[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

Κεφάλαιο 8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σύνοψη Ορίζουμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και τη συναλλοίωτη παράγωγο αυτού κατά μήκος μιας λείας καμπύλης. Ενα διανυσματικό πεδίο σε μια επιφάνεια ονομάζεται παράλληλο κατά μηκος μιας καμπύλης στην επιφάνεια, εάν η συναλλοίωτη παράγωγος είναι μηδέν. Περιγράφουμε διάφορες ιδιότητες της συναλλοίωτης παραγώγου και κάνουμε εφαρμογή της παράλληλης μεταφοράς στη σφαίρα καθώς και στην κίνηση του εκκρεμούς του Foucault. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Γραμμική Άλγεβρα, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Είναι γνωστό ότι η έννοια της παραλληλίας είναι ίσως η πιο σημαντική έννοια στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Άλλωστε, οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες προκύπτουν από την άρνηση του αξιώματος των παραλλήλων του Ευκλείδη, το οποίο αναφέρει ότι δοθέντος ενός σημείου p εκτός ευθείας L του επιπέδου, υπάρχει μοναδική ευθεία η οποία διέρχεται απο το p και είναι παράλληλη με την L. Είναι λοιπόν φυσικό να ονομάζουμε δύο διανύσματα V και W του R 3 με σημεία εφαρμογής p, q R 3 (άρα V T p R 3, W T q R 3 ) παράλληλα, εάν το W προκύπτει με παράλληλη μετατόπιση του V από το σημείο p στο σημείο q. Το ερώτημα όμως που τίθεται είναι το εξής: Πώς θα μπορούμε να συγκρίνουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο της σφαίρας S 2 με ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα άλλο σημείο αυτής και να αποφανθούμε εάν αυτά είναι παράλληλα ; (βλ. Σχήμα 8.1). Ισως ένα σαφέστερο ερώτημα (ιδαιτέρως αν επιθυμούμε γενικεύσεις σε αντικείμενα πέραν των επιφανειών) είναι το εξής: Δοθείσης μιας καμπύλης γ σε μια επιφάνεια M και ενός διανυσματικού πεδίου X (θα το γράφουμε X) κατα μήκος της καμπύλης γ, είναι δυνατόν να ορίσουμε το X ως παράλληλο διανυσματικό πεδίο εάν η παράγωγός του κατά μήκος της γ είναι μηδέν; Άρα χρειαζόμαστε κάποια έννοια παραγώγισης διανυσματικών πεδίων κατά μήκος μιας καμπύλης. Ορισμός 8.1. Ενα λείο διανυσματικό πεδίο (vector field) σε μια επιφάνεια M είναι μια συνάρτηση X : M R 3 με τις ιδιότητες:

2 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σχήμα 8.1: Ενα διανυσματικό πεδίο στη σφαίρα S2. ~ 1. X(p) Tp M για κάθε p M. ~ X : U R3 είναι διαφορίσιμη. 2. Για κάθε τοπική παραμέτρηση X : U M η συνάρτηση X Σχήμα 8.2: Παράλληλα διανυσματικά πεδία. ~ σε μια επιφάνεια M γενικεύοντας την έννοια της Μπορούμε να παραγωγίσουμε ένα διανυσματικό πεδίο X παραγώγου κατά κατεύθυνση V f μιας πραγματικής συνάρτησης f : R3 R, όπου V R3. Θυμίζουμε ότι η παράγωγος κατά κατεύθυνση V f σε ένα σημείο p R3 ορίζεται από την τιμή του ορίου (αν υπάρχει) d f (γ(t)) dt t=0, όπου γ είναι μια καμπύλη του χώρου R3 τέτοια, ώστε γ(0) = p και γ 0 (0) = V. Αξίζει να σημειώσουμε τα εξής:

Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία 3 (1) Η τελευταία συνθήκη δείχει ότι ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης. (2) Η V f μπορεί να υπάρχει ως προς την κατεύθυνση του V, αλλά να μην υπάρχει ως προς την κατεύθυνση άλλου διανύσματος. (3) Για την παράγωγο κατά κατεύθυνση ισχύει ο κανόνας του Leibniz: V (fg) = ( V f)g + f( V g). Εστω f : R 3 R μια πραγματική συνάρτηση, για την οποία υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και έστω γ : I R R 3 μια καμπύλη στην M με γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)). Τότε η παράγωγος της f στο σημείο γ(0) = p ως προς τη διεύθυνση του γ (0) = V είναι ίση με όπου V = (v 1, v 2, v 3 ). V f(p) = f x (p)v 1 + f y (p)v 2 + f z (p)v 3 = f(p), V, Εστω X ένα λείο διανυσματικό πεδίο στην επιφάνεια M, V T p M και γ : I M μια λεία καμπύλη της M με γ(0) = p, γ (0) = V. Η παράγωγος του X ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος V είναι το διάνυσμα του R 3 DV X = d dt ( X γ) t=0. Καμιά φορά συμβολίζεται και ως dx X ή. Δεδομένου ότι ένας παρατηρητής επάνω στην επιφάνεια M dt μπορεί να διαπιστώσει μόνο τη συνιστώσα του διανύσματος D V X που βρίσκεται στον εφαπτόμενο χώρο T p M, οδηγούμαστε στον εξής σημαντικό ορισμό: Ορισμός 8.2. 1) Εστω M R 3 μια κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, X ένα διανυσματικό πεδίο της M και V T p M. Η συναλλοίωτη παράγωγος (covariant derivative) του X ως προς τη διεύθυνση του V είναι το διάνυσμα V X = (DV X) tan = D V X DV X, N N, δηλαδή είναι η προβολη του διανύσματος D V X στον εφαπτόμενο χώρο Tp M. 2) Το διανυσματικό πεδίο X ονομάζεται παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης γ (parallel along γ), εάν γ (t) X = 0 για κάθε t I. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα D γ (t) X είναι ένα πολλαπλάσιο του N(γ(t)) ή ισοδύναμα κάθετο στον T p M, (βλ. Σχήμα 8.3). Αποδεικνύεται εύκολα ότι ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης γ με γ (0) = V. Η συναλλοίωτη παράγωγος συμβολίζεται τακτικά και ως D X dt ή dt X

4 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σχήμα 8.3: Συναλλοίωτη παράγωγος. Παράδειγμα 8.1. Εστω M = R 2 {0} το επίπεδο xy και γ : I M γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), 0) μια επίπεδη καμπύλη. Ενα διανυσματικό πεδίο X στην M κατά μήκος της γ (δηλαδή X(t) T γ(t) M για κάθε t I) έχει τη μορφή X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), 0). Τότε γ (t) X = (D γ (t) X) tan = (x 1(t), x 2(t), 0), άρα στην περίπτωση αυτή η συναλλοίωτη παράγωγος συμφωνεί με τη συνήθη παράγωγο του X. Παράδειγμα 8.2. Εστω M = S 2 η μοναδιαία σφαίρα. Θεωρούμε το διανυσματικό πεδίο ταχυτήτων της καμπύλης γ : R S 2 γ(t) = (cos t, sin t, 0). Η καμπύλη διέρχεται από τον ισημερινό της S 2, δηλαδή την τομή της S 2 με το επίπεδο xy. Είναι γ(t) = ( cos t, sin t, 0) = γ(t), άρα το διάνυσμα γ(t) είναι κάθετο στον T γ(t) S 2. Συνεπώς, γ (t)γ (t) = 0. Παράδειγμα 8.3. Εστω X : U M μια τοπική παραμέτρηση της M. Τότε έχουμε ότι Xu X u = (X uu ) tan = Γ 1 11X u + Γ 2 11X v Xv X u = (X uv ) tan = Γ 1 12X u + Γ 2 12X v Xv X v = (X vv ) tan = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει ένας εναλλακτικός τρόπος ορισμού των συμβόλων του Christoffel. Η ύπαρξη ενός παράλλληλου διανυσματικού πεδίου με αρχική συνθήκη εξασφαλίζεται από την παρακάτω πρόταση. Πρόταση 8.1. Εστω γ : [0, 1] M μια καμπύλη με γ(0) = p, X 0 T p M. Τότε υπάρχει μοναδικό παράλληλο διανυσματικό πεδίο X κατά μήκος της γ με την ιδιότητα X(p) = X 0. Απόδειξη. Εστω X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της M και γ : I R M μια λεία καμπύλη στην επιφάνεια τέτοια ώστε γ(t) = X(u(t), v(t)). Τότε γ (t) = u (t)x u + v (t)x v. Εστω ότι το πεδίο X

Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία 5 (κατά μήκος της καμπύλης) εκφράζεται ως X(γ(t)) = α(t)x u (u(t), v(t)) + β(t)x v (u(t), v(t)). Από τον κανόνα της παραγώγισησ-αλυσίδας θα έχουμε: γ (t) X ( ( = ( X tan d γ) (t)) = dt (α(t)x u(u(t), v(t)) + β(t)x v (u(t), v(t))) ( d = α (t)x u + β (t)x v + α(t) dt X u(u(t), v(t)) ( ) d tan +β(t) dt X v(u(t), v(t)) ) tan ) tan = α (t)x u + β (t)x v + α(t) ( u (t)x uu + v (t)x uv ) tan +β(t) ( u (t)x vu + v (t)x vv ) tan = α (t)x u + β (t)x v + α(t)(u (t)(γ 1 11X u + Γ 2 11X v ) +v (t)(γ 1 12X u + Γ 2 12X v )) +β(t) ( u (t)(γ 1 21X u + Γ 2 21X v ) + v (t)(γ 1 22X u + Γ 2 22X v ) ) = ( α (t) + α(t)(γ 1 11u (t) + Γ 1 12v (t)) + β(t)(γ 1 21u (t) + Γ 1 22v (t)) ) X u + ( β (t) + α(t)(γ 2 11u (t) + Γ 2 12v (t)) + β(t)(γ 2 21u (t) + Γ 2 22v (t)) ) X v. Συνεπώς, το X είναι παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης γ εάν και μόνο εάν οι συναρτησεις α(t) και β(t) είναι λύσεις του γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: α (t) + α(t) ( Γ 1 11u (t) + Γ 1 12v (t) ) + β(t) ( Γ 1 12u (t) + Γ 1 22v (t) ) = 0 (8.1) β (t) + α(t) ( Γ 2 11u (t) + Γ 2 12v (t) ) + β(t) ( Γ 2 12u (t) + Γ 2 22v (t) ) = 0. (8.2) Σύμφωνα με τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων το παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύσει στο διάστημα [0, 1], οπότε υπάρχει μοναδικό διανυσματικό πεδίο X με X(p) = X 0. Από την απόδειξη της παραπάνω πρότασης προκύπτει ότι η παράλληλη μεταφορά εξαρτάται μόνο από την πρώτη θεμελιώδη μορφή της M, άρα είναι εσωτερικό μέγεθος της επιφάνειας. Εστω X ένα διανυσματικό πεδίο, όπως στην παραπάνω πρόταση. Αν γ είναι μια καμπύλη που εννώνει τα σημεία p και q, τότε το διάνυσμα X(q) ονομάζεται παράλληλη μεταφορά (parallel translation) του διανύσματος X(p) = X 0 T p M κατά μήκος της γ. Πρόταση 8.2. Η παράλληλη μεταφορά διατηρεί τα μήκη και τις γωνίες διανυσματικών πεδίων. Συγκεκριμένα, αν X και Y είναι παράλληλα διανυσματικά πεδία κατά μήκος της καμπύλης γ από το σημείο p στο σημείο q, τότε X(p) = X(q) και η γωνία μεταξύ των X(p) και Y (p) ισούται με τη γωνία των X(q) και Y (q). Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) = X(γ(t)), Y (γ(t)). Τότε f (t) = ( X γ) (t), ( Y γ)(t) + ( X γ)(t), ( Y γ) (t) = D γ (t) X, Y + X, D γ (t) Y = γ (t), Y + X, γ (t) Y = 0.

6 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Η δεύτερη ισότητα ισχύει, επειδή τα διανυσματικά πεδία X και Y είναι εφαπτομενικά στην επιφάνεια M, συνεπώς το εσωτερικό γινόμενο με οποιοδήποτε κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια θα είναι μηδέν. Η τρίτη ισότητα ισχύει, επειδή τα πεδία X και Y είναι παράλληλα κατά μήκος της καμπύλης γ. Επομένως, το εσωτερικό γινόμενο X, Y παραμένει σταθερό κατά μήκος της γ. Θέτοντας X = Y συμπεραίνουμε ότι το μέτρο X (ομοίως το Y ) είναι σταθερό. Για τη γωνία θ μεταξύ των X και Y ισχύει ο τύπος cos θ = X, Y X Y και σύμφωνα με τα προηγούμενα αυτή είναι σταθερή. Παράδειγμα 8.4. Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S 2 με τοπική παραμέτρηση X(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u). Θα μελετήσουμε το αποτέλεσμα της παράλληλης μεταφοράς του διανύσματος X 0 = X v κατά μήκος του παράλληλου κύκλου u(t) = u 0, v(t) = t, με αρχή το σημείο p = X(u 0, 0). Τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης είναι E = 1, F = 0, G = sin 2 u και τα μη μηδενικά σύμβολα Christoffel είναι Γ 2 12 = cot u και Γ 1 22 = sin u cos u. Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (8.1)-(8.2) παίρνει τη μορφή α (t) = sin u 0 cos u 0 β(t), α(0) = 0 β (t) = cot u 0 α(t), β(0) = 1. Παραγωγίζουμε τη δεύτερη εξίσωση και χρησιμοποιούμε την πρώτη οπότε παίρνουμε: β (t) = cot u 0 α (t) = cos 2 u 0 β(t), β(0) = 1. Από αυτήν προκύπτει ότι η λύση του συστήματος είναι 1 α(t) = sin u 0 sin ((cos u 0 )t), β(t) = cos ((cos u 0 )t). Συνεπώς, η ζητούμενη παράλληλη μεταφορά του διανύσματος X 0 είναι το διάνυσμα X(γ(t)) = sin u 0 sin ((cos u 0 )t) X u + cos ((cos u 0 )t) X v. Επειδή X(γ(t)) = Eα(t) 2 + 2F α(t)β(t) + Gb(t) 2 = sin 2 u 0 για κάθε t, η παράλληλη μεταφορά του διανύσματος X 0 διατηρεί το μήκος του. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι το διάνυσμα X(γ(t)) δεν είναι γενικά εφαπτομενικό στην καμπύλη γ, παρά μόνο όταν u 0 = 0. Τότε το X(γ(t)) είναι εφαπτόμενο στον ισημερινό (για τον οποίον u(t) = 0, v(t) = 0, άρα α(t) = 0, β(t) = cos t). διάνυσμα X 0 στρέφεται κατα γωνία 2π cos u 0. μήκος της καμπύλης γ. Επειδή β(2π) = cos(2π cos u 0 ), το Η γωνία αυτή ονομάζεται ολονομία (holonomy) κατά Η έννοια της παραλληλίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί, προκειμένου να δώσουμε έναν πρώτο ορισμό μιας γεωδαισιακής καμπύλης. Αναλυτικότερη μελέτη των γεωδαισιακών θα γίνει στο επόμενο κεφάλαιο. Ορισμός 8.3. Μια καμπύλη γ σε μια επιφάνεια M ονομάζεται γεωδαισιακή (geodesic) εάν το εφαπτόμενο διάνυσμά της είναι παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης, δηλαδή γ γ = 0. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το διάνυσμα X 0 θα παραμείνει κατά την παράλληλη μεταφορά του εφαπτομενικό στον ισημερινό, επειδή ο ισημερινός είναι μια γεωδαισιακή καμπύλη της σφαίρας. 1 Λαμβάνοντας υπόψη ότι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y (t) + k 2 y(t) = 0, είναι y(t) = c 1 cos(kt) + c 2 sin(kt), c 1, c 2 R.

Ασκήσεις 7 Σχήμα 8.4: Παράλληλη μεταφορά του διανύσματος X 0 κατά μήκος του παραλλήλου u(t) = u 0, v(t) = t της μοναδιαίας σφαίρας. Παράδειγμα 8.5. Το εκκρεμές του Foucault. Το 1851 ο Jean Foucault κατασκεύασε ένα εκκρεμές, προκειμένου να αποδείξει την κίνηση της γης. Με το πείραμα αυτό παρατήρησε ότι, αν το εκκρεμές βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος u = u 0, τότε η περίοδος ενός πλήρους κύκλου του επιπέδου ταλάντωσης είναι T = 24 cos u 0 ώρες. Η συνήθης εξήγηση αυτού είναι μέσω της δύναμης Coriolis (βλ. Arnol d, Symon). Μια εναλλακτική εξήγηση μπορεί να δοθεί μέσω του Παραδείγματος 8.4. 2 Υποθέτουμε ότι η γη είναι ακίνητη και μεταφέρουμε το κινούμενο εκκρεμές παράλληλα κατά μήκος του κύκλου u = u 0 με σταθερή ταχύτητα, σε διάστημα 24 ωρών. Εάν το μήκος του νήματος του εκκρεμούς είναι αρκετά μεγάλο και το πλάτος της ταλάντωσης αρκετά μικρό, τότε η κίνηση του εκκρεμούς είναι σχεδόν εφαπτομενική με την επιφάνεια της γης. Ετσι δημιουργείται ένα διανυσματικό πεδίο από τις διάφορες διευθύνσεις του επιπέδου ταλάντωσης. Επειδή η εφαπτομενική συνιστώσα της κεντρομόλου επιτάχυνσης είναι αμελητέα 3, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το διανυσματικό αυτό πεδίο είναι παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης. Συνεπώς, μετά από μία πλήρη στροφή του εκκρεμούς περί τον κύκλο u = u 0, το πεδίο αυτό στρέφεται κατά γωνία 2π cos u 0, άρα το εκκρεμές επανέρχεται στο αρχικό επίπεδο ταλάντωσης μετά από 2π (2π cos u 0 )/24 = 24 ώρες. cos u 0 8.1 Ασκήσεις 1. Μελετήστε την παράλληλη μεταφορά του διανύσματος (0, 0, 1) κατά μήκος του κύκλου x 2 + y 2 = 1, z = 0 στον ορθό κύλινδρο x 2 + y 2 = 1. 2 Και γενικότερα στα πλαίσια της θεωρίας της μαθηματικής φυσικής που ονομάζεται γεωμετρική θεωρία φάσεων. 3 Αν R = 2960mi είναι η ακτίνα της γης, τότε αποδεικνύεται ότι η εφαπτομενική συνιστώσα της κεντρομόλου επιτάχυνσης ( είναι R sin u 0 cos u 2π ) 2 0 2π2 R 24 24 = 135, 7 mi/hr 2 = 0, 0553 ft/sec 2 = 0, 17g, όπου g η επιτάχυνση βαρύτητας. 2

8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία 2. Εστω V ένα παράλληλο διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας καμπύλης γ της επιφάνειας M. Δείξτε ότι ένα διανυσματικό πεδίο W κατά μήκος της γ είναι παράλληλο εάν και μόνο εάν έχει σταθερό μήκος και η γωνία μεταξύ του V και του W είναι σταθερή. 3. Εστω X, Y λεία διανυσματικα πεδία σε μια επιφάνεια M και γ, δ λείες καμπύλες στην M. Αποδείξτε ότι για κάθε f, g λείες συναρτησεις στην M ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες της συναλλοίωτης παραγώγου: (1) fγ +gδ X = f γ X + g δ X. (2) γ ( X + Y ) = γ X + γ Y. (3) γ (f X) = d(f γ) dt X + f γ X. 4. Εστω M μια κανονική επιφάνεια και p, q M. Συμβολίζουμε με Pγ pq : T p M T q M την παράλληλη μεταφορά από το σημείο p στο σημείο q. Απδείξτε ότι η απεικόνιση Pγ pq είναι γραμμική. (Επιπλέον, είναι και ισομετρία, όπως αποδείχτηκε στην Πρόταση 8.2). 5. Θεωρούμε τον κώνο z 2 = a 2 (x 2 + y 2 ) με παραμέτρηση ( ( v X(u, v) = u sin φ cos sin φ ), u sin φ sin ( ) ) v, u cos φ, sin φ όπου φ η γωνία της γεννέτηρας του κώνου με sin φ = 1/ 1 + a 2, cos φ = a/ 1 + a 2. Αποδείξτε ότι η ολονομία κατά μήκος του παράλληλου ( γ(v) = u 0 sin φ cos είναι 2π sin φ. ( v sin φ ) ( ) ) v, u 0 sin φ sin, u 0 cos φ, 0 v 2π, sin φ 6. Θεωρούμε ένα τρίγωνο στην μοναδιαία σφαίρα με πλευρές τόξα μέγιστων κύκλων και με κορυφές p, q, r. Εστω X 0 ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο p του τόξου pq που εννώνει τα p και q. Δείξτε ότι η διαδοχική παράλληλη μεταφορά του X 0 κατά μήκος των τόξων pq, qr και rp, έχει ως αποτέλεσμα την στροφή του διανύσματος X 0 κατα γωνία 2π A, όπου A το εμβαδό του σφαιρικού τριγώνου pqr.

Βιβλιογραφία [1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012. [2] V. I. Arnol d, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1978. [3] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010. [4] W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, Ninth Edition, John Wiley and Sons, 2009. [5] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976. [6] J. E. Marsden and M. J. Tromba, Vector Calculus, 6th ed., Macmillan Higher Edition, 2011. Μετάφραση 3 ης εκδ. Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1992. [7] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007. [8] J. Oprea, Geometry and the Foucault pendulum, Amer. Math. Monthly 102 (6) (1995) 515 522. [9] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013. [10] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012. [11] K. Symon: Mechanics, Addison-Wesley, 1971. 9