Καμπυλόγραμμες Κινήσεις: Οριζόντια Βολή, Κυκλική Κίνηση

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Καμπλόγραμμες Κινήσεις: Οριζόντια Βολή, Κκλική Κίνηση ΠΡΔΕΙΓΜ 1: Μια βενζινάκατος κινείται κατά τη φορά ροής ενός ποταμού και σε ένα σημείο προσπερνάει μια σχεδία, την οποία παρασέρνει το ρεύμα το ποταμού (κινείται με την ταχύτητα ροής). Μετά από 1 h από τη σνάντηση η βενζινάκατος γρίζει πίσω. Κατά την επιστροφή σναντάει τη σχεδία σε ένα σημείο Β πο απέχει απόσταση (AB) = d = 6 km από το σημείο. Να πολογίσετε την ταχύτητα ροής το ποταμού. πάντηση: d Β Γ ρ Έστω το πρώτο σημείο σνάντησης με τη σχεδία τη χρονική στιγμή t = 0, Γ το σημείο στο οποίο η βενζινάκατος γρίζει πίσω τη χρονική στιγμή t 1 = 1 h και Β το δεύτερο σημείο σνάντησης, τη χρονική στιγμή t. Η σχεδία επομένως καλύπτει την απόσταση Β σε χρόνο t με ταχύτητα ρ, η βενζινάκατος την απόσταση Γ σε χρόνο t 1 = 1 h με ταχύτητα β + ρ και την απόσταση ΓΒ σε χρόνο t t 1 με ταχύτητα β ρ. Σχεδία: ( AB) = d = t ( 1) Βενζ/τος: ( Γ ) = ( + ) t 1 ( ),3 β ρ ρ ( ΓΒ ) = ( )( t t ) ( ) β ρ 1 3 πό το σχήμα: d ( ) ( ) d ( β ρ) t1 ( β ρ)( t t1) = Γ ΓΒ = + d = β t1+ ρ t1 ( β ρ) t β t 1 ρ t 1 β 1 + d = t ( ) t t = β 1 β ρ t d β ρ ντικαθιστούμε στην (1): t d β 1 d = ρ d β d ρ β ρ d = β ρ t1 d ρ = = 3 km / h ρ t 1 1.1. Ένας παρατηρητής πο είναι εφοδιασμένος με radar, στέκεται στην όχθη ενός ποταμού. Η ταχύτητα πο μετράει ο παρατηρητής, για ένα ποταμόπλοιο πο «κατεβαίνει» το ποτάμι είναι ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΚΕΦΛΙΟ 1 V 1 = 10 m/s, ενώ όταν το ίδιο ποταμόπλοιο «ανεβαίνει» το ποτάμι η ταχύτητα πο μετράει ο παρατηρητής είναι V = 6 m/s. Να πολογίσετε την ταχύτητα το ποταμόπλοιο και την ταχύτητα ροής το ποταμού. [π. 8 m/s, m/s] 1.. Σε ένα ποτάμι πάρχον δύο αποβάθρες και Β. Ένα πλοίο χρειάζεται h για να πάει από την αποβάθρα στην αποβάθρα Β και 4 h για να πάει από την Β προς την. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να διανύσει την απόσταση Β με σβηστές τις μηχανές; [π. 8 h] 1.3. Η ταχύτητα πο μπορεί να αναπτύξει ένα ποταμόπλοιο σε ήρεμα νερά είναι = 7 m/s. Το πλοίο ατό κινείται αντίθετα προς την ταχύτητα ροής το ποταμού. Κάποια στιγμή μία βάρκα πέφτει από το πλοίο στο ποτάμι σε ένα σημείο. Το ποταμόπλοιο σνεχίζει την πορεία το και μετά από d = 100 m, από το σημείο, αντιλαμβάνονται την απώλεια της βάρκας και επιστρέφον να τη μαζέψον. ν η ταχύτητα ροής το ποταμού είναι ρ = 3 m/s να πολογίσετε το χρονικό διάστημα από τη στιγμή πο έπεσε η βάρκα μέχρι τη στιγμή πο την έφτασε το ποταμόπλοιο. [π. 1050 s] ΠΡΔΕΙΓΜ : Μια βάρκα προσπαθεί να φτάσει στην απέναντι όχθη ενός ποταμού πλάτος d = 1 m, κινούμενη με τον άξονά της κάθετα στο ρεύμα το ποταμού. ν η ταχύτητα ροής το ποταμού είναι ρ = 0,9 m/s και η ταχύτητα της βάρκας σε ήρεμα νερά, β = 1, m/s, να πολογίσετε α. το χρόνο πο θα χρειαστεί η βάρκα για να περάσει απέναντι. β. την απόσταση το σημείο της όχθης πο θα φτάσει η βάρκα από το σημείο πο πολόγιζε ότι θα φτάσει. γ. το μέτρο της ταχύτητας V της βάρκας πάντηση: α. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων, ( AB) = d = t β Β V Γ d 1m t = t = 1, m / s β t = 10 s ΠΡΔΕΙΓΜ 3: Ένας κολμβητής, πο βρίσκεται στο σημείο κοντά στην όχθη ενός ποταμού, για να περάσει στο ακριβώς απέναντι σημείο Β, κολμπάει με ταχύτητα 1 πο σχηματίζει γωνία θ με την Β, έτσι ώστε η τελική το ταχύτητα V να έχει τη διεύθνση της Β. ν η ταχύτητα πο μπο ρ β β. ( ΒΓ ) = t ( ΒΓ ) = 0,9 m / s 10s ( ) ρ γ. πό το Πθαγόρειο θεώρημα: ΒΓ = 9 m = + = + = V = 1,5 m / s V β ρ V 1, 0,9 V, 5 m / s ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ρεί να αναπτύξει ο κολμβητής σε ήρεμα νερά είναι 1 =,5 m/s, η ταχύτητα ροής το ποταμού είναι ρ = 1,5 m/s και το πλάτος το ποταμού είναι d = 00 m, α. σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο σημείο β; β. ποια είναι η τιμή της γωνίας θ; πάντηση: α. Με τη βοήθεια το Πθαγορείο θεωρήματος Β : = V + V = 1 ρ 1 ρ (,5 / ) ( 1,5 / ) V = m s m s = = V 4 m / s V m / s d ( Β ) = d = V t t= V 00m t= t = 100s m / s V β. πό το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει σνθ = σνθ = σνθ = 0,8,5 ρ 1 σνθ = 0,8 (δλδ 0 θ 37 ) 1.4. Τατόχρονα με τον κολμβητή το παραδείγματος 3, ξεκινά και ένας άλλος κολμβητής ο οποίος κολμπάει σνεχώς κάθετα στο ρεύμα το ποταμού, με αποτέλεσμα να φτάσει σε ένα σημείο Γ της απέναντι όχθης. Στη σνέχεια ο κολμβητής ατός διανύει την απόσταση ΓΒ περπατώντας με σταθερή ταχύτητα, με αποτέλεσμα να φτάσει στο σημείο Β τατόχρονα με τον πρώτο κολμβητή. ν και ο δεύτερος κολμβητής όταν κολμπά σε ήρεμα νερά μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα 1 =,5 m/s, να πολογίσετε την απόσταση ΓΒ και την ταχύτητα. [π. 10m, 6 m/s] 1 θ V ρ 3 ΠΡΔΕΙΓΜ 4: πό την ταράτσα ενός κτηρίο ύψος H = 45 m, εκτοξεύομε οριζόντια με αρχική ταχύτητα 0 = 0 m/s μια πέτρα. α. Σε πόσο ύψος και σε πόση οριζόντια απόσταση από το κτήριο θα βρίσκεται η πέτρα, τη χρονική στιγμή t 1 = s; β. Να πολογίσετε την ταχύτητα της πέτρας εκείνη τη χρονική στιγμή. γ. Πόσο χρόνο η πέτρα βρίσκεται στον αέρα; δ. Σε πόση οριζόντια απόσταση από τη βάση το κτηρίο θα πέσει η πέτρα; ε. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας της πέτρας τη στιγμή πο φτάνει στο έδαφος; Η αντίσταση το αέρα θεωρείται αμελητέα και g = 10 m/s. ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

4 ΚΕΦΛΙΟ 1 πάντηση: Η κίνηση της πέτρας είναι σύνθετη (οριζόντια βολή) και μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων (αρχή της επαλληλίας). Ο 0 x Άξονας x: Εθύγραμμη Ομαλή Κίνηση x = 0 t (1) Άξονας y: Ελεύθερη πτώση Η h y θ 0 y = g t () y = ½ g t (3) y α. Για t = t 1 = s, από την (3) έχομε: 1 y 10 m / s 4 s η πέτρα θα βρίσκεται σε ύψος h = H y = 45 m 0 m h = 5m και από τη (): x = 0m/s s x = 40 m. = y = 0 m. Επομένως εκείνη τη στιγμή β. Το μέτρο της ταχύτητας της πέτρας τη χρονική στιγμή t 1 = s είναι: = 0 + y ( ) ( ) = 0+ g t1 = 0 m / s + 10 m / s s = 800 m / s = 0 m / s. 8,3 m / s y 10 m / s s Η διεύθνση της ταχύτητας πολογίζεται από εϕθ = εϕθ = εϕθ = 1 θ = 45 0 m / s 0 () 0 γ. πό τη σχέση (3) για y = H: 1 45m g 10 m / s Η= gt t= t= t = 3 s δ. πό τη σχέση (1) για t = 3 s: x = 0 m/s 3 s x = 60 m (Βεληνεκές). ε. Μπορούμε να πολογίσομε το μέτρο της ταχύτητας με τον ίδιο τρόπο όπως στο ερώτημα β με t = 3 s. Μπορούμε να το πολογίσομε και με εφαρμογή της ΔΜΕ: K + U = K + U Κ + U =Κ + U αρχ αρχ τελ τελ ( Ο) ( O) ( A) ( A) 1 1 m 0 + mgh = m = 0 + gh = + m s = m s = m s 36m / s. s 0 10 45 / 1300 / 10 13 / ΠΡΔΕΙΓΜ 5: Μαθητής πετάει ένα βελάκι με οριζόντια ταχύτητα 0 = 15 m/s με κατεύθνση το πάνω άκρο ενός κκλικού στόχο ακτίνας = 0, m. O στόχος απέχει από το βελάκι οριζόντια απόσταση x = 3 m. Το βελάκι θα χτπήσει το στόχο στο κέντρο ή όχι. Δίνεται g = 10 m/s. ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΟΡΙΖΟΝΤΙ ΒΟΛΗ πάντηση 5 0 x x Το βελάκι στον άξονα χ κάνει εθύγραμμη ομαλή κίνηση άρα x = 0 t x t= 0 3 m t= t = 0, s, δηλαδή το βελά- 15 m/s κι φτάνει στο στόχο σε χρόνο 0, s. y Στον άξονα y το βελάκι κάνει ελεύθερη πτώση. Στον χρόνο t θα έχει πέσει κατά y. 1 1 Είναι y= g t y= 10 m / s ( 0, s) y = 0, m. Η κατακόρφη απόσταση είναι ίση με την ακτίνα το στόχο, άρα το βελάκι θα χτπήσει στο κέντρο το στόχο. 1.5. Ένα σώμα κινείται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ύψος 80 cm και το εγκαταλείπει με οριζόντια ταχύτητα 3 m/s. Σε πόση οριζόντια απόσταση από την άκρη το τραπεζιού θα πέσει το σώμα στο δάπεδο και με πόση ταχύτητα; Δίνεται g = 10 m/s. [π. 1, m, 5 m/s, εφθ = 4/3] 1.6. πό την ταράτσα ενός κτηρίο, τρία παιδιά ρίχνον τατόχρονα και οριζόντια από ένα πετραδάκι με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες. Να δικαιολογήσετε ότι τα πετραδάκια θα φτάσον τατόχρονα στο έδαφος. Θεωρείστε αμελητέα την αντίσταση το αέρα. 1.7. Στο ζωολογικό κήπο, ένας κτηνίατρος θέλει να ναρκώσει έναν πίθηκο για να τον εξετάσει. Ο γιατρός διαθέτει το κατάλληλο όπλο με τη νάρκωση και κάποια στιγμή βρίσκεται στο ίδιο ύψος με τον πίθηκο, ο οποίος κρέμεται από το κλαδί ενός δέντρο. Ο γιατρός σημαδεύει τον πίθηκο, αλλά τη στιγμή πο πατάει τη σκανδάλη, ο πίθηκος αφήνει το κλαδί και πέφτει ελεύθερα. Κατάφερε ή όχι ο γιατρός να ναρκώσει τον πίθηκο; 1.8. Βομβαρδιστικό αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h = 500 m πάνω από εθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα 0 = 100 m/s, έτσι ώστε να βρίσκεται πάνω από ατόν. Στον δρόμο κινείται όχημα με σταθερή ταχύτητα 1 = 0 m/s. πό πόση οριζόντια απόσταση από το όχημα πρέπει το αεροπλάνο να αφήσει βόμβα για να κτπήσει το όχημα. Δίνεται g = 10 m/s. [ π. x = 800 m ή x = 100 m ] 1.9. πό ένα σημείο πο βρίσκεται σε ύψος 80 m από το οριζόντιο έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια ένα σώμα με ταχύτητα 30 m/s. Τατόχρονα από το ίδιο σημείο αφήνεται ελεύθερο να πέσει ένα άλλο σώμα Β. α. Να προσδιορίσετε τη θέση των σωμάτων μετά από s. β. Σε πόσο χρόνο φτάνει κάθε σώμα στο έδαφος; γ. Σε ποιο σημείο το σώμα θα χτπήσει το έδαφος και με πόση ταχύτητα; δ. Να πολογίσετε τη μετατόπιση το σώματος μέχρι να φτάσει στο έδαφος. ντίσταση αέρα αμελητέα και g = 10 m/s. [π. α. y B = 0 m, y A = 0 m, x A = 60 m, β. 4 s, γ. 10 m, 50 m/s, εφθ = 4/3, δ. περ 144 m] ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

6 ΚΕΦΛΙΟ 1 1.10. Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος Η = km με ταχύτητα 0 = 100 m/s, πάνω από τη θάλασσα. Παράλληλα με το αεροπλάνο και στο ίδιο κατακόρφο επίπεδο κινείται ένα πλοίο με ταχύτητα 10 m/s. Σε πόση οριζόντια απόσταση από το πλοίο πρέπει να βρίσκεται το αεροπλάνο, ώ- στε αν αφεθεί ελεύθερο από το αεροπλάνο ένα πακέτο, ατό να πέσει μέσα στο πλοίο; Να εξετάσετε την περίπτωση πο οι ταχύτητες το πλοίο και το αεροπλάνο είναι i. ομόρροπες και ii. α- ντίρροπες. Δίνεται g = 10 m/s. [1800 m, 00 m] 1.11. Ένα βλήμα βάλλεται οριζόντια. Το βλήμα κατά την κίνηση το σναντάει διαδοχικά δο κατακόρφος χάρτινος στόχος Σ 1 και Σ πο οι οριζόντιες αποστάσεις τος από το σημείο βολής είναι x 1 = 30 m και x = 50 m αντίστοιχα. Οι δο τρύπες πο άνοιξε το βλήμα στος στόχος βρέθηκε ότι είχαν κατακόρφη απόσταση μεταξύ τος h = 5 m. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα το βλήματος. Δίνεται g = 10 m/s. [ πάντηση : = 40 m/s] 1.1. πό κάποιο σημείο πο βρίσκεται σε ύψος h = 45 m πάνω από το έδαφος βάλλονται οριζόντια μια χρονική στιγμή, πο θεωρείται αρχή μέτρησης των χρόνων, δύο μικρές σφαίρες με ταχύτητες πο έχον μέτρα 01 = 10 m/s η μία και 0 = 6 m/s η άλλη. Να παρασταθεί γραφικά η α- πόσταση των σφαιρών σε σνάρτηση με το χρόνο. Να εξετάσετε δύο περιπτώσεις, οι σφαίρες να έχον i) ομόρροπες και ii) αντίρροπες αρχικές ταχύτητες. Δίνεται g = 10 m/s. 1.13. Δο σημεία και Β βρίσκονται στην ίδια κατακόρφο και απέχον από το έδαφος h και 4h αντίστοιχα. πό τα σημεία και Β την ίδια χρονική στιγμή βάλλονται οριζόντια δο βλήματα. ν τα βλήματα έχον το ίδιο βεληνεκές να βρεθούν : α. Ο λόγος των ταχτήτων εκτόξεσης και β. ν h = 0 m με πόση διάφορα χρόνο πρέπει να εκτοξετούν ώστε να φτάσον τατόχρονα στο έδαφος. Δίνεται g = 10 m/s. [ π: α) 01 0 1 =, β) Δt = s ] 1.14. πό τη βάση ενός κτηρίο ύψος 0 m, ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 ένα όχημα και κινείται οριζόντια με σταθερή επιτάχνση α = m/s. Μετά από πόσο χρόνο πρέπει να εκτοξετεί ένα σώμα από την κορφή το κτηρίο με οριζόντια ταχύτητα 0 = 3 m/s, ώστε να κτπήσει το όχημα; Δίνεται g = 10 m/s. [π. 6 s] ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΟΡΙΖΟΝΤΙ ΒΟΛΗ 1.15. Δύο κτήρια απέχον D = 30 m. πό το ψηλότερο κτήριο (Ι), πο έχει ύψος Η = 60 m, εκτοξεύεται οριζόντια μια μπάλα με αρχική ταχύτητα 0 = 10 m/s, με σκοπό να φτάσει στο διπλανό κτήριο (ΙΙ), πο έχει ύψος h = 40 m και πλάτος d = 10 m. 7 Ι Ο 0 x d ΙΙ Β Η = 60 m h=40m D α. Θα φτάσει η μπάλα στην ταράτσα το κτηρίο ΙΙ; β. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή της ταχύτητας 0, ώστε η μπάλα να πέσει στην ταράτσα το κτηρίο ΙΙ; γ. Εκτοξεύομε τη μπάλα με ταχύτητα m/s. Ένα παιδί πο βρίσκεται στην ταράτσα ΙΙ έχει την ικανότητα, πηδώντας να πιάσει τη μπάλα ακόμη και σε ύψος,80 m. Θα μπορέσει το παιδί να πιάσει τη μπάλα; ντίσταση αέρα αμελητέα και g = 10 m/s. ΠΝΤΗΣΗ y α. ρκεί για y = H-h = 0 m να είναι D x D+ d 30m x 40m ν αντικαταστήσομε στην g εξίσωση τροχιάς y= x και λύσομε ως προς x θα βρούμε x = 0 m. Η μπάλα θα περάσει 0 10 m αριστερά από το άκρο της. β. 0,min = 15 m/s και 0,max = 0 m/s γ. Είναι m/s > 0 m/s. Η μπάλα θα περάσει πάνω από το ΙΙ. Το παιδί πρέπει να σταθεί στο άκρο Β το κτηρίο πο η μπάλα θα βρίσκεται στην μικρότερη απόσταση. Είναι x B = D+d = 40 m και από την εξίσωση τροχιάς βρίσκομε y = 16,5 m. Η απόσταση από το σημείο Β θα είναι: Η h y = 3,5 m >,8 m. Επομένως το παιδί δε θα μπορέσει να πιάσει τη μπάλα. ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

8 ΚΕΦΛΙΟ 1 Ταχύτητα (ή γραμμική ταχύτητα) : Διάνσμα εφαπτόμενο στην κκλική τροχιά με σταθερό μέτρο s =, όπο Δs είναι το μήκος το τόξο και Δt ο t απαιτούμενος χρόνος. Γωνιακή ταχύτητα ω: Διάνσμα κάθετο στο επίπεδο της κκλικής τροχιάς, με σημείο εφαρμογής το κέντρο, Δθ με τη φορά της δεξιόστροφης βίδας (κανόνας δεξιού χεριού) και με σταθερό μέτρο ω= θ, όπο Δθ η t γωνιακή μετατόπιση [σε rad] (επίκεντρη γωνία στην οποία αντιστοιχεί (βαίνει) το τόξο Δs). ω π =, =π f (σε m/s) T π Ισχύον οι σχέσεις: ω=, ω=π f (σε rad/s), =ω, όπο Τ Δs= Δθ Τ= περίοδος ( s) ( ) f = σχνότητα Hz = ακτίνα τροχιάς ( m) Η ομαλή κκλική κίνηση είναι μια ΕΠΙΤΧΥΝΟΜΕΝΗ κίνηση. Η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά κατεύθνση και η επιτάχνση πο οφείλεται στη μεταβολή ατή ονομάζεται ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ επιτά- χνση α κ. ποδεικνύεται ότι α κ = και α κ =ω ΠΡΔΕΙΓΜ 6: Ένας ψηφιακός δίσκος (CD) μπορεί να περιστρέφεται μέσα στο cd-player, όταν ατό λειτοργεί, μέχρι 500 στροφές το λεπτό. Πόσο είναι το μέτρο της γωνιακής το ταχύτητας; πάντηση: A τρόπος.. με πρακτική αριθμητική: Ο δίσκος σε 1 min, δηλαδή σε 60 s κάνει 500 στροφές, δηλαδή μια ακτίνα το διαγράφει γωνία 500.π = 1000π = 3140 rad. Επομένως η γωνιακή το ταχύτητα είναι 3140 rad / 60 s = 5,33 rad/s. B τρόπος: Το φσικό μέγεθος στροφές ανά λεπτό πο δίνεται, είναι η σχνότητα περιστροφής f το δίσκο. Δίνεται δηλαδή ότι f = 500 στροϕές / min= 500 στροϕές / 60s f = 8,33Hz Είναι ω = π f = 3,14 8,33 rad / s ω= 5,33 rad / s ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΡΔΕΙΓΜ 7: Θεωρούμε τη Γη σφαιρική με ακτίνα = 6400 km και με περίοδο περιστροφής Τ = 4 h. Να πολογιστούν: α. Η γραμμική ταχύτητα ενός σημείο το ισημερινού β. Το διάστημα πο διανύει ατό το σημείο σε μία ημέρα γ. Η γραμμική ταχύτητα ενός σημείο σε γεωγραφικό πλάτος φ = 60 0. πάντηση: 9 Γ Ο r φ A Οι μονάδες στο S.Ι. είναι : = 6400 km = 6,4 10 6 m και T = 4 h = 4 3600 s = 86400 s = 8,64 10 4 s. α. Η γραμμική ταχύτητα των σημείων το ισημερινού δίνεται από τη σχέση π = T 6 3,14 6,4 10 m = = 465 m/s. 8,64 10 s 4 β. Για το διάστημα πο διανύει το σημείο το ισημερινού έχομε : s = T s = 465 m/s 8,64 10 4 s s = 4,0176 10 7 m. γ) Το σημείο πο βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος φ = 60 0 διαγράφει κύκλο με ακτίνα r. πό το τρίγωνο ΟΓ έχομε : r = σνφ. π r π σνφ Για την ταχύτητα το σημείο ισχύει : A = A =, αλλά είναι T T άρα = σνφ = σν60 0 1 A = 465 m/s = 3,5 m/s. π = T 1.16. Κινητό εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας = 10 m με γραμμική ταχύτητα = m/s. Να πολογιστούν : α) Η περίοδος Τ και η σχνότητα f της κκλικής κίνησης, β) Η γωνιακή ταχύτητα ω, γ) Η κεντρομόλος επιτάχνση α κ, δ) Ο χρόνος πο απαιτείται για να διαγράψει το κινητό τόξο 10 0. [ π: Τ = 31.4 s, ω = 0. rad/s, α κ = 0.4 m/s, t = 10.46 s ] 1.17. Η Σελήνη εκτελεί μια περιστροφή γύρω από τη Γη σε Τ = 8 ημέρες. ν η ακτίνα της κκλικής τροχιάς της Σελήνης είναι = 60 Γ να πολογιστεί η γραμμική ταχύτητα της Σελήνης. Δίνεται η ακτίνα της Γης: Γ = 6400 km. [ π.: 1000 m/s] 1.18. τοκίνητο κινείται εθύγραμμα ομαλά με σταθερή ταχύτητα και σε χρόνο t = 10 s διανύει διάστημα x = 68 m. ν η ακτίνα των τροχών το ατοκίνητο είναι = 0.4 m να πολογιστούν : α. Η ταχύτητα το ατοκίνητο. β. Η γωνιακή ταχύτητα. γ. Η σχνότητα περιστροφής των τροχών και δ. Ο αριθμός των περιστροφών κάθε τροχού. [ π: α) = 6.8 m/s, β) ω = 157 rad/s, γ) f = 5 Hz, δ) Ν = 50 στρ ] 1.19. Δίσκος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κατακόρφο άξονα πο περνάει από το κέντρο το. Τα σημεία της περιφέρειας το δίσκο έχον γραμμική ταχύτητα 1 = 5 m/s ενώ ένα σημείο Μ πο απέχει από την περιφέρεια d = 10 cm έχει γραμμική ταχύτητα = 3 m/s. Να πολογιστούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής το δίσκο ω. β. Η ακτίνα το δίσκο. γ. Ο λόγος των κεντρομόλων επιταχύνσεων το σημείο της περιφέρειας και το σημείο Μ. ω O M d ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

10 ΚΕΦΛΙΟ 1 [π. α) ω = 0 rad/s, β) = 5 cm, γ) 1.0. Δο κινητά αναχωρούν από το ίδιο σημείο περιφέρειας κύκλο ακτίνας = 1 m κάνοντας ομαλή κκλική κίνηση με περίοδο Τ 1 = s και Τ = 1,8 s. Aν τα κινητά κινούνται ομόρροπα να πολογιστούν : α. Μετά από πόσο χρόνο θα σναντηθούν τα δο κινητά για πρώτη φορά, β. Μετά από πόσες στροφές το πρώτο κινητού θα γίνει ατή η σνάντηση και γ. Πόσο διάστημα θα έχον διανύσει τα δο κινητά τότε. [ π.: α) t = 18 s, β) Ν = 9, γ) s 1 = 56,5 m, s = 6,8 m ] 1.1. Δο κινητά και Β ξεκινούν τατόχρονα από σημείο περιφέρειας κύκλο ακτίνας = 1 m. Τα κινητά κινούνται ομόρροπα. Οι γωνιακές ταχύτητες είναι ω 1 = π/4 rad/s και ω = π/3 rad/s αντίστοιχα. Να πολογιστούν : α. Μετά από πόσο χρόνο θα σναντηθούν για πρώτη φορά, β. Μετά από πόσο χρόνο θα σναντηθούν για δέκατη φορά και πόσο διάστημα θα έχει διανύσει τότε το κινητό. [π.: α) t = 4 s, β) t = 40 s, s 1 = 60π m] 1.. Τρακτέρ κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα. Οι μπροστινοί τροχοί έχον ακτίνα 1 = 0,4 m ενώ οι πίσω τροχοί έχον ακτίνα = 1. ν οι μπροστινοί τροχοί κάνον Ν 1 = 500 στροφές να πολογιστούν : α. Η απόσταση πο έχει διανύσει το τρακτέρ. β. Ο αριθμός των στροφών πο κάνον οι πίσω τροχοί. γ. Ο λόγος των γωνιακών ταχτήτων των δο τροχών. δ. Ο λόγος των κεντρομόλων επιταχύνσεων των σημείων της περιφέρειας των δο τροχών. ω1 [ π. α) x = 156 m, β) Ν = 50 στρ, γ) =, δ) α κ1 = ] ω ακ 1.3. Ο στίβος ενός σταδίο το οποίο οι στροφές είναι ημικύκλια έχει τη μορφή το σχήματος. Δύο αθλητές ξεκινούν τατόχρονα από τα σημεία και Β με την ίδια ταχύτητα και κινούνται ο ένας στην εξωτερική και ο άλλος στην εσωτερική γραμμή. Οι γραμμές απέχον d = 10 m. Κάθε αθλητής διανύει ένα γύρο και τερματίζον με διάφορα χρόνο Δt = 1,56 s. Να πολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας. 1.4. Δο παράλληλοι δίσκοι είναι στερεωμένοι στον ίδιο άξονα απέχον απόσταση d = 1 m και περιστρέφονται με σχνότητα f = 50 Hz. Μια σφαίρα πο εξέρχεται από ό- πλο με ταχύτητα 0 και κινείται παράλληλα στον άξονα περιστροφής των δίσκων τρπάει και τος δο δίσκος. Η τρύπα το δεύτερο δίσκο έχει μετατοπιστεί σε σχέση με τον πρώτο δίσκο κατά γωνία φ = 45 0. Να πολογιστεί η ταχύτητα της σφαίρας αν θεωρηθεί σταθερή κατά το πέρασμα της και από τος δο δίσκος. d φ 0 0 ω Β d ω α α κ1 κ d 5 = 3 ] [π. = 5 m/s] [π. 0 = 400 m/s] ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1.5. Το ρολόι το διπλανού σχήματος δείχνει 1:00:00. Μετά από πόσο χρόνο α. οι δύο δείκτες θα είναι κάθετοι μεταξύ τος για πρώτη φορά; β. ο δείκτης των δετερολέπτων θα διχοτομεί για πρώτη φορά τη γωνία των δύο άλλων δεικτών; 11 100 1.6. Τη χρονική t = 0, δύο δρομείς και Β, πο τρέχον σε κκλικό στίβο ακτίνας = m με π ταχύτητες σταθερών μέτρων = 6 m/s και Β = 4 m/s αντίστοιχα, διέρχονται από το ίδιο σημείο Σ το στίβο. ν και οι δύο δρομείς κινούνται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής των δεικτών το ρολογιού, ποια χρονική στιγμή θα σναντηθούν για 1 η φορά στο σημείο Σ; [π. 100 s] 1.7. Δύο κινητά κινούνται ομαλά σε δύο κκλικές τροχιές 70 300 πο έχον ακτίνες 1 = m και = m, με αντίστοιχες ταχύτητες μέτρων 1 = 0 m/s και = 15 m/s. π π ν οι δύο κκλικές τροχιές εφάπτονται εξωτερικά, όπως φαίνεται και στο σχήμα, να πολογίσετε το χρονικό διάστημα πο μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών σναντήσεων των κινητών. [π. 10 s] 1 ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

1 ΚΕΦΛΙΟ 1 ν ένα σώμα κάνει κκλική κίνηση τότε : ❶ Σχεδιάζομε όλες τις δνάμεις πο ασκούνται στο σώμα. ❷ Εκλέγομε σύστημα ορθογώνιων αξόνων με αρχή το σώμα και τον άξονα x να σμπίπτει με την εφαπτομένη της τροχιάς ενώ ο άξονας y έχει την κατεύθνση της επιβατικής ακτίνας με φορά προς το κέντρο. ❸ ναλύομε όλες τις δνάμεις στο σύστημα των αξόνων. ν το σώμα κάνει ομαλή κκλική κίνηση ισχύει ΣF x = 0. ❹ Η σνιστάμενη όλων των δνάμεων στον άξονα y ( η ΣF y ) ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη και ισχύει ΣF y = mα κ ( α κ είναι η κεντρομόλος επιτάχνση η οποία μεταβάλλει μόνο την διεύθνση της ταχύτητας ) Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι ξεχωριστή δύναμη, αλλά είναι η σνιστάμενη όλων των δνάμεων πο ασκούνται στο σώμα στην κατεύθνση της επιβατικής ακτίνας. ΠΡΔΕΙΓΜ 8: Το εκκρεμές το σχήματος έχει μήκος l = 5 m και στρέφεται γύρω από τον κατακόρφο άξονα πο περνάει από το σταθερό σημείο ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία φ = 60 0. Να πολογιστεί η σχνότητα περιστροφής το σφαιριδίο το εκκρεμούς. Δίνεται g = 10 m/s. Λύση Στο σφαιρίδιο το σχήματος ασκούνται οι δνάμεις : το βάρος w και η δύναμη Τ από το νήμα. Το σφαιρίδιο κάνει κκλική κίνηση με κέντρο το Κ και ακτίνα, άρα η σνιστάμενη των w και Τ δίνει την κεντρομόλο δύναμη F k. πό το τρίγωνο με κάθετες πλερές τις m δνάμεις w και F k έχομε : F k = wεφφ = mgεφφ = gεφφ ❶ λλά = πf άρα η σχέση ❶ ( πf) = gεφφ 4π f = gεφφ 4π f = gεφφ ❷. λλά από το σχήμα είναι = l ημφ άρα η σχέση ❷ 4π f gεφφ lημφ = gεφφ f = 4πlηµφ gεφφ f= 4π lηµφ ΠΡΔΕΙΓΜ 9 1 g f= π lσνφ 1 10 1 f= f= 4 π 1 π 5 Προσδένομε ένα μικρό σώμα μάζας m = 1 kg στην άκρη νήματος με μήκος l = 0,4 m. Κρατάμε το νήμα τεντωμένο ώστε να σχηματίζει γωνία θ = 60 0 με τη κατακόρφο. φήνομε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθεί η ταχύτητα το σώματος και η τάση το νήματος όταν το σώμα περνάει από την κατακόρφο. Δίνεται g = 10 m/s. w Τ φ w F k 1 f = Hz. π Τ 0 l h φ K θ Γ l Ο Τ w ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ πάντηση: Στο σώμα ασκούνται οι δνάμεις : Το βάρος w και η τάση T το νήματος ( Η τάση μεταβάλλεται σνέχεια κατά την κίνηση το σώματος, αλλά είναι πάντα κάθετη στη μετατόπιση γιατί έχει τη κατεύθνση της ακτίνας, άρα δεν εκτελεί έργο ). Επειδή η μόνη δύναμη πο εκτελεί έργο στο σώμα είναι το βάρος, η μηχανική ενέργεια το σστήματος διατηρείται. ν θεωρήσομε σαν επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας την κατώτερη θέση το σώματος έχομε : 13 Ε ( ) = Ε ( Γ ) άρα Κ + U A = K Γ + U Γ ή 0 + mgh = 1 m + 0 άρα = gh ❶ Υπολογισμός της ψομετρικής διαφοράς : πό το τρίγωνο ΟΔ το τμήμα OΔ είναι : OΔ = Ο σνθ επομένως OΔ = l σνθ. Για το h είναι : h = OΓ ΟΔ άρα h = l l σνθ ή h = l (1 σνθ) ❷ Η μέθοδος ατή χρησιμοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις πο απαιτείται η ψομετρική διαφορά δύο θέσεων στην κίνηση εκκρεμούς. πό τις σχέσεις ❶ και ❷ έχομε : = g l ( 1 - σνθ ) ή ( ) *** Υπολογισμός της τάσης το νήματος : = 10 0,4 1-0,5 ή = m/s. Η σνισταμένη των δνάμεων στο κατώτερο σημείο της τροχιάς είναι η κεντρομόλος δύναμη άρα ΣF = F κ και σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της κίνησης έχομε : Τ w = m άρα Τ = mg + l m ή l Τ = mg + g ( 1 - σνθ) m l l ή Τ = mg + mg mgσνθ ή Τ = 3mg mgσνθ ή Τ = mg( 3 σνθ ) άρα Τ = 1 10 ( 3 0.5 ) ή Τ = 0 Ν. Η μέθοδος ατή χρησιμοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις πο απαιτείται η τάση το νήματος σε κάποια θέση στην κίνηση εκκρεμούς αφού πολογίσομε πρώτα την ταχύτητα το σώματος στη θέση ατή. ΠΡΔΕΙΓΜ 10: Ταχύτητα ανακύκλωσης Σώμα δεμένο στην άκρη νήματος και κινείται σε κατακόρφη κκλική τροχιά ακτίνας = 0,9 m. Να πολογιστεί α. η ελάχιστη ταχύτητα πο πρέπει να έχει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς το ώστε να διαγράψει τον κατακόρφο κύκλο. β. η ελάχιστη ταχύτητα πο πρέπει να έχει στο κατώτερο σημείο της τροχιάς το ώστε να διαγράψει τον κατακόρφο κύκλο. (Η ταχύτητα ατή ο- νομάζεται ταχύτητα ανακύκλωσης ) Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 10 m/s. x m w Τ y ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

14 ΚΕΦΛΙΟ 1 πάντηση: α. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς όπως φαίνεται στο σχήμα ασκούνται οι δνάμεις : το βάρος Β και η δύναμη από το νήμα Τ. Επειδή το σώμα εκτελεί κκλική κίνηση έχομε : ΣF κ = mα κ w + Τ = m = ( w + Τ) m Η ταχύτητα γίνεται ελάχιστη όταν η Τ γίνει ελάχιστη δηλαδή όταν Τ = 0. άρα = mg = = g = 10 0,9 m. = 3 m/s. ( mg+ 0 ) m β. ρκεί να πολογίσομε την ταχύτητα 0 πο πρέπει να δώσομε στο σώμα, ώστε να φτάσει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς το με ταχύτητα = 3 m/s. Η κίνηση το σώματος είναι κκλική αλλά όχι ομαλή (ούτε ομαλά μεταβαλλόμενη). Επομένως ο πολογισμός μπορεί να γίνει μόνο ενεργειακά. Εφαρμόζομε την ΔΜΕ στις θέσεις (Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς για τη δναμική ενέργεια, το οριζόντιο επίπεδο πο διέρχεται από τη χαμηλότερη θέση το σώματος.) 1 1 EΡΧ =ΕΤΕΛ Κ ΡΧ+ UΡΧ =Κ ΤΕΛ + UΤΕΛ m 0 + 0= m + mg l 0 = + 4gl ( S. I ) 0 4gl 0 3 4 10 0,9 m / s 0 45 0 = + = + = 6,7 m / s ΠΡΔΕΙΓΜ 11: Μέγιστη ταχύτητα στη στροφή τοκίνητο κινείται σε οριζόντιο κκλικό δρόμο ακτίνας = 80 m. ν ο σντελεστής τριβής των ελαστικών το ατοκινήτο και το δρόμο είναι μ = 0,5 να πολογιστεί η μέγιστη T T N ταχύτητα πο μπορεί να αναπτύξει το ατοκίνητο. Δίνεται g = 10 m/s. w πάντηση: Στο ατοκίνητο ασκούνται οι δνάμεις: το βάρος w και η δύναμη από το δάπεδο πο αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και την τριβή Τ. Το ατοκίνητο δεν ολισθαίνει προς το κέντρο το κύκλο άρα η Τ είναι η στατική τριβή. Το ατοκίνητο κάνει κκλική κίνηση άρα η στατική τριβή m Τ είναι η κεντρομόλος δύναμη, δηλαδή : T = Fk T=. Για να μην ολισθαίνει το ατοκίνητο m πρέπει Τ Τ s,max άρα Τ μν μν 1 Στον άξονα y έχομε : ΣF y = 0 Ν w = 0 Ν = mg m πό τις σχέσεις 1 και έχομε : μmg μg µg µg max = max = 0.5 10 80 max = 0 m/s ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1.8. Στο διπλανό σχήμα, φαίνεται η Γη και ένα σώμα σε διάφορες θέσεις. 15 α. Να σχεδιάστε τη δύναμη πο δέχεται το σώμα από τη Γη (το βά- κίνηση το σώματος αν αφεθεί ε- ρος), στις διάφορες θέσεις. β. Μπορείτε να προβλέψετε την λεύθερο στη θέση ; 1.9. Ένας δορφόρος στρέφεται σε κκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης, σε ύψος h από την επιφάνειά της, όπως στο σχήμα. Ο δορφόρος δεν πέφτει στη Γη γιατί: α. Δεν δέχεται έλξη από τη Γη. β. Δέχεται δύναμη από τη Γη, αλλά και ατός της ασκεί μια αντίθετη δύναμη. γ. Είναι έξω από την ατμόσφαιραα της Γης. δ. Τίποτα από όλα ατά. Β. Σχεδιάστε τις δνάμεις πο ασκούνται στο δορφόρο στις θέσει (1) και () και εξηγείστε γιατί ο δορφόρος δεν πέφτει στην επιφάνεια της Γης. Γ. ν μετά από σύγκροση το δορφόρο με ένα μετε- τότε ατός: ωρίτη, η ταχύτητά το μηδενιστεί, α. Θα πέσει στη Γη. β. Θα παραμείνει ακίνητος στη θέση το. γ. Θα απομακρνθεί από τη Γη κινούμενος στη διεύθνση της εφαπτομένης. δ. Δεν θα ασκεί πλέον ο δορφόρος δύναμη στη Γη. Δ. ν ένας «μάγος» εξαφάνιζε σε μια στιγμή τη Γη, τότε ο δορφόρος: α. Θα εξαφανιζόταν και ατός. β. Θα σνέχιζε την κίνησή το στην ίδια κκλική τροχιά. γ. Θα κινείτο προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς. δ. Θα εκτελούσε εθύγραμμη ομαλή κίνηση. 1.30. Ένα εκκρεμές μήκος l = m με μάζα το σφαιριδίο m = 1 kg εκτελεί ταλάντωση. Τη στιγμή πο το νήμα το εκκρεμούς σχηματίζει γωνία φ = 60 0 με την κατακόρφο, η ταχύτητα το είναι = m/s. Δίνεται g = 10 m/ /s. Να πολογιστεί : α. Η κεντρομόλος δύναμη. β. Η τάση το νήματος. [π. α) F k = N β) Τ = 7 Ν] 1.31. Σώμα μάζας m = 1 kg είναι δεμένο στην άκρη νήματος μήκος l = 1 m το οποίο έχει όριο θραύσης Τ θ = 100 Ν. Το σώμα εκτελεί κκλική κίνηση σε λείο οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακό- η μέγιστη σχνότη- ρφο άξονα ο οποίος περνάει από το άλλο άκρο το νήματος. Να πολογιστεί τα περιστροφής για να μην σπάσει το νήμα. [π. f = 5/π Hz] ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

16 ΚΕΦΛΙΟ 1 1.3. τοκινητόδρομος παροσιάζει την κατάλληλη κλίση φ ώστε τα ατοκίνητα να παίρνον με ασφάλεια μια στροφή με ταχύτητα = 7 km/h. Η ακτίνα της στροφής είναι = 50 m. Να πολογιστεί η κλίση φ το δρόμο. Τριβές δεν πάρχον. Δίνεται g = 10 m/s. [π. εφφ = 0,8] 1.33. τοκίνητο πρόκειται να εκτελέσει κκλική στροφή ακτίνας = 50 m με ταχύτητα = 7 km/h. Να πολογιστεί η ελάχιστη τιμή το σντελεστή στατικής τριβής μεταξύ των ελαστικών και το οδοστρώματος, ώστε το ατοκίνητο να εκτελέσει τη στροφή με ασφάλεια. Δίνεται g = 10 m/s. [π. μ min = 0,8] 1.34. Ένα σώμα βάρος w, είναι δεμένο στο ένα άκρο νήματος και κινείται σε κατακόρφη κκλική τροχιά της οποίας το κέντρο είναι το άλλο άκρο το νήματος. Να αποδείξετε ότι η διαφορά των τάσεων το νήματος στην κατώτερη και την ανώτερη θέση της τροχιάς το, είναι 6w. 1.35. Ένα μικρό σώμα, μάζας m = 0,1 kg αφήνεται από τη θέση και κινείται χωρίς τριβή κατά μήκος το κατακόρφο οδηγού το διπλανού σχήματος.. ν h = 5 = 1 m, όπο η ακτίνα το κκλικού οδηγού, να πολογίσετε την ταχύτητα το σώματος τη στιγμή πο διέρχεται h Γ από το σημείο Β, το οποίο βρίσκεται σε ύ- B ψος και από το σημείο Γ πο βρίσκεται σε ύψος. Β. Να πολογίσετε το μέτρο της δύναμης πο δέχεται το σώμα από τον κκλικό οδηγό στις θέσεις Β και Γ. Γ. Να πολογίσετε την ελάχιστη τιμή το ύψος h από το οποίο πρέπει να αφήσομε το σώμα, ώστε να διαγράψει ολόκληρο τον κύκλο (να εκτελέσει ανακύκλωση). Δίνεται g = 10 m/s. Να θμηθούμε λίγο και την ισορροπία. 1.36. Τα δύο νήματα σγκρατούν μια μικρή σφαίρα βάρος 6 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Να πολογίσετε τα μέτρα των δνάμεων πο α- σκούνται στη σφαίρα από τα δύο νήματα. 60 Β. Με ένα ξραφάκι κόβομε το οριζόντιο νήμα Ν. 0 Ν 1 i. Τη στιγμή ατή να πολογίσετε το μέτρο Ν της δύναμης πο ασκεί το νήμα Ν 1 στη σφαίρα. ii. Να πολογίσετε το μέτρο της δύναμης πο ασκείται στη σφαίρα από το νήμα Ν 1 τη στιγμή πο ατό γίνεται κατακόρφο. Δίνεται g = 10 m/s. A ΣΤΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ