 3 ξ (7.) V = r φ micro (r + ξ) d 3 ξ (7.3) V את הנגזרת ניתן להוציא מהאינטגרל, כי הנגזרת היא לפי r והאינטגרל הוא על ξ, ולכן = V φ micro (r + ξ) d 3 ξ = r φ (r) (7.4) נוכל לבצע חישובים אלקטרוסטטיים עבור גדלים ממוצאים: E micro = 0 = E = 0 (7.5) והשדה המיקרוסקופי מקיים את משוואת פואסון: E micro = ε 0 ρ micro = E = ε 0 ρ (7.6) כאשר ρ היא צפיפות מטען ממוצאת בחומר. P, קיטוב של חומר, מומנט דיפול ליחידת נפח. טענה 7. נראה את הקשר בין צפיפות מטען ממוצעת, לקיטוב: ρ = P (7.7) הוכחה: r P r) ) d 3 הוא מומנט הדיפול של אלמנט בסביבה של נקודה r בתוך החומר. אלמנט הדיפול יוצר פוטנציאל בנקודה r, שערכו dφ (r) = 4πε 0 P (r ) d 3 r (r r ) r r 3 (7.8) 03.05.009, 5 הרצאה שנייה 35