Στάσιµο σε χορδή µε ακλόνητα άκρα Τεντωµένη ελαστική χορδή έχει µήκος L και τα δύο άκρα της Ζ και Η είναι στερεωµένα σε ακλόνητα σηµεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια. Διεγέρτης θέτει το µέσο (Ο) της χορδής σε εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση =0,ηµπt (S.I.), για ορισµένο χρονικό διάστηµα και µετά σταµατά. Τα παραγόµενα κύµατα έχουν ταχύτητα διάδοσης στη χορδή υ=m/s. Όταν αποκατασταθεί µόνιµο φαινόµενο στην χορδή, διαπιστώνουµε ότι υπάρχουν σηµεία που παραµένουν ακίνητα, εκτός των Ζ και Η. α) Να βρείτε το µήκος της χορδής. β) Μετά από πόσο χρονικό διάστηµα από τη στιγµή που ξεκινά να επιδρά, πρέπει να σταµατήσει ο διεγέρτης να θέτει το µέσο της χορδής σε εξαναγκασµένη ταλάντωση; Να σχεδιάσετε τη µορφή της χορδής από το µέσο της (Ο) και µέχρι το δεξί άκρο Η, Δt=,5s, Δt=s, Δt=,5s, Δt=s µετά τη χρονική στιγµή που αρχίζει να επιδρά ο διεγέρτης. γ) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος, αν µετά τη δηµιουργία του, θεωρούµε ότι τη χρονική στιγµή t=0, το σηµείο (Ο) στο µέσο της χορδής, το οποίο θεωρούµε ως αρχή του άξονα x'x, έχει =0 και v>0. δ) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος την χρονική στιγµή t=/ s. ε) Αν το µέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση µε εξίσωση =0,ηµ(9π/0)t (S.I.) θα δηµιουργηθεί πάνω στη χορδή στάσιµο κύµα; ζ) Αν το µέσο Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση µε εξίσωση =0,ηµπt (S.I.) να γραφεί η εξίσωση του στάσιµου που θα δηµιουργηθεί πάνω στη χορδή, αν τη στιγµή t=0 και αφού έχει δηµιουργηθεί το στάσιµο, ένα σηµείο στη θέση χ =,5m βρίσκεται στη µέγιστη θετική αποµάκρυνσή του. Να θεωρήσετε ως χ=0 το αριστερό άκρο της χορδής. Η εξίσωση του στάσιµου δίνεται από σχέση της µορφής: =Aσυν(πx/λ +θ)ηµ(ωt+φ)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το µέσο (Ο) της χορδής εκτελεί εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση =0,ηµπt (S.I.). Άρα: Α=0,m, ω=π rad/s, f=/ Hz και Τ=s. Από τη θεµελιώδη κυµατική εξίσωση, υπολογίζουµε το µήκος κύµατος λ: υ υ = λ f λ= λ= m f α) Εφόσον όταν αποκατασταθεί µόνιµο φαινόµενο στην χορδή, υπάρχουν σηµεία που παραµένουν ακίνητα, εκτός των άκρων Ζ και Η, στο σχηµατιζόµενο στάσιµο θα υπάρχουν 6 συνολικά δεσµοί, άρα 5 άτρακτοι µήκους λ/ η καθεµία. Το συνολικό µήκος της χορδής είναι: L= 5 λ L= 5 m L= 0m β) Μόλις αποκατασταθεί η µόνιµη κατάσταση, δηλαδή µόλις δηµιουργηθεί το στάσιµο και εφόσον δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, πρέπει ο διεγέρτης να σταµατήσει να προσφέρει ενέργεια. Στην αντίθετη περίπτωση το στάσιµο δε θα µπορεί να συντηρηθεί.
Συγκεκριµένα, όταν τα κύµατα µετά την ανάκλασή τους επιστρέψουν στο Ο, ολοκληρώνοντας τη συµβολή τους µε τα κύµατα που δηµιουργούνται από την ταλάντωση του Ο, πρέπει να αποµακρύνουµε το αίτιο που ταλαντώνει το Ο µε πλάτος 0,m. Μετά την ολοκλήρωση της συµβολής, η ενέργεια που πρόσφερε ο µηχανισµός ταλάντωσης του Ο στη χορδή κατανεµήθηκε σε συγκεκριµένα και σταθερά ποσά (αν δεν έχουµε απώλειες) σε κάθε υλικό σηµείο της. Έτσι, ο µηχανισµός αυτός δε χρειάζεται και η αποµάκρυνσή του θα επέτρεπε στο Ο να ταλαντωθεί µε όποιο πλάτος προκύψει από τη συµβολή. Αρκεί, αρχικά, να προκαλούσε ταλάντωση του Ο µε συχνότητα ίση µε µια από τις ιδιοσυχνότητες της χορδής ώστε πάνω της να δηµιουργηθεί ακέραιος αριθµός ατράκτων. Το στάσιµο δηµιουργείται, τη στιγµή που τα ανακλώµενα κύµατα στα δύο ακλόνητα άκρα Η,Ζ επιστρέψουν στο σηµείο Ο στο µέσο της χορδής. Τότε όµως το κύµα θα έχει διανύσει απόσταση: L L x= + = L Άρα: x x L υ = t= = t= 5s t υ υ Η µορφή της χορδής από το µέσο της (Ο) και µέχρι το δεξί άκρο Η, Δt=,5s, µετά τη χρονική στιγµή που αρχίζει να επιδρά ο διεγέρτης, φαίνεται στο ο σχήµα της επόµενης εικόνας. Το κύµα που ξεκινά από το µέσο (Ο) της χορδής µόλις αρχίσει να επιδρά ο t x διεγέρτης, µε εξίσωση: = 0,ηµ π ( )( S. I), µόλις φθάνει στο άκρο Η, σε απόσταση Δx=5m από το (Ο). Η µορφή της χορδής Δt=s, µετά τη χρονική στιγµή που αρχίζει να επιδρά ο διεγέρτης, φαίνεται στο ο σχήµα της επόµενης εικόνας. Το κύµα που ξεκινά από το µέσο (Ο) της χορδής, έχει ανακλαστεί στο ακλόνητο σηµείο Η. Το ανακλώµενο κύµα έχει διανύσει απόσταση m, οπότε φθάνει στο σηµείο στη θέση x=m. Για το τµήµα της χορδής από m µέχρι 5m η µορφή της προκύπτει από την επαλληλία των
αποµακρύνσεων των σηµείων της χορδής, λόγω του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος. Όλα τα σηµεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας κινούµενα προς τα κάτω. Από x=0m µέχρι x=m, η µορφή της χορδής οφείλεται στις αποµακρύνσεις εξαιτίας του προσπίπτοντος κύµατος. Η µορφή της χορδής Δt=,5s, µετά τη χρονική στιγµή που αρχίζει να επιδρά ο διεγέρτης, φαίνεται στο ο σχήµα της επόµενης εικόνας. Το κύµα που ξεκινά από το µέσο (Ο) της χορδής, έχει ανακλαστεί στο ακλόνητο σηµείο Η. Το ανακλώµενο κύµα έχει διανύσει απόσταση m, οπότε φθάνει στο σηµείο στη θέση x=m. Για το τµήµα της χορδής από m µέχρι 5m η µορφή της προκύπτει από την επαλληλία των αποµακρύνσεων των σηµείων της χορδής, λόγω του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος. Όλα τα σηµεία βρίσκονται στην ακρότατη θέση της ταλάντωσης που εκτελούν. Από x=0m µέχρι x=m, η µορφή της χορδής οφείλεται στις αποµακρύνσεις εξαιτίας του προσπίπτοντος κύµατος. Κατά αντιστοιχία σχεδιάζουµε τη µορφή της χορδής Δt=s, Δt=,5s και Δt=5s µετά τη χρονική στιγµή που αρχίζει να επιδρά ο διεγέρτης όπου το ανακλώµενο κύµα έχει φθάσει στις θέσεις x=m, x=m, x=0. Μάλιστα Δt=5s µετά τη χρονική στιγµή που αρχίζει να επιδρά ο διεγέρτης, όλα τα σηµεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας και έχει ολοκληρωθεί ο σχηµατισµός του στάσιµου. Εκείνη τη στιγµή το µέσο Ο της χορδής κινείται προς τα κάτω, αλλά δεν είναι αυτή η χρονική στιγµή που λαµβάνουµε ως t=0, για να γράψουµε την εξίσωση του στάσιµου. Ανάλογα φαινόµενα συµβαίνουν και στο τµήµα της χορδής από το αριστερό άκρο Ζ µέχρι το µέσο Ο.
5 x x x x (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 5 5 5 5 t =,5s t t t =s =,5s =s Ο
γ) Εφόσον θεωρούµε ότι τη χρονική στιγµή t=0, το σηµείο (Ο) στο µέσο της χορδής, το οποίο θεωρούµε ως αρχή (x=0) του άξονα x'x, έχει =0 και v>0, τότε η εξίσωση του στάσιµου γράφεται: x x A π π = συν ηµ ( ωt) = 0, συν ηµ ( π t) λ π x = 0, συν ηµ ( πt)( S. I) () όπου 5m x 5m και t 0 δ) Το στιγµιότυπο του στάσιµου προκύπτει αν στη σχέση () αντικαταστήσουµε t= s : () π x π π x = 0,συν ηµ = 0,συν () όπου 5m x 5m ε) Αν το µέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση µε εξίσωση =0,ηµ(9π/0)t (S.I.), τότε η συχνότητα του κύµατος είναι: 9π 0 9 f = ω f f Hz π = π = 0 Επειδή η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος παραµένει σταθερή υ=m/s, το µήκος κύµατος γίνεται: 6
υ 0 υ = λ f λ = λ= m λ= m f 9 9 0 Αναγκαία συνθήκη για να σχηµατισθεί στάσιµο στη χορδή µήκους L=0m, που έχει τα δύο άκρα Ζ, Η ακλόνητα, είναι ο σχηµατισµός ακέραιου αριθµού ατράκτων κατά µήκος της χορδής. Έστω ότι σχηµατίζονται Ν άτρακτοι, τότε: λ L 0 L= N N = N = N =,5 λ 0 9 Επειδή N =, 5 Z, δε σχηµατίζεται στάσιµο. Οι συχνότητες των κυµάτων για τις οποίες σχηµατίζεται στάσιµο είναι: λ υ υ L= N L= N f = N f L Δηλαδή για τη συγκεκριµένη τάση που τείνει τη χορδή, άρα για ταχύτητα υ=m/s, σχηµατίζεται στάσιµο για συχνότητες: N f = N f = Hz όπου: Ν=,,, 0 0 ζ) Αν το µέσο Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση µε εξίσωση =0,ηµπt (S.I.) τότε η συχνότητα του κύµατος είναι: f = ω π f f Hz π = π = Επειδή η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος παραµένει σταθερή υ=m/s, το µήκος κύµατος γίνεται: υ υ = λ f λ = λ= m λ = m f Έστω ότι κατά µήκος της χορδής σχηµατίζονται Ν άτρακτοι: λ L 0 L= N N = N = N = 0 λ 7
Βλέπουµε ότι στο µέσο της χορδής (Ο) σχηµατίζεται δεσµός. Θέλουµε να γραφεί η εξίσωση του στάσιµου που θα δηµιουργηθεί πάνω στη χορδή, µε δεδοµένο ότι τη στιγµή t=0 και αφού έχει δηµιουργηθεί το στάσιµο, ένα σηµείο στη θέση χ =,5m βρίσκεται στη µέγιστη θετική αποµάκρυνσή του και αρχή µέτρησης χ=0 στον άξονα χ χ, το αριστερό άκρο της χορδής. Η εξίσωση του στάσιµου δίνεται από τη σχέση: =Aσυν(πx/λ +θ)ηµ(ωt+φ) 8
Τη στιγµή t=0 και αφού έχει δηµιουργηθεί το στάσιµο, το σηµείο στη θέση χ =,5m βρίσκεται στη µέγιστη θετική αποµάκρυνσή του, και συγκεκριµένα σε αποµάκρυνση 0,m, αφού στη θέση αυτή σχηµατίζεται κοιλία. Για το σηµείο αυτό έχουµε: = Aηµ ( ωt+ ϕ) π π Για t= 0 ισχύει: A= Aηµϕ ηµϕ = = ηµ ϕ = π Άρα: = Aηµ ( ωt+ ϕ) = 0, ηµ ( πt+ )( S. I ) Η εξίσωση του στάσιµου θα έχει τη µορφή: π Για χ=0: = 0, συνθηµ ( πt+ )( S. I) π x π = Aσυν ( + θ ) ηµ ( ωt+ ) λ π Επειδή πρέπει = 0, t 0 προφανώς συνθ = 0 θ = ή Για το σηµείο στη θέση χ =,5m, τη στιγµή t= 0, ισχύει: θ = π π,5 π π = 0, συν ( + θ ) ηµ = 0, συν ( + θ ) π Αν θ = τότε: = 0,συνπ = 0,m, απορρίπτεται. π Αν θ = τότε: = 0,συν π = 0,m, δεκτή. Άρα: π θ = και η εξίσωση του στάσιµου γράφεται: x = 0, συν ( π + π ) ηµ ( πt+ π ) = 0, συν ( π x+ π ) ηµ ( πt+ π )( S. I) ή: = 0, ηµ ( π x) συν ( πt)( S. I) Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com 9