HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015 1 ιαδικαστικά θέµατα Πρόοδος το ερχόµενο Σάββατο, 25/4/2015, ώρα 14:00-17:00, σε όλες τις αίθουσες. Προαιρετική αλλά ισχυρά συνιστώµενη! Ύλη: ότι έχουµε κάνει µέχρι την διάλεξη #15 εν επιτρέπονται βιβλία & σηµειώσεις Να έχετε µαζί σας αστυνοµική ταυτότητα ή πάσο, κλπ. Ερχόµενη Πέµπτη: Φροντιστήριο σε συναρτήσεις / αρχή του περιστερώνα, παράδοση 4 ης σειράς, ανάρτηση 5 ης σειράς Ερχόµενη Παρασκευή: Επαναληπτική διάλεξη ιόρθωση στη λύση της άσκησης 4 της 3 ης σειράς! 4/21/2015 2 Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Για οποιαδήποτε σύνολα A, B, λέµε ότι µία συνάρτηση f από το A στο B (f:a B) είναι µία ειδική εκχώρηση ακριβώς ενός στοιχείου f(x) B σε κάθε στοιχείο x A. Ορολογία Εάν f:a B και f(a)=b (όπου a A και b B), τότε λέµε ότι: Το A είναι το πεδίο ορισµού της f. Το B είναι το πεδίο τιµών της f. Το b είναι η εικόνατου a µε βάση την f. Το εύρος R B της f είναι R={b a f(a)=b }. 4/21/2015 3 4/21/2015 4 1
Σύνθεση συναρτήσεων Για συναρτήσεις f:a Bκαι g:b C, ορίζεται η σύνθεσή τους ( ). Συνθέτει µία καινούργια συνάρτηση από τις f και g εφαρµόζοντας την g στο αποτέλεσµα της f. Λέµε (g f):a C, όπου (gf)(a) : g(f(a)). f(a) B, εποµένως το g(f(a)) ορίζεται και g(f(a)) C. Συναρτήσεις ένα-προς-ένα Μία συνάρτηση είναιένα-προς-ένα (1-1), αν και µόνο αν κάθε στοιχείο στο εύρος της σχετίζεται µε ένα µόνο στοιχείο του πεδίου ορισµού της. Τυπικά: δοσµένης f:a B, f, ένα-προς-ένα : ( x,y: x y f(x) f(y)). 4/21/2015 5 4/21/2015 6 Συναρτήσεις «επί» Μία συνάρτηση f:a B είναι «επί» εάν το εύρος της είναι το ίδιο µε το πεδίο τιµών της ( b B, a A: f(a)=b). Αγγλική ορολογία 1. injection = 1-προς-1 2. surjection = επί 3. bijection = αµφιµονοσήµαντη 3 = 1&2 εποµένως, για να αποδείξουµε ότι µία συνάρτηση είναι αµφιµονοσήµαντη αρκεί να αποδείξουµε ότι είναι 1-1 και επί 4/21/2015 7 4/21/2015 8 2
Αντίστροφη συνάρτηση Για µία αµφιµονοσήµαντη συνάρτηση f:a B, υπάρχει η αντίστροφη της f 1, f 1 : B A ιαισθητικά, αυτή είναι η συνάρτηση που ακυρώνει ότι κάνει η f Τυπικά, είναι η µοναδική εκείνη συνάρτηση για την οποία f 1 f = I A (θυµηθείτε ότι I A είναι η ταυτοτική συνάρτηση στο A) Μερικές χρήσιµες συναρτήσεις Συχνά χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες συναρτήσεις στους πραγµατικούς αριθµούς: Την συνάρτηση floor :R Z, όπου x είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος που είναι µικρότερος ή ίσος του x. ηλ., x : max({i Z i x}). Την συνάρτηση ceiling :R Z, όπου x είναι ο µικρότερος ακέραιος που είναι µεγαλύτερος ή ίσος του x. ηλ., x : min({i Z i x}) 4/21/2015 9 4/21/2015 10 Η αρχή του περιστερώνα Η αρχή του περιστερώνα (!) Pigeonhole principle Dirichlet drawer principle Εάν k+1 αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις, τότε τουλάχιστον σε µία θέση έχουν τοποθετηθεί 2 αντικείµενα. Σε σχέση µε την αντίστοιχη συνάρτηση: Εάν f:a B και A B +1, και η fείναι επί, τότε η f δεν µπορεί να είναι 1-1 και µάλιστα, περισσότερα από ένα στοιχεία του πεδίου ορισµού έχουν την ίδια εικόνα στο πεδίο τιµών 4/21/2015 11 4/21/2015 12 3
Παράδειγµα Υπάρχουν 101 δυνατοί βαθµοί (0-100) στην επερχόµενη πρόοδο του ΗΥ118. Ας υποθέσουµε πως την πρόοδο θα τη δώσουν περισσότεροι από 101 φοιτητές. Εποµένως, πριν δω τα γραπτά, µε βάση την αρχή του περιστερώνα, είµαι βέβαιος ότι θα υπάρξουν τουλάχιστον δύο φοιτητές που θα πάρουν τον ίδιο ακριβώς βαθµό! Γενικευµένη αρχή του περιστερώνα Εάν N αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις, τότε υπάρχει µία θέση στην οποία έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον N/k αντικείµενα. 4/21/2015 13 4/21/2015 14 Απόδειξη της γενικευµένης αρχής Εάν N αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις, τότε υπάρχει µία θέση στην οποία έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον N/k αντικείµενα. Απόδειξη Ας υποθέσουµε πως κάθε θέση έχει λιγότερα από N/k αντικείµενα. Εποµένως: αριθµός αντικειµένων ανά θέση = Α N/k 1. Τότε ο συνολικός αριθµός αντικειµένων είναι το πολύ N N N ka= k 1 < k + 1 1 = k = N k k k Άρα, ο συνολικός αριθµός αντικειµένων είναι µικρότερος από N, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση µε την υπόθεσή µας για N αντικείµενα! Γενικευµένη αρχή: Παράδειγµα οσµένο: Υπάρχουν 455 φοιτητές στο ΗΥ118.Χωρίς να ξέρουµε τίποτε για τα γενέθλια του καθενός από εσάς, ποιά είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµή n για την οποία µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι τουλάχιστον n φοιτητές γεννήθηκαν τον ίδιο µήνα; 4/21/2015 15 4/21/2015 16 4
Γενικευµένη αρχή: Παράδειγµα οσµένο: Υπάρχουν 455 φοιτητές στο ΗΥ118.Χωρίς να ξέρουµε τίποτε για τα γενέθλια του καθενός από εσάς, ποιά είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµή n για την οποία µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι τουλάχιστον n φοιτητές γεννήθηκαν τον ίδιο µήνα; Απάντηση: 455/12 = 37.91 = 38 Παράδειγµα Υποθέστε ότι µέσα στον Ιούνιο, µία οµάδα θα παίξει τουλάχιστον ένα παιχνίδι την ηµέρα, αλλά συνολικά, το πολύ 45 παιχνίδια. είξτε ότι θα πρέπει να υπάρχει µια ακολουθία από ηµέρες στον Ιούνιο κατά τις οποίες η οµάδα θα παίξει ακριβώς 14 παιχνίδια. 4/21/2015 17 4/21/2015 18 Παράδειγµα Υποθέστε ότι µέσα στον Ιούνιο, µία οµάδα θα παίξει τουλάχιστον ένα παιχνίδι την ηµέρα, αλλά συνολικά, το πολύ 45 παιχνίδια. είξτε ότι θα πρέπει να υπάρχει µια ακολουθία από µέρες στον Ιούνιο κατά τις οποίες η οµάδα θα παίξει ακριβώς 14 παιχνίδια. Απόδειξη: Έστω a j ο αριθµός των παιχνιδιών που η οµάδα έχει παίξειµέχρικαιτηµέρα j του Ιουνίου. Τότε, η a 1,,a 30 Z + είναι µία ακολουθία από 30 διαφορετικούς ακεραίους όπου 1 a j 45. Εποµένως, a 1 +14,,a 30 +14 είναι µία ακολουθία από 30 διαφορετικούς ακεραίουςµε 15 a j +14 59. Άρα, (a 1,,a 30, a 1 +14,,a 30 +14) είναι µία ακολουθία 60 ακεραίων από το σύνολο {1,..,59}. Από την αρχή του περιστερώνα, δύο από αυτούς είναι ίσοι, αλλά οι a 1,,a 30 είναι διαφορετικοίµεταξύτουςκαι οι a 1 +14,,a 30 +14είναι διαφορετικοίµεταξύτους. Εποµένως, ij: a i = a j +14. Εποµένως, ij: a i a j =14, κι εποµένως υπάρχουν όντως ηµέρες i και j τέτοιες ώστε µεταξύ τους να έχουν παιχτεί 14 παιχνίδια. 4/21/2015 19 Αποδείξτε ότι εάν πέντε σηµεία επιλεγούν στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς µήκους 1, τότε υπάρχουν δύο σηµεία που απέχουν το πολύ 2 / 2 4/21/2015 20 5
Πρόβληµα: Αποδείξτε ότι εάν πέντε σηµεία επιλεγούν στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς µήκους 1, τότε αναγκαστικά πρέπει να υπάρχουν δύο σηµεία που απέχουν το πολύ 2 / 2 Λύση: Περιστέρια (5): Τα 5 επιλεγµένα σηµεία Περιστερώνες (4): Οι περιοχές 1/2 1/2 που παίρνουµε ενώνοντας τα µέσα των απέναντι πλευρών του τετραγώνου. Η επιλογή ενός σηµείου στο τετράγωνο αντιστοιχεί στην τοποθέτηση ενός περιστεριού σε ένα περιστερώνα. εδοµένου ότι 5 περιστέρια τοποθετούνται σε 4 περιστερώνες, τουλάχιστο ένα ζεύγος περιστεριών θα τοποθετηθεί στον ίδιο περιστερώνα. Γι αυτά τα σηµεία, είναι προφανές ότι η απόστασή τους είναι µικρότερη από το µήκος της διαγωνίου του 1/2 1/2 τετραγώνου (= 2/2). 4/21/2015 21 Κι άλλο (αστείο) παράδειγµα Μπορούµε να δείξουµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο άνθρωποι στη Θεσσαλονίκη µε τον ίδιο αριθµό από τρίχες στο κεφάλι τους. Απόδειξη: Ένα τυπικό κεφάλι έχει περίπου 150,000 τρίχες, που σηµαίνει ότι λογικά δεν υπάρχει κεφάλι µε περισσότερες από 1,000,000 τρίχες. εδοµένου ότι ο πληθυσµός της Θεσσαλονίκης είναι µεγαλύτερος από 1,000,000, προκύπτει από την αρχή του περιστερώνα ότι για τουλάχιστον δύο ανθρώπους, ισχύει ότι έχουν το ίδιο αριθµό από τρίχες στο κεφάλι τους. 4/21/2015 22 Πρόβληµα: Έστω µια σκακιέρα από την οποία αφαιρούµε το επάνω αριστερά και το κάτω δεξιά τετράγωνό της. Είναι δυνατόν να καλύψουµε το σκάκι µε κοµµάτια ντόµινο, καθένα από τα οποία έχει µέγεθος ακριβώς 2 τετράγωνα της σκακιέρας; (η τοποθέτηση ενός ντόµινο θεωρείται νόµιµη εάν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη). Λύση??? Πρόβληµα: Έστω µια σκακιέρα από την οποία αφαιρούµε το επάνω αριστερά και το κάτω δεξιά τετράγωνό της. Είναι δυνατόν να καλύψουµε το σκάκι µε κοµµάτια ντόµινο, καθένα από τα οποία έχει µέγεθος ακριβώς 2 τετράγωνα της σκακιέρας; (η τοποθέτηση ενός ντόµινο θεωρείται νόµιµη εάν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη). Λύση Τα τετράγωνα που αφαιρούµε έχουν το ίδιο χρώµα. Αυτό σηµαίνει πως µετά την αφαίρεσή τους, το ένα χρώµα θα έχει δύο τετράγωνα περισσότερα από το άλλο χρώµα Κάθε τοποθέτηση ενός ντόµινο στη σκακιέρα καλύπτει ακριβώς ένα άσπρο και ακριβώς ένα µαύρο τετράγωνο. Εποµένως, από την αρχή του περιστερώνα γνωρίζουµε ότι δεν θα µπορέσουµε τελικά να καλύψουµε όλα τα τετράγωνα. 4/21/2015 23 4/21/2015 24 6
Αποδεικνύοντας προτάσεις µέσω της αρχής του περιστερώνα Αποφάσισε ποιά είναι τα «περιστέρια» Αποφάσισε ποιοί είναι οι «περιστερώνες» Αποφάσισε τον κανόνα µε τον οποίο τα «περιστέρια» αντιστοιχίζονται στους «περιστερώνες» Εφάρµοσε την αρχή του περιστερώνα προκειµένου να εξακριβωθεί αν µπορεί να εξαχθεί το επιθυµητό συµπέρασµα Έστω ότι σε ένα κουτί υπάρχουν 10 µπλε και 12καφέ κάλτσες. Πόσες είναι οι ελάχιστες που πρέπει να βγάλετε (χωρίς να βλέπετε) για να είστε σίγουροι ότι τελικά θα έχετε τουλάχιστο ένα ζευγάρι κάλτσες του ίδιου χρώµατος; 4/21/2015 25 4/21/2015 26 Συνέπειες Τρεις! Γιατί;;;; Περιστέρια: Κάλτσες που επιλέγονται. Περιστερώνες: τα δύο διαφορετικά χρώµατα. Ψάχνουµε να βρούµε εκείνο το ελάχιστο πλήθος «περιστεριών» που εάν τοποθετήσουµε στους «περιστερώνες», θα µας οδηγήσει στην τοποθέτηση δύο περιστεριών στον ίδιο περιστερώνα. Από την αρχή του περιστερώνα, αυτό είναι 3 Όντως, αν επιλέξω τρεις κάλτσες, τουλάχιστον οι δύο από αυτές θα είναι αναγκαστικά του ίδιου χρώµατος 4/21/2015 27 Συµπίεση χωρίς απώλειες (Lossless compression) Κάθε αλγόριθµος συµπίεσης γενικού σκοπού ο οποίος επιτρέπει πλήρη ανάκτηση της αρχικής πληροφορίας και ο οποίος µειώνει το µέγεθος ενός αρχείου εισόδου, είναι καταδικασµένος να κάνει το µέγεθος κάποιου άλλου αρχείου µεγαλύτερο! ( Αλλιώς, δύο αρχεία θα έπρεπε υποχρεωτικά να συµπιέζονται στο ίδιο, µικρότερο αρχείο, πράγµα που θα σήµαινε ότι δεν θα µπορούσαµε να ανακτήσουµε την αρχική πληροφορία) (Hash functions Τα collisions είναι αναπόφευκτα σε hash tables γιατί ο αριθµός των κλειδιών είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των δεικτών στο hash table. ) 4/21/2015 28 7