Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате на једну, а непознате на другу страну Средимо изразе Делимо једначину са коефицијентом уз непознату II Линеарне неједначине Линеарне једначине се решавају по истом шаблону по коме се решавају и једначине од тачке до тачке Једина разлика је у тачки, значи на самом крају: уколико неједначину делимо са негативним бројем, смер неједначине се мења III Квадратна једначина и неједначина Све потребне елементе у раду са квадратном једначином или неједначином можемо сместити у шест тачака: Решење квадратне једначине: а b c, b ± b ac a Дискриминанта одређује природу решења квадратне једначине, или положај графика у односу на х-осу: Дискриминанта D b ac Ако је D > једначина има два реална и међусобно различита решења, тј х, х Re х х График сече х -осу у две тачке Ако је D једначина има међусобно једнака, реална решења, тј х, х Re х х График додирује х -осу у једној тачки Ако је D < једначина има коњуговано-комплексна решења, тј х, х Re График не сече х -осу, па је изнад или испод ње х Re Коефицијет уз х у функцији у а b c одређује окренутост графика (параболе): Ако је а > график је окренут конкавно навише Ако је а < график је окренут конкавно наниже b ac b Теме параболе је са координатама T, a a
Виетове формуле Решења и квадратне једначине а b c задовољавају услове: b c и a a Растављање на чиниоце тринома а b c а b c а ( х х ) ( х х ), где су и решења квадратне једначине а b c IV Квадратна неједначина Квадратна неједначина се може решити на два начина: A) Од дате неједначине се направи квадратна једначина Нађу се решења и квадратне једначине а b c Нацрта се оса и означе те тачке У зависности од коефицијента је а > или а < скицира се график Тек сада се погледа какав је смер неједнакости и одреди скуп тачака у којима је тај услов задовољен Б) Од дате неједначине се направи квадратна једначина Нађу се решења и квадратне једначине а b c Дата неједначина се представи као производ бинома по формули а b c а х х х х ( ) ( ) Формира се таблица за одређивање знака производа и на основу ње се одреди скуп тачака у којима је услов неједначине задовољен V Ирационалне једначине Ирационална једначина ( ) g( ) f се претвара у систем једначине и неједначина: f ( ) g( ) () f ( ) [ g( ) ] () g ( ) () ( ) f (услов дефинисаности)
Алгебарске једначине С т р а н а 7 Решити једначину 7 Видимо линеарну једначину Линеарну једначину решавамо по шеми: ослобађање од разломка, ослобађање од заграде, познате на једну а непознате на другу страну, сређивање израза и делењем са бројем уз непознату 7 7 / ( ) ( ) ( 7 ) 8 8 7 7 Решити једначину: Видимо линеарну једначину са апсолутним вредностима Када се појаве апсолутне вредности у једначини ослобађамо их се тако што направимо једначине са заградама уместо апсолутних вредности, али уз обавезни услов Новe једначинe и услови су нераздвојни Апсолутна вредност ће прећи у заграду, уз услов да је израз под апсолутном вредности већи и једнак нули, или у А, А заграду уз услов да је израз под апсолутном вредности мањи од нуле, тј А А, А < Из једначине са апсолутним вредностима добиће се низ једначина које ће бити условљене областима у којима су те вредности дефинисане Када посматрамо изразе под апсолутним вредностима, треба одредити границе у којима ти изрази мењају знак То су нуле појединих бинома Када се формира таблица у којој се види како се мењају знаци појединих бинома када се мења од до Када формирамо таблицу, добијамо: Посматрајући табелу видимо да решавање дате једначине урадити у четири зоне То су
Алгебарске једначине С т р а н а а) када (,), б) када [, ), в) када [,) и г) када [, ) Једначина постаје: а) за (,) једначина постаје ( ) ( ) ( ) услов (,) оно отпада б) за [, ) једначина постаје ( ) ( ) ( ) услов [, ) оно отпада в) за [,) једначина постаје ( ) ( ) ( ) Како ово решење не задовољава полазни Како ово решење не задовољава полазни Ово решење задовољава услов и г) за [, ) једначина постаје ( ) ( ) ( ) Ово решење задовољава услов и Дакле, коначно решење је или Решити једначину: Збир решења једначине је: А) Б) В) Г) Д) Н) не знам Збир решења једначине једнак је: А) Б) В) Г) одговор није понуђен Д) Н) не знам Дате су функције f ( ) и g ( ) g (а) Решити неједначину ( ) ( ) f (б) Одредити координате пресечних тачака A и B функција f ( ) и ( ) 7 Решити неједначину: < g 8 Збир целобројних решења неједначине је: А) Б) В) Г) Д) 9 Израчунати збир целих бројева који су решења неједначине ( ) ( ) А) Б) В) 9 Г) 7 Д) Скуп свих решења неједначине < је подскуп скупа:,,,,, А) ( ) ( ) Б) ( ) В) ( ) Г) [ ] Д) [,) (, )
Алгебарске једначине С т р а н а Решења неједначине ( ) А) (,] Б) [, ) ( ), је: В) одговор није понуђен Г) (, ) Д) (,) Н) не знам Рационална неједначина Морамо обезбедити да она има смисла, а то је да именилац мора бити различит од нуле Услов важења неједначине је: ( ) ( ) Како је израз ( ) > за Re, то је ( ) Како је услов задатка, решење даје коначно решење:,, ( ) ( ] Ово значи да је тачно решење под В p p p Одредити р, реалан број, тако да график функције ( ) ( ) ( 8) -осу и да функција f има максимум f, додирује Видимо квадратни трином Додиривање -осе значи да је дискриминанта D Са друге стране, да би функција f имала максимум, она треба да је окренута конкавно наниже, а то је ако је коефицијент уз негативан, тј из израза f ( ) a b c мора бити a < Да би график додиривао х-осу, дискриминанта једначине која се добије од ове функције је једнака нули, тј D b ac, а да функција f има максимум, потребно је да је график окренут конкавно наниже, тј да је коефицијент уз мањи од нуле, тј p <, тј p < Одавде је: ( p 8) ( p ) ( ) D p p p ( p p p ) ( p ) p p p p p p p p 8 8 p 8 p p 8 p, ± 7 p, ± 7 Како је услов да је p <, то је решење p 7 За коју вредност параметра a функција y a има максималну вредност y : А) Б) В) Г) Д) ma
Алгебарске једначине С т р а н а Одредити реалан број a тако да функција f ( ) a ( a a ) ( a ) за, достиже максимум Поделити дуж дужине a на две дужи тако да збир троструког квадрата дужине прве дужи и двоструког квадрата дужине друге дужи буде минималан Колика je дужина сваке од тако добијених дужи? У квадрат странице a уписан je правоугаоник максималне површине чије су странице паралелне са дијагоналама квадрата Колика je дијагонала тог правоугаоника? 7 Графици свих функција f ( ) ( m ) m, ( R) m пролазе кроз тачку A Наћи координате тачке A a затим одредити т за које график функције f има теме у тачки A 8 Одредити најмању вредност израза ако су х и у позитивни бројеви тако да je y 8 y 9 Одредити све вредности т тако да минимум функције f ( ) ( m ) ( m ) m мањи од буде За које вредности реалног броја k једначина пo х: k нема реалних решења? За разне вредности реалног броја a ( a ) одредити природу решења једначине ( a ) ( a ) ( a ) Скуп свих вредности реалног параметра m за које су решења квадратне једначине m m комплексно коњугована је:,,, Б) ( ) В) ( ) Г) Д) [ ] А) (,) Видимо да је у питању квадратна једначина, чија ће решења зависити од природе дискриминанте Квадратна једначина има коњуговано-комплексна решења ако је D b ac < Решења квадратне једначине су коњуговано комплексна ако је дискриминанта мања од нуле, тј m D b ac < Одавде је m < m ( m ) < m m < m m Израз је мањи од нуле за ( ) ± ± ± m, m и m, Ово значи да је тачно решење под В Наћи све вредности реалног броја m, такве да израз ( m m ) ( m ) m m негативан за свако буде
Алгебарске једначине С т р а н а Одредити све вредности реалног броја a тако да решења једначине ( ) ( ) буду негативна Одредити реалан број т тако да разлика решења једначине m m m буде максимална Производ целобројних вредности параметра m таквих да неједнакост ( m ) ( m 7) ( m 7) > важи за свако је: А) Б) В) 8 Г) одговор није понуђен Д) Н) не знам 7 За које вредности реалног параметра k ће израз: k k k k бити негативан за сваки реалан број? 8 Наћи квадратну једначину облика p q, чија решења и задовољавају: ( ) 9, ( ) 7 Видимо да треба да збир и производи решења задовоље две једначине Одмах нас ти изрази b c асоцирају на Виетова правила, а Значи, применићемо та правила за нашу a a једначину и те изразе заменити у те две једначине Добија се тако систем једначина који се реши на стандардан начин b c p На основу Виетових правила, а, па је за наш случај је p a a q q Када се те вредности замене у дати систем једначина, добија се: p q 9 p q 9/ ( ) 9, ( ) 7 p q 7 p q 7 / p q 9 p q 8 p q 8 7 p q p 7 p p q 9 ( 7) q 9 q 9 q 9 q p 7 p 7 p 7 p 7 p 7 q q p 7 p 7 Једначина је облика 7 9 У једначини ( m ) a a a и m одредити параметар m тако да једначина има корене и различитог знака за које је
Алгебарске једначине С т р а н а У једначини ( m ) m одредити вредност параметра m тако да збир решења дате једначине буде једнак збиру њихових квадрата Наћи све вредности Re различите реалне нуле m тако да функција ( m) ( m ) Одредити реални параметар a тако да решења и задовољавају услов y има минимум и две једначине ( a ) a Нека су и решења квадратне једначине k k Не решавајући једначину изразити следеће изразе у функцији параметра k : (), (), (), (), (), () Ако су и решења (корени) квадратне једначине p q, за које важи једнакост, одредити скуп уређених апрова реалних бројева ( p, q) за које су корени дате једначине реални бројеви Видимо да треба да израчунамо параметре p и q у квадратној једначини, где решења једначине b и треба да задовоље дате услове Одмах нас то асоцира на Виетова правила и да је, a c а и да дате изразе изједначимо између себе по услову задатка Са друге стране, корени a дате једначине треба да су реални бројеви, што нас асоцира да треба да дискриминанта буде D Када се ово повеже, добија се: b p c q На основу Виетових правила видимо да је: p и q a a По услову задатка је p q Дискриминанта система је: D b ac, што у нашем случају даје D p q p q Други услов задатка је D p q Када први услов p q уврстимо, добија се: D p q p ( p) p p p p ( ) Неједначину ћемо решити на основу знака производа, који је позитиван кад су чиниоци истог знака: p p или p p p p или p p p или p p,, Решење је: ( ] [ )
Алгебарске једначине С т р а н а 7 Како је q p, следи да q (,] [, ) Наћи интервал најмање дужине којем припада реални параметар k тако да решења и квадратне једначине ( k ) ( k ) ( k ) задовољава услов > Нека су и решења (корени) у скупу комплексних бројева квадратне једначине p q Израчунати реалне бројеве p и q тако да важи p и q 7 Нека су α и β решења једначине ( k ) α β, б) а) αβ α β, в) α β k Одредити реалан број k тако да буде: а) 8 AKO су α и β нуле функције f ( ) k ( k ) k, ( R, k, k ) α β у зависности од k α β k изразити 9 Одредити m тако да решења α и β једначине 8 m m 8 задовољавају једнакост α β Одредити т тако да разлика квадрата решења једначине ( m ) m буде једнака 8 AKO су α и β решења квадратне једначине m m, за које вредности реалног броја α β т важи неједнакост α β? > αβ Испитати када једначина ( m ) m m m има реална решења Ако су α и β решења те једначине, одредити знак израза α β у зависности од т Нека су α и β решења једначине ( m ) m α β > и β < α Одредити m тако да важи Видимо да треба да одредимо m, тако да буду задовољене две неједначине Те неједначине су састављене од решења једначине α и β и дате изразима које треба трансформисати тако да га претворимо у изразе састављене од целина α β и α β и након тога заменити њихове вредности добијене Виетовим правилима b c На основу Виетових правила α β, а α β Зато ћемо дате неједначине претставити у a a облику аритметичке суме α β и α β као градивних елемената тих израза
Алгебарске једначине С т р а н а 8 ( ) b m c m У овом случају, α β m и α β m a a Дата неједначине се могу трансформисати као: α β > α β > α β и α β < αβ β αβ < > α β α ( β ) αβ < α β Из ове две неједначине добија се систем: > α β ( ) ( m ) < m α m > m ( ) ( ) β α > α β и ( β ) αβ < α m m m m m Прва неједначина постаје: > > > m ( m ) ( m ) m m 8 > > m 8 > m > или m 8 < m < m > 8 m > или ( m ) m m < 8 m < m > или < 8 m, 8, m ( ) ( ) Друга неједначина постаје ( ) ( m ) < m m m 9 m < m m < Да би нашли решење ове неједначине, треба решити једначину m m и m ( ) m Како је уз квадрат позиван знак, услов је задовољен за m (,) Када се повеже са првим случајем, добија се (,) m m m Решити једначину: 9 m има Koje услове треба да задовољава реалан број m тако да једначина ( ) решење које je мање од Решити једначину: 7 Наћи максимум и минимум функције f ( ) a 8 Одредити a тако да је неједнакост < тачна за сваки реалан број 9 Вредност параметра m, за који је збир квадрата свих решења m m најмањи, припада интервалу:,,,,, А) ( ] Б) ( ) В) ( ] Г) ( ) Д) ( ) 7 Нека је скуп S скуп решења неједначине Тада је за неке реалне бројеве a, b, c, d a < b < c < d скуп S облика: ( )
Алгебарске једначине С т р а н а 9 А) [ a, b) ( c, d] Б) одговор није понуђен В) [ a, b] ( c, d ) Г) ( a, b) [ c, d] Д) ( a b] ( c, d] Одреди параметар a тако да решења једначине ( a ) a припада скупу:,,, Н) не знам буду позитивна Тада a А) ( ) Б) ( ] В) (, ] ( 9, ) Г) одговор није понуђен Д) (,) ( 9, ) Н) не знам Ако су и решења једначине p q, онда је једнако: А) q p Б) p q В) p q Г) p 8q Д) q 8 p Н) Не знам У квадратној једначини ( m) m одредити реалан параметар m тако да један њен корен буде два пута већи од другог, а затим израчунати те корене 9 Дата је функција f ( ) Решити неједначину ( ) f У скупу реалних бројева наћи скуп решења неједначине Производ корена једначине b c је Параметри bи c су реални бројеви Функција f ( ) b c има максимум за Одреди корене те једначине Видимо да је дата квадратна једначина код које производ решења је Одмах нас то асоцира на b c Виетова правила и да је, а Такође је дата функција код које је максимум за a a, што нас асоцира на координате темена Знамо да је теме параболе са координатама b ac b ( ) T T, yt T,, па је очигледно да a a b a T На основу та два услова одредити параметре bи c и решити једначину c c Из следи c a Из b a b b T следи T Једначина изгледа b c 8 Решење је: b ( ) / : ( ) 8 ± 8 8 ± 8 ±, и 7 9 7 У скупу реалних бројева решити неједначину < 8 У скупу реалних бројева решити неједначину < 8
Алгебарске једначине С т р а н а 9 У скупу реалних бројева решити неједначину Решити неједначину Видимо неједначину са апсолутним вредностима Када се појаве апсолутне вредности у неједначини ослобађамо их се тако што направимо неједначине са заградама уместо апсолутних вредности, али уз обавезни услов Новe неједначинe и услови су нераздвојни Апсолутна вредност ће прећи у заграду, уз услов да је израз под апсолутном вредности већи и једнак нули, или у А, А заграду уз услов да је израз под апсолутном вредности мањи од нуле, тј А Пошто је А, А < код нас под апсолутном вредности, неће бити заграда, али добијамо два независна система неједначина: А) или Б) Решавамо први случај: А) < Шта сада видимо? Видимо да се неједначина састоји од рационалног израза код кога је и у имениоцу и у бројиоцу непозната, а са десне стране нула Потребно је да раставимо на чиниоце бројилац, јер је именилац већ растављен и да те линарне биноме поставимо у таблицу из које ћемо одредити знак целог израза У бројиoцу је квадратни трином, кога ћемо раставити на чиниоце по обрасцу: а b c a ( ) ( ), где су и решења једначине а b c ± 8 ± 9 ± 7 Дакле,, и Одавде је: ( )( ), па је наша неједначина: ( )( ) Формирајмо таблицу за одређивање знака Подебљане линије у табели значе да те тачке припадају скупу, јер су то нуле бројиоца Цео израз
Алгебарске једначине С т р а н а Видимо да је датa неједначина ( )( ) за [, ) [, ) Како је полазни услов Решавамо сада други случај: Б) <, коначно решење под случају А) је: [, ) Шта сада видимо? Видимо да се неједначина састоји од рационалног израза код кога је и у имениоцу и у бројиоцу непозната, а са десне стране нула То је идентична ситуација претходној, где је решено ( )( ), па наша неједначина изгледа: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) / ( ) ( )( ) Формирајмо таблицу за одређивање знака Подебљане линије у табели значе да те тачке припадају скупу, јер су то нуле бројиоца Цео израз Како је полазни услов <, коначно решење под случају Б) је: (,] Када се направи унија алучаја под А) и Б), добија се коначно решење:,, Видимо да је датa неједначина ( )( ) за (, ] (,] ( ] [ ) Решити неједначину < Одредити област дефинисаности (домен) функције Одредити област дефинисаности (домен) функције f ( ) log Реши неједначину:
Алгебарске једначине С т р а н а Решити неједначину < Одредити област дефинисаности функције ( ) f 7 Решити неједначину < 8 Наћи решења неједначине 8 9 Дата је функција ( ) f Решити неједначину ( ) f 7 Реши неједначину 7 Видимо да је дата функција ( ) f и треба решити једначину у којој је уместо израза стављена функција Међутим задатак је потпуно исти као и да је речено: решити неједначину 7 Видимо да се неједначина састоји од рационалног израза код кога је и у имениоцу и у бројиоцу непозната То значи да не смемо да се разломка ослобађамо множећи неједначину са имениоцем, него морамо: () пребацити чланове са десне стране неједначине на леву, како би на десној страни добили, па () средимо израз на левој страни да добијемо један разломак и () поставимо систем неједначина од имениоца и бројиоца водећи рачуна о томе када је количник (тј разломак) већи или мањи од нуле, односно, када је позитиван или негативан Неједначину решавамо тако што најпре пребацимо све чланове са десне стране на леву: 7 7 ( ) 7 7 Сада ћемо раставити на чиниоце и бројилац и именилац, како би добили линеарне биноме, које ћемо сместити у таблицу за одређивање знака У бројиoцу и имениоцу је квадратни трином, кога ћемо раставити на чиниоце по обрасцу: ( ) ( ) a c b а, где су и решења једначине c b а Дакле, за бројилац, ± ± ± и Бројилац је : ( ) ( )
Алгебарске једначине С т р а н а Дакле, за бројилац, ± ± ± и Именилац је : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Формирајмо таблицу за одређивање знака Подебљана линија у табели значе да та тачка припада скупу, јер је то нула бројиоца Цео израз Видимо да је дата неједначина ( ) ( ) ( ) ( ) већа и једнака нули за ( ) [ ) [ ),,, 7 Решити неједначину 7 Решити систем једначина: y, y Видимо систем једначина са две непознате, састављен од линеарне једначине и квадратне Треба заменити једну непознату из линеарне и уврстити у квадратну и тако решити систем Дати систем пишемо у облику: y y y y ( ) y 8 y : / y 8 y
Алгебарске једначине С т р а н а ± ± ± 8 Из друге једначине добија се, и y и y и добијају се парови: (, y ) (,) и y, ( ) ( ), 7 Решити систем једначина: 7 y, y 8 7 За које вредности реалног броја k систем једначина 9 y 8, y k има само једно реално решење? 7 За које вредности реалног броја a систем једначина y y, a y нема реалних решења? 7 У зависности од реалног параметра m решити систем једначина y, y m 77 Решити систем једначина: y y, y y 78 Решити систем једначина: y y, y y 79 Решити систем једначина: y y 9, y y 7 Видимо систем једначина са две непознате, састављен од две квадратне једначине Код прве једначине видимо y y 9, значи недостаје још једно y да би тај трином могли написати као потпун квадрат збира ( y) Али, ако додамо и истовремено одузмемо y и урадимо ту трансформацију, добијамо систем у коме учествују непознате y и y Сличну ствар урадимо и код друге једначине, заменимо новим променљивим и тако решимо систем С обзиром да се у једначинама појављују непознате на квадрату и у производу, то отежава замену једне непознате другом Идеја је да се дати изрази трансформишу и да се уведу нове променљиве y y 9 y y y 9 ( y) y 9 Дати систем пишемо у облику: y y 7 y y y 7 ( y) y 7 p Када уведемо земене y p и y q, систем једначина постаје p ( p q) q 9 q 7 p q 9 7 p q p q 9 7 q q p q 7 p q 7 p q 7 p q 7 q q q q q Добијени су парови p 7 p 7 8 p p, ± p, ±
Алгебарске једначине С т р а н а y y ( p, q ) (,) и ( p, q ) (,) Овим су добијена два система једначина и y y y y y Решавајући први систем, добија се: y ( ) y ± ± ± Решавајући другу једначину, добија се, и је y ( ) или y, y, Други y ( ) Тако су добијени парови ( ) ( ) и ( ) ( ),, y y y y систем даје: y ( ) / ( ) y ± ± ± Решавајући другу једнчину, добија се, и Одавде је y или y Тако су добијени y, y, y, y,, парови (, ) ( ) и (, ) ( ) Укупно решење је (, ) ( ), (, ) ( ) ( y ) (,) и ( y ) (,),, 8 Скуп свих реалних решења једначине је: А) једночлан Б) двочлан В) празан Г) трочлан Д) четворочлан Видимо ирационалну једначину Решавамо је по правилу решавања ирационалних једначина, g f g g ( ) поштујући услов који се мора ту поставити f ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ± ± 9 ± 8, или Како решење не задовољава полазни услов, оно отпада Остаје само једно решења Ово значи да је тачно решење под A 8 Решити једначину: Видимо ирационалну једначину Ирационална једначина ( ) Q( ) P ( ) [ Q( ) ] и Q ( ) Р ( ) P се претвара у систем: Овоме можемо још додати услов дефинисаности поткорене величине Тако добијамо систем од једначине и неједначине који решавамо
Алгебарске једначине С т р а н а ( ) 8 8 7 и ± ± 9 ±, Од добијених решења само задовољава полазни услов да је, па је решење 8 Решити једначину: 8 Једначина : А) нема решења; Б) има тачно једно решење; В) има тачно два решења; Г) има тачно три решења; Д) има више од три решења; Н) Не знам 8 Збир решења једначине се налази у интервалу:,,, А) одговор није понуђен Б) [ ) В) [ ) Г) [ ] Д) [,) Н) не знам 8 Решити једначину: ( ) 8 Једначина : А) нема решења Б) одговор није понуђен В) има тачно једно решење Г) има два позитивна решења Д) има два решења од којих је једно позитивно Н) не знам 87 Решити једначину: 9 88 Решити једначину: 89 Решити једначину: 9 Решити једначину: 9 Решити једначину: Ирационална једначина P ( ) Q( ) се претвара у систем: P ( ) [ Q( ) ] и Q ( ) можемо још додати услов дефинисаности поткорене величине ( ) једначине и неједначине који решавамо Р Овоме Тако добијамо систем од Услов који диктира област дефинисаности је Када се решава ова квадратна неједначина, најпре се решава квадратна једначина
Алгебарске једначине С т р а н а 7 ± 9 ± ± i,, тј ова једначина нема реалних решења, односно трином нема пресечних тачака са -осом па је или стално позитиван или стално негативан Како је уз број већи од нуле, то значи да је парабола окренута конкавно навише, па је неједначина, задовољена за ( ) Једначина се своди на ( ) Можемо увести замену t Одавде је t t ( t ) t t t t t t t t / ( ) t t t t t t t t t ± 9 ± 9 ± 7 7 7 t, t или t Услов t задовољава само t Одавде је, тј или Како је почетни услов (, ) ± 9 8 ± ±,, тј, решења су или 9 Решити једначину: 9 Решити једначину: 9 Решити једначину: 9 Решити једначину: ( ) ( ) 9 Решити једначину: 97 Решити једначину: