ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια των Μαθηµατικών. Να θυµηθείς πώς κάνουµε υπολογισµούς µε αριθµούς µέχρι το 100.000. 2 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
ραστηριότητα - Ανακάλυψη Η Νεφέλη, ο Γιάννης, ο Οδυσσέας, η Θεοδώρα, ο Γιώργος και ο Μίλτος πήγαν στην ίδια κατασκήνωση το καλοκαίρι. Όλοι ασχολήθηκαν µε αθλήµατα. Αν ο αγώνας µπάσκετ άρχισε πριν από ένα τέταρτο και η συνολική του διάρκεια είναι µία ώρα, τι ώρα θα τελειώσει; Σκέφτοµαι - Τι ώρα είναι τώρα; - Είναι δώδεκα ακριβώς. Το ρολόι πάνω από τη µπασκέτα δείχνει 12:00. - Πότε άρχισε ο αγώνας; - Άρχισε πριν ένα τέταρτο, δηλαδή στις δώδεκα παρά τέταρτο, ή (όπως έδειχνε το ρολόι) 11.45, έντεκα και σαράντα πέντε. - Πόσο διαρκεί ο αγώνας; - ιαρκεί µία ώρα από τη στιγµή που θα αρχίσει. - Τι ώρα θα τελειώσει λοιπόν; - Θα τελειώσει µία ώρα µετά από τις 11:45, δηλαδή στις 12:45 ( µία παρά τέταρτο ). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 3
Ο αγώνας µπάσκετ θα τελειώσει στη µία παρά τέταρτο ή 12:45. ΘΥΜΑΜΑΙ 11:20 έντεκα και είκοσι 12:15 δώδεκα και δεκαπέντε ή δώδεκα και τέταρτο 2:30 δύο και τριάντα ή δύο και µισή 4:50 τέσσερις και πενήντα ή πέντε παρά δέκα 8:35 οκτώ και τριανταπέντε ή εννέα παρά εικοσιπέντε Στον αγώνα παίζει το 1/10 των αγοριών της κατασκήνωσης. Πόσα µπορεί να είναι όλα τα αγόρια; Βάζω και εξηγώ στην τάξη πώς σκέφτηκα. 10 100 1.0 4 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Σκέφτοµαι - Πόσα αγόρια παίζουν µπάσκετ; - Παίζουν 10 αγόρια, όπως φαίνεται και στην εικόνα. - Τι σηµαίνει ότι αυτά τα αγόρια είναι το 1/10 (ένα δέκατο) των αγοριών της κατασκήνωσης; - Αυτό σηµαίνει ότι από τα 10 αγόρια της κατασκήνωσης, παίζει µπάσκετ το 1. Αν λοιπόν έπαιζαν µπάσκετ 2 αγόρια, τα αγόρια της κατασκήνωσης θα ήταν 20. Αν έπαιζαν 3, τα αγόρια της κατασκήνωσης θα ήταν 30, κ.λ.π. - Τώρα που παίζουν µπάσκετ 10 αγόρια, πόσα είναι τα παιδιά της κατασκήνωσης; - Τα αγόρια της κατασκήνωσης θα είναι 10 10 = 100. - Όλα τα αγόρια της κατασκήνωσης είναι 100. Βάζω λοιπόν το στο 100: 10 100 1.000 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 5
Επιπλέον ερωτήσεις - Αν τα παιδιά της εικόνας ήταν το 1 2 (ένα δεύτερο) των αγοριών της κατασκήνωσης, πόσα θα ήταν όλα τα αγόρια; - Θα ήταν 2 10 = 20 αγόρια συνολικά. - Κι αν ήταν το 1 3 (ένα τρίτο) των αγοριών της κατασκήνωσης; - Τότε, όλα τα αγόρια της κατασκήνωσης θα ήταν: 3 10 = 30. Κάθε παιδί ρίχνει 6 βέλη. Προσοχή! Αν το βέλος βγει εκτός στόχου, αφαιρούνται 50 βαθµοί! Ποιες µπορεί να ήταν οι βολές που έριξε ο Μίλτος; 6 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Σκέφτοµαι - Πόσους βαθµούς πέτυχε ο Μίλτος; - Πέτυχε 1.200 βαθµούς. - Πόσα βέλη ρίχνει κάθε παιδί; - Ρίχνει 6 βέλη. - Πόσα βέλη του Μίλτου βγήκαν εκτός στόχου; - Εκτός στόχου βγήκαν 2 βέλη. - Πόσα βέλη του Μίλτου πέτυχαν το στόχο τους; - Αφού ήταν 6 όλα τα βέλη και τα 2 βέλη βγήκαν εκτός στόχου συµπεραίνουµε ότι 4 βέλη βρήκαν το στόχο τους (Από τα 6 βέλη αφαιρούµε 2 βέλη και µένουν 4 βέλη). - Τι σηµαίνει αυτό; - Αυτό σηµαίνει ότι έχασε 100 βαθµούς από τις δύο χαµένες βολές. Ξέρω ότι η µία χαµένη βολή είναι 50 βαθµοί και ψάχνω τις 2 χαµένες βολές. Άρα κάνω πολλαπλασιασµό και βρίσκω 2 50 = 100. - Πόσους βαθµούς έχει µαζέψει από τις 4 επιτυχηµένες βολές του; - Έχει µαζέψει 1.300 βαθµούς (1.200 βαθµούς που έχει και 100 βαθµούς που του αφαιρέθηκαν από τις δύο χαµένες βολές). - Ποιες µπορεί να ήταν οι βολές που έριξε ο Μίλτος; - Οι βολές που έριξε ο Μίλτος ήταν τέτοιες ώστε το άθροισµα των βαθµών από τα 4 βέλη να είναι ίσο µε 1.300. Οπότε αφαιρώντας τους 100 βαθµούς ποινής (2 βέλη εκτός στόχου) βρίσκουµε 1.200. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 7
Ο Μίλτος θα µπορούσε να είχε ρίξει τις εξής βολές (µέχρι τους 1.300 βαθµούς): 2 φορές το 500, 1 φορά το 250, 1 φορά το 50. (500 + 500 + 250 + 50 = 1.300) Αν η Νεφέλη συγκέντρωσε περισσότερους βαθµούς από το Γιώργο και το Μίλτο, ποιες µπορεί να ήταν οι βολές της; Σκέφτοµαι - Πόσους βαθµούς πέτυχε ο Μίλτος; - Πέτυχε 1.200 βαθµούς. - Πόσους βαθµούς πέτυχε ο Γιώργος; - Πέτυχε 1.200 βαθµούς. - Πόσους βαθµούς πέτυχε η Νεφέλη; - εν ξέρουµε. Ξέρουµε όµως ότι η Νεφέλη πέτυχε περισσότερους βαθµούς από τον Μίλτο και τον Γιώργο, άρα πέτυχε περισσότερους από 1.200 βαθµούς. - Εποµένως, πώς θα βρούµε έναν τρόπο για να δούµε ποιες µπορεί να ήταν οι βολές της Νεφέλης; 8 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
- Ένας έξυπνος τρόπος είναι να δούµε τις βολές του Γιώργου και του Μίλτου και να υποθέσουµε ότι η Νεφέλη έριξε καλύτερα κάποια ή κάποιες από τις βολές που έριξαν αυτοί (προφανώς κάποια βολή τους µε λιγότερους από 500 βαθµούς). Ένας άλλος τρόπος είναι να υποθέσουµε ότι η Νεφέλη είχε λιγότερες βολές εκτός στόχου από τα αγόρια. Η Νεφέλη θα µπορούσε να είχε ρίξει τις εξής βολές (σε σχέση µε το Γιώργο): 1 φορά το 500, 2 φορές το 250, 3 φορές το 125: (500 + 500 + 375 = 1.375). 1 φορά το 500, 3 φορές το 250, 2 φορές το 125: (500 + 750 + 250 = 1.500). 2 φορές το 500, 2 φορές το 250, 2 φορές το 125: (1000 + 500 + 250 = 1.750) 2 φορές το 500, 2 φορές το 250, 1 φορά το 125 και µία φορά εκτός στόχου: (1000 + 500 + 125 50 = 1.575) 1 φορά το 500, 3 φορές το 250, 1 φορά το 125 και µία φορά εκτός στόχου: (500 + 750 + 125 50 = 1.325) 2 φορές το 500, 3 φορές το 250 και 1 φορά εκτός στόχου: (1.000 + 750 50 = 1.700) Η Νεφέλη θα µπορούσε να είχε ρίξει τις εξής βολές (σε σχέση µε το Μίλτο): 2 φορές το 500, 2 φορές το 250, 1 φορά το 125, 1 φορά το 50 (1.000 + 500 + 125 + 50 = 1.675). 2 φορές το 500, 2 φορές το 250, 1 φορά το 125 και 1 φορά εκτός στόχου (1.000 + 500 + 125-50 = 1.575). 2 φορές το 500, 2 φορές το 250, 1 φορά το 50 και 1 φορά εκτός στόχου (1.000 + 500 + 50 50 = 1.500). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 9
1 φορά το 500, 3 φορές το 250, 1 φορά το 125 και µία φορά εκτός στόχου (500 + 750 + 125 50 = 1.325) Επιπλέον ερωτήσεις - Ποια είναι η µεγαλύτερη βαθµολογία που µπορεί να επιτύχει ένας παίκτης; - Αν και οι 6 βολές επιτύχουν στο κέντρο του στόχου τότε ο παίκτης θα πάρει 3.000 βαθµούς (ξέρω τους βαθµούς για τη µία βολή στο κέντρο και ψάχνω για τις 6 βολές άρα κάνω πολλαπλασιασµό 6 500 = 3.000) - Είναι δυνατόν ένας παίκτης να έχει βαθµολογία 0 βαθµούς; - Βεβαίως και είναι. Για παράδειγµα µπορεί να έριξε τρεις φορές το 50 και τρεις φορές εκτός στόχου. Έτσι πήρε 3 50 = 150 βαθµούς και έχασε άλλους 3 50 = 150. Άρα τελικά έχει 0 βαθµούς. 10 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Εργασίες ΕΡΓΑΣΙΑ 1η Φτιάχνουµε στόχους µε άδεια κουτιά. Αν χρειαστήκαµε 6 κουτιά για να στήσουµε 3 σειρές, πόσα κουτιά θα χρειαστούµε για να στήσουµε µια παρόµοια πυραµίδα µε 5 σειρές;. Πόσα κουτιά θα χρειαστούµε για να στήσουµε µια παρόµοια πυραµίδα µε 9 σειρές; Εξηγώ στην τάξη πώς σκέφτηκα. Σκέφτοµαι - Πόσα κουτιά έχει η 1 η γραµµή; - Η 1 η γραµµή έχει 1 κουτί. - Πόσα κουτιά έχει η 2 η γραµµή; - Η 2 η γραµµή έχει 2 κουτί. - Πόσα κουτιά έχει η 3 η γραµµή; - Η 1 η γραµµή έχει 3 κουτί. - Άρα, πόσα κουτιά θα έχει η 5 η γραµµή; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 11
- Η 5 η γραµµή θα έχει 5 κουτιά. - Πόσα κουτιά θα έχει η 9 η γραµµή; - Η 9 η γραµµή θα έχει 9 κουτιά. Αυτό που βρήκαµε φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Γραµµή Κουτιά 1 η 1 2 η 2 3 η 3 4 η 4 5 η 5 6 η 6 7 η 7 8 η 8 9 η 9 - Πόσα κουτιά χρειαζόµαστε για να φτιάξουµε 2 γραµµές; - Προσθέτουµε τα κουτιά της 1 ης και της 2 ης γραµµής και βρίσκουµε ότι χρειαζόµαστε 3 κουτιά. - Πόσα κουτιά χρειαζόµαστε για να φτιάξουµε 3 γραµµές; - Προσθέτουµε τα κουτιά της 1 ης της 2 ης και της 3 ης γραµµής και βρίσκουµε ότι χρειαζόµαστε 6 κουτιά. Ακολουθώντας αυτή την λογική µπορούµε να φτιάξουµε έναν πίνακα όπου βλέπουµε πόσα κουτάκια έχει κάθε γραµµή και πόσα κουτάκια συνολικά χρειαζόµαστε για να φτιάξουµε τόσες γραµµές. 12 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Γραµµή Κουτιά Συνολικά 1 η 1 1 2 η 2 3 3 η 3 6 4 η 4 10 5 η 5 15 6 η 6 21 7 η 7 28 8 η 8 36 9 η 9 45 Για να φτιάξουµε µια πυραµίδα µε 5 σειρές θα χρειαστούµε 15 κουτιά. Για να φτιάξουµε µια πυραµίδα µε 9 σειρές θα χρειαστούµε 45 κουτιά. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 13
ΕΡΓΑΣΙΑ 2η Φτιάχνουµε µε το χάρακα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν: 12 τετραγωνάκια 10 τετραγωνάκια 7 τετραγωνάκια Συζητάµε στην τάξη τις λύσεις που δώσαµε. Σκέφτοµαι - Τι είναι το παραλληλόγραµµο; - Παραλληλόγραµµο είναι ένα σχήµα µε τέσσερις πλευρές (τετράπλευρο), που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. - Πότε λέµε ότι ένα παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο; - Ένα παραλληλόγραµµο το ονοµάζουµε ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, όταν έχει τις γωνίες του ορθές. 14 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
- Τι σηµαίνει ότι το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει εµβαδόν 12 τετραγωνάκια; - Σηµαίνει ότι θα καλύπτει 12 τετραγωνάκια. Με άλλα λόγια το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο θα περιέχει 12 τετραγωνάκια. - Ποιες είναι οι µονάδες µέτρησης του εµβαδού; - Υπάρχουν πολλές µονάδες µέτρησης. Εµείς χρησιµοποιούµε τα τ.µ. (τετραγωνικά µέτρα) και τα τ.εκ. (τετραγωνικά εκατοστά). Έτσι αν το ένα τετραγωνάκι έχει εµβαδόν 1 τ.εκ. τότε τα 12 τετραγωνάκια έχουν εµβαδόν 12 τ.εκ. - Ξέρουµε κάποιο τρόπο για να υπολογίζουµε το εµβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράµµου; - Ναι, έχουµε µάθει στην ηµοτικού ότι για να υπολογίσουµε τον εµβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου πολλαπλασιάζουµε το µήκος µε το πλάτος του. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 15
ΕΡΓΑΣΙΑ 3η Προτείνουµε µερικούς εξαψήφιους αριθµούς που µπορούµε να φτιάξουµε µε τον υπολογιστή τσέπης (κοµπιουτεράκι), πατώντας τα πλήκτρα 3, 5, 5, 7, 9, 1. Γράφουµε 5 από αυτούς και τους διατάσσουµε από το µικρότερο στο µεγαλύτερο:........ <....... <...... <....... <....... Σκέφτοµαι - Τι σηµαίνει εξαψήφιος αριθµός; - Εξαψήφιος αριθµός είναι ένας αριθµός που έχει έξι ψηφία. - Μπορείς να µου δώσεις ένα παράδειγµα; - Βεβαίως, ένας εξαψήφιος αριθµός είναι ο 132.496. Ο αριθµός αυτός έχει τα ψηφία 1, 3, 2, 4, 9, 6. - Μπορώ να προτείνω αυτό τον αριθµό ως απάντηση στην εργασία µου; - Όχι, γιατί ο αριθµός αυτός περιέχει τα ψηφία 2, 4, 6 που δεν επιτρέπεται να τα χρησιµοποιήσουµε (δεν επιτρέπεται να πατήσουµε τα αντίστοιχα πλήκτρα). - Αλλά ποια πλήκτρα επιτρέπεται να χρησιµοποιήσουµε; - Μόνο τα πλήκτρα 1, 3, 5, 5, 7, 9. - Αφού γράψω τους 5 αριθµούς πώς θα τους διατάξω από τον µικρότερο στο µεγαλύτερο; - Αφού και οι 5 αριθµοί είναι εξαψήφιοι άρα µικρότερος θα είναι αυτός που θα έχει µικρότερο το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων. - Αν και οι δύο αριθµοί έχουν ίδιο το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων τότε τι κάνω; 16 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
- Αν οι δύο αριθµοί έχουν ίδιο το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων τότε µικρότερος είναι αυτός που έχει µικρότερο το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων. Αν και αυτά τα ψηφία είναι ίσα τότε συγκρίνουµε τα ψηφία των χιλιάδων κ.τ.λ. Οι 5 εξαψήφιοι αριθµοί είναι: 355.791, 553.719, 735.915, 159.537, 753.951 Οι αριθµοί αυτοί σε διάταξη από τον µιρότερο προς τον µεγαλύτερο είναι: 159.537 < 355.791 < 553.719 < 735.915 < 753.951. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 17
ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Κεφάλαιο 1 Άσκηση α. Ποια από τα παρακάτω σχήµατα έχουν ίσο εµβαδόν; Σκέφτοµαι - Πότε δύο σχήµατα έχουν ίσο εµβαδόν; Τα σχήµατα α, β, δ. - Όταν καταλαµβάνουν τον ίδιο χώρο, δηλαδή όταν καλύπτουν τα ίδια τετράγωνα. - Στο σχήµα µου βλέπω κάποια σχήµατα να µην καταλαµβάνουν όλο το τετράγωνο. Τι θα κάνω µε αυτά τα κοµµάτια; - Πράγµατι, τα σχήµατα α, β, γ αποτελούνται από τρίγωνα - Ποιο είναι το εµβαδόν κάθε τριγώνου; - Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι κάθε τετράγωνο αποτελείται από 2 τρίγωνα. Άρα το εµβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο µε το εµβαδόν δύο τριγώνων. 18 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Σχεδιάζουµε έναν ή περισσότερους άξονες συµµετρίας σε όποια από τα παραπάνω σχήµατα είναι δυνατόν. Ο άξονας συµµετρίας είναι µία γραµµή. Αν διπλώσουµε το χαρτί µας κατά µήκος αυτής της γραµµής τότε παρατηρούµε ότι το σχήµα µας χωρίστηκε στη µέση. Και ακόµα περισσότερο τα δύο κοµµάτια στα οποία χωρίστηκε το σχήµα µας είναι ολόιδια. Άσκηση β. Βρίσκω το λάθος και εξηγώ προφορικά γιατί δεν είναι λογικό να ισχύει το αποτέλεσµα στις παρακάτω πράξεις. Εκτιµώ αρχικά και στη συνέχεια υπολογίζω µε ακρίβεια το σωστό αποτέλεσµα: 3. 5 0 1 + 3. 5 0 1 8. 0 0 2 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 19
Σκέφτοµαι - Πού είναι το λάθος; - Το λάθος είναι στη πρόσθεση των χιλιάδων. Τρία και τρία κάνει έξι και ένα το κρατούµενο από την πρόσθεση των εκατοντάδων µας κάνει 7 και όχι 8. - Γιατί δεν είναι λογικό το αποτέλεσµα; - Όπως το διπλάσιο του 3,5 είναι το 7, έτσι και το διπλάσιο του 3.500 είναι το 7.000 και όχι το 8.000. Άρα το αποτέλεσµα που περιµένουµε είναι περίπου 7.000. 3. 5 0 1 + 3. 5 0 1 7. 0 0 2 13.057 30,31 = 10.026 Σκέφτοµαι - Πού είναι το λάθος; - Το λάθος είναι ότι δεν αφαιρέσαµε τις µονάδες από τις µονάδες, τις δεκάδες από τις δεκάδες κ.λ.π. 13.057 30,31 = 13.026,69 - Γιατί δεν είναι λογικό το αποτέλεσµα; - Ο δεύτερος αριθµός δεν έχει ούτε δεκάδες χιλιάδες, ούτε χιλιάδες. Άρα το αποτέλεσµα δεν µπορεί να είναι περίπου 10.000 αλλά περίπου 13.000. 3 x 820 = 24.060 Σκέφτοµαι - Γιατί δεν είναι λογικό το αποτέλεσµα; - Ξέρουµε ότι 3 φορές το 8 µας κάνει 24. Οµοίως, 3 φορές το 80 µας κάνει 240. Άρα 3 φορές το 800 κάνει 2.400. Εποµένως, περιµένουµε το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού να είναι περίπου 2.400 και όχι 24.000. 3 x 820 = 2.460 20 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Άσκηση γ. ιατάσσω τους αριθµούς από το µικρότερο στο µεγαλύτερο. 150.199 149.800 150.203...... <...... <....... Σκέφτοµαι - Έχουν όλοι οι αριθµοί ίδιο αριθµό ψηφίων; - Ναι, είναι όλοι εξαψήφιοι. 149.800 < 150.199 < 150.203 - Έχουν όλοι το πρώτο τους ψηφίο ίδιο. Μήπως είναι ίσοι; - Όχι, γιατί έχουν διαφορετικό το δεύτερο ψηφίο τους. Αφού έχουν το πρώτο τους ψηφίο ίσο µικρότερος θα είναι αυτός που έχει το µικρότερο δεύτερο ψηφίο (των δεκάδων χιλιάδων) - Κι αν οι αριθµοί έχουν ίδιο και το δεύτερο ψηφίο τους; - Τότε συγκρίνουµε το τρίτο ψηφίο τους (των χιλιάδων). Αν και αυτά είναι ίσα τότε συγκρίνουµε το τέταρτο κ.λ.π. έως ότου να βρούµε ψηφία διαφορετικά. Ο αριθµός που έχει το µικρότερο ψηφίο θα είναι ο µικρότερος. Ποιο ζευγάρι από αυτούς τους αριθµούς έχει άθροισµα που βρίσκεται πιο κοντά στο 300.000; Εκτιµώ:.......... Βρίσκω µε ακρίβεια µε το κοµπιουτεράκι:...... Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 21
Σκέφτοµαι - Σε ποιον αριθµό πρέπει να τους στρογγυλοποιήσουµε ώστε να ελέγξουµε ποιοι από αυτούς δίνουν άθροισµα πιο κοντά στο 300.000. - Αν τους στρογγυλοποιήσουµε στις χιλιάδες τότε και οι τρεις αριθµοί θα γίνουν 150.000. Αν τους στρογγυλοποιήσουµε στις εκατοντάδες οι αριθµοί θα γίνουν 150.200, 149.800 και 150.200. - Μπορείς να αποφασίσεις ποιον από τον πρώτο (150.199) ή τον τρίτο αριθµό (150.203) πρέπει να διαλέξω για να τον προσθέσω στο δεύτερο (149.800); - Ναι, µάλλον τον πρώτο γιατί αυτός απέχει µόλις 1 από τον στρογγυλοποιηµένο (150.200 150.199 = 1) ενώ ο δεύτερος απέχει 3 (150.203 150.000 = 3) Εκτιµώ 149.800 και 150.199 Βρίσκω µε ακρίβεια µε το κοµπιουτεράκι 149.800 + 150.199 = 299.999 149.800 + 150.203 = 300.003 150.199 + 150.203 = 300.402 ΠΡΟΣΟΧΗ Όταν πατάµε τα πλήκτρα στον υπολογιστή τσέπης (κοµπιουτεράκι), δεν πατάµε τις τελείες. είχνω στην αριθµογραµµή το άθροισµα που βρίσκεται πιο κοντά στο 300 χιλιάδες. Σκέφτοµαι 22 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
- Τι είναι η αριθµογραµµή; - Η αριθµογραµµή είναι µία γραµµή. Πάνω σ αυτή τη γραµµή είναι τοποθετηµένοι όλοι οι αριθµοί. - Πώς είναι τοποθετηµένοι οι αριθµοί πάνω σ αυτή την αριθµογραµµή; - Είναι τοποθετηµένοι έτσι ώστε, προς τα αριστερά να βρίσκονται οι µικρότεροι αριθµοί και προς τα δεξιά οι µεγαλύτεροι. Έτσι το 2 είναι δεξιά από το 1 ενώ το 7 είναι αριστερά από το 8. Ακόµη όσο πιο µικρή είναι η διαφορά δύο αριθµών, τόσο µικρότερη είναι η απόστασή τους πάνω σ αυτή την αριθµογραµµή. Άσκηση δ. Έδωσα 50 ευρώ. Πήρα ρέστα 2 ευρώ και 50 λεπτά. Τι µπορεί να αγόρασα; Ελέγχω µε εποπτικό υλικό. Σκέφτοµαι Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 23
- Πόσα χρήµατα έδωσα; - Έδωσα 50 ευρώ. - Αφού πήρα ρέστα 2 ευρώ και 50 λεπτά, πόσα χρήµατα ξόδεψα; - Αφαιρώ από τα 50 ευρώ τα 2 ευρώ και 50 λεπτά και βρίσκω ότι ξόδεψα 47 ευρώ και 50 λεπτά. - Υπάρχει κάποιος τρόπος για να βρούµε τι αγοράσαµε; - Ο µόνος τρόπος είναι να κάνουµε δοκιµές. - Κάποιος άλλος µπορεί να αγοράσει διαφορετικά πράγµατα µε τα ίδια χρήµατα; - Βεβαίως και µπορεί. Το πρόβληµά µας έχει περισσότερες από µία λύσεις. Πιθανές λύσεις είναι οι ακόλουθες: 2 φορές από 15, 1 φορά 12,50, 1 φορά 5 (30 + 12,50 + 5 = 47,50) 7 φορές το 5, 1 φορά το 12,50 (35 + 12,50) 3 φορές το 12,50, 2 φορές το 5 (37,50 + 10 = 47,50) Άσκηση ε. Βοηθώ τη Θεοδώρα να συµπληρώσει το µαγικό τετράγωνο: Σκέφτοµαι 24 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
- Με ποιον τρόπο θα συµπληρώσω το διπλανό µαγικό πίνακα; - Στα άδεια κουτάκια θα τοποθετήσουµε αριθµούς µε τέτοιο τρόπο, ώστε το άθροισµα των τεσσάρων αριθµών οριζόντια, κάθετα και διαγώνια να είναι το ίδιο. - Τι σηµαίνει οριζόντια, κάθετα και διαγώνια; - Για παράδειγµα µία οριζόντια γραµµή είναι η γραµµή στην οποία ανήκουν οι αριθµοί 500, 1.000 και 200. Μία κάθετη γραµµή είναι η στήλη στην οποία ανήκουν οι αριθµοί 100, 1.200, 500. Μία διαγώνιος είναι η πλάγια γραµµή στην οποία ανήκουν οι αριθµοί 100, 500, 200, 1.300. - Πόσο είναι το άθροισµα των αριθµών διαγώνια; - Είναι: 100 + 500 + 200 + 1.300 = 2.100. Άρα το άθροισµα κάθε γραµµής, στήλης και διαγωνίου πρέπει να είναι ίσο µε 2.100. - Υπάρχει κάποια γραµµή ή στήλη στην οποία να λείπει ένας µόνο αριθµός; - Ναι, στην 1 η γραµµή λείπει ένας αριθµός. Οι 3 αριθµοί έχουν άθροισµα 100 + 1.400 + 400 = 1.900. Άρα αφαιρώ από το 2.100 το 1.900 και βρίσκω ότι λείπει ο αριθµός 200. Αν εργαστούµε έτσι σε όλες τις γραµµές και στήλες, το τετράγωνο θα γίνει: 100 200 1400 400 1200 500 400 0 500 1000 200 400 300 400 100 1300 Μπορούµε να κατασκευάσουµε κι εµείς ένα µαγικό τετράγωνο; οκιµάζουµε πρώτα µε ένα τετράγωνο 3 x 3. Φτιάχνοντας ένα τετράγωνο 3 x 3 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 25
Θα προσπαθήσουµε να τοποθετήσουµε τους αριθµούς από το 1 έως το 9 χρησιµοποιώντας µία φορά τον καθένα. - Ποιο είναι το άθροισµα όλων των αριθµών από το 1 έως το 9; - 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 45 - Όλοι οι αριθµοί θα µπουν στις 3 γραµµές. Άρα η κάθε γραµµή τι άθροισµα πρέπει να έχει: - Ξέρω τις 3 γραµµές και θέλω να βρω τη 1. Άρα θα κάνω διαίρεση. 45 : 3 = 15. - Μπορούµε να βρούµε όλες τις τριάδες αριθµών που να δίνουν άθροισµα 15. Βέβαια! Θα είναι: 1 + 5 + 9 1 + 6 + 8 2 + 4 + 9 2 + 5 + 8 2 + 6 + 7 3 + 4 + 8 3 + 5 + 7 4 + 5 + 6 Από τα παραπάνω βλέπουµε ότι ο αριθµός 5 εµφανίζεται 4 φορές άρα θα είναι ο αριθµός του κεντρικού τετραγώνου και οι αριθµοί 2, 4, 6, 8 εµφανίζονται 3 φορές άρα πρέπει να τοποθετηθούν στα τέσσερα γωνιακά τετράγωνα. 2 9 4 7 5 3 6 1 8 26 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Φτιάχνοντας ένα τετράγωνο 4 x 4 Σκέφτοµαι - Μπορούµε να φτιάξουµε ένα νέο µαγικό τετράγωνο βασισµένοι σε ένα που ήδη έχουµε; - Βέβαια, αυτός είναι ο πιο εύκολος τρόπος. Αρκεί να πολλαπλασιάσουµε όλους τους αριθµούς µε τον ίδιο αριθµό. Πολλαπλασιάζω όλους τους αριθµούς µε το 10 και έχω 1000 2000 14000 4000 12000 5000 4000 0 5000 10000 2000 4000 3000 4000 1000 13000 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ Κεφάλαιο 1 Άσκηση 1η Έδωσα 0 ευρώ. Πήρα ρέστα 9 ευρώ και 50 λεπτά. Τι µπορεί να αγόρασα; Σκέφτοµαι - Πόσα χρήµατα έχω; - Έχω 0 ευρώ. - Αφού πήρα ρέστα 9 ευρώ και 50 λεπτά άρα πόσα χρήµατα ξόδεψα; - Αφαιρώ από τα 0 ευρώ τα 9 ευρώ και 50 λεπτά και βρίσκω ότι ξόδεψα 0 ευρώ και 50 λεπτά. Πιθανές λύσεις είναι οι ακόλουθες: φορές από 15, 1 φορά 10,50 ( + 10,50 = 0,50) φορές το 15, 1 φορά το 10,50, φορές το 5 ( + 10,50 + = 0,50) 28 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Άσκηση 2η Σχηµάτισε πέντε 6ψήφιους αριθµούς µε τα ψηφία 1, 3, 7, 6, 4. 377.431, 731.446, 143.173, 476.111, 331.647 ιάταξε τους αριθµούς κατά αύξουσα σειρά (δηλαδή από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο)....... <...... <....... <...... <....... Σκέφτοµαι - Έχουν όλοι οι αριθµοί ίδιο αριθµό ψηφίων; - Ναι, είναι όλοι εξαψήφιοι. - Έχουν όλοι το πρώτο τους ψηφίο ίδιο; 143.173 < 331.647 < 377.431 < 476.111 < 731.446 - Όχι, άρα µικρότερος θα είναι αυτός που έχει το µικρότερο πρώτο ψηφίο (των εκατοντάδων χιλιάδων). - Κι αν οι αριθµοί έχουν ίδιο το πρώτο ψηφίο τους; - Τότε συγκρίνουµε το δεύτερο ψηφίο τους (των δεκάδων χιλιάδων). Αν και αυτά είναι ίσα τότε συγκρίνουµε το τρίτο κ.λ.π. έως ότου να βρούµε ψηφία διαφορετικά. Ο αριθµός που έχει το µικρότερο ψηφίο θα είναι ο µικρότερος. Τοποθέτησε τους αριθµούς πάνω σε µία αριθµογραµµή. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 29
Σκέφτοµαι - Πώς θα βάλω τους αριθµούς πάνω στην αριθµογραµµή; - Θα βάλω αριστερά τον µικρότερο και όσο πηγαίνω προς τα δεξιά θα βάζω πάντα τον αµέσως µεγαλύτερο. - Οι αποστάσεις ανάµεσα στους αριθµούς θα είναι ίσες µεταξύ τους; - Όχι. Πρέπει οι αριθµοί που έχουν µεγαλύτερη διαφορά να απέχουν περισσότερο στην αριθµογραµµή. Οµοίως, οι αριθµοί που έχουν µικρότερη διαφορά πρέπει να βρίσκονται πιο κοντά. Άσκηση 3η Φτιάξε ένα 4 x 4 µαγικό τετράγωνο ακολουθώντας τις οδηγίες: 30 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Τοποθετούµε τους αριθµούς από το 1 έως το 16 ξεκινώντας από τα αριστερά κάθε γραµµής. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Γράφουµε µόνο τους αριθµούς που ανήκουν στις δύο διαγωνίους του τετραγώνου. 1 4 6 7 10 11 13 16 Γράφουµε τους αριθµούς από το 16 προς το 1 γράφοντας στα κενά τους αριθµούς που δεν έχουµε χρησιµοποιήσει (π.χ. το 16 το έχουµε χρησιµοποιήσει άρα θα αρχίσουµε από το 15). 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 Κάνουµε επαλήθευση και βρίσκουµε ότι το άθροισµα κάθε γραµµής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου είναι ίσο µε 34. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 31